Урок №4. КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Урок №4.
КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Квадратным неравенством называют неравенство вида ах2+вх+с=0, где а#0 (вместо
знака > может быть любой другой знак неравенства).
Пример 1. Решить неравенство:
а) х2-2х-3> 0
в) х2-2х-3<0
б) х2-2х-3≥ 0
г) х2-2х-3≤0
Решение.
а) Рассмотрим параболу у=х2-2х-3, изображённую на рисунке.
Решить неравенство х2-2х-3>0-это значит ответить на вопрос, при каких значениях
х ординаты точек параболы положительны. Замечаем, что у>0, т. е. график функции
расположен выше оси х , при х<-1 и при х>3. Значит, решениями неравенства служат
все открытого луча (-∞; -1) и все точки открытого луча (3; +∞).
б) Неравенство х2-2х-3<0 или у<0, где у=х2-2х-3, также можно решить с помощью
данного рисунка: график расположен ниже оси х, если -1<x<3. Поэтому решениями
данного неравенства служит промежуток (-1; 3).
в) Неравенство х2-2х-3≥0 отличается от неравенства х2-2х-3>0 тем,что в ответ
нужно включить и корни уравнения х2-2х-3=0, т. е. точки х=-1 и х=3. Таким образом,
решениями данного неравенства являются все точки луча (-∞; -1]и [3; +∞).
г) Неравенство х2-2х-3≤0 отличается от неравенства х2-2х-3<0 тем, что в ответ надо
включить и корни уравнения х2-2х-3=0, т. е. точки х=-1 и х=3. Следовательно,
решениями данного неравенства служат все точки отрезка [-1; 3].
Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство
ах +вх+с>0, аккуратно строить параболу? Достаточно сделать схематический набросок
графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трёхчлена и определить, куда
направлены ветви параболы - вверх или вниз, Этот схематический набросок даст
наглядное представление о решении неравенства.
2
Алгоритм решения квадратного неравенства:
1. Найти корни квадратного трёхчлена ах2+вх+с.
2. Отметить найденные корни на оси х и определить, куда (вверх или вниз)
направлены ветви параболы, служащей графиком функции у=ах 2+вх+с; сделать
схематический набросок графика.
3. По схематическому наброску определить, на каких промежуткахоси х ординаты
графика положительны ( отрицательны); включить эти промежутки в ответ.
Пример 2.Решить неравенство: 4х2-4х+1≤0
Решение.
1) из уравнения 4х2-4х+1=0 находим х=1∕2
2) Квадратный трёхчлен имеет один корень х=1∕2; это значит, что парабола не
пересекает ось х, а касается её в точке х=1∕2. Ветви параболы направлены вверх.
Схематический набросок графика представлен на рисунке:
2х
Ответ: х=1∕2.
Возникает вопрос: а если квадратный трёхчлен не имеет корней? Тогда наш
алгоритм не применим и нужно рассуждать по-другому. Ключ к этим рассуждениям
дают следующие теоремы.
Теорема 1. Если квадратный трёхчлен не имеет корней (т. е D<0) и если при этом
а>0, то при всех значениях х выполняется неравенство ах2+вх+с>0.
Теорема 2. Если квадратный трёхчлен не имеет корней и если при этом а<0, то при
всех значениях х выполняется неравенство ах2+вх+с<0.
Пример 3. Решить неравенства:
а) 2х2-х+4>0,
в) –х2+3х-8≥0
Решение.
а) найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2х2-х+4. Имеем Д=(-1)2-4*2*4=31<0. Старший коэффициент (число 2) положителен. Значит по теореме 1 , при всех
значениях х выполняется неравенство 2х2-х+4>0, т. е. решением данного неравенства
служит вся числовая прямая.
б) Найдём дискриминант квадратного трёхчлена –х2+3х-8. Имеем Д=32-4*(-1)*(8)=-23<0. Старший коэффициент (число -1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2,
при всех значениях х выполняется неравенство –х2+3х-8<0. Это значит, что неравенство
–х2+3х-8≥0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. данное неравенство не имеет
решений.
Ответ: нет решений.