Пример оформления контрольной работы

Задача 1. Камень брошен с высоты
расстоянии
s  42
h  210 см
под углом
м по горизонтали от места бросания.
  45  к горизонту и падает на Землю на
Найти начальную скорость  0 камня, время
полета , максимальную высоту Hподъема над уровнем Земли, а также радиусы кривизны траектории в
верхней точке и в точке падения камня на Землю.
AНАЛИЗ. Из условия задачи известно направление вектора
ДАНО:
СИ

0
h  210 см h  2,1 м
начальной скорости
  45 
s  42 м
 0 ; ; H – ?
R A ; RB – ?
точкой. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то ускорение камня
камня, который можно считать материальной
 
a  g , т. е. постоянно и направлено по вертикали вниз. Векторы начальной
скорости и ускорения образуют некоторый угол, не равный ни нулю, ни .
Следовательно, движение камня криволинейное. Так как
представить как сумму

a  const , движение плоское, его можно описать двумя координатами и

двух простых движений – равномерного по горизонтали (вектор g имеет
вертикальное направление, и его проекция на горизонтальную ось
координат равна нулю) и
равноускоренного по вертикали. Записав уравнения движения в проекциях на координатные оси Х и Y с
учетом начальных условий и подставив координаты точки падения, можно найти время полета и модуль
начальной скорости.
Максимальную высоту подъема найдем из условия, что в верхней точке траектории вертикальная
составляющая скорости обращается в ноль.
Зная законы изменения проекций скорости на координатные оси со временем, можно найти модуль
и направление скорости для любого момента времени. Вектор ускорения постоянен и известен,
следовательно, для любого момента времени можно определить нормальное ускорение (т. е. проекцию

вектора a на ось n, перпендикулярную вектору скорости и направленную к центру кривизны траектории) и
радиус кривизны.
РЕШЕНИЕ. За начало отсчета примем поверхность Земли под точкой бросания. Ось Х направим
горизонтально вдоль поверхности Земли вправо, ось Y – вертикально вверх (рис. 1). Уравнение движения в
проекциях на координатные оси имеет вид:
 x  0 cost ,
(1)

2
 y  h  0 sin t  gt 2 .

Скорость тела по оси Y меняется по закону:  y

 0 sin   gt .
В момент времени t1 камень достигает верхней точки своей
траектории (точкиА, в которой
Рис. 1
составляющей
скорости
Следовательно,
y  0
на
y  H ) и меняет направление Y –
противоположное
(летит
вниз).
при t= t1. Отсюда
t1  0 sin  g .
(2)
Подставив значение (2) в уравнение движения (1), получаем максимальную высоту подъема:
H  h  02 sin 2  g  g02 sin 2  (2 g 2 )  h  02 sin 2  (2 g )
Проверим размерность:
H   м  м 2
Найдем начальную скорость
условия
x  s ; y  0 , получаем:
0

с2  м с2

1
.
(3)
 м.
и время полета . Подставив в уравнение движения (1.16) конечные
s   0  cos  ; 0  h  0  sin   g 2 2
или
  s 0 cos   ;

0  h  s  tg  gs 2 202 cos2 
Проверим
0  20
размерность:

0 
, отсюда

 
[0 ]  м м с 2 м
g
.
2h  s  tg 
s
cos 
12
 м с,
подставив
значение,
получим:
м/с.
Время движения
2h  s  tg 
.
g

  м
Проверим размерность:
Подставляя значения
0
м с 
2 12
 с , подставив значение, получим:   3 с.
и  в выражение (3), находим Н = 12 м.
Для определения радиусов кривизны траектории в верхней точке (точка А) и в точке падения
an .
(точкаВ на рис. 1), найдем в этих точках величину нормального ускорения
полное ускорение в любой точке траектории равно

g
Следует напомнить, что
и направлено вертикально вниз.



 A   Ax i   Ay j , причем,


 0 cos  , поэтому  A   Ax i
Рассмотрим точку А. Скорость
 Ay  0 ,  Ax
установлено ранее,
как было
– вектор
скорости направлен по оси Х, т. е. перпендикулярно к вектору ускорения (рис. 2). Проекция
вектора ускорения на направление скорости равна тангенциальному ускорению и равна
Рис. 2
a  0 ,
нулю:
g  an   2A R A .
следовательно,
Отсюда
R A   2A g  02 cos 2 a g . Размерность очевидна. Подставив значение, получим: R A  20 м.
Рассмотрим теперь точкуВ (рис. 3). Найдем вектор полной скорости в этой
точке. Составляющие вектора

 B по осям координат равны:
 By   0 sin   g ,
 Bx  0 cos  ;
модуль
скорости

2
2
B  Bx
 By
 02 cos2   0 sin   g  . Вектор скорости  B составляет с
2
осью Y угол
,
причем tg 
 Bx  By   0 cos   0 sin   g ,
sin    Bx  B   0 cos   B .
Рис. 3
Спроектируем вектор
следует из рис.3, равно

g
на направление

B
скорости. Нормальное ускорение, как
an  g sin  . Радиус кривизны в точкеВ равен
RB 
B2
an
=

02 cos 2   0 sin   g 
g
tg 2   1
2

B3
g0 cos 
  2 cos2    sin   g2 
 0

0


g 0 cos 
Проверим размерность:
RB   м с2 
32
м 2 с3  м ,
=
3
.
подставив значение, получим:
R B  63 м.
ОТВЕТ:
0  20
м/с;
  3 с; H  12 м ; R A  20 м; R B  63 м.