учебно-методическое пособие к ЛР по ТП

3
Содержание
Лабораторная работа 1. Оценка потенциальной помехоустойчивости при
различении сигналов с амплитудной, частотной и фазовой манипуляцией...
Лабораторная работа 2. Оценка помехоустойчивости обнаружителей
квазидетерминированных сигналов……………………………………………
Лабораторная работа 3. Исследование помехоустойчивости цифровой
системы связи при наличии шумов и замираний в канале связи с
использованием системы имитационного моделирования Simulink………...
Лабораторная работа 4. Исследование помехоустойчивости систем с
кодово-импульсной модуляцией при раздельном приеме сигнала и
оценивании сообщения………………………………………………………….
Лабораторная работа 5. Исследование помехоустойчивости систем с
кодово-импульсной модуляцией при использовании двоичных кодов ……..
Лабораторная работа 6. Исследование помехоустойчивости системы
связи с дельта-модуляцией при выборе параметров квантователя без учета
помех……………………………………………………………………………...
Приложение А……………………………………………………………………
Приложение В……………………………………………………………………
4
7
12
16
21
25
31
32
4
Лабораторная работа №1
Оценка потенциальной помехоустойчивости при различении сигналов с
амплитудной, частотной и фазовой манипуляцией
Цель: практическое изучение методики оценки потенциальной
помехоустойчивости при различении сигналов с амплитудной (АМн),
частотной (ЧМн) и фазовой (ФМн) манипуляцией.
1. Основные теоретические сведения
Радиосигналы с АМн, ФМн и ЧМн могут быть записаны как [1]:
s ам t    t Cos 0t    ,
sфм t   ACos 0t   t Ф    ,
(1)
(2)
sчм t   ACos 1   t t     1  ,
(3)
где:  t  - случайная величина, принимающая значение 0 или 1, Ф - девиация
фазы,  - сдвиг частоты,  - сдвиг фазы.
Помехоустойчивость оптимального приема АМн, ЧМн и ФМн сигналов
оценивается вероятностью ошибки:
Pe  P  0Pлт  P  1Pпр ,
(4)
где: P  0 и P  1 - априорные вероятности значений случайной величины
 t  , Pлт    1 |   0 - вероятность ложной тревоги, Pпр    0 |   1 -
вероятность пропуска сигнала.
Помехоустойчивость приема АМн сигналов. Будем считать, что
принимаемое колебание представляет собой аддитивную смесь полезного
сигнала (1-3) и белого шума nt  с интенсивностью N:
 t   sам t   nt  .
(5)
При известных априорных вероятностях P  0 и P  1 отношение
правдоподобия можно записать в виде [1-4]:
 2 T

P  1
1T 2
L
exp    t sам t dt   sам t dt .
(6)
P  0 
N0
 N 0

При L  1 принимается решение о наличии полезного сигнала, в
противном случае – о его отсутствии.
Оптимальное
устройство
приема
АМн
сигналов
содержит
корреляционный приемник, на выходе которого сигнал q   представляет
собой аддитивную смесь сигнальной q s   и шумовой qn   функций [1-3]:
2T
q     t sам t   dt  qs    qn   ,
N0
(7)
5
где: qs   
2T
2T
,






 sам t sам t   dt qs   N  nt sам t   dt .
N0
0
Из выражения (7) видно, что qn   является нормальным случайным
2E
процессом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
, где Е –
N
энергия сигнала. Процесс q   также является нормальным случайным
2E
2E
процессом с математическим ожиданием mq 
и дисперсией  q2 
.
N
N
Вероятности ошибок, входящих в (4), определяются выражениями [1-4]:

 h 
,
(8)
Pлт   qn d qn  1  

2
E
N


h
h
 h
2 E 
,
(9)
Pпр   q d q  1  


N
2
E
N



где h : - пороговый уровень,  - табулированный интеграл вероятности.
Считая, что априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала в
принятом колебании (5) одинаковы и используя выражение (4), запишем для
вероятности полной ошибки [1]:

1  
h 
h
2 E 

Pe  1  



(10)
 2E N
 .
2   2 E N 
N


Значение порога определяется по критерию идеального наблюдателя и
E
равно h  . Подставляя значение порога в (10), получим выражение для
N
полной вероятности ошибки при приеме АМн сигналов:
 E 
.
Pe  1  
(11)

2
N


В данном случае задача различения сигналов свелась к задаче
обнаружения сигнала на фоне шума.
Помехоустойчивость приема ЧМн сигналов. Как показано в (3), при ЧМн
используются два гармонических сигнала одинаковой амплитуды и
длительности, имеющие различные несущие частоты:
sчм1 t   ACos 1t  1  , sчм2 t   ACos  2t   2  ,
где  2  1   ,  2  1   .
Вероятность суммарной ошибки при h  0 [1] имеет вид [1]:
 E

1  rs   .
Pe  1  
(12)
N


6
Пусть  =0, т.е. различаются два ЧМн сигнала без разрыва фазы. Тогда
имеем:
1T
SinT
.
rs   sчм1 t sчм2 t dt 
E0
T
(13)
Параметр rs называют коэффициентом взаимной корреляции. Обычно на
практике T  1 , поэтому rs =0. Тогда полная вероятность ошибки при
приеме ЧМн сигналов имеет вид [1]:
 E
 .
Pe  1  
(14)
N


Помехоустойчивость приема ФМн сигналов. При ФМн обычно
используются такие сигналы, для которых  =0 и Ф   , т.е. в соответствии с
(2) имеем:
sфм1 t   ACos 0t  , sфм 2 t    ACos 0t  .
(15)
Для таких сигналов rs   1, тогда полная вероятность ошибки при
приеме ФМн сигналов имеет вид [1]:
 2E 
 .
Pe  1  
(16)
N


2. Порядок выполнения работы
2.1. При подготовке к лабораторной работе
На этапе подготовки к лабораторной работе студенты должны, используя
литературу [1-4] и материалы лекций, углубить свои знания по вопросам
обнаружения и различения сигналов, а также составить программу вычислений
в системе MathCAD или другой системе по желанию студента.
2.2. Во время проведения занятия
Преподаватель перед проведением занятия проводит контрольный опрос
студентов и определяет степень их готовности к лабораторной работе. Затем
преподаватель разбивает группу студентов на несколько подгрупп, по два
студента в каждой. Каждая подгруппа получает от преподавателя
индивидуальный вариант задания на лабораторную работу, который
2E
представляет собой исходные значения
и rs .
N
Студенты должны:
1. Провести расчет значений полной вероятности ошибки, для случая
приема АМн, ФМн и ЧМн сигналов в соответствии с (11), (14), (16) и построить
соответствующие графические зависимости.
7
2. Провести расчет значений вероятности полной ошибки при различных
2E
значениях
и rs в соответствии с (12). Построить соответствующие
N
графические зависимости.
3. Сформулировать выводы по лабораторной работе.
3. Содержание отчета
Отчет должен включать в себя следующие пункты:
1. Задание на выполнение лабораторной работы.
2. Основные расчетные соотношения.
3. Полученные графические зависимости.
4. Выводы по работе.
4. Контрольные вопросы
1. Что следует понимать под термином «оптимальный алгоритм
обработки сигнала»?
2. Назовите области применения критериев Неймана-Пирсона и
идеального наблюдателя.
3. В чем различие между задачей обнаружения и задачей различения
сигналов?
4. Сформулируйте задачу обнаружения сигналов.
5. Сформулируйте задачу различения сигналов.
6. Сформулируйте задачу фильтрации сигналов.
7. Сформулируйте задачу оценки параметров сигнала.
Литература
1. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. – М.: Радио и связь, 1983.
2. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации:
Учебное пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1992.
3. Прием и обработка сигналов в авиационных радиоустройствах /под
ред. В.В. Криницына. - М.: Транспорт, 1992.
4. Калмыков В.В., Кузнецов А.А., Сенин А.И. Оптимальные методы
приема сигналов. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995.
Лабораторная работа №2
Оценка помехоустойчивости обнаружителей квазидетерминированных
сигналов
Цель: закрепление теоретических знаний по оптимальным методам
обнаружения сигналов и исследование принципа действия обнаружителя
сигналов.
8
1. Основные теоретические сведения
Помехоустойчивость обнаружителя сигнала со случайной начальной
фазой. Начальная фаза сигнала, как правило, неизвестна. В этом случае можно
использовать модель сигнала [1]:
st ,   At Cos 0t   t     ,
(1)
где законы амплитудной At  и фазовой  t  модуляций и частота 0
известны, а начальная фаза  неизвестна.
Выражение (1) удобно представить в виде:
st ,   s1 t Cos    s2 t Sin ,
(2)
где: s1 t   At Cos 0t   t  , s2 t   At Sin0t   t  - квадратурные
составляющие сигнала.
Начальная фаза сигнала предполагается равномерно распределенной
случайной величиной в интервале   ,  :
1
(3)
p  
,      .
2
Отношение правдоподобия L в рассматриваемой задаче получается
путем усреднения условного отношения правдоподобия L |   по всем
возможным значениям фазы [3-4]:
L

 L |   p d .
(4)

Условное отношение правдоподобия L |   совпадает с отношением
правдоподобия для детерминированного сигнала, у которого значение
начальной фазы известно, поэтому:
 2 T

1T 2
L |    exp    t st ,  dt   s t ,  d  .
(5)
N0
 N 0

Подставив в (5) выражение (2), получим:
2T
q     t st , dt  q1Cos  q2 Sin  qCos    ,
N0
(6)
2T
2T
где: q1    t s1 t , dt , q2    t s2 t , dt - квадратурные составляющие;
N0
N0
q
q
q  q12  q22 , Cos  1 , Sin  2 .
q
q
При T 
2
T
энергия сигнала
0
практически на зависит и поэтому:
E   s 2 t , dt
0
от значения фазы
9
E

(7)
L |    exp qCos      .
N


Подставляя это выражение и (3) в (4), получаем отношение
правдоподобия:
 E
(8)
L   I 0 q  ,
 N
где I 0  - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
Учитывая, что ln I 0  является монотонной функцией, приходим к
оптимальному алгоритму обнаружения:
2
2 H1
 T

2  T
    t s t , dt   h ,





t
s
t
,

dt
1
2

 
 
N  0
 0
 H
0
где: h - пороговое значение, H1 - гипотеза о наличии сигнала, H 0 - гипотеза об
отсутствии сигнала.
На рис. 1 дана структура оптимального обнаружителя сигнала со
случайной начальной фазой, представляющая собой квадратурный приемник.
Рис. 1. Квадратурный приемник
В состав схемы входят перемножители, интеграторы, квадраторы,
сумматор, устройство извлечения квадратного корня, пороговое устройство
(ПУ), генератор опорных сигналов (ГОС), фазовращатель на

и устройство
2
синхронизации (УС).
Так как огибающая шума и смеси сигнала с шумом на выходе
обнаружителя распределена по закону Релея и обобщенному закону Релея
10
(закону Райса) соответственно, то вероятности ложной тревоги и правильного
обнаружения для обнаружителя, работающего по алгоритму (8), имеют вид:



x
x 2 
h 2 

Pлт  
exp 
,
(9)
dx  exp 





2
E
N
2
2
E
N
2
2
E
N






h

 x 2  2 E N  
x
x 

Pno  
exp 
I
(10)
 0
dx ,


2
E
N
2
2
E
N
2
E
N




 
h
4E  1 
.
ln 
N  Pлт 
Помехоустойчивость обнаружителя сигнала со случайной начальной
фазой и амплитудой. На практике неизвестной является не только начальная
фаза, но и амплитуда. В этом случае используется следующая модель сигнала
[1]:
st , a,   aAt Cos 0t  t     ,
(11)
где параметр а, определяющий амплитуду сигнала, является случайным и
где h 
распределенным по закону Релея с дисперсией  a2 :
 a 2 
pa  
exp 
(12)
.
 2 a2 
 a2
Фаза сигнала (11) распределена по равномерному закону (3). Учитывая,
что значения a и  статистически независимы, можно записать выражение для
отношения правдоподобия [2-4]:
a
L

  L | a,  pa  p dda .
0 
Подставляя сюда (3) и выражение для
правдоподобия, полученное по аналгии с (5), имеем:
(13)
условного
отношения

 aE 
L   exp  I 0 aq pa da .
 N
0
где энергия сигнала E соответствует значению a  1.
Далее, используя (12) и интеграл:

2 
1
2

,


x
exp

dx
I

x
dx

exp
0



2
 4 
0
получаем:
  2q 2 N 
N
,
L
exp  a
 2E  N  
NE




(14)
11
где E  2 a2 E - усредненная энергия сигнала.
Поскольку q  0 отношение правдоподобия (14) является монотонной
функцией q , поэтому алгоритм оптимального обнаружителя определяется
выражением (8) и, следовательно, структура приемника-обнаружителя сигналов
со случайной амплитудой и начальной фазой аналогична структуре приемникаобнаружителя сигналов со случайной начальной фазой.
Вероятность правильного обнаружения определяется выражением:




2
h
,
Рno  exp  
(15)
 4E 
2 2E  
1   a


N 
 N 
а вероятность ложной тревоги определяется выражением (9).
2. Порядок выполнения работы
2.1. При подготовке к лабораторной работе
На этапе подготовки к лабораторной работе студенты должны, используя
литературу [1-4] и материалы лекций углубить свои знания по оптимальным
методам обнаружения сигналов, а также составить программу вычислений в
системе MathCAD или другой системе по желанию студента.
2.2. Во время проведения занятия
Преподаватель перед проведением занятия проводит контрольный опрос
студентов и определяет степень их готовности к лабораторной работе. Затем
преподаватель разбивает группу студентов на несколько подгрупп, по два
студента в каждой. Каждая подгруппа получает от преподавателя
индивидуальный вариант задания на лабораторную работу, который
представляет собой исходные значения для расчета вероятности правильного
обнаружения.
Студенты должны:
1. Провести расчет вероятности правильного обнаружения при
фиксированных значениях вероятности ложной тревоги и различных значениях
отношения сигнал-шум для обоих вариантов обнаружителей.
2. Построить соответствующие графические зависимости.
3. Сформулировать выводы по работе.
3. Содержание отчета
Отчет должен включать в себя следующие пункты:
1. Задание на выполнение лабораторной работы.
2. Основные расчетные соотношения.
3. Графические зависимости для вероятности правильного обнаружения.
4. Выводы по работе.
12
1.
2.
3.
4.
5.
4. Контрольные вопросы
Сформулируйте задачу обнаружения.
Что такое вероятность ложных тревог?
Что такое вероятность пропуска сигнала?
Чему равна полная вероятность ошибки обнаружения.
Какие критерии обнаружения сигналов вы знаете?
Литература
1. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. – М.: Радио и связь, 1983.
2. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации:
Учебное пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1992.
3. Прием и обработка сигналов в авиационных радиоустройствах /под
ред. В.В. Криницына. - М.: Транспорт, 1992.
4. Калмыков В.В., Кузнецов А.А., Сенин А.И. Оптимальные методы
приема сигналов. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995.
Лабораторная работа 3
Исследование помехоустойчивости цифровой системы связи при
наличии шумов и замираний в канале связи с использованием системы
имитационного моделирования Simulink
Цель: ознакомление с системой имитационного моделирования Simulink
и исследование с ее помощью помехоустойчивости цифровых систем связи.
1. Основные теоретические сведения
В современных системах цифровой связи (см. рис. 1) передаваемый
сигнал подвергается воздействию помех в канале, что обуславливает
вероятность ошибки при приеме сигнала.
Рис. 1. Структура системы цифровой связи
13
В широком смысле помехами в канале связи являются любые сторонние
возмущения, препятствующие правильному приему сигналов. Влияние помехи
на передаваемый сигнал может быть описано выражением [1,2]:
(1)
 t   F t , s,  ,
где:  - принимаемое колебание, s - полезный сигнал,  - стороннее
возмущение, F  - оператор преобразования.
В частном случае, когда:
(2)
 t   st    t  ,
стороннее возмущение  t  называется аддитивной помехой или просто
шумом. Другой частный случай, когда:
(3)
 t    t st  ,
стороннее возмущение  t  называется мультипликативной помехой. Если
 t    , где  - медленный по сравнению с полезным сигналом процесс, то
мультипликативная помеха называется замиранием.
В настоящей лабораторной работе изучается имитационная модель
системы связи, посредством которой имитируется простейшая система
цифровой связи, а также в зависимости от интенсивности шумов и замираний
исследуется помехоустойчивость системы.
При моделировании цифровой системы связи в системе Simulink она
представляется в виде отдельных подсистем, для каждой из которых можно
задавать собственные параметры (рис. 2) [3,4].
Рис. 2. Имитационная модель системы цифровой связи
14
Подсистема формируется из стандартных блоков системы Simulink с
соответствующим числом входов и выходов. На рис. 3 представлена
имитационная модель модулятора в системе Simulink.
Рис. 3. Имитационная модель модулятора
Модель модулятора включает в себя блоки, являющиеся также
подсистемами, генераторов фазоманипулированных сигналов «0» и «1»,
соответственно (см. рис. 4,5). В зависимости от того, какой уровень (1 или 0)
поступает на вход модулятора, на его выходе формируется либо синус с
нулевой начальной фазой, либо синус с фазой сдвинутой на 180 градусов.
Рис. 4. Имитационная модель генератора ФМн сигналов «0»
15
Рис. 5. Имитационная модель генератора ФМн сигналов «1»
2. Порядок выполнения работы
2.1. При подготовке к лабораторной работе
На этапе подготовки к лабораторной работе студенты должны, используя
литературу [1-4] и материалы лекций, углубить свои знания по
помехоустойчивости систем цифровой связи и ознакомиться с системой
имитационного моделирования Simulink.
2.2. Во время проведения занятия
Преподаватель перед проведением занятия проводит контрольный опрос
студентов и определяет степень их готовности к лабораторной работе. Затем
преподаватель разбивает группу студентов на десять подгрупп по количеству
вариантов. Каждая подгруппа получает от преподавателя индивидуальный
вариант задания на лабораторную работу, который представляет собой
исходные значения параметров шумов и замираний (см. табл. 1).
Таблица 1
16
Студенты должны:
1. Сформировать из отдельных блоков модель цифрового модулятора
согласно рис. 3 и преобразовать ее в подсистему. Осуществить маскирование
подсистемы и задать значение несущей частоты.
2. Проанализировать помехоустойчивость цифровой системы связи (см.
рис. 2) путем измерения вероятности ошибки в зависимости от изменения
интенсивности шумов и замираний.
3. Содержание отчета
Отчет должен включать в себя следующие пункты:
1. Имитационную модель цифровой системы связи.
2. Графические зависимости вероятности ошибки от интенсивности
шумов и замираний.
3. Выводы по работе.
4. Контрольные вопросы
1. В чем заключается принципиальная разница между системами
цифровой и аналоговой связи?
2. Вероятность ошибки должна быть существенно ниже в системах
передачи речевых сигналов или в системах передачи данных?
3. В чем принципиальная разница между замираниями и шумами?
4. Каким образом воздействуют на полезный сигнал аддитивные и
мультипликативные помехи?
5. Какой вид модуляции применяется в изучаемой модели?
Литература
1. Прокис. Дж. Цифровая связь / пер. с англ. под ред. Д. Д. Кловского.
– М. : Радио и связь, 2000.
2. Васильев К.К., Служивый М.Н. Математическое моделирование систем
связи. – Ульяновск, УлГТУ, 2007.
3. Дьяконов, В. П. Simulink 4. Специальный справочник. – СПб.: Питер,
2002.
4. Дьяконов В.П. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование
систем. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002.
Лабораторная работа 4
Исследование помехоустойчивости систем с кодово-импульсной
модуляцией при раздельном приеме сигнала и оценивании сообщения
Цель: изучение зависимости среднего квадрата ошибки передачи
сообщения от отношения сигнал/шум в канале при разном числе уровней
квантования в системе с кодово-импульсной модуляцией (КИМ) при
17
раздельном приеме сигнала и оценивании сообщения, а также определение вида
КИМ, обладающего наибольшей помехоустойчивостью.
1. Основные теоретические сведения
Из систем связи с дискретными каналами в настоящее время наибольшее
распространение получили системы с кодово-импульсной модуляцией. В
системах с КИМ отдельные отсчеты непрерывного сигнала после
дискретизации во времени (по теореме Котельникова) и по уровню кодируются,
как правило, равномерным блочным кодом.
Для передачи посылок кодовых комбинаций может быть использован
любой из способов передачи дискретных сигналов, как АМ, ЧМ, ФМ.
На входе и выходе системы действуют дискретные сигналы X 1 и Y1 . На
приемной стороне такой системы сначала распознается передаваемый сигнал
X 1 и вырабатывается принятый сигнал Y1 , а затем в оценивающем фильтре
(который в данном случае представляет собой декодирующее устройство) по
сигналу Y1 вырабатывается оценка s1 .
Оптимального значения оценки можно определить по формуле [1-3]:
 
s  y1n  

k 
 P( x k  | y n  )  s1 (s1 | x1 )ds1 
L
k 1

L
k  ) s k  .
 Pps ( x1
(1)
k 1
В данном случае апостериорная вероятность:
P( y
Pps ( x1k  )  P( x k  | y n  ) 
n  | x k  ) P ( x k  )
pr
.

n
P (y )
(2)
pr
Априорная вероятность принятого сигнала равна:
L

n
Ppr ( y )   P( y n  | x k  ) Ppr ( x k  ) .
(3)
k 1
Предположим, что сообщение с равномерной плотностью вероятности и
средним значением ms квантуется на L уровней и передается ортогональными
сигналами с одинаковой энергией.
Ввиду использования ортогональных сигналов [1-3]:
1  Pош , n  k ;


k


k  n 
n  k 
(4)
Pps ( x1 )  P( x | y )  P( y | x )   Pош
,
n

k
,

 L 1
Подставив в (1), получим:
18
 
L k 
n  P
s  y1n   1  Pош s   ош  s  .
L  1 k 1
(5)
k n
Учитывая, что
L k 
1 L k 

n 
s

m
,
получим
. Подставив
s

Lm

s


s
s
L k 1
k 1
k n
этот результат в (5), получим выражение:
L
L

 n 
(6)
s  ( y1n  ) 
Pош ms  1 
Pош  s  .
L 1
 L 1

Из равенства (6) видно, что с увеличением вероятности ошибочного
L 1
приема сигналов, максимальное значение которой равно
, оптимальные
L
значения уровней оценки стремятся к среднему значению сообщения ms . В
L 1
предельном случае при Pош 
информация по каналу связи не передается,
L
и всем сигналам Y1 соответствует одно значение оценки s   ms .
Для расчета среднего квадрата ошибки передачи сообщения можно
воспользоваться соотношением:
2
 
L
1 
 
2
2
   s 1  1 
Pош  1   .
(7)
  L2 
  L  1
При связи с подвижными корреспондентами воздействие помех
становится значительным в сравнительно редких случаях максимальной
дальности связи, а большую часть времени отношение сигнал/шум достаточно
велико. Учитывая сложность систем с переменными параметрами, в таких
условиях целесообразно выбирать значения уровней оценки постоянными,
соответствующими отсутствию помех в канале связи. Помехоустойчивость
такой системы:
 
2

L  
L
 
 s1  s
n 1 k 1   
L  
 
 s1  s
k 1   
L
L  
 k  
 
n   
 k 
 k  n 
   s   s    ( s1 , x1 , y1 )ds1 
 

2
L L  k 
n  

k


(
s
,
x
)
ds

 s   P( x1k  , y1n  )  (8)

1 1
1   s
2

 s1  s 
n 1 k 1   
2
2
 k  
n 1 k 1
k   k 
 s

 s

n  
k  n 
 ( s1 , x1 , y1 )ds1

19
В полученной формуле первое слагаемое представляет собой средний
квадрат ошибки квантования величины S1 по уровням. Условия минимума
этого выражения сводятся к выполнению равенства:
s
k 


k  )ds
 s1 (s1 | x1

1.
(9)
Второе слагаемое равенства (8) описывает средний квадрат ошибки,
вызванной действием помех в канале связи. Она называется ошибкой
декодирования. Третье слагаемое формулы (8) представляет собой выражение
смешанного начального момента ошибок квантования и декодирования. Ввиду
независимости этих ошибок рассматриваемое слагаемое равно произведению
средних указанных ошибок. Для того чтобы третье слагаемое формулы (8) было
равно нулю, необходимо и достаточно равенство нулю среднего значения
ошибки квантования или ошибки декодирования. Первое условие выполняется
при выборе уровней оценки по формуле (9). Второе условие выполняется при
выборе соответствующего кода. Ввиду того, что в рассматриваемом случае
оценка выбирается в соответствии с (9), третье слагаемое соотношения (8)
равно нулю. Таким образом, вместо формулы (8) можно написать:
 2   I2   II2 ,
(10)
где:  I2 - средний квадрат ошибки квантования;  II2 - средний квадрат ошибки
декодирования.
Для сообщения, характеризуемого равномерной плотностью вероятности
с нулевым средним значением, квантуемого на L уровней и передаваемого с
помощью ортогональных сигналов с равной энергией:
L 1
.
(11)
 II2  2 s2 Pош
L
2
2 s
Учитывая, что в данном случае  I 
и используя (11), можно
2
L
рассчитать по формуле (10) средний квадрат ошибки передачи сообщения.
Для случаев, когда интенсивность помехи на входе приемника столь
велика, что она вызывает ошибки в определении наличия или отсутствия
импульса, и к шумам квантования прибавляются дополнительные шумы,
можно определить помехоустойчивость системы, используя формулу для
отношения сигнала к шуму на выходе приемника [1-3]:
 2 
,
qвых   exp
(12)
 2 


20
где: коэффициент  2  q0 1  r12 , ( q 0 - отношение сигнала к удельной
мощности помехи, r12 - коэффициент взаимной корреляции между двумя
значениями, которые может принимать сигнал (наличие или отсутствие
импульса)). Значения  2 для различных систем манипуляции приведены в
табл. 1.
Вид
манипуляции
Значение  2
АМ
ЧМ
q
2  0
2
 2  q0
Таблица 1
ФМ
 2  2q0
2. Порядок выполнения работы
2.1. При подготовке к лабораторной работе
На этапе подготовки к лабораторной работе студенты должны, используя
литературу [1-3] и материалы лекций, углубить свои знания по вопросам
оптимального приема сигналов, составить блок-схему вычислений, а также
составить программу вычислений в системе MathCAD или другой системе по
желанию студента. Алгоритм решения задачи приведен в Приложении А.
2.2. Во время проведения занятия
Преподаватель перед проведением занятия проводит контрольный опрос
студентов и определяет степень их готовности к лабораторной работе. Затем
преподаватель разбивает группу студентов на несколько подгрупп, по два
студента в каждой. Каждая подгруппа получает от преподавателя
индивидуальный вариант задания на лабораторную работу.
Студенты должны:
1. Для разных уровней квантования построить зависимости квадрата
средней ошибки передачи от отношения сигнала к шуму. По исследуемым
зависимостям сделать выводы.
2. Для разных видов манипуляции построить зависимости отношения
сигнала к шуму на выходе системы КИМ от отношения сигнала к удельному
шуму на входе при больших значениях помехи, сравнить помехоустойчивости
этих систем.
3. Сформулировать выводы по лабораторной работе.
3. Содержание отчета
Отчет должен включать в себя следующие пункты:
1. Задание на выполнение лабораторной работы.
2. Основные расчетные соотношения.
3. Полученные графические зависимости.
4. Выводы по работе.
21
4. Контрольные вопросы
1. Поясните принципы формирования кодово-импульсной модуляции.
2. Назовите импульсные виды модуляции.
3. Расскажите о преимуществах КИМ по сравнению с другими видами
модуляции.
4. Как влияет увеличение числа уровней квантования на ошибку
квантования и декодирования?
5. Как влияет увеличение числа уровней квантования на ширину спектра
КИМ сигнала?
6. Какой вид кодирования наиболее часто используется в системах КИМ
после дискретизации непрерывного сигнала?
Литература
1. Величкин А.И. Теория дискретной передачи непрерывных сигналов.
– М.: Советское радио, 1970.
2. Зюко А.Г., Коробов Ю.Ф. Теория передачи сигналов. – М.: Связь, 1972.
3. Теория электрической связи /под ред. Д.Д. Кловского. – М.: Радио и
связь, 1999.
Лабораторная работа №5
Исследование помехоустойчивости систем с кодово-импульсной
модуляцией при использовании двоичных кодов
Цель: практическое изучение зависимости среднего квадрата ошибки
передачи сообщения от отношения сигнал/шум в канале при разном числе
уровней квантования в системе с кодово-импульсной модуляцией при
использовании двоичных кодов, а также сравнение помехоустойчивости
системы при использовании разных кодов.
1 Основные теоретические сведения
В системах с кодово-импульсной модуляцией (КИМ) наиболее широко
применяются двоичные коды. Анализ помехоустойчивости при использовании
двоичных кодов проводится в предположении, что на приемной стороне
системы связи используется вариант приема, при котором сначала
распознаются передаваемые сигналы с минимальной вероятностью ошибки, а
затем, после декодирования, вырабатываются значения оценки сообщения,
соответствующие этим сигналам и определенные без учета помех канала связи.
Для расчета среднего квадрата ошибки декодирования можно воспользоваться
общей формулой [1-3]:
 II2   s2
L
L
  lnk P( y n  | x k  ) .
k 1 n 1
(1)
22
При этом можно использовать стохастические матрицы двоичных кодов
P( y n  | x k  ) и матрицы потерь lnk  , рассчитанные по формуле [1-3]:
k  
1
 n 
(2)
lnk  Ppr ( x n  )  Ppr ( x k  )  s  s  ,
2


для выбранных условий квантования.
Для
стохастических
матриц,
определенных
приближенно
в
предположении, что возможны только однократные ошибки в кодовых
комбинациях, справедливо следующее приближенное выражение среднего
квадрата ошибки декодирования:


(3)
 II2   s2 L p ,
где  L - коэффициент, равный сумме элементов матрицы потерь lnk  ,
которым соответствуют элементы стохастических матриц, равные p
(расстояние между кодовыми комбинациями pnk  1 ); p - вероятность
ошибочного приема двоичной кодовой комбинации. Значения коэффициентов
 L , рассчитанные для разных кодов, приведены в табл. 1.
Таблица 1
Сообщение
Нормальное
Равновероятное
L
Код
L=8
L=16
L=32
Простой
6,192
7,594
9,543
Свернутый
5,753
6,462
6,911
Грея
6,118
7,31
7,796
Простой
3,937
3,984
3,996
Свернутый
4,875
4,968
4,992
Грея
5,062
5,222
5,308
В случае равновероятного сообщения и простого двоичного кода для
определения коэффициентов  L можно также использовать следующую
формулу:
L  4
L2  1
L2
.
(4)
23


Анализируя формулу (1), с учетом P( y n  | x k  )  p pnk 1  p pnk , можно
убедиться, что с увеличением вероятности ошибочного приема импульса p
средний квадрат ошибки декодирования растет до величины, равной p =0,5:
 s2 L L
2
 II 
  lnk .
L k 1 n 1
(5)
Соотношения (3) и (5) позволяют приближенно представить зависимость
среднего квадрата ошибки декодирования от вероятности ошибочного приема
импульса в виде линейной функции. О погрешности соотношения (5) можно
судить по данным табл. 2, в которой приведены результаты расчета  II2 по
точной формуле (1) и приближенной формуле (3), проделанного для
нормального сообщения и свернутого кода при L  8 . Из этих данных видно, что
приближенная формула обеспечивает достаточно высокую точность расчета
при любых значениях вероятности ошибочного приема импульса.
Таблица 2
p
0,01
0,1
0,25
Точная формула
0,0572
0,571
1,41
Приближенная формула
0,0575
0,575
1,41
Из данных табл. 2 видно, что равновероятные сообщения более
помехоустойчивы, чем нормальные, для которых коэффициент  L имеет
большее значение. Выбор кода также влияет на величину среднего квадрата
ошибки передачи сообщения. При передаче нормальных сообщений наиболее
помехоустойчивым является свернутый двоичный код, а при передаче
равновероятных сообщений – простой двоичный код. Необходимо иметь в
виду, что имеются и другие коды, характеризующиеся такими же
стохастическими матрицами и коэффициентами  L , помехоустойчивость
которых одинакова с помехоустойчивостью указанных кодов.
С увеличением числа уровней квантования значения коэффициента  L
возрастают и, следовательно, увеличиваются ошибки декодирования. Это
увеличение будет еще более заметным, если при изменении
охранять
постоянной энергию сигнала E . Тогда с увеличением L будет уменьшаться
E
энергия двоичных импульсов (равная
) и увеличиваться вероятность
log 2 L
ошибки p , что приведет к дополнительному возрастанию ошибок
декодирования.
24
С другой стороны, увеличение числа уровней квантования приводит к
уменьшению среднего квадрата ошибки квантования. Таким образом, с
изменением L значения  I2 и  II2 меняются по-разному, что приводит к
существованию оптимального значения числа уровней, соответствующих
минимуму суммарной ошибки, при каждом значении отношения энергии
сигнала к спектральной плотности шума.
2. Порядок выполнения работы
2.1. При подготовке к лабораторной работе
На этапе подготовки к лабораторной работе студенты должны, используя
литературу [1-3] и материалы лекций, углубить свои знания по вопросам
оптимального приема сигналов, составить блок-схему вычислений, а также
составить программу вычислений в системе MathCAD или другой системе по
желанию студента.
2.2. Во время проведения занятия
Преподаватель перед проведением занятия проводит контрольный опрос
студентов и определяет степень их готовности к лабораторной работе. Затем
преподаватель разбивает группу студентов на несколько подгрупп, по два
студента в каждой. Каждая подгруппа получает от преподавателя
индивидуальный вариант (см. табл. 3) задания на лабораторную работу.
Таблица 3
Вариант
1
2
3
4
5
6
р
0.005
0.0025
0.001
0.0005
0.001
0.0001
норм.
равновер.
норм.
равновер.
норм.
Сообщение равновер.
простой
Код
Грея
простой свернутый свернутый простой
свернутый
Грея
Грея
свернутый
простой
Грея
Студенты должны:
1. По табл. 3 определить исходные данные. Далее с помощью расчета
искомых характеристик оценить необходимые параметры для заданных
вероятностей ошибочного приема двоичной кодовой комбинации и сообщения
построить зависимости среднего квадрата ошибки передачи сообщения от
отношения сигнала к шуму при разных количествах уровней квантования для
двух разных кодов.
2. Сделать выводы о помехоустойчивости системы при различных L .
Сравнить помехоустойчивость системы при использовании двух различных
кодов.
25
3. Сформулировать выводы по лабораторной работе.
3. Содержание отчета
Отчет должен включать в себя следующие пункты:
1. Задание на выполнение лабораторной работы.
2. Основные расчетные соотношения.
3. Полученные графические зависимости.
4. Выводы по работе.
4. Контрольные вопросы
1. Какие коды наиболее применимы в системах с КИМ?
2. Поясните классификацию кодов. Какой код называется двоичным?
3. Какие коды называются избыточными?
4. Какой код называется взвешенным?
5. Дайте определение кодового расстояния.
Литература
1. Величкин А.И. Теория дискретной передачи непрерывных сигналов.
– М.: Советское радио, 1970.
2. Кловский Д.Д. Теория передачи сигналов. – М.: Связь, 1973.
3. Зюко А.Г., Коробов Ю.Ф. Теория передачи сигналов. – М.: Связь, 1972.
Лабораторная работа №6
Исследование помехоустойчивости системы связи с дельтамодуляцией при выборе параметров квантователя без учета помех
Цель: закрепление теоретических знаний по оптимальным методам
приема сигналов и проведение анализа помехоустойчивости рассматриваемой
системы связи с дельта-модуляцией.
1. Основные теоретические сведения
Оптимальные параметры синтезированных систем зависят от
интенсивности помех. Если система связи предназначена для работы при
постоянном отношении сигнал/шум в канале, то установление оптимальных
значений параметров с учетом интенсивности помех не вызывает затруднений.
Если отношение сигнал/шум в процессе работы системы связи может меняться,
то параметры системы должны быть переменными.
В принципе имеется возможность на приемной стороне системы связи
следить за изменения ми отношения сигнал/шум и устанавливать оптимальными параметры оценивающего фильтра. На передающей стороне системы связи
обычно данных об отношении сигнал/шум в канале нет. Поэтому возникают
затруднения с установлением оптимальных параметров квантователя с учетом
26
помех. В связи с этим целесообразно оценить помехоустойчивость системы
связи с дельта-модуляцией, у которой параметры квантователя выбраны без
учета действия помех в канале связи, а параметры оценивающего фильтра
устанавливаются с учетом отношения сигнал/шум на выходе радиоканала.
Ниже анализируется такая система связи применительно к случаю
передачи нормального марковского сообщения с нулевым средним значением.
Предполагается, что квантование производится на два уровня.
Используя результаты синтеза квантователя для канала без помех, можно
написать такую формулу для определения порога квантования [1-3]:
 (1  R 2 (T ))(1   2 ) 
s
0  Sign x   h .
(1)
hi  Rs (T ) s
i 1
i 1
2
2


1  Rs (T ) 0


Порог квантования представляет собой нормальную случайную величину
с нулевым средним значением. Его дисперсия равна [1-3]:
2
H
  s2
1   02
.
(2)
1  Rs2 (T ) 02
Для определения оптимального значения оценки можно воспользоваться
формулой [1-3]:



s t , yi(n) , si1  Rs (t  ti )(1  2 p) Z
члены которой  Z2 и
o

 Signyi
o
( n)
 Rs (T )si1,
(3)
в данном случае определяются равенствами:
 Z2   s2  Rs (T ) s2 (t i ) ,

o


 



1  hi  Rs (T ) si 1 
dh
  (hi | si 1 ) 
 i

Z




 h  R (T ) s  

i
s
i 1 dh
  (hi | si 1 )
 i

Z



.
Рассмотрим условную плотность  (hi | si1 ) При использовании метода
статистической линеаризации величины H i и Si1 можно приближенно
считать нормальными и связанными линейной статистической связью.
Тогда указанная плотность тоже является нормальной и для ее
определения недостает только коэффициента корреляции величин H i и Si1 .
Можно написать такое равенство:
27
2  
( n) 
(k )
 si 1 ( si 1 | yi 1 , si  2 )dsi 1    (  si 1 ( si 1 | xi 1 , hi 1 )dsi 1 ) 
k 1    

2 
1
(k )
( n) 
 ( xi 1 , hi 1 | yi 1 , si  2 )dhi 1 
hi ( xi(k1) , hi 1 )  ( xi(k1) , hi 1 | yi(n1) , si 2 )dhi 1.


Rs (T ) k 1  
si1 

В данном выражении учитывалось то, что на систему не воздействует
помеховый сигнал. Тогда:
hi ( xi(k1) , hi 1 )
1
(k ) 
 (k )
s ( xi 1 , si  2 )  s ( xi 1 , hi 1 ) 


Rs (T )
Rs (T )
2 
   hi ( xi(k1) , hi 1 ) ( xi(k1) , hi 1 | yi(n1) , si 2 )dhi 1.
k 1  
Используя выражение для si1 , получим:

R
HS
 (T )

1
2
2 
 
)
 H  S  (ti k 1 n 1  
si1 ( yi(n1) , si 2 )
 ( xi(k1) , hi 1 , yi(n1) , si 2 )dhi dsi 2  RS (T )

(4)
(k )
 hi ( xi 1 , hi 1 ) 

 S  (ti )
(5)
.
H
Учитывая (5), можно написать выражение условной нормальной
плотности:




2



hi  Rs (T ) si 1
1
 (hi | si1 ) 
exp 
 . (6)
2
2


2
2
 2  H  Rs (T )  (ti )  
2  H  RS (T )  (ti )
s



 
s
В оптимальной системе порог квантования должен устанавливаться
равным hi  Rs (T ) si1 . В данном случае он выбирается в соответствии с (1).
Ошибка определения порога:
ni  hi  Rs (T ) si1.
(7)
Учитывая, что в соответствии с (4) Rs (T ) si1 представляет собой
апостериорное среднее значение величины H i можно написать:
2
2
N
H
 Rs2 (T ) 2 (ti ) .
s
Получим выражение для
(8)
o

:
28

 n
 (1)  i
 N


o


 (1)  ni
 
 Z


dni

2

.
(9)
2


 ni   ni 

 1  N 
     dni
 2 
  N   Z 
Z 

Для проведения дальнейших преобразований необходимо определить

дисперсию оценки  2 (ti ) . С этой целью воспользуемся выражением оценки
s
(3). Получим:
 2 (ti )   Z2
s
 2 1  2 p 2
1  Rs2 (T )
(10)
.
Решая совместно (3), (8), (9) и (10), а также используя (2), получим
окончательно
o

 Z2   S2
такие соотношения:
1  RS2 (T )
o
,
(11)
1  RS2 (T )(1  (1  2 p ) 2 ( ) 2 )
o
 2 (ti )   s2
s
o




(1  2 p)( ) 2
o
1  RS2 (T )(1  (1  2 p) 2 ( ) 2 )
1  RS2 (T )  2 RS2 (T ) 02 
,
(12)
2 RS (T )(1  2 p)



2 8
1  RS2 (T )  2 RS2 (T ) 02  RS2 (T ) 1  RS2 (T ) 02 (1  2 p) 2

(13)
.
2 RS (T )(1  2 p)
Структурная схема системы связи определяется формулами (1) и (3).
Ввиду того, что в данном случае дисперсия оценки определяется формулой
(12), как и в случае системы, синтезированной для канала с помехами, средний
квадрат ошибки определяется формулой:
o


2


2
t
i
1
(1  2 p) ( )
1
2
2
2
(14)
  s 1
 Rs (t  ti )dt  ,
o

N
2
2
2
ti
 1  RS (T )(1  (1  2 p) ( )



29
в которой величина
o

рассчитывается по формуле (13). Графики зависимости
среднего квадрата ошибки от вероятности ошибочного приема двоичного
сигнала показаны сплошной линией на рис. 1. Сравнивая их с аналогичными
графиками, построенными пунктиром на рис. 2 в лабораторной работе №5 для
системы, все параметры которой выбраны оптимальными с учетом действия
помех в канале, можно заметить, что неучет помех при синтезе квантователя в
последней системе приводит к некоторому снижению ее помехоустойчивости.
В связи с тем, что формула среднего квадрата ошибки (14) является
приближенной ввиду использования при ее выводе метода статистической
линеаризации, точность расчета по этой формуле проверена путем
моделирования системы на цифровой вычислительной машине. Полученные на
такой модели данные приведены на рис. 1 кружками. Видно, что они близки к
расчетным и формула (14) является достаточно точной.
Рис.1. Зависимость среднего квадрата ошибки передачи сообщения от
вероятности ошибочного приема импульса в двоичном канале с
фазовой манипуляцией
2. Порядок выполнения работы
2.1. При подготовке к лабораторной работе
На этапе подготовки к лабораторной работе студенты должны, используя
литературу [1-3] и материалы лекций, углубить свои знания по вопросам
оптимального приема сигналов, а также составить программу вычислений в
системе MathCAD или другой системе по желанию студента.
2.2. Во время проведения занятия
Преподаватель перед проведением занятия проводит контрольный опрос
студентов и определяет степень их готовности к лабораторной работе. Затем
преподаватель разбивает группу студентов на несколько подгрупп, по два
студента в каждой. Каждая подгруппа получает от преподавателя
индивидуальный вариант (см. табл. 1) задания на лабораторную работу.
30
Таблица 1
Вариант
1
2
3
4
5
Коэффициент корреляции процесса
RS ( )
0,6
0,2
0,3
0,8
1
Шаг квантователя во времени Т, мкс
200
30
70
100
50
Вероятность ошибочного приема р
0,025
0,06
0,015
0,1
0,09
Дисперсия  s2
0,6
4
1,3
1,9
2,3
Студенты должны:
1. Построить графики зависимости среднего квадрата ошибки от
вероятности ошибочного приема импульса при разных значениях Т.
2. Сформулировать выводы по лабораторной работе.
3. Содержание отчета
Отчет должен включать в себя следующие пункты:
1. Задание на выполнение лабораторной работы.
2. Основные расчетные соотношения.
3. Полученные графические зависимости.
4. Выводы по работе.
4. Контрольные вопросы
1. От чего зависят оптимальные параметры системы?
2. Какой фильтр используется в этой системе?
3. Дайте определение порога квантования?
4. К чему приводит не учет помех при синтезе квантователя?
Литература
1. Величкин А.И. Теория дискретной передачи непрерывных сообщений.
- М.: Советское радио, 1970
2. Стил Р. Принципы дельта-модуляции. - М.: Связь, 1979.
3. Дьяконов В. MathCAD 2000: Учебный курс. – Спб.: Питер, 2000.
31
Приложение А
Алгоритм решения задачи
32
Приложение В
Алгоритм решения задачи