

(11 класс, модуль 8, урок 3)
Урок 3. Построение графиков функций
План урока
 3.1. Основные этапы исследования функции
 3.2. Исследование и построение графика функции f ( x)  ( x  1)( x  1)2
( x  1)3
( x  1) 2
графика
функции
 3.3. Исследование и построение графика функции f ( x) 
 3.4. Исследование
и
построение
f ( x)  2 x  x  1  x  1
 3.5. Симметричность графика функции относительно вертикальной
прямой или относительно точки
 Тесты
 Домашнее задание
2
Цели урока:
На этом уроке рассматриваются примеры построения графиков
функций на основе проведенного исследования, этапы которого
рассматривались в предыдущем уроке. Построение почти точного графика
– непростая работа, требующая большого объема вычислений и
невыполнимая без мощных вычислительных средств, например,
компьютера. Целью является изображение примерного вида графика,
близкого к реальному. В процессе исследования следует обратить особое
внимание на проверку согласованности результатов различных этапов
исследования.
3.1. Основные этапы исследования функции
Построение графика функции f ( x) производится на основе ее
исследования. Основные этапы исследования функции рассмотрены в
предыдущем параграфе. Перечислим их еще раз:
1) найти область определения;
2) установить промежутки непрерывности;
3) найти промежутки знакопостоянства и нули функции;
4) исследовать поведение функции вблизи граничных точек области
определения;
5) установить промежутки монотонности;
6) найти точки экстремума.
Исследование упрощается, если функция имеет характерные
особенности: четность, нечетность, периодичность.
Когда функция f ( x) четна, достаточно провести ее исследование при
x  0 , затем построить часть графика при x  0 и симметрично отразить эту
часть относительно оси ординат.
Когда функция нечетна, также достаточно построить часть ее графика
при x  0 и симметрично отразить эту часть относительно начала системы
координат.
Когда функция периодична, достаточно построить часть ее графика
на отрезке длиной в период, после чего с помощью параллельного переноса
изобразить весь график.
Вопрос. На рисунке 1 изображена
f ( x)  sin 2 x . Какой вид имеет весь график?
часть
графика
функции
3.2. Исследование и построение графика функции f ( x)  ( x  1)( x  1)2
Проведем
исследование
и
построим
график
функции
2
f ( x)  ( x  1)( x  1) .
I. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
II. f ( x)  0 при x  1 , x  1 ; f ( x)  0 при x  (11)  (1) ;
f ( x)  0 при x  (1) .
III. f ( x)  (( x  1)( x  1)2 )  ( x  1)  ( x  1)2  ( x  1)(( x  1)2 ) 
 ( x  1)2  2( x  1)( x  1)  ( x  1)(3x  1) ; f ( x )  0 при x3  1 , x4   1 ;
3
f ( x)  0 при x   1  (1) ; f ( x )  0 при x   1 1 . Отсюда
3
3
следует:
(1)
1
x
( 13 )
 13
( 13 1)
0
0
f ( x )
0
0
0
f ( x)
максимум
минимум
IV. f ( 1 )  32  1 5 ; f (1)  0 .
3 27
27
V. При больших по модулю значениях x данная функция ведет себя
похоже на функцию y  x 3 .




С учетом отмеченных особенностей строим график (рисунок 2).
Вопрос. Сколько
( x  1)( x  1)2  1 ?
действительных
корней
имеет
3.3. Исследование и построение графика функции f ( x) 
уравнение
( x  1)3
( x  1) 2
( x  1)3
.
( x  1) 2
x  1 , непрерывна на каждом из
Проведем исследование и построим график функции f ( x) 
I. Функция определена при
промежутков ( 1) , (1) .
II. f ( x)  0 при x1  1 ; f ( x)  0 при x  (11)  (1) ; f ( x )  0 при
x  (1) .
III. f ( x)   при x  1 и x 1 ; f ( x)   при x  1 и x 1 .
3( x  1) 2 ( x  1) 2  ( x  1)3  2( x  1) ( x  1) 2 ( x  5)

; f ( x )  0
( x  1) 4
( x  1) 4
при x2  1 , x3  5 ; f ( x )  0 при x  (1)  (11)  (5) ; f ( x )  0 при
x  (1 5) . Отсюда следует:
5
(1)
(11)
(1 5)
(5)
x
1
0
f ( x )
0
0
0
0
0
нет
мин.
f ( x)
экстр.
V. f (5)  27  13 1 .
2
2
( x  1  2)3 ( x  1)3  6( x  1)2  12( x  1)  8

 ( x  1)  6 
VI. f ( x) 
( x  1) 2
( x  1) 2
IV. f ( x) 


 12  8 2  ( x  5)   12  8 2  .
x  1 ( x  1)
 x  1 ( x  1) 
Так
как при больших по модулю значениях x слагаемое
 12
8 
 x  1  ( x  1) 2  мало, то при x   и при x   график функции f ( x)


приближается к прямой y  x  5 .
С учетом отмеченных особенностей строим график (рисунок 3).
Вопрос. Как объяснить, что график функции
 12
8 
y  ( x  5)  

2 
 x  1 ( x  1) 
приближается к прямой y  x  5 при больших по модулю значениях x ?
3.4. Исследование
и
построение
графика
функции
f ( x)  2 x  x  1  x  1
2
Проведем
исследование
и
построим
график
функции
f ( x)  2 x  x  1  x  1 .
I. Функция определена и непрерывна при всех x .
2
II. Решим уравнение f ( x)  0 . 2 x2  x  1  x  1  0 , 2 x2  x  1 
 x 1 , 4( x 2  x  1)  x 2  2 x  1 (для корней условие x  1), 3 x 2  2 x  3  0 ,
действительных корней нет.
III. Так как f (0)  1  0 , то f ( x)  0 при всех x .
IV. f ( x)  2 x  1  1 .
x2  x  1
Решим уравнение f ( x)  0 : 2 x  1  x2  x  1  0 ,
x2  x  1 
 2x  1 , x 2  x  1  (2 x  1)2 (для корней условие 2x  1  0 ), x 2  x  0 ,
x1  1 не удовлетворяет условию 2 x1  1  0 , x2  0 –корень уравнения
f ( x)  0 . Методом интервалов определяем, что f ( x)  0 при x  0 и
f ( x)  0 при x  0 . Отсюда следует, что f ( x ) убывает на промежутке
( 0) и возрастает на промежутке (0) ; точка x  0 — точка локального
минимума.
V. Найдем асимптоту при x   :
k1  lim
x 
b1  lim
x 

f ( x)
2 x2  x  1  x 1
1 1
1
 lim
 lim (2 1   2  1  )  1
x 
x 
x
x
x x
x
 
2 x 2  x  1  x  1)  x  lim
x 
4( x 2  x  1)  (2 x  1)2
2 x 2  x  1  (2 x  1)
 lim
x 
3
2 x 2  x  1  (2 x  1)
Отсюда получаем, что прямая y  x является асимптотой данной
функции при x   .
Найдем асимптоту при x   :
f ( x)
2 x2  x  1  x 1
1 1
1
k2  lim
 lim
 lim (2 1   2  1  )  3
x 
x

x

x
x
x x
x
b2  lim ((2 x  x  1  x  1)  3x)  lim
2
x 
x 
4( x 2  x  1)  (2 x  1) 2
2 x2  x  1  2 x  1

8 3
x
 lim
 lim
 2
2
x 
x 
1
2 x  x 1  2x 1
2 1   12  2  1
x x
x
8x  3
Отсюда получаем, что прямая y  3x  2 является асимптотой
данной функции при x   . С учетом отмеченных особенностей строим
график (рисунок 4).
Вопрос. Как доказать, что график функции y  2 x 2  x  1  x  1 не
пересекается со своими асимптотами?
3.5. Симметричность графика функции относительно вертикальной
прямой или относительно точки
Иногда можно заметить симметричность графика функции
относительно вертикальной прямой или относительно точки. В этом случае
построение графика упрощается.
Пример 1. Провести исследование и построить график функции
f ( x)  x 2  2 x .
 0.
Решение. Сначала заметим, что f ( x)  ( x  1) 2  1 . Поэтому график
этой функции получается из графика четной функции g ( x)  x 2  1
параллельным переносом, который определяется вектором (1 0) . Отсюда
следует, что график функции f ( x) симметричен относительно прямой x  1 .
Значит, сначала достаточно исследовать и построить часть графика на луче
[1) . Поэтому в приведенном исследовании предполагается, что x  1.
I. Функция f ( x)  x 2  2 x определена и непрерывна на луче [2) .
II. f ( x)  0 при x  2 и f ( x )  0 при x  (2) .
III. f ( x)  2 x  2 . Неравенство f ( x)  0 при x  2 очевидно.
x2  2x
Следовательно, данная функция на луче [2) возрастает.
IV. Найдем асимптоту при x   :
k  lim
x 
x2  2x
2
 lim 1   1
x 
x
x
b  lim ( x 2  2 x  x)  lim
x 
x 
x2  2 x  x2 )
x2  2 x  x
 lim
x 
2
 1
1  2x  1
Отсюда получаем, что прямая y  x  1 является асимптотой данной
функции при x   . С учетом отмеченных особенностей строим часть
графика данной функции на луче [1) .
(рисунок 5).
Вопрос. Как изобразить весь график функции f ( x)  x 2  2 x ?
Мини-исследование.
Докажите, что если точка x симметрична относительно точки a
точке x , то x  2a  x . Пользуясь этим, установите, что график функции
y  f ( x) симметричен относительно прямой x  a в том и только том
случае, когда 1) область определения функции симметрична относительно
точки a ; 2) для каждого x из области определения выполняется равенство
f (2a  x)  f ( x) .
y  f ( x)
Установите, что график функции
симметричен
относительно точки  a; b  в том и только том случае, когда 1) область
определения функции симметрична относительно точки a ; 2) для каждого
x из области определения выполняется равенство f (2a  x)  2b  f ( x) .
Найдите, относительно какой точки плоскости симметричен график
функции f ( x)  ( x  1)( x  1)2 .
Проверь себя. Построение графиков функций
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
В пункте 2 урока при исследовании функции f ( x)  ( x  1)( x  1)2 было
1

найдено, что функция возрастает на промежутках  ;   и 1;    и
3

 1 
убывает на промежутке   ; 1  . На каком из указанных промежутков
 3 
возрастает функция f ( x)  (1  x)( x  1)2 :
 1.  ; 1 ;  2.  1; 0 ;  3.  0;1 ;  4. 1;   ?
(Правильный вариант: 3)
( x  1)3
было найдено,
( x  1) 2
что прямая с уравнением y  x   является наклонной асимптотой x  
и при x   . Какая из указанных прямых является наклонной асимптотой
3
для графика функции f ( x)  x 2 :
( x  2)
 1. y  x  6 ;  2. y  x  5 ;  3. y  x  4 ;  4. y  x  3 ?
(Правильный вариант: 3)
В пункте 3 урока при исследовании функции f ( x) 
В пункте 4 урока при исследовании функции f ( x)  2 x 2  x  1  x  1 было
найдено, что ее наименьшее значение равно 1. Какое наименьшее значение
принимает функция f ( x)  2 4 x 2  2 x  1  2 x :
 1. 0;  2. 1;  3. 2;  4. 3?
(Правильный вариант: 3)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Какие из указанных функций являются четными:
x2
x3
x2
x3
 1. y 
;  2. y 
;  3. y 
;  4. y 
?
x 1
x 1
x 1
x 1
(Правильные варианты: 3)
Какие из указанных функций являются периодическими:
 1. f ( x)  cos(arcsin x) ;
 2. f ( x)  1  sin 2 x ;
 3. f ( x)  cos(sin x) ;


 4. f ( x)  sin 1  x 2 ?
(Правильные варианты: 2, 3)
Домашнее задание
1. Проведите исследование и постройте график функции:
а) f ( x)  x3  4 x ;
б)
3
2
в) f ( x)  x  x ;
г)
3

д) f ( x)  x   2 x  1  ; е)
ж)  f ( x)  x3  4 x 2  3x ;з)
f ( x)  ( x  1)( x  2)2 ;
f ( x)  x( x 2  1) ;
f ( x)  x 3  2 x  x ;
f ( x)  x 3  3 x 2  4 .
2*. Проведите исследование и постройте график функции:
а) f ( x)  x  4 ; б)
x
3
в) f ( x)  x 2 ;г)
( x  2)
3
д) f ( x)  2x ; е)
x 3
ж) f ( x)  x  1 ; з)
x
x ;
1  x2
3
f ( x)  x2  1 ;
x 1
f ( x) 
f ( x)  ( x  1) x ;
f ( x)  ( x  1) 
 
2
x
.
x 1
3**. Проведите исследование и постройте график функции:
4
x4 ;
(1  x)3
2
2
в) f ( x)  2  x4 ;
г) f ( x)  2 x  1 ;
x  5x  6
1 x
д) f ( x)  4 x 2  5  4 x ;e) f ( x)  x 2  2 x  1 x .
3
2
а) f ( x)  1  x 2  x ;
2
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. – 9-3-1-1.cdr
Рисунок 2. – 9-3-2-2.cdr
Рисунок 3. – 9-3-3-3.cdr
Рисунок 4. – 9-3-4-4.cdr
Рисунок 5. – 9-3-5-5.cdr
б) f ( x) 