Ненапряженный путь составляет 11 дней. Т.е. удачно

НОУ СОШ «Росинка»
Ох, уж эти графы… Или о некоторых вариантах
их применения
Исследовательская работа
Автор работы Свистунов
Никита Владимирович,
8 класс
Руководитель работы: Войнова
Татьяна Олеговна.,
учитель математики
НОУ СОШ «Росинка»
Москва
2011
2
Оглавление
Введение
3
Глава 1. Знакомимся с графами.
1.1 История графов. Основные понятия из теории графов.
7
1.2 Некоторые известные задачи, решаемые с помощью графов.
11
Выводы
16
Глава 2. Исследование возможности применения теории графов в
различных областях повседневной жизни.
2.1 Описание и организация методов исследования.
2.1.1.Генеалогическое древо – один из способов применения теории
графов
2.1.2 Сетевое планирование – возможность оптимизации рабочего
времени.
17
2.2 Описание результатов исследования
21
Выводы
Заключение
25
Список источников информации
27
Приложения.
28
19
20
26
3
Введение
Именно математика дает надежнейшие правила:
кто им следует – тому не опасен обман чувств. (Л. Эйлер)
Графы повсюду!
Нет, в моей исследовательской работе речь не пойдет о доблестных
рыцарях средневековья, тамплиерах и короле Артуре.
Графами венгерский математик Денеш Кениг (_Koenig_Denes 18841944) назвал схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков
прямых или кривых. Исторически графы стали предметом изучения довольно
недавно. Считается, что первым (или одним из первых) их стал исследовать
Л. Эйлер (L. Euler). В 30-х годах XVIII века он опубликовал работу, в
которой предложил решение знаменитой задачи о Кенигсбергских мостах (о
ней я расскажу в первой главе моего исследования).
Подозреваю, что если только вы не математик, специализирующийся в
области комбинаторики, вам редко приходится задумываться о графах в
своей повседневной жизни. Однако легко доказать, что в той или иной форме
они окружают каждого из нас, просто мы не умеем их узнавать за маской
обыденности. Для этого придется привести несколько примеров.
Пожалуй, самым впечатляющим примером графа в современном мире
выступает Интернет. Да-да, именно Интернет со всем его многообразием и
сложностью форм является типичным графом. Его узлы - это адреса
страничек и файлов, находящихся в сети, а ребра - гиперссылки,
связывающие их вместе. С другой стороны, компьютеры, связанные вместе и
образующие Всемирную паутину, также можно рассматривать как граф.
Другая сложная система, появившаяся гораздо раньше Интернета глобальная общемировая телефонная сеть - также является графом. Если мы
4
будем рассматривать все телефонные аппараты (а вернее, номера,
соответствующие им) как узлы, а звонки, совершаемые с одного телефонного
аппарата на другой, - как ребра, то получим громадную, сложную сеть,
истинные размеры которой, наверное, не каждый сможет себе представить.
Вот такие примеры графов повседневной жизни и побудили меня взяться за
исследовательскую работу под названием «Ох, уж эти графы (или о
некоторых возможностях их применения)».
Актуальность моей работы состоит в необходимости привлечения
методов дискретной математики и ,в частности, теории графов для решения
целого ряда практических задач: составления расписаний, туристических
схем, а также в некоторых психологических или социологических
исследованиях. Работа над проектом расширит мое представление о графах
и поможет выработать умение оптимизировать свое рабочее время или
составлять бизнес-план.
Учебное исследование реализуется в предметных рамках математики
(дискретной математики, топографии), психологии . Исследование
может
быть квалифицировано как информационное и прикладное, внутришкольное,
долгосрочное.
Объектом исследования является математические графы.
Предметом исследования являются графы как способ решения целого
ряда задач практической направленности.
Я выдвинул в качестве гипотезы предположение о том, что графы,
возможно, применять в различных аспектах повседневной жизни, таких
далеких от математики, как например, составление расписаний, планов по
оптимизации рабочего времени, построение генеалогических конструкций,
сетевое планирование в медицине и режиссуре.
5
Для доказательства гипотезы я поставил следующую цель: расширить
представление о графах и попробовать применить полученные знания на
практике.
Для реализации поставленной цели, мною были выдвинуты
следующие задачи:
1.Теоретические.
 Изучить литературу по теории графов.
 Научиться решать некоторые задачи.
 Изучить работу по составлению расписания

.
2. Практические.
 Создать генеалогическое древо моей семьи.
 Создать сетевой график лечения кардиобольного.
 Создать сетевой график работы над расписанием.
 Взять интервью у режиссера и врача.
 Создать модель работы над постановкой пьесой.
Для решения этих задач были использованы следующие методы:
1. Теоретические.
 Анализ источников информации.
 Классификация графов.
2. Эмпирические.
 Моделирование генеалогического древа
 Интервьюирование.
 Моделирование процесса работы над постановкой пьесы.
6
 Моделирование процесса лечения больного с помощью методов
сетевого планирования.
 Написание рекомендаций по оптимизации процесса работы над
постановкой спектакля.
 Написание рекомендаций для учащихся по оптимизации работы по
подготовке к экзамену.
Итоги
исследования
могут
помочь
в
составлении
расписаний,
оптимизации выполнения работ различных типов. В этом состоит
практическая значимость работы.
Продуктом проекта станут рекомендации для учащихся 9-11 классов по
подготовке
к
экзаменам,
что
будет
способствовать
психологического настроя учеников перед экзаменами.
улучшению
7
Глава 1. Знакомимся с графами
1.1. История графов. Основные понятия из теории графов
Зарождение
теории
графов
в
XVIII
веке
было
связано
с
математическими головоломками, и довольно долго на учение о графах
смотрели как на несерьезную тему, прикладное значение которой целиком
связано с играми и развлечениями.
Начало теории графов, как математической дисциплины, было положено
Эйлером (1707-1783) в его знаменитом рассуждении о кенигсбергских моста,
которое я приведу во второй части этой главы.
Рис.1 Граф
Однако эта статья Эйлера, датированная 1736
годом, была единственной в течение почти ста лет.
Интерес к проблемам теории графов возродился
около середины 19 столетия и был сосредоточен
главным образом в Англии. Имелось много
причин для такого оживления изучения графов.
Естественные науки оказали свое влияние на это
благодаря исследованиям электрических сетей, моделей кристаллов и
структур молекул. Развитие формальной логики привело к изучению
бинарных отношений в форме графов. Большое число популярных
головоломок поддавалось формулировкам непосредственно в терминах
графов, и это приводило к пониманию, что многие задачи такого рода
содержат некоторое математическое ядро, важность которого выходит за
рамки конкретного вопроса.
Итак, графом (Рис.1) называется набор точек (эти точки называются
вершинами),
некоторые
из
которых
объявляются
смежными
(или
соседними). Считается, что смежные вершины соединены между собой
ребрами (или дугами).
8
Таким образом, ребро определяется парой вершин. Два ребра, у которых
есть общая вершина, также называются смежными (или
соседними).
Граф называется ориентированным (или орграфом) (Рис.
2), если некоторые ребра имеют направление. Это означает,
что в орграфе некоторая вершина может быть соединена с
другой вершиной, а обратного соединения нет. Геометрически
Рис. 2 Орграф
граф часто изображают точками плоскости, причем соседние
вершины
соединены
дугами
(для
орграфа
некоторые
дуги
имеют
направление, что, обычно отмечают стрелкой).
Помимо этого, в теории графов рассматриваются также
мультиграфы (Рис. 3) – это такие графы, в которых могут быть
петли (т. е. некоторая вершина соединена сама с собой ребром)
или некоторые пары вершины могут быть соединены между
собой несколькими ребрами.
Рис. 3
Мультиграф
Маршрут в графе – это последовательность соседних (смежных)
вершин. Ясно, что можно определить маршрут и как последовательность
смежных ребер (в этом случае ребра приобретают направление). Заметим,
что в маршруте могут повторяться вершины, но не ребра. Маршрут
называется циклом, если в нем первая вершина совпадает с последней.
Путь в графе (иногда говорят простой путь) – это маршрут без
повторения вершин (а значит, и ребер).
Контур – это цикл без повторения вершин, за исключением первой
вершины, совпадающей с последней.
Рис.4 Последовательность вершин
Последовательности вершин (рис. 4):
1–2–3–4–2–5 не простой путь, а
маршрут; последовательности 1–2–3–
4–7–5 и 1–2–5 – простые пути; 1–2–3–
9
4–2–5–6–1 –это цикл (но не контур); 1–2–5–6–1 – это контур.
Если имеется некоторый маршрут из вершины t в вершину s, заданный в
виде последовательности ребер, которые в этом случае приобрели
направление, и если в этот маршрут входит ребро, соединяющее вершины
(i, j), то это ребро по отношению к вершине i называют иногда прямой
дугой, а по отношению к вершине j – обратной дугой (или обратным
ребром).
Граф называется связным, если любые две его вершины можно
соединить маршрутом (или путем). На рис. 4 изображен связный граф.
Ребро, при удалении которого граф перестает быть связным, иногда
называют мостом или перешейком.
Следующее определение имеет смысл только для графов или
мультиграфов без петель (но не для орграфов).
Степень вершины – это число ребер, входящих в эту вершину.
Вершина называется висячей, если ее степень равна единице.
Граф (или мультиграф без петель) называется эйлеровым, если
существует цикл без повторения ребер (такой цикл называют эйлеровым),
Рис. 5
а) эйлеров граф
б) полуэйлеров граф
в) граф, не являющийся
ни эйлеровым, ни
полуэйлеровым
обходящий все вершины графа. Граф называется полуэйлеровым, если
существует маршрут без повторения ребер (эйлеров путь), обходящий все
ребра графа ровно один раз. На рис. 5 изображены: а – эйлеров граф, б –
полуэйлеров граф и в – граф, не являющийся ни эйлеровым, ни
полуэйлеровым (люди старшего поколения знают, что в школах раньше было
10
много загадок типа “можно ли нарисовать данную фигуру не отрывая ручку
от бумаги”, что и соответствует эйлерову или полуэйлерову графу).
В теории графов, как и в любом другом разделе математики,
формулируются и доказываются теоремы. Многие из них мне еще
недоступны, однако есть и вполне понятные. Как,
например, лемма о
рукопожатиях (handshaking lemma) [7 с. 52] .
Название этой леммы связано с тем, что эта лемма отвечает на
следующий вопрос. У вас собрались гости. Некоторые из них здороваются
друг с другом посредством рукопожатий. Какими свойствами обладает число
таких людей?
Лемма о рукопожатиях. Число вершин в графе (или мультиграфе без
петель), имеющих нечетную степень, четно.
Доказательство леммы. Заметим, что сумма степеней всех вершин в
графе (или мультиграфе без петель) должна быть четной. Это следует из
того, что если взять вершины, вообще не связанные друг с другом, то сумма
степеней этих вершин равна нулю. Прибавляя любое ребро, которое
связывает две вершины, увеличиваем сумму всех степеней на 2 единицы.
Таким образом, сумма всех степеней вершин четна. Удаляя из этой суммы
степени четных вершин, получим, что сумма степеней нечетных вершин,
должна быть четной. Это значит, что само число таких вершин должно быть
четным. Лемма доказана.
С точки зрения задачи о рукопожатиях это означает, что число гостей,
которые поздоровались за руку нечетное число раз, должно быть четным.
11
1.2. Некоторые известные задачи, решаемые с помощью
графов.
Вернемся к задаче о Кенигсбергских мостах.
На рис. 6 представлен схематический план центральной части города
Кенигсберг (ныне Калининград), включающий два берега реки Перголя, два
острова в ней и семь соединяющих мостов. Задача состоит в том, чтобы
обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и
вернуться в исходную точку.
рис. 1
Рис. 6 Схематический план
центральной части города Кенигсберг
(ныне Калининград)
Вот перевод латинского текста,
который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру
Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года [9, с. 152]:
«Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в
городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь
мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их,
проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было
сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не
доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался
мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны
ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство... После долгих
размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном
12
доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода
тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое
угодно число и как угодно расположенных мостов или не может».
«Кенигсбергские же мосты расположены так, что их можно
представить на следующем рисунке [рис.7], на котором A обозначает
остров, а B, C и D – части континента, отделенные друг от друга рукавами
реки. Семь мостов обозначены буквами a, b, c, d, e, f, g» .
Рис.7
Схема Кёнигсберских мостов
Так можно ли обойти все Кенигсбергские мосты, проходя только один
раз через каждый из этих мостов?
Простой путь решения задачи, казалось бы, такой: сделать все
возможные пробы таких переходов, т. е. перечислить все возможные пути, и
затем рассмотреть, какой или какие из них удовлетворяют условиям вопроса.
Но, очевидно, что даже в случае только семи мостов приходится делать
слишком много таких проб. А при увеличении числа мостов такой способ
решения практически совершенно немыслим. Да, кроме того, при одном и
том же числе мостов задача изменяется в зависимости еще от расположения
этих мостов.
Поэтому, чтобы найти ответ, продолжим письмо Эйлера и посмотрим,
какое же правило он нашел. Итак,
«Вопрос состоит в том, чтобы определить, можно ли обойти все эти
семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя. Мое
правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего,
13
нужно смотреть, сколько есть участков, разделенных водой, – таких, у
которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В
данном примере таких участков четыре – A, B,
C, D.»
Ход решения задачи будем представлять в
виде графа, где вершины – острова и берега, а
ребра – мосты (рис 8).
Рис. 8 Граф Кёнигсбергских
мостов.
«Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим
отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку
A ведут пять мостов, а к остальным – по три моста».
То
есть
нам
нужно
определить
степень каждой вершины и узнать какие
вершины
четные,
а
какие
нечетные.
Подпишем степени вершин в кружочках. И
посчитаем количество нечетных вершин.
Нечетные вершины: А, B, C, D (Рис. 9).
«Когда это определено, применяем
следующее правило: если все вершины
имеют четную степень, то тогда обход, о
котором идет речь, возможен, и начать
Рис.9 Граф Кёнигсбергских
мостов. Этот граф не является
эйлеровым, поэтому решения не
существует.
этот обход можно с любого участка. Если же из этих вершин две
нечетные, то и тогда можно совершить переход, как это предписано, но
только начало обхода непременно должно быть взято в одной из этих двух
вершин, а конец обхода непременно должен быть во второй нечетной
вершине. Если, наконец, больше двух нечетных вершин, то тогда такое
движение вообще невозможно...».
Итак, используя правило Леонарда Эйлера, мы можем сделать ВЫВОД:
Так как количество нечетных вершин в графе равно 4, а это > 2, то обойти все
14
Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих
мостов нельзя.
Из предыдущих рассуждений мы получаем общий прием решения
каждой подобной задачи о мостах. Во всяком случае, мы можем сразу
убедиться в возможности или невозможности решения.
1. Нарисовать граф, где вершины – острова и берега, а ребра – мосты.
2. Определить степень каждой вершины и подписать возле нее.
3. Посчитать количество нечетных вершин.
4. Обход возможен:
- если все вершины – четные, и его можно начать с любого участка.
- если 2 вершины – нечетные, но его нужно начать с одной из нечетных
местностей.
5. Обход невозможен, если нечетных вершин больше 2.
6. Сделать ВЫВОД.
7. Указать Начало и Конец пути.
Не менее известной задачей, решаемой с помощью теории графов,
является задача о четырех красках [5].
Рис. 10 Задача о четырёх
красках
Разбиение
на
плоскости
на
непересекающиеся области называется картой.
Области на карте называются соседними, если
они имеют общую границу. Задача состоит в
раскрашивании карты таким образом, чтобы
никакие
две
соседние
области
закрашены одним цветом (рис. 10).
не
были
С конца
позапрошлого века известна гипотеза, что для
этого достаточно четырех красок. В 1976 году
Аппель и Хейкен опубликовали решение задачи
о четырех красках, которое базировалось на
переборе вариантов с помощью компьютера. Решение этой задачи
15
«программным
путем»
явилось
прецедентом,
породившим
бурную
дискуссию, которая отнюдь не закончена. Суть опубликованного решения
состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000)
типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и
показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был
выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера.
Проверить «вручную» полученное решение невозможно – объем перебора
выходит далеко за рамки человеческих возможностей
16
Выводы
 Начало теории
графов как математической дисциплины было
положено Эйлером(1707-1783)
в
его знаменитом рассуждении о
кенигсбергских мостах.

Граф - набор точек (эти точки называются вершинами), некоторые
из которых объявляются смежными (или соседними). Считается, что
смежные вершины соединены между собой ребрами (или дугами).
 Маршрут в графе – это последовательность соседних (смежных)
вершин.
Ясно,
что
можно
определить
маршрут
и
как
последовательность смежных ребер (в этом случае ребра приобретают
направление). Заметим, что в маршруте могут повторяться вершины,
но не ребра. Маршрут называется циклом, если в нем первая вершина
совпадает с последней.
 Путь в графе (иногда говорят простой путь) – это маршрут без
повторения вершин (а значит, и ребер).
 Контур – это цикл без повторения вершин, за исключением первой
вершины, совпадающей с последней.
 Самые известные задачи, решаемые с помощью теории графов, – это
задача о кенигсбергских мостах и задача о четырех красках.
В следующей главе я расскажу о своих исследованиях и моделях,
созданных с помощью теории графов.
17
Глава 2. Исследование возможности применения теории
графов в различных областях повседневной жизни
2.1 Описание и организация методов исследования
В исследовательской части работы были поставлены следующие задачи:
Использовать граф для построения генеалогического древа своей
семьи.
Исследовать некоторые аспекты работы врача и режиссера.
Провести интервьюирование с вышеперечисленными людьми.
Создать модели сетевых графов, отражающих работу этих людей.
Изучить модели, оптимизировать работу.
Базой
исследования
являются
врач-кардиолог,
режиссер
театра
и
специалисты в данной области исследования.
Для проведения исследования (эксперимента) использовался следующий
комплекс методов и методик:
1) Знаковое моделирование – это моделирование, использующее в
качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы,
графики, чертежи, формулы, набор символов и т.д.
2) Структурирование интервью – сбор информации,
проведение
беседы с респондентом, основанной на непосредственном, личном
контакте исследователем и респондентом. Респонденты: режиссёр и
врач. Использование предварительно составленного перечня вопросов.
3) Обобщение
результатов
теоретического
и
эмпирического
исследования. Обобщение информации - это способ познания
посредством определения общих существенных признаков, объектов.
18
Последовательность действий в исследовании была следующей:
1) Создать модели «Древо жизни» и сетевого графа
2) Определить круг специалистов для исследования
3) Исследовать некоторые аспекты работы специалистов
4) Провести интервьюирование
5) Создать модели графов
6) Изучить модели
7) Оптимизировать работу специалистов по некоторым параметрам с
помощью сетевого графа
Для результатов исследования мы использовали следующие формы записей:
1) Для интервью: таблица с вопросами и ответами на них.
2) Для моделирования: создание рисунков
После проведения исследования я приступил к его первичной обработке,
анализу и представлению результатов исследования:
Построил образец графа «Древо жизни»
Создал графы с помощью полученной информации из интервью
Сделал выводы
Написал рекомендации по оптимизации рабочего времени и для
интервьюируемых специалистов, и для моих соучеников
Итогами и апробацией результатов исследования стали:
Проведение классного часа с выдачей рекомендаций по организации
самостоятельной работы
Создание брошюры с перечнем рекомендаций
19
2.1.1. Генеалогическое древо – один из способов применения
теории графов
Представьте, что за одним столом собрались несколько больших семей.
Каждый гость хочет рассказать о своей семье побольше. Через несколько
минут, скорее всего, у слушателей голова пойдет кругом от обилия имен,
отчеств, фамилий, дат рождения и другой информации, которой захочется
поделиться каждому гостю
с собравшимися. И здесь на помощь опять
приходят графы. С их помощью можно построить генеалогическое древо, в
котором при желании указать всю многочисленную родню до седьмого
колена.
В приложении 1 приведено генеалогическое древо моей семьи. Я
ограничился только близкими родственниками, чтобы не перегружать
рисунок.
Граф, используемый в генеалогическом древе, не содержит циклов.
Деревья – очень удобный инструмент наглядного представления
информации самого разного вида.
20
2.1.2 Сетевое планирование – возможность оптимизации рабочего
времени
Комплекс мероприятий или работ, которые необходимы для достижения
некоторой цели, называют проектом.
Цели могут быть весьма и весьма
разнообразными. Это и строительство дома, и лечение больного (в
стационаре или амбулаторно), проведение школьного праздника, работа над
сочинением (контрольной работой), сдача ЕГЭ или ГИА по тому или иному
предмету.
Можно говорить о плане работ на час, день, неделю, месяц и т.д.
Комплекс работ разделяется на отдельные работы. В качестве примеров
я взял интервью у двух людей очень разных профессий: врача-кардиолога и
режиссера. В своем интервью я задал им один и тот тоже вопрос: «Как б Вы
составили план лечения больного (постановки спектакля)?». После анализа
ответов я пришел к выводу, что любая из перечисленных двумя
специалистами работ (диагностика – см. приложение 2, план работы над
постановкой спектакля – см. приложение 4) требует определенного времени.
Причем некоторые могут производиться одновременно, а для некоторых
требуется только последовательное выполнение.
Началу выполнения следующего этапа (следующей работы) всегда
предшествует некоторый итог выполнения работы предыдущей.
Выполнение всего комплекса мероприятий можно представить в виде
ориентированного графа. В этом случае итог выполнения одной работы или
начало выполнения следующей можно сопоставить вершину графа, а любую
выполняемую работу принять за ориентированное ребро. Если каждому
ребру в графе поставить в соответствие время выполнения работы, то мы
получим взвешенный граф, а само число будет называться весом ребра.
Иначе такой граф называют сетевым графиком. Основная цель сетевого
планирования – возможность наглядного представления всего комплекса
21
работ
и
оптимизация
выполнения
этого
комплекса
по
различным
параметрам: временным, трудоемкости, энергоемкости и т.д.
При построении сетевых графиков важно соблюдать некоторые правила.
А именно:
1. Сетевой график не может иметь тупиков (кроме последней
работы). Если тупик возник, то такая работа была ненужной.
2. В сетевом графике все работы должны иметь «предшественников»
(крое самой первой).
3. Конечно же, в сетевом графике не может быть замкнутых
контуров.
2.2 Описание результатов исследования
Построив сетевой график, можно заняться оптимизацией процесса. Для
этого вводят важную характеристику – путь. Путь может быть полным (от
исходного до завершающего событий), между некоторыми событиями, путь
от начального события до некоторого данного, путь от некоторого данного
события до конечного.
Построим сетевой график для предоставленного врачом-кардиологом
плана обследования и лечения больного в стационаре и попробуем
вычислить некоторые основные его характеристики (сетевой график см.
приложение 3)
К основным планируемым параметрам в сетевых моделях относятся
такие временные показатели, как: продолжительность выполнения работ,
критический путь, резервы времени свершения событий и др. Важнейшим
параметром любого сетевого графика является критический путь. Путём в
сетевом графике называется всякая последовательность работ (стрелок),
22
связывающая между
собой несколько событий. Путь, соединяющий
исходное и завершающее событие сети, считается полным, а все другие —
неполными. Каждый путь характеризуется своей продолжительностью,
которая равняется сумме длительностей составляющих его работ. Полный
путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим
путем. Стало быть, критический путь — это наиболее протяженная по
времени последовательная цепочка работ, ведущих от исходного к
завершающему событию.
Работы и события, лежащие на критическом пути, принято также
называть критическими. Полная продолжительность всего комплекса работ,
отображенных на сетевом графике, принимается всегда равной критическому
пути. Изменение продолжительности любой работы, проходящей через
критический путь, соответствующим образом сокращает или удлиняет не
только время выполнения промежуточного события, но и всего срока
наступления завершающего (конечного) события, т.е. планируемые сроки
осуществления проектируемых работ.
Поэтому в сетевом планировании принято выделять напряженные и
ненапряженные пути. Напряженный путь — это критический путь.
Ненапряженные пути — это полные пути сетевого графика, которые по
своей продолжительности меньше критического пути. Ненапряженные пути
имеют на участках, не совпадающих с критическими работами, резервы
времени свершения событий. Это значит, что задержка в выполнении тех
событий, которые не проходят через критический путь, до определенного
этими резервами времени не будет оказывать влияния на расчетные или
плановые сроки завершения всего проекта работ. Критические пути такими
резервами времени не располагают. Это означает, если расчетное время
свершения какого-либо события, находящегося на критическом пути, будет
задержано, то этим самым будут отодвинуты на этот же период планируемые
сроки наступления завершающего события.
23
Резерв времени выполнения события — это такой промежуток времени,
на который может быть отсрочено свершение этого события без нарушения
планируемых сетевым графиком сроков окончания проектных работ.
Резерв времени свершения каждого события определяется разностью
между поздним и ранним сроками выполнения этого события
Критический путь в сетевой модели, условно названной «Диагностика»
равен 15 дням.
Это напряженный путь. Однако видно, что при «удачном стечении
обстоятельств», как выразился врач, существует и ненапряженный путь, не
ущемляющий лечения пациента. К таким обстоятельствам относятся, к
примеру,
наличие
свободных
талонов
на
ЭХОКГ,
холтеровское
мониторирование и на консультации к приходящим в отделение врачам.
Ненапряженный путь составляет 11 дней. Т.е. удачно отлаженное
расписание работы всех служб и отделений больницы позволяет существенно
уменьшить число койко-дней, что ведет к экономии денежных средств
больницы.
Резерв времени в зависимости от участков колеблется от суток до 5
суток.
Далее рассмотрим сетевую модель, которую мы условно назвали
«Подготовка к спектаклю» (см. приложение 5). Критический путь в этой
сетевой модели составляет 22 недели. Это путь «драматургия (3 недели)постановка (2 месяца)-создание костюмов (3 недели)-декорации (3 недели)музыка (2 недели)-спецэффекты (3 недели). Кроме напряженных путей в
сетевых графиках существуют подкритические пути, ближайшие по
продолжительности к критическому. Они могут стать критическими, если
сократится время выполнения работ на критическом пути, а, значит, они
потенциально опасны с точки зрения соблюдения установленных планом
работ. В нашем случае подкритический путь составляет 18 недель: путь
«драматургия (3 недели)-оформление спектакля (1 месяц)-создание костюмов
(3 недели)-декорации (3 недели)-музыка (2 недели)-спецэффекты (3 недели).
24
Т.е. если, к примеру этап постановки сократится с 2 месяцев до одного
месяца, то критических путей станет 2.
После построения сетевой модели можно приступить к ее оптимизации.
Самый простой вариант оптимизации – по критерию минимизации затрат
времени на выполнение отдельных работ или всего комплекса работ.
Для этого введем коэффициент напряженности полного пути –
отношение длительности любого полного пути к критическому
К=Li/Lкр
Рассчитаем напряженности имеющихся у нас путей.
1. Напряженность рассмотренного выше подкритического пути равна
9/11.
2. Путь «Драматургия-актеры-кастинг-найм сотрудников» составляет 5
недель. Следовательно, его напряженность равна 5/22.
3. Путь «Драматургия-актеры и сотрудники-технические и обычные
репитиции» составляет 13 недель, а его нарпяженность равна 13/22.
Анализ
коэффициентов
напряженностей
позволяет
высказать
предположение о возможном сокращении критического пути почти в 4 раза.
Однако для этого нужно в несколько раз увеличить штат сотрудников для
работы на том или ином этапе.
Построенную
мною
сетевую
модель
вместе
с
рассчитанными
коэффициентами напряженности я передал режиссеру нашего школьного
театра.
25
Выводы
Итак, поближе познакомившись с графами, я понял, что они носят
многофункциональный характер, что позволяет использовать их в различных
областях науки и повседневной жизни. В частности, мною было
подготовлено выступление на классном часе перед учащимися 9-11 классов с
рекомендациями по оптимизации их работы при подготовке к ЕГЭ и ГИА.
Думаю, что это позволит снизить психологическую напряженность, повысит
работоспособность и , наоборот, понизит утомляемость.
26
Заключение
Данная работа посвящена математическим графам, их различности, и
обширности в применении. Мы узнали, что такое граф, маршрут в графе,
путь в графе, контур графа, рассмотрели некоторые понятия, связанные с
графами. Также вспомнили о их появление, развитии, и влиянии на истории и
математику.
Не
забыли
разобрать
разные
задачи
(и
не
только
математические, а и географические, и логические, и компьютерные),
решаемые
с
помощью
графов.
Задачи
показали
нам,
что
графы
многофункциональны и интересны для исследования.
Результаты нашего исследования показали, что графы разнообразны и
многофункциональны. Мы достигли наших целей и подтвердили гипотезу.
Таким образом, мы доказали гипотезу о том, что графы, возможно,
применять в различных аспектах повседневной жизни, таких далеких от
математики, как например, составление расписаний, планов по оптимизации
рабочего времени, построение генеалогических конструкций, изучение
медицины и режиссуры.
Полученные результаты исследования дают возможность утверждать,
что
продукт
исследовательской
работы
является
актуальным
и
востребованным для использование впоследствии в более объёмном и
масштабном проекте. С помощью графов вы сможете оптимизировать своё
время и работу или упростить её.
27
Список источников информации
1. Березина, Л. Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. — М.:
Просвещение, 1979 - 143 с.
2. Берж, К. Теория графов и ее приложения.- М.: ИЛ, 1962. 320c.
3. Барр С. Россыпи головоломок.- М. «Мир». 1987.-415 с.
4. Болл, У, Математические эссе и развлечения, – М. «Мир», 1986.
5. Гарднер М. Проблема четырёх красок // Математические головоломки
и развлечения = Mathematical puzzles and diversions. — 2-е изд. — М.:
«Мир», 1999. — С. 389-390. — 447 с.
6. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. – СПБ.: Лань,
МИК, 1996.- 125 с.
7. Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов.- М.ТетраСистемс-2001-144 с.
8. Топология графов // Квант. – 2005. - №3.
9. Эйлер Л. Письма к ученым. - Составители: Т.Н.Кладо. Ю.X.Копелевич,
Т.А.Лукина. Под редакцией академика В.И.Смирнов М.-Л.:
Издательство Академии Наук СССР, 1963- 323 с.
10.Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. Тема «Графы». – М.:
Аванта, 1998.
11.Интернет источник Википедия – Wikipedia
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%
B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2
28
Приложение 1
Свистунов
Василий
Алексеев
ич
Верясова
Ксения
Ивановна
Павлов
Иван
Евстафьев
ич
Свистунов
Николай
Васильевич
Ясенюк
Любовь
Макаровн
а
Бабаев
Георгий
Иванович
Свистунов
Владимир
Николаевич
Пискарёв
Алексей
Владимир
ович
Пискарёв
Виктор
Алексеевич
Бабаева
Елена
Георгиевна
Павлова
Евдокия
Ивановна
Свистунов
Степан
Владимиров
ич
Леонова
Мария
Андреевна
Пискарёва
Татьяна
Викторовна
Свистунов
Никита
Владимиров
ич
Свистунов
Николай
Владимиров
ич
Хорошило
ва
Антонина
Павловна
29
Приложение 2
Диагностика
Мероприятия
Отделение кардиологии/терапии
1-е сутки
2-3-и 4-10-е 11сутки сутки 15-е
сутки
1. Физикальные методы исследования
Обязательные
+ (см.
1.1 Сбор жалоб и анамнеза
Обоснование
плана ведения
больных)
+ (см.
1.2 Стандартное клиническое
обследование
Обоснование
плана ведения
больных)
1.3 Офтальмологическое
обследование
Дополнительные
+
1.4 Консультация невролога
1.5 Консультация эндокринолога
1.6 Консультация нефролога
1.7 Консультация уролога
1.8 Консультация физиотерапевта
1.9 Консультация врача ЛФК
2. Функциональные методы исследования
Обязательные
+
2.1 Электрокардиография в 12
отведениях
2.2 Эхокардиография
Дополнительные
2.3 Суточное мониторирование
показателей АД
2.4 Электрокардиографическое
мониторирование по Холтеру
2.5 Электрокардиографический
стресс-тест
2.6 Динамическая
нефросцинтиграфия
3. Лабораторные методы исследования
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
30
Обязательные
+
3.1 Общий анализ крови
+
3.2 Биохимический анализ крови:
глюкоза, креатинин, мочевина,
АСТ, АЛТ, общий белок, калий,
натрий, магний
+
3.3 Определение HBs-Аг, титра
суммарных антител к вирусу
гепатита С, антител к ВИЧ-1,
ВИЧ-2, к Treponema pallidum
(РПГА или ИФА)
3.4 Липидный профиль:
триглицериды, общий
холестерин, холестерин ЛПНП,
холестерин ЛПВП
+
3.5 Общий анализ мочи
Дополнительные
+
3.6 Коагулограмма:
протромбиновое время, АЧТВ,
фибриноген, тромбиновое
время, МНО
3.7 Определение содержания
мочевой кислоты
3.8 Определение содержания Среактивного белка
3.9 Исследование клубочковой
фильтрации (проба Реберга)
4. Методы визуализации
Обязательные
4.1 УЗИ органов брюшной полости
и забрюшинного пространства
4.2 Ультразвуковое дуплексное
сканирование брахиоцефальных
артерий
+
4.3 Рентгенография органов
грудной клетки
Дополнительные
4.4 КТ головного мозга
+
+
+
+
+
+
+
Сбор жалоб
и анамнеза
2-3-и
сутки
Стандартное
клиническое
обследование
31
Стандартное
клиническое
обследование
4-10-е
сутки
Стандартное
клиническое
обследование
Офтальмологическое
обследование
Консультация
эндокринолога
Консультаци
я невролога
Консультация
уролога
Электрокардиографиче
ское мониторирование
по Холтеру
Консультация уролога
Электрокард
иография в
12
отведениях
Общий
анализ крови
Динамическая
нефросцинтиграфия
Консультация
физиотерапевта
Консультация врача
ЛФК
Эхокардиография
Биохимическ
ий анализ
крови
Определение HBsАг.
Общий
анализ мочи
Коагулограмма
Рентгеногра
фия органов
грудной
клетки
Суточное
мониторирование
показателей АД
Электрокардиографичес
кий стресс-тест
Липидный
профиль
УЗИ органов брюшной полости
и забрюшинного пространства
Ультразвуковое сканирование
брахиоцефальных артерий
11-15-е
сутки
Стандартное
клиническое
обследование
32
Приложение 4
План работы над постановкой спектакля
1. Драматургия – тема
2. Лицензия на постановку
3. Оформление спектакля
 Создание костюмов
 Декорации
 Музыка
 Спецэффекты
4. Постановка
 Обычные репетиции и техническая репетиция
 Генеральная репетиция
5. Актёры и сотрудники для создания спектакля
 Кастинг
o Чтение ролей
 Наём сотрудников
6. План действий
 Монтажный лист для операторов и звукорежиссёров
 Партитура выходов
7. Реклама, афиши
33
Приложение 5
«Подготовка к спектаклю»
1 неделя – 3 недели
Драматургия - тема
1 – 2 дня
Лицензия на
постановку
1 месяц
2- 3 дня
Оформление
спектакля
1 месяц
2 месяца
1 – 2 недели
Постановка
2 - 3 недели
Создание
костюмов
2 недели
Декорации
2 недели
Музыка
2 – 3 недели
Спецэффекты
Актёры и
сотрудники для
создания спектакля
Реклама,
афиши
Партитура
выходов
Монтажный лист
для операторов и
звукорежиссёров
2 месяца
Техническая
репетиция и
обычные
репетиции
План действий
1 – 1,5 недели
2- 3 дня
Чтение
ролей
1 день
Кастинг
1 – 1,5 недели
Наём
сотрудников
Генеральная
репетиция
Действие
34