Головастик», 7-8 класс, серия 3, 5 июня. Графы и

Летний «Головастик,», 3 июня и дальше-дальше.
Класс 7-8, серия 1. Эйлер обходит Холла
1. В графе с 2n вершинами ровно 1,5n2 +1 ребро. Докажите, что в нем найдется треугольник (цикл из трех
ребер).
Эйлеров путь и Эйлеров цикл
2.а) Докажите, что если в графе все вершины четные, то его можно представить как объединение одного
или нескольких непересекающихся циклов;
б) Докажите, что если граф связен и степени всех его вершин четны, то существует цикл, проходящий по
всем ребрам этого графа ровно один раз.
в) Докажите, что если в графе 200 нечетных вершин, то его можно представить как объединение непересекающихся циклов и 100 несамопересекающихся путей.
г) Докажите, что связный граф с 2n нечетными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги
ровно n–1 раз и не проводя никакую линию дважды.
3. Степени всех вершин в связном графе чётны. Докажите, что при удалении любого ребра граф останется
связным.
Паросочетание – набор ребер, не имеющих общих вершин.
Максимальное паросочетание – паросочетание, в которое входит наибольшее возможное число ребер.
1)
Всегда ли существует хоть какое-то паросочетание?
2)
Всегда ли существует максимальное паросочетание?
3)
Верно ли, что если к паросочетанию нельзя добавить ни одного ребра, то оно максимальное?
4*. Назовем незамкнутый путь плохим для данного паросочетания, если для него верно, что из любых двух
соседних ребер пути одно принадлежит нашему паросочетанию, а другое – нет, а из начальной и конечной
точек пути не выходят ребра паросочетания. Докажите, что паросочетание максимально тогда и только
тогда, когда для него нет плохих путей.
5. Игорь Соломонович приехал в Вишкиль и поселился в даче 52.
Утром он пошел посетить занятие в далеком, но заплутал и шел
долго-долго. В итоге опоздал, и занятие закончилось. Чтобы такого не повторилось, он обратно снова пошел пешком, при этом
собирался идти только по тем тропинкам, по которым он до
этого проходил нечетное число раз. Сможет ли он это сделать?
6. Оля и Максим оплатили путешествие по архипелагу из 1001
острова, где некоторые острова связаны двусторонними маршрутами катера. Они путешествуют, играя. Сначала Оля выбирает
остров, на который они прилетают. Затем они путешествуют вместе на катерах, по очереди выбирая остров, на котором еще не были (первый раз выбирает Максим). Кто не сможет выбрать остров, проиграл.
Докажите, что при любой схеме маршрутов Оля может выиграть.
7. Докажите, что по итогам однокругового турнира игроков можно построить в шеренгу так, что каждый
выиграл у стоящего справа от него.
8. Будем говорить, что игрок А сильнее, чем В, если А выиграл у В, или есть такой игрок С, который выиграл
у В, но проиграл А. (Отметим, что возможна ситуация, когда А сильнее В и В сильнее А одновременно.)
а) Прошел однокруговой чемпионат по настольному теннису (каждый сыграл с каждым ровно один раз).
Докажите, что игрок, одержавший наибольшее число побед, сильнее всех.
б) Назовем победителем игрока, который сильнее всех. Может ли быть ровно 2 победителя?
9. а) В графе 2n+1 вершина. Известно, что после выкидывания любой из них остальные вершины можно
разбить на пары вершин, соединенных ребром. Какое наименьшее число ребер может быть в этом графе?
б) В графе 100 вершин. При выкидывании любых двух вершин остальные вершины можно разбить на пары
вершин, соединенных ребром. Какое наименьшее число ребер может быть в этом графе?
10. На вечере ни один мальчик не танцевал со всеми девочками, а каждая девочка танцевала хотя бы с
одним мальчиком. Доказать, что существует 2 мальчика и 2 девочки такие, что первый танцевал с первой,
второй – со второй, а первый со второй и второй с первой не танцевали.
11. В городе на каждую площадь выходит не менее трех улиц. На улицах введено одностороннее движение так, что можно проехать с любой площади на любую другую. Доказать, что можно запретить движение
между двумя площадями так, что проезд сохранится.
12. Все вершины двудольного графа имеют степень k. Докажите, что их можно разбить на пары смежных.
13. В стране две столицы и несколько городов, некоторые из них соединены дорогами. Среди дорог есть
платные. Известно, что на любом пути из южной столицы в северную имеется не меньше десяти платных
дорог. Докажите, что все платные дороги можно раздать десяти компаниям так, чтобы на любом пути из
южной столицы в северную имелись дороги каждой из компаний.
14. Есть n юношей и много-много девушек, при этом выполнено условие разнообразия: если взять любых
k юношей, то им в совокупности знакомы не менее k девушек. Докажите, что тогда сваха сможет поженить
всех юношей на ЗНАКОМЫХ им девушках
15. Даны k мальчиков и 2k-1 конфета. Докажите, что
можно дать каждому мальчику по конфете так, чтобы
мальчику, которому не нравится его конфета, не нравились и конфеты остальных мальчиков (чтобы не создавать предпосылок для драки).
16. В некоторой стране каждая дорога соединяет ровно два города, и из
каждого города выходит по крайней мере одна дорога. При этом, если
выйти из любого города и двигаться по дорогам так, чтобы они не повторялись, то вернуться в исходный
город невозможно. Город называется захолустным, если из него выходит ровно одна дорога. Города
страны разбиты на две части так, что любая дорога соединяет города из разных частей. Пусть в первой
части городов не меньше, чем во второй. Докажите, что в первой части есть захолустный город.
17. В турнире по футболу, проведенному среди 20 команд из разных городов, каждая команда провела
одну встречу дома и не более двух встреч на выезде. Докажите, что можно было так составить расписание
игр, чтобы каждая команда играла не более одной игры в день и весь турнир прошел бы за три дня.
18. В стране 20 городов. Авиакомпания хочет организовать двусторонние рейсы между ними так, чтобы из
любого города можно было добраться в любой другой не более, чем за k пересадок. При том количество
авиалиний из любого города не должно превышать четырех. При каком наименьшем k это возможно?
19. В стране 100 дорог (каждая дорога соединяет ровно 2 города, на всех дорогах двустороннее движение)
и из любых трех дорог можно выбрать две, которые не выходят из одного города. Докажите, что найдутся
40 дорог, никакие две из которых не выходят из одного города.
20. На предприятии трудятся 50 000 человек. Для каждого из них сумма количества его непосредственных начальников и его непосредственных подчинённых равна 7. В понедельник каждый работник предприятия издаёт приказ и выдаёт копию этого приказа каждому своему непосредственному подчинённому
(если такие есть). Далее, каждый день работник берёт все приказы, полученные им в предыдущий день
от начальников и либо раздаёт их копии всем своим непосредственным подчинённым, либо, если у него
нет подчинённых, подшивает все приказы в папку. Оказалось, что в пятницу никакие бумаги по предприятию не передаются. Докажите, что на предприятии не менее 97 главных начальников (то есть таких, над
которыми нет начальников).
«Головастик», 7-8 класс, серия 3, 5 июня. Графы и разнобой
«Головастик», 7-8 класс, серия 3, 5 июня. Графы и разнобой
21. Незнайка хвастается, что написал в ряд несколько единиц, поставил между
каждыми соседними единицами знак "+" или "×", расставил скобки и получил выражение, значение которого равно 2014; более того, если в этом выражении заменить одновременно все знаки "+" на знаки "×", а знаки "×" на знаки "+", все равно
получится 2014. Может ли он быть прав?
21. Незнайка хвастается, что написал в ряд несколько единиц, поставил между
каждыми соседними единицами знак "+" или "×", расставил скобки и получил выражение, значение которого равно 2014; более того, если в этом выражении заменить одновременно все знаки "+" на знаки "×", а знаки "×" на знаки "+", все равно
получится 2014. Может ли он быть прав?
22. В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное k, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять k белых
и k фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и
оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.
22. В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное k, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять k белых
и k фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и
оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.
23. Числа p,q и pq+1 - простые. Докажите, что (2р+q)(p+2q) делится на 4.
23. Числа p,q и pq+1 - простые. Докажите, что (2р+q)(p+2q) делится на 4.
24. У папы Карло есть 130 дощечек. Из 5 дощечек он может сделать игрушечную
мельницу, из 7 дощечек – пароход, из 14 дощечек –самолет.
Самолет стоит 19 золотых, пароход – 8 золотых, мельница – 6
золотых. Какое наибольшее количество золотых может заработать папа Карло?
24. У папы Карло есть 130 дощечек. Из 5 дощечек он может сделать игрушечную
мельницу, из 7 дощечек – пароход, из 14 дощечек –самолет.
Самолет стоит 19 золотых, пароход – 8 золотых, мельница – 6
золотых. Какое наибольшее количество золотых может заработать папа Карло?
25. Докажите, что если в графе на n вершинах степень каждой
вершины не менее n/2, то в нем существует гамильтонов цикл.
25. Докажите, что если в графе на n вершинах степень каждой
вершины не менее n/2, то в нем существует гамильтонов цикл.
26. Докажите, что в полном ориентированном графе всегда
существует гамильтонов цикл.
26. Докажите, что в полном ориентированном графе всегда
существует гамильтонов цикл.
27. Пусть в двудольном графе степень всех вершин равна k. Докажите, что существует правильная раскраска рёбер графа в k цветов.
28. Пусть в таблице n × n записаны неотрицательные числа и суммы чисел в каждой
строке и в каждом столбце равны 1. Докажите, что можно выбрать n клеток таблицы, из которых никакие две не стоят в одном и том же столбце и в одной и той
же строке, и при этом в каждой выбранной клетке число будет положительным.
27. Пусть в двудольном графе степень всех вершин равна k. Докажите, что существует правильная раскраска рёбер графа в k цветов.
28. Пусть в таблице n × n записаны неотрицательные числа и суммы чисел в каждой
строке и в каждом столбце равны 1. Докажите, что можно выбрать n клеток таблицы, из которых никакие две не стоят в одном и том же столбце и в одной и той
же строке, и при этом в каждой выбранной клетке число будет положительным.
29. Пусть n — натуральное число. Числа от n до 5n разбиты на два непересекающихся подмножества. Докажите, что в одном из них можно так выбрать (не обязательно различные) числа x, y и z, что x+y = z.
29. Пусть n — натуральное число. Числа от n до 5n разбиты на два непересекающихся подмножества. Докажите, что в одном из них можно так выбрать (не обязательно различные) числа x, y и z, что x+y = z.
30. В каждой строке и в каждом столбце шахматной доски стоят по три ладьи. Докажите, что можно выбрать 8 ладей, не бьющих друг друга.
30. В каждой строке и в каждом столбце шахматной доски стоят по три ладьи. Докажите, что можно выбрать 8 ладей, не бьющих друг друга.
1.
Двое по очереди закрашивают клетки доски n х n. Первый каждый раз закрашивает по одной клетке, а второй - по три, причём таким образом, чтобы какаято одна из этих трёх имела по общей стороне с двумя другими. Каждую клетку
можно закрашивать только один раз. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода без нарушения правил. Кто выиграет при правильной игре: первый
или второй?
31.
4.
Из шахматной доски вырезали 7 клеток. Докажите, что на оставшиеся
клетки можно поставить 8 не бьющих друг друга ладей.
5.
Из шахматной доски вырезали 7 клеток. Докажите, что на оставшиеся
клетки можно поставить 8 не бьющих друг друга ладей.
10.
В школу «Хогвартс» поступило 24 первокурсника. Известно, что в Гриффиндоре учатся храбрые, в Когтевране – умные, в Пуффендуе – старательные, а в Слизерине – хитрые. Каждый первокурсник обладает ровно двумя этими качествами,
и все качества встречаются одинаковое число раз. Докажите, что Распределительная Шляпа сможет поровну поделить первокурсников на факультеты.
11.
В классе учатся n мальчиков и n девочек. Каждый мальчик составил рейтинг
девочек в порядке убывания: какая нравится ему больше всего, какая на втором
месте и т.д. (никакие две девочки не нравятся никакому мальчику в одинаковой
степени). На день святого Валентина каждому мальчику подарили по девочке. Обсуждая полученные подарки, мальчики заметили, что при любом другом распределении девочек хотя бы одному из них досталась бы меньше нравящаяся ему девочка. Докажите, что хотя бы один из мальчиков получил ту девочку, которая нравилась ему больше всего.
6.
Прямоугольный лист бумаги разбит на n фигур одинаковой площади с одной стороны и на n других той же площади с обратной стороны. Докажите, что этот
лист можно проткнуть n иголками так, что каждая из 2n фигур будет проткнута по
разу. 24. Докажите, что если в графе на n вершинах сумма степеней любой
12.
В компании из n юношей и n девушек каждые k юношей знакомы не менее
чем с k девушками. Докажите, что каждые k девушек знакомы не менее, чем с k
юношами.
пары несмежных вершин не менее n, то в нём существует гамильтонов цикл.
13.
7.
В хакерке стоит n компьютеров. n преподавателям нужен компьютер, каждому нравятся какие-то k, и каждый компьютер нравится каким-то k преподавателям. Доказать, что им нет необходимости драться за компьютеры.
8.
Докажите, что ребра двудольного графа, степень каждой вершины которого равна k, можно правильно раскрасить в k цветов (из каждой вершины должны
выходить ребра всех цветов по одному разу).
9.
Лемма Холла для арабских стран. Среди n юношей и нескольких девушек
некоторые юноши знакомы с некоторыми девушками. Каждый юноша хочет жениться на m знакомых девушках. Докажите, что они могут это сделать тогда и
только тогда, когда для любого набора из k юношей количество знакомых им в совокупности девушек не меньше km.
(Указание: мысленно разделить каждого юношу на несколько.)
Фиктивные невесты: не всем хватило. Докажите, что если любые k
k n) юношей знакомы в совокупности не менее чем с k-d девушками, то n-d
юношей могут выбрать себе невест из числа знакомых.
12. Некоторый граф правильно раскрашен в k цветов, причем его нельзя правильно
раскрасить в меньшее число цветов. Докажите, что в этом графе существует путь, вдоль
которого встречаются вершины всех k цветов ровно по одному разу.
13. Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из любого города можно проехать в любой (возможно, с
пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил N билетов на каждый
маршрут. Иванов и Петров выехали из города A. Иванов использовал все свои билеты,
новых не покупал и оказался в другом городе B. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в городе X и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что X - это либо A, либо B.
14. В некотором государстве 1000 городов, из каждого из которых выходит не более
девяти дорог, и от любого города можно добраться по дорогам до любого другого. Докажите, что можно выбрать 222 города так, чтобы любой замкнутый маршрут, проходящий только по этим городам, имел четную длину.
1. Прямоугольник m×n (m≤n) называется латинским прямоугольником, если
он заполнен натуральными числами от 1 до n так, что в каждой строчке и в
каждом столбце стоят разные числа. Докажите, что латинский прямоугольник можно дополнить до латинского квадрата n×n.