Знакомьтесь: граф

Знакомьтесь: граф
В этой статье мы познакомимся с объектами, которым в математике
посвящена целая теория, ведь они часто полезны при решении внешне
совершенно не похожих задач.
Пример 1. В деревне 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон,
Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор – Диме и Никите, Евгений – сосед
Никиты, а больше соседей в этой деревне нет (соседними считаются дворы, у
которых есть общий участок забора). Может ли Пётр огородами пробраться к
Никите за яблоками?
Решение. Нарисуем схему: точками обозначим дома и
соединим
непересекающимися между собой линиями только те из них, которые
являются соседними (см. рис. 1). Теперь видно, что пробраться огородами из
дома Петра к дому Никиты нельзя.
Пример 2. В трёх вершинах пятиугольника расположили по фишке (см.
рис. 2а). Разрешается двигать их по диагонали в свободную вершину. Можно
ли такими действиями добиться того, чтобы одна из фишек вернулась на
первоначальное место, а две другие поменялись местами (см. 2б)?
Решение. Заметим, что диагонали пятиугольника образуют один
замкнутый цикл. Представим себе, что фишки – это пуговицы, нанизанные на
нитку (см. рис. 2в). Ясно, что если двигать пуговицы по нитке, то поменять
местами две пуговицы нельзя. Поэтому переставить фишки требуемым
образом невозможно.
Решение этих двух внешне не похожих задач объединяет общая идея:
графическое изображение условия. При этом получившиеся картинки тоже
оказались похожими: они представляют из себя набор точек, некоторые из
которых соединены линями.
Определение 1. Графом называется конечное множество точек, некоторые
из которых соединены линями. Точки называются вершинами графа, а
соединяющие линии – рёбрами.
Примерами графов могут служить: любая карта дорог, схема метро,
электросхема, чертёж прямоугольника и т.д.
Кстати, с дворянским титулом «граф» их связывает общее происхождение
от латинского слова «графио» - пишу.
Замечания:
1. Каждое ребро соединяет ровно две вершины.
2. Вершины, из которых не исходит ни одного ребра, называются
изолированными.
3. Графы, у которых вершина соединена сама с собой, и графы, в которых
пара вершин соединена несколькими рёбрами, мы пока не рассматриваем,
хотя иногда такие графы также бывают нужны.
4. Полезно представить граф как набор пуговиц, некоторые из которых
соединены нитями. При этом, где именно расположены пуговицы, и как
проходят нити – не важно: граф от этого не меняется, важно лишь то, какие
пары пуговиц (вершины) соединены нитями.
Такие одинаковые, но, быть может, по-разному нарисованные графы
принято называть изоморфными. На рисунках 3а и 3б изображены
изоморфные графы.
Определение 2. Степенью (или порядком) вершины называется
количество рёбер, исходящих из этой вершины. Вершина называется чётной,
если из неё выходит чётное число рёбер, и нечётной, если из неё выходит
нечётное число рёбер.
Так, например, в графе, изображенном на рисунке 3, первая и пятая
вершины имеют степень 1, вторая вершина – степень 4, третья и четвертая
вершины – степень 2.
Пример 3. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить
проводами так, чтобы каждый телефон был соединён с пятью другими?
Решение. Предположим, что это возможно. Рассмотрим граф, вершины
которого соответствуют телефонам, а рёбра – соединяющим их проводам. В
этом графе 15 вершин, степень каждой из которых равна пяти. Подсчитаем
количество рёбер в этом графе. Для этого сначала просуммируем степени
всех его вершин. Ясно, что при таком подсчете каждое ребро учтено дважды
(см. замечание 1). Поэтому число рёбер графа равно
15  5
. Но это число
2
нецелое, а значит такого графа не существует, следовательно соединить
телефоны требуемым образом невозможно.
Пример 4. На концерте каждую песню исполняли двое артистов, и никакая
пара не выступала вместе более одного раза. Всего было 12 артистов, каждый
выступил по 5 раз. Сколько было песен?
Решение. Рассмотрим граф, вершинами которого являются выступавшие
артисты. Соединим пару артистов ребром, если они вместе пели. Получим
граф с 12 вершинами степени 5, каждой песне соответствует ребро.
Аналогично предыдущему примеру, в графе
12  5
 30 рёбер, то есть было 30
2
песен.
Обратите внимание на то, что рёбра считать легче, чем песни или провода.
Рёбра легко изображать, именно это свойство (наглядность) обусловило
столь широкое распространение графов.
Замечания:
5. Чтобы подсчитать число рёбер графа нужно просуммировать степени
вершин и полученный результат разделить на два.
6. Сумма степеней всех вершин графа должна быть чётной (иначе её
нельзя было бы разделить на два нацело).
Пример 5. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по
3 друга (в этом классе), 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?
Решение. Если бы это было возможно, то можно было бы нарисовать граф
с 30 вершинами, 9 из которых имели бы степень 3, 11 – степень 4, 10 –
степень 5. Однако сумма степеней вершин такого графа нечётна (проверьте),
что противоречит замечанию 6. Не может.
Определение 3. Путём в графе от вершины А до вершины В называется
последовательность рёбер графа, в которой два соседних ребра имеют общую
вершину, и никакое ребро не встречается более одного раза, А – начало пути,
В – конец.
Определение 4. Циклом называется путь, у которого начало и конец
совпадают.
Определение 5. Граф, у которого каждая вершина соединена ребром с
любой другой вершиной, называется полным графом.
Пример 6. Сколько рёбер в полном графе с пятью вершинами?
Решение. Любая из пяти вершин связана со всеми остальными, то есть с
четырьмя. Каждое ребро считается дважды, так как у него есть начало и
конец. Получаем общее число рёбер
5(5  1)
 10 .
2
Определение 7. Граф называется связным, если для любой его вершины
найдется путь, связывающий её с любой другой вершиной этого графа.
На рис. 1 мы видим, что граф несвязен, на рис. 2, 3, 4 изображены связные
графы, кроме того они имеют циклы.
Замечания:
7. Несвязный граф состоит из нескольких «кусков». Эти «куски»
называются компонентами связности графа. (Например, на рис. 1 две
компоненты связанности, то есть изображён один граф соседства, состоящий
из двух «кусков»).
8. Связный граф имеет одну компоненту связности.
9. В каждой компоненте сумма степеней вершин чётна (для связного графа
очевидно, а для несвязного подумайте почему).
Пример 7. В тридевятом царстве лишь один вид транспорта – ковёрсамолёт. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из
всех остальных – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в город
Дальний (возможно с пересадками).
Решение. Рассмотрим компоненту связности графа ковролиний,
содержащий столицу. Нужно доказать, что она содержит и город Дальний.
Докажем методом «от противного». Пусть в компоненте связности города
Дальнего нет. Тогда в ней из одной вершины выходит 21 ребро, а из всех
остальных – по 20. То есть сумма степеней вершин нечётна, что
противоречит замечанию 9. Получили противоречие, значит наше
предположение неверно, то есть город Дальний входит в эту же компоненту
связности.
Пример 8. Можно ли нарисовать графы, изображенные на рис. 5а и на
рис. 5б, не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро один раз?
Решение. а) Можно. Например, последовательность вершин может быть
такой: 1-2-3-1-4-2-5-3-4.
б) Поскольку из каждой вершины (кроме первой и последней) мы выходим
столько же раз, сколько входим, степени этих вершин должны быть чётными.
В графе на рис. 5б все четыре вершины имеют степень 3, поэтому его нельзя
нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.
Возможно, вам знакома аналогичная задача про открытый конверт (или
домик).
Определение 8. Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша
от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым.
Замечание:
10. Эйлеров граф должен иметь не более двух нечётных вершин.
Впервые такие графы были исследованы великим математиком Леонардом
Эйлером в 1736 году в связи со знаменитой задачей о Кёнигсбергских
мостах.
Пример 9. Схема мостов Кёнигсберга изображена на рис. 6. Можно ли
совершить прогулку, пройдя по каждому мосту ровно один раз?
Указание. Постройте граф, вершинами которого являются части города
Кенигсберг (для удобства можно назвать их латинскими буквами или
пронумеровать), а рёбрами – мосты. И решите задачу самостоятельно.
Пример 10. В углах шахматной доски 3  3 стоят 4 коня: 2 белых (в
соседних углах) и два чёрных (см. рис. 7а). Можно ли за несколько ходов (по
шахматным правилам) поставить коней так, чтобы во всех соседних углах
стояли кони разного цвета?
Решение. Отметим центры клеток доски и соединим отрезками пары
отмеченных точек, если из одной в другую можно перейти шагом коня (конь
ходит буквой Г). Мы получили граф (см. рис. 7б). В нём есть изолированная
вершина (см. замечание 2), это вершина 5. Попробуйте обойти все остальные
вершины графа и вернуться в исходную вершину. У вас должно получиться,
ведь рёбра и все вершины, кроме вершины 5, образуют эйлеров граф,
содержащий цикл. Перемещение коней по доске соответствует движению по
рёбрам этого цикла. Для графа на рис. 7б изображен изоморфный граф (см.
рис. 7в и замечание 4). Ясно, что при движении по циклу нельзя изменить
порядок следования коней.
Список литературы (советуем почитать):
1. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические
кружки: пособие для внеклассной работы. Глава 6. Графы–1. Киров: АСА,
1994 г.
2. Гуровиц В.М., Ховрина В.В. Графы. Москва: МЦНМО, 2012 г.
3. Каннель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи.
Часть I. Идеи и методы решения задач: Графы. Москва: МЦНМО, 2008 г.
4. Савин А. Графы. Журнал «Квант» № 6, 1994 г.
5. Фосс В. Элементы теории графов. Журнал «Квант» № 8, 1973 г.
Задания:
8.1. В стране Цифра есть девять городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Два города соединены авиалинией только в том случае, если двузначное
число, составленное из цифр-названий этих городов, делиться на 3. Можно
ли добраться из города 1 в город 9?
8.2. В фирме 50 компьютеров, некоторые пары компьютеров должны быть
соединены кабелями. От каждого компьютера должно отходить по 8 кабелей.
Сколько понадобиться кабелей?
8.3. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3
дороги, быть ровно 100 дорог?
8.4. В графе с восьмью вершинами степень каждой вершины равна двум.
Нарисуйте все такие графы (не забывайте, что графы могут быть
несвязными).
8.5. Нарисуйте одним росчерком, не проведя ни одной линии дважды,
фигуры, изображённые на рис. 8, (пронумеруйте последовательность
проводимых рёбер).
8.6. Доска имеет форму креста, который получится, если из квадратной
доски 4  4 выкинуть угловые клетки. Можно ли обойти её ходом шахматного
коня и вернуться на исходное поле, побывав на всех полях ровно по разу?