Document 329812

Ответы на вопросы к зачету по ДГДМ
(ВМК, 3 курс, 5 семестр, 317 группа, 2005 год)
Тема 1: Функции многозначной логики
1. Элементарные функции k-значной логики. Представление функций в первой и второй формах.
Фиксируем k  2 и рассматриваем основное множество Ek  0,1,..., k 1
Множество всех функций вида f  n : Ek n  Ek являются функциями k-значной логики в Pk .
Элементарные функции:
1)Константы 0,1,2,…, k-1
2) x  x  1 mod k  отрицание Поста
3) x  k 1  x отрицание Лукасевича
k  1, x  i
4) J i  x   
 0  i  k 1
0, x  i
1, x  i
5) ji  x   
0, x  i
6) max  x1 , x2 
7) min  x1 , x2 
8) x1  x2  mod k 
9) x1  x2  mod k 
 
I форма: f  x1 ,..., xn   max min J1  x1  ,..., J n  xn  , f  1 ,..., n 
1 ,..., n 
II форма: f  x1 ,..., xn  

1 ,..., n 
j  x1   j
1
2

 x2   ...  j  xn   f 1 ,...,  n 
n
Опр. Переменная xi функции f ( x1 ,..., xi ,..., xn ) называется существенной, если существует набор
(a1 ,..., ai 1 , ai 1 ,..., an ) такой, что f (a1 ,..., ai 1 , xi , ai 1 ,..., an )  const .
2. Полнота системы x  1, max  x, y  . Функция Вебба.
Опр. Система Q называется полной в Pk , если формулами над Q можно реализовать любую функцию
из Pk .
Теорема 1. Система {0,1,..., k  1, J 0 ,..., J k 1 , max, min} полна в Pk .
Теорема 2. Система {0,1,..., k  1, j0 ,..., jk 1 , x1  x2 , x1 x2 } полна в Pk .


Теорема 3. Система x, max  x, y  полна в Pk .
Теорема 4. Система {max( x1 , x2 )  1} полна в Pk .
Опр. f ( x1 , x2 )  max( x1 , x2 )  1 называется функцией Вебба
3. Критерий полноты системы полиномов по модулю k .
Теорема 5. Из всякой полной системы можно выделить конечную полную подсистему.
Теорема 6. Система полиномов по модулю k полна в Pk  k - простое число.
Опр. Пусть Q  Pk . Замыканием Q называется множество [Q] всех функций из Pk , представимых в
виде формул через функции множества Q .
__________________________________________________________________
Факультет ВМиК КФ МГУ, 2005 год (Made by Signum & RIMMMA)
1
Свойства замыкания [Q] :
1. Q  [Q ] 2. Q  R  [Q]  [ R] 3. [[Q]]  [Q]
Опр. Q называется замкнутым классом, если Q  [Q] .
Опр. Пусть   E  Ek . TE  { f : (a1 ,..., an ) |{a1,..., an }  E  f (a1,..., an )  E} - класс сохранения
множества E
4.Алгоритм распознавания полноты систем функций k-значной логики.
Теорема 7. Существует алгоритм распознавания полноты в Pk .
5. Классы сохранения множеств функций, замкнутость этих классов.
Опр. Пусть Q  h1  x1 ,..., xr  ,..., hm  x1 ,..., xr  и среди этих функций обязательно встречаются все
селекторные функции от r переменных gi ( x1 ,..., xr )  xi i  1,..., r . M  Pk . Множество M сохраняет


 
множество Q , если f  x1 ,..., xn   M , f hi1  x1 ,..., xr  ,..., hin  x1 ,..., xr   Q (в P2 , Q  x, x ).
M Q  S - класс самодвойственных функций.
Лемма 1. Класс M всех функций, сохраняющих множество N - замкнут.
Лемма 2. M x1 ,..., xr - множество функций от переменных x1 ,..., xr . Пусть для множества N выполняется
 N  y ,..., y
1
r
 N . Если M множество всех функций, сохраняющих N , то M y1 ,..., yr  N .
Лемма 3. TE  Pk  E  , E  Ek
6. Теорема Кузнецова о функциональной полноте.
Теорема 8. Можно построить систему замкнутых классов M1 ,...M s  , которая обладает следующим
свойством: классы M1 ,...M s не содержатся друг в друге и произвольное множество в Pk полно  оно
не содержится целиком ни в одном из классов M1 ,...M s .
7. Лемма о трех значениях существенной функции и ее обобщение.
Опр. Функция называется существенной, если она существенно зависит не менее чем от двух
переменных.
Лемма 3. (О трех наборах) Пусть f  x1 ,..., xn  - существенная функция, принимающая l  3 значений,
и x1 - ее существенная переменная. Тогда найдутся наборы  a, a2 ,..., an  ,  b, a2 ,..., an  ,  a, c2 ,..., cn  , на
которых f принимает три различных значения.
Лемма 4. (Обобщение) Пусть f  x1 ,..., xn  существенно зависит не менее чем от двух переменных и
принимает l  3 значений. Тогда  множество 1 ,...,  n : 1  1 ,…,  n  l  1 и функция f принимает
на множестве 1   2  ...   n ровно l значений.
8. Лемма о значениях существенной функции на квадрате.
Опр. Система наборов вида
1 ,...,i1 , i , i1,...,  j 1,  j ,  j 1,...,  n  ,
 ,...,
 ,...,
 ,...,
1
i 1
1
i 1
1
i 1
, i ,  i 1 ,...,  j 1 ,  j ,  j 1 ,...,  n  ,
, i ,  i 1 ,...,  j 1 ,  j ,  j 1 ,...,  n  ,
,  i ,  i 1 ,...,  j 1 ,  j ,  j 1 ,...,  n  называется квадратом, если  i  i ,  j   j .
Лемма 5. (о квадрате) Пусть f  x1 ,..., xn  - существенная функция, принимающая l  3 значений.
Тогда найдется квадрат, на котором f принимает либо более двух значений, либо два значения,
причем одно из них только в одной точке.
__________________________________________________________________
Факультет ВМиК КФ МГУ, 2005 год (Made by Signum & RIMMMA)
2
9. Критерий Яблонского. Общий план доказательства.
Теорема 9. Пусть k  3 , Q  Pk и Q содержит все функции одной переменной (одноместные),
принимающие не более k 1значения. Тогда Q полна  Q содержит существенную функцию,
.
принимающую все k значений ( x  y , x  y , x  y , min , max - примеры таковых).
Следствие (критерий Слупецкого): Пусть система Q функций из Pk , где k  3 , содержит все функции
одной переменной. Тогда для полноты системы Q необходимо и достаточно, чтобы Q содержала
существенную функцию f ( x1 ,..., xn ) , принимающую все k значений.
Теорема 10. Функция f ( x1 ,..., xn ) из Pk , k  3 , является функцией Шеффера  f ( x1 ,..., xn ) порождает
все функции одной переменной, принимающие не более k 1 значений.
10. Теорема Янова
Теорема 11. Для любого k  3 в Pk существуют замкнутые классы, не имеющие базиса.
11. Теорема Мучника.
Теорема 12. Для любого k  3 в Pk существуют замкнутые классы, имеющие счетный базис.
Теорема 13. k  3 Pk содержит континуум различных замкнутых классов.
Тема 2: Ограниченно-детерминированные функции
14. Детерминированные функции. Задание детерминированных функций деревьями. Вес дерева.
Опр. Функция f ( X ) называется детерминированной, если каково ни было число m и каковы бы ни
были последовательности  и  такие, что  (1)   (1) ,  (2)   (2) , …,  (m)   (m) , значения  и
 функции f , где   f ( ) ,   f (  ) , представляют собой последовательности, у которых тоже
совпадают первые m членов.
Теорема 1. Мощность множества всех детерминированных функций, зависящих от переменных
x1 , x2 ,..., xn равна континуум.
Пусть k , n - целые числа и N  k n . Рассмотрим бесконечную фигуру на рисунке. Она состоит из
вершин и ориентированных ребер. Вершина * называется корнем дерева, из нее выходит пучок из N
ребер, образующих 1-й ярус. Каждое из ребер 1-го яруса ведет в вершину, из которой в свою очередь
исходит пучок из N ребер, образующих 2-ой ярус и т.д. Вершины, являющиеся концами m -го яруса,
причисляются также к m -му ярусу (вершина * считается вершиной 0-го яруса). Ребра каждого пучка
нумеруются слева направо числами 0,1,..., N  1 .
Опр. Ветвью дерева называется связное подмножество ребер, содержащее в каждом ярусе ровно по
одному ребру.
Каждой ветви дерева можно сопоставить последовательность   { (1),  (2),...,  (m),...} , где m номер яруса,  ( m ) - номер ребра, входящего в эту ветвь, если идти по ней, начиная от корня. Также
верно и обратное.
__________________________________________________________________
3
Факультет ВМиК КФ МГУ, 2005 год (Made by Signum & RIMMMA)
Опр. Если каждому ребру дерева приписать значение m -го члена выходной последовательности
 (m)  f m ( (1),  (2),...,  (m)) , то полученное дерево называется занумерованным.
Опр. Совокупность всех вершин, исходящих из заданной вершины *1 , порождает дерево с корнем в
*1 , которое называется поддеревом исходного дерева.
Опр. Два поддерева с корнями *1 и *2 исходного дерева называют эквивалентными, если
детерминированные функции, соответствующие этим поддеревьям, совпадают.
Опр. Число классов эквивалентности, на которое разбивается множество всех поддеревьев данного
дерева, называется весом дерева.
15. Ограниченно-детерминированные функции. Диаграммы Мура.
Опр. Детерминированная функция называется ограниченно-детерминированной, если она имеет
конечный вес.
Для любой о-д функции соотвествующее ей полное (бесконечное) занумерованное дерево можно
всегда свести к конечному дереву с занумерованными ребрами и вершинами. Если в полученном
дереве произвести отождествление вершин с одинаковыми номерами, то получим так называемую
диаграмму Мура.
Теорема 2. Число p о-д функций, зависящих от n переменных, имеющих вес r , не превосходит
(rk )rk , где N  k n , N -число ребер, исходящих из каждой вершины диаграммы Мура.
n
16. Канонические уравнения. Переход от векторной записи канонических уравнений к скалярной.
Y (t )  F ( X (t ), Q(t  1))

Опр. Канонические уравнения: Q(t )  G ( X (t ), Q(t  1))
Q(0)  0

 y (t )  F ( x1 (t ),..., xn (t ), q1 (t  1),..., ql (t  1))
q (t )  G ( x (t ),..., x (t ), q (t  1),..., q (t  1))
1 1
n
1
l
 1
Скалярная запись: .........
q (t )  G ( x (t ),..., x (t ), q (t  1),..., q (t  1))
l
1
n
1
l
 l
q1 (0)  ...  ql (0)  0
Здесь l ]log k r[
17. Замкнутость класса о-д функций относительно операции суперпозиции.
f  f1 ( f 2 )
 y (t )  F1 ( F2 ( x2 (t ), q2 (t  1)), q1 (t  1))
q (t )  G ( F ( x (t ), q (t  1)), q (t  1))
 y1 (t )  F1 ( x1 (t ), q1 (t  1))
 y2 (t )  F2 ( x2 (t ), q2 (t  1))
1
2
2
2
1
 1


f1 : q1 (t )  G1 ( x1 (t ), q1 (t  1))
f 2 : q2 (t )  G2 ( x2 (t ), q2 (t  1))  f : q2 (t )  G2 ( x2 (t ), q2 (t  1))
q (0)  0
q (0)  0
q (0)  0
 1
 2
 1
q2 (0)  0
Теорема 3. Класс детерминированных функций замкнут относительно операции суперпозиции.
Теорема 4. Класс о-д функций замкнут относительно операции суперпозиции.
18. Операция введения обратной связи. Замкнутость класса о-д функций относительно операции
введения обратной связи.
Опр. Детерминированная функция f ( x1 ,..., xi ,..., xn ) зависит от переменной xi с запаздыванием, если
для любых входных последовательностей i  {i (1), i (2),..., i (t ),...} , i  1,..., n и любого момента
времени t значение  (t ) , где   f (1 ,...,  n ) , полностью определяется значениями первых t членов
последовательностей 1 ,..., i 1 , i 1 ,...,  n и значениями t 1 членов последовательности  i .
__________________________________________________________________
Факультет ВМиК КФ МГУ, 2005 год (Made by Signum & RIMMMA)
4
 y1 (t )  F1 ( x1 (t ), x2 (t ), q(t  1))
 y (t )  F ( x (t ) x (t ),
, 2 q(t  1))

2
1
f : 2
q(t )  G ( x1 (t ), x2 (t ), q(t  1))
q(0)  0
Пусть f зависит от x1 с запаздыванием. Введем обратную связь по переменным x1 и y1 .
 y (t )  F2 ( F1' ( x2 (t ), q(t  1), x2 (t ), q (t  1))

Тогда y1 (t )  F1' ( x2 (t ), q(t  1)) и f : q(t )  G ( F1' ( x2 (t ), q(t  1), x2 (t ), q (t  1))
q(0)  0

Теорема 5. Класс о-д функций замкнут относительно операции обратной связи.
Теорема 6. Пусть для системы о-д функций { f1 ,..., f m } , где m  2 , возможно введение обратных
связей и в порядке ( y1 , x1 ) , ( y2 , x2 ) , и в порядке ( y2 , x2 ) , ( y1 , x1 ) . Тогда результаты применения
операции обратной связи совпадают.
19. Существование конечных полных систем о-д функций
Теорема 7. Система о-д функций { f 0 ,..., f k 1 , f I0 ( x),..., f Ik 1 ( x), f min ( x1 , x2 ), f max ( x1 , x2 ), x} полна в Pод , k
относительно S и O .
Теорема 8. Система о-д функций { fv ( x1 , x2 ), x} полна в Pод , k относительно S и O ( V -функция Вебба).
Теорема 9. Существует о-д функция f такая, что система { f } является полной в Pод ,k относительно
S и O.
Теорема 10 (Теорема Кратко). Не существует алгоритма, который бы для любой конечной системы од функций выяснял, является ли она полной или нет.
Теорема 11 (Теорема Кудрявцева). Мощность множества предполных в Pод , k классов равна
континууму.
20. Неприводимость операции введения обратной связи к операции суперпозиции.
Теорема 12. Пусть X  ( x1 ,..., xn ) , f ( X ) - о-д функция веса r . Пусть  - периодическая
последовательность с периодом p . Тогда существует r1  r такое, что последовательность   f ( )
периодическая с периодом p1  r1 p .
Теорема 13. Пусть f ( X )  f 0 ( f1 ( X ),..., f m ( X )) , где f 0 , f1 ,..., f m - о-д функции с весами r0 , r1 ,..., rm , не
превосходящими R , и  - периодическая последовательность, период которой содержит только
простые множители, каждый из которых не превосходит R . Тогда   f ( ) - периодическая
последовательность с периодом, содержащим только простые множители, каждый из которых не
превосходит R .
Теорема 14. Система ( Pод , k , S ) не имеет конечного базиса ( S - операция суперпозиции).
Т.к. система ( Pод,k , S , O) имеет конечный базис ( O - операция обратной связи), то операция O является
существенной.
Операция ( Pод ,k , O) также не имеет конечного базиса, поэтому и операция S является существенной.
Тема 3: Машины Тьюринга и вычислимые функции
21. Машины Тьюринга. Операции над машинами Тьюринга.
Рассмотрим машину, состоящую из бесконечной ленты и автомата. Бесконечная лента разделена на
ячейки, которые нумеруются натуральными числами 1, 2,..., i,... . В ячейки 1, 2,..., i вписываются
некоторые символы из алфавита. Автомат обладает головкой и может находиться в одном из
конечного числа состояний.
__________________________________________________________________
Факультет ВМиК КФ МГУ, 2005 год (Made by Signum & RIMMMA)
5
{a1 ,..., ak } - внешний алфавит, {q1 ,..., qr } - алфавит состояний, a0 - пустой символ
Формат команды: ai q j  as qt D , где D {L, R, S} .
Условие детерминированности: для каждой пары ai q j в программе МТ не более одной команды
вида ai q j  ...
Опр. Совокупность ячеек, которые посетит головка, двигаясь из начальной ячейки до данного момента
t , называется рабочей зоной ленты в момент времени t .
Опр. Пусть T - произвольная программа. Обозначим T * программу, которая получается из T , если
всюду в T заменить в командах R на L и L на R . Программа T * называется двойственной к T .
Композиции машин Тьюринга:
1 тип – последовательное подключение одной машины к другой. Пусть M0 и M1 - две произвольные
МТ над одним алфавитом {0,1,..., k  1} , множества состояний которых не пересекаются.
Перенумеруем числами 0,1,..., l  1 все пустые клетки (команды) программы T0 машины M0 . Пусть
p ( x ) - произвольный предикат (специальная функция) на множестве {0,1,..., l  1} . Построим машину
M , которая называется последовательным подключением машины M1 к M0 (относительно предиката
p ( x ) ). Для этого из таблиц T0 и T1 построим новую таблицу T . В ней первая половина совпадает с
таблицей T0 для всех клеток из T0 , в которых стоит непустая команда. В тех клетках  , для которых
p( )  1 , в таблице стоит команда aSq1' , где a - номер строки, в которой находится эта клетка  , q1' -
начальное состояние машины M1 . В тех клетках  , для которых p ( )  0 , в таблице T стоит также
пустая команда. Вторая половина таблицы T полностью совпадает с таблицей T1 .
2 тип – итерация машины. Пусть M0 - произвольная МТ и числами 0,1, 2,..., l  1 занумерованы
пустые клетки ее программы T0 . Пусть p ( x ) - произвольный предикат на множестве {0,1, 2,..., l  1} .
Построим машину M , которая называется итерацией машины M0 относительно предиката p ( x ) . Для
этого по таблице T0 построим таблицу T машины M . Таблица T совпадает с T0 вне клеток,
являющихся пустыми для T0 . В тех клетках  , для которых p ( )  0 , в таблице T стоит команда
aSq1 , где a - номер строки, в которой находится эта клетка  , q1' - начальное состояние машины M0 .
В клетках  , для которых p( )  1 , в таблице T стоит пустая команда.
22. Операторный язык А.А. Ляпунова.
1) Исходными объектами являются операторы, которые подразделяются на три группы:
а) операторы, осуществляющие преобразование записи ленты, состояний машины и перемещение
головки машины. Эти операторы обозначаются заглавными латинскими буквами A, B,...
б) операторы проверки логических условий, обозначаемые символами p  или p .
в) специальные операторы, обозначаемые символами * (оператор начала) и  (оператор конца).
2) Из операторов по определенным правилам строятся операторные схемы, которые представляют
собой некоторую последовательность операторов, в которой для всех стрелок в операторах проверки
логических условий указаны операторы, к которым эти стрелки ведут.
3) Каждой операторной схеме сопоставляется некоторый алгоритм, характеризующий преобразование
записи ленты, состояний машины и перемещение головки машины. Последние осуществляются при
помощи следующих правил:
а) Операторы в схеме работают в определенной последовательности. В данный момент начинает
работать оператор, перед которым стоит символ *.
б) Пусть мы имеем *A . Тогда запись на ленте, состояние машины и положение головки на ленте,
имеющиеся к данному моменту, преобразуются оператором A в некоторую запись на ленте,
некоторое состояние машины и некоторое положение головки. После этого фрагмент схемы *A
перейдет в фрагмент A * , что означает, что преобразуется также и операторная схема.
__________________________________________________________________
Факультет ВМиК КФ МГУ, 2005 год (Made by Signum & RIMMMA)
6
в) Пусть мы имеем *p  . В этом случае происходит вычисление предиката p по имеющейся записи
на ленте и состоянию машины. В случае если p  1 , то фрагмент *p  преобразуется в p  * , т.е. мы
*
перейдем к выполнению следующего оператора; если p  0 , то фрагмент *p  преобразуется в p  ,
т.е. выполняется далее оператор, к которому ведет стрелка.
г) Сочетание *w обозначает конец преобразований или окончание работы.
23. Основной машинный код. Лемма о преобразовании основного кода в l -кратный.
Опр. Основные машинные коды предназначены для задания чисел  и наборов 1 ,...,  s и имеют
следующий вид:
...01...10... - массив из   1 единиц;
 1
...01...101...10...01...10... - s массивов из 1  1 ,  2  1 ,…,  s  1 единиц соответственно, разделенных
1 1
 2 1
 s 1
одним нулем.
Код нуля есть запись на ленте, состоящая ровно из одной единицы.
Опр. Вспомогательные коды:
1) l -кратный код определяется для произвольного набора 1 ,...,  s следующим образом:
...0 1...1 U 1...1 U ...U 1...1 0... ,
l (1 1)
l ( 2 1)
l ( s 1)
где U - буферное слово длины l и U  0U ' , т.е. U начинается с нуля
2) решетчатый код определяется для произвольного набора 1 ,...,  s чисел. Это запись на ленте,
которую можно разложить с помощью s решеток (последовательность ячеек ленты), имеющих период
s , на массивы из единиц, а именно: на первой решетке расположен массив из (1  1) единиц, на
второй решетке расположен массив из ( 2  1) единиц и т.д., на s -ой решетке расположен массив из
 s  1 единиц и начала этих массивов согласованы, т.е. идут на ленте подряд в соответствии с
номерами решеток.
3) квазиосновной код определяется для произвольного основного кода b1b2 ...bv , где b1  bv  1 , в виде
следующей записи: bU
1 1b2U 2 ...U v 1bv , где U1  ...  U v 1  l  1 , l  2 .
Лемма 1 (о преобразовании основного кода в l -кратный). Пусть l - натуральное число ( l  2 ). Тогда
можно построить машину Тьюринга, преобразующую основной код в соответствующий l -кратный с
некоторым заданным буферным словом U , где U  l и U  0U  .
Лемма 2 (о преобразовании решетчатого кода в основной) Пусть s  , s  2 . Тогда можно построить
машину Тьюринга, которая преобразует произвольный код с параметром s в соответствующий
основной код.
Лемма 3 (о преобразовании квазиосновного кода в основной) l  , l  2 можно построить машину
Тьюринга, которая произвольный квазиосновной код bU
1 1b2U 2 ...U v 1bv , где U1  ...  U v 1  l  1 ,
преобразует в соответствующий основной код b1b2 ...bv .
24. Лемма о моделировании на решетке.
Опр. Решеткой с шагом l ( l  2 ) называется последовательность ячеек ленты, номера которых
сравнимы по модулю l .
Лемма 4. Пусть l  2 , M - машина Тьюринга. Тогда можно построить машину Тьюринга M 1 , которая
работает на решетке с шагом l так же, как M на всей ленте.
25. Класс вычислимых функций.
Опр. Функция f  x1 ,..., xn  , где f  P×0 ( P×0 - множество всех частичных функций счетнозначной
логики), называется вычислимой, если существует машина Тьюринга M такая, что:
__________________________________________________________________
Факультет ВМиК КФ МГУ, 2005 год (Made by Signum & RIMMMA)
7
а) при 1 ,...,  n   f машина M , будучи применима к основному коду для 1 ,...,  n  и находясь в
начальном состоянии над его левой единицей, останавливается и в заключительном состоянии на
ленте выдает код для f  a1 ,..., an 
б) при 1 ,...,  n   f машина M , будучи применима к основному коду для 1 ,...,  n  и находясь в
начальном состоянии над его левой единицей, либо не останавливается, либо останавливается, но при
этом запись на ленте отлична от кода любого числа из 0 .
Опр. Машина Тьюринга M реализует (вычисляет) функцию f  x1 ,..., xn   Pвыч правильным образом,
если
а) при 1 ,...,  n   f машина M , будучи применима к основному коду для 1 ,...,  n  и находясь в
начальном состоянии над его левой единицей, останавливается и в заключительном состоянии на
ленте выдает код для f  a1 ,..., an  ; при этом останов происходит над левой единицей кода для
f  a1 ,..., an 
б) при 1 ,...,  n   f машина M , будучи применима к основному коду для 1 ,...,  n  и находясь в
начальном состоянии над его левой единицей, либо не останавливается.
Лемма 5. Если f  x1 ,..., xn  - вычислимая функция, то существует машина Тьюринга, которая
вычисляет ее правильным образом.
26. Операции примитивной рекурсии и минимизации.
Операции суперпозиции: Пусть S ( x1 ,..., xn )  f ( f1 ( x1 ,..., xn ),..., f m ( x1,..., xn )) . Возьмем произвольный
набор 1 ,...,  n  . Если на этом наборе определены функции f1 ,..., f m и функция f определена на
наборе ( f1 (1 ,...,  n ),..., f m (1 ,...,  n )) , то S определена на 1 ,...,  n  и
S (1 ,..., n )  f ( f1 (1 ,..., n ),..., f m (1 ,..., n )); в противном случае S не определена на наборе
1 ,..., n  .
Операция примитивной рекурсии: Пусть   x1 ,..., xn  и   x1 ,..., xn , xn1 , xn 2  - произвольные
функции из P×0 . Построим функцию f  x1 ,..., xn , xn1  , используя схему примитивной рекурсии:
f  x1 ,..., xn ,0    x1,..., xn  , f  x1 ,..., xn , y  1    x1,..., xn , y, f  x1,..., xn , y   .
Пусть 1 ,...,  n1  - произвольный набор чисел из 0 . Полагаем f 1 ,...,n ,0   1 ,..., n  .
Если  на этом наборе не определена, то считаем, что не определена f 1 ,..., n ,0 , а также
f  a1 ,..., an , y  при любом y . В противном случае полагаем:
f 1 ,..., n ,1   1 ,...,  n ,0, f 1,...,  n ,0   .
Если правая часть не определена, то считаем, что f 1 ,...,  n ,1 , а также f 1 ,...,  n , y  не определены
при любом y  1 и т.д.
Через конечное число шагов мы либо определим f 1 ,...,  n ,  n1  , либо установим, что на этом
наборе f не определена.
Операция минимизации: Пусть   x1 ,..., xn1 , xn  - произвольная функция из P×0 . Построим функцию
f  x1 ,..., xn1 , xn  через оператор минимизации f  x1 ,..., xn    y   x1 ,..., xn1 , y   xn  , что означает, что
для произвольного набора 1 ,...,  n  составляется уравнение  1 ,..., n1, y   n .
а) Если существует y из 0 , являющееся решением этого уравнения, то берем минимальное из
решений и обозначим его через  y . Если значения  1 ,...,  n 1 , 0  ,...,  1 ,...,  n 1 ,  y  1 также
определены, то полагаем f 1 ,...,  n1 ,  n    y .
__________________________________________________________________
Факультет ВМиК КФ МГУ, 2005 год (Made by Signum & RIMMMA)
8
б) В противном случае, т.е. в случае, когда либо уравнение не имеет решение, либо хотя бы одно из
значений  1 ,...,  n 1 , 0  ,...,  1 ,...,  n 1 ,  y  1 не определено, функция f 1 ,...,  n1 ,  n  также не
определена.
27. Класс частично рекурсивных функций.
Опр. Множество Pчр всех функций, которые можно получить из системы функций
{0, S ( x), I mn ( x1 ,..., xn ),1  m  n, n  1, 2,...} при помощи операций суперпозиции S , примитивной
рекурсии R и минимизации  , называется классом частично-рекурсивных функций.
( S ( x)  x  1 , I mn ( x1 ,..., xn )  xm )
Опр. Множество Pp всех всюду определенных функций из Pчр называется классом рекурсивных
функций.
Опр. Множество Pпр всех функций, которые можно получить из системы
0, S  x  , I  x ,..., x  ,1  m  n, n  1, 2,... при помощи операций суперпозиции и примитивной
n
m
1
n
рекурсии, называется классом примитивно-рекурсивных функций.
Очевидно, что Pпр  Pp  Pчр  Рч 0 .
28. Замкнутость класса вычислимых функций относительно операции суперпозиции.
Лемма 6. Из вычислимой функции при добавлении и изъятии несущественных переменных
получается вычислимая функция.
Лемма 7. Если f  x1 ,..., xm  , f1  x1 ,..., xn  ,…, f m  x1 ,..., xn  вычислимы, то функция
f  f1  x1 ,..., xn  ,..., f m  x1 ,..., xn   тоже вычислима.
Теорема 1. Класс Pвыч замкнут относительно операции суперпозиции.
29. Замкнутость класса вычислимых функций относительно операций примитивной рекурсии и
минимизации.
Теорема 2. Класс Pвыч замкнут относительно операции примитивной рекурсии.
Теорема 3. Класс Pвыч замкнут относительно операции минимизации.
Теорема 4. Класс Pвыч замкнут относительно системы операций S , R,  .
30. Частичная рекурсивность вычислимых функций. Формула Клини.
Теорема 5. Для всякой вычислимой функции f  x1 ,..., xn  существуют такие примитивно-рекурсивные


функции Ff  x1 ,..., xn , y  и G f  x1 ,..., xn , y  , что f  x1 ,..., xn   Ff x1 ,..., xn ,  y  G f  x1 ,..., xn , y   0  .
Теорема 6. Pвыч  Pчр
Теорема 7. Система функций {0, S ( x), I11 ( x)} полна в Pвыч относительно системы операций S , R,  .
Теорема 8. Система функций {0, S ( x)} полна в Pвыч относительно системы операций S , R,  .
__________________________________________________________________
Факультет ВМиК КФ МГУ, 2005 год (Made by Signum & RIMMMA)
9