ноу впо «институт международных экономических связей

НОУ ВПО «ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Теория вероятностей и
математическая статистика
Наименование дисциплины
Рекомендуется для направления подготовки
080100.62 – «Экономика»
Квалификации (степени) выпускника – бакалавр экономики
Москва
2011
2
Аннотация
программы учебной дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика»
1. Цели и задачи дисциплины: ознакомление с основными понятиями теории
вероятностей и математической статистики, освоение основных приемов решения
практических задач по темам дисциплины, формирование теоретико-практической базы,
необходимой для изучения экономической статистики и других дисциплин. Дисциплина
«Теория вероятностей и математическая статистика» является основой для изучения
других математико-практических курсов, а также дает математический аппарат,
необходимый для изучения ряда экономических дисциплин.
2. Место дисциплины в структуре ООП: учебная дисциплина «Теория
вероятностей и математическая статистика» входит в базовую часть цикла общих
математических и естественнонаучных дисциплин. Входные знания и умения студентов
должны соответствовать курсу «Математический анализ». Дисциплина «Теория
вероятностей и математическая статистика» является предшествующей для следующих
дисциплин: «Статистика», «Институциональная экономика», «Теория организации»,
«Статистика ВЭД», «Методы оптимальных решений», «Методы моделирования и
прогнозирования экономики», «Математические модели и методы оптимального
управления», «Теория игр».
3. Требования к результатам освоения дисциплины: процесс изучения
дисциплины направлен на формирование общекультурных компетенций: ОК-4 и ОК-13, а
также профессиональных компетенций: ПК-1, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-8, ПК-9, ПК-13.
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основные определения, понятия и инструментарий изучаемых разделов теории
вероятностей и математической статистики.
Уметь: решать типовые задачи по тематике всех разделов изучаемой дисциплины,
применять полученный в результате изучения дисциплины инструментарий к решению
практических экономических задач, проводить обработку эмпирических и
экспериментальных данных.
Владеть: математическими, статистическими и количественными методами решения
типовых экономических и управленческих задач.
3
Объем, содержание, разделы, учебно-методическое и информационно-материальное
обеспечение дисциплины
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Семинары (практические занятия)
Самостоятельная работа (всего)
В том числе:
Самостоятельная работа
Выполнение домашних заданий
Вид промежуточной и итоговой аттестации
Общая трудоемкость:
в часах
в зачетных единицах
Всего часов/
зачетных
единиц
2
108/3
44/1,2
64/1,8
144/4
100/2,8
44/1,2
252
7
Семестры
3
4
3
56/1,6
22/0,6
34/0,95
76/2,1
52/1,45
22/0,6
зачет
132
3,7
4
52/1,4
22/0,6
30/0,85
68/1,9
48/1,35
22/0,6
экзамен
120
3,3
5. Содержание дисциплины
5.1. Содержание разделов (тем) дисциплины
№
Наименование раздела
Содержание раздела (темы)
п/п
(темы) дисциплины
1
2
3
1 Предмет,
сущность
и Предмет теории вероятностей и ее значение для
основные понятия теории экономической науки. Испытания и события.
вероятностей.
Случайные события и их виды. Пространство
элементарных событий. Алгебра событий.
Основные формулы и правила комбинаторики.
Относительная частота события и понятие
статистической
вероятности.
Классическое
определение
вероятности.
Понятие
об
аксиоматическом
определении
вероятности
случайного события.
2 Основные теоремы теории Теорема сложения вероятностей несовместных
вероятностей и их след- событий и ее следствия. Условная вероятность
ствия.
события. Зависимые и независимые события.
Теорема умножения вероятностей. Теорема
сложения вероятностей совместных событий.
Формула полной вероятности. Вероятности
гипотез и формулы Байеса.
4
1
3
2
Повторение испытаний.
4
Случайные величины.
5
Модели законов распределения, применяемые в социально-экономических
исследованиях.
6
Предельные теоремы теории
вероятностей. Закон больших чисел.
7
Системы двух случайных
величин.
8
Цепи Маркова и их применение.
3
Понятие о схеме Бернулли. Формула Бернулли.
Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона.
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность
отклонения относительной частоты от постоянной
вероятности в независимых испытаниях.
Понятие случайной величины. Основные виды
случайных величин. Дискретные случайные
величины (ДСВ). Понятие о законе распределения
ДСВ и формах его представления: табличной,
аналитической и графической. Биномиальное
распределение.
Распределение
Пуассона.
Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение. Понятие о числовых
характеристиках ДСВ. Математическое ожидание
ДСВ и его основные свойства. Дисперсия ДСВ и
ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Начальные и центральные моменты ДСВ. Понятие
о функции распределения ДСВ. Непрерывные
случайные
величины
(НСВ).
Функция
распределения НСВ и ее основные свойства.
Плотность распределения вероятностей НСВ и ее
основные свойства. Числовые характеристики
НСВ и их отыскание.
Равномерное
распределение.
Показательное
(экспоненциальное) распределение. Нормальное
распределение.
Оценка
отклонения
теоретического распределения от нормального:
асимметрия и эксцесс. Понятие о моде и медиане
распределения.
Понятие о законе больших чисел. Неравенство
Чебышева. Теорема Чебышева и ее практическая
значимость. Теорема Бернулли. Понятие о
центральной предельной теореме (теорема
Ляпунова).
Понятие
двумерной
случайной
величины.
Условные законы распределения составляющих
системы двух случайных величин. Числовые
характеристики системы двух случайных величин.
Условное математическое ожидание. Зависимые и
независимые случайные величины. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
Линейная регрессия.
Простейший поток событий и его основные
свойства. Формула Пуассона как математическая
модель простейшего потока событий. Понятие о
марковском случайном процессе с дискретными
состояниями. Размеченный граф состояний
системы. Матрица вероятностей перехода.
Марковский процесс с дискретным временем.
Марковская цепь и равенство Маркова.
5
1
2
9
Задачи
математической
статистики.
Выборочный
метод.
10
Статистические
оценки
параметров распределения.
11
Методы расчета сводных
характеристик выборки.
3
Марковские случайные процессы с непрерывным
временем.
Дифференциальные
уравнения
Колмогорова для вероятностей состояний системы
в любой момент времени: составление и
принципы
решения
системы
уравнений
Колмогорова.
Основные задачи, решаемые математической
статистикой как наукой. Понятия генеральной и
выборочной
совокупностей.
Повторная
и
бесповторная
выборки.
Репрезентативность
выборки и способы отбора, ее обеспечивающие.
Вариационный ряд. Интервальный вариационный
ряд. Графическое представление вариационного
ряда: полигон и гистограмма. Выборочная
(эмпирическая) функция распределения.
Понятие статистической оценки. Несмещенные,
эффективные и состоятельные оценки. Понятие
точечной оценки. Генеральная и выборочная
средние. Оценка генеральной средней по
выборочной средней. Генеральная и выборочная
дисперсии. Оценка генеральной дисперсии по
исправленной выборочной дисперсии. Виды
дисперсий. Закон сложения дисперсий. Понятие
интервальной оценки: доверительный интервал и
доверительная
вероятность.
Доверительный
интервал для оценки математического ожидания
нормального распределения. Начальный и
центральный эмпирические моменты. Метод
моментов для точечной оценки параметров
распределения.
Метод
наибольшего
правдоподобия. Понятие числа степеней свободы.
Основные законы распределения статистических
оценок: «хи-квадрат», Стьюдента и ФишераСнедекора. Другие характеристики вариационного
ряда.
Условные варианты. Условные эмпирические
моменты. Отыскание центральных моментов по
условным. Метод произведений для вычисления
выборочной средней и выборочной дисперсии.
Сведение
первоначальных
частот
к
равноотстоящим. Эмпирические (выборочные) и
теоретические частоты. Построение нормальной
кривой по опытным (выборочным) данным.
Оценка отклонения эмпирического распределения
от нормального. Асимметрия и эксцесс.
6
1
12
13
14
2
3
Элементы корреляционно- Понятие о корреляционно-регрессионном анализе.
регрессионного анализа.
Функциональная,
стохастическая
и
корреляционная
зависимости.
Выборочные
уравнения регрессии. Отыскание параметров
выборочного уравнения линейной регрессии по не
сгруппированным
данным.
Корреляционная
таблица и группировка исходных данных.
Отыскание параметров выборочного уравнения
линейной регрессии по сгруппированным данным.
Выборочный коэффициент корреляции, его
назначение и основные свойства. Выборочное
корреляционное отношение и его основные
свойства. Простейшие случаи криволинейной
корреляции. Множественная линейная регрессия.
Частные и множественные коэффициенты
корреляции.
Проверка
статистических Понятие статистической гипотезы. Ошибки
гипотез.
первого и второго рода и уровень значимости.
Статистический критерий проверки нулевой
гипотезы.
Область
принятия
гипотезы.
Критические области и их отыскание. Мощность
критерия. Сравнение двух дисперсий нормальных
генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о
распределении
генеральной
совокупности.
Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона.
Критерий согласия Колмогорова. Проверка
гипотезы
о
значимости
выборочного
коэффициента корреляции. Сравнение двух
средних нормальных генеральных совокупностей,
дисперсии которых неизвестны и одинаковы
(малые независимые выборки).
Элементы дисперсионного Понятие о дисперсионном анализе. Факторная и
анализа.
остаточная дисперсии и их отыскание. Задача
сравнения
нескольких
средних
методом
дисперсионного анализа. Особенности расчета
факторной и остаточной дисперсий при
неодинаковом числе испытаний на различных
уровнях фактора.
7
5.2. Разделы (темы) дисциплины и междисциплинарные
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
связи
с
Наименование
последующих
дисциплин
Статистика
Математические
модели и методы
оптимального
управления
Методы
моделирования и
прогнозирования
экономики
Институциональная
экономика
Теория
организации
Статистика ВЭД
Номера тем данной дисциплины, необходимых для
изучения последующих дисциплин
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
- +
+
+
+ + + + +
- + + + +
+ +
+
+ +
-
Методы
оптимальных
решений
Теория игр
Эконометрика
-
+
+
+
+
-
+
+
-
+
-
+
+
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
+
+
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
+
+
-
-
+
-
+
-
-
+
-
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
-
+
+
-
+
-
+
+
-
-
+
-
-
+
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
5.3. Разделы (темы) дисциплины и виды занятий
№
Наименование раздела (темы)
п/п
дисциплины
1
2
1 Предмет, сущность и основные
понятия теории вероятностей
2 Основные теоремы теории
вероятностей и их следствия
3 Повторение испытаний
4 Случайные величины
5 Модели законов распределения,
применяемые в социальноэкономических исследованиях
6 Предельные теоремы теории
вероятностей. Закон больших
чисел
7 Системы двух случайных
величин
8 Цепи Маркова и их применение
9 Задачи математической
статистики. Выборочный метод
10 Статистические оценки
параметров распределения
Часовой объем занятий по видам
Лекции Семинары
СРС
Всего
3
4
5
6
2
2
6
10
8
10
24
42
2
2
2
4
4
4
6
8
14
12
14
20
2
2
4
8
2
4
8
14
2
2
4
-
6
2
12
4
4
6
12
22
8
1
11
12
13
14
2
Методы расчета сводных
характеристик выборки
Элементы корреляционнорегрессионного анализа
Проверка статистических гипотез
Элементы дисперсионного
анализа
ИТОГО:
3
4
4
8
5
14
6
26
4
6
14
24
4
4
6
4
14
12
24
20
44
64
144
252
6. Лабораторный практикум
№
п/п
…
№ раздела
дисциплины
Наименование лабораторных
работ
Трудоемкость
(часы/зачетные единицы)
не предусмотрен
7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
не предусмотрена
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) Основная литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая
школа, 2003.
2. Налимов В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов.
– М.: Весть, 2007.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М.: Высшая школа, 1998.
4. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник. – М.: Дело, 2000.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической
статистике и случайным процессам. – М.: Айрис-пресс, 2006.
б) Дополнительная литература
1. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.:
Высшая школа, 2001.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2002.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИДАНА, 2003.
4. Бабайцев В.А., Браилов А.В., Солодовников А.С. Математика в экономике. Часть 5.
Руководство к решению задач. Теория вероятностей. – М.: Финансовая академия
при Правительстве РФ, 1999.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
Специально оборудованные кабинеты и аудитории: компьютерные классы,
аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения.
9
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
Учебные занятия по дисциплине «Теория вероятностей и математическая
статистика» проводятся в течение третьего и четвертого семестров обучения. Контроль
знаний и умений студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий
контроль осуществляется в виде домашних заданий и контрольных работ. Контрольные
работы могут проводиться как в тестовой, так и в письменной форме. Первая контрольная
работа проводится по окончании изучения темы 4, а вторая – по окончании изучения темы
13 дисциплины. Домашние задания по изучаемым темам должны быть сданы до
проведения контрольных работ. Итоговый контроль осуществляется в виде зачетной
контрольной работы в конце третьего семестра и письменного экзамена в конце
четвертого семестра. Зачетная контрольная работа и письменный экзамен включают в
себя 10 заданий. Полный ответ (решение) каждого из 10 заданий приносит студенту одно
очко. В случае неполного решения оценка может принимать значения между нулем и
единицей. Например, арифметическая ошибка, не изменившая верного плана решения
задания, приводит к штрафу 0,1. Отсутствие поясняющих примеров при ответе на
теоретический вопрос приводит к штрафу 0,2 и т.д.
В зависимости от набранной суммы очков определяется оценка за экзамен по
десятибалльной шкале. При этом используются следующие пороговые значения.
Сумма набранных очков
Оценка по 10-балльной шкале
0
1
1,5
2
3
3
4,5
4
5,5 6,5 7,5 8,5
5
6
7
8
9
9,5
9
10
Итоговая оценка по изучаемой дисциплине Оитог по 10-балльной шкале
формируется как взвешенная сумма Оитог = 0,1×Окр + 0,1×Одз + 0,3×Озач + 0,5×Оэкз ,
округленная до целого числа баллов. Где: Окр , Одз , Озач , Оэкз обозначают оценки по 10балльной шкале за контрольную работу, домашние задания, зачет и экзамен,
соответственно.
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системе.
По десятибалльной шкале
1 – неудовлетворительно
2 – очень плохо
3 – плохо
4 – удовлетворительно
5 – весьма удовлетворительно
6 – хорошо
7 – очень хорошо
8 – почти отлично
9 – отлично
10 – блестяще
По пятибалльной шкале
неудовлетворительно – 2
удовлетворительно – 3
хорошо – 4
отлично – 5
10
Типовые примеры заданий контрольных работ и экзамена
1. Тест 1. Требуется дать ответ «да» или «нет».
Пусть А и В – случайные события, имеющие ненулевые вероятности.
Верным является следующее утверждение:
 если Р(В) = Р(А∙В), то Р(А + В) = Р(А).
 если Р(А) < Р(В), то Р(А / В) > Р(В / А).
 если события А и В несовместны, то они независимы.
2. Тест 2. Выберите правильный ответ.
Производится серия независимых испытаний, в каждом из которых с
вероятностью 1/3 может появиться событие А. Тогда вероятность того,
что при четырех испытаниях событие А появится ровно 3 раза,
принадлежит промежутку:
 [−2, 1/10);
 [1/10, 1/2);
 [1/2, 2/3);
 [2/3, 1].
3. Тест 3. Требуется дать ответ «да» или «нет».
Закон распределения двумерной дискретной случайной величины
(X, Y) задан таблицей:
X
0
1
0,12
0,18
0,28
0,42
Y
−1
1
Тогда верны следующие утверждения:
 случайные величины X и Y независимы;
 rXY  0;
 D(X − 2Y) = D(X) + 4D(Y);
 M(Y) < 0.
4. Тест 4. Требуется выбрать правильный ответ.
Пусть X – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием M(X) = 3 и дисперсией D(X) = 0,25. Пусть также Ф(х) –
интегральная функция Лапласа. Тогда вероятность попадания значения Х в
интервал (0, 4) определяется формулой:
11




Ф(2) + Ф(6);
Ф(2) − Ф(6);
Ф(6) − Ф(2);
Ф(4).
5. Задание 1. В урне содержатся 3 белых, 4 черных и x красных шаров.
Найдите вероятность случайным образом вытащить из урны красный
шар, если известно, что вероятность вытащить белый шар равна 0,2.
6. Задание 2. Найдите значение выражения 3   ( X ) , если функция
распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
1

0, если x   2 ;

1
 2x 1
F ( x)  
, если   x  1;
2
 3
1, если x  1.


7. Задание 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом
n = 100. Результаты первичной обработки данных выборки
представлены в таблице в виде интервального ряда.
Интервал
[−15,4; −11,8)
[−11,8; −8,1)
[−8,1; −4,5)
[−4,5; −0,8)
[−0,8; 2,8)
Частота
1
0
2
6
19
Интервал
[2,8; 6,4)
[6,4; 10,1)
[10,1; 13,7)
[13,7; 17,4)
[17,4; 21,0]
Частота
20
17
17
13
4
Используя приведенные данные:
1. Постройте гистограмму распределения и график выборочной функции
распределения.
2. Методом произведений найдите выборочные оценки генеральной
средней и генеральной дисперсии.
3. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости α = 0,05
проверьте гипотезу о нормальном распределении признака в
генеральной совокупности.
4. Считая распределение признака в генеральной совокупности
нормальным с СКО σ0 = 6:
 постройте доверительный интервал для генеральной средней при
доверительной вероятности α = 0,05;
 проверьте при уровне значимости α = 0,05 гипотезу о равенстве
генеральной средней значению а = 5.
12
Настоящую Программу разработал: заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин НОУ ВПО «ИМЭС» к.ф.-м.н.,
доцент Налимов Валерий Николаевич.
Программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры математических и естественнонаучных дисциплин НОУ ВПО «ИМЭС»
(Протокол № 4 от 14 апреля 2011 года).
Программа утверждена на заседании Ученого Совета НОУ ВПО
«ИМЭС» (Протокол № 9 от 28 апреля 2011 года).