Правительство Российской Федерации Пермский филиал федерального государственного автономного

Правительство Российской Федерации
Пермский филиал федерального государственного автономного
образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет «Экономика»
Кафедра финансового менеджмента
Допускаю к защите
Заведующий кафедрой
доцент кафедры, к.э.н.
Шакина Елена Анатольевна
«___» ___________2014
МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ
на тему Влияние ребалансировки на повышение эффективности
управления активами
Студента группы Ф-12-1
Колесникова Егора Викторовича
________________________
Подпись
Научный руководитель
доцент, к.э.н.
Исакин Максим Александрович
________________________
Подпись
Консультант
Тимофеев Дмитрий Вячеславович
________________________
Подпись
Пермь 2014
Оглавление
Введение .........................................................................................................................................3
Глава 1. Управление портфелем активов. ...................................................................................6
1.1 Оценка эффективности управления активами ..................................................................6
1.2 Инвестирование на основе инерции (momentum) ..........................................................18
1.3 Инвестирование на основе фундаментальных показателей (value investing) ..............23
1.4 Ребалансировка ..................................................................................................................28
Глава 2. Применение стратегии ребалансировки .....................................................................35
2.1 Расчёт diversification return (DR) и учёт транзакционных издержек. ...........................35
2.2 Симуляция DR на искусственных данных. .....................................................................38
2.3 Тестирование на реальных данных ..................................................................................41
2.4 Тестирование рыночных аномалий .................................................................................45
Заключение...................................................................................................................................48
Список литературы ......................................................................................................................51
2
Введение
Со времён первых комплексных методов портфельного управления
ценными
бумагами,
предложенных
Г.
Марковицем,
было
выявлено
множество белых пятен. В частности мера систематического риска, бета,
ныне признана лишь одним из ряда факторов, отражающих риск, который
должен быть компенсирован доходностью. Сама же бета в ряде случаев
вообще не в состоянии объяснить колебания доходности активов (проблема
слишком плоской SML-кривой). Выявлены аномалии, позволяющие получать
прибыль сверх среднерыночной, что идёт в разрез с предположениями
гипотезы эффективного рынка Ю. Фамы. Среди них обнаружены, например,
моментум фактор, фактор стоимости, фактор размера компаний, календарные
и поведенческие эффекты.
ценообразования
активов
Как результат, исследования
сосредоточились
на
выявлении
в области
различных
источников риска и описании структуры рынка. Одним из пока плохо
изученных феноменов стала ребалансировка портфеля. При всей простоте
подхода, предполагающего поддержание весов компонентов портфеля на
заданном уровне, оказалось, что это влечёт за собой неожиданные эффекты,
способные существенно повлиять как на риск, так и на доходность стратегии.
В ряде случаев прибыль возникала даже у активов с изначально нулевой
доходностью.
При этом включение в портфели новых финансовых инструментов со
специфическими профилями риска и доходности вроде cdo (collateralized debt
obligations) создало понимание ограниченности общепринятых показателей
вроде коэффициента Шарпа или VaR. В результате появились более
продвинутые
методы
оценки
результативности
инвестирования,
преодолевающие недостатки предшественников.
Актуальность работы обусловлена слабой освещённостью проблемы
формирования структуры портфеля при включении в него разных активов и
3
инвестиционных
стилей,
а
также
предполагаемой
перспективностью
использования стратегии ребалансировки для повышения эффективности
управления портфелем ценных бумаг.
Объектом
исследования
в
данной
работе
является
стратегия
ребалансировки портфеля ценных бумаг.
Предмет исследования – влияние стратегии ребалансировки на
показатели портфеля ценных бумаг при использовании разных классов
активов и стилей управления (рыночных аномалий).
Проблема исследования – отсутствие в практике управления портфелем
ценных бумаг правил, обосновывающих необходимость поддержания и
размер долей активов или стилей управления. На практике же данный вопрос
регулярно встаёт при попытке оптимизации параметров портфеля ценных
бумаг.
Цель исследования – оценить возможность улучшения эффективности
управления портфелем при помощи стратегии ребалансировки. Для этого в
рамках данной работы требуется выполнить следующие задачи:
 Исследовать методы оценки результатов управления портфелем,
выбрать наиболее точные из них.
 Изучить суть, достоинства и проблемы стратегий инвестирования
на основе фундаментальных показателей (value strategy) и
моментум
(momentum
strategy),
а
также
стратегии
ребалансировки (rebalancing)
 Изучить влияние транзакционных издержек на показатели
результативности
управления
портфелем
при
реализации
стратегии ребалансировки
 Оценить величины эффекта стратегии ребалансировки при
взаимодействии с рыночными аномалиями (value и momentum)
при сопоставлении результатов на основе выбранного критерия
оценки результатов инвестирования
В работе предполагается использование следующих методов:
4
 Для определения распределения доходностей, наиболее близкого
к
генеральной
совокупности
из
эмпирических
данных,
необходимой для оценки показателей управления портфелем,
будет использован метод бутстрапирования (bootstrap)
 Тестирование
наборов
правил
для
подбора
оптимальных
соотношений будет осуществляться при помощи построения
портфелей с заданными торговыми правилами на данных
фондового рынка США за последние 80 лет
 Тестирование
стратегий
будет
проводиться
также
на
искусственно сгенерированных данных
Расчёты будут проводиться в статистическом пакете R.
В первой главе
магистерской диссертации
будут рассмотрены
исследования, отражающие современное понимание вопросов, связанных с
использованием инвестиционных стратегий, оценки результатов управления
портфелем и определения структуры портфеля, будут детально описаны
особенности стратегии ребалансировки портфеля. Также будут обозначены
основные проблемы и белые пятна, связанные с вышеозначенными
вопросами.
Во второй главе, будет дано описание возможностей применения
ребалансировки для повышения эффективности управления активами. Также
будут представлены результаты тестирования стратегии совместно с
рыночными аномалиями value и momentum и различными активами.
5
Глава 1. Управление портфелем активов.
1.1 Оценка эффективности управления активами
На данный момент при оценке эффективности управления портфелем в
массе своей по-прежнему используются аксиомы, введённые Г.Марковицем,
предполагающие, что инвесторы действуют в двух основных координатах:
риск и доходность. При этом доходность, которая может измеряться поразному, в общем случае предполагает, что инвестор при прочих равных
предпочтёт получить большую доходность меньшей. Риск же отражает
степень нестабильности доходности актива, и является той характеристикой,
которой инвестор предпочитает избегать (Markowitz, 1959). В более
современных исследованиях помимо этих двух характеристик добавляют, к
примеру,
ограничения
заимствования
(Guisoetal.,
1996)
и
степень
ликвидности (Pastor, 2003). Эмпирические исследования показывают, что эти
характеристики оказывают влияние на ценообразование активов и при этом
не могут быть объяснены влиянием прочих факторов, вроде эффектов
стоимости, размера или моментума. Однако пока что их учёт при
оптимизации портфеля активов сложен и слабо формализован. В то же время
риск и доходность остаются наиболее важными характеристиками портфеля,
поэтому в данной работе мы будем рассматривать только их.
Обычная
предполагает
оптимизационная
нахождение
ряда
задача
(mean-variance
эффективных
портфелей
optimization)
на
основе
параметров их риска и доходности. При этом с технической точки зрения
аналитик может лишь определить набор портфелей, которые были бы
лучшими из доступных. Такой набор известен как эффективная граница
Марковица. Конечное же решение может принять лишь инвестор, исходя из
своих предпочтений (Sharpe, 1966), т.е. объёма возможного принятия риска –
пенсионные фонды почти всегда более консервативны, чем, к примеру, хеджфонды. При этом если граница Марковица имеет переменный угол наклона, а
6
соответственно и соотношение риска и доходности, то кривая CML (Capital
market line), введённая на основе исследования Дж. Тобина (Tobin, 1958)
позволила сделать его постоянным, добавив в модель безрисковый актив. Это
дало возможность более эффективно проводить оптимизацию, поскольку
появилась возможность оценивать разные портфели (и в т.ч. деятельность
инвестиционных фондов) по коэффициентам, отражающим соотношение
риска и доходности, не перебирая все возможные комбинации. Для
наглядности покажем это на графике (рис. 1).
Рис. 1. Эффективная граница Марковица и CML (E – ожид. доходность, s.d.
стандартное отклонение доход.портфелей, r.f. – безрисковая доходность)
На рисунке 1 представлена эффективная граница Марковица (чёрная
линия), проходящая через точки ABC и кривая CML (синяя). В случае
отсутствия в модели безрискового актива, простейший коэффициентE/s.d.,
отражающий соотношение риска и доходности, для портфелей ABC был бы
непостоянным. Тогда самый высокий угол наклона и коэффициент был бы у
портфеля C, что говорило бы о том, что за каждую единицу риска можно
получить большую величину доходности. При этом инвестор всё равно мог
выбрать портфель B или A, т.к. желает получить большую доходность, пусть
и за счёт пропорционально большей величины риска. В случае же наличия
7
безрискового актива инвестор оперирует кривой CML, поэтому соотношение
риска и доходности портфелей, лежащих на ней, всегда будет постоянно. В
этом случае мы можем предлагать инвестору эффективные портфели, не
строя эффективной границы Марковица, а значит, не перебирать все
возможные портфели активов на рынке, что существенно более удобно и
быстро. Иными словами, появляется возможность оценивать соотношение
риска и доходности при помощи коэффициентов.
Одним из наиболее распространённых показателей соотношения риска
и доходности является коэффициент Шарпа, изначально рассчитывавшийся
следующим образом (Sharpe, 1966):
𝑆=
𝐸𝑖 −𝑝
𝜎𝑖
,
(1)
Где:
Ei – доходность актива (портфеля);
p – безрисковая ставка;
σi – стандартное отклонение доходности актива (портфеля).
Позже, У. Шарп модифицировал его, посчитав, что индикатор,
выраженный в показателях избыточной доходности относительно бенчмарка,
более точно отражает цели управляющих фондами (Sharpe, 1994).
Рассчитывается данный коэффициент следующим образом:
𝑆=
𝑅𝐹 −𝑅𝐵
,
√𝑉𝑎𝑟(𝑅𝐹 −𝑅𝐵 )
(2)
Где:
RF – доходность актива (портфеля);
RB – доходность бенчмарка;
𝑉𝑎𝑟(𝑅𝐹 − 𝑅𝐵 ) – дисперсия разницы между доходностью актива
(портфеля) и бенчмарка.
8
Аналогичным образом построен ещё ряд известных индикаторов:
коэффициент Трейнора (избыточная доходность по сравнению с безрисковой
ставкой по отношению к бета), v2 (доходность в годовом выражении по
отношению к среднеквадратичной величине относительных просадок
(drawdown)), коэффициент CALMAR (доходность в годовом выражении по
отношению к максимальной просадке), коэффициент Safety-first(разница
между доходностью актива и минимально необходимой доходностью по
отношению к стандартному отклонению доходности актива) и т.д.Каждый из
них имеет некие достоинства и недостатки, поэтому сформулируем ряд
характеристик, которыми должен обладать показатель риска.
Важным вопросом при определении фактора риска является описание
того, как воспринимают риск сами инвесторы и управляющие фондами. Одна
из первых работ, в которых изучалось поведение экономических агентов в
условиях риска, была работа Мориса Алле (Allais, 1953). Он провёл
следующий эксперимент:
Опрашиваемому задавали следующие вопросы
Какой вариант вы предпочтёте?
A. точно получить 100 млн. франков
B. получить:
 500 млн. франков с вероятностью 10%
 100 млн. франков с вероятностью 89%
 ничего с вероятностью 1%
Какой вариант вы предпочтёте?
C. получить:
 100 млн. франков с вероятность 11%
 ничего с вероятностью 89%
D. получить:
 500 млн. франков с вероятностью 10%
 ничего с вероятностью 90%
9
В соответствии с общепринятой и до сих пор широко используемой
теорией ожидаемой полезности, разработанной Дж. фон Нейманом и
О.Моргенштерном,
индивиды
должны
максимизировать
ожидаемую
полезность. Тогда в случае эксперимента Алле, индивиды, если они
рациональны, должны были выбрать B и D (матожидание 139 и 50 млн.
соответственно). Однако на самом деле они выбирали A и D (100 и 50 млн.
соответственно). Данное несоответствие известно как «парадокс Алле».
Получалось, что индивиды крайне риск-несклонны, и не готовы пойти даже
на небольшой риск, если есть альтернатива, позволяющая получить выигрыш
со 100% вероятностью. Позже тот факт, что экономические агенты более
остро реагируют на потери, чем на выигрыш, и потому по мере возможности
избегают ситуаций неопределённости, был подтверждён в классической
работе Д.Канемана и А.Тверски (Kahneman, Tversky, 1979) и получил
развитие в рамках теории перспектив. С точки зрения поведенческих
финансов, указывается также, что инвесторы в большей степени стремятся к
получению
удовлетворительных
результатов,
чем
к
достижению
оптимальных (Olsen, 1998). Конечно, мы не знаем точно, как воспринимает
риск тот или иной конкретный инвестор, равно как мы не знаем, какая мера
риска должна быть идеальной, чтобы попытаться смоделировать показатель,
наиболее близкий к ней. Однако большинство инвесторов всё же предпочли
бы избегать рисков насколько это возможно, и исследования, в том числе и
упомянутые выше, показывают, что по возможности незначительные
просадки доходности более предпочтительны, поэтому имеет смысл
включить в индикатор повышенный штраф за потери.
Ещё одним важным аспектом является то, что даже краткосрочные
государственные бумаги могут быть рискованным активом с точки зрения
инвестора, поскольку их доходность ниже, чем тот целевой уровень,
которого он хочет достичь (Sortino, 2001a). Те величины, которые
используются во многих показателях результативности портфеля для
определения избыточной доходности, как например, безрисковая ставка или
10
доходность бенчмарка, по сути лишь частные случаи более общей ситуации,
когда управляющий фондом или инвестор может иметь любой показатель,
который он считает минимально допустимым в качестве результата
управления. Это может быть и доходность по альтернативному инструменту
вроде депозита или бенчмарка, и плановый показатель, устанавливаемый для
фонда государством, менеджментом, акционерами или кем-либо ещё. Общим
остаётся то, что не достижение этой величины, назовём её также как
Ф.Сортино MAR (minimum acceptable return), представляет собой риск.
Поэтому вкладываясь в государственные бумаги с доходностью в 2-5%
годовых при MAR в 10% будет означать, что этот актив не является
безрисковым с точки зрения данного инвестора.
Также важно отметить, что оценки риска, полученные на основе
исторических данных могут оказаться смещёнными в силу того факта, что
рассматриваемый период окажется нерепрезентативными. Огромные убытки,
которые характерны для какой-либо инвестиционной стратегии могут просто
не реализоваться в тот период, на основе которого мы оцениваем показатели
её деятельности. Попытка преодолеть данный недостаток сделана при
разработке показателя Conditional Value atrisk (C-VaR или Expected Shortfall).
Стоит сначала сказать, что широко распространённый сейчас показатель
VaR, рассчитывается не на основе данных за определённый временной
интервал, а, исходя из распределения доходностей того актива, риск которого
оценивается. Это даёт возможность учитывать вероятность и размер потерь,
которые ещё не случились, но могут произойти в будущем.
Однако VaR имеет ряд недостатков. Во-первых, данный показатель
отражает величину потерь, которую можно понести при владении активом с
заданными интервалом времени и вероятностью. Например, выбрав 5%
уровень значимости, и период в 3 дня можем получить, что с вероятностью
95% убытки в течение 3-х дней не превысят величины X. Проблема состоит в
том, что мы не знаем размер убытка, который мы получим, если риск всё же
реализуется. Это может быть величина равная 100*X, и тогда события,
11
наступающие с довольно низкой вероятностью в 5% и меньше, в случае
возникновения могут оказаться критическими для портфеля. Во-вторых, при
применении VaRнарушается естественное правило, при котором величина
риска от ряда активов, включённых в один портфель, не может быть больше,
чем величина риска от владения этими же активами одновременно, но поотдельности. К примеру, есть два актива, Aи B, каждый из которых может
принести убыток в 100 тыс. с вероятностью 4%. Тогда выберем для оценки
VaR 5% уровень значимости, и рассмотрим два случая:
1. инвестор вкладывается полностью в актив A или в актив B. Тогда
ожидаемый убыток составит 100 тыс. * 0,04 = 4 тыс. VaR же
покажет ноль, поскольку вероятность его ниже уровня значимости в
5% (а именно 4%)
2. инвестор вкладывается поровну в A и B. Тогда ожидаемый убыток
составит 0,5*100 тыс.*0,04+0,5*100 тыс.*0,03=3,5 тыс. VaR же
покажет убыток в 100 тыс., поскольку вероятность превысит 5% и
составит 6,88% (поскольку события являются совместными, т.е.
могут произойти одновременно, и независимыми, т.е. наступление
одного происходит вне зависимости от наступления другого, то
вероятность наступления хотя бы одного из них составляет
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
В
данном
случае
это
будет
P(A+B)=0.04+0.03-0.04*0.03=0.0688 (6.88%))
В результате, хотя ожидаемый убыток во втором случае меньше, VaR
покажет, что он больше (100 тыс. против нуля). Формально говоря, это
умозаключение известно как нарушение аксиомы о субаддитивности
(Artzner,
1998),
выполнение
которой,
помимо
соответствия
логике
экономических явлений, является необходимым условием для осуществления
диверсификации.
Эти проблемы решает показатель C-VaR (ConditionalValueatrisk),
который рассчитывает не минимальную величину потерь с заданной
вероятностью, а математическое ожидание потерь за пределами этой
12
границы (Agarwal, 2004). В этом случае, вне зависимости от величины риска
отдельного актива C-VaR будет адекватно отражать риск всего портфеля.
Соответственно данная мера удовлетворяет аксиоме субаддитивности.
Благодаря этим достоинствам, и особенно лучшему учёту «хвостового риска»
(“tailrisk”), т.е. адекватной оценке риска существенных потерь, находящихся
в хвосте распределения, данный показатель был принят в качестве основного
при расчёте величины ожидаемого риска в рамках нового документа,
регламентирующего деятельность банков, Базель III [14].
Ещё одним важным аспектом, который должен быть учтён в показателе
результативности фонда или инвестора, является условие стохастического
доминирования. Оно представляет собой требование о том, чтобы в случае
наличия двух игр (либо любых вероятностных событий) доминирующая игра
A для любого значения x даёт не меньшую вероятность наступления, чем в
доминируемой
стохастического
игре
B.
Эта
доминирования
формулировка
первого
является
порядка.
определением
Также
должно
выполняться условие стохастического доминирования второго порядка,
предполагающего, грубо говоря, что игра A доминирует над B, если A более
предсказуема (имеет меньший риск) и не меньшее среднее значение. При
этом выполнение условия стохастического доминирования первого порядка
автоматически приводит к выполнению стохастического доминирования
второго порядка. Смысл этого легко понять на графиках:
Рис. 2. Стохастическое доминирование первого порядка [13].
13
Рис. 3. Стохастическое доминирование второго порядка [13].
На рис. 2 и 3 синим и красным показаны функции распределения двух
портфелей, зелёным на графике 3 отмечена разница между функциями
распределения.
Из рис. 2 видно, что, инвестор сможет получить прибыль, не
превышающую 100 единиц в случае A лишь примерно с вероятностью 50%, и
в 50% большую, в то время как в случае B те же значения прибыли могут
быть получены лишь с вероятностью около 75% и 25% большую. Рис. 3
показывает, что, грубо говоря, в среднем (при всём распределении
вероятностей) инвестор получит больше при стратегии A, чем при B, о чём
говорит
положительное
значение
разницы
между
их
функциями
распределения, отмеченного как D(z).
Требование о том, чтобы мера результативности управления портфелем
учитывала
возможность
стохастического
доминирования
необходимо,
поскольку иначе оценка может оказаться неадекватной. Традиционные
методы оценки, вроде mean-variance optimization (M-V) не в состоянии
корректно учесть данный факт, хотя с точки зрения любого инвестора
именно факт стохастического доминирования может оказаться решающим
при принятии решения об инвестировании. Это легко показать на графике:
14
Рис. 4. Доходности портфелей A и C (Sortino, 2001a).
Рис. 4 показывает, что риск портфеля C, традиционно оцениваемый
через стандартное отклонение, выше, чем у портфеля A. При этом средняя
доходность A также выше, чем у C. В соответствии с принципами MVданные портфели могут быть адекватной заменой друг друга, т.е.
располагаться на границе Марковица. При этом любой реальный инвестор,
основываясь на представленных данных, однозначно выберет портфель C,
поскольку в этом случае он в среднем получит больше, но даже в худшем
варианте почти всегда его доходность окажется выше, чем при выборе
портфеля A.На практике это может, к примеру, выражаться в том, что акция,
которая стабильно и сильно растёт, хоть и с существенными колебаниями
будет предпочитаться той, которая достаточно стабильна, но показывает
очень низкую доходность.
Ещё более остро проблема учёта распределений и моментов выше
второго (не только среднего и дисперсии) стоит в случае инвестиционных
стратегий, имеющих несимметричный профиль доходностей, к примеру,
стратегий с использованием опционов. В качестве примера можно привести
рис. 5:
15
Рис. 5. Плотности распределения двух инвестиционных стратегий (Sortino, 2001a).
На рис. 5 S&P представляет собой плотность распределения
доходностей индекса S&P500, а S+P плотность распределения того же
индекса и опцион пут. В S+Pоднозначно привлекательнее для инвестора,
поскольку он с одной стороны застрахован от риска потерь, что видно из
графика плотности распределения, а с другой сможет заработать не меньше,
чем при инвестировании просто в индекс S&P500. Доходность в 10% худших
случаев для S&P составляет 4,5% доходности, в то время как для S+P это
13,7%. При этом в 10% лучших случаев разница незначительна – 54,5%
против 51,2%. Поскольку, среднее значение и стандартные отклонения для
обеих стратегий одинаковы, то M-V не покажет между ними разницы, в
отличие от меры результативности, способной учесть плотность вероятности.
При
оценке показателя
риска
стоит отметить, что вариация,
используемая при M-V, в силу своей симметричности вряд ли отражает
именно риск. Исследования показывают, что риск в первую очередь
ассоциируется с величиной потерь, а не с величиной волатильности. В
16
Sortino, 2001a в отношении этого тезиса ссылаются на работу психолога
Дж.Пэйна 1973 года, утверждавшего, что наиболее значимыми факторами
для инвесторов являются частота просадок и величина возможных потерь.
Обобщая вышесказанное, отметим, что возможно мы не сможем
оценить риск максимально точным образом, ведь каждый инвестор
воспринимает его индивидуально. Кроме того, нет идеального критерия
оценки результативности управления, с которым можно было бы сравнивать
выбранный показатель. По этой причине мы можем лишь сказать, какой
индикатор является лучше или хуже, исключить явные ошибки и недостатки,
попытаться подобрать функцию, более точно отражающую восприятие риска
большинством инвесторов, и, главное, построить показатель, который не
расходился бы с практикой управления активами, отражал тот опыт, который
используется при вложении средств на финансовом рынке.
Кратко обозначим основные критерии, которым должен удовлетворять
показатель
результативности
управления
портфелем
(инвестиционной
стратегии):
1. Учёт величины потерь (вместо оценки дисперсии)
2. Повышенный штраф за потери
3. Определение потерь относительно MAR (показатель может быть
любым, фиксированным или изменяющимся)
4. Учёт функции распределения (не просто исторический ряд данных)
5. Выполнение условия субаддитивности
Одним из наиболее подходящих под данные критерии является
показатель Upside potential ratio, разработанный Ф. Сортино, А. Плантингой и
Р. Ванн дер Миром (F.Sortino, A.Plantinga, R. van der Meer) (Sortino, 2001b). В
непрерывной форме он выглядит следующим образом:
17
+∞
𝑈𝑃𝑅 =
∫𝑚𝑎𝑟(𝑟−𝑚𝑎𝑟)𝑓(𝑟)𝑑𝑟
𝑚𝑎𝑟
,
(3)
√∫−∞ (𝑚𝑎𝑟−𝑟)𝛼 𝑓(𝑟)𝑑𝑟
Где:
mar
–
минимально
приемлемое
значений
доходности(minimum
acceptable return);
r – доходность портфеля;
f(r) – плотность распределения вероятностей доходности портфеля;
α – степень неприятия риска.
Данный
показатель
в
знаменателе
показывает
взвешенные
по
вероятности отклонения доходности портфеля от MAR. При этом в
зависимости от коэффициента α инвестор может устанавливать величину
штрафа за риск. Для более консервативных инвесторов этот показатель
должен быть больше. В числителе аналогично находятся взвешенные по
вероятности отклонения от MAR, но уже в положительную сторону. В целом
показатель UPR отражает величину доходности за каждую единицу риска с
учётом
вероятности
возникновения
доходности.
Чем
выше
данный
показатель, тем больше доходности приходится на единицу риска, и тем
выгоднее оцениваемая им инвестиционная стратегия.
1.2 Инвестирование на основе инерции (momentum)
Стратегия
инвестирования
на
основе
инерции
цен
активов
представляет собой статистически обоснованный метод формирования
портфеля, исходя из динамики цен за прошедший период. Обычно
предполагается, что нужно покупать те активы, которые росли последнее
время и «шортить» те, которые падали. Одной из первых работ, где была
предпринята попытка системно проанализировать данный эффект на
фондовом рынке стала статья Jegadeesh and Titman, 1993. Чтобы выявить
эффект они отсортировали бумаги по доходности за последние три, шесть,
18
девять и двенадцать месяцев, верхний дециль был назван портфелем
«победителей», нижний дециль портфелем «проигравших». Затем бумаги
«победителей» покупались, бумаги «проигравших» «шортились». Результаты
показали, что такая стратегия приносит около 12% годовых в течение
следующих шести месяцев. Аналогичные работы показывали, что стратегия
оказывается прибыльной на других интервалах времени и на других рынках.
В частности сами Jegadeesh and Titman, 2001 проверили её в период с 1965 по
1999 гг. и пришли к выводу, что эффект устойчив, в отличие от эффектов
размера и стоимости и сохраняет примерно те же величины доходности, как
и в их предыдущей работе. Эффект инерции был обнаружен даже на
интервале с 1866 по 1907 гг. в Великобритании (Chabot et al., 2008). Также
возможность получения прибыли была подтверждена на примерах большого
числа стран: в 12 европейских странах (Rouwenhorst,2002), на индексах 23
стран (Chan et al., 2000), на 8 азиатских странах (Chui et al., 2001).
Эмпирическое подтверждение инерции цен активов противоречит
постулатам гипотезы эффективного рынка (Efficient market hypothesis –
EMH) Ю. Фамы, предполагавшего, что даже в слабой форме EMH цены
активов не должны зависеть от предыдущих значений, в противном случае
инвесторы смогут систематически извлекать безрисковую прибыль. Поэтому
были предприняты попытки объяснить наличие данного эффекта как
компенсации за принятие риска. Другие исследователи предполагали, что
сверхприбыль от данной стратегии появляется за счёт интеллектуального
анализа данных (data mining). Однако попытки выявить конкретные факторы
риска не увенчались успехом. Jegadeesh and Titman (2001), Grundy and Martin
(2001), Liu (1999) пришли к выводу, что инерция не может быть объяснена ни
дополнительными
Последнее
в
рисками,
частности
ни
интеллектуальным
вытекает
из
наличия
анализом
эффекта
на
данных.
рынке
Великобритании в Викторианскую эпоху, когда статистические методы
исследования рынка были практически не распространены (Chabot B. et al.,
19
2008). В результате попытки объяснения инерции сместились в сторону
поведенческих финансов.
При анализе действий индивидов было выделено два основных
эффекта: эффект чрезмерной реакции (overreaction) и недостаточной реакции
(underreaction). Один из возможных вариантов тестирования первого эффекта
был представлен De Bondt et al., 1985. Логика теста предполагала, что если
имеет место чрезмерная реакция, то акции, которые росли в течение
некоторого периода времени («победители»), в дальнейшем покажут
отрицательную доходность, поскольку рост был избыточным относительно
внутренней стоимости бумаг, и наоборот, упавшие акции («проигравшие»)
будут в дальнейшем расти. Исследователи выделили 35 наиболее сильно
выросших и упавших за последние 5 лет бумаг, сформировали из них
портфель проигравших и победителей с равными весами. Затем держали
такие портфели ещё 5 лет. Формирование новых портфелей (при сохранении
старых) происходило каждый год в течение 46 лет. В результате портфели
проигравших показали в среднем кумулятивную доходность выше уровня
бенчмарка (индекс NYSE) в течение 36 месяцев после формирования
портфеля в 19,6%, портфель победителей в свою очередь имеет тот же
показатель в -5%. Иными словами, предположение об эффекте чрезмерной
реакции подтверждается в долгосрочном периоде (до 60 месяцев).
Также существует ряд подтверждений эффекта недостаточной реакции.
Например, после объявления величины дивидендов, оказавшейся выше, чем
ожидалось, инвесторы склонны не проявлять реакцию на это событие сразу.
Отмечается, что моментальная реакция составляет лишь около 50% общего
изменения цены под влиянием объявления дивидендной доходности. Кроме
того, проявляются также и долгосрочные эффекты изменения цен акций
(Michaely et al., 1995). Также Chordia et al. (2005) выявили, что доходность
длинных позиций по акциям компаний, объявивших о более высокой
прибыли, чем ожидалось, и короткие по акциям компаний с фактической
20
прибылью меньше прогноза в среднем составила порядка 10% годовых.
Данный эффект получил название earnings momentum.
Несмотря на факт подтверждения наличия эффекта инерции цен
активов, он имеет ряд особенностей. Как уже указывалось (De Bondt et al.,
1985), в долгосрочном периоде наблюдается реверсия, т.е. бывшие
«победители» в интервале 3-5 лет начинают приносить отрицательную
доходность, в то время как бывшие «проигравшие» приносят существенную
прибыль. Кроме того, реверсия была выявлена и в краткосрочном периоде.
Lehman, 1990 показал, что на недельном интервале ставка на реверсию цен
акций приносит порядка 1,79% в месяц. Он занимал длинные позиции по
бумагам «победителей» и короткие по бумагам проигравших «проигравших»
за последнюю неделю. После этого эти портфели держали неделю и
проводили перебалансировку. Также Jegadeesh, 1990 выявил краткосрочную
реверсию на интервале в 1 месяц. Стратегия предполагала покупку 10%
акций «проигравших» и продажу 10% акций победителей. Последующее
удержание портфеля приносило в среднем по 2,49% в месяц.
Несмотря
на
достаточно
высокую
стабильность
доходностей,
приносимых стратегией моментум, у неё есть существенный «хвостовой»
риск. Daniel et al., 2012 отмечают, что при тестировании стратегии на
исторических данных за 1002 месяца, с 1927 по 2010 гг., в 13 случаях потери
превышали 20% в месяц, а в одном составили -79%.
21
Рис. 6. Месяцы потерь по стратегии моментум более 20%.
В силу того, что портфели в рамках стратегии формируются на
промежуток от 2 до 12 месяцев, в случае существенных колебаний на рынке,
цены акций, включённых в портфель, могут «развернуться», что принесёт
существенные убытки. Изменить же структуру портфеля до окончания
изначально установленного периода времени в рамках традиционной
стратегии
инерции
нельзя.
Необходимо
введение
дополнительных
параметров, которые указывали бы на возможность «разворота» цен акций. В
этом заключается идея, предложенная Daniel et al., 2012. Они предложили
определять месяцы с повышенной турбулентностью, т.е. волатильностью
рынка. На рис. 5 красными точками отмечены месяцы, в которые стратегия
моментум приносила убыток более, чем в 20%. Линиями отмечены месяцы
повышенной турбулентности. Оказалось, что все 13 месяцев, в которые
наблюдались
существенные
убытки,
были
периодами
повышенной
турбулентности. Кроме того, в это время стратегия моментум в среднем
приносила -0,65% в месяц. Исключение этих периодов из рассмотрения
позволило повысить коэффициент Шарпа в 2 раза. Отдельным достоинством
этого подхода является то, что методика авторов статьи позволяет
определять периоды турбулентности заранее, т.е. ex ante, что позволит на
22
практике избегать существенных убытков при использовании данной
стратегии.
Обобщая
вышесказанное,
стратегия
моментум
характеризуется
среднесрочной инерцией цен активов, а также кратко- и долгосрочной
реверсией. Наличие данного эффекта было подтверждено на большом числе
временных интервалов и на многих рынках. При этом получение
сверхрыночной доходности не может быть объяснено традиционными
факторами риска. Тем не менее, тестирование стратегии на длинных
временных интервалах показало, что её присущ значительный «хвостовой»
риск, который отчасти может быть нивелирован учётом величины
турбулентности фондового рынка.
1.3 Инвестирование на основе фундаментальных показателей
(value investing)
Данный принцип достаточно хорошо разработан как в академической
литературе, так и в практике управления фондами. Он предполагает, что
компания имеет некую «внутреннюю» стоимость, которая обосновывается с
точки зрения фундаментальных показателей – прибыли, величины капитала,
уровня долга, перспектив роста и т.д. При этом рыночная цена не всегда
отражает истинную стоимость компании, что даёт возможность заработать на
этом. Если компания на самом деле стоит больше, чем за неё сейчас дают на
рынке, то имеет смысл купить её акции, если она выглядит слишком дорогой,
то лучше продать её или даже «зашортить».
Подобный принцип является сейчас настолько базовым, что даже
менеджмент компании, если видит недооценку рынка, стремится выкупить
акции с рынка, тем самым уменьшая расхождения между фактической ценой
и внутренней. Ровно также поступают и инвесторы, в результате чего цены
на эффективном рынке должны приходить в некое равновесное состояние.
23
Эмпирические исследования показывают, что инвестируя в стоимость,
можно систематически получать прибыль выше рыночной, по этой причине
value investing относят к аномалиям рынка или инвестиционным стилям.
К.Френч и Ю.Фама включил данный фактор в модель ценообразования
активов как один из 3-х основных, объясняющих динамику цен акций,
помимо традиционной меры рыночного риска, беты, и эффекта размера
компаний. Как индикатор меры стоимости компании Фама и Френч
использовали разности между доходностями компаний, имеющих низкий и
высокий коэффициенты BV/P (балансовая стоимость собственного капитала
к цене акций). Соответственно бумаги компаний с высоким BV/P стали
носить название акции ценности, а с низким – акции роста (также известны
как «гламурные акции»).
Вообще метод оценивания акций по коэффициентам известен ещё со
времён Б.Грэма и Д.Додда, однако одним из первых, кто выявил
систематический эффект влияния соотношения цены и ценности на
доходность инвестиций был Basu’s (1977). Он показал, что при сортировке
акций по показателю доход/цена, акции с высоким значением E/P имеют
будущие доходности, превосходящие доходности, предсказанные в рамках
CAPM. Авторы Basu (1983) and Keim (1983) пришли к выводу, что акции с
низким соотношением балансовой стоимости капитала к чистой прибыли,
генерируют более высокие доходности. Аналогичные выводы были сделаны
и для акций, торгующихся с низким мультипликатором EV/Sales. Rosenberg,
Reid и Lanstein (1985) обнаружили положительную связь между показателем
«BV/МV»
(балансовая
стоимость
капитала/рыночная
стоимость)
и
ожидаемыми доходностями акций.
Одним из объяснений наличия систематического эффекта стоимости
дают
представители
направления
поведенческих
финансов.
Они
основываются на том, что компании с высоким показателем BV/MV, как
правило,
являются
компаниями,
финансовое
положение
которых
24
существенно ухудшается в периоды нестабильности (Lakonishok, Shleifer and
Vishny (1994), Fama and French (1995). Ранжирование компаний согласно
критерию BV/MV становится причиной чрезмерной реакции инвесторов на
периоды стабильности и нестабильности. Дело в том, что инвесторы,
принимая решение о покупке активов в свой портфель, экстраполируют
результаты прошлых лет, чтобы предсказать будущее поведение ценных
бумаг. Тем самым цены акций еще больше отдаляются от своей
справедливой оценки в большую сторону для компаний роста (низкое
значение BV/MV).
Компании стоимости (высокий BV/MV), напротив,
становятся все более недооцененными. По мере исчезновения чрезмерной
реакции инвесторов, цены акций корректируются, приближаясь к своим
справедливым оценкам. Так, акции стоимости обеспечивают высокие
доходности, в то время как акции роста генерируют низкие прибыли.
Эффект стоимости был доказан многими академиками на разных
временных периодах и для большинства классов активов по всему миру
(обзор представлен в Hawawini and Keim (2000)).
Эффект размера («size effect»)
Banz
(1981)
впервые
обратил
внимание
на
феномен,
свидетельствующий об отрицательном отношении между доходностями
ценных бумаг и рыночной стоимостью собственного капитала, который
наблюдался на американском рынке. Впоследствии, был введен термин
«эффект размера», подразумевающий, что акции небольших компаний
являются более рискованными и, соответственно, согласно концепции «рискдоходность» ассоциируется с более высокой доходностью по сравнению с
бумагами крупных компаний в долгосрочной перспективе. Практические
результаты действительно показали, что акции низкокапитализированных
компаний в среднем приносят более высокую доходность, чем бумаги
высококапитализированных фирм. Эффект размера, по аналогии с эффектом
25
стоимости, был доказан на разных временных периодах и для большинства
классов активов по всему миру (Hawawini and Keim (2000)).
Claessens, Dasgupta and Glen (1993, 1995, 1998) протестировали данную
рыночную аномалию на развивающихся рынках и пришли к выводу, что бета
не может объяснить наличие избыточной доходности от инвестирования в
маленькие компании. Тем не менее, они пришли к выводу, что на развитых
рынках данный эффект проявляется сильнее.
Barry, Goldreyer, Lockwood и Rodriguez исследовали эффект размера и
стоимости на данных по 35 развивающимся рынкам в течение 15-летнего
периода 1985-2000 гг. Авторы подтвердили, что эффект размера имеет место
при оценке его относительно локального рынка, а не по абсолютным
величинам. Также они выявили и наличие устойчивого эффекта стоимости.
При попытке объяснить данный эффект, также как и эффект стоимости
исследователи
пытались
увязать
его
с
рациональными
причинами.
Предполагалось, что рынок всё же проявляет черты эффективного, в
результате чего дополнительная доходность в долгосрочном периоде
невозможна, соответственно инвестирование в маленькие компании даёт
дополнительную доходность лишь потому, что приносит дополнительный
риск. Данные рассуждение не лишены смысла, Agarwal, Wang, 2007
показали, что эффект стоимости может исчезать при полном учёте
транзакционных издержек. В случае с маленькими компаниями и эффектом
размера, очевидным является низкая степень ликвидности бумаг небольших
фирм. В результате дополнительный доход будет доступен лишь отдельным
инвесторам с небольшим количеством средств под управлением.
Данные эффекты, хоть и проявляются на протяжении существенного
периода времени, имеют свои недостатки. В частности, инвестирование в
стоимость и размер может не приносить прибыли несколько лет подряд, что
может привести к потере контроля надо фондом из-за оттока вкладчиков, к
увольнению портфельного управляющего. Увидеть это можно на графике:
26
Cumulative excess returns (кумулятивная изб.доходность)
100
Market-Riskfree
SMB
HML
Riskfree (bills)
10
1926
1929
1932
1935
1938
1941
1944
1947
1950
1953
1956
1959
1962
1965
1968
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
1
Построено на данным Кеннета Френча
0,1
Рис. 7. Доходности рыночных аномалий (синим – доходность рынка минус
безрисковая ставка, красным – эффект малых фирм, зелёным – value эффект, фиолетовым
– безрисковая ставка).
Мы предполагаем, что данный недостаток может быть устранён при
помощи комбинирования стратегии инвестирования в стоимость и размер с,
к примеру инвестированием в моментум. Эти стили являются отрицательно
скоррелированными, что даст возможность диверсифицировать портфель.
Ребалансировка же поможет в этом случае не только получить доходность от
диверсификации, но и, возможно, сделать рост доходности портфеля более
стабильным вне зависимости от фазы рынка, что является одним из наиболее
важных условий при разработке автоматических стратегий инвестирования,
что и является нашей целью.
27
1.4 Ребалансировка
Принцип ребалансировки предполагает, что инвестор стремится
поддерживать
веса
активов
в
портфеле
на
определённом
уровне.
Необходимость в этом возникает из-за различий в доходностях активов и их
волатильностях. Например, если в портфель изначально были включены два
актива
с
равными
весами:
высокодоходный,
например
акция,
и
низкодоходный, например облигация, то со временем доля высокодоходного
станет существенно выше 50% за счёт более быстрого нарастания его
стоимости. Вместе с этим у портфеля поменяется и соотношение риска и
доходности в пользу высокодоходного. Если доля последнего через
определённый промежуток времени приблизилась, скажем, к 70%, то нужно
продать «лишние» 20% акций и докупить на полученные деньги облигаций,
т.е. ребалансировать портфель к первоначальным весам 50/50.
Зачастую ребалансировка используется именно как необходимое
условие для поддержания выбранного уровня риска. Эффект снижения
волатильности за счёт диверсификации, описанный Г.Марковицем, будет
стремиться к исчезновению, если какой-то высокодоходный, а, значит, и
высокорискованный актив, будет доминировать в портфеле.
Подавляющая часть современной портфельной теории (Modern
portfolio theory – MPT), предполагает, что риск и доходность любого актива
имеют положительную взаимосвязь. Есть ряд исключений, упоминавшихся в
данной работе ранее, таких как стратегии value и momentum, которые
долгосрочно приносят доходность выше рынка, не имея явных рисков,
способных обосновать подобную прибавку. Несмотря на попытку объяснить
данные феномены за счёт учёта транзакционных издержек, налогов или
предположения о наличии рисков, которые пока что не обнаружились, они
сохраняют статус рыночных аномалий. Дополнением к ним может стать
стратегия ребалансировки. Есть работы (Erb, Harvey 2006), (Booth, Fama,
1992), которые показывают, что при определённых условиях подобные
стратегии позволяют повысить доходность портфеля, снизив при этом риск.
28
В работе (Erb, Harvey 2006) приводится такой пример. Изначально
имевшиеся два актива – фьючерсы на мазут (heating oil) и индекс S&P500 –
имели среднегеометрическую доходность в 8,2 и 6,8% соответственно.
Стандартные отклонения составляли 43,5 и 19,8% соответственно. В
результате объединения их в портфель в равных долях доходность составила
10,9%, а риск 21,2% (рис. 8). Средняя доходность активов по-отдельности
при этом составляет 7,5%, а стандартное отклонение в среднем 31,65%.
Рис. 8. Параметры портфеля при включении туда мазута и индекса S&P500
Если снижение волатильности в данном случае легко объясняется
давно известным эффектом диверсификации, то повышение доходности
является неожиданностью. Из рис. 7 при этом видно, что подобный портфель
по соотношению риск-доходность оказывается значительно ближе к
эффективной границе Марковица, чем любой из входящих в него активов поотдельности.
В той же работе (Erb, Harvey 2006) указывается, что исследованные
фьючерсы на товары (commodities) за рассматриваемый период в среднем
имели примерно нулевую доходность и слабую корреляцию между собой.
При этом включение их в ежемесячно ребалансируемый портфель приводило
29
к возникновению положительной доходности, что было названо авторами
«превращение воды в вино».
Ранее в работе (Booth, Fama, 1992) уже был описан подобный эффект.
Авторы показали, что вклад актива в CAGR портфеля превышает CAGR
самого актива в результате снижения итоговой волатильности. При этом
приводится
аппроксимация
формулы
геометрического
среднего,
разложенного в ряд Тейлора, которая показывает, что CAGR подвержен
влиянию волатильности – чем последняя выше, тем ниже геометрическое
среднее по сравнению с арифметическим.
𝐶𝑗 = ln⁡(1 + 𝐸(𝑅𝑗 ) −
𝑠𝑗2
2(1+𝐸(𝑅𝑗 ))
,
(4)
Где:
𝐸(𝑅𝑗 ) - арифметическое (ожидаемое) среднее актива j;
𝑠𝑗2 - дисперсия доходности актива j;
𝐶𝑗 – среднее геометрическое актива j.
При этом, разумеется, адекватной оценкой доходности портфеля
представляется именно геометрическое среднее, что легко показать на
примере. Предположим у инвестора имеется 1000 руб., вложенных в актив. В
первый период доходность составила -50%, во второй +100%. Понятно, что
первоначальная сумма при этом не изменилась – мы сначала потеряли 500
руб., а потом вновь заработали те же 500 руб., т.е. доходность в итоге
составила
0%.
При
этом
арифметическое
среднее
составляет
(-50%+100%)/2=25%, а среднее геометрическое √0,5 ∗ 2 − 1 = 0%. Видно,
что среднее арифметическое завысило доходность.
Соответственно, на основе полученных формул, делается вывод, что
основная причина возникновения доходности портфеля, превышающей
среднее доходностей компонентов, является подавление волатильности,
30
которая измеряется
геометрического
показателем дисперсии, что приводит к росту
среднего.
Получается,
что
дополнительный
доход
образуется за счёт диверсификации, соответственно он и был назван доходом
от диверсификации (diversification return – DR).
Erb и Harvey, придерживаясь того же мнения относительно источника
DR, утверждают, что на него влияют два разнонаправленных эффекта.
Первый – иссушение вариации (variance drain – VD), которое увеличивает DR
за счёт снижения дисперсии, т.е. диверсификации, как и было описано у
(Booth, Fama, 1992). Второй – смещение ковариации (covariance drag – CD),
названный так потому, что авторы определяют его как величину ковариации
актива с его весом в портфеле. Следуя этой логике, они предполагают, что,
если вес из-за отсутствия ребалансировки меняется, то ковариация его с
доходностью актива растёт и это снижает общий эффект. Если вес постоянен,
то, естественно, ковариация с постоянной величиной равна нулю и CD
исчезает.
Также в работе приводится формула для расчёта величины DR,
выведенная для равных весов каждого из активов, входящего в портфель и
усреднения показателей дисперсии и корреляции.
1
1
𝐷𝑅 ≈ (1 − ) 𝜎̅ 2 (1 − 𝜌̅ ),
2
𝐾
(5)
Где:
K – количество активов в портфеле;
𝜎̅ 2 - средний коэффициент дисперсии активов в портфеле;
𝜌̅ - средний коэффициент корреляции активов в портфеле.
Из этой формулы видно, что рост величины DR происходит при росте
дисперсии активов, росте числа активов в портфеле и снижении их средней
корреляции. При этом при корреляции, равной единице, эффект полностью
исчезает.
31
К сожалению в работе не объясняется природа возникновения CD,
причина, по которой этот эффект имеет отрицательное влияние на DR и
почему по величине он примерно равен самому эффекту DR.
Попытка объяснить феномен даётся в работе (Willenbrock, 2011). Автор
утверждает, что то, что называют доходом от диверсификации (DR)
правильнее было бы назвать доходом от ребалансировки, потому что именно
она приносит доход. Диверсификация же является просто следствием
объединения активов в портфель, но никак не причиной возникновения
сверхдохода.
В
подтверждение
этому
приводится
выражение,
предполагающее единичный коэффициент корреляции между активами.
1
𝐷𝑅 ≈ [∑𝑖 𝑤𝑖 𝜎𝑖2 − (∑𝑖 𝑤𝑖 𝜎𝑖 )2 ],
(6)
2
Где:
𝑤𝑖 - вес актива i;
𝜎𝑖 - стандартное отклонение доходностей актива i.
Из выражения следует, что даже при полной скорелированности
доходностей активов, что исключает возможность диверсификации в
привычном понимании, DR всё равно остаётся положительным. Это
укладывается в объяснение, данное Willenbrock, который приписывает
возникновение DR тому факту, что ребалансировка к фиксированным весам
является фактически реализацией стратегии частичной продажи активов с
относительно более высокими ценами и частичной покупки актива с
относительно более низкими ценами. Это легко показать на графике (рис. 9).
Предположим, что мы сформировали портфель, состоящий из актива А,
имеющего значительную волатильность, но нулевую доходность и актива B,
являющегося
альтернативой
текущего
депозита,
т.е.
не
имеющего
доходности. На рис. 9 показаны 4 периода, в которые производится
32
ребалансировка портфеля, веса устанавливаются равные. В каждый период
до вертикальной черты показана стоимость актива в портфеле до момента
ребалансировки, но после роста\падения, сразу за чертой стоимость актива
после ребалансировки. Изначально портфель составляет 100%.
Рис. 9. Показатели ребалансировки в зависимости от динамики доходности актива
На графике видно, что в конце первого периода, когда актив А
понизился в стоимости, мы, ребалансируя портфель, извлекли часть денег с
текущего счёта (актив B) и купили на эти деньги немного актива А. После
этого уже большее количество актива А (если считать в количестве акций,
например) выросло, увеличив общую стоимость портфеля на 1,25% за 2
периода. Далее, когда актив А продолжил расти, мы продали его часть в
конце 3 периода, сохранив часть заработанных денег на депозит, после этого
падение происходило с уже меньшим количеством актива А.
Получается, что ребалансировка является автоматической стратегией,
реализующей принцип «покупай дешево, продавай дорого». Дополнительная
прибыль получается из-за того, что после роста одного актива часть прибыли
«сберегается» в другом, который в это время оказывается ниже собственного
тренда доходности. То, что прибыль от относительно более дорогого актива
33
именно сохраняется, гарантирует наличие отрицательной или слабой
корреляции между активами – когда один растёт второй либо падает, либо
стоит на месте. При этом чем выше волатильность, тем больший доход
можно сохранить на подъёме цены актива и больше падающего актива
купить на спаде.
Такое объяснение соответствует выводам Willenbrock, поскольку даже,
если активы полностью скорелированны, но волатильности у них разные, то
доход также «сберегается» в менее волатильном активе на фазе подъёма и
«извлекается» из него же на фазе спада. Естественно, что в отсутствие
ребалансировки никакого сверхдохода получено быть не может. Сами Erb и
Harvey отметили, что у не ребалансированных портфелей (их DR равен
нулю)
снижение
дисперсии
иногда
даже
превышает
показатели
ребалансированных портфелей, но при этом всё равно утверждали, что
источник сверхдохода лежит в снижении вариации за счёт диверсификации.
Несмотря на это, их формулы вполне подходят для расчёта величины
эффекта, получаемого в результате реализации стратегии ребалансировки.
В литературе отмечается, что ребалансировка обладает значительным
недостатком – она снижает общую доходность, если активы, входящие в
портфель, имеют существенно различающуюся индивидуальную доходность.
В этом случае неизбежное усреднение параметров компонентов портфеля
приводит к регулярным потерям от роста более доходного. Если величина
DR при этом недостаточно высока, то суммарно ребалансировка будет
приводить к потерям. При этом по показателям, отражающим соотношение
риска и доходности, стратегия всё равно может быть лучше за счёт
одновременного снижения риска. Но, чтобы в этом случае добиться
необходимых показателей доходности придётся прибегать к рычагу, который
в ряде случаев недоступен и во всех случаях не бесплатен.
34
Глава 2. Применение стратегии ребалансировки
2.1 Расчёт diversification return (DR) и учёт транзакционных
издержек.
Чтобы объяснить различие в результатах, полученных в работах (Erb,
Harvey 2006) и (Willenbrock, 2011) возьмём предпосылки первой и, в отличие
от авторов, выведем зависимость DR от волатильности, измеряемой
дисперсией, и корреляции между активами в общем виде. То есть мы
отказываемся от упрощения, предполагающего, что веса всех активов равны,
а зависимость выражается при помощи средних показателей вариации и
корреляции.
Предположим, что у инвестора имеется n (i=1…n) активов. Вес
каждого в портфеле составляет wi , стандартное отклонение i-го актива σi ,
арифметическое среднее 𝑟̅ , геометрическое среднее gi , ковариация σij .
𝑔𝑖 ≈ 𝑟̅𝑖 −
𝜎𝑖2
2
На основе разложения геометрического среднего в ряд Тейлора
известно, что с приближением до второго члена прогрессии геометрическое
среднее равно арифметическому среднему минус половина вариации актива
(Erb, Harvey 2006).
По определению 𝐷𝑅 = 𝑔𝑝 − ∑𝑖 𝑤𝑖 𝑔𝑖
DR равен разнице между CAGR портфеля и среднему CAGR входящих
в него активов (Erb, Harvey 2006).
Выразим из первого равенства 𝑔𝑝 и подставим во второе. Получим:
𝜎𝑝2
𝐷𝑅 ≈ 𝑟̅𝑝 −
− ∑ 𝑤𝑖 𝑔𝑖
2
𝑖
Разложим дисперсию портфеля как дисперсии входящих в него активов
∑𝑖 ∑𝑗 𝑤𝑖𝑗 𝜎𝑖𝑗2 и подставим в равенство выше.
35
1
𝜎𝑖2
2
𝐷𝑅 ≈ 𝑟̅𝑝 − ∑ ∑ 𝑤𝑖 𝑤𝑗 𝜎𝑖𝑗 − ∑ 𝑤𝑖 (𝑟̅𝑖 − )
2
2
𝑖
𝑗
𝑖
Сократим средние арифметические портфеля, т.к. ⁡∑𝑖 𝑤𝑖 𝑟̅𝑖 = 𝑟̅𝑝
1
𝜎𝑖2
2
𝐷𝑅 ≈ 𝑟̅𝑝 − ∑ ∑ 𝑤𝑖 𝑤𝑗 𝜎𝑖𝑗 − ∑ 𝑤𝑖 𝑟̅𝑖 + ∑ 𝑤𝑖
2
2
𝑖
𝑗
𝑖
𝑖
1
𝐷𝑅 ≈ (∑ 𝑤𝑖 𝜎𝑖2 − ∑ ∑ 𝑤𝑖 𝑤𝑗 𝜎𝑖𝑗2 )
2
𝑖
𝑖
𝑗
Заменим для удобства ковариацию на корреляцию.
1
𝐷𝑅 ≈ (∑𝑖 𝑤𝑖 𝜎𝑖2 − ∑𝑖 ∑𝑗 𝑤𝑖 𝑤𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗 𝑐𝑜𝑟𝑖𝑗 )
2
(7)
Данный результат совпадает с полученным в (Willenbrock, 2011). Как
уже опоминалось ранее выражение, в отличие от работы Erb и Harvey,
показывает, что при единичной корреляции эффект DR полностью не
пропадает, что далее будет продемонстрировано на реальных данных.
Однако данное выражение подтверждает тот факт, что величина DR зависит
исключительно от волатильности активов, входящих в портфель и тесноты
связи между ними.
Найдём частный случай для равных долей, входящих в портфель
активов. Тогда вес равен 1/n.
1 1
1
DR ≈ ( ∑ σ2i − 2 ∑ ∑ σi σj corij )
2 n
n
i
i
j
Теперь предположим, что дисперсии всех активов равны, получим:
1
1
1
DR ≈ σ2 (1 − 2 ∑ ∑ corij ) ≈ σ2 (1 − cor
̅̅̅̅̅̅)
ij
2
n
2
i
j
Отметим, что, только введя предположение о равенстве дисперсий, мы
получили, что выражение обратится в ноль, если корреляция будет равна
единице. До этого даже при абсолютной скорелированности активов DR
оказывался положительным. Иными словами DR, по сути, не является
36
доходом
от
диверсификации,
а
полностью
обязан
применению
ребалансировки. Кроме того, итоговая величина не зависит от количества
активов в портфеле, как утверждалось в (Erb, Harvey 2006). Наши выводы
соответствуют результатам, полученным в (Willenbrock, 2011) и показывают,
что расхождение в выводах двух работ имело причиной именно упрощение,
предполагающее замену дисперсий активов на показатель средней дисперсии
активов в портфеле.
В вышеприведённой формуле не учитывается наличие транзакционных
издержек, которые вынужден нести инвестор, прибегая к ребалансировке.
Стратегия является активной и требует продавать и покупать активы в той
степени, на которую они отклонились от первоначально заданных весов.
Инвестор при этом несёт два вида издержек: первый – на совершение
транзакции, т.е. комиссии брокера и биржи, второй – проскальзывания, т.е.
покупка или продажа по цене хуже той, по которой планировалось
совершить сделку. Второй вид издержек тем выше, чем ниже ликвидность
актива. Соответственно, если использовать лишь ликвидные активы, то
потери на проскальзываниях будут незначительны.
Интуитивно понятно, что величина транзакционных издержек должна
влиять на принятие решения о применении стратегии. Очевидно также, что
величину потерь от выравнивания весов в портфеле можно снизить, если
снизить частоту ребалансировки. Однако в этом случае, уменьшится и
выигрыш от DR (Ilmanen, 2011). Возникает вопрос: «какая периодичность
является оптимальной?». Представим, что у инвестора есть портфель со
стандартным отклонением σ, в котором он корректирует веса раз в месяц. В
этом случае каждый месяц он теряет доходность, которую мог бы получать,
применяя ребалансировку к внутримесячной волатильности, которая, как
правило, ниже, чем месячная. Например, для индекса S&P 500 дневное,
недельное, месячное и годовое стандартное отклонение доходностей с 1950
по 2013 г. равны соответственно 0.95, 2.1, 4.2 и 16.8%. Зависимость от длины
периода не линейна. Поэтому нельзя заранее сказать какова будет величина
37
недополученной прибыли, если повысить период ребалансировки. Однако
можно сравнить величину DR с заданным периодом с потерями доходности
от транзакционных издержек. Если абсолютная величина DR превышает
расходы на совершение операций, значит применение стратегии оправдано.
2.2 Симуляция DR на искусственных данных.
Для проверки полученных выражений и сопоставления с выводами
(Erb, Harvey 2006) и (Willenbrock, 2011) удобнее всего использовать данные с
заданными параметрами волатильности, корреляции и доходности. Поэтому
будем использовать искусственные данные доходностей с нормальным
распределением.
Для начала подтвердим, что эффект существует даже на случайных
данных с нулевой автокорреляцией, т.е. проявляется даже в условиях
эффективного рынка, на котором по определению нельзя получить
сверхдоходность. Для этого сформируем портфель из двух активов с
равными весами (50/50%), стандартным отклонением одного в 20%, второго
в 30%, нулевой корреляцией и средними на уровне нуля. Проведём тысячу
симуляция и найдём средний показатель DR. Количество наблюдений в
каждой симуляции при этом равно 10 тыс. Количество наблюдений и
симуляций достаточно велико, чтобы по закону больших чисел статистики
случайных рядов стремились к истинным значениям в генеральной
совокупности.
Получили, что среднее значение DR составляет 1,31%, минимальное
1,24%, максимальное 1,38%, распределение следующее (рис. 10):
38
Рис.
10.
Распределение
величины
DR
на
искусственных
данных
в
ребалансированном портфеле.
Получилось, что даже на случайных данных эффект DR оказывается
положительным и достаточно существенным. Стандартное отклонение
портфеля при этом снизилось, составив в среднем для тысячи симуляций
19,3%.
При
тестировании
того
же
портфеля,
но
без
проведения
ребалансировки DR получился очень близок к нулю. Максимальное значение
составило 0,0013%. Распределение DR (рис. 11):
Рис. 11. Распределение величины
DR на искусственных
данных
в не
ребалансированном портфеле.
39
Как видно из графика выше DR имеет исключительно положительные
значения и, как и предполагалось, исходя из формул, стремится к нулю при
отсутствии ребалансировки. Стандартное отклонение при этом снизилось
даже сильнее, чем в случае с ребалансировкой и составило 17,9%. Это
подтверждает довод о том, что получаемый сверхдоход обязан не снижению
дисперсии, приводящему к повышению геометрического среднего, а именно
применению стратегии.
Оценка влияния корреляции между активами показала следующую
зависимость (рис. 12):
Рис. 12. Зависимость величины DR от корреляции активов.
Из рис. 12 видно, что зависимость от корреляции положительна и
линейна, что полностью соответствует зависимости, выведенной в формуле
7. Также стоит отметить, что даже при коэффициенте корреляции, равном
единице, DR полностью не исчезает. Это подтверждает выводы, полученные
после введение упрощений в формулу 7.
Проверим
также
зависимость
DR
от
величины
стандартного
отклонения активов. Для этого сгенерируем наблюдения для двух активов с
40
меняющимися одновременно параметрами корреляции (от -1 до 1) и
стандартного отклонения (от 1 до 23%). Получим (рис.12):
Рис. 13. Зависимость DR от стандартного отклонения и корреляции.
Из рис. 13 видно, что по мере роста волатильности активов DR растёт,
достигая максимума при одновременном сочетании корреляции в -1 и
максимального рассматриваемого стандартного отклонения.
2.3 Тестирование на реальных данных
Проверим наличие эффекта на реальных данных. Для этого возьмём
индекс S&P 500 и фьючерс на кукурузу, обращающийся на Чикагской
товарной бирже (CBOT) за период с 1 июля 1959 г. до 22 мая 2014 г. (659
месяцев). Периодичность данных и период ребалансировки – месяц. Веса
равные. CAGR индекса и фьючерса за этот период составили 0,53 и 0,22%
соответственно, стандартные отклонения – 4,28 и 7,54%, коэффициент
корреляции 0,092.
41
В результате применения стратегии ребалансировки величина DR
составила 0,085% в месяц или 1,01% в год. Расчёт по формуле 7 показал
величину 0,086% в месяц. Небольшое отклонение возникает из-за того, что
формула
является
приблизительной
–
при
оценке
соотношения
арифметического и геометрического среднего после разложения в ряд
Тейлора были исключены все члены, начиная с третьего. В целом она
показывает корректный результат и может использоваться для быстрой
оценки эффекта DR.
Рис. 14. Кумулятивные доходности ребалансированного портфеля, индекса S&P
500 и фьючерса на кукурузу за период с 1 июля 1959 г. до 22 мая 2014 г. (синий – индекс,
красный – фьючерс, зелёный – портфель).
На рис. 14 синим цветом выделена кумулятивная доходность индекса
S&P 500, красным – доходность фьючерса на кукурузу, зелёным –
доходность портфеля. Видно, что ребалансированный портфель проиграл на
данном промежутке индексу, что объясняется слишком существенной
разницей в CAGR активов. Принцип, заложенный в стратегию, предполагает,
что относительно более дорогой актив необходимо продавать, что
сдерживает общий рост. В среднем портфель приносил в месяц 0,45%
42
доходности, в то время как индекс 0,53%, т.е. каждый месяц недополученный
доход составлял порядка 0,08%. Однако оценка эффективности стратегии по
критерию Upside potential ratio (UPR) показывает, что портфель не уступает
индексу – коэффициенты составляют 0,315 и 0,319 соответственно. При этом
для расчёта UPR в качестве минимально приемлемой ставки использовался
средний показатель инфляции в США, равный 2%, а коэффициент неприятия
риска был выбран на умеренном уровне 1,1.
Причина равенства UPR при явном преимуществе индекса в
доходности объясняется тем, что доходности портфеля более скошены в
сторону положительных значений при меньшей вероятности получения
доходностей ниже MAR. Именно для выявления подобных свойств мы и
используем UPR. Более распространённый коэффициент Шарпа не выявил
бы подобной зависимости, поскольку по величине стандартного отклонения
S&P 500 также лучше – 4,28% против 4,5% у портфеля.
Возьмём теперь более схожие по доходности ряды, например те же
бумаги, но за другой период. Начальный момент – 1 января 2007 г. (89
периодов), т.е. период повышенной волатильности из-за Великой рецессии и
восстановления рынков вплоть до текущего момента (май 2014 г.). CAGR
индекса и фьючерса составили 0,32 и 0,31% в месяц соответственно.
43
Рис. 15. Кумулятивные доходности ребалансированного портфеля, индекса S&P
500 и фьючерса на кукурузу за период с 1 января 2007 г. до 22 мая 2014 г. (синий – индекс,
красный – фьючерс, зелёный – портфель).
На данном промежутке ребалансированный портфель (зелёная кривая)
приносил доходность выше индекса (синяя кривая) – 0,44% против 0,32% у
последнего. DR при этом составил 0,1258% в месяц или 1,52% в год (по
формуле
0,123%).
UPR
также
показал
преимущество
стратегии
ребалансировки, составив 0,54 против 0,38 у S&P 500.
Несмотря на то, что на данном промежутке ребалансированный
портфель показал доходность выше бенчмарка, в качестве которого выступал
индекс S&P 500, стоит учитывать, что инвестирование в индекс является в
большинстве случаев пассивной стратегией. Этому способствует наличие
ETF, паевых фондов и прочих производных инструментов, не требующих
вручную подгонять веса и структуру активов в соответствии с индексом. Как
следствие транзакционные издержки почти отсутствуют (кроме первого и
последнего
периодов,
когда
вкладываются
и
забираются
деньги).
Ребалансировка же является активной стратегией, в результате чего каждый
период необходимо нести издержки на совершение операции выравнивания
долей активов в портфеле. Как уже указывалось, у инвестора возникает два
44
вида издержек – на совершение операций и на проскальзывания. Первые
оценим в среднем в 0,04% от суммы сделки (NYSE)[35], вторые также в
0,04%, т.е. как для ликвидных акций, найти которые в нужном количестве на
американском рынке, к счастью, не проблема. Суммарно на совершение
каждой операции будет расходоваться 0,08% от стоимости продаваемых или
покупаемых активов. То есть издержки будут всё-таки не столь велики,
поскольку не нужно будет полностью продавать все активы каждый раз из
портфеля, а лишь нести расходы на коррекцию весов, отклонившихся от
первоначально заданных.
Учтём теперь транзакционные издержки и протестируем стратегию на
тех же данных, что и выше. Получим, что DR изменился незначительно, на
0,003%, составив 0,1228% или 1,48% в год (на 0,04% в год меньше). Таким
образом,
эффект
полностью
сохраняется
и,
по-прежнему позволяет
опережать бенчмарк.
2.4 Тестирование рыночных аномалий
Результаты выше показали, что выгоды, которые возможно получить от
использования ребалансировки, в значительной степени ограничены из-за
сложности подбора актива, который был бы столь же доходен как бенчмарк,
например тот же S&P 500, и в то же время имел с ним низкую корреляцию и
высокую волатильность. Однако известны рыночные аномалии, такие как
эффект стоимости (value) и моментум (momentum), которые могут подойти
под эти критерии. Рассмотрим возможность применения ребалансировки для
повышения доходности аномалий.
Возьмём готовые длинные ряды из библиотеки К.Френча [36]. Эффект
стоимости будем определять как при помощи коэффициента BV/MV,
входящего в трёхфакторную модель Фамы-Френча, так и при помощи
показателя E/P (чистая прибыль к цене). Веса в библиотеке используются
равные. В каждом случае разбивка отсортированного множества акций
45
проводилась на 10 частей и брался крайний дециль – в случае эффекта
стоимости с самыми высокими коэффициентами E/P и BV/MV, в случае
моментума с самыми высокими и низкими доходностями за период с t-12 до
t-1, если считать, что текущий месяц – это t. Рассматриваемый период – с
января 1927 г. по декабрь 2013 г. (Для E\P с июля 1951 г.) Период – месяц.
Для начала рассмотрим эффект стоимости с критерием BV/MV. В
данном случае показатели CAGR и UPR оказались следующие:
‒ для не ребалансированного портфеля: 0,98% и 0,56
‒ для ребалансированного: 1.53% и 0,71
‒ для индекса: 0,48% и 0,28.
Величина DR оказалась равна 0,55% в месяц или 6,8% в год.
Далее рассмотрим эффект стоимости с критерием E/P. В этом случае:
‒ у не ребалансированного портфеля CAGR и UPR: 1,28% и 0,57
‒ у ребалансированного: 1,52% и 0,65
‒ у индекса: те же 0,48% и 0,28.
Величина DR составила 0,23%.
Наконец рассмотрим показатели для стратегии моментум:
‒ у не ребалансированного портфеля CAGR и UPR: 0,79% и 0,51
‒ у ребалансированного: 0,34% и 0,41
‒ у индекса: те же 0,48% и 0,28.
Результаты тестирования показали, что ребалансировка существенно
повышает доходность value стратегий. К тому же улучшается соотношение
риск\доходность, что подтверждает показатель UPR. Существенный рост
доходности для подходов, основанных на инвестировании в стоимость,
отчасти может объясняться эффектом малых фирм. То есть в не
ребалансированном портфеле вес маленьких компаний систематически
оказывается небольшим, хотя доходность их выше. Как только они
вырастают, их доходность постепенно падает, но вес сохраняется крупным,
поскольку
он
пропорционален
накопленной
доходности
(читай
капитализации) компании. В случае же ребалансированного портфеля вес
46
больших компаний оказывается равным весу маленьких компаний, что
позволяет повышенной доходности последних оказывать существенное
влияние на общую доходность портфеля. В то же время стратегия
предполагает, что в портфель попадают акции компаний с высоким
отношением балансовой стоимости капитала к рыночной (или чистой
прибыли к рыночной стоимости). Получается, что ребалансировка позволяет
сочетать выгоды от эффекта малых фирм и эффекта стоимости.
Выбивается из ряда моментум, показатели которого ухудшаются (как
доходность, так и UPR) по сравнению с не ребалансированным портфелем.
Это можно объяснить тем, что разница в доходностях разных акций в
портфеле слишком велика. В результате повышения доли хорошо растущих
акций не приводит к снижению их доходности, как в стратегии value, а вес
при этом уравнивается с хуже растущими акциями. В результате часть
доходности недополучается инвестором.
Теперь
учтём
транзакционные
издержки
при
использовании
ребалансировки совместно с каждым из вариантов рыночной аномалии. Для
BV/MV CAGR снизился на 0,01% в месяц, UPR не изменился. Для E/P CAGR
не изменился, UPR снизился на 0,01. Для моментума CAGR снизился на
0,01%, UPR не изменился.
Как и в случае с портфелем, сформированным из индекса S&P 500 и
фьючерса
на
кукурузу,
на
показатели
ребалансировки
портфелей,
построенных на основе рыночных аномалий, транзакционные издержки
повлияли незначительно.
47
Заключение
В данной работе была рассмотрена стратегия ребалансировки, суть
которой заключается в поддержании фиксированных, изначально выбранных
весов активов в портфеле. При этом возникает ряд эффектов, которые
позволяют улучшить показатель портфеля по критерию риск\доходность. Для
оценки последнего был использован Показатель потенциала роста (Upside
potential ratio – UPR), который позволяет учитывать такие параметры
портфеля
как
скошенность
распределения
доходностей,
высокая
несклонность к риску, вероятность получения и минимально приемлемый
уровень дохода, последний из которых отражает рискованность стратегии,
если её доходы хоть и положительны, но ниже уровня, требуемого
инвестором.
Два основных эффекта, которые проявляются при реализации
стратегии ребалансировки – это снижение риска портфеля за счёт
диверсификации и получение надбавки к CAGR портфеля по сравнению со
средней доходностью входящих в него активов. Первый эффект не является
прямым следствием стратегии, но всегда проявляются в силу того факта, что
ребалансировка требует сочетания из активов с низкой корреляцией, что
было показано как на примере математической зависимости, так и в ходе
тестирования стратегии. Надбавка в литературе носит название дохода от
диверсификации
(diversification
return)
и
при
достаточно
высокой
волатильности компонентов портфеля позволяет опережать бенчмарк, в
качестве которого использовался индекс S&P 500, как по доходности, так и
по показателю UPR.
Ребалансировка, впрочем, обладает существенными ограничениями на
применение. Помимо необходимости в низкой корреляции и высокой
волатильности доходностей активов, сами доходности компонентов не
должны иметь существенного различия. В противном случае стратегия
48
приводит к недополучению прибыли из-за сдерживания роста более
доходного актива.
В работе также было дано объяснение различий в выводах
исследователей данной стратегии, представлена формула расчёта DR,
которая может быть полезна инвесторам, желающим оценить величину
эффекта,
используя
корреляциях
лишь
активов,
общедоступные
либо
конструкторам
данные
о
торговых
дисперсиях
роботов
и
для
определения периодов, когда можно получить дополнительный доход за счёт
ребалансировки портфеля.
В работе было обнаружено, что использование ребалансировки
позволяет повысить доходность рыночных аномалий, связанных с эффектом
стоимости (value effect). Это объясняется тем, что среди уже отобранных
акций по показателям балансовая стоимость\рыночная (BV\MV) стоимость
или чистая прибыль\рыночная стоимость (P\E) ребалансировка позволяет
использовать ещё и эффект малых фирм. Стратегия наделяет компании с
маленькой накопленной прибылью (читай капитализацией) равные веса с
большими компаниями, в результате чего повышенная доходность первых
положительно сказывается на общей результативности портфеля. Однако для
аномалии моментум (momentum effect) ребалансировка ухудшает показатели.
Также было оценено влияние транзакционных издержек: комиссий
торговой инфраструктуры и проскальзываний цен, и выявлено, что оные не
оказывают существенного влияния на величину DR и тем более не способны
нивелировать эффект полностью.
Оценка стратегий при помощи показателя UPR, более совершенного,
чем привычные меры соотношения риск\доходность вроде коэффициента
Шарпа, учёт транзакционных издержек при расчёте результативных
характеристик ребалансируемого портфеля и описание взаимодействия
стратегии с рыночными аномалиями value и momentum, выявившей
возможность значительного повышения доходности, составляют научную
новизну данной работы.
49
В последующих работах интересно было бы рассмотреть влияние
переменных издержек (в зависимости от ликвидности акций) на величину
DR. Это представляет научный интерес в силу того факта, что эффект малых
фирм, предположение о возможном влиянии которого было сделано в данной
работе, сопряжён существенными издержками проскальзывания. Также
полезна была бы информация о влиянии периода ребалансировки на
результаты направленных стратегий вроде моментума и возможности
нивелирования хвостовых рисков, присущих последней.
50
Список литературы
1. Markowitz H.M. Portfolio selection. Efficient diversification of investments / H.M. Markowitz.
– New York, 1959. – 344 p.
2. Pastor L. et al. Liquidity risk and expected stock returns. / L. Pastor, R.F. Stambaugh. Journal of
Political economy, No. 3, 2003. – pp. 642-685
3. Guiso L. et al. Income risk, borrowing constraints, and portfolio choice / L. Guiso, T. Jappelli, D.
Terlizzese. – The American economic review, No.1, 1996. – pp. 158-172
4. Sharpe W. F. Mutual funds performance / W. F. Sharpe – The journal of business, No.1, 1966. –
pp. 119-138
5. Tobin J. Liquidity preference as behavior toward risk. / J. Tobin – 1958. – 26 p.
6. Sharpe W. F. Sharpe ratio / W. F. Sharpe – The journal of portfolio management, 1994. – pp. 4958
7. Allais M. Le Comportement de l'Homme Rationnel devant le Risque: Critique des Postulatset
Axiomes de l'Ecole Americaine. / M. Allais – Econometrica, No.2, 1953. – pp. 503-546
8. Kahneman D., Tversky A. Prospect theory:An analysis of decision under risk / Econometrica,
No.2, 1979. – 263-291
9. Olsen R.A. Behavioral finance and its implications for stock-price volatility. / Financial analysts
journal, No.2, 1998. – pp. 10-18
10. Sortino F.A., Satchel S. Managing downside risk in financial market / Elsevier ltd., 2001a. – 272
p.
11. Artzner P. et al. Coherent measures of risk / P. Artzner, F. Delbaen, J-M. Eber, D.Heath, 1998. –
24 p.
12. Agarwal V. et al. Risks and portfolio decisions involving hedge funds / V. Agarwal, Y.N.
Narayan. – The review of financial studies, No.1, 2004. – pp.63-98
13. Stochastic
dominance
tests
[online].
Режим
доступа:
http://www.vosesoftware.com/ModelRiskHelp/index.htm#Presenting_results/Cumulative_plots/
Stochastic_dominance_tests.htm
14. Basel Committee Proposes Using Expected Shortfall Instead of VaR in Market Risk
Management
[online].
Режим
доступа:
http://www.numtech.com/news/basel-committee-
proposes-expected-shortfall/
15. Sortino F., et al. The impact of downside risk on risk-adjusted performance of mutual funds in
the Euronext markets / F. Sortino, A. Plantinga, R. van der Meer. 2001b. – 14 p.
51
16. Jegadeesh N. et al. Returns to buying winners and selling losers: implications for stock market
efficiency / N.Jegadeesh, S. Titman. The journal of finance, No.1, 1993. – pp.65-91
17. Jegadeesh N. et al. Profitability of momentum strategies: an evaluation of alternative
explanations / N.Jegadeesh, S. Titman. The journal of finance, No.2, 2001. – pp.699-720
18. Chabot B. et al. Price momentum in stocks: insights from Victorian age data / B. Chabot,
E.Ghysels, R. Jagannatan. National bureau of economic research, 2008. – 48 p.
19. Rouwenhorst K.G. International momentum strategies / K.G. Rouwenhorst, 2002. – 18 p.
20. Chan K. et al. Profitability of momentum strategies in the international equity markets / K. Chan,
A. Hameed, W. Tong. Journal of financial and quantitative analysis, No.2, 2000. – pp. 153-172
21. Chui A.C.W. Momentum, legal systems and ownership structure: an analysis of Asian stock
markets / A.C.W. Chui, K.C.J. Wei, S. Titman, 2000. – 47 p.
22. Grundy B.D. et al. Understanding the nature of the risks and the source of the rewards to
momentum investing / B.D.Grundy, J.S. Martin. The review of financial studies, No.1, 2001. –
pp. 29-78
23. Liu (1999)
24. De Bondt W.F.M. et al. Does the stock market overreact? / W.F.M. De Bondt, R. Thailer.
Journal of finance, No.3, 1985. – pp. 793-805
25. Michaely R. et al. Price reactions to dividend initiations and omissions: overreaction or drift? /
R. Michaely, R.H.Thaler, K.I.Womack. The journal of finance, No.2, 1995. – pp. 573-608
26. Chordia T. Earnings and price momentum / T. Chordia, L. Shivakumar, 2005. – 44 p.
27. Lehmann B.N. Fads, martingales, and market efficiency / B.N. Lehman. Quartely journal of
economics, No.1, 1990. – pp. 1-28
28. Daniel K. et al. Tail risk in momentum strategy return / K. Daniel, R. Jagannathan, S.Kim, 2012.
– 34 p.
29. Erb C.B. et al. The tactical and strategic value of commodity futures / C.B. Erb, C.R.Harvey,
2006. – 60 p.
30. Agarwal V. et al. Transaction costs and value premium / V. Agarwal, L. Wang, 2007. – 51 p.
31. Lakonishok J. Good news for value stocks: further evidence on market efficiency / J.
Lakonishok, R. La Porta, A. Shleifer, R. Vishny, 1995. – 24 p.
32. Willenbrock S. Diversification return, portfolio rebalancing, and the commodity return puzzle /
S. Willenbrock, Financial analysts journal, vol. 64, No. 4, 2011. – 8 p.
33. Booth D.G. et al. Diversification returns and asset contributions / D.G. Booth, E.F.Fama,
Financial analysts journal, vol.48, No. 3. – 7 p.
34. Ilmanen A. Expected returns: n Investor's Guide to Harvesting Market Rewards / A. Ilmanen,
2011. – 592 p.
52
35. Тарифы и документы. Открытие брокер [online]. Режим доступа: http://www.openbroker.ru/ru/investing/rates-docs/rates/
36. Kenneth
French
data
library
[online].
Режим
доступа:
http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html
53