часть1_моделиx

СОДЕРЖАНИЕ
1
Ориентированный граф как структурная модель сложной системы
4
2
Орграфы и матрицы
13
3
Внутренняя структура сложной системы
15
4
Теоретико-графовый анализ конфликтов в сложных системах
21
5
Анализ предпочтений в сложных системах на основе попарных сравне-
28
ний альтернатив
6
Ориентируемость и уязвимость в моделях сложных систем
32
7
Измерение иерархического статуса сотрудников организации
39
Литература
44
3
1 ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ГРАФ
КАК СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ
Одной из важных характеристик сложной системы является ее структура.
Под структурой принято понимать совокупность связей между элементами системы. Связи могут быть обусловлены:
 подчинением одних элементов другим (иерархия, субординация, руководство, лидерство);
 передачей от одних элементов к другим потоков вещества, энергии, информации;
 объединением элементов в функциональные и иные группы (подсистемы);
 классификацией элементов по различным признакам;
 пространственной, временной и иной близостью элементов;
 однородностью некоторых элементов или их относительной независимостью от остальных и т. д.
Структура является устойчивым образованием, способным сохраняться со
временем, в том числе при внешних воздействиях, поэтому структурные свойства
обычно используются в качестве отличительной характеристики системы. Как
правило, изменение структуры означает переход системы в новое качество или
даже ее распад.
Знание структуры позволяет указать:
 множество элементов системы;
 множество связей (отношений) между элементами;
 направленность связей (отношений);
 множество подсистем в составе системы;
 множество связей и отношений между подсистемами, их направленность.
4
Во многих случаях бывают известны дополнительные количественные характеристики структуры:
 интенсивность связей между элементами;
 пропускная способность каналов связи;
 определенные количественные значения, связанные с элементами системы.
Качественные и количественные характеристики структуры используются
при решении многочисленных прикладных задач, в числе которых:
 управление
сложными
техническими,
организационными,
эколого-
экономическими и иными системами;
 организация коммуникаций (транспортные потоки, газо- и нефтепроводы,
линии электропередач, организационные коммуникации);
 выявление предпочтительных альтернатив (проведение соревнований,
кокнкурсов, тендеров, выборы кандидатов на должность);
 описание отношений в социальных группах и изучение их конфликтного
потенциала;
 определение статуса (ранга) элементов системы (иерархического, трофического, экономического и т.п.);
 выявление связности систем и степени их уязвимости.
Учет качественных и количественных характеристик структуры сложных
систем и решение практических задач с использованием этих характеристик требует построения математических моделей.
Наиболее адекватной и распространенной математической моделью структуры сложной системы служит ориентированный граф (орграф).
𝐷 = (𝑉, 𝐴),
где
(1)
𝑉 = {𝑢1 , 𝑢2 , … 𝑢𝑛 } – конечное множество вершин;
𝐴 = {(𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 )} – конечное множество дуг (упорядоченных пар элементов из
𝑉). Вершины в модели (1) соответствуют элементам системы, дуги – связям (от5
ношениям) между элементами. Более точно, наличие дуги (𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ) ∈ 𝐴 означает
существование направленной связи от элемента 𝑢𝑖 ∈ 𝑉 к элементу 𝑢𝑗 ∈ 𝑉.
В расширенной версии модели (1) каждой вершине 𝑢𝑖 ∈ 𝑉 приписывается
𝑘
𝑗
вектор 𝑣𝑖 = (𝑣𝑖1 , … , 𝑣𝑖 𝑖 ), где 𝑣𝑖 ∈ ℝ – некоторая числовая характеристика верши𝑘
1
ны 𝑢𝑖 , а каждой дуге (𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ) ∈ 𝐴 вектор 𝑤𝑖𝑗 = (𝑤𝑖𝑗
, … , 𝑤𝑖𝑗𝑖𝑗 ), где 𝑤𝑖𝑗 ∈ ℝ – неко-
торая характеристика дуги (𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ). Если вектор 𝑤𝑖𝑗 содержит единственную компоненту, то она называется весом дуги (𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ).
Наряду с моделью (1) используется модель
𝐺 = (𝑉, 𝐸),
где
(2)
𝑉 = {𝑢1 , 𝑢2 , … 𝑢𝑛 } – конечное множество вершин, как и в модели (1);
𝐸 = {(𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 )} – множество неупорядоченных пар элементов 𝑉 (множество
ребер). 𝐺 называют неориентированным графом или просто графом: как видно, в
отличие от модели (1) графовая модель пренебрегает направлением связей между
элементами системы.
Рассмотрим основные понятия и некоторые предварительные результаты,
связанные с моделями (1) и (2), и дадим в ряде случаев их содержательную интерпретацию. Будем придерживаться терминологии, принятой в работе [4].
Путем в орграфе 𝐷 = (𝑁, 𝐴) называется последовательность вершин и дуг
вида
𝑢1 , (𝑢1 , 𝑢2 ), 𝑢2 , (𝑢2 , 𝑢3 ), … , 𝑢𝑡 , (𝑢𝑡 , 𝑢𝑡+1 ), 𝑢𝑡+1 .
(3)
Легко видеть, что для задания пути (3) достаточно перечислить входящие в
него вершины 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑡+1 . Целое число 𝑡 называется длиной пути. При 𝑡 = 0
получаем вырожденный путь, состоящий из единственной вершины 𝑢1 , при 𝑡 = 1
путь представляет собой дугу (𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ) ∈ 𝐴.
6
Путь называется:
– простым, если ни одна вершина не встречается в нем более одного раза;
– замкнутым, если 𝑢𝑡+1 = 𝑢1 ;
– полным, если он содержит все вершины из 𝑁.
Простой замкнутый путь называется контуром.
a
b
d
c
g
e
f
Рисунок 1
Так, на рисунке 1 пути (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑏, 𝑐, 𝑑), (𝑐, 𝑑, 𝑒) простые, путь
(𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑐, 𝑓, 𝑏) замкнутый, путь (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑐, 𝑓, 𝑔, 𝑎) полный, пути (𝑏, 𝑐, 𝑓, 𝑏) и
(𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑐) – контуры.
Определение 1.1 Вершина 𝑣 достижима из вершины 𝑢, если существует
путь из 𝑢 в 𝑣. Будем обозначать этот факт 𝑢→ 𝑣.
В частности, любая вершина достижима сама из себя по вырожденному пути.
Понятие достижимости естественно трактовать в терминах коммуникаций
(передачи вещества, энергии, информации). Если 𝑢→ 𝑣, то из элемента 𝑢 в элемент 𝑣 можно передать материалы, сырье, товары, энергию, сообщения и т. д.
Теорема 1.1 Если 𝑢→ 𝑣, то существует простой путь из 𝑢 в 𝑣.
Доказательство [4].
Выберем из всех возможных путей из 𝑢 в 𝑣 кратчайший и обозначим его
𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑡 , 𝑢𝑡+1 , где 𝑢1 = 𝑢, 𝑢𝑡+1 = 𝑣. Если этот путь не простой, то найдутся
такие 𝑖 < 𝑗, что 𝑢𝑖 = 𝑢𝑗 . Тогда легко проверить, что путь 𝑢1 , … , 𝑢𝑖 , … 𝑢𝑗+1 , … 𝑢𝑡+1
7
также является путем из 𝑢 в 𝑣, причем более коротким, чем первоначальный, что
приводит к противоречию. Таким образом, исходный путь был простым.
Для организационных коммуникаций эту теорему можно пояснить так: если
сотрудник 𝑢, может отправить сообщение сотруднику 𝑣, то он может сделать это
так, чтобы никто не услышал сообщение дважды.
Длину кратчайшего пути из 𝑢 в 𝑣 называют расстоянием между 𝑢 в 𝑣 и
обозначают 𝜌(𝑢, 𝑣). Расстояние от любой вершины до самой себя равно нулю.
Иногда достижимость между парой вершин отсутствует, но возможна «опосредованная» коммуникация между ними. Более точно, определим полупуть в
орграфе 𝐷 = (𝑁, 𝐴) как последовательность вершин и дуг
𝑢1 , 𝑎1 , 𝑢2 , 𝑎2 , … , 𝑢𝑡 , 𝑎𝑡 , 𝑢𝑡+1 ,
(4)
где 𝑎𝑖 – либо дуга (𝑢𝑖 , 𝑢𝑖+1 ), либо дуга (𝑢𝑖+1 , 𝑢𝑖 ).
Понятия простого, замкнутого, полного полпути и полуконтура определяются по аналогии с соответствующими понятиями для пути.
Определение 1.2 Вершины 𝑢 в 𝑣 соединимы, если существует полупуть из
𝑢 в 𝑣. Будем обозначать этот факт 𝑢 − 𝑣.
Заметим, что если 𝑢 → 𝑣, то совсем не обязательно 𝑣 → 𝑢. А вот из определения полупути (4) следует, что утверждения 𝑢 − 𝑣 и 𝑣 − 𝑢 равносильны.
Обратимся к модели неориентированного графа (2).
Цепью в графе 𝐺 = (𝑁, 𝐸) называется последовательность вершин и ребер
𝑢1 , (𝑢1 , 𝑢2 ), 𝑢2 , (𝑢2 , 𝑢3 ), … , 𝑢𝑡 , (𝑢𝑡 , 𝑢𝑡+1 ), 𝑢𝑡+1 .
Как и в случае пути, цепь может быть простой, замкнутой и полной (определения
аналогичны). Простая замкнутая цепь называется циклом.
В случае графа понятия достижимости и соединимости совпадают, т.е. 𝑢 →
𝑣 ⟺ 𝑢 − 𝑣. Это объясняется отсутствием ориентации ребер, и невозможностью
тем самым различать путь и полупуть (в графе существует только понятие цепи).
Связанные с достижимостью понятия для графов и орграфов собраны в таблице 1.
8
Таблица 1. Достижимость и соединимость
Орграф 𝐷
𝑢1 , 𝑎1 , 𝑢2 , 𝑎2 , … , 𝑢𝑡 , 𝑎𝑡 , 𝑢𝑡+1
достижимость
соединимость
Граф 𝐺
𝑢1 , 𝑒1 , 𝑢2 , 𝑒2 , … , 𝑢𝑡 , 𝑒𝑡 , 𝑢𝑡+1
Путь
Полупуть
Цепь
𝑎𝑖 = (𝑢𝑖 , 𝑢𝑖+1 )
𝑎𝑖 = (𝑢𝑖 , 𝑢𝑖+1 ) или 𝑎𝑖 = (𝑢𝑖+1 , 𝑢𝑖 )
𝑒𝑖 = {𝑢𝑖 , 𝑢𝑖+1 }
Простой путь
Простой полупуть
Простая цепь
путь и 𝑢𝑖 различны
полупуть и 𝑢𝑖 различны
цепь и 𝑢𝑖 различны
Замкнутый путь
Замкнутый полупуть
Замкнутая цепь
𝑢𝑡+1 = 𝑢1
𝑢𝑡+1 = 𝑢1
𝑢𝑡+1 = 𝑢1
Полный путь
Полный полупуть
Полная цепь
{𝑢1 , … 𝑢𝑡+1 } = 𝑁
{𝑢1 , … 𝑢𝑡+1 } = 𝑁
{𝑢1 , … 𝑢𝑡+1 } = 𝑁
Контур
Полуконтур
Цепь
простой
замкнутый путь
простой
замкнутый полупуть
простая
замкнутая цепь
Понятия достижимости и соединимости позволяют классифицировать орграфы следующим образом.
Орграф называется:
– сильно связным, если ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑁 𝑢 → 𝑣 & 𝑣 → 𝑢;
– односторонне сязным, если ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑁 𝑢 → 𝑣 ⋁ 𝑣 → 𝑢;
– слабо связным, если ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑁 𝑢 − 𝑣;
– несвязным, если 𝐷 не является слабо связным.
Непосредственное применение этих определений весьма трудоемко, поскольку требует попарных проверок на достижимость всех вершин (т.е. для 𝑛
вершин понадобится 𝐶𝑛2 проверок). Поэтому используют критерии связности, позволяющие сократить перебор.
Теорема 1.2 Орграф сильно связан тогда и только тогда, когда в нем имеется полный замкнутый путь.
Доказательство [4].
9
Пусть 𝑢1 , … , 𝑢𝑛 , 𝑢1 – полный замкнутый путь в 𝐷 = (𝑁, 𝐴). Надо доказать,
что ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑁 𝑢 → 𝑣 & 𝑣 → 𝑢. В силу полноты пути найдутся такие 𝑖 < 𝑗, что
𝑢𝑖 = 𝑢, 𝑢𝑗 = 𝑣. Тогда 𝑢𝑖 , 𝑢𝑖+1 , … , 𝑢𝑗 – путь из 𝑢 в 𝑣, а 𝑢𝑗 , 𝑢𝑗+1 , … , 𝑢𝑛 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑖 –
путь из 𝑣 в 𝑢. Таким образом, 𝐷 сильно связан.
Пусть теперь 𝐷 сильно связан, 𝑁 = {𝑢1 , … , 𝑢𝑛 }. Тогда имеются пути 𝑃1 из 𝑢1
в 𝑢2 , 𝑃2 из 𝑢2 в 𝑢3 , … , 𝑃𝑛−1 из 𝑢𝑛−1 в 𝑢𝑛 , 𝑃𝑛 из 𝑢𝑛 в 𝑢1 . Тогда полный замкнутый
путь в 𝐷 есть 𝑃 = 𝑃1 ∪ 𝑃2 ∪ … ∪ 𝑃𝑛−1 ∪ 𝑃𝑛 .
Приведем без доказательства (см. [4]) критерии односторонней и слабой
связности.
Теорема 1.3 Орграф односторонне связан тогда и только тогда, когда в нем
имеется полный путь.
Теорема 1.4 Орграф слабо связан тогда и только тогда, когда в нем имеется
полный полупуть.
b
a
c
a
а
b
c
a
b
б
c
a
в
b
c
г
Рисунок 2
Орграф на рисунке 2а сильно связный (имеется полный замкнутый путь)
(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎); орграф на рисунке 2б односторонне связный (имеется полный путь
(𝑎, 𝑏, 𝑐), но не сильно связный, т.к. вершина 𝑏 не достижима из вершины 𝑐; орграф на рисунке 2в слабо связный (имеется полный полупуть (𝑎, 𝑏, 𝑐)), но не односторонне связный из 𝑐; орграф на рисунке 2г несвязный, т.к. вершины 𝑏 и 𝑐 не
соединимы.
Упражнение 1.1
a
b
10
c
d
k
g
e
f
Для орграфа на рисунке найти: а – путь, не являющийся простым полупутем; б – полупуть, не являющийся простым полупутем; в – замкнутый путь; г –
простой путь длины 4; д – контур длины 3, содержащий вершину 𝑐/
Упражнение 1.2
a
e
c
b
d
f
j
g
i
h
Для графа на рисунке найти: а – замкнутую цепь, не являющуюся циклом; б
– самый длинный цикл; в – замкнутую цепь длины 6.
Упражнение 1.3 Привести по 2 примера сильно связных, односторонне
связных, слабо связных, несвязных орграфов.
Упражнение 1.4 Привести пример сильно связного орграфа, не имеющего
полного контура.
Упражнение 1.5 Пусть коммуникации в полицейском подразделении представлены орграфом
c
l1
11
l2
s
d
a1
p1
a2
p2
где 𝑐 – капитал; 𝑙1, 𝑙2 – лейтенанты; 𝑑 – диспетчер; 𝑠 – сержант; 𝑎1, 𝑎2 – патрульные автомобили, 𝑝1, 𝑝2 – постовые полицейские.
К какой категории связности относится этот факт? Обсудить интерпретацию модели и ее свойств в терминах организационных коммуникаций.
Упражнение 1.6* Доказать теоремы 1.3 и 1.4.
Упражнение 1.7* Сформулировать для неориентированного графа понятие
связности, аналогичное достижимости и соединимости в орграфе, и предложить
необходимое и достаточное условия связности.
12
2 ОРГРАФЫ И МАТРИЦЫ
Связанную с орграфами информацию можно представить в матричной форме. Особенно удобно это представление для компьютерной реализации орграфов,
которая становится совершенно необходимой при большом числе дуг и вершин. С
каждым орграфом 𝐷 = (𝑁, 𝐴), будем связывать три матрицы, содержащие важную информацию.
Пусть {𝑢1 , … , 𝑢𝑛 } – множество вершин орграфа 𝐷.
Матрица смежности 𝐴 = ‖𝑎𝑖𝑗 ‖ орграфа 𝐷 определяется как
𝑎𝑖𝑗 = {
1,
0,
(𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ) ∈ 𝐴,
иначе.
Таким образом, матрица смежности – это булевская матрица, единичные
элементы которой соответствуют дугам представляемого матрицей орграфа. Поскольку в базовой модели орграфа петли не допускаются, то на главной диагонали
матрицы смежности стоят нули.
Теорема 2.1 Для орграфа 𝐷 с матрицей смежности 𝐴 = ‖𝑎𝑖𝑗 ‖ элемент (𝑖, 𝑗) в
матрице 𝐴𝑡 определяет число нулей длины 𝑡, ведущих из 𝑢𝑖 в 𝑢𝑗 в 𝐷.
Доказательство [4].
Применим индукцию по 𝑡. При 𝑡 = 1 результат очевиден, осталось провести
𝑡
𝑡
индукционный переход. Пусть 𝑎𝑘𝑗
– число путей длины из 𝑢𝑘 в 𝑢𝑗 , 𝑎𝑘𝑗
– число пу-
тей длины 𝑡 из 𝑢𝑘 в 𝑢𝑗 . Чтобы попасть из 𝑢𝑘 в 𝑢𝑗 за 𝑡 + 1 шагов, нужно пройти из
𝑢𝑖 в некоторую вершину 𝑢𝑘 непосредственно и затем из 𝑢𝑘 перейти в 𝑢𝑗 за 𝑡 шагов. Число способов перехода из 𝑢𝑖 в 𝑢𝑗 за 𝑡 + 1 шагов с первым шагом, приводя𝑡
𝑡+1
𝑡
щим в 𝑢𝑘 , равно 𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑘𝑗
. Таким образом, 𝑎𝑖𝑗
= ∑𝑛𝑢=1 𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑘𝑗
.
𝑡
По предположению индукции 𝑎𝑘𝑗
совпадает с элементом (𝑘, 𝑗) матрицы 𝐴𝑡 .
𝑡+1
Поэтому 𝑎𝑖𝑗
определяется (𝑖, 𝑗)-м элементом матрицы 𝐴 ∙ 𝐴𝑡 = 𝐴𝑡+1 .
Второй матрицей, сопоставляемой орграфу 𝐷, является его матрица достижимости 𝑅 = ‖𝑟𝑖𝑗 ‖,
13
1,
где 𝑟𝑖𝑗 = {
0,
𝑢𝑖 → 𝑢𝑗 ,
иначе.
Таким образом, матрица достижимости также булевская и ее единичные
элементы означают наличие путей между соответствующими вершинами. На
главной диагонали 𝑅 всегда стоят единицы, так как любая вершина достижима
сама из себя.
Третья матрица, полезная при рассмотрении орграфов – это матрица расстояний 𝑅0 = ‖𝜌𝑖𝑗 ‖, где 𝜌𝑖𝑗 = 𝜌(𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ). Таким образом, элементы матрицы расстояний могут принимать целочисленные значения. На главной диагонали матрицы
𝑅0 всегда стоят нули, т.к. ∀𝑢 ∈ 𝑁 𝜌(𝑢, 𝑢) = 0. Отметим, что если вершина 𝑢𝑗 недостижима из 𝑢𝑖 , то элемент 𝜌𝑖𝑗 не определен (при компьютерной реализации ему
соответствует машинная бесконечность).
Упражнение 2.1 Построить матрицы смежности, достижимости и расстояний для орграфа из упражнения 1.1.
Упражнение 2.2
u
n
w
v
x
u
v
v
w
x
x
w
z
y
Используя матрицу смежности, найти число путем длины 5 из 𝑢 в 𝑣 для
изображенных на рисунке орграфов. Указать эти пути.
14
Упражнение 2.3 Пусть орграф 𝐷 имеет матрицу смежности 𝐴 и матрицу
достижимости 𝑅, 𝐽 – матрица из единиц той же размерности. Доказать, что:
а) 𝐷 сильно связан тогда и только тогда, когда 𝑅 = 𝐽;
б) 𝐷 односторонне связан тогда и только тогда, когда 𝐵(𝑅 + 𝑅𝑇) = 𝐽,
1,
0,
где 𝐵(𝑥) = {
𝑥>0
, 𝑅𝑇 – матрица, транспонированная и 𝑅;
𝑥=0
в) 𝐷 слабо связан тогда и только тогда, когда
𝐵[(𝐸 + 𝐴 + 𝐴𝑇 )𝑛−1 ] = 𝐽,
где 𝐸 – единичная матрица, 𝑛 – число вершин в 𝐷.
3 ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ
Ориентированный граф 𝐷 = (𝑁, 𝐴) представляет собой модель общей
структуры сложной системы. В этой общей структуре можно выделить внутреннюю структуру (подструктуру), которая определяется связями не между отдельными элементами, а между подсистемами в составе целостной моделируемой системы. В теории графов подсистемам соответствуют так называемые сильные
компоненты орграфа, которые будут описаны далее.
Подорграфом орграфа 𝐷 = (𝑁, 𝐴) называется орграф 𝐷′ = (𝑁′, 𝐴′) такой, что
𝑁′ ⊂ 𝑁, 𝐴′ ⊂ 𝐴, причем дуги из 𝐴′ соединяют элементы из 𝑁′. Говорят, что подорграф 𝐷′ = (𝑁′, 𝐴′) порожден множеством вершин 𝑁′, если 𝐴′ содержит все дуги из
𝐴, соединяющие в 𝐷 вершины из 𝑁′. Наконец, сильной компонентой 𝐾 орграфа
𝐷 = (𝑁, 𝐴) называется максимальный по включению вершин сильно связный порожденный подорграф 𝐷.
2
3
6
2
3
2
3
1
4
5
4
1
а
1
б
15
в
2
3
3
2
5
4
1
1
4
г
д
Рисунок 2
На рисунке 2а изображен исходный орграф 𝐷. Все орграфы на рисунке 2б-д
– его подорграфы. Орграф на рисунке 2г является подорграфом, порожденным
множеством вершин {1, 2, 3, 4}. Орграф на рисунке 2в не является таковым, поскольку не содержит дуг (3, 4) и (1, 3). Орграф на рисунке 2д – сильная компонента, порожденная вершинами {1, 2, 3, 4, 5} (добавление вершины 6 порождает
сильную связность). Орграф на рисунке 2г не является сильной компонентой, поскольку можно добавить вершину 5, сохраняя сильную связность.
Знание внутренней структуры, определенной сильными компонентами орграфа, позволяет решать ряд прикладных задач, в частности, связанных с коммуникациями в моделируемой системе. Например, представляет интерес ответ на
следующий вопрос: какому минимальному множеству элементов системы следует
передать сообщение, чтобы оно наверняка достигло всех остальных элементов системы? Ответ на этот вопрос связан с построением так называемой вершинной базы орграфа: рассмотрим соответствующие понятия и процедуры.
Определение 3.1 Множество 𝐵 вершин орграфа 𝐷 = (𝑁, 𝐴) называется
вершинной базой 𝐷, если:
1) ∀𝑣 ∈ 𝑁\𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∶ 𝑢 → 𝑣;
2) множество 𝐵 является минимальным, т.е. никакое его собственное подмножество не обладает свойством 1).
Теорема 3.1 В орграфе 𝐷 = (𝑁, 𝐴) каждая вершина 𝑢 входит в одну и только одну сильную компоненту.
16
Доказательство [4].
Вырожденный орграф, содержащий единственную вершину 𝑢, является
сильно связным. Будем добавлять вершины до тех пор, пока все еще будет получаться сильно связный порожденный подорграф. Эта процедура приводит к сильной компоненте, содержащей 𝑢.
Пусть теперь 𝑢 входит в сильные компоненты 𝐾 и 𝐿. Рассмотрим подорграф, порожденный вершинами из 𝐾 и 𝐿. Он сильно связан, т.к. если 𝑎 ∈ 𝑁(𝐾),
b∈ 𝑁(𝐿), то из 𝑎 можно попасть в 𝑏 через вершины из 𝑁(𝐾) ∪ 𝑁(𝐿), поскольку
𝑎 → 𝑢 в 𝐾 и 𝑢 → 𝑏 в 𝐿. Аналогично 𝑏 → 𝑎. Но из максимальности 𝐾 и 𝐿 имеем 𝐾 ∪
𝐿 = 𝐾, 𝐿 ∪ 𝐾 = 𝐿, откуда 𝐾 = 𝐿.
Определение 3.1 Конденсацией орграфа 𝐷 = (𝑁, 𝐴) называется орграф
𝐷∗ = (𝑁 ∗ , 𝐴∗ ), где 𝑁 ∗ – множество сильных компонент {𝐾1 , 𝐾2 , … , 𝐾𝑝 } орграфа 𝐷, а
множество дуг 𝐴∗ – строится по следующему правилу:
(𝐾𝑖 , 𝐾𝑗 ) ∈ 𝐴∗ ⟺ ∃𝑢 ∈ 𝐾𝑖 , 𝑣 ∈ 𝐾𝑗 ∶ (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴.
Теорема 3.2 Конденсация есть орграф без контуров.
Доказательство [4].
Пусть 𝐾𝑖 1 , 𝐾𝑖 2 , … , 𝐾𝑖 𝑡 , 𝐾𝑖 1 – контур в 𝐷 ∗ , 𝑢 ∈ 𝐾𝑖 1 , 𝑣 ∈ 𝐾𝑖 2. Используя контур,
легко показать, что 𝑢 → 𝑣 и 𝑣 → 𝑢. Тогда 𝑢 и 𝑣 входят в одну сильную компоненту и по теореме 3.1 𝐾𝑖 1 , = 𝐾𝑖 2 , что противоречит определению контура.
Терема 3.3 В орграфе без контуров 𝐷 существует единственная вершинная
база, состоящая из всех вершин без входных дуг.
Доказательство [4].
Пусть 𝐵 – множество всех вершин без входных дуг. Очевидно, любая вершина 𝑢 ∈ 𝐵 должна присутствовать в каждой вершинной базе. Осталось доказать,
что ∀𝑣 ∈ 𝑁\𝐵 ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∶ 𝑢 → 𝑣. Пусть 𝑣 ∉ 𝐵, обозначим 𝑣 = 𝑣0 . Поскольку 𝑣0 ∉
𝐵, то ∃𝑣1 ∈ 𝑁 ∶ (𝑣1 , 𝑣0 ) ∈ 𝐴. Если 𝑣1 ∈ 𝐵, то теорема доказана, иначе ∃𝑣2 ∈ 𝑁 ∶
(𝑣2 , 𝑣1 ) ∈ 𝐴. Продолжая эту процедуру, получим путь 𝑣𝑡 , 𝑣𝑡−1 , … 𝑣2 , 𝑣1 , 𝑣0 , не со17
держащий вершины из 𝐵. Все вершины этого пути различны, т.к. иначе возникает
контур. Поскольку 𝐷 имеет конечное число вершин, то в конце концов путь придет в некоторую вершину 𝑢 ∈ 𝐵, причем 𝑢 → 𝑣.
Завершает процедуру поиска вершинных баз
Теорема 3.4 Пусть 𝐵∗ – единственная вершинная база конденсации 𝐷 ∗ орграфа 𝐷. Тогда вершинными базами в 𝐷 служат такие множества 𝐵𝑖 , которые содержат по одной вершине из каждой сильной компоненты 𝐷, входящей в 𝐵∗ .
Доказательство см в [4, с. 55].
Следствие Любые две вершинные базы орграфа содержат одинаковое число вершин.
j
a
b
i
D
c
m
d
e
f
g
l
m
m
Рисунок 3
Рассмотрим процедуру нахождения вершинных баз на примере орграфа 𝐷,
изображенного на рисунке 3. Как следует из вышеизложенного, процедура включает четыре этапа.
1. Найти сильные компоненты орграфа 𝐷.
2. Построить конденсацию 𝐷∗ орграфа 𝐷.
3. Найти единственную вершинную базу 𝐵∗ конденсации 𝐷∗ .
4. Найти все вершины базы 𝐵𝑖 орграфа 𝐷.
Этап 1. Начнем с вершины 𝑎. Добавляя вершины 𝑏 и 𝑐, получаем сильно
связный порожденный подорграф. Поскольку вершина 𝑐 не имеет входных дуг,
18
кроме (𝑏, 𝑐), то порожденный вершинами {𝑎, 𝑏, 𝑐} подорграф есть сильная компонента 𝐾1 . Рассуждая аналогично, получаем сильные компоненты 𝐾2 − 𝐾6 , порожденные соответственно множествами вершин {𝑑}, {𝑒}, {𝑓, 𝑔, ℎ}, {𝑖, 𝑔, 𝑘}, {𝑙, 𝑚}.
На этапе 2 строим конденсацию 𝐷∗ , имеющую вид
K1
D*
K2
K3
K4
K5
K6
Практически нужно изобразить вершины, а затем проверять каждую пару на
наличие дуг, пользуясь правилом из определения 3.2.
Очевидно, на этапе 3 получаем 𝐵∗ = {𝐾1 , 𝐾2 , 𝐾6 }. Теперь остается этап 4.
Все вершины базы 𝐵𝑖 содержат по три элемента (по числу сильных компонент).
Первый элемент – любая из трех вершин {𝑎, 𝑏, 𝑐} = 𝐾1 , второй – единственная
вершина 𝑑 = {𝐾2 }, третий – одна из двух вершин {𝑙, 𝑚} = 𝐾6 . Таким образом, получаем шесть вершинных баз в 𝐷:
𝐵1 = {𝑎, 𝑑, 𝑙}, 𝐵2 = {𝑎, 𝑑, 𝑚}, 𝐵3 = {𝑏, 𝑑, 𝑙},
𝐵4 = {𝑏, 𝑑, 𝑚}, 𝐵5 = {𝑐, 𝑑, 𝑙}, 𝐵6 = {𝑐, 𝑑, 𝑚}.
Упражнение 3.1 Для каждого орграфа на рисунке 4 найти:
а – подорграф, не являющийся порожденным данным множеством вершин; б –
подорграф, порожденный множеством вершин {5, 8, 9}; в – сильно связный порожденный подорграф, не являющийся сильной компонентой; г – все вершинные
базы.
2
3
10
8
11
5
7
1
9
4
6
а
19
7
1
3
12
6
5
2
4
8
10
9
11
б
Рисунок 4
Упражнение 3.2 Найти все вершинные базы в модели полицейского подразделения из упражнений 1.5 и обсудить полученный результат.
Упражнение 3.3 Слабой компонентой орграфа называется максимальный
слабо связный порожденный подорграф. Найти все слабые компоненты орграфов
на рисунке 4. Показать, что каждая вершина орграфа принадлежит точно одной
слабой компоненте.
Упражнение 3.4 Односторонней компонентой орграфа называется максимальный односторонне связный порожденный подорграф:
а – найти одностороннюю компоненту с пятью вершинами в орграфе на рисунке 4б
б – принадлежит ли каждая вершина произвольного орграфа по меньшей
мере одной односторонней компоненте?
в – может ли она принадлежать более чем одной компоненте?
Упражнение 3.5* Чтобы получить орграф, обратный к данному, нужно переориентировать все дуги исходного орграфа. Используя понятие обратного орграфа и теорему 3.3, показать, что любой бесконтурный орграф имеет вершину, из
которой не выходит ни одна дуга.
20
4 ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЙ АНАЛИЗ КОНФЛИКТОВ
В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ
Структурные модели применимы к анализу отношений (в том числе конфликтных) между людьми в социальных группах. Начнем анализ с предельно
простой модели на основе неориентированного графа, а затем выявим ее ограничения и возможности их преодоления с помощью более сложных теоретикографовых моделей.
Рассмотрим граф 𝐺 = (𝑁, 𝐸). Определим знак цепи в графе как произведение знаков ребер, образующих цепь. Тогда в качестве базовой модели отношений
в социальной группе будем использовать знаковый граф 𝐺 = (𝑁, 𝐸), в котором
каждое ребро имеет знак (плюс или минус). Положительное ребро (𝑎, 𝑏) означает
симпатию между членами группы 𝑎 и 𝑏, отрицательное – антипатию.
Рассмотрим малые социальные группы из трех человек. Очевидно, все возможные типы отношений в таких группах в рамках предложенной графовой модели показаны на рисунке 5.
b
b
+
a
+
+
1
+
c
a
b
–
–
–
+
c
a
2
b
+
3
–
c
a
–
–
c
4
Рисунок 5
Малые группы из трех человек были предметом использований социального
психолога Ф. Хейдера. Он показал, что группы типов 1 и 3 являются как бы «сбалансированными» (уравновешенными, бесконфликтными, эффективными при
решении задач), а группы типов 2 и 4 – наоборот, «несбалансированными» (неуравновешенными, конфликтными, неэффективными).
Анализируя результаты Ф. Хейдера, американские математики Д. Картрайт
и Ф. Харари заметили, что модели группы типов 1 и 3 представляют собой поло21
жительные циклы, а модели группы типов 2 и 4 – отрицательные. Это позволило
им предложить следующее обобщение.
Определение 4.1 Граф 𝐺 сбалансирован, если он не содержит отрицательных циклов.
Это определение важно тем, что дает общий критерий сбалансированности
(бесконфликтности, эффективности) социальной группы, состоящей уже из произвольного числа членов. Как показали последующие исследования социальных
психологов, гипотеза Картрайта-Харари довольно хорошо выполняется для малых
социальных групп.
Поскольку практическая проверка критерия сбалансированности КартрайтаХарари для графа с большим числом вершин довольно трудоемка, то хотелось бы
иметь сокращенный алгоритм проверки. Его дает
Теорема 4.1 (Харари) Для знакового графа 𝐺 = (𝑁, 𝐴) следующие утверждения эквивалентны:
1) граф 𝐺 – сбалансирован;
2) любые две цепи между вершинами 𝑢 и 𝑣 имеют одинаковый знак;
3) множество 𝑁 можно разбить на два непересекающихся множества 𝐴 и 𝐵
так, что каждое положительное ребро соединяет вершины одного множества и
каждое отрицательное ребро соединяет вершины различных множеств.
Доказательство см. [4, с. 72-73].
Алгоритм проверки сбалансированности имеет следующий вид. Возьмем
произвольную вершину 𝑢 ∈ 𝑁 и поместим ее в первое множество 𝐴. Рассмотрим
все ребра с начальной вершиной 𝑢. Если ребро положительно, то поместим конечную вершину 𝑣 в 𝐴, иначе поместим 𝑣 в 𝐵. Повторим эту процедуру для простых цепей длины 2, 3, … , 𝑛 − 1, где 𝑛 – число вершин из 𝑁. Если разбиение удалось, то по утверждению 3 граф 𝐺 сбалансирован, иначе (если по цепи одной длины вершина 𝑣 попадает в 𝐴, а по цепи другой длины – в 𝐵), то 𝐺 не сбалансирован.
22
Отметим, что разбиение 𝑁 = 𝐴 ∪ 𝐵 допускает любопытную политическую
интерпретацию: из теоремы Харари следует, что сбалансированными являются те
и только те выборные органы, которые включают не более двух партий (фракций). Таким образом, устойчивы либо однопартийная (тоталитарная), либо двухпартийная (классическая британская или американская демократия).
Итак, даже простейшая базовая модель допускает далеко не тривиальные
выводы. Однако эта модель все же является весьма ограниченной, поскольку не
учитывает многие вполне очевидные реальные эффекты. Перечислим некоторые
из них (ограничения базовой модели)
1. Симпатия не обязательно симметрична: если 𝑎 симпатизирует 𝑏, то 𝑏 вовсе не обязан(а) отвечать взаимностью. Это относится и к антипатии.
2. Модель не учитывает силу (интенсивность) отношения симпатии (антипатии), фиксируя лишь их наличие.
3. Модель не учитывает степени (силы, интенсивности) сбалансированности
(несбалансированности) социальной группы в целом.
4. Модель не учитывает различий между типами сбалансированности (несбалансированности): группы типов 1 и 3 сбалансированы, а группы типов 2 и 4
не сбалансированы по-разному.
Рассмотрим подробнее эти ограничения базовой модели и возможные пути
их преодоления.
Очевидный способ учета асимметричности отношений симпатии (антипатии) состоит в переходе от неориентированного графа к ориентированному.
Именно, положительная дуга (𝑎, 𝑏) означает, что 𝑎 симпатизирует 𝑏. Если при
этом имеется также положительная дуга (𝑏, 𝑎), то симпатия взаимна и мы возвращаемся к базовой модели (пара положительных дуг (𝑎, 𝑏) и (𝑏, 𝑎) эквивалентна положительному ребру (𝑎, 𝑏)); 𝑎 если нет, то увы . . . надо пользоваться более
общей моделью на основе орграфа 𝐷 = (𝑁, 𝐴).
23
Как строить теорию и развивать приложения дальше? Напрашивается естественное обобщение:
Определение 4.2 Орграф 𝐷 сбалансирован, если он не содержит отрицательных контуров.
Однако выясняется, что это определение неприменимо на практике (рисунок 6).
d
b
b
–
+
a
+
a
а
+
e
+
–
+
c
+
+
c
б
Рисунок 6
В орграфе на рисунке 6а нет отрицательных контуров )там вообще нет контуров), но представленная этой моделью группа оказывается несбалансированной
(по той же причине, что и группа Хейдера на рисунке 5-2). Добавление положительного контура (рисунок 6б) дела не меняет.
Поэтому приходится «отступить» и согласиться с более «жестким» определением.
Определение 4.3 Орграф 𝐷 сбалансирован, если он не содержит отрицательных полуконтуров.
Базируясь на этом определении, можно сформулировать и доказать очевидный аналог теоремы Харари (упражнение 4.7). Более подробно с этим направлением развития модели отношений в малых группах можно ознакомиться в [5].
Приведем один яркий пример из этой монографии.
24
b
b
+
a
+
+
a
–
c
a
b
–
–
–
+
c
b
+
–
c
a
+
–
c
Рисунок 7
На рисунке 7 изображены все возможные бесконтурные орграфы с тремя
вершинами, не содержащие отрицательных контуров. Рассматривая отношения с
позиции элемента 𝑎, легко дать следующие интерпретации для представления
конфигураций: «друг моего друга – мой друг», «враг моего друга – мой враг»,
«враг моего врага – мой друг», «друг моего врага – мой враг». Таким образом,
народная мудрость действительно запечатлела в давно известных поговорках
устойчивые конфигурации отношений в малых группах.
Вполне очевидный путь ведет и к устранению второго ограничения базовой
модели – отсутствия учета силы (интенсивности) отношений. Действительно,
симпатия и антипатия – это очень грубое представление целой шкалы отношений
«от любви до ненависти», достаточно подробно разработанной в социальной психологии. Представляется естественным использовать вместо знакового графа более общую модель – взвешенный граф (или орграф), в котором каждому ребру
(дуге) присваивается некоторое значение (вес) 𝑤 ∈ ℝ. Тогда знаковый граф становится частным случаем взвешенного (𝑤 = ±1). Разумеется, что за повышение
точности модели приходится платить увеличением ее сложности: исследовать модель взвешенного графа (орграфа) гораздо труднее, чем знакового, и результаты,
подобные теореме Харари, здесь неизвестны. Однако существуют другие направления исследования таких моделей, и одно из них (импульсные процессы) рассматривается в следующей части методических указаний.
Можно учесть и различную степень сбалансированности группы в целом.
Обозначим 𝑝 – число положительных циклов в графе 𝐺, 𝑛 – число отрицательных
циклов, 𝑡 – общее число циклов (𝑡 = 𝑝 + 𝑛).
25
Тогда величину
𝑏(𝐺) =
𝑝
𝑡
можно использовать в качестве меры сбалансированности графа 𝐺. Очевидно, что
0 ≤ 𝑏(𝐺) ≤ 1, причем значение 𝑏(𝐺) = 1 соответствует определению [полной]
сбалансированности, а постепенное уменьшение этого значения – уменьшению
сбалансированности до [полной] несбалансированности при 𝑏(𝐺) = 0. Что касается учета в модели различий между типами сбалансированности (несбалансированности), то какие-либо результаты здесь автору не известны. Есть простор для
оригинальных исследований!
Упражнение 4.1 Для знаковых графов на рисунке 8 определить знаки всех
простых цепей длины 4, начинающихся с вершины 𝑎, и знаки всех циклов.
a
+
c
+
–
d
+
b
–
–
–
g
+
+
e
+
b
c
–
a
+
+
f
d
+
+
+
–
f
e
Рисунок 8
Упражнение 4.2 Какие графы на рисунке 9 сбалансированы? Указать для
них разбиение на два множества.
b
a
c
–
+
+
+
e
–
b
a
+
+
+
–
–
–
d
d
а
б
Рисунок 9
26
c
+
d
Упражнение 4.3 Знаковый граф называется 𝑘-сбалансированным, если
каждый цикл длины, не превосходящей 𝑘, положителен. Привести пример 3сбалансированного знакового графа, который не является 4-сбалансированным.
Упражнение 4.4 Знаковый граф называется локально сбалансированным в
вершине 𝑢, если каждый содержащий 𝑢 цикл положителен. Привести пример локально сбалансированного графа, который не является сбалансированным [глобально].
Упражнение 4.5 Изобразить знаковый граф, представляющий некоторую
политическую ситуацию. Обсудить вопросы сбалансированности.
Упражнение 4.6 Изобразить знаковые графы, представляющие отношения
симпатии (антипатии) в различных частях некоторого литературного произведения (достаточно высокого уровня ). Обсудить вопросы баланса.
Упражнение 4.7 Сформулировать аналог теоремы Харари для орграфов,
исходя из определения 4.3.
Упражнение 4.8 В качестве меры сбалансированности орграфа наряду с ве𝑝
личиной 𝑏(𝐺) можно использовать величину 𝑏′(𝐺) = , где 𝑝 – число положи𝑛
тельных элементов в графе 𝐺, 𝑛 – число отрицательных циклов.
а) исследовать свойства меры 𝑏′(𝐺);
б) показать, что меры в 𝑏(𝐺) и 𝑏′(𝐺) по существу совпадают, т.е. ∀𝐺1 , 𝐺2
𝑏(𝐺1 ) ≥ 𝑏(𝐺2 ) ⇔ 𝑏′(𝐺1 ) ≥ 𝑏′(𝐺2 );
в) вычислить значения 𝑏 и 𝑏′ для графов на рисунках 8 и 9.
27
5 АНАЛИЗ ПРЕДПОЧТЕНИЙ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ
НА ОСНОВЕ ПОПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ АЛЬТЕРНАТИВ
Указанная в названии раздела проблема имеет большое прикладное значение при решении следующих задач:
– выбрать наилучшую альтернативу из множества возможных (кандидата на
должность, конкурсную заявку и т.п.);
– упорядочить по предпочтению все альтернативы из множества возможных
(чтобы вручить не только первую, но и вторую, третью и т.д. премии; чтобы
иметь резерв в случае отказа лидирующей альтернативы и т.п.).
При этом предполагается, что информация о предпочтениях задана в виде
бинарного отношения предпочтения на множестве альтернатив; на практике это
означает, что принимающие решения лица или эксперты-консультанты могут попарно сравнивать имеющиеся альтернативы и указывать более предпочтительную
из них. Бинарное отношение предпочтения удобно представлять орграфом специального вида.
Определение 5.1 Орграф 𝑇 = (𝑁, 𝐴) называется турнирным (турниром), если для любой пары вершин 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑁 существует ровно одна дуга (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴 либо
(𝑣, 𝑢) ∈ 𝐴
Наличие дуги (𝑢, 𝑣) интерпретируется как отношение предпочтения между
альтернативами 𝑢 и 𝑣 (𝑢 лучше 𝑣). Обозначим через 𝑠(𝑢) число выходных дуг для
вершины 𝑢. Если использовать «спортивную» интерпретацию, которая объясняет
название «турнир», то 𝑠(𝑢) – это число побед, одержанных участником турнира 𝑢
(или число очков, набранных 𝑢 в турнире). Тогда естественно назвать «победителем турнира» (или наиболее предпочтительной альтернативой) вершину 𝑢*, для
которой 𝑠(𝑢∗ ) = max 𝑠(𝑢). Этот подход позволяет решать как задачу определения
𝑢∈𝑁
наилучшей альтернативы, так и задачу полного упорядочения (ранжирования)
альтернатив по числу очков 𝑠(𝑢). Кроме того, справедлива следующая полезная
28
Теорема 5.1 (Ландау) Пусть 𝑢∗ – победитель турнира 𝑇 = (𝑁, 𝐴). Тогда для
∀𝑣 ∈ 𝑁 либо (𝑢∗ , 𝑣) ∈ 𝐴, либо ∃𝑤 ∈ 𝑁 ∶ (𝑢∗ , 𝑤) ∈ 𝐴&(𝑤, 𝑣) ∈ 𝐴.
Доказательство [4].
Пусть 𝑢∗ – победитель турнира 𝑇 = (𝑁, 𝐴), 𝑠(𝑢∗ ) = 𝑘,
𝑣1 , … , 𝑣𝑘 ∶ (𝑢∗ , 𝑣1 ) ∈ 𝐴, … , (𝑢∗ , 𝑣𝑘 ) ∈ 𝐴. Рассмотрим произвольную вершину 𝑣 ∈
𝑁. Если (𝑢∗ , 𝑣) ∈ 𝐴, то теорема доказана, иначе по определению 5.1
(𝑣, 𝑢∗ ) ∈ 𝐴.
В этом случае рассмотрим отношения вершин 𝑣 с вершинами 𝑣1 , … , 𝑣𝑘 . Если ∀𝑖 =
1, … , 𝑘 (𝑣, 𝑣𝑖 ) ∈ 𝐴, то 𝑠(𝑣) > 𝑘 + 1, что противоречит предположению о том, что
𝑢∗ при 𝑠(𝑢∗ ) = 𝑘 есть победитель турнира. Значит, ∃𝑖 = 1, … , 𝑘 ∶ (𝑣𝑖 , 𝑣) ∈ 𝐴, тогда в качестве вершины 𝑤, берем вершину 𝑣𝑖 .
Вместе с тем предложенный подход не решает задачи определения победителя или полной ранжировки полностью. Рассмотрим два возможных турнира с
тремя вершинами (рисунок 10).
b
b
a
c
c
a
а
б
Рисунок 10
Для турнира на рисунке 10а получаем 𝑠(𝑎) = 2, 𝑠(𝑏) = 1, 𝑠(𝑐) = 0, что однозначно определяет победителя 𝑎 и ранжировку 𝑎 ≻ 𝑏 ≻ 𝑐. А вот для турнира
10б имеем 𝑠(𝑎) = 𝑠(𝑏) = 𝑠(𝑐) = 1 – полный дележ мест, ни победителя, ни тем
более ранжировки всех участников . . .
Попробуем зайти с другой стороны. Какую категорию связности может
иметь турнирный орграф? Очевидно, как минимум одностороннюю, поскольку
любая пара вершин соединена дугой. В этом случае по теореме 1.3 в турнире существует полный путь. Оказывается, что справедливо более сильное утверждение.
29
Теорема 5.2 В турнире существует полный простой путь.
Доказательство [4].
Проведем доказательство индукцией по числу вершин 𝑛 = |𝑁|. При 𝑛 = 2
утверждение теоремы очевидно. Возьмем турнир 𝑇𝑛+1 = (𝑁𝑛+1 , 𝐴𝑛+1 ) с 𝑛 + 1
вершиной и рассмотрим подорграф 𝑇𝑛 = (𝑁𝑛 , 𝐴𝑛 ), порожденный удалением некоторой вершины 𝑛 ∈ 𝑁𝑛+1 и всех ее смежных дуг. Очевидно, 𝑇𝑛 – тоже турнир с 𝑛
вершинами, тогда по предположению индукции в нем существует полный простой путь 𝑢1 , … , 𝑢𝑛 . Если (𝑢, 𝑣1 ) ∈ 𝐴𝑛+1 , то 𝑢, 𝑢1 , … , 𝑢𝑛+1 –полный простой путь в
𝑇𝑛+1 и теорема доказана. В противном случае пусть 𝑖 – такой наибольший номер,
что дуга из 𝑢 в 𝑢𝑖 отсутствует. Если 𝑖 = 𝑛, то по определению турнира
(𝑢𝑛 , 𝑢) ∈ 𝐴𝑛+1 , т.е 𝑢1 , … , 𝑢𝑛 , 𝑢 – полный путь в 𝑇𝑛+1 , в противном случае (при 𝑖 <
𝑛) имеем (𝑢𝑖 , 𝑢) ∈ 𝐴𝑛+1 по определению турнира и (𝑢, 𝑢𝑖+1 ) ∈ 𝐴𝑛+1 по определению номера 𝑖. Тогда 𝑢1 , … , 𝑢𝑖 , 𝑢, 𝑢𝑖+1 , … , 𝑢𝑛 – полный простой путь в 𝑇𝑛+1
Теорема 5.2 позволяет ранжировать участников турнира вдоль полного простого пути в порядке предпочтения. Однако рисунок 10 вновь показывает, что в
случае а) все понятно (единственный полный простой путь 𝑎 → 𝑏 → 𝑐), а вот в
случае б) имеется три полных простых пути 𝑎 → 𝑏 → 𝑐, 𝑏 → 𝑐 → 𝑎, 𝑐 → 𝑎 → 𝑏,
т. е. однозначно ранжировать участников и даже определить победителя вновь не
удается.
Рисунок 10 наводит на мысль о том, что неоднозначность ранжирования порождается наличием контура в турнире. Оказывается, что это действительно так.
Будем
говорить,
что
турнир
𝑇 = (𝑁, 𝐴)
транзитивный,
∀𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑁(𝑢 ≠ 𝑣) справедливо 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐴&(𝑣, 𝑤) ∈ 𝐴 ⇒ (𝑢, 𝑤) ∈ 𝐴.
Теорема 5.3 Для турнира следующие утверждения эквивалентны:
1) существует единственный полный простой путь;
2) турнир транзитивный;
3) турнир бесконтурный.
Доказательство см [4, c. 85-86].
30
если
Следствие. Если турнир 𝑇 = (𝑁, 𝐴) имеет единственный полный простой
путь, то (𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ) ∈ 𝐴 ⟺ 𝑖 < 𝑗. Более того, 𝑠(𝑢𝑖 ) = 𝑛 − 𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1.
Таким образом, если турнир не содержит контуров, то ранжировка его вершин определяется однозначно и одинаково обоими способами (вдоль единственного полного простого пути либо по убыванию числа очков). Если же возникает
контур, то нарушается иерархия (об этом подробнее в разделе 7) и однозначное
упорядочение альтернатив отсутствует. На практике это означает, что нужно либо
мириться с дележом мест, либо использовать некоторую дополнительную процедуру для построения полной ранжировки.
Упражнение 5.1 В турнирах на рисунке 11:
а) найти количество очков у каждого участника;
б) определить победителя и полную ранжировку на числу очков;
в) определить победителя и полную ранжировку в смысле полного простого
пути.
2
3
2
1
3
6
4
4
1
5
5
а
б
Рисунок 11
Упражнение 5.2 Изобразить графически:
а) турнир с последовательностью очков (3, 2, 1, 0);
б) транзитивный турнир с пятью участниками.
31
Упражнение 5.3 Решить задачи определения победителя и построения полной ранжировки для данных о предпочтениях на рисунке 12 (элемент матрицы 𝑖, 𝑗
равен единице тогда и только тогда, когда 𝑖 > 𝑗)
NY B SF LA H
NY
0
0
0
0
1
B
1
0
0
1
1
SF
1
1
0
1
1
LA
1
0
0
0
0
H
0
0
0
1
0
Рисунок 12
Упражнение 5.4 Показать, что обратная теорема к теореме 5.1 неверна.
Упражнение 5.5 Может ли конденсация турнира иметь более одного полного простого пути?
Упражнение 5.6 Степень транзитивности турнира можно изменить величиной
𝑡=
число транзитивных троек вершин
общее число троек вершин
Найти степень транзитивности турниров на рисунке 11.
32
.
6 ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ И УЯЗВИМОСТЬ
В МОДЕЛЯХ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим неориентированный граф 𝐺 = (𝑁, 𝐸). Спрашивается, можно ли
превратить ребра в дуги так, чтобы полученный орграф был сильно связным? Понятно, что решение этой задачи находит приложение при организации коммуникаций, например, построении схем уличного движения.
Назовем множество полученных из ребер дуг ориентацией графа G. Ребро
(𝑢, 𝑣) называется мостом в связном графе 𝐺, если его удаление при сохранении
вершин 𝑢 и 𝑣 приводит к несвязному графу.
Теорема 6.1 (Роббинс). Граф 𝐺 имеет сильно связную ориентацию тогда и
только тогда, когда 𝐺 связан и не содержит мостов.
Доказательство см. в [4, с. 93-95].
Опишем конструктивную процедуру построения сильно связной ориентации в связном графе 𝐺 = (𝑁, 𝐸) без мостов. Возьмем некоторую вершину 𝑟 ∈ 𝑁,
пометим ее индексом 1 и возьмем корнем. Поскольку 𝐺 связан, то существует
вершина, связанная с 𝑟 ребром. Присвоим этой вершине индекс 2 и ориентируем
ребро (1, 2) как дугу от 1 и 2. Если имеется некоторая непронумерованная вершина, соединенная с вершиной 2 ребром, то пометим ее индексом 3 и ориентируем
ребро (2, 3) как дугу от 2 и 3. Если такой вершины нет, то возьмем любую другую
вершину, соединенную ребром с вершиной 1, пометим ее индексом 3 и проведем
дугу от 1 к 3. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все вершины не будут
пронумерованы, что дает так называемое остовное дерево (каркас) процедуры поиска глубины 1. Процесс получения сильно связной ориентации 𝐺 завершается
ориентацией всех оставшихся ребер от вершины 𝐺 с бо́ льшим номером к вершине
с меньшим номером ( пример см. на рисунке 13).
33
a
h
b
j
l
d
c
i
f
a[1]
Граф 𝐺
k
g
h[8]
b[2]
j[11]
l[5]
Остовное дерево
процедуры поиска
d[4]
c[3]
f[6]
a[1]
i[9]
k[10
]
h[8]
j[11]
g[7]
b[1]
l[5]
глубины 1 для графа 𝐺
Сильно связная
ориентация 𝐺
d[4]
c[3]
i[9]
f[6]
k[10
]
g[7]
Рисунок 13 – Процедура получения сильно связной ориентации связного графа
без мостов. Номера вершин показаны числами в квадратных скобках
Замечание 1 Процедура поиска глубины 1 обеспечивает эффективный алгоритм проверки связности графа (если граф связан, то процедура помечает все
вершины, иначе она останавливается раньше). Очевидное обобщение этой процедуры дает эффективный способ проверки сильной связности орграфа.
Замечание 2 Сильная связная ориентация, полученная в результате применения предположенной процедуры, может быть довольно «неэффективной» (см.
рисунок 14).
34
a
b
Рисунок 14 – Сильно связная ориентация, неэффективная с точки зрения
коммуникации между 𝑎 и 𝑏
Еще один аспект проблемы ориентации образует построение транзитивной
ориентации. Напомним, что орграф 𝐷 = (𝑁, 𝐴) транзитивен, если любая тройка
его вершин транзитивна, т.е. ∀𝑢, 𝑣, 𝑤 (𝑢 ≠ 𝑤) ∈ 𝑁
(𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴&(𝑣, 𝑢) ∈ 𝐴 ⇒ (𝑢, 𝑤) ∈ 𝐴.
Легко получить транзитивные ориентации циклов длины 3 и 4 (рисунок
15а, б). А вот цикл длины 5 не допускает транзитивной ориентации.
b
b
b
c
a
a
c
а
a
d
c
d
e
б
в
Рисунок 15
Действительно, без ограничения общности ориентируем ребро (𝑎, 𝑏) как дугу от 𝑎 и 𝑏. Поскольку ребра (𝑎, 𝑐) нет, то ребро (𝑏, 𝑐) может стать только дугой
(𝑐, 𝑏). Аналогично получаем дуги (𝑐, 𝑑) и (𝑒, 𝑑), но тогда последнее ребро (𝑎, 𝑒)
35
не удается ориентировать так, чтобы удовлетворялось определение транзитивности орграфа.
Рассуждая аналогично, можно показать, что все циклы нечетной длины более трех не являются транзитивно ориентируемыми, тогда как все остальные
транзитивно ориентируемы.
Заметим, что если некоторый граф транзитивно ориентируем, то любой его
порожденный подграф также должен быть транзитивно оринтируемым. Поэтому,
например, следующий граф
не является транзитивно ориентируемым.
Таким образом, получаем два способа доказательства отсутствия транзитивной ориентации графа 𝐺. Согласно первому, достаточно показать, что 𝐺 содержит в качестве порожденного подграфа известный транзитивно неориентируемый граф. Согласно второму, ориентируем произвольно некоторую дугу и затем
ориентируем другие в соответствии с предположением о транзитивности, пока не
получим противоречие. Иногда второй способ позволяет найти транзитивную
ориентацию.
Еще один очень интересный вопрос касается так называемой проблемы уязвимости, определяющий надежность коммуникаций в сложных системах.
Будем говорить, что связный орграф категории 𝑖 уязвим по дугам, если
найдется дуга, при удалении которой получается орграф с меньшей категорией
36
связности 𝑗. Такая дуга называется (𝑖, 𝑗) – дугой. Степень дуговой уязвимости орграфа определяется как минимальное число дуг, при удалении которых получается орграф с меньшей категорией связности.
𝛼
𝛼
𝛼
а
б
в
г
Рисунок 16
Орграфы на рисунке 16а-в имеют степень дуговой уязвимости, равную 1
(буквой 𝛼 отмечена дуга, которую достаточно удалить). Орграф на рисунке 17г
имеет степень дуговой уязвимости, равную 2.
Ясно, что чем выше степень дуговой уязвимости, тем надежнее система
коммуникаций, но это требует дополнительных дуг (затрат на повышение надежности).
Упражнение 6.1 Применить процедуру поиска глубины 1 для нахождения
сильно связных ориентаций графов, показанных на рисунке 17.
𝑎
𝑒
𝑏
𝑐
𝑓
𝑔
ℎ
𝑏
𝑎
𝑑
𝑖
𝑒
𝑑
𝑐
𝑓
𝑔
𝑖
𝑗
𝑘
𝑙
𝑚
𝑚
𝑗
𝑙
а
𝑘
б
37
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑐
𝑒
𝑑
𝑓
𝑙
𝑔
𝑙
𝑖
в
𝑒
𝑏
𝑔
𝑖
г
𝑐
𝑎
𝑓
𝑒
𝑑
𝑔
𝑎
𝑑
𝑒
𝑔
𝑏
𝑐
𝑓
𝑙
𝑙
𝑑
𝑓
д
е
Рисунок 17
Упражнение 6.2 Для транзитивно ориентированных графов на рисунке 17
построить транзитивную ориентацию, для остальных объяснить, почему она не
существует.
Упражнение 6.3 Для каждой пары (𝑖, 𝑗), 𝑖, 𝑗 = 0, 1, 2,3 привести пример орграфа с (𝑖, 𝑗)-дугой или доказать, что он не существует.
Упражнение 6.4 Вершина 𝑢 в орграфе 𝐷 = (𝑁, 𝐴) называется (𝑖, 𝑗)вершиной, если 𝐷 имеет категорию связности 𝑖, а порожденный множеством вершин 𝑁\{𝑛} орграф – категорию связности 𝑗. Для каждой пары (𝑖, 𝑗), 𝑖, 𝑗 = 0, 1, 2,3,
привести пример орграфа с (𝑖, 𝑗)-вершиной или доказать, что такого орграфа не
существует.
Упражнение 6.5 Привести пример сильно связного турнира, имеющего
(3, 3)-вершину. Может ли турнир иметь (3, 1)-вершину?
38
7 ИЗМЕРЕНИЕ ИЕРАРХИЧЕСКОГО СТАТУСА
СОТРУДНИКОВ ОРГАНИЗАЦИИ
Хорошо известно, что социальные организации имеют иерархическую
структуру. Их сотрудники неравноправны, и встает вопрос об измерении иерархического статуса – количественной оценки места сотрудника в иерархической
структуре.
Классический подход к решению этой задачи предложен американскими
математиками Дж. Кемени и Дж. Снеллом [3, 4]. Возьмем в качестве модели организационной структуры связный бесконтурный орграф 𝐷 = (𝑁, 𝐴), отображающий субординацию сотрудников, т.е. отношения руководства – подчинения
между ними. Наличие дуги (𝑢, 𝑣) означает, что сотрудник 𝑢 является непосредственным начальником сотрудника 𝑣, а сотрудник 𝑣 – непосредственным подчиненным 𝑢. Наличие пути длины более 1 от 𝑢 до 𝑣 говорит о том, что 𝑢 – вышестоящий начальник 𝑣. Уровень 𝑣 относительно 𝑢 определим как длину кратчайшего
пути от 𝑢 до 𝑣 (если 𝑣 недостижима из 𝑢, то уровень не определен).
Будем строить меру статуса вершины 𝑢 в орграфе 𝐷 как функцию
𝑡𝐷 : 𝑁 → 𝑍+ , сопоставляющую каждой вершине 𝑢 ∈ 𝑁 неотрицательное целое число 𝑡𝐷 (𝑢) – статус данной вершины (сотрудника организации со структурой 𝐷).
Для построения меры статуса применим аксиоматический подход: постулируем
свойства, которым должны удовлетворять функция 𝑡𝐷 .
Аксиома 7.1 Если вершина 𝑢 не имеет выходных дуг, то 𝑡𝐷 (𝑢) = 0.
Аксиома 7.2 Если орграф 𝐷′ получается из орграфа 𝐷 добавлением непосредственно достижимой из 𝑢 вершины без каких-либо других изменений, то
𝑡𝐷′ (𝑢) > 𝑡𝐷 (𝑢).
Аксиома 7.3 Если орграф 𝐷′ получается из орграфа 𝐷 так, что для вершины
𝑣, достижимой из 𝑢, уровень относительно 𝑢 увеличивается, и ни у какой другой
достижимой из 𝑢 вершены уровень относительно 𝑢 не уменьшается, то 𝑡𝐷′ (𝑢) >
𝑡𝐷 (𝑢).
39
Аксиомы 7.1-7.3 представляются естественными с точки зрения их организационной интерпретации. Аксиома 7.1 означает, что если сотрудник не имеет
подчиненных, то его мера статуса равна нулю (точнее говоря минимальна, а ноль
задает «масштаб» измерения статуса). Аксиома 7.2 утверждает, что если сотрудник 𝑢 получает дополнительного подчиненного, то статус 𝑢 увеличивается. Наконец, согласно аксиоме 7.3 статус сотрудника возрастает при его перемещении на
несколько уровней выше.
Рассмотрим функцию, определяемую формулой
ℎ𝐷 (𝑢) = ∑𝑘 𝑘𝑛𝑘 (𝑢),
(5)
где 𝑛𝑘 (𝑢) – число вершин на уровне 𝑘 ниже 𝑢. Справедлива
Теорема 7.1 (Кемени-Снелл) Мера статуса ℎ𝐷 , определяемая формулой (5)
обладает следующими свойствами:
а) удовлетворяет аксиомам 7.1-7.3 для всех бесконтурных орграфов 𝐷;
б) если 𝑡𝐷 – некоторая другая мера статуса, принимающая неотрицательные
целочисленные значения и удовлетворяющая аксиомам 7.1-7.3, то для любой
вершины 𝑢 имеем 𝑡𝐷 (𝑢) > ℎ𝐷 (𝑢).
Доказательство см. в [4, с.135-136].
Хотя аксиомы 7.1-7.3 кажутся вполне разумными, мера статуса ℎ𝐷 не свободна от недостатков. Представляется естественным требовать, что если 𝑢 → 𝑣, то
мера статуса 𝑢 должна быть больше меры статуса 𝑣. Однако на рисунке 18 приведен пример структуры, где ℎ(𝑢) = 6, ℎ(𝑣) = 8, хотя 𝑢 → 𝑣.
𝑢
𝑣
𝑐
𝑎
𝑑
𝑏
𝑒
Рисунок 18
40
Этого недостатка удается избежать, если видоизменить определение уровня
𝑣 относительно 𝑢. Если 𝑢 → 𝑣, то назовем уровнем 𝑣 относительно 𝑢 длину максимального пути от 𝑢 до 𝑣.
В смысле этого определения мера ℎ′𝐷 , определяемая формулой (5), удовлетворяет не только аксиомам 7.1-7.3, но и следующему условию: если 𝑢 → 𝑣, то
ℎ′𝐷 (𝑢) > ℎ′𝐷 (𝑣). В частности, легко проверить, что теперь на рисунке 18
ℎ′ (𝑢) = 14, ℎ′ (𝑣) = 8.
Однако основной недостаток меры Кемени-Снелла заключается в другом.
величина ℎ𝐷 (𝑢) для каждой вершины 𝑢 однозначно определяется орграфом 𝐷, т.е.
формальной структурой организации. Между тем из социологии организаций и из
личного опыта известно, что формальная организационная структура не определяет статус сотрудника полностью. Реальный статус зависит от целого ряда дополнительных признаков социальной дифференциации: экономического положения, образования, этнической принадлежности, участия в различных неформальных группах и т.д.
Поэтому представляется целесообразным модифицировать подход КемениСпелла следующим образом [6]. Сначала рассмотрим традиционный математический объект – всевозможные разбиения множества вершин орграфа 𝐷 = (𝑁, 𝐴)
вида 𝑁 = 𝐿1 ∪ 𝐿2 ∪ … ∪ 𝐿𝑚 , 𝐿𝑝 ∩ 𝐿𝑞 = ∅.
Как известно, в разбиении порядок составляющих его элементов не имеет
значения: {𝐿1 , 𝐿3 , 𝐿2 } и {𝐿2 , 𝐿1 , 𝐿3 } – это одно и то же разбиение.
Будем теперь считать разбиение упорядоченным, т.е. различать {𝐿1 , 𝐿3 , 𝐿2 },
{𝐿2 , 𝐿1 , 𝐿3 }, {𝐿1 , 𝐿2 , 𝐿3 } и т. д. Назовем упорядоченные разбиения расслоениями
множества вершин орграфа 𝐷 = (𝑁, 𝐴), моделирующего иерархическую структуру организации. Смысл этого усложнения заключается в следующем. Элементы
разбиения естественно трактовать как некоторые группы сотрудников организации. В социологии принято различать микрогруппы (формальные – подразделения организации, неформальные – например, объединение по интересам) и макро41
группы (множество сотрудников с одинаковым доходом – экономическая макрогруппа, множество приверженцев одной политической партии – политическая
макрогруппа, множество людей одной национальности – этническая макрогруппа
и т. д.). В модели разбиения эти группы равноправны.
Однако из той же социологии известно, что на самом деле такие группы
всегда иерархически упорядочены. Именно этот социологический результат находит отражение в модели с учетом расслоения множества сотрудников организации.
Далее, определим меру статуса формулой
𝐺𝐷𝑆 (𝑢) = ∑𝑚
𝑘=1(𝑘 − 𝑝) 𝑏𝑘 (𝑢),
(6)
где вершина 𝑢 принадлежит слою 𝐿𝑝 в рассмотрении 𝑆;
𝑏𝑘 (𝑢) – число вершин в слое 𝐿𝑘 , достижимых из 𝑢;
𝑚 – число слоев в расслоении 𝑆.
Назовем 𝐺𝐷𝑆 (𝑢) мерой статуса сотрудника 𝑢 в расслоении 𝑆 организации 𝐷.
Формула (6) учитывает не только место сотрудника 𝑢 в формальной организационной структуре 𝐷, но и его положение, определяемое расслоением 𝑆 в соответствии с некоторым признаком социальной стратификации.
Рассмотрим в качестве примера следующую простую организационную
структуру (рисунок 19).
1
3
2
Рисунок 19
Определим несколько расслоений на множестве вершин 𝑁 = {1, 2, 3} и вычислим меру статуса вершины 1 в этих расслоениях (мера статуса вершин без вы-
42
ходных дуг по формуле (6), как и в подходе Кемени-Снелла, всегда равна нулю).
Результаты показаны в таблице 2.
𝑺𝟏 = 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 , 𝑳𝟏 = {𝟏}, 𝑳𝟐 = {𝟐, 𝟑}
𝑆2 = 𝐿1 ∪ 𝐿2 , 𝐿1 = {1, 2}, 𝐿2 = {3}
𝑆3 = 𝐿1 = {1, 2, 3}
𝑆4 = 𝐿1 ∪ 𝐿2 , 𝐿1 = {2}, 𝐿2 = {1, 3}
𝑆5 = 𝐿1 ∪ 𝐿2 ∪ 𝐿3 , 𝐿1 = {3}, 𝐿2 = {2}, 𝐿1 = {1}.
Таблица 2
𝑆
𝑆1
𝑆2
𝑆3
𝑆4
𝑆5
𝐺 𝑆 (𝑢)
2
1
0
-1
-3
Упражнение 7.1 Вычислить меру статуса по формуле (5) для каждой вершины на рисунке 20, используя определение уровня через кратчайший и максимальный пути.
1
2
8
3
7
4
6
9
5
Рисунок 20
Упражнение 7.2 Пусть организация состоит из пяти сотрудников Построить ее структуру таким образом, чтобы мера статуса руководителя организации по
Кемеги-Снеллу была:
а) максимальной; б) минимальной.
Упражнение 7.3 Привести пример организации с 𝑛 сотрудниками, в которой меры статуса всех сотрудников по Кемени-Снеллy:
а) различны; б) одинаковы.
43
Упражнение 7.4 Дать интерпретацию результатам из таблицы 1.
Упражнение 7.5 Пусть в некотором расслоении 𝑆 все вершины, достижимые
из 𝑢, принадлежат тому же слою, что и 𝑢. Доказать, что в этом случае по формуле (6) 𝐺 𝑆 (𝑢) = 0.
Упражнение 7.6 Пусть 𝑆 = {𝐿1 , … , 𝐿𝑚 }, 𝑆′ = {𝐿𝑚 , … , 𝐿1 }. Доказать, что
𝐺 𝑆 (𝑢) = 𝐺 𝑆′ (𝑢) для любой вершины 𝑢.
ЛИТЕРАТУРА
1 Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и
коллективные решения. – М.: ГУВШЭ, 2006. – 298 с.
2 Бурков В.Н., Заложнев Д.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении
оргранизационными системами. – М.: Синтег, 2001.
3 Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые
приложения. – М.: Сов. Радио, 1972. – 192 с.
4 Робертс Ф. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам – М.: Мир, 1986. – 496 с.
5 Светлов В.А. Аналитика конфликта. – СПб., 2001.
6. Угольницкий Г.А. Модели социальной иерархии. – М.: Вузовская книга,
2000. – 88 с.
44