Готовься к ЕГЭ

ПОДГОТОВКА УЧАЩИХСЯ К ГИА
ПО МАТЕМАТИКЕ ЗА КУРС СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО)
ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ»
Содержание
1. Введение………………………………………………………………….2
2. Задачи на «проценты» и их решение…………………………………...3
2.1.Методические рекомендации…………………………………………..3
2.2.Задачи на уменьшение и увеличение………………………………….4
2.3.Задачи на «высушивание» и «выпаривание»………………………….7
2.4.Решение задач на смеси и сплавы……………………….……………..9
2.4.1.Задачи на определение концентрации смеси……….………………10
2.4.2.Задачи на понижение концентрации ……...……..…………………11
2.4.3.Задачи на смешивание растворов разных концентраций……….…13
2.4.4.Задачи на повышение концентрации …….…………………………14
3. Заключение ……………………………………………………………...15
4. Список литературы……………………………………………………...16
2
1.Введение
Обучение решению задач на проценты всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. В дореволюционной школе
изучение процентов было тесно связано с потребностями коммерческих расчётов. В учебнике А.П. Киселёва разъяснялся смысл слов «должник», « заимодавец» ( кредитор), «ссуда», «начальный капитал», « процентная такса»,
«процентные деньги», « наращенный капитал» (начальный капитал с процентными деньгами), отдать деньги в «рост». Разъяснялось различие между простыми и сложными процентами. Задачи на проценты делились на 4 группы, в
зависимости от того, что неизвестно из следующих величин: а) процентные
деньги или наращенный капитал, б) начальный капитал, в)процентная такса
(процент за год), г) время, в течение которого капитал находится в росте. Задачи второй группы рассматривались двух типов: в одних известны процентные деньги, в других наращенный капитал.
В послереволюционные годы новая школа уточняла цели обучения, решительно расставалась со всем, что не отвечало новому пониманию задач обучения. Задачный «репертуар» был значительно сокращён. Однако в программе 1921 года всё же записано: « понятие о проценте и вычисление процентных отношений обязательны в школе и включены в программу» Тем не менее в соответствии с «правдой жизни» сфера приложения процентных расчётов была значительно сокращена, что объяснялось следующим: « Задачи,
где вычисляются барыши купцов и барышников шокируют нравственное чувство и следовательно имеют безусловно отрицательное значение».
Современная жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как
сфера практического приложения процентных расчётов расширяется. В газетах, по радио, и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций ,снижение покупательной способности населения и т.п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по
акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банков3
ского кредита. Всё это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчёты для сравнения и выбора более выгодных условий.
Задачи на проценты, концентрации, смеси и сплавы встречаются не только в
математике, но и в химии, где рассматриваются различные соединения. Они
всегда вызывают затруднения у школьников, в частности, у выпускников.
Причина такой ситуации заключается в том, что тема «Проценты» изучается
в 5-6 классах и изучается непродолжительно. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего.
С 2004 года в КИМы ЕГЭ стали включаться задачи, сюжеты которых близки к реальным ситуациям (экономическим, финансовым, деловым, игровым,
и пр.). В прошлом году в таких задачах были представлены различные типы
сюжетов: «на проценты», «на сплавы, смеси и концентрацию». К текстовым
задачам на проценты относятся задачи, в которых речь идет о вкладах в банк
под тем или иным процентом, о прибыли, о выполнении плана, об изменении
цены на товар; задачи, в которых происходит преобразование исходного вещества (при сушке, при выпаривании) и т. д. Задачи зтого типа очень часто
входят составной частью в решение других типовых задач. Рассмотрим методику решения таких задач.
2.Задачи на «проценты» и их решение
2.1 Методические рекомендации.Задачи на проценты являются частным
случаем задач на дроби. При постронии системы задач и организации
процесса обучения с учётом этого положения можно добиться улучшения
методики изложения материала и тем самым повысить эффективность
обучения. Чтобы обеспечить преемственность в обучении решению задач на
дроби и проценты, способствовать усвоению процентов большинством
учащихся и достаточному продвижению вперёд более сильных из них,
школьников надо научить:1.Находить часть числа умножением на дробь.
2.Находить число по его части делением на дробь.
3.Находить, какую часть одно число составляет от другого. Эта задача
является опорной для нахождения процентного отношения двух чисел.
4
4.Выражать проценты в виде обыкновенной и десятичной дроби. Выполнять
обратное преобразование.
5.Находить несколько процентов числа, увеличивать( уменьшать ) число на
несколько процентов.
6.Находить число по нескольким его процентам.
7.Находить процентное отношение двух чисел, а также на сколько
процентов одно число больше ( меньше) другого.
Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Первое, что нужно
сделать при решении задачи – это провести анализ условия задачи. Из анализа условия задачи уяснить является ли данная задача стандартной или нестандартной.
Для решения стандартной задачи нужно:
 установить вид задач, к которому принадлежит заданная;
 применить общее правило (алгоритм) для решения задач данного вида
к условиям данной задачи.
Нестандартные задачи – это такие, для которых нет общих правил, определяющих точную программу их решения. Решение нестандартных задач есть
искусство, которым можно овладеть лишь в результате постоянной тренировки в решении разнообразных задач. Чтобы решить задачу, надо найти план
решения задачи. Поиск плана решения задачи составляет центральную часть
всего процесса решения. План – это идея решения.
Осуществив решение по составленному плану, необходимо провести анализ
найденного решения (установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, сделать из нее выводы). Итак, переходим к решению задач.
2.2 Задачи на уменьшение и увеличение.
Задача № 1. Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на
30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %.
5
Остался ли за этот год его вес прежним?
1 способ. Если Женя весил x кг, то после уменьшения веса на 20 % он стал
весить 0,8x кг, а после увеличения веса на 30 % – 0,8x·1,3 кг и т. д., в итоге
Женя весил 0,8x·1,3·0,8·1,1 или 0,9152x кг, что меньше x кг. Значит, Женя
похудел.
При участии во всевозможных контрольных испытаниях, а особенно если
это касается тестирования, большое значение имеет умение испытуемого
экономить время, что позволяет ему отвести больший резерв времени для
решения более сложных задач. Традиционно, как показывает практика, решающий в начале обозначает первоначальную величину за х и находит,
сколько от этой величины составляют а %.Уже на этом этапе происходит потеря времени. Покажем один прием экономии времени,
2
способ.
Проценты
первоначальный
80+80*0,3=104
связаны
с
числом
100
и
поэтому
примем
вес Жени 100 кг, тогда вес весной- 80 кг, вес летом
кг, вес осенью
83,2+83,2*0,1=91,52 кг
–
104-104*0,2=83,2
кг,
вес зимой-
Ответ: Женя похудел
Задача № 2. ЦТ-2004 г. Два года подряд население города увеличивалось
ежегодно на 20%. На сколько процентов увеличилось население за два года?
Решение: данная задача является стандартной, так как для ее решения нужно
применить две известные учащимся формулы: формулу сложного процентного роста и формулу процента изменения величины. Простой процентный
рост можно вычислить по формуле:
Sn= (1+-----) *S ,где S- начальная сумма вклада, p %- месячный процент,
n –число месяцев. Сложный процентный рост вычисляется по формуле
Sn= (1+-----) *S
Способ 1.
Пусть первоначальное население города равно S. Тогда через два года
население города станет
.
Население города увеличится на
.
6
Способ 2. Примем население города за 100%.
1) 100 +100 0,2 = 120 (%) – составило население через год;
2) 120 + 120 0,2 = 144 (%) – население города через два года;
3)144 – 100 = 44 (%) – увеличилось население за два года.
Ответ: население города увеличилось за два года на 44% .
Каждый способ имеет свои плюсы и минусы, в зависимости от условий задачи. Первый способ применим, когда население города увеличивается на
одинаковое число процентов в течение многих лет, а второй, когда увеличение происходит на разное число процентов в течение небольшого количества
лет.
Задачи для самостоятельного решения
Задача№3. 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько
процентов увеличили число за два раза? Ответ : 21%
2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое
получилось число — большее или меньшее первоначального? На сколько
процентов? Ответ: меньше на 1%
Задача №4. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на
продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько
процентов выросли цены за 3 месяца? Ответ : примерно на 33%
Задача №5. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на
10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат
от того, какую пару сторон увеличили на 10 %? Ответ : на 10 %
Задача №6. Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько
процентов увеличилась его площадь? Ответ : 44%
Задача №7. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на
20 %, две другие — уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь
прямоугольника? Ответ : уменьшилась на 4 %
Задача № 8. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько
процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не
изменилась? Ответ : 25%
7
2.3 Задачи на «высушивание» и «выпаривание»
При решении этих задач надо объяснить учащимся, что все тела, вещества,
продукты содержат в себе воду, которая частично испаряется. Поэтому при
решении этих задач мы каждый раз разделяем данное нам вещество на воду и
«сухой остаток», масса которого не меняется в условиях задачи.
Задача 1. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%.
После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна
масса цветков ромашки после сушки?
Решение. Заполним таблицу по условию задачи:
Масса, в кг
Содержание, в %
вода
сухого вещества
Свежие цветы
8
85
100-85=15
Высушенные
?
20
100-20=20
1)0,15 • 8 = 1,2 кг — масса сухого вещества в 8 кг; 2) 1,2 кг сухого вещества
— это 80% массы высушенных цветов, значит, масса высушенных цветов
равна 1,2 : 0,8 = 1,5 кг. Ответ: 1,5 кг.
Задача 2.
Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов,
содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?
Решение. Заполним таблицу по условию задачи:
Масса, в кг
Содержание, в %
сухого вещества
вода
Свежие грибы
22
?
Сухие грибы
2,5
12
1) 2,5 • 0,88 = 2,2 кг — масса сухого вещества;
100-12=88
2) 2,2 : 22 • 100 = 10% сухого вещества содержится в свежих грибах;
3) 100 - 10 = 90% воды в свежих грибах. Ответ: 90%.
Задача 3. Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушеные 10%. Сколько
надо взять свежих яблок, чтобы получить 6 кг сушеных?
Масса, в кг
Содержание, в %
вода
сухого вещества
Свежие
?
80
100-80=20
Сушёные
6
10
100-10=90
яяяблокигриб
Решение. Если в сушеных яблоках 10% воды, то сухое вещество составляет
ы
90%. Найдем массу сухого вещества в 6 кг сушеных яблок: 6 • 0,9 = 5,4 кг. Та
8
же масса сухого вещества была и в свежих яблоках, и она составляла 20% от
их массы. Найдем массу свежих яблок: 5,4 : 0,2 = 27 кг. Ответ: 27 кг.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 4. Если из 10 кг абрикосов получается 8 кг кураги, содержащей 42%
воды, то сколько процентов воды содержат свежие абрикосы? Ответ: 53,6%.
Задача 5. В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько килограммов свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30 кг сушеных?
Ответ: 90кг.
Задача 6. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие -12% воды. Сколько
получится сухих грибов из 22кг свежих грибов? Ответ: 2,5 кг.
Задача 7. На складе хранилось 51 т зерна, влажность которого была 20%.
Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность
до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище? Ответ: 48т.
Задача 8. Пчёлы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от
воды. Нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мёд -20%.
Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчёлам для получения одного килограмма мёда? Ответ: 48т.
Задача, обратная предыдущим
Задача 9. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а
после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На
сколько килограммов увеличится масса одной добытой тонны угля после
того, как она две недели пролежит на воздухе?
Эта задача обратна предыдущим, здесь влажность угля увеличивается за
счет поглощения влаги из воздуха.
Решение. Заполним таблицу по условию задачи:
Масса, в т
Содержание, в %
воды
сухого вещества
Было
1
2
100-2=98
Стало
?
12
100-12-88
1) 1000 • 0,98 = 980 кг — сухого вещество в добытом угле;
2)980 кг — это 88%, 980 : 0,88 =1114 кг — масса угля после двух недель
пребывания на воздухе;
9
3)1114 - 1000 = 114 кг — увеличение массы одной добытой тонны угля.
Ответ: на 114 кг.
Задачи, решаемые другими способами
Задача 10. Трава при высыхании теряет около 28% своей массы. Сколько
было накошено травы, если из нее было получено 1,44 т сена?
Решение. Заполним таблицу по условию задачи:
Масса, в т
Содержание, в %
Трава
Х
100
Сено
1,44
100-28=72
10-2
Зависимость прямо пропорциональная. Составим и решим пропорцию
100-12
__Х___ = 100 , откуда Х=1,44*100 = 2т
1,44
72
72
Ответ: 2т.
Задача 11(выпаривание). Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей
85% воды. После выпаривания получили массу, содержащую 25% целлюлозы. Сколько килограммов воды было выпарено?
Решение. Пусть выпарили х кг воды.
Заполним таблицу по условию задачи:
Было
Стало
С, %
100-85
25
М,кг
500
500-х
т,кг
500 . 0,15
(500 - х) .
Составим и решим уравнение: 500 . 0,15 0,25
= (500 - х) . 0,25,0,25х = 50, откуда
х = 200 Ответ: 200 кг.
2.4 Решение задач на смеси и сплавы.
Текстовые задачи на смеси и сплавы при всей их кажущейся простоте часто
вызывают проблемы. Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин «смесь» независимо от её вида ( твёрдая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество в каждой задаче определяем отдельно.
При решении текстовых задач на смеси постоянно приходится работать со
следующими понятиями:
 абсолютное содержание вещества в смеси;
 относительное содержание вещества в смеси.
10
Абсолютное содержание вещества в смеси (m) - это количество вещества ,
выраженное в обычных единицах измерения ( грамм, литр и т. д.)
Относительное содержание вещества в смеси (С) - это отношение абсолютного содержания к общей массе ( объёму ) смеси: вещества , выраженное в
обычных единицах измерения ( грамм, литр и т. д.)
С= ___m___ Часто относительное содержание называют концентрацией,
M
процентным содержанием или долей основного вещества в смеси. Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах.
Для решения задач на смеси и сплавы, на концентрации нужно уметь
рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений
и их систем. Эти задачи решаются арифметически, применением линейного
уравнения и их систем.
Также эти задачи можно решить старинным способом по правилу «креста». Составим схему: Пусть смешали два раствора: первый — массой m1, и
концентрацией с1, и второй — массой m2 и концентрацией с2, получили
раствор массой (m1+m2) и концентрацией с3, причём с1< с3 < с2.
Найдем зависимость масс исходных растворов от их концентраций.
Масса основного вещества в первом растворе равна с1m1, во втором
растворе —c2m2, а в смеси с3(m1+m2) .
Составим равенство с1m1+ c2m2 = с3( m1+m2) и из него получим:
с1m1 - с3 m1 =с3m2 – с2 m2, откуда следует пропорция m1 = с2-с3
m2
с1
с3-с1
с2-с3
c3
c2
с3-с1
2.4.1 Задачи на определение концентрации смеси
Задача 1. В колбе было 140 г 10%-го раствора марганцовки (перманганата
калия). В нее долили 60 г 30%-го раствора марганцовки. Определите
процентное содержание марганцовки в полученном растворе.
11
Условия задач на смеси удобно записывать в виде таблицы, и надо приучать
учащихся к такой записи. Решение. Заполним таблицу по условию задачи
С
М(г)
m(г)
Было
10%, или 0,1 140
0,1*140
Добавили
30%, или 0,3 60
0,3*60
Стало
?
140 + 60
1) 0,1 • 140 + 0,3 • 60 = 32 г — масса марганцовки в смеси;
2) 140 + 60 = 200 г — масса смеси;
32
3) С= --- *100 = 16% —содержание марганцовки в смеси.
200
Ответ: 16%.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2. К 200 г раствора, содержащего 60 % соли, добавили 300 г раствора,
содержащего 50 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе ? Ответ: 54%
Задача 3. К 900 г раствора, содержащего 30 % соли, добавили 300 г раствора,
содержащего 90 % соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе ? Ответ: 45%
Задача 4. К 150 г раствора, содержащего 20 % соли, добавили 350 г раствора,
содержащего 40 % соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе ? Ответ: 34 %.
2.4.2 Задачи на понижение концентрации
Задача 1. Сколько граммов воды нужно добавить к 5%-й йодной настойке
массой 100 г, чтобы концентрация йода уменьшилось до 1%?
Решение. Способ I. 1) 100 • 0,05 = 5 г — масса йода в исходном растворе;
2)
5 г — это 1% йода в полученном растворе. Масса полученного раствора
составляет 100% и равна 500 г;
3)
500 - 100 = 400 г — столько воды надо добавить. Ответ: 400 г.
Способ II. Пусть надо добавить х г воды. Заполним таблицу по условию задачи.
Исходный р-р
Вода
Полученный р-р
С
М(г)
5%, или 0,05 100
0%, или 0
х
1%, или 0,01 х+100
12
m(г)
0,05 .100
0,1(Х+100)
Так как масса йода не изменилась, то составим уравнение:
0,01(х + 100) = 5, 0,01Л: = 4, откуда х = 400. Ответ: 400 г
Задача 2.Сколько граммов 35%-го раствора марганцовки надо добавить к
325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?
Решение. Способ I. Решим задачу по правилу «креста». Составим
схему:
35
10
10
0
25
Значит, 325 г воды составляют 25 частей, а 35%-й раствор — 10 частей,
или 325 : 25 • 10 = 130 г.
Ответ: 130 г.
Задача 3. Морская вода содержит 5% солей. Сколько килограммов чистой
воды нужно добавить к 40 кг морской, чтобы содержание солей в полученном
растворе составило 2%?
Решение. Способ I.
1) 40 • 0,05 = 2 кг солей в 40 кг морской воды;
2) 2 кг солей — 2% в полученном растворе (100%), 2:2х 100 = = 100 кг — масса
полученного раствора;
3)
100 - 40 = 60 кг — масса добавленной воды. Ответ: 60 кг.
Способ II. Содержание солей в новом растворе в 5 = 2,5 раза меньше, чем
2
в исходном. Следовательно, масса нового раствора должна быть в 2,5 раза
больше, то есть 40 • 2,5 = 100 кг. Масса добавленной воды равна 100 - 40 = 60
кг. Ответ: 60 кг.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.Сироп содержит 18% сахара. Сколько килограммов воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%?Ответ: 8 кг.
Задача 5. В морской воде содержится 5% солей. Сколько килограммов пресной
воды надо добавить к 55 кг морской для получения 4%-ного раствора.
Ответ: 13,75 кг.
Задача 6. Апельсиновый сок содержит 12% сахара. Сколько килограммов воды
13
нужно добавить к 5 кг сока, чтобы содержание сахара стало 8%?Ответ:2,5 кг.
Задача 7. Имеется сплав меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди.
Сколько чистого олова надо добавить, что бы получить сплав, в котором
содержится 40% меди? Ответ: 1,5 кг.
2.4.3 Задачи на смешивание растворов разных концентраций
Задача 1. При смешивании 5%-го и 40%-го растворов кислоты получили
140 г 30%-го раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было
взято?
Решение. Способ 1. Пусть взяли х г 5%-го раствора кислоты. Заполним
таблицу по условию задачи:
5%-й
С
0,05
М, (г)
х
т,( г)
0,05Х:
40%-й
0,4
(140-х)
Смесь
0,3
140
Составим и решим уравнение:
0,05Х + 0,4(140 - х) = 0,3 *140,
0,4(140 -х)
0,3 . 140
0,35х=14, х = 40.
Ответ: 40 г 5%-го и 100 г 40%-го.
Способ 2. Пусть взяли х г 5%-го раствора и у г — 40%-го раствора.
Заполним таблицу по условию задачи:
С
5%-й
40%-й
Смесь
М(г)
х
у
140
0,05
0,4
0,3
m(г)
0,05Х:
0,4у
0,3*140
Составим и решим систему уравнений:
{
х + у = 140,
{
0,05Х + 0,4У = 0,3 . 140,
х = 40,
у = 100.
Ответ: 40 г 5%-го и 100 г 40%-го
Способ 3. Решим задачу по правилу «креста». Составим схему.
5
10
30
40
25
14
Значит 140г смеси содержит 10 частей 5% раствора и 25 частей 40%
раствора, всего 35 частей.
1) 140: 35=4(г) – приходится на одну часть,
2) 4*10=40(г)- 5% раствора
3) 4*25= 100 (г)-40% раствора.
Ответ: 40 г 5%-го и 100 г 40%-го
Задача 2. Один раствор содержит 20% соли, а второй — 70%. Сколько
граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 г
50%-го солевого раствора? Ответ: 40 г 20%-го и 60 г 70%-го.
Задача 3. Имеется творог двух сортов Имеется творог двух сортов. Жирный
содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент
жирности получившегося творога, если смешали:
2 кг жирного и 3 кг не-
жирного творога. Ответ: 11%
Задача 4. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 12 кг раствора кислоты
различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор,
содержащий 36% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то
получится раствор, содержащей 39% кислоты. Сколько килограммов кислоты в каждом растворе? Ответ: в первом — 7,2 кг, во втором — 0,72 кг.
Задача 5. Индийский чай дороже грузинского на 25%. В каких пропорциях
нужно смешать индийский чай с грузинским, чтобы получить чай, который
дороже грузинского на 20%? Ответ: 4:1
2.4.4 Задачи на повышение концентрации
Задача 1. Сплав массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно
добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди.
Решение. Пусть добавили х кг меди.
Было
Добавили
Стало
С
45%, или 0,45
60% или 0,6
М(кг)
36
х
36+х
m(кг)
36* 0,45
х
0,6 ( х+36)
0,6(х+36)= 36* 0,45+х, 0,4х=5,4, х=13,5 Ответ:13,5 кг
15
Задача 2. В сплаве олова и меди содержалось 11 кг меди. После того как в
сплав добавили 7,5 кг олова, концентрация олова повысилось на 33%. Какова
первоначальная масса сплава?
Решение. Пусть первоначальная масса сплава х кг, в нем содержалось 11 кг меди и
(х - 11) кг олова. Заполним таблицу по условию задачи:
Было
М, кг
х
т (олова), кг
х-11
Стало
х + 7,5
х-11 + 7,5 =х-3,5
С, %
х-11 100% На 33% меньше
х
х-3,5 100%
х+7,5
Составим и решим уравнение:
х-3,5 100
х-11 100
х
х+7,5
= 33
2
22х +165х -5500=0, х1 =12,5, х2 < 0, что не удовлетворяет условию задачи
Ответ: 12,5 кг
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 3. Имеется два сплава меди. Содержание меди в первом сплаве на
40% меньше, чем во втором. Из них получили новый сплав, содержащий 36%
меди. Определите содержание меди в исходных сплавах, если известно, что в
первом было 6 кг меди, а во втором — 12 кг. Ответ: 20%, 60%
Задача 4. Имеется два сплава меди. Содержание меди в первом сплаве на
40% меньше, чем во втором. Из них получили новый сплав, содержащий 36%
меди. Определите содержание меди в исходных сплавах, если известно, что в
первом было 6 кг меди, а во втором — 12 кг.
3.Заключение.
Тему «Проценты» нельзя отнести к легко усваиваемым, её традиционное
изучение сосредоточено в строгих временных рамках курса 5-6 классов, что
не позволяет расширить спектр практических приложений и полноценно учитывать возрастные возможности учащихся в формировании ряда важных практических умений в работе с процентами. С целью формирования у школьников осознанного отношения к практическому применению процентов в различных сферах деятельности человека, данный материал может быть использован на кружковых занятиях в основной и элективных занятиях в старшей
школе.
16
4.Литература
1. Боревский Л.Я. «Курс математики» // Математика. Приложение к газете
«Первое сентября», № 9- 2002
2.Башарин Г. П. « Элементы финансовой математики»- // Математика.
Приложение к газете «Первое сентября», № 27- 1995
3. Далингер В.А.Текстовые задачи на проценты и методика обучения
учащихся их решению Электронный научный журнал «Вестник Омского
государственного педагогического университета»Выпуск 2006 ▪ ww.omsk.edu
3. Журнал « Математика в школе»- №5- 1998г
4. Журнал « Математика в школе»- №3- 2006 г.
5.ЛаппоЛ.Д. Математика. ЕГЭ / Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов, М.А. Попов. - М.:
Экзамен, 2005.
6.Прокопенко Н.И. «Задачи на смеси и сплавы» М: Чистые пруды, 2010.32с.
7. Симонов, А.С. Проценты и банковские расчеты//Математика в школе.1998,
№5
8. Шевкин А. В. Обучение решению текстовых задач в 5−6 классах: Книга
для учителя. М.: «Русское слово».2002г.,207с.
17
18