120103 Задания ТМОГИ 2011

1
Вариант 1
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача 2.1. Напишите выражение для средних квадратических погрешностей следующих функций:
а) u  lg x1  lg x 2 ;
в) u  x1  x 2 ,
если аргументы этих функций – независимо измеренные величины с заданными средними
квадратическими ошибками m1 и .m2 .
Задача 2.2. С какой средней квадратической погрешностью определено горизонтальное проложение
линии S =D*cos, если угол наклона  = 10о 00’ измерен со средней квадр. погрешностью m = 1’ , а
длина линии на местности D=40.03 м измерена с mD = 2.0 см ?
P  P2
Задача 2.3. Объем земляного тела цилиндрической формы получен по формуле V1  1
h , где
2
P1  P2  50.00 м 2 - площади верхнего и нижнего оснований, а h = 3.00 м. - его высота. С какой
точностью надо измерить P1 , P2 , h , чтобы m = 1 м3 ?
Задача 2.4. Найти среднюю квадратическую погрешность в сумме двух приращений абсцисс, если
расстояния S1= 200.03м и S2 = 190.21 м измерены независимо со средними квадратическими
погрешностями m s  2.0 см и m s  1.5 см, а ковариационная матрица дирекционных углов
1
2
 4.0
1  3000000 и 2  3500000 имеет вид K   2 
 0.4
0.4 
,
4.9 
  3.0 .
Задача 2.5.Определить среднюю квадратическую погрешность угла наклона визирной оси трубы
теодолита, если отсчеты при КП и КЛ сделаны со средней квадратической погрешностью m  3.0 
Задача 3.1. Углы треугольника измерены с весами Р1 = 3.0 , Р2 = 2.0 , Р3 =1.0. Определить средние
квадратические погрешности углов, если средняя квадратическая погрешность единицы веса   3.0 .
Задача 3.2. Найти обратный вес (в общем виде) функции U  5X 1  X 2 , если X1 и X 2 независимо измеренные аргументы с весами Р1 и Р2 .
Задача 3.3. Два угла измерены: первый - восемью приемами, а второй - шестнадцатью. Средняя
квадратическая погрешность измерения угла в одном приеме 6.5 . Определить среднюю
квадратическую погрешность разности окончательных значений углов.
Задача 3.4. Найти вес угла, полученного как результат двукратного измерения, если известно, что
средняя квадратическая погрешность одного измерения 8 , а средняя квадратическая погрешность
единицы веса равна 30 .
Задача 3.5. Углы измерены тремя теодолитами со средними квадратическими погрешностями
однократного измерения соответственно m1 = 2, m2 = 4, m3 = 6. Первым теодолитом угол был
измерен два раза, вторым – три раза, третьим – четыре раза. Найти среднюю квадратическую
погрешность и вес суммы окончательных значений углов, приняв   m1 .
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
2
Таблица 1
№№измерений
1
2
3
4
5
6
Таблица 2
Результаты измерений
Si, м
13.14
.15
.16
.18
.18
.15
№№измерений
1
2
3
4
5
6
Результаты
измерений
i, м
100 1112.5
13.1
12.8
14.1
14.0
14.0
Веса
измерений
Рi
1.0
1.0
2.0
2.0
1.0
1.0
2
Вариант 2
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача 2.1. Напишите выражение для средней квадратической погрешности функции U  X1X 2 ,
1.20
0.80 
если известна ковариационная матрица её аргументов K x  
 .
0
.
80
2
.
40


Задача 2.2. С какой средней квадратической погрешностью будет определено увеличение трубы
V  f об f ок , если fоб = 250мм и fок =10мм – фокусные расстояния объектива и окуляра, соответственно,
определённые независимо со средней квадратической погрешностью m f  0.1 мм?
Задача 2.3. Дирекционный угол первой линии теодолитного хода получен как среднее
арифметическое по результатам определений через два примычных угла (рис.1) 1 и 1 .Определить
среднюю квадратическую погрешность окончательного значения дирекционного угла первой линии  1 ,
если примычные углы измерены независимо со средними квадратическими погрешностями m  3.0 ,
а исходные дирекционные углы н и н имеют ковариационную матрицу
 4.0
K   
 0.8
0.8 
.
4.0 
1
1
Рис.1
Задача 2.4. С какой точностью следует измерить базисы b 1 = 100.00 м и b2 = 110.00 м ( угол между
ними   90 0000 ) , чтобы определить расстояние S со средней квадратической погрешностью 2 см
(рис.2)?

S
b1
Рис.2
b2
Задача 2.5. С какой точностью будет получено превышение h  S tg , если расстояние S = 50.00 м
и угол   30 00 измерены со средними квадратическими погрешностями ms = 2.0 см, m   1 ?
Задача 3.1. Угол измерен трижды со средней квадратической погрешностью измерений m  3 .
Определить среднюю квадратическую погрешность и вес наиболее надёжного значения угла, приняв

m
Задача 3.2. Выразить обратный вес функции U  x 1 x 2 x 3 независимо измеренных аргументов,
характеризующиеся весами Р1, Р2, Р3.
Задача 3.3. Высота сигнала h определена по формуле h  S ctgZ , где Z  70 1830 - зенитное

расстояние; S = 124.18 м – расстояние до сигнала. Средние квадратические погрешности измерений
m z  10 и ms  0.05 м . Определить вес величины h, приняв ошибку единицы веса   m s .
Задача 3.4 .Нивелирный ход состоит из четырех секций, превышения в которых измерены со
средними квадратическими погрешностями m1 = 6.0 мм, m2 = 4.0 мм, m3 = 6.0 мм, m4 = 2.0 мм.
Установить веса измеренных превышений.
Задача 3.5. Вес суммы шести углов равен 2. Измерения равноточные. Определить вес одного угла.
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Таблица 2
1
Результаты
измерений
Si, м
26.11
2
.12
2
3
4
.10
.15
3
4
5
.09
5
№№измерений
i
№№измерений
i
1
Результаты
измерений
i, м
20  2210.1
11 .0 
12 .0 
13 .3
14 .1
Веса
измерений
Рi
2.0
2.0
1.0
1.0
2.0
3
6
.10
11 .1
6
1.0
Вариант 3
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача 2.1. Напишите выражение для средней квадратической погрешности функции U  x 2  x 1 .
 4.0 0 
 .
K x  
 0 9.0 
1
Задача 2.2. Объем тела вычисляется по формуле V  h (P1  P2  P1P2 ) . Высота тела h = 2.00 м
3
m h  0.02 м .
определена
со
средней
квадратической
погрешностью
Ковариационная матрица аргументов равна
P1  10.00 м 2 и P2  50.00 м 2 - площади верхнего и нижнего оснований, определённые со средними
квадратическими погрешностями m P  1 см , m P  0.5 см . Найти среднюю квадратическую
1
2
погрешность объема тела V.
Задача 2.3. С какой средней квадратической погрешностью будет определено место нуля теодолита,
если отсчеты КП и КЛ характеризуются средней квадратической погрешностью 0.5  ?
2
2
Задача 2.4. С какой точностью будет определено расстояние S 
b12  b 22  2b1b 2 cos  ,если
базисы b1 = 100.00 м и b2 = 110.00 м характеризуются средней квадратической погрешностью mb= 2.0

см, а угол между ними   60 00 00  - средней квадратической погрешностью m   1.0 ?
Задача 2.5. Вычислить среднюю квадратическую погрешность дирекционного угла пятой стороны
теодолитного хода, если средняя квадратическая погрешность начального дирекционного угла m  7 ,
а углы хода характеризуются средней квадратической погрешностью m  1 ?
Задача 3.1. Линия измерена равноточно пять раз. Найти вес среднего арифметического этих
измерений, если вес однократногого измерения принят равным 1.
Задача 3.2. Написать выражение для обратного веса функции независимо измеренных аргументов
U  5X1  4X 2X3 , если установлены веса аргументов: P1  2.0, P2  3.0, P3  1.0 .
Задача 3.3. Угол измерен три раза. Какой вес имеет окончательный результат, если вес одного
направления принять равным единице?
Задача 3.4. В треугольнике один угол измерен тремя приемами, второй – шестью. Найти вес
вычисленного третьего угла, если все приемы равноточные, а вес угла, полученного из одного приема,
принят равным единице.
Задача 3.5. Средняя квадратическая погрешность измерения угла m  15 . Найти вес суммы 20
углов, измеренных в тех же условиях, если средняя квадратическая погрешность единицы веса   30 .
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Таблица 2
№№измерений
i
Результаты
измерений
i, м
1
Результаты
измерений
Si, м
39.21
1
2
3
4
5
6
.20
.19
.18
.09
.15
2
3
4
5
6
300 3311.1
10.2
13.0
14.0
15.1
15.2
№№измерений
i
Веса
измерений
Рi
3.0
2.0
1.0
1.0
1.0
3.0
4
Вариант 4
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача
2.1.
Напишите
выражение
для
средней
квадратической
U  5X1  2X 2 , если ковариационная матрица её аргументов
погрешности
 4.0
K x  
0
функции
0
.
9.0 
Задача 2.2. Определить среднее квадратическое значение угловой невязки многоугольника, если
средняя квадратическая погрешность углов m  1.5 , а число углов n  10 .
Задача 2.3. Какова средняя квадратическая погрешность длины линии, вычисленной по приращениям
координат   200.00 м,   100.00 м, ковариационная матрица которых равна
 2.0
K x  
 0.5
0.5  2
 (см ).
4.0 
Задача 2.4. Угол  в треугольнике вычислен по углам  и  , каждый из которых получен дважды со
средней квадратической погрешностью однократного измерения m  2.0 . Определить среднюю
квадратическую погрешность угла  .
1
Задача 2.5. С какой точностью будет вычислена площадь треугольника S  ab sin  , если его
2

стороны и угол равны: а = 200.00 м, b = 300.00 м,   60 0000 ?. Средние квадратические
погрешности независимо измеренных аргументов равны: m   2.0 cm , m b  3.0 cm , m  5.0 .
Задача 3.1. Измерение, характеризующееся средней квадратической погрешностью m 1  3.0 , имеет
вес P1  2.0 . Определить вес измерения со средней квадратической погрешностью m 2  4.0 .
Задача 3.2. Записать выражение для обратного веса функции U  25X1  4X 2 X3 независимо
измеренных аргументов, веса которых равны: P1  2.0, P2  1.0, P3  3.0 .
Задача 3.3. Угол  получен как среднее из результатов измерений 16 приемами,
характеризующимися средней квадратической погрешностью одного приема m  2.0 . Угол 
измерен 9 приемами. Средняя квадратическая погрешность измерений одним приемом m  3.0 .
Определить вес суммы наиболее надёжных значений углов  и  , приняв за ошибку единицы веса
  m .
Задача 3.4. Определить вес объема прямоугольного параллелепипеда, если его ребра
a  10.00m , b  4.0m, c  5.0 m измерены с весами Pa = 8, Pb = 10, Pc = 12.
Задача 3.5. Вычислить вес угла  , равного полусумме углов  и  , веса которых P  3 , P  4 .
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
№№измерений
i
1
2
3
4
5
6
Таблица 2
Результаты
измерений
Si, м
44.12
.13
.10
.11
.14
.10
№№измерен
ий
i
1
2
3
4
5
6
Результаты
измерений
i, м
441410.0
10.2
13.0
14.0
15.1
15.2
Веса
измерений
Рi
1.0
1.0
2.0
2.0
1.0
1.0
5
Вариант 5
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача
2.1.
Напишите
выражение
для
средней
квадратической
погрешности
функции
 3.00 0.36 0 


U  X1  X 2  X3 , если ковариационная матрица её аргументов равна: K x   0.36 2.00 0  .
0
0
4.00 

Задача 2.2. Определить среднюю квадратическую погрешность уклона воды в реке, вычисляемого по
формуле P  (H B  H A ) / S , если H B  1.00 м, H A  2.00 м - отметки уреза воды около кольев,
определены
со
средними
квадратическими
погрешностями
m H A  5.0 cm , m H B  4.0 cm , а
расстояние между ними S  100.00m характеризуется m S  0.1 m
Задача 2.3. С какой точностью определена длина линии АВ из решения обратной геодезической
задачи, если приращения координат концов линии равны X  200.00 м , Y  200.00 м . Они
 2.0
0,5 
характеризуются ковариационной матрицей K  
 (см2).
2.0 
 0,5
Задача 2.4. Вычислить среднее квадратическое значение невязки приращений абсцисс замкнутого
полигона
из
четырех
пунктов.
Ковариационная
матрица
приращений
 2.0

 0.5
KX  
0.4

 0.3
0.5
2.2
0.4
0.5
0.5
0.4
3.0
0.3
0.3 

0.4  2
(см ).
0.3 

4.0 
Задача 2.5. Площадь фигуры состоит из трех частей. С какой точностью должна быть измерена
каждая из этих частей, чтобы площадь всей фигуры имела среднюю квадратическую ошибку m = 5 см2?
Задача 3.1. Вес измеренного угла принят равным 9.0. Найти среднюю квадратическую погрешность
этого угла, если ошибка единицы веса   3.0
Задача 3.2. Выразить обратный вес функции U  X1 / X 2  2X 3 независимо измеренных
аргументов, веса которых равны: P1 = 2; P2 = 4; P3 = 3.
Задача 3.3. Углы треугольника измерялись тремя различными теодолитами. Первый угол был измерен
9 раз. Второй – 16 раз, третий – 25 раз. Средние квадратические погрешности измерений для каждого из
теодолитов равны, соответственно, 3.0 , 4.0 ,5.0. Найти веса средних значений каждого угла, если
ошибка единицы веса   1.0 .
Задача 3.4. Найти вес полусуммы углов  и  , если вес каждого из этих углов равен 5.0.
Задача 3.5. Вес измерений угла принят за 1.0 . Сколько раз нужно измерить угол, чтобы получить вес
окончательного значения равным 4.0?
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Таблица 2
Результаты измерений
Si, м
№№измерений
i
Результаты
измерений
i, м
1
59.21
1
2
3
4
5
.31
.25
.26
.20
2
3
4
5
5401316.0
15.0
15.1
№№измерений
i
14.1
14.9
Веса
измерений
Рi
1.0
2.0
1.0
2.0
2.0
6
6
.25
6
15.2
1.0
7
Вариант 6
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача 2.1. Напишите выражение для средней квадратической погрешности функции U  5
ковариационная матрица её аргументов равна
4
K x  
0
X1
,если
X2
0
.
9 
Задача 2.2. С какой точностью будет получено значение дирекционного угла шестой линии висячего
полигонометрического хода, если средняя квадратическая погрешность дирекционного угла примычной
стороны m  2.0 , а углы характеризуются средней квадратической ошибкой m  3 ?
H
Задача
2.3.
Расстояние
S
определено
по
формуле
S  (X B  X A ) / cos  ,
где
X B  500 .00 м , X A  0.00 м ,   600000 . Средние квадратические погрешности координат и
дирекционного угла равны: m X  2.0 см , m  3.0 . Определить среднюю квадратическую и
относительную погрешности расстояния S .
Задача 2.4. С какой точностью нужно измерить на местности длину линии D = 125 м и угол наклона
  10  , чтобы получить горизонтальное проложение S со средней квадратической погрешностью
m S  3.0 см ?
Задача 2.5. Определить среднее квадратическое значение невязки периметра замкнутого полигона,
если известна ковариационная матрица невязок f x  5.0 см и f y  6.0 см по осям координат
 2.5
K x  
 0.3
0.3 
 (см2).
3.6 
Задача 3.1. Средняя квадратическая погрешность измерения угла m  4 , его вес Р = 3. Определить
среднюю квадратическую погрешность единицы веса.
Задача 3.2. Записать выражение для обратного веса функции U  2X1 (2  1 / X 2 ) , если Xi-
независимо измеренные аргументы с весами P1  2.0, P2  3.0 .
Задача 3.3 .Линия измерена равноточно три раза со средней квадратической погрешностью
измерений, равной m  2.0 см. Какова средняя квадратическая погрешность и вес окончательного
результата, если ошибка единицы веса   3.0 см ?
Задача 3.4. Определить вес суммы превышений по ходу геометрического нивелирования, состоящему
из 4-х станций, если вес отсчета по рейке на станции принять равным 1.0.
Задача 3.5. Один угол треугольника измерен 4 раза со средней квадратической погрешностью
измерений 3.0  , второй угол измерен 9 раз со средней квадратической погрешностью 4.0  . Определить
среднюю квадратическую погрешность и вес третьего угла, вычисленного по первым двум, принимая за
ошибку единицы веса среднюю квадратическую погрешность среднего значения второго угла.
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Таблица 2
Результаты измерений
Si, м
№№измерений
i
Результаты
измерений
i, м
1
68.31
1
2
3
4
5
6
.41
.35
.36
.30
.35
2
3
4
5
6
66 01610.0
11.1
12.1
12.5
11.6 
110
№№измерений
i
Веса
измерений
Рi
2.0
1.0
2.0
2.0
1.0
1.0
8
Вариант 7
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача 2.1. Вычислите среднюю квадратическую погрешность функции
 4.0
 0.8
U  x1  2
x1
, если
x2
0.8 
 . x 1  1.0, а x 2  2.0.
3.0 
ковариационная матрица её аргументов равна К  
Задача 2.2. Вычислить среднее квадратическое значение невязки приращений абсцисс хода, состоящего
из четырех сторон, если ковариационная матрица приращений равна:
 4.0

 0.9

0.8

 0.1
0.9 0.8 0.1 

9.0 0.7 0.2 
(см2).
K X
0.7 16.0 0.3 

0.2 0.3 4.0 
1
Задача 2.3. Площадь треугольника вычисляется по формуле P  ab sin  , где а = 60.00 м, b =30.00 м,
2

  30 0000. Найти среднюю квадратическую погрешность площади, если известны средние
"
квадратические погрешности аргументов: m a  2.0 см, m b  3.0 см, m   30.
Задача 2.4. С какой точностью надо измерить углы треугольника 1 и  2 , чтобы получить значение
третьего угла 3 со средней квадратической погрешностью 20  ?
Задача 2.5. Определить среднюю квадратическую погрешность суммы превышений точек нивелирного
n
n
1
1
хода, контролируемую по формуле U   a   b, если m a  m b  0.67 мм , n  5.
Задание 3.1. Четыре линии полигонометрического хода измерены со средними квадратическими
погрешностями 2.0 см, 2.2см, 1.5 см, 1.4 см, углы измерены равноточно и характеризуются средней
квадратической погрешностью m  3.0 . Установить веса результатов измерений, приняв   m .
Задача 3.2. Выразить обратный вес функции U 
x 2  x1
, если x i и y i - независимо измеренные
y 2  y1
аргументы, веса которых равны Px , Px , Py , Py .
1
2
1
2
Задача 3.3. Определить вес отметки конечной точки нивелирного хода длиной 16 км, если средняя
квадратическая погрешность отметки начальной точки – 18 мм, а превышения по ходу получены со
средней квадратической погрешностью 6 мм/км, средняя квадратическая погрешность единицы веса
  40 мм.
Задача 3.4. В четырехугольнике измерены 3 угла с весами Р1 = 2.0, Р2 =3.0, Р3 =5.0. Определить вес
четвертого угла, вычисленного по первым трем.
Задача 3.5. Вес измерений угла принят равным Р =2.0. Сколько измерений нужно сделать, чтобы
получить вес окончательного результата с весом Рср = 6.0?
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Таблица 2
№№измерений
i
1
2
3
4
5
6
Результаты измерений
Si, м
№№измерений
i
Результаты
измерений
Si
78.84
1
711717 .1
.80
.81
.85
.80
.82
2
3
4
5
6
17,2
18.1
18.2
19.0
19.0
Веса
измерений
Рi
1.0
1.0
2.0
2.0
1.0
1.0
9
Вариант 8
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача 2.1. Написать выражение для средней квадратической погрешности функции
 2.0
К  
 0
0 

3.0 
U  lg( x 2  x 1 ) , если
- ковариационная матрица аргументов.
Задача 2.2. Линия S1 измерена дважды со средней квадратической погрешностью измерений m1=2.0см, а
линия S2 измерена три раза со средней квадратической погрешностью измерений m2 = 4.0 см. Определите средние
квадратические погрешности: а) суммы средних значений этих линий; б) их разности.
Задача 2.3. Превышение h вычислено по формуле h  Stg . С какой точностью должны быть измерены
расстояние S=100.00 м и угол наклона
  30  0000 , если
h требуется получить со средней квадратической
погрешностью m h  30 мм?
Задача 2.4. Вычислить среднюю квадратическую погрешность суммы приращений ординат хода из двух линий.
Длины линий, их средние квадратические погрешности и дирекционные углы равны:
S(м)
250.00
300.00
ms(cm)
1.0
1.3






70 15 12.0
120 1211 .6
 4.0 0.8 

K   
0.8
2.0


- ковариационная матрица дирекционных углов (сек2).
Задача 2.5. Объем параллелепипеда вычислен по формуле V  S * h , где S=50.00м2 – площадь, а h = =
100.00 м – высота. Средние квадратические погрешности площади и высоты равны, mS = 0,2 м2 и mh = 20 см.
Определить среднюю квадратическую погрешность объема V.
Задача 3.1. В треугольнике измеренные углы характеризуются средней квадратической погрешностью
m  2 , а измеренные линии – средними квадратическими погрешностями m1 = 2.0 см, m2 = 3.0 см,
  m .
функции U  2 x1  x 2  x 3 / x 4 .
m3 = 4.0см. Установить веса результатов измерений, положив
Задача 3.2. Написать выражение для обратного веса
Веса независимо
измеренных аргументов равны Р1, Р2, Р3,Р4.
Задача 3.3. Найти среднюю квадратическую погрешность и вес цены деления уровня, определяемой по рейке и
вычисляемой по формуле
 
206 * h (mm)
. Аргументы формулы и их средние квадратические погрешности
n * S(m)
имеют следующие значения: h=10 мм, mh = 0.50 мм, S= 40.00 м, ms=0.010 м, n=10 делений, mn=0.10 делений.
Средняя квадратическая погрешность единицы веса   m h .
Задача 3.4. Определить вес горизонтального проложения линии, если её измеренная длина на местности равна
S=50.00м. Средняя квадратическая погрешность ms = 0.05 м, вес измеренной длины принят за единицу. Угол
наклона
  15  00 , средняя квадратическая погрешность угла наклона m   0.5 .
Задача 3.5. Угол наклона измерен 9 раз со средней квадратической погрешностью измерений
  m  3 .
Определить среднюю квадратическую погрешность и вес окончательного результата.
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений линии S и
угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Таблица 2
№№измерений
i
1
2
3
4
5
6
Результаты измерений
Si
№№измерений
i
Результаты измерений
Si
88.84
1
88 1818.8
.80
.81
.85
80
.80
2
3
4
5
6
17.2
18.1
18.2
19.0
19.0
Веса
измерений
Рi
1.0
1.0
2.0
2.0
1.0
1.0
10
Вариант 9
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача
2.1.
Написать выражение для средней квадратической
U  ( x1  x 2  x 3 ) / 4 , если ковариационная матрица её аргументов равна:
 9.0

K x   0.5
0

погрешности
функции
0 

4.0 0  .
0
4.0 
Задача 2.2. Для определения высоты дома измерены: базис b  40.00м со средней квадратической

погрешностью m b  2.2см и угол А  60 0000 . со средней квадратической погрешностью
m А  30 (см. рис.). Определить среднюю квадратическую погрешность высоты дома а.
0.5
Задача 2.3. С какой точностью будет определен диаметр окружности, если средняя квадратическая
погрешность радиуса m r  5.0 мм?
Задача 2.4. С какой точностью (СКО) будет определена абсцисса точки К, делящей линию между
 4.0
0.6 
точками А и В в отношении m : n  2 : 3 , если K x  
 (cm2).
2.2 
 0.6
Напоминаем
формулу
для
вычисления
абсциссы
искомой
точки: X K  X A  (X B  X A )  m /( m  n ) ,
Задача 2.5. С какой точностью должны быть взяты отсчеты КП и КЛ, чтобы место нуля (МО) было
вычислено со средней квадратической погрешностью 1 ?
Задача 3.1. Одна и та же линия определена пять раз со средними квадратическими погрешностями
результатов m1  2.0 см, m 2  6.0 см, m 3  4.0 см, m 4  2.0 см, m 5  8.0 см . Установить веса
результатов измерений, положив   m1 .
Задача 3.2. Написать выражение для обратного веса функции независимо измеренных аргументов
U  x 1 x 2 / x 3 . Веса аргументов равны Р1 , Р2 , Р3.
Задача
3.3.
Угол
измерен
4
раза.
Веса
результатов
измерений
равны:
Р1  2.0, Р 2  1.0, Р 3  2.0, Р 4  1.0. Средняя квадратическая погрешность единицы веса   4.
Найти среднюю квадратическую погрешность и вес наиболее надёжного результата.
Задача 3.4. Площадь фигуры состоит из пяти частей, измеренных равноточно. Определить вес
площади фигуры, положив веса измеренных частей равными единице.
Задача 3.5. Угол А измерен 4 раза, угол В измерен 9 раз, средняя квадратическая погрешность
измерений m  1.5 .Определить веса окончательных значений углов А и В, принимая погрешность
единицы веса   m.
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Таблица 2
Результаты измерений
Si, м
№№измерений
i
Результаты
измерений
i, м
1
59.35
1
2
.38
2
3
4
.41
.36
3
4
5
6
.30
.33
5
6
99 1919 .5
19 .6 
19 .8
20 .0 
21 .1
21 .2 
№№измерений
i
Веса
измерений
Рi
1.0
2.0
1.0
2.0
1.0
1.0
11
Вариант 10
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача
2.1.
Написать
выражение
для
средней
квадратической
 4.0
U  5( x 2  x 1 ) , если ковариационная матрица её аргументов равна K x  
 0.2
погрешности
функции
0.2 
.
9.0 
Задача 2.2. .Вычислить среднюю квадратическую погрешность коэффициента нитяного дальномера
K=S/l, где l = 20 см – отсчёт по рейке между дальномерными нитями сетки, характеризующийся
средней квадратической погрешностью ml = 1мм, S = 60,00м - расстояние от оси вращения
инструмента до рейки, ms = 6см.
Задача
2.3.
С
какой
точностью
следует
измерить
стороны
прямоугольника
а  32.62м и в  52.37м , чтобы средняя квадратическая погрешность площади Р равнялась
m Р  0.83м 2 ?
Задача 2.4. На местности измерена наклонная линия S  212.68 м со средней квадратической
погрешностью m s  0.12 м и угол наклона к горизонту   16 31 30 со средней квадратической
погрешностью m  45 . Определить среднюю квадратическую погрешность её горизонтального
проложения D.
Задача 2.5. Угол  измерен 4 раза со средней квадратической погрешностью измерений m  2 .
Определить среднюю квадратическую погрешность наиболее надёжного значения угла.

Задача 3.1. В треугольнике измерены 3 угла со средними квадратическими погрешностями
измерений, равными 2.0,3.0,2.5. Вес первого угла равен 1.0.Чему равны веса второго и третьего
углов треугольника?
Задача 3.2. Написать выражение для обратного веса функции U  x 1 x 2 x 3 , где xi - независимо
измеренные аргументы, с весами Р1, Р2, Р3.
Задача 3.3. Нивелирный ход состоит из пяти станций, превышения на которых получены с весами
Р1  1.0, Р 2  2.0, Р 3  3.0, Р 4  1.0, Р 5  2.0 . Определить вес превышения по всему ходу.
Задача 3.4. Определить вес и среднюю квадратическую погрешность гипотенузы прямоугольного
треугольника,
если
катеты
и
их
среднюю
квадратические
погрешности
равны
а  40.00 м, m a  0.002 м, b  16.00 м, m b  0.001 м. Cредняя квадратическая погрешность
единицы веса   m b .
Задача 3.5. Определить вес суммы углов А и В, если угол А измерен четырьмя приемами, а угол В –
девятью.   m A  m B  m.
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
№№измерений
i
1
2
3
4
5
6
Таблица 2
Результаты измерений
Si, м
№№измерений
i
Результаты
измерений
i, м
45.56
1
10 1015 .0
.61
.66
.57
.60
.55
2
3
4
5
6
13.1
12.8
14.1
14.0
14.0
Веса
измерений
Рi
1.0
2.0
2.0
2.0
1.0
1.0
12
Вариант 11
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача 2.1. Вычислите значение средней квадратической погрешности функции U  x 1  4x 2 , если
3
16
K X  
 0.8
0.8 
 - ковариационная матрица аргументов, а x1 = x2 =1.0.
9.0 
Задача 2.2. .Определить среднюю квадратическую погрешность суммы трех углов, если средняя
квадратическая погрешность этих углов m  6.0.
Задача 2.3. Вычислить среднюю квадратическую погрешность длины окружности, если ее радиус R
измерен со средней квадратической погрешностью m R  0.05 м.
Задача 2.4. Превышение на станции геометрического нивелирования получено как среднее из
превышений при двух горизонтах инструмента по одной стороне рейки со средней квадратической
погрешностью, равной 1 мм. Найти среднюю квадратическую погрешность отсчета по рейке.
Задача 2.5. Длина линии АВ определена по координатам пунктов А и В: XA = 90.00 м, YA =180.20 м,
XB = 130.50 м, YB = 202.24 м. Известна ковариационная матрица приращений
 9.0
 и  : K  
 0.9
0.9 
 (см2). Вычислить среднюю квадратическую погрешность длины линии.
16.0 
Задача 3.1. Углы пятиугольника измерены разным числом приемов каждый: n1 = 10, n2 = 20, n3 = 15,
n4 = 5, n5 = 10. Средняя квадратическая погрешность измерений одного приёма равна m˝ . Установить
веса средних значений измеренных углов в масштабе среднего значения четвёртого угла.
Задача 3.2. Написать выражение для обратного веса функции U  5x 1 x 2  4 x 3 , если xi независимо измеренные аргументы, веса которых равны Р1 = 2.0, Р2 = 3.0, Р3 = 4.0.
Задача 3.3. .Определить вес и среднюю квадратическую погрешность полупериметра треугольника,
если стороны a, b, c измерены с весами Pa=1.0, Pb=2.0, Pc=3.0;   2.0 см.
Задача 3.4. Радиус окружности измерен два раза со средней квадратической погрешностью измерений
m = 2.0см. Приняв среднюю квадратическую погрешность единицы веса   m , определите вес
вычисленного значения длины окружности.
Задача 3.5. Угол A получен как среднее весовое из результатов трех измерений, характеризующихся
средними квадратическими погрешностями m1  1.5 , m 2  2.0 , m 3  1.5 . Установить веса
результатов измерений и определить вес окончательного значения угла А.
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
№№измерений
i
1
2
3
4
5
6
Таблица 2
Результаты измерений
Si, м
№№измерений
i
Результаты
измерений
i, м
13.14
1
.15
.16
.18
.18
.15
2
3
4
5
6
100 1112.5
13.1
12.8
14.1
14.0
14.0
Веса
измерений
Рi
1.0
1.0
2.0
2.0
1.0
1.0
13
Вариант 12
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача 2.1. Написать выражение для средней квадратической погрешности функции U  tgX1  X 2 . ,
0.8  - ковариационная матрица её аргументов.
если K x   4.0

0.8
4.0


Задача 2.2. Вычислить среднюю квадратическую погрешность невязки в приращениях ординат
замкнутого полигона, если число приращений равно 4, а их ковариационная матрица имеет вид:
 0.36

 0.04
Kx  
0.01

0
0.04
0.25
0.03
0



(см2).

0.49 0.01

0.01 1.00 
0.01 0
0.03 0
Задача 2.3. Вычислить среднюю квадратическую погрешность суммы пяти углов многоугольника,
если средняя квадратическая погрешность одного направления m  2?
Задача 2.4. Вычислить среднюю квадратическую погрешность дирекционного угла третьей стороны
теодолитного хода, если средняя квадратическая погрешность начального дирекционного угла равна
m  0.2 , а измеренного угла - m,  0.4 .
н
Задача 2.5. С какой точностью следует измерить основание b =12.0 м и высоту h =24.0 м
треугольника, чтобы получить площадь со средней квадратической погрешностью 0,1 m2?
Задача 3.1. Стороны и углы полигонометрического хода характеризуются средними квадратическими
погрешностями m S1  2.0 см, m S 2  2.6 см, m S 3  3.0 см, m S 4  2.0 см, m  2.0. Установить
веса результатов измерений, приняв
  m .
Задача 3.2..Написать выражение для обратного веса функции U  6x 1  6 x 2  3x 3 , если xi независимо измеренные аргументы с весами Р1 , Р2 , Р3.
Задача 3.3. Вычислить вес и среднюю квадратическую погрешность площади ромба, если его сторона
а = 1.00 м и высота h =0.5 м определены с весами Р a  1.0, Р h  2.0 , а средняя квадратическая
погрешность основания m a  2.0 см.
Задача 3.4. Чему равен вес превышения геометрического нивелирования, полученного на станции как
среднее из отсчётов по двум сторонам рейки, если вес отсчета по рейке Р = 1.0?
Задача 3.5. Линии полигонометрического хода измерены равноточно дважды в прямом и обратном
направлениях. Определить вес длины всего хода, если средние квадратические погрешности измерений
линий равны:. m S1  2.0 см, m S 2  4.0 см, m S 3  8.0 см, m S 4  3.0 см и   m S1 .
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Результаты измерений
№№измерений
Si, м
i
1
2
3
4
5
6
120.12
.13
.15
.10
.14
.14
№№измерений
i
1
2
3
4
5
6
Таблица 2
Результаты
измерений
i, м
121 1211.0
11 .6 
12 .1
12 .2 
12 .5
11 .8
Веса
измерений
Рi
1.0
1.0
2.0
2.0
2.0
1.0
14
Вариант 13
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача
2.1.
U  cos x 1 
Написать
выражение
для
средней
квадратической
погрешности
функции
x2
 0.36 0.02 
, если K  
 - ковариационная матрица её аргументов.
0.02
0.49
2


Задача 2.2. С какой точностью будет получен полупериметр треугольника Р, если его стороны a, b, c
характеризуются средними квадратическими погрешностями ma =2.0 см, mb =3.0 см, mc =4.0 см ?
Задача 2.3. Среднее квадратическое значение невязки замкнутого нивелирного полигона из пяти
станций mf =6.0 мм. С какой точностью измерены превышения на станциях?
Задача
2.4.
Превышение
геодезического
нивелирования
определяется
по
формуле
h  Stg  i  v  f . Вычислить h и его среднюю квадратическую погрешность по данным
следующей таблицы:
S(m)
m S ( m)
o '
 13  47.5
m
i(m)
m i (m)
v( m)
m v ( m)
f
mf
187.95
0.50
0.008
0
0
0.50  0.875 0.005 2.980
Задача 2.5. Средняя квадратическая погрешность логарифма стороны полигонометрического хода
m lg S  36*10-6. Найти относительную среднюю квадратичесую погрешность стороны S = 100 м.
Задача 3.1. Средняя квадратическая погрешность измерений стороны S полигонометрического хода
m S  1.90 см, веса углов приняты равными единице. Определить вес стороны, если средняя
квадратическая погрешность измерения углов m  3.0 .
Задача 3.2. Написать выражение для обратного веса функции U 
x 1 x 2  3.5x 3 , если xi -
независимо измеренные аргументы, веса которых равны Р1, Р2, Р3.
Задача 3.3. Линия измерена трижды. Средние квадратические погрешности измерений равны
m1=2.0см, m2=3.0см, m3 = 3.2см. Определить среднюю квадратическую погрешность и вес
окончательного результата, приняв  = m1.
Задача 3.4. Углы А, В, С измерены каждый тремя приемами со средней квадратической
погрешностью измерений одного приёма m  3.0 .. Определить вес и среднюю квадратическую
погрешность полусуммы окончательных значений этих углов, если  = m.
Задача 3.5. Определить вес превышения на станции геометрического нивелирования, если средняя
квадратическая погрешность отсчета по рейке m = 0.70 мм, а вес отсчета принят равным 1.00.
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
№№измерений
Таблица 2
№№измерений
i
Результаты измерений
Si
1
2
3
4
5
6
130.13
.10
.10
.11
15
.15
1
2
3
4
5
6
i
Результаты измерений
Si
13 1313 .3
13.4
14.1
15.0
14.7
14.5
Веса измерений
1.0
1.0
2.0
1.0
2.0
2.0
15
Вариант 14
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача 2.1. Напишите выражения для средней квадратической ошибки следующих функций:
а) u  lg x 2  lg x1 ;
в) u  x12  x 2 ,
если аргументы этих функций – независимо измеренные величины с известными средними
квадратическими ошибками m1 и m2, соответственно
Задача 2.2. С какой средней квадратической погрешностью будет определено увеличение трубы
V  f об f ок , если fоб = 250мм и fок =10мм – фокусные расстояния объектива и окуляра, соответственно,
определённые независимо со средней квадратической погрешностью m f  0.1 мм?
Задача 2.3.С какой средней квадратической ошибкой будет определено место нуля теодолита, если
независимые отсчёты КП и КЛ сделаны со средней квадратической ошибкой 0.7 ?
Задача 2.4. Угол  в треугольнике вычислен по углам  и  , каждый из которых получен трижды
со средней квадратической ошибкой измерений m  2.0 . Определить .среднюю квадратическую
ошибку угла  .
Задача 2.5. Площадь фигуры состоит из трех частей. С какой точностью должна быть измерена
каждая из этих частей, чтобы получить площадь фигуры со средней квадратической ошибкой m = 5см?
Задача 3.1. Углы треугольника измерены с весами Р1 = 5.0, Р2 = 4.0, Р3 =1.0. Определить средние
квадратические ошибки этих углов, если средняя квадратическая ошибка единицы веса   3.0 .
Задача 3.2. Написать выражение для обратного веса функции U  x 1  x 2 x 3 независимо
измеренных аргументов, веса которых равны Р1, Р2, Р3.
Задача 3.3. Угол измерен два раза. Какой вес имеет окончательный результат, если вес одного
направления принять за единицу?
Задача 3.4. Определить вес объема прямоугольного параллелепипеда, если его ребра
a  12.00 м , b  8.0 м и c  5.0 м измерены с весами Pa  80, Pb  100, Pc  160 .
Задача 3.5. Вес измерения угла равен 1.0 . Сколько раз нужно измерить угол, чтобы получить вес
окончательного значения, равным 5.0?
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Таблица 2
№№измерений
i
Результаты измерений
Si, м
№№измерений
i
1
79.21
1
2
3
4
5
6
.31
.25
.26
.20
.25
2
3
4
5
6
Результаты
измерений
i, м
Веса
измерений
Рi
5401316.0
15.0
15.1
1.0
14.1
14.9
15.2
2.0
1.0
2.0
2.0
1.0
16
Вариант 15
Решение задач по теории ошибок.
Математическая обработка рядов измерений.
Задача 2.1. Напишите выражение для средней квадратической ошибки функции U  3
ковариационная матрица её аргументов имеет вид:
9
K x  
0
X1
, если
X2
0

4 
Задача 2.2. Линия S1 измерена дважды со средней квадратической ошибкой измерений m1=3.0см,
линия S2 измерена три раза со средней квадратической ошибкой измерений m2 = 5.0 см. Определить
среднюю квадратическую ошибку: а) суммы этих линий; б) их разности.
Задача 2.3. Площадь треугольника вычисляется по формуле P 
1
ab sin  , где угол   30 0000 ,
2
а = 50.00 м , b = 20.00 м. Вычислить среднюю квадратическую ошибку площади, если известны средние
квадратические ошибки независимых аргументов: m   30, m a  3.0 см, m b  5.0 см .
Задача 2.4. Найти среднюю квадратическую ошибку суммы двух приращений абсцисс, если
расстояния S1= 200.03м и S2 = 190.21 м измерены независимо со средними квадратическими
погрешностями m s  2.0 см и m s  1.5 см, а ковариационная матрица дирекционных углов
1
2
 5.0 0.4 
 ,   3.0 .
1  30 00000 и  2  35 0 0000 имеет вид K    2 
0
.
4
3
.
9


Задача 2.5. С какой точностью должны быть взяты отсчеты КП и КЛ, чтобы место нуля (МО) было
определено со средней квадратической ошибкой 2.0 ?
Задача 3.1. В треугольнике 3 угла характеризуются следующими средними квадратическими
ошибками: 3.0,4.0,2.5. Вес третьего угла принят равным 1.0.Чему равны веса первого и второго
углов треугольника?
Задача 3.2. Написать выражение для обратного веса функции U  x 1 x 2  x 3 , если xi - независимо
измеренные аргументы с весами Р1 = 3.0, Р2 =2.0, Р3 =4.0.
Задача 3.3. Линия измерена трижды. Средние квадратические ошибки измерений равны m1=5.0см,
m2=3.0см, m3 = 3.5см. Определить среднюю квадратическую ошибку и вес окончательного
результата, приняв   m1 .
Задача 3.4. Углы А, В, С измерены каждый двумя приемами, характеризующимися средней
квадратической ошибкой измерения одним приемом m  10.0 . Определите вес и среднюю
квадратическую ошибку полусуммы окончательных значений этих углов, если  = m.
Задача 3.5. Углы измерены тремя теодолитами. Средняя квадратическая погрешность однократного
измерения равна, соответственно, m1  2.9 , m 2  5.3 , m 3  6.0  . Первым теодолитом угол был
измерен два раза, вторым – три раза, третьим – четыре раза. Вычислить среднюю квадратическую
ошибку и вес суммы окончательных значений этих углов, приняв   m1 .
Задача 4. Выполнить математическую обработку рядов равноточных и неравноточных измерений
линии S и угла  по данным Таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Таблица 2
№№измерений
i
1
2
3
4
5
6
Результаты измерений
Si, м
№№измерений
i
Результаты
измерений
i, м
13.14
1
.15
.16
.18
.18
.15
2
3
4
5
6
100 1112.5
13.1
12.8
14.1
14.0
14.0
Веса
измерений
Рi
1.0
1.0
2.0
2.0
1.0
1.0
Задание № 2 по курсу «ТМОГИ»
Упражнения с матрицами в среде Excel.
ПЛАН
1. Найти алгебраическую сумму матриц:
2   5 8
  6 9  7

 
 

 9 0 +   3 1  –   3 4 .
  3 9  4  6  0 2

 

 
2. Произвести умножение матриц:
а)
0 
 2  3 4  1

 

 1 2 0 *  1 2  ;
  4 3 1  2  2

 

б)
 2 1 1 0   1 

  

1
2

1
0

  3 
vT*P*v = (1 3 0 –2) * 
.
*
 1  1 2  1  0 

  
0
0

1
2

   2
3. Для системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
N*x – w = 0,
где
 2 1 0 


N =   1 2  1 , а w =
 0 1 2 


 3 
 
  2 ,
 4 
 
выполнить следующие действия:
1) вычислить определитель матрицы N;
2) решить СЛАУ методом обращения: x = N-1*w;
3) проконтролировать решение путём подстановки найденных корней в
исходную СЛАУ.
Вычисления произвести в Microsoft Excel и оформить в распечатанном
виде в альбомном формате А4.
Задание составил
проф. В.А. Падве
Задание № 3 по курсу «ТМОГИ»
Математическая обработка независимых измерений в
нивелирной сети с использованием коррелатной версии МНК.
ПЛАН
1. Выполнить МНК-оптимизацию и оценку точности измеренных
превышений в нивелирной сети согласно нижеприведённой блок-схеме.
1.Моделирование
2.Линеаризация
3.Нормализация
Фr1 (Yn1) = 0r1
yn1; E(yn1)=Yn1
Ky = Knn

Brn Vn1 + Wr1 =0r1
Brn={∂Фr1/∂/Yn1}y
Wr1 = Фr1(yn1)
Nrr r1-Wr1 =0r1
Nrr=BKBT
6.МНКоптимизация
5.МНКоценивание
4.Решение НУ
~
Y = y +V
~
V = - KBT 
7.Показатель
точности
1
r1= N rr Wr1
~
8.Ковариации V
~
~
V T K 1V
 
r
K V~  KBT N 1BK
Ковариации Y
a posteriori
9.Ковариации Y
a priori
K Y  2 * K Y
K Y  K  K V~
2
Выполнить контрольные вычисления следующих этапов:
~
(2) Wjon.  t1  / 2 *  0 * N jj ; (4) Nrr *r1 = Wr1; (5) Brn * Vn1 = -Wr1;
(6)
 r1 (Yn1 )  0r1 ; (7)
(10)
m 2  /  2  k .
  2 
~
~
V1Tn K nn1 Vn1 = W1Tr  r1 ; (8)
 2~ 
 V 2  = r;
  
19
Вычислить апостериорное значение масштабного показателя точности
~
~
V T K 1V
2
 
r
и проверить нулевую гипотезу H0 = {} на уровне значимости
,Для проверки гипотезы использовать тест
tэ =
2 * r
 02
~
~
 V1Tn K nn1 Vn1 ,
который сопоставляется с двухсторонним доверительным интервалом
tT = [  2H ; 2B ],
где  2H  12  / 2; r , а  2B   2 / 2; r , соответственно.
2. Вычислить СКО оптимизированных значений превышений по формуле
m Yi  {K Y }ii .
3. Составить каталог оптимизированных (уравненных) значений отметок
узловых реперов и вычислить (с контролем !) СКО отметки наиболее
удалённого репера. Отметку репера представить с помощью двух функций
измерений вида:
Нопр.= F(Нтв., hT1n).
СКО отметки вычислить следующим образом:
m H onp.  {K F }11  {K F }22 ,
где
K F  f KY f T ,
а
f  {F / Y}.
Вычисления произвести в Microsoft Excel и оформить в распечатанном
виде в альбомном формате А4.
Задание составил
проф. В.А. Падве
Задание № 4 по курсу «ТМОГИ»
Математическая обработка независимых измерений в
нивелирной сети с использованием параметрической версии МНК.
ПЛАН
1. Выполнить МНК-оптимизацию и оценку точности измеренных
превышений в нивелирной сети согласно нижеприведённой блок-схеме.
1.Моделирование
2.Линеаризация
Y =F(X) ;
y; E(y)=Y
AnkXk1 – Ln1 =Vn1
Ank={∂F/∂/X}x
Ln1=y – F(x)
x; E(x)=x
Ky = K ; Kx-1 = 0
3.Нормализация
~
Nkk X k1 -Gk1 =0k1
Nkk = AT K-1 A
Gk1 = AT K-1L

6.МНКоптимизация
~
Y = y +V
~
X = x +X
5.МНКоценивание
4.Решение НУ
~
X k1 = N kk1 Gk1
~
~
V = A X - L
7.Показатель
точности
~
~
V T K 1V
 
nk
2
Ковариации Y
a posteriori
K Y  AK X A T
8.Ковариации X
a priori
K X  N 1
9.Ковариации X
a posteriori
K X   2 * N 1
Выполнить контрольные вычисления следующих этапов:
~
(4) Nkk * X k1 = Gk1;
~
(5) A Tkn K nn1 Vn1 = 0k1;(6) Yn1  Fn1 (Xk1 ) ;
 2~ 
2
~ T 1 ~
~ T 1
(7) V1n K nn Vn1 = - V1n K nn L n1 . (8)  V 2  = r; (10) m 2  /  2  k .
  
  
21
После выполнения контроля 7-го этапа следует вычислить
апостериорное значение масштабного показателя точности (МПТ)
~
~
V T K 1V
2
 
nk
и проверить нулевую гипотезу H0 = {} на уровне значимости
,Для проверки гипотезы использовать тест
~
~
tэ = V1Tn K nn1 Vn1 ,
который сопоставляется с двухсторонним доверительным интервалом
tT = [  2H ; 2B ],
где  2H  12  / 2; r , а  2B   2 / 2; r , соответственно.
2. Вычислить СКО оптимизированных значений превышений по формуле
m Yi  {K Y }ii ,  i  1,..., n .
3. Составить каталог оптимизированных (уравненных) значений отметок
узловых реперов и вычислить их СКО.
m X j  {K X } jj , 
j  1,...,k .
4. Оценить точность не измерявшегося превышения между узловыми
реперами I и III, представив это превышение в виде функции параметров:
hI-III = F(X).
Построить ковариационную матрицу
Kh  f KX f T ,
где
f  {F / X}.
Вычисления произвести в Microsoft Excel и оформить в распечатанном
виде в альбомном формате А4.
Задание составил
проф. В.А. Падве