Solution_of_inequalityx

Алгоритм решения квадратных неравенств
Примеры
Графический метод
Решение неравенства графическим способом
можно рассматривать как нахождение
промежутков, в которых соответствующая
квадратичная функция принимает
положительные или отрицательные значения.
1)Преобразуем неравенство второй степени с
одной переменной (если необходимо
приведём квадратный трёхчлен в правильный
вид 𝒂𝒙𝟐 +bx+c>0 или 𝒂𝒙𝟐 +bx+c<0).
Для его решения исследуем график функции
y=𝒂𝒙𝟐 +bx+c.
2)Графиком функции является парабола.
3)Определим, в какую сторону направлены
ветви параболы y=𝒂𝒙𝟐 +bx+c.
Напомним, что ветви зависят от а:
если а<0, то ветви параболы направлены вниз,
если а>0, то ветви направлены вверх
(а не может равняться нулю).
4) Теперь находим нули функции (точки
пересечения графика с осью абсцисс) при y=0.
У нас получается квадратное уравнение,
которое нужно решить и найти корни:
𝒂𝒙𝟐 +bx+c=0.
5) Сначала находим дискриминант, по всем
известной формуле D=𝒃𝟐 -4ac. Корни
уравнения и будут являться нулями
функциями.
Если D>0 , то уравнение имеет 2 корня (если
трёхчлен имеет корни, то их наносят на оси х)
Если D<0, то уравнение не имеет корней (если
трёхчлен не имеет корней, то парабола
расположена либо в верхней при а>0 а>0,
либо в нижней полуплоскости при а<0)
Если D=0, то уравнение имеет 1 корень (в
точке с координатой х парабола касается оси
х)
6) После нахождения нулей функции, мы
переходим к графику и анализируем его.
Рисуем схематический рисунок, отмечая нули
функции и направляя ветви так, как указали в
пункте 3.
Заметим, что для изображения
схематического графика мы не определяем
координаты вершины параболы.
Первый пример.
Решите неравенство
𝒙𝟐+7x+12<0
Определим промежутки, в которых
квадратичная функция принимает
положительные значения.
1-3) Графиком функции 𝒚 = 𝒙𝟐 +7x+12
является парабола, ветви которой
направлены вверх ( так как a>0)
4-5) Находим нули функции (точки
пересечения графика с осью абсцисс):
𝒙𝟐 +7x+12=0
D=49-48
D=1 →уравнение имеет 2 корня
−𝟕−𝟏
𝒙𝟏 = 𝟐 =-4
−𝟕+𝟏
𝒙𝟐 = 𝟐 =-3
(мы нашли нули функции)
6) Теперь рисуем схематический рисунок
Y
y=𝒙𝟐 +7x+12
X
-4 -3
0
7) По графику видим, если y<0, то
x𝝐(−𝟒; −𝟑)
Ответ: x𝝐(−𝟒; −𝟑)
7) По графику определяем, в каком
промежутке на оси абсцисс соответствующая
квадратичная функция принимает
положительные или отрицательные значения,
и записываем решение неравенства.
Второй пример.
Решите неравенство -𝒙𝟐 +10x-16>0
Третий пример
Решите неравенство 𝒙𝟐 +4x-5≤0
1-3)Графиком у=-𝒙𝟐 +10x-16 является
парабола, ветви которой направлены вниз
(так как а<0)
4-5)Находим нули функции:
-𝒙𝟐 +10x-16=0
D=100-64
D=36>0 (2 корня)
−𝟏𝟎−𝟔
𝒙𝟏 = −𝟐 =8
1-3)Графиком у=𝒙𝟐 +4x-5 является парабола,
ветви которой направлены вверх.
4-5)Находим нули функции:
𝒙𝟐 +4x-5=0
D=16+20
D=36
−𝟒−𝟔
𝒙𝟏 = 𝟐 =-5
−𝟏𝟎+𝟔
𝒙𝟐 = −𝟐 =2
(мы нашли нули функции)
𝒙𝟐 =
−𝟒+𝟔
𝟐
=1 (мы нашли нули функции)
6) Схематический рисунок
y
6) Рисуем схем. рисунок
𝒚 = 𝒙𝟐 +4x-5
y
𝟐
y=-𝒙 +10x-16
x
2
0
8
-5
0 1
x
7) По графику видим, если y>0, то x𝝐(𝟐; 𝟖)
Ответ: x𝝐(𝟐; 𝟖)
7) По график, если y≤0, то x𝝐[-5;1]
Ответ: x𝝐[-5;1]
Примеры
Метод интервалов
Рассмотрим
те
же
самые, чтобы было
1)Записываем квадратное уравнение, для
понятнее, что можно применять любой
этого ту часть, в которой находится
способ для решения.
квадратный трёхчлен, приравниваем нулю.
Пример первый
2)Находим нули функции, используя формулу
𝟐
𝒙 +7x+12<0
дискриминанта D=𝒃𝟐 -4ac
1) 𝒙𝟐 +7x+12=0
−𝒃±√𝑫
и корней х = 𝟐𝒂
2) По теореме Виета
или теорему Виета (𝒙𝟏 +𝒙𝟐 =-p ; 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 =q) ,
𝒙𝟏 +𝒙𝟐 =-7
получив предварительно приведённое
х𝟏 ∙ х𝟐 = 𝟏𝟐
квадратное уравнение вида 𝒙𝟐 +px+q=0
→ 𝒙𝟏 = −𝟑 ; 𝒙𝟐 = −𝟒
𝟐
3) Напомним, что квадратный трёхчлен можно 3) 𝒙 +7x+12 =(x+3)(x+4)
разложить на множители следующим
4) Нанесём нули функции f(x) =(x+3)(x+4)
образом: 𝒂𝒙𝟐 +bx+c =a(x-𝒙𝟏 )(x-𝒙𝟐 ).
разобьём
область
определения
на
Разложим квадратный трёхчлен на
промежутки.
множители.
Определим знак функции в одном из них
4) Теперь нанесём на координатную прямую
(например, при х=0) и, используя
нули функции f(x) = a(x-𝒙𝟏 )(x-𝒙𝟐 ) и найдём
чередование знаков функции, выберем
промежутки, в которых соответствующая
ответ, соответствующий знаку неравенства.
квадратичная функция принимает
положительные или отрицательные значения.
В каждом из промежутков, на которые нули
функции разбивают область определения,
знак функции сохраняется, а при переходе
через нуль изменяется.
Пример второй
-𝒙𝟐 +10x-16>0
1-2) 𝒙𝟐 -10x+16<0
По теореме Виета:
𝒙𝟏 +𝒙𝟐 =10; 𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 =16 → 𝒙𝟏 =8; 𝒙𝟐 =2
3-4) Нанесём нули функции f(x) = (x-8)(x-2) и
разобьём область определения на
промежутки. Определим знак функции в
одном из них (например, при х=0) и,
используя чередование знаков функции,
выберем ответ, соответствующий знаку
неравенства.
+
Ответ: x𝜖(2;8)
0
2
-
8
+
x
+
-4- -3
0
+
X
Ответ: x𝝐(−𝟒; −𝟑)
Пример третий
𝒙𝟐 +4x-5≤0
1-2) D=36
→ 𝐱 𝟏 =1; 𝐱 𝟐 =-5
3-4) Нанесём нули функции f(x) = (x-1)(x+5)
на координатную прямую и разобьём
область определения на промежутки.
Определим знак функции в одном из них
(например, при х=0) и, используя
чередование знаков функции, выберем
ответ, соответствующий знаку неравенства.
+
-5
Ответ: x𝜖[-5;1]
-0 1
+
x