Методические указания к выполнению контрольных работ Ч. 2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО
УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И
СЕРВИСА
Дисциплина «Линейная алгебра»
Часть 1
Методические указания к выполнению
контрольной работы № 1 для студентов направления подготовки
«Экономика» заочной формы обучения
УФА - 2011
Рекомендации по выполнению и оформлению контрольных работ
Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по пособиям и учебникам. Если студент
испытывает затруднения в освоении теоретического или практического
материала, то он может получить консультацию на кафедре высшей математики.
При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не
зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
1. Контрольную работу следует выполнять в тетради, отдельной для
каждой работы, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для
замечаний рецензента.
2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его
инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название
дисциплины. В конце работы следует проставить дату её выполнения и
расписаться.
3. В тетради должны быть решены все задачи контрольной работы строго
в соответствии со своим вариантом. Контрольные работы, содержащие не все
задачи, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.
4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в
заданиях, сохраняя номера задач.
5. Перед решением каждой задачи нужно выписать полностью ее условие.
В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего
варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи,
заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.
6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и
мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
7. После получения прорецензированной работы, как незачтенной, так и
зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и
недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.
Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует
сделать в короткий срок.
В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то,
что студент может ограничиться представлением исправленных решений
отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.
Рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце
тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в
соответствии с указаниями рецензента. Прорецензированную контрольную
работу вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по
требованию рецензента, студент представляет к защите.
2
Введение
В каждом семестре выполняется одна контрольная работа. В контрольную
работу № 1 включены задачи 1, 2, 3, 4, 5, 6. Студент должен решить задачи
своего варианта, который определяется по последней цифре номера зачетной
книжки студента, например: если номер зачетной книжки заканчивается на 2, то
студент выполняет задания: 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2.
Контрольные задания

  
Задача 1. Даны векторы а1 , а 2 , а3 и b в некотором базисе трехмерного
 

пространства. Показать, что векторы а1 , а 2 , а3
образуют базис данного

трехмерного пространства и найти координаты
 вектора b



1.1. а1 (1;2;3), а 2 (-1;3;2), а 3 (7;-3;5), b (6;10;17).
в этом базисе.




а1 (4;7;8), а2 (9;1;3), а 3 (2;-4;1), b (1;-13;-13).




1.3. а1 (8;2;3), а 2 (4;6;10), а 3 (3;-2;1), b (7;4;11).




1.4. а1 (10;3;1), а 2 (1;4;2), а 3 (3;9;2), b (19;30;7).




1.5. а1 (2;4;1), а 2 (1;3;6), а 3 (5;3;1), b (24;20;6).




1.6. а1 (1;7;3), а 2 (3;4;2), а 3 (4;8;5), b (7;32;14).




1.7. а1 (1;-2;3), а 2 (4;7;2), а 3 (6;4;2), b (14;18;6).




1.8. а1 (1;4;3), а 2 (6;8;5), а 3 (3;1;4), b (21;18;33).




1.9. а1 (2;7;3), а 2 (3;1;8), а 3 (2;-7;4), b (16;14;27).




1.10. а1 (7;2;1), а 2 (4;3;5), а 3 (3;4;-2), b (2;-5;-13).
1.2.
Задача 2. Даны векторы
    
a1 , a2 , a3 , a4 , b .
Показать, что векторы
   
a1 , a 2 , a 3 , a 4 образуют базис четырехмерного пространства, и найти

координаты вектора b в этом базисе.



a 2 (-10; 3; 0; 2), a 3 (-3; 5; - 1; - 6),
2.1. a1 (2; 0; 8; 5),


a 4 (-1; - 7; 9; 0), b (33; - 4; 23; 3).



a 2 (-5; 1; - 2; 5), a 3 (-3; 1; - 3; 0),
2.2. a1 (1; 4; 0; 3),


a (2; - 7; 1; - 4), b (-28; 21; -14; 35).
 4


a 2 (-3; 0; 7; 0), a3 (2; - 3; - 5; - 4),
2.3. a1 (3; 7; 9; 0),


a (1; - 2; 0; 7), b (-10; - 8; 25; -1).
 4


a 2 (5; - 1; - 3; 2), a 3 (-2; 9; - 2; 9),
2.4. a1 (-1; 3; 5; 0),


a 4 (8; 0; 1; 0), b (9; -17;14; - 26).
3



a 2 (2; - 3; - 1; - 9), a3 (-7; - 1; 1; - 2),


a 4 (3; 4; - 5; - 6), b (59; 20; - 38; - 53).



a 2 (8; - 1; - 1; 3), a 3 (0; 5; 5; 5),
2.6. a1 (9; 7; 1; 0),


a 4 (0; 0; 4; 7), b (79; 67; 29; 33).



a 2 (-4; - 7; - 1; 1), a3 (1; - 2; 5; - 3),
2.7. a1 (2; 9; 0; 0),


a (3; 4; 0; - 5), b (41; 93;11; -19).
4


a 2 (-3; - 2; 0; 2), a 3 (-5; - 6; - 8; - 5),
2.8. a1 (1; 9; 0; - 3),


a (-7; 0; 1; -1), b (55; 0; -18; - 27).
 4


a 2 (-3; 3; - 7; 8), a 3 (5; - 2; 0; 4),
2.9. a1 (-1; 5; 2; 0),


a 4 (2; - 4; 0; -1), b (22; - 33;12; -17).



a 2 (1; - 3; - 6; - 3), a3 (3; - 1; 5; 2),
2.10. a1 (8; 5; 9; 1),


a 4 (0; 2; -1; 4), b (-17; -13; - 36; - 6).
2.5. a1 (5; 1; - 7; 2),
Задача 3. Даны вершины A ( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) треугольника. Найти:
1) длину стороны AB ; 2) внутренний угол A в радианах с точностью до 0,001;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину C ; 4) уравнение медианы,
проведенной через вершину C ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6)
длину высоты, опущенной из вершины
7) систему неравенств,
C;
определяющих треугольник ABC . Сделать чертеж.
3.1. A(1; 1), B(7; 4), C (4; 5) .
3.6. A(-1; - 1), B(-7; 2), C (-4; 3) .
3.2. A(1; - 1), B(-5; 2), C (-2; 3) .
3.7. A(-1; 1), B(-7; 4), C (-4; 5) .
3.3. A(1; 1), B(-5; 4), C (-2; 5) .
3.8. A(0; 1), B(6; 4), C (3; 5) .
4.4. A(-1; - 1), B(5; 2), C (2; 3) .
3.9. A(1; - 1), B(7; 2), C (4; 5) .
3.5. A(-1; 1), B(5; 4), C (2; 5) .
3.10. A(1; 0), B(7; 3), C (4; 4) .
Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:1)длину
ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4
и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение
прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8)уравнение высоты,
опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
4.1. А1(4;2;5),
4.2. А1(4;4;10),
4.3. А1(4;6;5),
4.4. А1(3;5;4),
4.5. А1(10;6;6),
4.6. А1(1;8;2),
4.7. А1(6;6;5),
А2(0;7;2),
А2(4;10;2),
А2(6;9;4),
А2(8;7;4),
А2(-2;8;2),
А2(5;2;6),
А2(4;9;5),
А3(0;2;7),
А3(2;8;4),
А3(2;10;10),
А3(5;10;4),
А3(6;8;9),
А3(5;7;4),
А3(4;6;11),
4
А4 (1;5;0).
А4 (9;6;4).
А4 (7;5;9).
А4 (4;7;8).
А4 (7;10;3).
А4 (4;10;9).
А4 (6;9;3).
4.8. А1(7;2;2),
4.9. А1(8;6;4),
4.10. А1(7;7;3),
А2(5;7;7), А3(5;3;1),
А2(10;5;5), А3(5;6;8),
А2(6;5;8), А3(3;5;8),
А4 (2;3;7).
А4 (8;10;7).
А4 (8;4;1).
Задача 5 . Найти матрицу, обратную матрице
 a11

A   a21
a
 31
a12 a13 

a22 a23  .
a32 a33 
Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.
6 7 3 
9 9 5



5.1. A   3 1 0 .
5.2. A   4 - 1 - 2
2 2 1 
14 13 7



3 3 1 
9 7 3



5.4. A   7 6 2 . 5.5. A  14 9 4
7 9 2 
0 3 2



12 6 1 


5.7. A  19 16 7 .
0 1 1 


1 1 1

5.10. A   3 4 3
9 8 5


- 2 3 4


. 5.3. A   3 - 1 - 3

 -1 2 2



6 5 2


. 5.6. A  11 9 2

4 5 2


4 3 2 
6 9 4



5.8. A   4 5 2 . 5.9. A   - 1 - 1 1
3 2 3 
10 16 7





.




.




.




.


Задача 6. Дана система линейных уравнений
 a11 x1  a12 x 2  a13 x3  b1 ,

a 21 x1  a 22 x2  a 23 x3  b2 ,
a x  a x  a x  b .
32 2
33 3
3
 31 1
Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2)
средствами матричного исчисления:
5
 3x1  2 x2  x3  5,
6.1.  2 x1  3x2  x3  1,
2 x  x  3x  11.
3
 1 2
 x1  2 x2  3x3  6,
6.2. 2 x1  3x2  4 x3  20,
 3x  x  5 x  6.
3
 1 2
 4 x1  3x2  2 x3  9,
6.3.  2 x1  5 x2  3x3  4,
5 x  6 x  2 x  18.
2
3
 1
 x1  x2  2 x3  1,
6.4. 2 x1  x2  2 x3  4,
4 x  x  4 x  2.
3
 1 2
6.5.
6.7.
6.9.
 2 x1  x2  x3  4,

3x1  4 x2  2 x3  11,
3x  2 x  4 x  11.
2
3
 1
 x1  x2  x3  1,

8 x1  3x2  6 x3  2,
 4 x  x  3x  3.
3
 1 2
 7 х1  5 х2  31,

 4 х1  11х3  43,
2 х  3х  4 х  20.
2
3
 1
6.6.
3x1  4 x2  2 x3  8,

2 x1  x2  3x3  4,
 x  5 x  x  0.
2
3
 1
6.8.
 x1  4 x2  2 x3  3,

 3x1  x2  x3  5,
3x  5 x  6 x  9.
2
3
 1
 х1  2 х2  4 х3  31,
6.10. 5 х1  х2  2 х3  20,
 3х  х  х  9.
3
 1 2
Решения типовых задач
Задача 1. Даны векторы
,
,
и
в некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что
векторы
образуют базис данного трехмерного пространства и найти
координаты вектора в этом базисе.
Решение. Векторы
образуют базис, если они линейно
независимы. Составим векторное равенство
. Записывая
в виде векторов – столбцов, получим
.
Задача свелась, таким образом, к решению системы
.
Решим систему методом Гаусса.
.
Итак, система приведена к виду
.
Полученная система имеет единственное нулевое решение:
, т.е. векторы
линейно независимы и, следовательно, составляют базис.
Вектор
можно представить в виде
, т.е. координаты
6
вектора
в этом базисе
. Для отыскания координат вектора
решим систему линейных уравнений методом Гаусса:
.
.
Итак, система приведена к виду
.
Находим
Задача
. т.е. вектор
2.
Даны
.
векторы
,
,
,
и
. Показать, что
векторы
образуют базис четырехмерного пространства, и найти
координаты вектора в этом базисе.
Решение. Векторы
образуют базис, если они линейно независимы.
Составим векторное равенство
. Записывая
в
виде
векторов
–
столбцов,
получим
.
Задача свелась, таким образом, к решению системы
Решим систему методом Гаусса.
. Итак, система приведена к виду
.
7
Полученная
система
имеет
единственное
нулевое
решение:
, т.е. векторы
линейно независимы и,
следовательно, составляют базис. Вектор
можно представить в виде
, т.е. координаты вектора
в этом базисе
. Для отыскания координат вектора
решим систему
линейных уравнений методом Гаусса:
.
.
Итак, система приведена к виду
.
Находим
, т.е. вектор
.
Задача 3. Даны вершины треугольника ABC : A(0; 2), B(7; 3), C (1; 6) . Найти:
1) длину стороны AB ; 2) внутренний угол A в радианах с точностью до 0,001;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину C ; 4) уравнение медианы,
проведенной через вершину C ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6)
длину высоты, опущенной из вершины
7) систему неравенств,
C;
определяющих треугольник ABC
Решение.
Y
C
6
B
A
2
0
1
8
7
x
1) Длину стороны AB (длина вектора АВ ) находим как расстояние между двумя
точками плоскости A ( x A , y A ) и B ( xB , y B ) : d  xB  x A 2   y B  y A 2 .
Поэтому AB  7  02  3  22  50  5 2.
2) Угол A - это угол между векторами АС и АВ . Координаты этих векторов:
АВ  xB  x A , y B  y A   7;1 , АC  xC  x A , yC  y A   1;4 . Таким образом
cos A 
АВ, АС  
АВ АС
x AB x AC  y AB y AC
x
2
AB
y
2
AB
x
2
AC
y
2
AC

7 1  1 4
7 1
2
2
1 4
2
2

11
50 17
 0,377 .
Таким образом, получаем  A  arccos 0,377.
3) Составим уравнение стороны AB :
коэффициент стороны AB равен
y2 x0

, или x  7 y  14  0 . Угловой
32 70
1
; следовательно, в силу условия
7
перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины
С , равен  7 . Уравнение этой высоты имеет вид y  yC  k x  xC , получаем
y  6  7x  1 , или 7 x  y  13  0 .
4) Пусть точка М середина стороны AB . Найдем ее координаты:
x A  xB 0  7 7
y  yB 2  3 5
7 5

 , yM  A

 , т. М  ;  .
2
2
2
2
2
2
2 2
Уравнение медианы CM находим с помощью уравнения прямой, проходящей
y  6 x 1

через две данные точки:
, получим 7 x  5 y  37  0 .
5
7
6
1
2
2
5) Составим уравнение еще одной высоты треугольника ABC . Например,
выберем высоту, проведенную из вершины A . Аналогично пункту 3) составим
уравнение стороны BС :
y  yB
x  xB
y 3 x7

, x  2 y  13  0 .

,
y C  y B xC  x B 6  3 1  7
1
Угловой коэффициент стороны BC равен  ; следовательно, в силу условия
2
xM 
перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины
A , равен 2 . Уравнение этой высоты имеет вид y  y A  k x  x A  , получаем
y  2  2x  0 , или 2 x  y  2  0 . Поскольку мы ищем точку пересечения высот
треугольника, то координаты этой точки должны удовлетворять системе
7 x  y  13  0
уравнений 
;
2 x  y  2  0
11

 x  9

 y  40 .

9
Таким образом, точка пересечения
11 40
высот треугольника ABC имеет координаты  ; .
9
9
9 
6) Найдем длину высоты, опущенной из вершины C по формуле расстояния от
точки C 1;6 до прямой AB : x  7 y  14  0 : d h 
d hc 
1  1  7  6  14
12   7 
2

27
50
AxC  By C  C

A2  B 2
27
5 2

. Таким образом
27 2
.
10
7) Стороны треугольника ABC заданы уравнениями прямых:
AB : x  7 y  14  0 ; (см. пункт 3).
BC : x  2 y  13  0 ; (см. пункт 5).
AC :
y  yA
x  xA
y2 x0

;
; 4x  y  2  0 .

y C  y A x C  xC 6  2 1  0
Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две
полуплоскости. Область треугольника ABC лежит выше прямой AB , т.е. в
полуплоскости, которая задается неравенством: x  7 y  14  0 . Прямая BC делит
координатную плоскость на две полуплоскости, нам необходима та, которая
удовлетворяет неравенству: x  2 y  13  0 . Из двух полуплоскостей, которые
разделяет прямая AC , выбираем ту, которая задается неравенством: 4 x  y  2  0 .
Таким образом, область треугольника ABC , определяется системой неравенств:
 x  7 y  14  0,

 x  2 y  13  0,
4 x  y  2  0.

Задача
4.
Даны
координаты
вершин
. Найти:
1) длину ребра
;
2) угол между ребрами
и
;
3) угол между ребром
и гранью
;
4) площадь грани
;
5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой
;
7) уравнение плоскости
;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины
чертеж.
Решение.
𝛽
𝐴2
10
пирамиды
на грань
:
. Сделать
1) Длина ребра
есть длина вектора
, координаты которого
Т.к. длина вектора
находится по формуле
, то
.
2) Угол
между ребрами
и
есть угол между векторами
=(-1,5,1) и
=(4-6;4-1;10-1)=(-2;3;9), поэтому
Отсюда
3) Обозначим угол между ребром
, где
и гранью
- угол между вектором
через
, тогда
=(-2;3;9) и нормальным
вектором
плоскости
, которым является, например, векторное
произведение
векторов
и
Т.к. векторное произведение векторов =(
по формуле
)и
находится
, то
Итак,
.
. Найдем теперь угол
значит
или
4) Т.к. длина векторного произведения двух векторов равна площади
параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах, то площадь S
грани
(площадь треугольника) найдем как половину площади
параллелограмма, построенного на векторах
и
как на сторонах, т.е.
как половину длины векторного произведения этих векторов.
Т.к.
(см. пункт 3), то
5) Т.к. объем V треугольной пирамиды, построенной на векторах
,
находится по формуле
, где
- смешанное произведение векторов
, то
. Найдем смешанное произведение векторов
и
по формуле
:
11
(определитель вычислен по схеме треугольников). Итак,
.
6) Т.к. уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно
вектору
имеет вид
, то уравнение прямой
найдем как уравнение прямой, проходящей через точку
в направлении
вектора
:
.
7) Т.к. уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно
вектору
имеет
вид
(
нормальный вектор плоскости), то
уравнение плоскости
найдем как уравнение плоскости, проходящей
через точку
с нормальным вектором
(см. пункт 3):
или
8) Уравнение высоты, опущенной из вершины
на грань
, найдем как
уравнение прямой, проходящей через точку
в направлении вектора
-нормального вектора плоскости
(см. пункт 3):
.
Задача 5. Найти матрицу, обратную матрице
. Проверить
результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.
Решение. Определитель матрицы
, значит обратная матрица
матрицу
, транспонированную к
существует. Найдем
:
. Найдем алгебраические
дополнения всех элементов матрицы
матрицу .
и составим из них присоединенную
.
Найдем обратную матрицу
:
12
.
Проверка:
.
.
Задача 6. Дана система линейных уравнений
3x1  2 x 2  x3  5,

2 x1  x 2  x3  6,
 x  5 x  3.
2
 1
Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2)
средствами матричного исчисления.
Решение. 1) Докажем совместность системы. Для этого вычислим ранг
матрицы А исходной системы и ранг расширенной матрицы системы А.
3 2 1 


A  2 1 1 
1 5
0 

3 2 1
5


A  2 1 1
6
1 5
0  3 

Для удобства вычислений элементарные преобразования будем производить с
матрицей А :
 3 2 1 5  1 5
1
1
0  3
5 0  3
5 0  3

 
 2 3




~  0  11 1 12 
~  0  11 1 12 
2 1 1 6  ~ 2 1 1 6 
 0  13 1 14 
0  2 0 2 
1 5
0  3   3 2 1 5 





 rang A  rang A  3, т.е. по теореме Кронекера-Капелли система совместна.
2) Решим систему методом Гаусса. Для этого матрицу А приведем к
диагональному виду:
13
5 0  3
1


2 1 1 6 
3 2 1 5 


5 0  3
1


~  0  11 1 12 
 0  13 1 14 


2
3
1 5 0  3 


~ 0 1 0 1 
 0  13 1 14 


5
-13
1 5 0  3 


~ 0 2 0  2
 0  13 1 14 


1 0 0 2   х1  2

 
~  0 1 0  1   х 2  1
 0 0 1 1  х  1

  3
1
2
~
т
и
и
и
3) Решим систему матричным способом. Для этого введем следующие матрицы
и исходную систему запишем в матричном виде.
3 2

A  2 1
1 5

А Х  В 
1
 x1 
 

1 ,
X   x2 ,
x 
0 
 3
1
Х  А B
Вычислим
обратную
 5
 
B   6 .
  3
 
матрицу
A 1 .
Определитель
матрицы
А
3 2 1
det A  2  1 1  2  0 , значит обратная матрица существует. Затем, вычислив к
1 5 0
каждому элементу матрицы А алгебраические дополнения, составим из них
  5 1 11 


матрицу A*   5  1  13  , транспонируем ее
 3 1  7 


 5 5 3 

1 
1
обратную матрицу A    1  1  1  .
2 

11  13  7 
 A *
T
3
 5 5


  1  1  1  и находим
 11  13  7 


X  A1  B 
  5 5 3  5 
  5  5  5  6  3  (3) 
  4  2 
 

1 
1 
1    
=    1  1  1   6      1  5  (1)  6  (1)  (3)      2     1 
2 
2 
2    
 

11  13  7    3 
11  5  (13)  6  (7)  (3) 
  2  1 
 x1   2 
   
X   x 2     1 .
 x   1
 3  
Ответ: x1  2, x2  1, x3  1.
Список литературы
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. 6-е изд.
М., 2005.
2. Высшая математика для экономистов.: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер,
Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман, Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. –
М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк. 2003.
14
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1,2. Учеб. пособие для втузов. – М.:
Издательский дом «ОНИКС 21 век» Мир и образование, 2003.
5. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред.
В.И.Ермакова. – М.:ИНФРА – М, 2001.
15