УМК дисциплины «Математика

3. УМК дисциплины «Математика» направление подготовки
«Социальная работа»
3.1 Тематический план лекций по математике для студентов факультета социальной
работы I семестр 2014-2015 уч.г.
№№
Тема лекции
п/п
1.
Математическая модель. Основные принципы и этапы математического
моделирования. Понятие натурного, математического и вычислительного
эксперимента, их взаимосвязь. Математические методы, применяемые в
медицине.
2.
Определители. Матрицы. Методы решения СЛАУ.
3.
Аналитическая геометрия.
4.
Дифференциальное исчисление.
5.
Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл и его свойства.
6.
Интегральное исчисление. Определенный интегралы и его свойства. Решения
прикладных задач с помощью определенного интеграла.
7.
Понятие множества. Подмножества. Операции над множествами. Элементы
логической символики. Основные числовые множества.
8.
Основные понятия теории графов. Степень вершины. Ориентированные
графы.
9.
Элементы теории вероятностей. Случайное событие. Вероятность случайного
события. Алгебра событий.
10.
Теорема сложения вероятностей. Условия нормировки. Условная вероятность,
теорема умножения вероятностей
11.
Случайные величины. Распределение дискретных и непрерывных случайных
величин и их числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратичное отклонение.
12.
Законы распределения случайных величин. Нормальный закон распределения.
13.
Равномерное распределение. Биномиальное распределение. Распределение
Пуассона.
14.
Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и
выборка. Статистическое распределение (вариационный ряд).
15.
Гистограмма. Полигон. Оценка параметров генеральной совокупности по её
выборке (точечная и интервальная). Доверительный интервал и доверительная
вероятность.
16.
Статистическая проверка гипотез. Общая постановка задачи проверки гипотез.
Корреляционный и регрессионный анализ. Функциональная и корреляционная
зависимости. Коэффициент линейной корреляции и его свойства.
3.2 Тематический план практических занятий по математике для студентов факультета
социальной работы I семестр 2014-2015 уч.г.
№№
п/п
Тема практического занятия
1.
Определители. Правило Крамера. Матрицы и действия над матрицами.
Основные методы решения СЛАУ. Решение задач.
2.
Системы координат на плоскости и в пространстве. Уравнение прямой и его
частные случаи. Простейшие задачи аналитической геометрии. Решение
задач.
3.
Производная функции одной переменной. Геометрический и механический
смысл производной одной переменной. Производные элементарных
функций. Решение задач.
4.
Свойства производных. Техника дифференцирования. Производные
высших порядков. Решение задач.
5.
Контрольная работа №1 «Производные и дифференциалы».
6.
Неопределённый интеграл. Интегралы элементарных функций. Техника
интегрирования. Решение задач.
7.
Определённый интеграл. Решение прикладных задач с помощью
определенного интеграла.
8.
Тестирование по теме «Интегралы».
9.
Основные понятия из теории множеств. Операции над множествами.
Решение задач.
10.
Основные понятия теории графов. Операции над графами. Решение задач.
11.
Теория вероятностей. Теорема о сложении вероятностей. Решение задач.
12.
Условная вероятность. Теорема об умножении вероятностей. Решение задач
по теории вероятностей. Геометрическая вероятность.
13.
Случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной
случайной величины. Числовые характеристики случайных величин.
14.
Нормальный закон распределения. Интеграл вероятностей.
15.
Контрольная работа №2 «Теория вероятностей».
16.
Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Оценка
параметров генеральной совокупности по ее выборке. Решение задач.
17.
Доверительный интервал и доверительная вероятность. Корреляционный
анализ связей между случайными величинами.
18.
Зачетное занятие.
3.3 Контрольно-измерительные материалы по дисциплине «Математика»
1. Примерный вариант контрольной работы по математике раздел
«Математический анализ» тема: «Производные»
Вариант
x5
2. y   e x  ctgx  x
5
2
3x
ln x
1 4x
4. y  5  4 cos x 
x
1. y  2 x3  3x 
5. y  x 2  cos x  ln x  (1  sin x)
3. y  tgx  3  ( x 2  1)  cos x
6. y  ( x  tgx)  x 2  ctgx
2. Примеры тестовых заданий по теме: «Интегралы»
1.
ЕСЛИ F(x) ЯВЛЯЕТСЯ ОДНОЙ ИЗ ПЕРВООБРАЗНЫХ ДЛЯ ДАННОЙ
ФУНКЦИИ f(x), ТО САМОЕ ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ, ДЛЯ ПЕРВООБРАЗНОЙ
ИМЕЕТ ВИД
1) F(x) + C, где C - производная от постоянной
2) f(x) + C, где C - произвольная постоянная
3) F(x) · C, где C - произвольная постоянная
4) F(x) + C, где C - произвольная постоянная
5) F(x) \ C, где C - произвольная постоянная
2.
 A  f  x dx  , ГДЕ А - ПОСТОЯННАЯ
1) A f  x  dx
2)  f  x  dx  A
3)  f  x  dx  A
4) A  f  x  dx
2
5)
3.
1
f  x  dx
A
  f  x   f  x    f  x dx 
1)  f  x  dx   f  x dx    f  x dx
2)  f  x  dx   f  x dx 
  f  x dx
3)  f  x  dx   f  x dx    f  x dx
4)  f  x  dx /  f  x dx / /  f  x dx
5) n   f  x dx
1
2
n
1
2
1
2
1
2
1
4. d∫f(x)dx =
2)
n
2
1
1)
n
f  x  dx
 f  x  dx  A
n
n
3)
4)
5)
 f  x  dx  A
A  f  x  dx
2
1
f  x  dx
A
5. ∫df(x) =
1) f(x) + C
2)  f  x  dx  A
3)
4)
 f  x  dx  A
A  f  x  dx
2
1
f  x  dx
A
n
6. НАЙДИТЕ:  x dx (n   1)
5)
1) ln  x   C ( x  0)
2)  f  x  dx  A
x n 1
C
n 1
x n 1
4)
n 1
1
5)  f  x  dx .
A
dx
7. НАЙДИТЕ: 
x
3)
1) f  x  dx
2) ln  x   C ( x  0)
x n 1
C
n 1
x n 1
4)
n 1
1
5)  f  x  dx
A
8. НАЙДИТЕ:  a x dx (a  0, a  1)
3)
ax
C
ln a
2) ln  x   C ( x  0)
1)
x n 1
C
3)
n 1
x n 1
4)
n 1
5)
ax
ln a

9. НАЙДИТЕ: e x dx
x
a
C
ln a
2) ln  x   C ( x  0)
1)
x n 1
C
n 1
4) e x  C
3)
5)
ax
ln a

10. НАЙДИТЕ: sin x dx
x
a
C
ln a
2) ln  x   C ( x  0)
1)
3)
x n 1
C
n 1
4)  cos x  C
5)
ax
ln a

11. НАЙДИТЕ: cos x dx
x
a
C
ln a
2) ln  x   C ( x  0)
1)
3)
x n 1
C
n 1
4)  cos x  C
5) sin x  C
12. НАЙДИТЕ:
dx
 cos
2
x
x
a
C
ln a
2) ln  x   C ( x  0)
1)
3) tgx  C
4)  cos x  C
5) sin x  C
13. НАЙДИТЕ:
dx
 Sin
2
x
1)  ctgx  C
2) ln  x   C ( x  0)
3) tgx  C
4)  cos x  C
5) sin x  C
14. НАЙДИТЕ:
dx
1 x
2
1)  ctgx  C
2) ln  x   C ( x  0)
3) arctgx  C
4)  cos x  C
5) sin x  C
Таблица ответов
№№
ответы
1
4
2
1
3
1
4
1
5
1
6
3
7
2
8
1
9
4
10
4
11
5
12
3
13
1
14
3
3. Ситуационные задачи по теме: теория вероятностей
Задача 1
В отделении 12 медсестер. Переливание крови делают шесть из них. Найти
вероятность того, что из трех дежурных медсестер одна сможет сделать переливание
крови.
ВОПРОСЫ:
1. Как определяется вероятность наступления некоторого события?
2. В каких пределах изменяется вероятность?
3. Что такое условная вероятность?
4. Как формулируется теорема сложения вероятности?
5. Как формулируется теорема умножения вероятности?
Задача 2
В группе из 12 врачей - четыре стоматолога. Найти вероятность того, что в выездной
бригаде из 3-х человек один стоматолог.
ВОПРОСЫ:
1. Как определяется вероятность наступления некоторого события?
2. В каких пределах изменяется вероятность?
3. Что такое условная вероятность?
4. Как формулируется теорема сложения вероятности?
5. Как формулируется теорема умножения вероятности?
Задача 3
Распределение дискретной случайной дискретной величины задано в таблице:
Xi
Pi
-2
0,25
0
0,5
+1
?
Найти математическое ожидание М (X) , дисперсию D (X) и
среднее квадратическое отклонение σ.
ВОПРОСЫ:
1. Дайте определение случайной величины.
2. Какие существуют два типа случайных величин?
3. Как определяется математическое ожидание М (X) случайной величины?
4. Как определяется дисперсия D (X) случайной величины?
5. Как определяется среднее квадратическое отклонение σ. случайной величины?
Задача 4
Вероятность получения хорошего рентгеновского снимка зубов составляет P = 0,95. За
смену рентгенолог делает 50 снимков. Найти вероятность того, что за это время врач
сделает не более трех плохих снимков.
ВОПРОСЫ:
1. Как определяется вероятность наступления некоторого события?
2. В каких пределах изменяется вероятность?
3. Что понимается под заданием закона распределения случайно величины?
4. Сформулируйте закон распределения Бернулли.
5. Для каких случайных событий применим закон распределения Бернулли?
Задача 5
Плотность вероятности непрерывной случайной величины, распределенной по
нормальному закону, имеет вид:
f ( x)
Ce
 ( x2)
18
2
Найти значения дисперсии D (X) , математического ожидания M (X) и
коэффициента С.
ВОПРОСЫ:
1. В чем отличие непрерывной случайной величины от дискретной?
2. Как определяется плотность вероятности непрерывной случайной величины?
3. Как определяется математического ожидания M (X) непрерывной случайной
величины?
4. Как определяется дисперсии D (X) непрерывной случайной величины?
5. Как определяется нормальный закон распределения плотность вероятности
непрерывной случайной величины?
Задача 6
Для нормального распределения с М (X) = 0 вероятность
P (X < - 1 ) = 0,4. Найти вероятность P (-1 < X < 0)
ВОПРОСЫ:
1. В чем отличие непрерывной случайной величины от дискретной?
2. Как определяется плотность вероятности непрерывной случайной величины?
3. Как определяется математического ожидания M (X) непрерывной случайной
величины?
4. Как определяется дисперсии D (X) непрерывной случайной величины?
5. Как графически представляется нормальный закон распределения плотность
вероятности непрерывной случайной величины?
Ответы к ситуационным задачам по теме: теория вероятностей
1.
2.
3.
4.
5.
Задача 1
Вероятность ( классическая) Р наступления некоторого события определяется
как отношение числа «благоприятных» сходов к общему числу
равновозможных несовместных.
Вероятность Р изменяется в пределах от 0 до 1.
Условная вероятность это вероятность наступления некоторого события В при
условии, что связанное с ним событие А наступило
Р (В/А).
Р (А или В или С или …..) = Р (А) + Р (В) + Р (С)+ ….) при условии, что
события несовместны.
Р (А и В ) = Р(А) * Р (В/А). Для независимых событий
Р (А и В ) = Р (А) * Р (А)
Ответ: Р = 0,41
Задача 2
1. Вероятность ( классическая) Р наступления некоторого события определяется
как отношение числа «благоприятных» сходов к общему числу
равновозможных несовместных.
2. Вероятность Р изменяется в пределах от 0 до 1.
3. Условная вероятность это вероятность наступления некоторого события В при
условии, что связанное с ним событие А наступило
Р (В/А).
4. Р (А или В или С или …..) = Р (А) + Р (В) + Р (С)+ ….) при условии, что
события несовместны.
5. Р (А и В ) = Р (А) * Р (В/А). Для независимых событий Р (А и В ) = Р (А) * Р
(А)
Ответ: Р = 0,51
Задача 3
1. Случайная величина – величина, численной значение которой может
изменяться в процессе проведения серии однотипных «испытаний», в
соответствующих пределах, причём появление того или иного значения
этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.
2.Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.
3.Математическое ожидание М (X) дискретной случайной величины
n
M ( x)   X i Pi
i 1
n
4.Дисперсия D (X) дискретной случайной величины D( x)   ( X i  M ( X ) 2 Pi
i 1
5.Среднее квадратическое отклонение случайной величины  ( x)  D( x)
Ответ: М (х) = - 0,25 D(х) = 1,23 σ = 1,12
Задача 4
1. Вероятность ( классическая) Р наступления некоторого события определяется
как отношение числа «благоприятных» сходов к общему числу
равновозможных несовместных.
2. Вероятность Р изменяется в пределах от 0 до 1.
3. Закона распределения случайно величины – это задание диапазона всех
значений, которые может принимать случайная величина, и соответствующая
этим значениям вероятность.
4. Закон распределения Бернулли Pnm  Cnm p m (1  p) nm
5. Для дискретных случайных величин, вероятность которых заранее
установлена.
Ответ: Р = 0,76
Задача 5
1. Непрерывная случайная величина, в отличие от дискретной, может принимать
бесчисленное множество значений в заданном интервале.
dP
2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины f ( x) 
dx

3. Mматематическое ожидания непрерывной случайной величины M ( x) 
x
f ( x)


4. Дисперсии D (X) непрерывной случайной величины D( x) 
 ( x  M ( x))
2
f ( x)dx

5. Нормальный закон распределения плотности вероятности непрерывной случайной
( x  M ( x )) 2
величины f ( x) 

1
2
e 2
2
Ответ: М(х) = 2 D(х) =9 C = 0,13
3.4 Материалы к зачету
Примерные вопросы к зачету
 Дайте определение определителя второго и третьего порядков. Перечислите их
свойства.
 Сформулируйте свойства линейных операций над матрицами.
 В чем заключается матричный способ решения СЛАУ?
 Запишите уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости.
 Что называют угловым коэффициентом прямой? Запишите уравнение прямой с
угловым коэффициентом.
 Дайте определение производной функции. В чем заключается геометрический
смысл производной?
 Как вычислить производную сложной функции?
 Запишите формулу, по которой вычисляют дифференциал функции.
 Сформулируйте достаточное условие экстремума функции.
 Что называется первообразной функции? Что называется неопределенным
интегралом?
 Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного
интеграла.
 Сформулируйте аксиомы теории вероятностей.
 Дайте классическое определение вероятности события. В чем состоит различие
между вероятностью и относительной частотой события?
 Дайте определение условной вероятности. Какие события называются
независимыми?
 Дайте определение произведения событий. Сформулируйте теорему умножения
событий.
 Запишите формулу полной вероятности.
 Запишите формулу Бейеса.
 Изложите схему Бернулли и запишите формулу Бернулли
 Что называется случайной величиной?
 Дайте определение функции распределения и плотности распределения
вероятностей.
 Сформулируйте свойства интегральной функции непрерывной случайной
величины.
 Сформулируйте свойства плотности распределения вероятностей.
 Запишите формулу f(x) случайной величины, распределенной по нормальному
закону.
 Дайте определение математического ожидания дискретной и непрерывной
случайной величины.
 Дайте определение дисперсии. Запишите формулу для вычисления дисперсии.
Примерный вариант зачетного задания по дисциплине «Математика»
для студентов факультета социальной работы
Билет 0
1. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции у = 0,5 x2 в его точке с абсциссой x0 = - 3.
1
1 1
1
2. Найдите производную от функции: y 
  2  3
x
x x x
x 2  2x  3
3. Найдите интеграл: 
dx .
x3
1
4. Найдите интеграл:
 1  x 
2
dx
0
5. Из 32 обследованных пациентов у 8 -х нормальное зрение. Какова вероятность
того, что из пятерых пациентов, вызванных к окулисту, три окажутся с плохим
зрением?
3.5 Программа производственной практики
Производственная практика на кафедре медицинской и биологической физики не
предусмотрена.
3.6 Перечень практических умений
№ п/п
1.
2
3
4
5
Перечень практических навыков и умений, осваиваемых в ходе изучения
дисциплины.
Студент должен:
Иметь навык овладения понятийным аппаратом математики
Иметь навык пользования математическими методами описания явлений,
характерных для медицины.
Иметь навык осознания, распознавания, создания собственных алгоритмов
продуктивной учебной деятельности
Иметь навык выделения главного, существенного в текстах учебников, в лекциях
по естественно-научным дисциплинам
Иметь навык чтения графической информации о явлении (переводить с “языка
образов“ на язык слов и формул)
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Уметь представлять информацию о явлении на языке знаков и символов (слов,
формул, образов)
Иметь навык сознательного применения логических приёмов мышления
(аналогия, сравнение, анализ, синтез)
Уметь вычислять с помощью микрокалькулятора значений элементарных
функций
Уметь определять по экспериментальным данным эмпирические формулы,
описывающие функциональные зависимости
Уметь строить графики элементарных функций
Уметь решать СЛАУ
Уметь решать простейшие дифференциальные уравнения
Определять вероятности наступления равновозможных зависимых и
независимых событий
Уметь интерпретировать полученные результаты своей интеллектуальной
деятельности, делать выводы о совпадении (или несовпадении) результатов
эксперимента с тем, что предсказывает модель
Уметь выполнять типовые расчетные задания
Уметь решать медико-биологические задачи с применением статистических
оценок параметров