Учитель математики: Комарова Наталья Александровна,
МБОУ «Уренская средняя общеобразовательная школа №1»,
г.Урень, Нижегородская область.
Тема: Многогранники. Призма. Пирамида.
Деятельность учителя
Деятельность ученика
На сегодняшнем уроке мы с
вами поговорим о геометрических
телах.
На
разделить
фигуры
какие
все
группы
можно
геометрические
(Учитель
показывает
натуральные модели плоских тел:
треугольник,квадрат, пятиугольник,
n-угольник и пространственных тел;
куб, тетраэдр, пирамида, призма).
На плоские и объёмные.
На какие 2 вида можно разделить
плоские
геометрические фигуры? Многоугольники и немногоугольники.
(Учитель показывает натуральные
модели
многоугольников
и
немногоугольников).
Попробуйте
описать
Фигура, составленная из отрезков так,
многоугольник, что он из себя что смежные отрезки не лежат на одной
представляет?
прямой,
а несмежные отрезки не имеют общих точек,
называется многоугольником.
На какие две группы разделяют
многоугольники?
На выпуклые и невыпуклые.
Опишите выпуклый многоугольник. Выпуклый многоугольник лежит по одну
сторону от каждой прямой, проходящей
через две его соседние вершины.
Выберете
из
данных
многоугольников выпуклые
Выпуклые многоугольники изображены
под номерами: 1, 3, 5, 6, 7.
1.
3.
2.
4.
5
6.
7.
8.
А остальные фигуры что из
себя представляют?
Теперь поговорим об объемных
телах. Проводя аналогию, на какие
2 группы можно разделить эти
фигуры?
Невыпуклые многоугольники.
Объёмные
можно
геометрические
разделить
немногогранники.
на
фигуры
многогранники
и
Попробуйте
по
аналогии
с
многоугольником описать, что это
за фигура – многогранник. Далее
учитель
показывает
Поверхность,
составленная
фигуру, многоугольников,
из
называется
напоминающую открытую коробку многогранником.
и спрашивает.
Эта
фигура
будет
многогранником?
Нет
Поэтому
необходимо
выполнение ещё одного условия,
чтобы
фигура
была
многогранником, как вы думаете,
какого?
Поверхность
должна
ограничивать
некоторое геометрическое тело.
Сформулируйте
теперь Поверхность,
определение многогранника.
многоугольников
составленная
и
из
ограничивающая
некоторое геометрическое тело, называется
многогранником.
А какие многогранники вы
знаете?
А зачем нам нужно изучать
многогранники?
Оглянитесь
многогранники
вокруг,
окружают
нас
всюду.
Многие здания имеют форму
многогранников
(здесь
можно
учащимся показать картинки).
Когда вы приходите домой из
школы, то вешаете свои вещи в
Тетраэдр, параллелепипед.
шкаф,
а
шкаф
это
тоже
многогранник; мел, которым мы
пишем, также многогранник. Таких
примеров может быть очень много.
По
аналогии
многоугольниками,
класса
на
с
какие
можно
2
разбить
многогранники?
На выпуклые и невыпуклые.
Попробуйте описать выпуклый
многогранник,
учитывая,
аналогом прямой
Выпуклый многогранник находится по
что одну сторону от плоскости каждой его грани.
в пространстве
будет плоскость.
А какие вы знаете выпуклые
многогранники?
(В
результате
Тетраэдр, параллелепипед
появляется
таблица)
Геометрические фигуры
Плоские
Объёмные
Многоугольник Немногоугольники
Многогранники Немногогранники
Выпуклые
Выпуклые
Невыпуклые
Итак, мы проклассифицировали
все геометрические фигуры. Тем
самым повторили изученные ранее
многоугольники и сделали первые
шаги к изучению многогранников.
Невыпуклые
Данная схема поможет вам на
основе
аналогии
с
многоугольниками
ввести
корректное
определение
многогранника, его составляющих
элементов,
свойства
и
их
обоснование. А почему именно на
основе аналогии? Да потому что
аналогами
многоугольников
пространстве
в
являются
многогранники.
Попытайтесь
теперь
На основе аналогии с многоугольником
сформулировать цель нашего урока. ввести понятие многогранника.
Сегодня
на
уроке
рассмотрим
мы
некоторые
также
виды
многогранников и их составляющие
элементы. Запишите тему урока:
«Многогранники.
Призма.
Пирамида».
Поскольку
аналогом
многоугольника
в
пространстве
является многогранник, то прежде
чем рассматривать новую фигуру и
её
элементы,
составляющие
повторим
элементы
многоугольника.
Перед
Левая
вами
колонка
многоугольник
и
канва-таблица.
называется
соответственно
изображён многоугольник ABCDE,
правая колонка – многогранник и
изображён
многогранник
ABCDA1B1C1D1.
Перечислите,
из
каких
Многоугольник состоит из вершин, сторон,
элементов состоит многоугольник? диагоналей, углов.
Перечислите
вершины
многоугольника
ABCDE.
A, B, C, D, E.
Стороны?
EA, AB, BC, CD.
Диагонали?
AC, EC, EB, BD, AD.
(Всё заносим в канву – таблицу).
Теперь перейдём к рассмотрению
многогранника.
При
изучении
тетраэдра и параллелепипеда как
мы
называли
треугольники
параллелограммы,
из
и
которых
состоят эти фигуры?
Гранями.
А как называли стороны этих
граней?
Рёбрами.
Их вершины?
Вершинами
параллелепипеда
или
тетраэдра.
Какой
ещё
элемент
параллелепипеда вы не назвали?
Что
называют
диагональю
параллелепипеда?
Отрезок,
Попробуйте
сказанное
составляющие
на
Какие
случай
получим
элементы
многогранника?
Перечислите
соединяющий
обобщить противоположные вершины.
вами
многогранника.
Диагональ.
Вершины, рёбра, грани, диагонали.
грани
многогранника
ABCDA1B1C1D1.
ABCD, A1B1C1D1, AA1B1B, BB1C1C,
CC1D1D, AA1D1D.
Рёбра
AA1, BB1, CC1, DD1, AB, BC, CD, AD,
A1B1, B1C1, C1D1, A1D1.
Вершины.
A, B, C, D, A1, B1, C1, D1.
Назовите 2 любые диагонали
BD, AB1.
граней
многогранника.
Назовите
диагонали
A1C, C1A, B1D, D1B.
многогранника.
Сформулируйте
определение
Многоугольники, из которых составлен
граней многогранника?
многогранник, называются его гранями.
Рёбер многогранника?
Стороны
граней
называются
рёбрами
многогранника.
Вершин многогранника?
Концы
рёбер
называются
вершинами
многогранника.
Что
называется
диагональю
многогранника?
Отрезок, соединяющий две вершины, не
принадлежащие одной грани, называется
диагональю многогранника.
Назовите
многоугольник
наименьшим
с
количеством
диагоналей?
Или
Трапеция, прямоугольник, квадрат.
одним
словом
четырёхугольник.
Назовите
многогранник
наименьшим
с
количеством
диагоналей?
Перечислите
рассматриваемого
Параллепипед, куб.
углы
 В,  А,  С,  D,  Е.
многоугольника.
Какие они по виду?
Плоские
А
А какие ещё бывают углы?
Двугранные
трёхгранные
Да
углы
бывают?
Действительно, и трёхгранные
углы бывают и четырёхгранные и
многогранные.
Как вы думаете, какие углы
могут быть у
многогранника?
Плоские,
двугранные,
трёхгранные,
многогранные.
Приведите примеры плоского угла
на
рассматриваемом
многограннике.
 BAD,  BAA1,  C1D1D, …
Приведите
примеры
двугранных углов.
В
D1ADC, B1ABC …
рассматриваемом
многраннике ABCDA1B1C1D1 есть и
трёхгранные
углы.
Например,
трёхгранный угол при вершине А,
поскольку
данный
ограничивают
3
угол
грани:
ABCD,
ABB1A1, и AA1D1D.
Приведите
пример
трёхгранного угла в классе?
Две стены и пол, две стены и потолок.
Когда изучали многоугольники,
то вам приходилось находить сумму
углов. По какой формуле вы это
  (n  2)  180
делали?
Как
посчитать
вы
думаете,
сумму
, где n-количество рёбер.
можно
углов
у
можно,
но
многогранника?
Действительно
0
только у выпуклого многогранника.
Наверное, можно.
А сумму каких углов можно
подсчитать у многогранника?
При
какой-нибудь
плоских углов.
Верно. А сделать это можно
следующим образом: рассмотрим
некоторую
фигуру
четырёхугольную
–
пирамиду.
Я
надрежу эту пирамиду вдоль рёбер,
а вершину оставлю. Посмотрим,
как
выглядит
Y1+Y2+Y3<3600
развёртка
четырёхгранного угла на плоскости.
Обозначим углы граней при
вершине У1, У2, У3, У4. Точно мы не
сможем подсчитать сумму этих
углов,
но
можем
сказать
определённо, в каких границах она
находится.
Итак, У1+У2+У3+У4 однозначно
больше
00
,
но
меньше
скольки 3600.
градусов?
На самом деле, у выпуклых
многогранников
есть
такое
свойство, что сумма плоских углов
при каждой его вершине меньше
3600.
Т.е. У1+У2+У3+У4 <3600.
Ещё какими величинами можно
Периметром, площадью.
вершине,
сумму
охарактеризовать многоугольник.
Как
найти
периметр
Нужно найти сумму длин всех сторон
многоугольника?
Аналогично
у
многогранника
можно посчитать сумму длин всех
рёбер.
Как
найти
площадь SABCDE=SCBE+SCAE+SCED
многоугольника ABCDE?
Аналогично у многогранника
можно
найти
площадь
боковой
поверхности как сумму площадей
боковых граней многогранника. И
площадь полной поверхности как
сумму
площади
боковой
поверхности и площади основания.
У многогранников ещё можно
находить
объём,
поскольку
это
объёмные фигуры. Об объёме и
формулах
объёма
многогранников
для
поговорим
позднее.
А
теперь
перейдём
к
рассмотрению конкретных видов
многогранников и прежде всего
рассмотрим
призму.(Учитель
показывает учащимся натуральные
модели призм). С этой фигурой мы
ещё с вами не встречались, но
сегодня
на
познакомиться
уроке
с
мы
должны
призмой
и
рассмотреть её основные элементы.
Bn
Призма.
B1
Пусть заданы две параллельные
B3
B2
плоскости  и β. Рассмотрим два
β
равных многоугольника А1А2…Аn,
An
В1В2…Bn, расположенные в этих
плоскостях.
A1
A3
Соединим
соответственные
вершины
многоугольников
параллельными
A2

отрезками А1В1, А2В2, …, АnBn.
(смотри канву-таблицу).
Какой плоской фигурой будет
каждый
из
полученных
четырёхугольников
n-
A1А2В2В2,
A2А3В3В2,…, AnА1В1Вn ?
Это
лишь
гипотеза,
её
необходимо объяснить.
Какой
четырёхугольник
мы
Каждый
называем параллелограммом?
из
полученных
четырёхугольников
является
определением, параллелограммом.
Пользуясь
докажем,
n-
что
четырёхугольник
А1В1 В2А2 параллелограмм.
Что вы можете сказать об
отрезках
A1В1
и
A2В2?
Четырехугольник,
противоположные
Откуда это следует?
у
стороны
которого
попарно
А отрезки A1А2 и В1В2. Какие параллельны, называется параллелограммом.
они?
Почему?
плоскости
Что
известно

и
про
β?
И по сути мы видим, что они Они параллельны.
пересечены
третьей
плоскостью
Из построения призмы.
А1В1 В2А2 .
Тогда
откуда
следует
Параллельные.
параллельность отрезков В1В2 и
A1А2?
Они параллельны
Давайте
вспомним
это
свойство.
Таким образом, мы получили,
Из
свойства
что в четырёхугольнике А1В1В2А2 плоскостей,
противоположные
что
а
значит
что и другие четырёхугольники
также будут параллелограммами.
Введём определение призмы.
Многогранник,
составленный
из двух равных многоугольников
и
в
В1В2…Вn,
параллельных
плоскостях, и n-параллелограммов
A1А2В2В1 ,…, AnА1В1Вn называется
призмой.
Заметим,
третьей
Если
2
параллельные
плоскости
этих плоскостей параллельны.
Аналогично можно доказать,
расположенные
пересечённых
четырехугольник пересечены третьей, то линии пересечения
А1В1В2А2 – параллелограмм.
А1А2…Аn
двух
стороны плоскостью.
попарнопараллельны,
доказали,
параллельности
что
параллелограммов столько, сколько
вершин у многоугольников. Вершин
n и параллелограммов также n.
(Дальше учитель берёт натуральные
модели
тетраэдра
параллелепипеда,
и
показывает
на
грань, лежащую в основании).
Как мы называли эту грань?
Проводя
тетраэдром
как
аналогию
и
с
параллелепипедом,
назовём
многоугольники
А1А2 … Аn , В1В2…Bn?
Параллелограммы, из которых
составлена призма?
Основанием.
Отрезки A1В1, A2В2, …, AnВn ?
(Всё заносим в канву-таблицу).
Основаниями призмы.
Что можно сказать о боковых
рёбрах
показывает
призмы?
(учитель
натуральную
Боковые грани призмы.
модель
призмы)
Боковыми рёбрами призмы.
Откуда это следует?
Они равны и параллельны.
Призму
с
основаниями
А1А2 … Аn, В1В2…Вn обозначают
А1А2 … АnВ1В2…Вn и называют n- Это следует из того, что боковые грани угольной призмой.
Любой
параллелограммы,
выпуклый противоположные
многогранник имеет высоту.
параллельны.
а
в
параллелограмме
стороны
равны
и
Введём определение высоты
призмы.
Высота
призмы
–
это
перпендикуляр,
проведённый
какой-нибудь
точки
одного
плоскости
другого
основания
к
из
основания.
(смотрим
канву-таблицу
и
просим учащихся построить там
F1
высоту призмы).
Проведём
O1
A1
в
призме
D1
ещё
C1
B1
несколько высот.
Поскольку высота призмы – это
перпендикуляр,
проведённый
из
любой точки одного основания к
плоскости другого основания, то в
качестве
такой
точки
A
F
B
O
D
C
возьмём,
например, одну из вершин верхнего
основания призмы точку D1 и
опустим из неё перпендикуляр на
плоскость нижнего основания.
В
этом
случае,
где
оказалась
проекция высоты призмы?
Теперь возьмём точку С1 и
опустим из неё перпендикуляр на
плоскость основания.
В этом случае где оказалась
проекция высоты призмы?
Далее
учащимся
учитель
показывает
натуральные
модели
Вне основания призмы.
H1
H
прямой и наклонной призм.
На ребре нижнего основания.
Чем отличаются эти 2 призмы?
Такую
призму,
у
которой
боковое ребро перпендикулярно к
основаниям называют прямой.
Приведите
примеры
У
одной
из
них
боковое
ребро
прямых перпендикулярно к основанию призмы.
призм, с которыми мы не раз
встречались на уроках геометрии.
(Учитель
показывает
натуральную
модель
прямой
призмы).
Куб, параллелепипед.
На натуральной модели прямой
призмы возьмём любое боковое
ребро.
Мысленно
пытаемся
провести высоту призмы. Сравните
боковое ребро и высоту прямой
призмы.
Это выполняется только для
прямой призмы.
Если
Высота
призма
не
прямой
призмы
равна
её
призмы
не
является боковому ребру.
прямой, то её называют наклонной.
Попробуйте,
определения
исходя
прямой
сформулировать
из
призмы,
определение
наклонной призмы.
Та призма, которая у вас в
канве-таблице
прямая?
наклонная
Если
боковое
ребро
или перпендикулярно к основаниям, то призма
называется наклонной.
(далее
учитель
показывает
натуральные модели правильных Наклонная, так как её боковое ребро не
призм,
например,
правильной перпендикулярно к основаниям.
треугольной призмы и куба). Это
модели правильных призм. Как вы
думаете, что должно быть, чтобы
призма
была
правильной?
Что
лежит в её основании?
Какое ещё условие должно
выполняться, чтобы призма была
правильной?
натуральные
Посмотрите
модели
на Правильный многоугольник.
правильной
призм, эти призмы прямые или
наклонные?
Таким образом, прямая призма
называется правильной, если её
основания
правильные
Прямые
многоугольники.
Обращаю внимание на то, что
только прямая призма может быть
правильной.
Давайте посмотрим на модели
правильных призм, что вы можете
сказать об их боковых гранях?
Сравните их.
Какой плоской фигурой будут
боковые грани правильной призмы?
Таким
призма
образом,
обладает
правильная Они равны.
следующим
свойством: все её боковые грани – Прямоугольниками.
равные прямоугольники.
F1
(заносим её в канву-таблицу)
Это
свойство
A1
D1
необходимо
доказать.
B1
На
доске
правильная
изображена
призма,
доказательство,
проводим
пользуясь
докажем,
F
A
D
этим
рисунком и натуральной моделью.
Сначала
C1
B
C
почему
боковые грани правильной призмы
прямоугольники.
Какую
призму
мы
можем
назвать правильной?
Что
известно
про
прямую
призму?
Прямую призму, у которой основания
правильные многоугольники.
А теперь объясните, почему эти
прямоугольники равные?
Чем
Её боковое ребро перпендикулярно к
характеризуется основаниям,
прямоугольник?
Рассмотрим
а
значит
боковые
грани
правильной призмы – прямоугольники.
два
соседних
прямоугольника и докажем, что они
равны.
Длиной и шириной.
Что нужно сравнить у этих
прямоугольников?
Длину и ширину. А1В1 = АВ = В1С1 =
Таким образом, мы доказали, ВС, т.к. АВСD…F, A1B1C1D1 …F1 – равные
что
в
правильной
боковые
призме
грани
–
все правильные многоугольники, А1А = ВВ1 =
равные СС1 как боковые рёбра призмы.
прямоугольники.
Когда мы изучали выпуклые
многоугольники, то мы решали
задачи о нахождении их площади.
У
многогранников
можно
находить
боковой
также
площадь
поверхности,
как
также
и
полной поверхности.
Как вы думаете, что называют
площадью
боковой
поверхности
призмы?
А что такое площадь полной
поверхности призмы?
Площадь
полной
Площадью
боковой
поверхности
называют сумму площадей её боковых
поверхности граней.
выражается через площадь боковой
Площадью полной поверхности призмы
поверхности и площадь основания называется сумма площадей всех её граней.
призмы формулой. Как вы думаете
какой?
Посмотрим на прямую призму,
изображённую на доске.
И поставим перед собой задачу:
найти
площадь
её
боковой
поверхности.
Какой
плоской
фигурой
будут
боковые грани прямой призмы?
Основания
этих
Sпол=Sбок+2Sосн.
прямоугольников по отношению к Боковые
призме чем являются?
Сравните
грани
прямой
призмы
–
прямоугольники.
высоты
этих
прямоугольников и высоту призмы.
(рисунок в канве-таблице)
Сторонами основания призмы.
Как найти площадь боковой
поверхности прямой призмы?
Высоты прямоугольников равны высоте
призмы. AA1=BB1=…=FF1=h.
Вспомним
формулу
площади
прямоугольника.
Распишем
граней
АА1В1В
 ...  S
(прямоугольников).
площади S ,б.п.  S АА В
теперь
1 1В
прямоугольников
S
Найти сумму площадей её боковых
 ...  S
Площадь
AA1F1F
прямоугольника
равна
и полученные произведению его смежных сторон.
AA1F1F
результаты подставим в формулу
площади
прямой
боковой
призмы,
поверхности
учтем,
что
AA1=BB1=…=FF1=h.
Сумма
длин
всех
сторон
Sб.п.=AA1*АB+ВВ1*ВС+…+AA1*АF=h*АВ+
основания, это что?
Таким образом, мы доказали +h*ВС+…+h*АF=h(АВ+ВС+…+АF)=h*P
теорему о нахождении площади
боковой
поверхности
прямой Периметр.
призмы.
А
теперь
сформулировать
попробуйте
сами
данную
теорему.
Теорема.
Заметим, что эта теорема верна
лишь для прямой призмы.
Площадь боковой поверхности прямой
призмы
равна
произведению
периметра
В канву-таблицу запишем план основания на высоту призмы.
доказательства,
а
само
доказательство
предлагаю
восстановить дома.
Помимо прямой призмы есть
ещё и наклонная. Как же находить
площадь её боковой поверхности?
Для этого решим задачу №236.
Читаем задачу и делаем рисунок.
Что такое перпендикулярное
сечение наклонной призмы?
Строим
перпендикулярное
Перпендикулярным сечением наклонной
сечение наклонной призмы (смотри призмы называется её сечение плоскостью,
канву-таблицу и рисунок на доске)
перпендикулярной к боковым рёбрам и
пересекающей их.
F1
A1
D1
C1
A
F
D
B
Проводим
C
высоту
h1
грани
AA1B1B обозначим ММ1. затем из
точки М1 опустим перпендикуляр
на ребро СС1, получим точку М2,
затем
из
точки
М2
опустим
перпендикуляр на ребро DD1 и так
далее во всех гранях проводим
высоты h1, h2,…, hn. В результате
получим перпендикулярное сечение
ММ1М2…Мn.
Обозначим
за

боковое ребро наклонной призмы.
Какой
плоской
фигурой
является боковая грань наклонной
призмы?
Вспомним формулу площади
параллелограмма.
Параллелограммом.
Площадь
Найдите
площадь
параллелограмма
равна
каждой произведению высоты параллелограмма на
боковой грани наклонной призмы, его основание.
обозначив боковое ребро за  .
Найдите
боковой
теперь
площадь
S1=  *h1
поверхности
наклонной
S2=  *h2
призмы.
S3=  *h3
h1, h2,…, hn – это что для
сечения?
Чему
равна
сумма
длин Sб.п.=  *h1+  *h2+…+hn=  (h1+h2+…+hn)
отрезков h1, h2,…, hn ?
Стороны сечения.
Таким образом мы доказали,
что площадь боковой поверхности
Периметру перпендикулярного сечения.
наклонной
Sб.п.=  *P.
призмы
равна
произведению
периметра
перпендикулярного
сечения
на
высоту.
Запишем план доказательства, а
само
доказательство
вы
восстановите дома.
Пирамида.
Рассмотрим
ещё
один
многогранник – пирамиду. (Учитель
показывает натуральную модель).
Рассмотрим
P
многоугольник
А1А2 … Аn и точку Р, не лежащую в
плоскости этого многоугольника.
Соединим точку Р отрезками с
вершинами
многоугольника,
получим n-треугольников. (Смотри
канву-таблицу).
Назовите их.
An
A1
A2
A3
Попытайтесь по аналогии с
определением
призмы
сформулировать
сами
определение РА А , РА А ,…, РА А .
1 2
2 3
n 1
пирамиды.
Многогранник,
составленный
из
n-
По аналогии с определениями, угольника А А … А
и n-треугольников
1 2
n
введёнными для призмы, дайте РА А ,
РА2А3,…,
РАnА1
называется
1 2
определение основных элементов пирамидой.
пирамиды:
грани,
основание,
боковые
пирамиды.
рёбра,
боковые
Многоугольник А1А2 … Аn называется
вершина основанием пирамиды, треугольники РА А ,
1 2
РА2А3,…, РАnА1 – боковыми гранями. Точка
По аналогии с определением n- Р – вершиной пирамиды. Отрезки РА ,
1
угольной
призмы
дайте РА1,…, РАn – боковыми рёбрами пирамиды
определение n-угольной пирамиды.
(всё
заносится
в
канву-
таблицу).
Пирамиду с основаниями РА1А2 …Аn и
вершиной
Попытайтесь
Р
обозначают РА1А2…Аn
и
сформулировать называют n-угольной пирамидой.
определение высоты пирамиды.
Постройте высоту пирамиды,
Перпендикуляр,
проведённый
из
которая дана у вас в канве-таблице. вершины пирамиды к плоскости основания
Проекция
точки
Р
лежит
в называется высотой пирамиды.
плоскости основания в этом случае.
Далее
учитель
натуральные
модели
показывает
пирамид;1)
проекция высоты пирамиды лежит
вне плоскости основания.
P
2)проекция высоты пирамиды
лежит на ребре основания в случае,
когда
боковая
грань
перпендикулярна основанию.
3)высота призмы совпадает с
боковыми рёбрами в случае, когда
боковое
ребро
основанию.
перпендикулярно
H1
P
H1
По
аналогии
площади
с
определениями
полной
и
поверхности
боковой
призмы
сформулируйте
определение
площади
и
полной
P
боковой
поверхности пирамиды.
Запишите формулу площади
полной
поверхности
пирамиды
через площадь боковой поверхности
и площадь основания.
Поскольку
призма
бывает
правильной, то очевидно можно
предположить,
что
есть
и
правильная пирамида, но понятия
H1
Площадью полной поверхности пирамиды
называется сумма площадей всех её граней, а
площадью боковой поверхности пирамиды –
сумма площадей её боковых граней.
прямой пирамиды в геометрии,
вообще говоря, нет.
Попробуйте
по
аналогии
с
определением правильной призмы
сформулировать
определение
правильной пирамиды, учитывая,
что нет понятий прямой пирамиды.
Поскольку
в
определении
правильной призмы учитывалось
выполнение двух условий, то в этом
определении
также
должны
Sп.п.=Sбок.+Sосн.
выполняться 2 условия и второе
условие
такое:
отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с Пирамида называется правильной, если её
центром основания, является её основание – правильный многоугольник.
высотой.
Вспомним
что
такое
центр
правильного многоугольника?
Пользуясь
натуральной
моделью и рисунком правильной
пирамиды из канвы-таблицы, что
вы можете сказать о её боковых
рёбрах и боковых гранях.
Сравните боковые грани, они
между собой какие?
Действительно,
пирамида
правильная Центр вписанной в него (или описанной
обладает
свойством:
все
следующим около него) окружности.
боковые
правильной пирамиды
рёбра
равны, а
боковые грани являются равными
равнобедренными треугольниками.
Боковые рёбра правильной пирамиды
равны, а боковые грани – равнобедренные
Запишите это свойство в канву- треугольники.
таблицу
Докажем это.
Сначала
боковые
равны.
Равные.
докажем,
рёбра
этой
Проведём
в
что
все
пирамиды
пирамиде
высоту РО, проводим её и в канветаблице. Соединим центр основания
пирамиды с вершинами пирамиды.
На какие плоские фигуры разбилась
пирамида?
Чем являются боковые рёбра
пирамиды для этих треугольников?
Рассмотрим  А1РО (смотри
канву-таблицу).
ОР
для
пирамиды,
чем
является?
Обозначим ОР за h(ОР=h).
АО1 чем является для этой
пирамиды?
На прямоугольные треугольники.
Как найти гипотенузу А1Р?
Полученные
Гипотенузами.
прямоуголные
треугольники между собой какие?
Сравните их.
По
какому
признаку
они
Высотой.
равны?
Что
можно
сказать
о
гипотенузах этих треугольников?
АO1=R,
R-радиус
описанной
окружности.
При
факта,
доказательстве
какой
этого
метод
По теореме Пифагора А1Р= h 2  R 2
мы
использовали?
Докажем теперь, что боковые
Равные.
грани правильной пирамиды равные
равнобедренные треугольники.
Объясните,
почему
треугольники равнобедренные?
По двум катетам.
эти
Они также равны.
РА1=РА2=…=РАn= h 2  R 2 .
Осталось доказать, что равны
Метод равных треугольников.
их основания. Докажите это.
По какому признаку равны эти
грани?
Мы только что доказали, что боковые
рёбра правильной пирамиды равны, а значит
Возьмём любую боковую грань её грани равнобедренные треугольники.
правильной пирамиды и проведём в
ней все высоты (в канве-таблице Основания этих треугольников равны друг
проводим эти высоты). Поскольку другу, так как А1А2 … Аn
боковая
грань
правильной многоугольник.
Значит
- правильный
боковые
грани
пирамиды – треугольник, то в ней равные и равнобедренные треугольники.
можно провести три высоты. Одна
из этих высот, а именно высота, По
3
–
ему
признаку
равенства
проведённая из вершины пирамиды, треугольников.
имеет
специальное
название
–
апофема.
Дайте определение апофемы
правильной пирамиды.
Понятие апофемы нам нужно
для того, чтобы сформулировать и
доказать теорему о нахождении
площади
боковой
поверхности
правильной пирамиды.
Поставим перед собой задачу:
найти
площадь
боковой
поверхности правильной пирамиды.
Высота
боковой
грани
правильной
Каким
свойством
боковые
грани
обладают пирамиды, проведённая из её вершины,
правильной называется апофемой.
пирамиды?
Чему равна площадь такого
треугольника,
если
апофему
за
d?
обозначить
Давайте распишем площади этих
треугольников.
Основания этих треугольников, чем
являются
по
отношению
к Боковые
пирамиде?
грани
правильной
пирамиды
равные равнобедренные треугольники.
Чему по определению равна
площадь
боковой
поверхности
пирамиды?
Половине произведения апофемы на
основание треугольника.
SA1PA2=1/2d*A1A2
Таким образом, мы доказали
теорему
о
площадь
боковой
SA2PA3=1/2d*A2A3
SA1PAn=1/2d*A1An
поверхности правильной пирамиды.
Сформулируйте её.
Сторонами основания пирамиды.
Запишем план доказательства
(смотри
канву-таблицу),
доказательство
вы
а
восстановите
дома.
Сумме площадей всех её граней.
S=S1+S2+…+Sn=1/2d*A1A2 +1/2d*A2A3 +
+1/2d*A1An =1/2d(A1A2 + A2A3 +…
+ A1An )=1/2d*P.
Существует ещё особый вид
пирамиды – усечённая пирамида. Теорема: площадь боковой поверхности
( учитель показывает натуральную правильной
пирамиды
равна
половине
модель).
Её
я
вам
предлагаю произведения
периметра
основания
на
изучить самостоятельно дома по апофему.
тому же плану, по которому мы
рассматривали призму и пирамиду.
(план записывается учителем
на доске).
План:
Познакомившись
видами
с
многогранников,
данными
1)
графическая модель (рисунок)
2)
определение
усечённой
давайте пирамиды.
спрогнозируем нашу дальнейшую
3)
Элементы усечённой пирамиды
деятельность. Чтобы усвоить новый
4)
Свойство
материал
и
новые
боковых
граней
понятия усечённой пирамиды с доказательством.
необходимо решить ряд задач. Этим
5)
Правильная усечённая пирамида.
мы
6)
Площадь боковой поверхности
займёмся
на
последующих
уроках.
правильной
усечённой
Давайте ещё раз вспомним, с доказательством).
какими
новыми
понятиями
мы
сегодня познакомились?
Какие теоремы доказали на уроке?
пирамиды
(с
Что
помогло
нам
«открыть»
определения некоторых понятий?
Пирамида,
призма,
многогранник,
основные элементы многогранников, прямая
и правильная призма, правильная пирамида.
Д/з:
п.
25-29
читать,
Свойство
боковых
граней
прямой
восстановить доказательства теорем призмы, теорему о нахождении площади
по планам.
боковой поверхности прямой и наклонной
п. 30-самостоятельно изучить призмы, свойство правильной пирамиды,
по предложенному плану.
теорему о нахождении боковой поверхности
правильной пирамиды
Аналогия
в
определений, теорем.
формулировках
Канва-таблица.
Многоугольник
Многогранник
B1
C1
A1
D1
B
A
C
B
E
D
A
C
D
Вершины A, B, C, D, A1, B1, C1,
Вершины А, В, С, D, E
D1
Стороны AB, BC, CD, DE, EA
Диагонали AC,EC,EB,BD,AD.
Углы: плоские  A,  B,  C,  D, 
Рёбра AA1, BB1, CC1, DD1, AB,
BC, CD, AD, A1B1, B1C1, C1D1, A1D1
Грани ABCD, A1B1C1D1, AA1B1B,
BB1C1C, CC1D1D,AA1D1D
E
Сумма углов многоугольника:
  (n  2) *180
0
Диагонали
граней:
BD,AC,AB,AB,…
Диагонали
многогранника
AC1,CA1,BD1,DB1.
Углы:
плоские,
двугранные,
плоских
углов
трёхгранные.
Сумма
при
каждой
вершине
многогранника
меньше 3600.
Призма
Пирамида
Bn
P
O
B1
B3
B2
An
A1
O1
A2
An
A1
A3
O
A2
А1А2 … Аn, , В1 В2…Вn –
основания
A3
А1А2 … Аn - основание
РА1А2,
РА2А3,…,
РАnА1
–
А1В1 В2А2 , A2А3В3В2,…, AnА1В1Вn боковые грани
– боковые грани.
РА1,…, РАn – боковые рёбра
А1В1 А2В2, …, АnBn – боковые
рёбра.
Р – вершина пирамиды
РА1А2
А1А2 … Аn,В1 В2…Вn
…Аn
–
n-угольная
- n- пирамида
угольная призма
РО – высота.
ОО1 – высота призмы
Призма
Прямая
(боковое ребро
ребро
Пирамида
Наклонная Правильная
(боковое не
1) основание -
перпендикулярно правильный
Усечённая
перпендикулярно
к основаниям) многоугольник.
основаниям)
2) отрезок, соединяющий
вершину
правильная
пирамиды с
(основание –
центром
правильные
основания – высота.
многоугольники).
Свойство: у правильной призмы
все
боковые
прямоугольники.
Sп.п.=Sбок.п.+2Sосн
грани
Свойство: все боковые рёбра
равные правильной
пирамиды
равны,
а
боковые грани являются равными
равнобедренными треугольниками.
Sп.п.=Sбок.+Sосн.
Теорема: Sб.п.=P*h(для прямой
призмы)
Теорема: Sб.п.=1/2P*d( для
правильной пирамиды)
P
F1
A1
D1
B1
C1
F
A
D
An
B
C
An
H1
An
H1
An
Доказательство.
Доказательство.
План.
План.
1) AA1B1B, BB1C1C, …AA1F1F – 1)
A1PA2,…,AnPA1
–
равные
прямоугольники (почему?).
равнобедренные
треугольники.
2) AA1=BB1=…=FF1=h. (почему?).
(почему?)
3) S б.п.  S AA1B1B  ...  S AA1F1F (почему?)
2)PH=PH1=PH2=…=PHn – апофемы.
4) Sб.п.=P*h (почему?)
3) S б.п.  S A1PA1  ...  S A1PAn (почему?)
4) Sб.п.=1/2d*P (почему?).
Теорема:
Sб.п.=Pсеч*h
(для
наклонной призмы)
Р- перпендикулярное сечение.
A1
D1
B1
C1
A
D1
B1
C1
Доказательство.
План.
1) l-боковое ребро призмы.
2) h1  l
h2  l
hn  l (Почему?)
3) Sб.п.=S1+S2+…+Sn (почему?)
4) Sб.п.=  *Pсеч (почему?)
Канва-таблица.
Теорема: Sб.п.=P*h(для прямой
призмы).
Теорема:
Sб.п.=1/2P*h(
правильной пирамиды)
P
F1
A1
D1
B1
C1
F
A
D
An
B
C
An
H1
An
Теорема: Sб.п.=Pсеч*h (для
H1
An
для
наклонной призмы)
Рс – перпендикулярное сечение.
Призма
Пирамида
Bn
P
B1
B3
B2
An
An
A1
A2
A1
A3
A2
Призма
Прямая
A3
Пирамида
Наклонная
Правильная
Усечённая
правильная
1)
2)
Свойство:
Свойство:
Sп.п=
Sп.п.=
Скачать

Учитель математики: Комарова Наталья Александровна, МБОУ «Уренская средняя общеобразовательная школа №1»,