ФМЛ № 1511, 10 “ ... ВАРИАНТ № 11 ВАРИАНТ № 12

ФМЛ № 1511, 10 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 10 “
ВАРИАНТ № 11
“ кл.
ВАРИАНТ № 12
1. Упростите выражение
6ab  2b 2  a 2 
a
2b  a
 2a  3b
 

 2
 2
 b 
 2
2
2
2  
2a  b
 a  9b a  4ab  3b a  2ab  3b  

и найдите его значение при а = 1 + i35, b = 2i + 1.
1. Упростите выражение
2ab  2b 2  3a 2 
3a
ba
 2a  8b
 

 2
 2
 2
   а 
2
2
2
4a  5b
 a  4b a  ab  2b a  3ab  2b  

и найдите его значение при а = 1 + i, b = 1 – 3i29.
2. Решите уравнение 3х4 + 11х3 + 21х2 +28х + 12 = 0 и найдите
сумму квадратов его комплексных корней.
2. Решите уравнение 2х4 + 7х3 + 6х2 +18х + 27 = 0 и найдите
сумму модулей его комплексных корней.
3. 3. Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих
уравнению 7х – 33у = 39. Для какой из этих пар х + 2у будет
наибольшим
возможным
положительным
трехзначным
3. Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих
уравнению 71х – 13у = – 28. Для какой из этих пар 3х – у
будет
наименьшим
возможным
отрицательным
трехзначным числом?
числом?
4. Постройте графики зависимостей
а) у 
2х  3
;
х  2  х 1  5
б) у  х 2  2 х  4 х.
5. х1, х2 – корни уравнения х2 – ах – 1 = 0, у1, у2, у3 – корни
уравнения у3 –(а2 – 2)у2 + ау + а = 0. При каких значениях
х2 х2
параметра а верно равенство 1  2  у1у2(у1 + у2) +
х 2 х1
у2у3(у2 + у3) + у3у1(у3 + у1)?
______________________________________________________
_
4. Постройте графики зависимостей
а) у 
2х  х  1  1
х3  х
;
б) у  2 х  х 2  4.
5. х1, х2 – корни уравнения х2 – ах + 1 = 0, у1, у2, у3 – корни
уравнения 2у3 – а3у2 + 2(а + 1)у – 2 = 0. При каких
х
х 
значениях параметра а верно равенство 2 12  22  
 х 2 х1 
у32  1
у12  1 у22  1

+
?
у12
у22
у 32
______________________________________________________
ПКР1, 10 кл., АВИ 2004
ПКР1, 10 кл., АВИ 2004
ФМЛ № 1511, 10 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 10 “
ВАРИАНТ № 23
1. Решите неравенство
 x  3
ВАРИАНТ № 24
2
1
1


 2
 2
0.
x  2  x  3x  2 2 x  3x  2 
2. Саша должен приехать на вокзал, находящийся от него на
расстоянии 72 км, к отправлению поезда. Выехав на скутере с
постоянной скоростью, после двух часов пути он сделал
остановку на 20 минут и, чтобы ликвидировать задержку,
оставшийся путь проезжал со скоростью большей прежней на
12 км/ч. Какова была первоначальная скорость Саши?
3. Постройте график уравнения
xy
 1  3 x  x 2 .
x
“ кл.
1. Решите неравенство
 x  5
2
1
2


 2
 2
  0.
x  2  x  3x  2 3x  4 x  4 
2. Катер прошел по течению реки 68 км и 78 км против течения,
затратив на это столько времени, сколько ему нужно, чтобы
пройти 150 км по озеру. Найдите отношение собственной
скорости катера к скорости течения.
yx
3. Постройте график уравнения
x
 2  x2  5 x .
4. Решите уравнение 2  x 4  9   x  3x 2  7 x  9  .
4. Решите уравнение  x 2  2 x  3  3  x 2  3x  4  ( x  3)  4( x  4) 2 .
5. Найдите все действительные корни уравнения
5. Найдите все действительные корни уравнения
3
x  6  3 8  x  2 3 48  2 x  x2  4 .
6. При каких значениях параметра а все решения неравенства
(а + 2)х2 – 2ах + а – 1 < 0 являются решениями неравенства
x  2  2x  1.
ПКР2, 10 кл., АВИ 2008
2
3
x  1  1  3 x  15  3 x2  16 x  15 .
6. При каких значениях параметра а все решения неравенства
(а + 1)х2 + (2а – 3)х + а – 2 > 0 не являются решениями
неравенства 2 2 x  3  x  9 .
ПКР2, 10 кл., АВИ 2008
ФМЛ № 1511, 10 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 10 “
“ кл.
ВАРИАНТ № 31
1. Упростите выражение
2sin3x  cosx  sin 2 x
 x 
1  2sin 2    
  9


 4 2
2  sin 
 3 x   cos  540  x  

  2

2. К 8 кг сплава, содержащего 30 % золота, добавили кусок
другого сплава, содержащего 2 кг чистого золота. После
переплавки получили новый сплав, содержащий 40 % золота.
Каков вес добавленного сплава?

 3
 12  
3. 3. Вычислите cos  2arctg     arccos      arccos  sin11 .
 4
 13  

4. Постройте график функции y  cosx  1  sin 2 x .
5. Решите неравенство
2 sinx  15
 2.
2 sinx  1
ВАРИАНТ № 32
1. Упростите выражение
1  cos2x  1  2sin2 x 
 x 
1  2cos    
 2 2  sin  9 + 3x   cos 900 + x




 2

2
2. К 15 л раствора, содержащего 60 % серной кислоты, добавили
другого раствора, содержащего 4 л серной кислоты. В
результате получили раствор, содержащий 20 % серной
кислоты. Каково процентное содержание кислоты в
добавленном растворе?

1
 5 
3. Вычислите sin  arctg  2   arccos      arcsin  sin10  .
2
 13  

4. Постройте график функции y  sinx  1  sin 2 x .
5. Решите неравенство
cosx  3
 2 .
cosx
ctgx  tgx cos16 x

.
2cos 2 x
sin 2 x


6. Решите уравнение (tgx  ctgx) sin 4 x  4 2 sin  x   .
4

6. Решите уравнение
ПКР3, 10 кл., АВИ 2011
ПКР3, 10 кл., АВИ 2011
ФМЛ № 1511, 10 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 10 “
“ кл.
ВАРИАНТ № 43
ВАРИАНТ № 44
1. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный
1. В основании пирамиды SABCD лежит равнобокая трапеция
треугольник ABC, у которого  А = 60°,  С = 90°, АС = b.
ABCD, в которой боковые стороны AВ = DС = a,  А = α.
Вершина пирамиды проектируется на сторону СВ, а
Вершина пирамиды равноудалена от всех сторон основания
плоскости CAS и SAB образуют с основанием угол
на расстояние 2а. Найдите:
величины β. Найдите: 1) площадь основания пирамиды;
пирамиды; 2) высоту пирамиды; 3) площадь боковой
2) высоту пирамиды; 3) площадь боковой поверхности
поверхности пирамиды; 4) угол наклона боковых ребер к
пирамиды; 4) угол наклона боковых ребер к плоскости
плоскости основания пирамиды.
1) площадь
основания
основания пирамиды.
2. В
прямоугольном
ABCDA1B1C1D1
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 6,
AB = 6, AA1 = 4, BC = 6. На продолжении ребра C1D1
AA1 = 4, BC = 6. На продолжении ребра C1D1 выбрана точка
выбрана точка T так, что D1T : C1T = 4 : 1. Точки P и K
T так, что D1T : C1T = 4 : 1. Точки М и R выбраны на ребрах
выбраны на ребрах DD1 и AA1 соответственно, причем
DD1 и АВ соответственно, причем MD1 : DD1 = 3 : 4, ВА : ВR
DP : DD1 = 1 : 2, A1K : KА = 3 : 1. Через точки T, P и K
= 2 : 1. Через точки M, R и T проведена секущая плоскость.
проведена
и
Постройте сечение и найдите: 1) площадь сечения; 2) угол
найдите: 1) площадь сечения; 2) угол между секущей
между секущей плоскостью и плоскостью АВС; 3) угол
плоскостью и плоскостью АВС; 3) угол между прямыми TA1
между прямыми DB1 и RA1; 4) угол между прямой ТA и
и D1B; 4) угол между прямой PB1
плоскостью CBB1.
секущая
параллелепипеде
плоскость.
Постройте
сечение
и плоскостью DAB.
____________________________________________________
ПКР4, 10 кл., АВИ 2013
___________________________________________________
ПКР4, 10 кл., АВИ 2013
ФМЛ № 1511, 10 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 10 “
“ кл.
ВАРИАНТ № 51
ВАРИАНТ № 52
1. Докажите, что для всех натуральных n верно, что
1. Докажите, что для всех натуральных n верно, что
n  n  1
12
22
n2

 ... 

.
1 3 3  5
 2n  1   2n  1 2  2n  1
f1 + f2 + ... + fn = fn+2 – 1, где f n – числа Фибоначчи,
определяемые по правилу: f1  f 2  1 , f n2  f n1  f n .
2. Вычислите:
а) lim
n 
 9  13n  
2. Вычислите:
5n  1  5n  3
9n  1  4
;
3cos 3 x  2cosx  1
.
x 0
2 sin 2 3x
б) lim
3. Найдите
уравнение
касательной
к
графику
2
функции f  x   x  x  2 , если известно, что расстояние
от точки касания до точки А(3; 0) наименьшее.
5.
4. Исследуйте функцию f  x  
3
 x  2
x3
2
и постройте ее
а) lim
n
3.
1  5n  
n  1511  n  217
 ; б) lim
x 0
316n  202n
3
sin3x  3sin 2 x
.
2  4 x  2  3x
Найдите уравнение касательной к графику функции
f  x   x 2  2 x  7 , если известно, что площадь треугольника,
ограниченного этой касательной и осями координат
наименьшая.
4. Исследуйте функцию f  x  
3
x2
 x  3
2
и постройте ее график.
график.
5. Найдите производную и критические точки функции
f  x   4sin3x  3cos3x  3ax  2a 2  3a  35 .
ПКР5, 10 кл., АВИ 2011
5. Найдите производную и критические точки функции


f  x   cos 2 x  12a  cos  x    2 1  4a 2  x .
4

ПКР5, 10 кл., АВИ 2011
Департамент образования города Москвы
Департамент образования города Москвы
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Государственное бюджетное образовательное учреждение
лицей № 1511 при НИЯУ МИФИ
лицей № 1511 при НИЯУ МИФИ
ВАРИАНТ № 61
1.
Решите неравенство
2x 1
x
1 .


x  x  2 2x  1 4x  2
2
2. Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля,
а второй – 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем
первого, чтобы получить 200 тонн стали с содержанием никеля 25%?
3.
Решите уравнение
4
 x 3  3x  2
5x  1
2
1. Решите неравенство
2.
и постройте ее график.
2 x 2  20 x  100 x  10

x 2  3x  2
x5
3 
 5


.
 x  5 x 1 
Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго
слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка.
Процентное содержание меди в первом слитке 10%, во
втором – 40%. После того как эти слитки сплавили,
получился слиток, процентное содержание меди в котором
30%. Определите массу полученного слитка.
3. Решите уравнение
12  x  4 70  x  4 .
4. Исследуйте функцию f  x  
ВАРИАНТ № 62
4
15  x  4 2  x  3 .
3
2
4. Исследуйте функцию f  x   x  5x  72x  3 и постройте ее
 5x  6
график.
5.5. Найдите
все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
 5
 a  2 sinx  cos2 x  6a2  11a  2  0 имеет на отрезке   ;  не более
 6 6 
одного решения.
____________________________________________________________
ЭКР, 10 кл., АВИ 2013
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение cos2 x  2(a  1)cos x  14a  12a 2  3  0 имеет на
  
отрезке   ;   не менее двух различных решений.
 3 
_____________________________________________________
ЭКР, 10 кл., АВИ 2013
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 11 “
ВАРИАНТ № 71
log3 8  
log8 9
1. Вычислите
0 ,5 log
2.
Найдите

решения
3
ВАРИАНТ № 72
log
log sin x cos x   3 sin x  cos 2 x   0
  3 
12 ; 2 
принадлежащие промежутку
.
3. Решите неравенство
4.
f  x   log arctgx

касательной к графику
5.
log x  6
x3 4
x 1
2x  7  2x2
f  x
.

1
log x 7
3. Решите неравенство
.
Найдите
а)
f  x
; б)
уравнение

3
.
7 x  1 1
уравнение касательной к графику
абсциссой 1.


  log 1  6  x   log3  x  2  
 3
.
y  log 2 x  x2

6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение e  2a  ax не
ПКР7, 11 кл, АВИ 2011
f  x   log arcctgx 
4.
x3
1
x  4 1
.
Найдите а)
f  x
f  x
; б)
, проведенной в точке с
5. Постройте график функции
1
x
имеет решений.
1


log sin x  2 cos x   cos 2 x  sin 2 x  1  0
2


,
13

 12 ; 2 
принадлежащие промежутку
.
, проведенной в точке с абсциссой 1.
x4
 x
2
2. Найдите решения уравнения
,
Постройте график функции
y  log 12 4 x  x2
256
log 22 18   
 log 22 3  3 log 2 162
4 log 2 18  8 log 2 3
1. Вычислите
.
log3 24

log 72 7  log 49 81 .
уравнения
“ кл.

x 
  log 2  2  x   log 1  x  1 
 x 1 
2

.
6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
e

2
x
 4a  ax имеет ровно два различных решения.
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ВАРИАНТ № 83
1. В основании призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольная
трапеция ABCD, у которой A  B  90  , АВ = а, острый
угол ADC равен β. Вершина A1 проектируется в точку С.
Грани АА1D1D и AA1B1B наклонены к плоскости основания
под углом γ. Найдите: 1) объем призмы; 2) величину угла
между боковым ребром призмы и плоскостью основания
призмы.
ВАРИАНТ № 84
1. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольная
трапеция ABCD, у которой A  B  90  , АD = а, острый
угол ADC равен β. Вершина S проектируется в точку A,
ребра SC и SD наклонены к плоскости основания под
углом γ. Найдите: 1) объем пирамиды; 2) угол наклона
плоскости SCD к плоскости основания пирамиды.
2. В основании параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит
параллелограмм ABCD. Точки М и К лежат на ребрах АА1 и
DD1, соответственно, причем A1M : MA = 1 : 2, DD1 : D1K =
3 : 2. O – пересечение диагоналей ABCD. Найдите, в каком
отношении разделится плоскостью МКО
2. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм
ABCD. Точки М и Р лежат на ребрах SA и SB,
соответственно, причем SM : SA = 2 : 5, SP : PB = 2 : 3.
Точка Т – середина отрезка SO, где точка О – пересечение
диагоналей ABCD. Найдите, в каком отношении плоскость
МТР разделит
1) ребро DC;
2) площадь грани ABCD;
3) объем параллелепипеда.
1) ребро SС;
2) площадь грани SAD;
3) объем пирамиды.
3. Все ребра правильной треугольной пирамиды SKPN равны
a. Ребро AB куба ABCDA1B1C1D1 (AA1 || BB1 || CC1 || DD1)
принадлежит прямой SK, ребро CC1 – прямой PN. Найдите:
1) объем куба; 2) угол между прямой AD и плоскостью
PKN.
____________________________________________________
3. Все ребра правильной треугольной призмы TNMT1N1M1
(TT1 || NN1 || MM1) равны a. Ребро SA правильной
треугольной пирамиды SABC, у которой все ребра равны,
принадлежит прямой NN1, ребро BC – прямой TM.
Найдите: 1) объем пирамиды SABC; 2) угол между прямой
SB и плоскостью TNM.
___________________________________________________
ПКР8, 11 кл., АВИ 2009
ПКР8, 11 кл., АВИ 2009
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 11 “
ВАРИАНТ № 91
1. Вычислите интегралы
3
а)

0
4
dx
; б)
2x 1
x3  8 x  3
 x 2  3x  4dx ; в)
e
 x  lnxdx .
1
“ кл.
ВАРИАНТ № 92
1. Вычислите интегралы
0
x3  4 x
dx
а) 
;
б)
2
 x 2  5x  6dx ; в)
 sin 2 x

  x  2  cos3xdx .
0
12
2. Найдите объем тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной на координатной плоскости ХОУ графиком
функции f  x   4 x  x3 , касательной к этому графику,
проведенную в точке графика с абсциссой х0 = 1 и прямыми
х = 0 и х = 2.
2. Найдите объем тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной на координатной плоскости ХОУ графиком
функции f  x   x  3 , касательной к этому графику,
проведенную в точке графика с абсциссой х0 = 1 и прямыми
х = -3 и х = 2.
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной на координатной
плоскости ХОУ графиками функций f  x   2 sin x и
3. Найдите площадь фигуры, заданной
плоскости
ХОУ
неравенствами
g  x   2 cos
x
на отрезке
2
  
  2 ; 2  .
на координатной
и
y  2 x  2 1
y   x  2  2 .
2
4. Найдите все первообразные для f(x) = x2 + x – 2, график
которых имеет общие точки с четырехугольником АВСD, где
А(-3; 2), В(0; 2), С(0; -1), D(-3; -1).
4. Найдите все первообразные для f(x) = 2x – 1, график которых
имеет общие точки с треугольником АВС, где А(2; -2), В(-1; 2), С(-1; 1).
5. При всех значениях параметра а определите количество решений
a
уравнения ln 2 x 
.
x
5. При всех значениях параметра а определите количество
x
решений уравнения ln3 x  .
a
_______________________________________________________
_____________________________________________________
ПКР9, 11 кл., АВИ 2013
ПКР9, 11 кл., АВИ 2013
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ВАРИАНТ № 101
ВАРИАНТ № 102
1. В прямоугольном треугольнике АВС, катеты которого АС = а,
a
СВ =
, проведена биссектриса ВК. Найдите площадь
3
поверхности и объём тела вращения треугольника АВС
вокруг прямой, параллельной ВК и проходящей через точку
С.
1. В параллелограмме АВСD диагональ АС образует со
смежными сторонами параллелограмма углы 45º и 30º, а
расстояние от вершины В до нее равно d. В плоскости
параллелограмма АВСD через вершину С проведена прямая
l, перпендикулярная этой диагонали. Найдите площадь
поверхности и объём тела вращения АВСD вокруг прямой l.
2. Шар касается одного из оснований цилиндра в его центре, а
поверхность шара содержит окружность второго основания.
Радиус шара R, отношение высоты цилиндра к радиусу его
основания равно
2  1. Найдите: а) площадь полной
поверхности цилиндра; б) площадь поверхности шара,
лежащей вне цилиндра; в) объём общей части цилиндра и
шара.
2. Шар касается основания конуса в его центре, а поверхность
шара содержит вершину конуса. Высота конуса H. Радиус
основания конуса относится к радиусу шара как 2 : 3 .
Найдите: а) площадь полной поверхности конуса; б)
площадь поверхности шара, лежащей вне конуса; в) объём
общей части конуса и шара.
3. На сфере радиуса 2 выбраны три точки, являющиеся
вершинами равностороннего треугольника со стороной 3. В
этих точках сферы изнутри касаются три одинаковые сферы
радиуса 1. Найдите радиус сферы, которая касается всех
четырех сфер.
3. На сфере радиуса 6 выбраны четыре точки, являющиеся
вершинами квадрата со стороной 3 6 . В этих точках
сферы изнутри касаются четыре одинаковые сферы
радиуса 1. Найдите радиус сферы, которая касается всех
пяти сфер.
________________________________________________________
_____________________________________________________
________________________________________________________________________________
ПКР10, 11 кл., АВИ 2008
ПКР10, 11 кл., АВИ 2008
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ВАРИАНТ № 111
ВАРИАНТ № 112
1. Имеются два водных раствора поваренной соли. Первый
раствор массой 5 кг содержит р % соли, второй раствор массой
3 кг содержит 40 % соли. Сколько кг первого раствора нужно
взять, чтобы при смешивании его с частью второго раствора
получить 2 кг раствора, содержащего 2р % соли?
1. Имеются два водных раствора соляной кислоты. Первый
раствор массой 4 кг содержит 30 % кислоты, второй раствор
массой 6 кг содержит k % кислоты. Сколько кг второго
раствора нужно взять, чтобы при смешивании его с частью
k
первого раствора получить 3 кг раствора, содержащего
%
2
кислоты?
2. На плоскости (х; а) изобразите все точки, координаты которых
удовлетворяют неравенству
2. На плоскости (х; а) изобразите все точки, координаты которых
1  x  a   a  x 2  1
удовлетворяют неравенству 2
 0 . При каких
a  x 2  2a  2 x  1
значениях параметра а решения неравенства образуют луч на
числовой прямой?
 x  a   a  x 2  2 x  x 2  a 2  2 x  4a   0 .
При каких значениях
параметра а решения неравенства образуют луч на числовой
прямой?
3. Решите уравнение
3. Решите уравнение
log2  x  1  log0,25  x  2  log2  x2  2ax   loga2 1 .
2
4. При каждом действительном значении параметра а укажите
количество решений уравнения
 a  x   2a  2x  x3   a  x .
log3  x  2  log9  x  1  log3  x 2  3ax   log 2a11 .
2
4. При каждом действительном значении параметра а укажите
количество решений уравнения
 a  x   2a  x3   a  x .
5. 5 5. Найдите все значения параметра а, при которых среди решений
5. Найдите все значения параметра а, при которых среди
неравенства y  a  ax содержатся ровно девять пар целых
решений неравенства ay  a 2  x содержатся ровно пять
чисел (х; у).
пар целых чисел (х; у).
2
ПКР11, 11 кл., АВИ 2010
ПКР11, 11 кл., АВИ 2010
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ВАРИАНТ № 121
1. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный
треугольник, в котором высота, опущенная из вершины
прямого угла, равна h и составляет с меньшим катетом
треугольника угол величины α. Боковые ребра пирамиды
составляют с плоскостью основания углы величины α.
Найдите: 1) объем пирамиды; 2) радиус сферы, описанной
вокруг пирамиды; 3) радиус шара, вписанного в пирамиду.
2.
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ВАРИАНТ № 122
1. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный
треугольник, в котором медиана, проведенная на
гипотенузу, равна т и составляет с меньшим катетом
треугольника угол величины α. Боковые ребра пирамиды
составляют с плоскостью основания углы величины α.
Найдите: 1) объем пирамиды; 2) радиус сферы, описанной
вокруг пирамиды; 3) радиус шара, вписанного в пирамиду.
2. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро
равно l, двугранный угол при ребре основания β. Одна из
образующих прямого кругового цилиндра принадлежит
диагонали основания пирамиды, не совпадая с ней, а
окружности оснований цилиндра имеют по одной общей точке
с боковыми ребрами, пересекающимися с данной диагональю.
При каком радиусе основания цилиндра площадь его боковой
поверхности будет максимально возможной.
2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна H,
плоский угол при вершине β. Одна из образующих прямого
кругового цилиндра принадлежит отрезку, соединяющему
середины противоположных сторон основания пирамиды,
а окружности оснований цилиндра имеют по одной общей
точке с апофемами, проведенными к взятым сторонам
основания. При какой высоте цилиндра его объем будет
максимально возможным.
3. В основании треугольной пирамиды SABC лежит
равнобедренный треугольник АВС, у которого АС = СВ = 5, АВ
= 8. Вершина S проектируется на плоскость основания в
середину стороны АВ, SA = 4 2 . Через точку С, точку М –
середину ребра SB и точку L, принадлежащую ребру SA,
проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения, если
она имеет наименьшее возможное значение.
3. В основании треугольной пирамиды SABC лежит
равнобедренный треугольник АВС, у которого АС = СВ = 5,
АВ = 6. Вершина S проектируется на плоскость основания в
середину стороны АВ, SA = 5. Через точку С, точку Р –
середину ребра SА и точку К, принадлежащую ребру SВ,
проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения,
если она имеет наименьшее возможное значение.
ПКР12, 11 кл., АВИ 2006
ПКР12, 11 кл., АВИ 2006
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ВАРИАНТ № 131
ВАРИАНТ № 132
1. Изобразите на комплексной плоскости множество М всех чисел, удовлетворяющих
 z  5  i  z  1  3i
системе неравенств 
. Найдите: 1) число из множества М,

 zi  3i  1  2
имеющее наименьший возможный аргумент; 2)
3
z0  5 ,
где
z0  М,
и
z0 имеет
максимально возможную действительную часть.
удовлетворяющей
х  0,5  1
неравенству
х  0,1  3
параллельна наклонной асимптоте графика функции
3. 3. Решите неравенство:
log х 2  2 х 3
х4  х
х 1
у
если
касательная
2 х 2  3х  1
.
х 1
 z  5  3i  z  2  i
. Найдите: 1) число из множества М, имеющее

 z  i  4  3
z0  2 ,
наименьший возможный модуль; 2)
где
z0  М,
и
z0 имеет
2. Найдите уравнение касательной, проведенной к графику функции у 
абсциссой,
удовлетворяющей
 2; 2. Найдите вероятность
х  2 px  q  0
2
неравенству
х  1  2,5
2,5  х  х  1
параллельна наклонной асимптоте графика функции
3. Решите неравенство:
4. Числа p и q случайным образом выбирают из отрезка
5.
 0,
х7
в точке с
х 1
 0.
того, что действительные корни уравнения
неравенству x12 + x22 + 6x1x2+ 4x1 + 4x2 ≥ 0.
системе неравенств
максимально
возможную мнимую часть.
2. 2. Найдите уравнение касательной, проведенной к графику функции у 
абсциссой,
1. Изобразите на комплексной плоскости множество М всех чисел, удовлетворяющих
удовлетворяют
5.Железная дорога взяла в аренду суперкомпьютер на 800 ч работы, желая организовать
его работу в одинаковые по времени смены. Затраты на одну смену продолжительностью
а ч складываются из технического обслуживания р1а у. е., зарплаты операторов р2а
3
2
у. е.
1
2
log х 2  2 х 3
х4  х
 х 1
у
что действительные корни уравнения
+ 2x1x2(х1 + х2 – 8) ≤ 8(x12 + x22).
 0 , если касательная
х2  5х  3
.
2х  3
 0.
4. Числа p и q случайным образом выбирают из отрезка
 1;1 . Найдите вероятность того,
х  2 px  q  0
2
х6
в точке с
х2
удовлетворяют неравенству x12x22
5. Заводу необходимо переработать 6000 т макулатуры, разбив это количество на
одинаковые части. Переработка одной партии макулатуры весом т т складывается из
стоимости измельчения р1т
1
3
тыс. р., стоимости очистки р2т тыс. р. и стоимости
4
3
и расходов на электроэнергию р3а у. е. Числа р1, р2, р3 являются последовательными
членами геометрической прогрессии, их сумма равна 111, а их произведение равно 1000.
Известно, что затраты на одну смену продолжительностью 9 ч не превосходят 660 у. е.
Какой продолжительностью следует определить смены, чтобы стоимость общих затрат на
все время работы была минимальной? Найдите эту стоимость.
изготовлении бумаги р3т тыс. р. Числа р1, р2, р3 являются последовательными членами
геометрической прогрессии, их сумма равна 28, а их произведение равно 512. При переработке
партии весом 27 т затраты не превосходят 600 тыс. р. На какие части следует разделить 6000 т,
чтобы стоимость общих затрат по переработке была минимальной? Найдите эту стоимость.
6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение sin3x – 2asin2x + (a2 – 4)sinх
6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 2sin3x + (4а – 5)sin2x + 2(a2 –
– a2 + 2a + 3 = 0 имеет на отрезке   ;  нечетное количество различных решений.
6 

ПКР13, 11 кл., АВИ 2004

1)sinх – a2 – a + 2 = 0 имеет на отрезке 0;


ПКР13, 11 кл., АВИ 2004
7  четное количество различных решений.
6 
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ФМЛ № 1511, 11 “
“ кл.
ВАРИАНТ № 131
1. Найдите наибольшее значение f  x  
ВАРИАНТ № 132
4x 1
на отрезке 1;16 .
x
2. К 8 кг сплава, содержащего 30 % золота, добавили кусок другого
сплава, содержащего 2 кг чистого золота. После переплавки
получили новый сплав, содержащий 40 % золота. Каков вес
добавленного сплава? Ответ дайте в кг.
3. а) Решите уравнение
2
sinx  sinx 1
 
cos  x 
2 
 3 2
1  0 .
 7 3 
;
.
 4 4 
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие  
4
6x  8

  x  1 x  2   x  4  2  x  x 2

4. Решите систему неравенств 
.
 log9  4  x   log15  4  x   log 25
9
 log15  x  2   log 25  x  2 

5. При каких значениях параметра а уравнение
имеет более трех различных корней.
ПКР13, 11 кл., АВИ 2014
x 2  16 x  ax  1  2a


1. Найдите точку минимума функции f  x   e 2 x 2 x 2  6 x  3 .
2. Траншея была выкопана двумя землекопами в течении 15 ч, причем
первый землекоп приступил к работе на 7 ч позднее второго. Известно,
что первый землекоп, работая один, может выкопать такую траншею на
5 ч быстрее, чем второй. За сколько часов может выкопать траншею
второй землекоп, работая отдельно? Ответ дайте в часах.
3. а) Решите уравнение
cosx  cosx 1
2
 3 2
 
sin  x 
2 
1  0 .
 7  
;
.
 3 4 
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие  

3x 2
3x  2
 x 1

2  x  x2
  x  1 x  2 
4. Решите систему неравенств 
.
 log 4  5  x   log 6  5  x   log 3
2
 log 6  x  4   log 9  x  4 

5. При каких значениях параметра а уравнение a  6 x  x 2  8 =
3  1  2ax  a2  x2 имеет только одно решение.
ПКР13, 11 кл., АВИ 2014