Арифметический способ решения задач на смеси и сплавы

Методическая разработка урока по теме «Задачи на смеси и сплавы»
Урок по алгебре (8класс)
Тема урока: «Арифметический способ решения задач на смеси и сплавы»
Данная тема отсутствует в учебнике «Алгебра 8» Ю.Н.Макарычева. На
экзамене в 9 классе и в 11 классе проверяют умение решать задачи на смеси и
сплавы. Я приняла решение, что в конце учебного года целесообразно
разобрать данные задачи. Чтобы данный материал был хорошо усвоен
учащимися, накануне были проведены обобщающие уроки повторения по
темам: проценты, нахождение части от числа, нахождение числа по его
части.
Цели: проверить умение рассуждать и решать задачи на дроби и
проценты, составлять по задаче уравнения и решать его, научить решать
задачи на смеси и сплавы арифметическим способом.
I. Организационный момент.
Задачи, которые мы будем решать, относятся к традиционным задачам
математики. Они охватывают большой круг ситуаций: смешение товаров
разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной
концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого
металла. Когда-то они имели исключительно практическое значение. В
настоящее время эти задачи часто встречаются в тестах на выпускных
экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы.
Мы рассмотрим задачи на смешение, которые можно решить не только
алгебраически, то есть с помощью уравнения, но и арифметическим
способом.
Для успешной работы нам понадобится повторить основные понятия
этой темы.
II. Устный счёт
1. Концентрация вещества в смеси – это часть, которую составляет
масса вещества в смеси от массы смеси. Нахождение части от целого. В
химии вы называли эту величину массовой долей вещества.
Концентрация вещества может быть указана и числом и %.
2. Объясните значение высказываний:
а) Концентрация раствора 3 %;
1
(В 100 г раствора содержится 3 г вещества).
в) Молоко имеет 1,5 % жирности;
(В100 г молока содержится 1,5 г жира).
с) золотое кольцо имеет 583 пробу?
(В1 г кольца содержит 583 миллиграмма золота).
Сколько сахара содержится в 200 г 10%- го сахарного сиропа?
Теперь давайте попробуем решить устно несколько задач.
3. К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация
полученного раствора?
(1: 5 ·100 = 20 %)
4. Килограмм соли растворили в 9 л воды. Какова концентрация раствора?
(1 : 10 ·100 = 10%)
III. Решение задач
Конечно, вы понимаете, что не все задачи можно решить устно. Следующую
задачу мы решим с вами с помощью уравнения.
№1. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50 % и 70 %
кислоты, чтобы получить раствор 65 % кислоты?
Для решения задачи я попрошу вас заполнить таблицу, которая находится у
вас на столе.
Концентрация Масса раствора ( г ) Масса кислоты ( г )
I раствор
IIраствор
смесь
Заполняем 1-й столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.
Заполняем 2-й столбик. Здесь мы указываем массу каждого раствора.
Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем,
2
что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс
смешиваемых растворов.
Тогда масса смеси будет (х + у) г.
Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-ом
растворе. Это 0,5х г, во втором растворе 0,7у г, а в смеси будет 0,65(х + у) г
кислоты.
По условию задачи составим и решим уравнение.
0,65 (х + у) = 0,5 х + 0,7 у,
65 х – 50 х = 70 у – 65 у,
15 х = 5 у,
3 х = 1 у,
х : у = 1 : 3.
Нужно взять: 1 часть раствора 50% кислоты и 3 части раствора 70% кислоты
Ответ: 50% раствора кислоты -1 часть, 70% раствора кислоты - 3 части.
А теперь я хочу предложить вам схему решения этой задачи
арифметическим методом, который позволяет решить ее практически устно.
Запишем концентрацию каждого раствора кислоты и концентрацию смеси
так:
Вычислим, на сколько концентрация первого раствора кислоты
меньше, чем концентрация смеси и на сколько концентрация второго
раствора кислоты больше, чем концентрация смеси и запишем результат по
линиям:
3
Таким образом, 5 частей нужно взять 50% раствора кислоты и 15 частей 70%
раствора кислоты, то есть отношение взятых частей
. Окончательно
получаем: 50% раствора кислоты-1 часть, 70% раствора кислоты-3 части.
Сравните полученные результаты. Делаем вывод: получили один и тот же
ответ, но времени затратили гораздо меньше.
Вовсе не случайно в старые времена отношение масс смешиваемых
вещей находили таким образом. Но вряд ли все ученики, получавшие
правильные ответы описанным способом, понимали тогда смысл
выполняемых
действий.
Докажем справедливость этого способа.
В каких пропорциях нужно смешать растворы а % и b % кислот,
чтобы получить раствор с % кислоты?
Заполним вторую таблицу.
Концентрация Масса раствора (г) Масса кислоты (г)
I раствор
II раствор
смесь
Заполняем 1-й столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.
Заполняем 2-й столбик. Здесь мы указываем массу каждого раствора.
Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем,
что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс
смешиваемых
растворов.
Тогда масса смеси будет (х + у) г.
4
Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-м
растворе. Это 0,01·ах г, во втором растворе 0,01·bу г, а в смеси будет 0,01·c(х
+ у) г кислоты.
Составим и решим уравнение
0,01·c(х + у) = 0,01·ах + 0,01·bу,
cx +cy = ax + by
х(с – а) = у(b – c),
Заполним схему, учитывая, что а < c < b.
Теперь понятно, почему эта схема давала правильные результаты.
Давайте применим этот способ для решения задач.
№2. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375 пробы с
золотом 750 пробы, чтобы получить золото 500 пробы?
И так составляем схему.
5
Чтобы получить золото 500 пробы нужно взять: 2 части золота 375 пробы и 1
часть золота750 пробы.
Решим следующую задачу.
№3. Морская вода содержит 5 % соли по массе. Сколько пресной
воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли
составляла 1,5 %?
Нужно взять 7 частей пресной воды и 3 части морской воды. По
условию нам известно, что морской воды 30 кг и это 3 части нового раствора.
Значит, на одну часть приходится 10 кг. Следовательно, 7частей пресной
воды – это 70 кг.
Ответ: нужно добавить 70 кг пресной воды.
Следующие задачи решить удобным для вас способом.
№4. Имеется два сплава с разным содержанием меди. В первом
сплаве содержится 40%, а во втором – 70% меди. В каком отношении
надо взять первый и второй сплавы, чтобы из них получить новый
сплав, содержащий 60% меди?
Решение: пусть X – масса сплава, 40% содержанием меди, Y – масса сплава с
60% содержанием меди. 0,4X – масса меди в первом сплаве, 0,7Y – масса
меди во втором сплаве, 0,6(X +Y) – масса меди в новом сплаве. Составим
уравнение: 0,4X+0,7Y=0,6(X +Y). Решив уравнение, имеем, что X: Y=1:2.
Ответ: необходимо взять одну часть 40% сплава и две части 70% сплава.
№5. В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на
40%, а количество цинка уменьшила на 40%. В результате общая масса
куска сплава увеличилась на 20%. Определите процентное содержание
меди и цинка в первоначальном куске сплава.
6
Решение: пусть X – масса меди в сплаве, Y – масса цинка в сплаве. Если
количество меди увеличить на 40%, то масса меди составит 1,4 X, если
уменьшить на 40% количество цинка, то масса цинка составит 0,6 Y. Масса
всего куска увеличится на 20%, а значит будет составлять 1,2(X +Y).
Составим уравнение: 1,4 X+0,6 Y=1,2(X +Y). Решив уравнение, имеем:
X: Y=3:1. Процентное содержание меди: 0,75=75%, цинка 0,25=25%.
Ответ: 75% меди и 25% цинка в сплаве.
№6. Смешали 30%-ный и 50%-ный раствор азотной кислоты и
получили 45%-ный раствор. Найдите отношение массы 30% раствора к
массе 50% раствора.
Решение: пусть X – масса 30% раствора азотной кислоты, Y – масса 50%
раствора азотной кислоты. 0,3X – масса азота в первом растворе, 0,5Y –
масса азота во втором растворе, 0,45(X +Y) – масса азота в новом растворе.
Составим уравнение: 0,3X+0,5Y=0,45(X +Y). Решив уравнение, имеем, что X:
Y=1:3.
Ответ: необходимо смешать одну часть 30% раствора и три части 50%
раствора.
№7. Соединили два сплава с содержанием меди 40% и 60% и
получили сплав, содержащий 45% меди. Найдите отношение массы
сплава с 40% содержанием меди к массе сплава с 60% содержанием
меди.
Решение: пусть X – масса сплава, 40% содержанием меди, Y – масса сплава с
60% содержанием меди. 0,4X – масса меди в первом сплаве, 0,6Y – масса
меди во втором сплаве, 0,45(X +Y) – масса меди в новом сплаве. Составим
уравнение: 0,4X+0,6Y=0,45(X +Y). Решив уравнение, имеем, что X: Y=3:1.
Ответ: необходимо взять три части 40% сплава и одну часть 60% сплава.
IV. Самостоятельная работа.
(решить арифметическим способом задачи)
1. Сколько граммов 75% - ного раствора кислоты надо добавить к 30 г
15%-ного раствора кислоты, чтобы получить 50%- ный раствор кислоты?
2. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого
20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%,
получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были
взяты первый и второй растворы?
7
V.Домашнее задание.
(разложены карточки на парты с домашнем заданием)
1.Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего
25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
2. Имеется кусок сплава цинка с железом общей массой 24 кг,
содержащий 20% цинка. Сколько килограммов чистого железа надо добавить
к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 15% цинка?
3. Составить задачу на смешение и решить ее алгебраическим
способом. Какие это могут быть задачи? На смешение товаров разной цены,
жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации,
сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла.
Запишите условие задачи, приведите схему решения и решите ее. Несколько
лучших
задач
мы
рассмотрим
на
доске.
Подведем итог урока. Сегодня мы познакомились с алгебраическим
способом решения задач на смешение. Конечно, не все задачи можно решить
этим способом, но я думаю, что вам интересно было познакомиться с ним.
Дома еще раз осмыслить способ решения, и я думаю, что на уроках в 9 классе
при подготовке к итоговой аттестации вы успешно примените этот способ.
Самостоятельная работа в конце урока показала, что тему учащиеся
поняли хорошо, научились арифметически решать задачи на смеси и сплавы.
В дальнейшем (в 9 классе) планирую разобрать другие виды задач и способы
их решения: применение линейных уравнений, применение систем линейных
уравнений.
Литература:
Алгебра : сб. заданий для подгот. к гос. итоговой аттестации в 9кл.
/[Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др.]. – 4-е изд.,
перераб. – Просвещение, 2009.
Алгебра 9-й класс. Подготовка к государственной итоговой
аттестации – 2010: учебно –методическое пособие /Под ред. Ф.Ф.
Лысенко – Ростов-на-Дону: Легион-М., 2009. – 240с.(Итоговая
аттестация)
8