fadeeva 1x - Всероссийский фестиваль педагогического

Всероссийский фестиваль педагогического творчества
2014/15 учебный год
Номинация: «Проектная и творческая деятельность учащихся».
Подраздел: Математика и физика.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ВОКРУГ НАС.
Авторы:
Учащиеся 6 класса:
Батурова Дарья,
Бозиева Мария,
Фадеева Анастасия
Научный руководитель:
Фарух Наталья Евгеньевна
учитель математики
высшей квалификационной категории
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 10
г. Железнодорожный Московская область
Содержание.
1. Введение.
2. Цель и задачи.
3. История происхождения.
4. Эллипс.
5. Эллипс в нашей жизни.
6. Парабола.
7. Парабола в нашей жизни.
8. Гипербола.
9. Гипербола в нашей жизни.
10. Результаты опроса.
11. Вывод.
12. Литература.
Введение.
На факультативном занятии мы впервые познакомились с замечательными математическими кривыми: эллипсом, параболой и гиперболой (рис. 1).
Рис.1
И нам захотелось побольше о них узнать. Работа посвящена изучению удивительных свойств
замечательных математических кривых. Они встречаются в нашей жизни гораздо чаще, чем
кажется. Их применяют в различных простых и сложных механизмах, производстве, строительстве, технике, науке, военном деле. Они имеют большое значение для космонавтики и
астрономии, механики и архитектуры.
После опроса учащихся 6-х и 7-х классов, который показал, что в основном ребята не
имеют представления о замечательных кривых, мы решили не только пополнить свои знания, изучив свойства эллипса, параболы и гиперболы, но и поделиться ими со всеми.
Целью данной работы является исследование роли замечательных кривых в жизни человека и создание творческого проекта.
Нами поставлены следующие задачи:
Собрать и изучить материал об удивительных свойствах эллипса, параболы и гипер-
1.
болы, имеющих практическое применение в нашей жизни.
2.
Исследовать различные области применения свойств замечательных кривых.
3.
Формировать навыки самостоятельной работы с дополнительной литературой и дру-
гими источниками.
Провести опрос учащихся 6 и 7 классов («Что вы знаете о замечательных кривых?») и
4.
составить диаграмму.
Создавая творческий проект, формировать навыки работы с компьютерными про-
5.
граммами и научиться делать презентации.
Создать компьютерную презентацию по данной теме для применения на уроках мате-
6.
матики и факультативных занятиях.
Данная работа состоит из следующих этапов:
1.
Подбор и изучение информации о свойствах эллипса, параболы и гиперболы.
2.
Исследование практического применения свойств замечательных кривых.
3.
Создание макетов конусных сечений.
4.
Анкетирование учащихся и исследование их ответов.
5.
Создание компьютерной презентации по данной теме для применения на уроках ма-
тематики и факультативных занятиях.
Поделиться полученными знаниями с одноклассниками.
6.
История происхождения.
Одним из первых, кто начал изучать эти кривые, был ученик знаменитого Платона,
древнегреческий математик Менехм (IVв. До н.э.). Изменяя угол при вершине конуса,
Менехм получил три вида кривых: эллипс – если угол при вершине конуса острый; параболу
– если угол прямой; одну ветвь гиперболы – если угол тупой (рис. 2). Но названия этих кривых придумал Аполлоний Пергский, который показал, что эллипс, параболу и гиперболу
можно получить, проводя различные сечения одного и того же конуса, причем любого.
(рис.3). При нужном наклоне секущей плоскости удается получить все типы конических сечений.
Рис. 2
Рис.3
Чтобы убедиться в этом на практике, мы сделали макеты конических сечений.
Но ещё проще провести опыт с карманным фонариком: в зависимости от его положения в
пространстве конус света даст на стене комнаты пятна разной формы. Граница каждого
пятна — одно из конических сечений. Поворачивая фонарик в вертикальной плоскости,
можно увидеть, как одна кривая сменяет другую.
Эллипс.
Эллипс (от др. греческого – недостаток).
С кривой, называемой ЭЛЛИПС, мы встречаемся на каждом шагу. Наклоните немного
стакан с водой, и поверхность воды примет форму эллипса.
Нарежьте хлеб и колбасу наискосок – все кусочки будут иметь форму эллипса. Как построить такую кривую? Возьмите лист бумаги, две булавки, нитку и карандаш. Закрепив концы
нити булавками, натяните её кончиком карандаша.
Если провести карандашом по бумаге, сохраняя нитку натянутой, и вернуться в исходную
точку, конец его опишет эллипс.
Рис. 4
Рис. 5
Эллипс – это «сплюснутая», а точнее, равномерно сжатая к своему диаметру окружность. У эллипса есть несколько замечательных свойств. Все точки эллипса обладают одним свойством: сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости постоянна. Эти
точки называются ФОКУСАМИ эллипса (рис. 4). Если сделать зеркало в форме эллипса и
поместить в одном из фокусов источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в
другом фокусе (рис. 5).
Так же распространяются и акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «магического» шепота,
«потусторонних» звуков. Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта,
наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружений, своды которых имеют
эллиптическую форму: если находится в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в
другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находиться рядом, хотя на самом деле расстояние велико (рис. 6)
Рис. 6
Траектория движения планет и спутников, форма земного меридиана – все это эллипс.
Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в
одном из фокусов, кольца Сатурна также имеют эллиптическую форму.
Эллипс в нашей жизни.
Правильный овал лица человека должен иметь форму эллипса. В форме эллипса можно
изготовить журнальный столик, раму для картины, декоративное блюдо, циферблат часов,
зеркало, посуду, раковину или соткать ковер. Множество предметов домашнего обихода в
виде эллипса окружает нас… Орден «Знак Почета» имеет форму овала, обрамленного по бокам дубовыми ветками. Разные ювелирные украшения, листья растений, множество фруктов, овощей, орехов также имеют форму эллипса. И это только малая часть примеров, когда
мы в своей окружающей жизни можем увидеть эллипс.
Вообще, с эллипсом мы встречаемся постоянно. Взять, к примеру, работу дизайнеров.
Одни выбирают эллиптическую форму для цветников, фонтанов и искусственных водоёмов,
другие — для предметов интерьера.
Эллипс образуется в сечении не только конуса, но и цилиндра. Пример тому — здание
планетария в Копенгагене, носящего имя Тихо Браге — знаменитого датского астронома,
учителя Иоганна Кеплера. Здание в форме усечённого цилиндра имеет крышу эллиптической
формы. Но чаще встречаются сооружения, представляющие эллипс в плане. Самое известное
из них — римский Колизей, грандиозный античный амфитеатр, вмещавший до
70 000 зрителей. Его арена, на которой устраивались состязания и зрелища, также ограничена эллипсом.
Парабола.
Парабола частое явление в повседневной жизни. Например, хорошо знакомый падающий мяч. Футболисты даже не подозревают, что после каждого удара они имеют
дело с параболой (рис. 7). Ведь траектория мяча, брошенного в наклонном или горизонтальном направлении и падающего под действием силы притяжения Земли, имеет форму параболы.
Рис. 7
Рис.8
Если в фокус «зеркальной» параболы поместить источник света, то все исходящие из
него световые лучи будут отражаться в виде параллельных лучей (рис. 8). И наоборот, все
световые лучи, идущие параллельно оси параболы, после отражения от «стенок» кривой соберутся в одной точке – ее фокусе. Это замечательное оптическое свойство параболы используется в конструкции прожекторов, фонарей, фар, в конструкции антенн необходимых
для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций, отражательных
телескопов и радиолокаторов и т. д. В мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала.
Вы, наверно, видели, какие яркие и ровные пучки света бросают в небо мощные прожекторы.
Автомобильные фары и карманные фонарики также дают ровный пучок света При вращении
параболы вокруг её оси получается фигура, которую называют параболоидом. Оптическое
свойство позволяет получить в фокусе параболоида высокую температуру.
Согласно легенде, это свойство использовал древнегреческий учёный Архимед из Сиракуз. Он сжёг флот римлян, обороняя свой город с помощью параболических зеркал. Свойства таких зеркал применяют при конструировании солнечных печей, телескопов и др.
Парабола в нашей жизни.
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других),
проходящих вблизи звёзды или планеты на достаточно большой скорости имеют форму параболы. При скорости больше 11,2 км/с тело будет двигаться по гиперболе и навсегда уйдёт
от Земли.
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов, мостов и других интересных сооружений. Фонтаны – это тоже парабола.
На протяжении всей истории развития науки и техники замечательные кривые привлекали к себе внимание многих исследователей и ученых. В окружающих нас явлениях
природы и человеческой деятельности часто можно встретить параболу. Камень или снаряд,
выпущенный под острым углом к горизонту, летит по кривой, близкой к параболе. В XVI
столетии, в эпоху бурного развития военного дела итальянский учёный-самоучка Никколо
Тарталья первый исследовал траекторию ядра и дальность его полёта в зависимости от угла
наклона ствола пушки к горизонту. Ядро, выпущенное из пушки под углом к горизонту,
движется по параболе, ветви которой направлены вниз (рис. 9). Точно также движется и ме-
теорологическая ракета, предназначенная для исследования верхних слоев атмосферы (рис.
10). Установленными на ракете приборами измеряются атмосферное давление, температура,
плотность, состав воздуха, космическое излучение, магнитное поле Земли, производится
фотографирование солнечного спектра и земной поверхности и т. д. Приборы размещаются в
носовой части (головке) ракеты, которая затем опускается на парашюте (рис. 11). Показания
приборов обычно передаются с ракеты с помощью радиосигналов.
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
Гипербола.
Гипербола, как и другие конические сечения, обладает удивительным оптическим
свойством: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса. Гиперболу
можно встретить везде, даже в космосе. Траектории некоторых космических тел, проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта на достаточно большой скорости
могут имеют форму гиперболы. При скорости больше 11,1 км/с тело будет двигаться по
гиперболе и навсегда уйдёт от Земли. С помощью гиперболы военные определяют, как нужно направить орудие, чтобы поразить неподвижную звучащую цель, например, стреляющее
орудие противника
Гиперболы используют для определения расстояния до источника звука.
Гипербола в нашей жизни.
Как закруглить железную дорогу? При строительстве железных и шоссейных дорог
возникает необходимость связать прямолинейные участки с участками пути по дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась равномерно. Ни шоссейная, ни
железная дороги никогда не заворачивают круто, а переходят всегда с одного направления
на другое плавно, без переломов, дугой. Кривая, отвечающая за нашу безопасность на автомобильных и железных дорогах (траектория закругления дорог) – гипербола.
Форма гиперболы используется в архитектуре при строительстве мостов (рис. 12), различных
интересных сооружений (например, американские горки). Её можно увидеть в небе после
дождя – это радуга, удивительное природное явление (рис. 13).
Рис. 12
Рис. 13
Результаты опроса.
Мы провели опрос среди учащихся 6-х и 7-х классов о том, что они знают о замечательных кривых. Сначала предложили им ответить на вопросы:
1. Что вы знаете о замечательных кривых?
2. Как вы себе представляете замечательные кривые? Почему, по – вашему их так называют? Попробуйте их нарисовать.
3. Знаете ли вы, что такое эллипс?
4. Знаете ли вы, что такое парабола?
5. Знаете ли вы, что такое гипербола?
После этих вопросов учащимся показали, как выглядят эллипс, парабола и гипербола. Затем
предложили им привести примеры, где можно встретить эти замечательные кривые в окружающей жизни.
Последним был вопрос: «Хотели бы вы побольше узнать о замечательных кривых?». На него
все отвечали: «Да».
По результатам опроса мы составили таблицу и диаграммы (рис. 14, рис. 15, рис. 16).
Классы
6Б
6В
7Г
7Д
Количество учащихся
26
28
27
26
Слышали, но не знают, что такое:
а) эллипс,
б) парабола,
в) гипербола.
а) 3
б) 2
в) -
а) 4
б) 7
в) 5
а) 16
б) 12
в) 9
а) 3
б) 5
в) -
Знают, что такое:
а) эллипс,
б) парабола,
в) гипербола.
а) 2
б) 1
в) -
а) 4
б) 1
в) 1
а) 5
б) 3
в) 1
а) 1
б) 1
в) -
22
21
25
23
Смогли привести примеры замечательных кривых в
жизни человека после знакомства с эллипсом, параболой и гиперболой.
Слышали, но не знают, что такое: а) эллипс, б) парабола, в) гипербола.
Рис. 14
Знают, что такое: а) эллипс, б) парабола, в) гипербола.
Рис. 15
Смогли привести примеры замечательных кривых в жизни человека
после знакомства с эллипсом, параболой и гиперболой.
Рис. 16
Вывод.
Создание проекта вызвало у нас большой интерес к этой теме. Знания, приобретённые
во время работы над проектом пригодятся нам в дальнейшем. Мы узнали много нового и интересного.
В ходе нашего исследования было установлено, что эллипс, гиперболу и пара-
болу можно встретить не только на уроке математики, но и в окружающих нас явлениях
природы и человеческой деятельности. Знакомство с коническими сечениями показывает,
насколько удивительны их свойства и многообразно их применение. Роль замечательных
кривых в жизни человека настолько велика и неоценима, что трудно себе представить мир
без этих кривых. Мы их встречаем каждый день в природе и жизни. Они на каждом шагу вокруг нас… В предметах домашнего обихода, в зданиях, формах мостов и фонтанах, траекториях движения ракет и мяча, космических тел. Всего не перечислить… Просто мы их не замечаем в повседневной жизни.
Наш проект о замечательных кривых поможет учителю красочно и доступно продемонстрировать учащимся практическое применение свойств эллипса, параболы и гиперболы, Использование данного материала на уроках и на факультативных занятиях поможет
расширить кругозор учащихся, развить их пространственное мышление. Как показал опрос
учащихся 6-х и 7-х классов, о замечательных кривых мало, кто знает. Но все хотели бы
узнать о них больше. Поэтому мы обязательно поделимся своими знаниями с ребятами.
Создавая творческий проект, мы получили навыки работы с компьютерными программами Microsoft Word, Excel и Power Point, научились делать презентации, составлять
таблицы и диаграммы, создавать анимацию и управлять ею.
Литература.









Википедия
Энциклопедия «Математика» Аванта + 2002г.
Большая Советская Энциклопедия М.: "Советская энциклопедия", 1969-1978
Васильев Н. Б. Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. (2000г).
Виноградов И.М. Математическая энциклопедия.т.3 – М.: «Советская энциклопедия», 1982г
Прохоров Ю.В. «Математика». Большой энциклопедический словарь. Научное
изд-во «Большая Российская Энциклопедия», М.: 1998г
Л.Ф. Пичурин За страницами учебника алгебры. – М.:Просвещение,1990.
Энциклопедия для детей. Астрономия. Том 8. Москва, Аванта+, 2001
Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. Москва, Аванта+, 2001