Геометрия сфер и многогранников

Муниципальное общеобразовательное учреждение МОУ гимназия №11
Дзержинского района г. Волгограда.
Геометрия сфер и многогранников
Выполнили:
учащиеся 10 «В» класса
МОУ гимназии № 11
Гварамия Софья
Александровна и
Лаврова Алина Эдуардовна
Руководитель:
Булгакова Елена Юрьевна
Волгоград 2014
Содержание
1. Введение…………………………………………….…………………………2
2. Глава I. Теоретическая часть………………………………………………5
2.1. Понятие многогранников…………………………………………………5
2.2. Виды многогранников…………………………………………………….6
2.3. Правильные многогранники………………………………………...……6
2.4. Правильные звездчатые многогранники…………………………………8
2.5. Полуправильные многогранники……………………………………….10
2.6. Многогранники в науках о Космосе и Земле…………………………..12
2.7. Многогранники, вписанные в сферу……………………………...…….13
3. Глава II. Практическая часть…………………………………………..…14
4. Список литературы………………………………………………………....23
5. Приложения
Введение
"Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма
скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины
различных наук" Так писал английский философ Льюис Кэрролл.
Особый интерес к правильным многогранникам связан с красотой и
совершенством формы, которые довольно часто встречаются в природе. Мир
наш наполнен симметрии - этим объясняется непреходящий интерес
человека к
правильным многогранникам
симметрии.
Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов,
-
удивительным символам
ячеек в пчелиных сотах.
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет
до нашей эры в Египте. Одним из примеров является пирамида Хеопса. Это
правильная пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной
233м. и высота, достигаемая 146,5 м. История правильных многогранников
уходит корнями в глубокую древность.Их орнаментные модели были
обнаружены еще на резных каменных шарах, созданных в Шотландии,
приблизительно за 1000 лет до Платона. В значительной мере правильные
многогранники были изучены древними греками.
Теэтет Афинский, древнегреческий математик, современник Платона,
дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и
вывел первое известное доказательство того, что тел ровно пять.
Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции, создавались
философские школы, одной из которых, наиболее известной являлась
Пифагорейская, получившая свое название в честь основателя – Пифагора.
Отличительным
знаком
пифагорейцев
являлась
пентаграмма
-
правильный звездчатый пятиугольник.
Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных
элементов: огня, воды, земли и воздуха: им соответственно предавалась
форма тетраэдра, икосаэдра, куба и октаэдра, а форму додекаэдра получила
вся вселенная. Пифагорейцев поражала красота, совершенство, гармония
этих фигур. Учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в
своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон.
Актуальность
Большой процент обучающихся как в среднем так и в старшем звене,
имеет трудности в изучении геометрии. Особенно сложно дается решение
задач из раздела стереометрия. Наше исследование помогает найти прием
решения задач на нахождения объемов сфер, опираясь на объемы
многогранников.
Цели: Определить, существует ли зависимость между отношением
объемов правильных многогранников и сфер, описанных около них
Задачи:
 Изучить правильные многогранники и сферы
 Вывести
формулу
нахождения
радиуса
через
сторону
многогранника, вписанного в сферу.
 Построить многогранники, опираясь на радиусы сфер, описанных
около многогранников
 Вычислить объемы сфер и многогранников
 Доказать практически справедливость гипотезы
 Проверить экспериментально справедливость гипотезы
Гипотеза:
Если объем многогранника изменяется в некоторое количество раз, то
объем сферы изменится в это же количество раз
Предмет исследований:
Объемы многогранников и сфер
Объект исследований:
Отношение объемов многогранников к объемам сфер, описанных около
многогранников
Глава I
Теоретическая часть
Многогранник –геометрическое тело, ограниченное со всех сторон
плоскими многоугольниками - гранями. Стороны граней называются
ребрами, а концы ребер - вершинами. По числу граней различают
четырехгранники, пятигранники
и другие. Многогранник называется
выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками он содержит и
соединяющий их отрезок.
Иоганну Кеплеру принадлежит заслуга в постановке проблемы
перечисления изозоноэдров – выпуклых многогранников, грани которых,
есть равные ромбы; он также внёс первый вклад в её решение,
открыв ромбододекаэдр и триаконтаэдр.
Свойства выпуклых многогранников:

Многогранник является выпуклым тогда и только тогда, когда он лежит
по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Каждая
грань
выпуклого
многогранника
является
выпуклым
точку
выпуклого
многоугольником

Плоскость,
проходящая
через
внутреннюю
многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.
Замечательный факт был доказан в 18 веке математиком Эйлером1: для
любого выпуклого многогранника справедливо равенство: (Г+В) - Р =2, где Г
– грани, В – вершины, Р – рёбра.
Это можно проверить на любой призме, пирамиде, правильном
многограннике. Например, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Мы
видим,
что
равенство
соблюдается:
(4+4)-6=2.Следовательно,формула
Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.
1
Леонард Эйлер — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший
фундаментальный вклад в развитие этих наук, также физики, астрономии и ряда других прикладных наук.
Теорема Эйлера о многогранниках - теорема, устанавливающая связь
между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, эквивалентных
сфере. Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2.
Об этой формуле говорил ещё Декарт в 1640 году, а позднее её
переоткрыл Леонард Эйлер в 1752, имя которого с тех пор она и носит.
XVI – XVII вв.; Европа, время, когда жил и творил немецкий астроном,
математик Иоганн Кеплер (1571-1630).
Кеплер написал этюд «О снежинке», в котором высказал свое
замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель
остальных — куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр,
ибо у октаэдра столько углов, сколь у куба граней». Кеплер первым
опубликовал полный список тринадцати архимедовых тел и дал им те
названия, под которыми они известны в наше время;труд самого Архимеда
утрачен: возможна версия того, что его рукопись погибла во время
знаменитого пожара Александрийской библиотеки.
Виды многогранников
Правильные многогранники
Многогранник называется правильным, если его грани являются
правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой
вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
На первый взгляд мы можем сказать, что правильных многогранников
существует столько, сколько существует правильных многоугольников.
Однако, в «Началах Евклида» существует строгое доказательство того, что
существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями
могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники,
квадраты и правильные пятиугольники (пентагоны).
1. Тетраэдр – правильный четырехгранник. Имеет 4 треугольные грани, 6
ребер, 4 вершины, в каждой сходятся 3 ребра
2. Гексаэдр – правильный шестигранник, куб состоящий из шести равных
квадратов.
3. Октаэдр
–
правильный
восьмигранник.
Он
состоит
из
восьми
равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по
четыре у каждой вершины.
4. Додекаэдр – правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати
правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой
вершины.
5. Икосаэдр – состоит из двадцати равносторонних и равных треугольников,
соединенных по пять около каждой вершины.
Структура правильных многогранников очень удобна для изучения
множества преобразований многогранника, таких как, например: повороты
или симметрии. Симметричность позволила создать серию головоломок в
виде правильных многогранников, примером чего являются «кубик Рубика»
и «молдавская пирамидка».
Имена многогранников напрямую связаны с числом их граней:
Тетраэдр – четыре грани, в переводе с греческого "тетра" – четыре;
Гексаэдр (куб) – шесть граней, "гекса" - шесть;
Октаэдр – восьмигранник, "окто" - восемь;
Додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать;
Икосаэдр – двадцать граней, "икоси" - двадцать.
Учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих
трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон.
Платоновы
тела -
трехмерный
аналог
плоских
правильных
многоугольников.Междудвумерным и трехмерным аналогами есть важное
отличие: существует бесконечное множество правильных многоугольников,
но только пять правильных многогранников.
Это
была
одна
из
первых
попыток
ввести
в
науку
идею
систематизации. Существование пяти правильных многогранников относили
к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных
элементов должны иметь форму различных тел, таких как:
 Земля – гексаэдр, самая устойчивая из фигур;
 Огонь – тетраэдр, его вершина устремлялась вверх, как язык
разожженного пламени
 Вода – икосаэдр, самый обтекаемый
 Воздух – октаэдр
 Вселенная – додекаэдр, символизирующий весь мир.
Платон подробно описал свойства правильных многогранников:
Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере. Помимо
этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные
сферы, одна из которых, «срединная сфера», проходит через середины всех
ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все
три сферы имеют общий центр, называющийся центром многогранника.
Из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить:
Правильные звездчатые многогранники
Существует всего четыре правильных звездчатых многогранника.
Первые два были открыты И. Кеплером, а два других построены двести лет
спустя французским математиком Луи Пуансо, жившим в 1777 – 1859 гг.
Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название
тел Кеплера – Пуансо.
В работе «О многоугольниках и многогранниках» в1810 г. Луи Пуансо
перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил,
но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число
граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20. Ответ на этот вопрос был дан год
спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши, жившим
в 1789 – 1857 гг. в работе «Исследование о многогранниках». В ней
доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме
как перечисленных Пуансо. Коши приходит к выводу о том, что правильные
звездчатые
многогранники
получаются
из
выпуклых
правильных
многогранников путем продолжения их ребер или граней.
Свойства звездчатого многогранника Кеплера – Пуансо:
 Вершины многогранника являются вершинами куба;
 Звездчатый многогранник представляет собой объединение двух
правильных тетраэдров;
 пересечение тетраэдров является правильным октаэдром
Звездчатый октаэдр– восемь пересекающихся плоскостей граней
октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к
октаэдру. Это малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями
октаэдра. Его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся
тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все
вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а
ребра его являются диагоналями граней этого куба. Октаэдр имеет только
одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник в 1619 году описал
Кеплер (1571-1630) и назвал его «stellaoctangula» - восьмиугольная звезда.
Звездчатый додекаэдр
в XVII в. Кеплером
были открыты два правильных звездчатых
многогранника – малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый
додекаэдр.Два других звездчатых многогранника – большой додекаэдр и
большой икосаэдр были открыты спустя почти двести лет, в 1810 году.
Полуправильные многогранники
Полуправильными многогранниками называются многогранники, у
которых грани – правильные многоугольники разных типов и все
многогранные углы равны (более точное их название – равноугольно
полуправильные многогранники).
Полуправильными многогранниками считаются Архимедовы тела.
У Архимедовых многогранников все многогранные углы равны, все грани
- правильные многоугольники, но нескольких различных типов. В каждой
вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом
порядке. Называют 13 или 14 архимедовых тел2. Эти тела ограничены не
одноименными
правильными
многоугольниками.
Полная
теория
полуправильных многогранников была восстановлена немецким ученым И.
Кеплером, который первым опубликовал список тринадцати архимедовых
тел и дал им названия, под которыми они известны поныне.
Тринадцать архимедовых тел:
•
Усечённый тетраэдр
•
Усечённый октаэдр
•
Усечённый гексаэдр (усечённый куб)
Число Архимедовых тел неточное, поскольку псевдо-ромбо-кубо-октаэдр иногда не
причисляют к этому семейству
2
•
Усечённый додекаэдр
•
Усечённый икосаэдр
•
Кубо-октаэдр
•
Ромбо-кубо-октаэдр
•
Ромбо-усечённый кубо-октаэдр
•
Плосконосый куб (курносый куб)
•
Икосо-додекаэдр
•
Усечённый икосо-додекаэдр
•
Ромбо-усечённый икосо-додекаэдр
•
Плосконосый додекаэдр (курносый додекаэдр)
Полуправильные многогранники – архимедовы тела, можно получить
из Платоновых тел с помощью «отсечения углов», или «отсечения ребер».
Существуют также звездчатые полуправильные многогранники
В настоящее время открыт пятьдесят один полуправильный звездчатый
многогранник, но не доказано точно то, что это конечная цифра.
Многогранники в науках о космосе и земле
В1597 году, используя правильные многогранники, Кеплер вывел
принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет солнечной
системы.
Иоганн Кеплер,немецкий астроном и математик попытался связать со
свойствами правильных многогранников некоторые свойства Солнечной
системы. Он предположил, что расстояния между шестью известными тогда
планетами
выражаются
через
размеры
пяти
правильных
выпуклых
многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой "небесных сфер",
по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал
одно из Платоновых тел. Согласно этому предположению, в сферу орбиты
Сатурна был вписан куб, в который вписана сфера орбиты Юпитера. В неё, в
свою очередь, вписан тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В
сферу орбиты Марса вписан додекаэдр, в который вписана сфера орбиты
Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты
Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписана
сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название
«Космического кубка Кеплера».
Кеплер считал, что тайна Вселенной раскрыта, но год за годом он
уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег и, наконец, нашёл в
себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Сегодня мы можем с
уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число
никак не связаны с многогранниками.
Многогранники, вписанные в сферу
Сфера (шар)– геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все
точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние
называется радиусом шара
Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его
вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для
данного многогранника. Центр этой сферы является точкой, равноудаленной
от вершин многогранника. Она является точкой пересечения плоскостей,
каждая из которых проходит через середину ребра многогранника
перпендикулярно ему.
Теоремы многогранников, вписанных в сферу
 Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда
около основания пирамиды можно описать окружность.
 Около призмы можно описать шар только в том случае, если призма
является прямой и около ее основания можно описать окружность.
 Сфера может быть описана около параллелепипеда тогда и только
тогда, когда параллелепипед прямоугольный, так как в данном случае
он является прямым и около его основания - параллелограмма - может
быть описана окружность (т. к. основание - прямоугольник).
 Около любого конуса можно описать сферу.
 Около любого цилиндра можно описать сферу.
Следствия:
 Сфера, описанная около правильного многогранника, касается всех
углов этого многогранника.
 Центром сферы, описанной около правильного многогранника, является
точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из центра каждой
грани многогранника (достаточно двух).
Глава II
Практическая часть
В начале нашей исследовательской работы, мы взяли три сферы
различного размера (далее Сфера 1, Сфера 2 и Сфера 3) и измерили их
диаметры при помощи штангенциркуля. Благодаря этому, мы смогли
рассчитать многогранники какого размера нам необходимо вписать в
выбранные сферы.
Рассчитывалось это по следующим формулам:
Куб
Т. О - центр пересечения диагоналей
данного куба. Из этого можно сделать
вывод, что т. О равноудалена от всех
вершин куба
ОВ1 – радиус описанной окружности
;BD1 – диаметр
, из чего следует то, что
Теперь установим взаимосвязь между радиусом описанной сферы и
стороной тетраэдра
AQ и PQ – серединные перпендикуляры к
плоскостям BCD и ABC;
, следовательно, т. О –
центр описанной окружности.
– равнобедренный, значит OK
серединный перпендикуляр.
Рассмотрим треугольник BPD и KOD (прямоугольный).
– общий =>
BP=AP=
АМ=
BP=
DP
Из подобия треугольников BPD и KOD следует:
=>
; DO
;
=>a=
R=
Так, на основании полученных нами данных были построены развертки
многогранников, которые мы решили вписывать в сферы. Нами были
выбраны следующие многогранники — тетраэдр и куб.
Развертка тетраэдра строится следующим образом:
 Определяется точный размер граней и основания тетраэдра:
 Строится боковая поверхность развертки, представляющая собой
равносторонний треугольник;
 Далее этот треугольник дублируется еще два раза, таким образом,
получается три грани тетраэдра;
 К развертке боковой поверхности тетраэдра пристраивается его
основание (также равносторонний треугольник);
 К основанию и одному из ребер пристраиваются клапана для
склеивания.
Построение развертки тетраэдра по формуле, через известную сторону:
a=
;
, отсюда получаем, что
(Тетраэдр 1);
, отсюда получаем, что
(Тетраэдр 2);
, отсюда получаем, что
(Тетраэдр 3).
Построение развертки для куба делается по следующей схеме:
 Определяется точный размер граней куба (гексаэдра);
 Строится боковая поверхность развертки — квадрат (четыре равные
стороны);
 К нему пристраивается еще пять таких же квадратов — оставшиеся
грани куба;
 К граням пристраиваются клапаны для более удобного склеивания
куба.
Теперь построим развертки кубов, взятых нами для исследования.
(Куб1, Куб 2, Куб 3).
Сторона куба
, тогда диаметры кубов будут соответственно равны:
, отсюда получаем, что R=81,
(Куб 1);
, отсюда получаем, что R=54,
(Куб 2);
, отсюда получаем, чтоR=40,
(Куб 3).
После окончания построения мы вырезали и склеили изготовленные
развертки. В итоге получили необходимые нам три куба.
Нашей основной задачей было установить соотношение между
объемами выбранных нами сфер и объемами многогранников. Для начала
надо было найти объем выбранных тел. Так что для этого было решено
воспользоваться следующим методом:

Берется мензурка;

Наполняется водой до определенной отметки;

По очереди в мензурку опускается Сфера 1, Сфера 2 и Сфера
3;

Фиксируется новое полученное значение для этих трех сфер
(Таблица);

Путем вычитания зафиксированных значений для разных тел
из изначального количества воды, получается объем каждой сферы;

В мензурку по очереди опускаются все многогранники (Куб 1,
Куб 2, Куб 3; Тетраэдр 1, Тетраэдр 2, Тетраэдр 3);

Также как в случае со сферами, записывается значение для
многогранников;

Вычитая полученное значение из фиксированного, мы
получается объем многогранника;

Подтверждая все полученные данные, мы вычислим их по
формулам.
Тело
Изначальная высота, мм Повысилось, мм Полученный V
Сфера 1
162
238
2185
Сфера 2
162
69
638
Сфера 3
162
30
277
Куб 1
162
86
796
Куб 2
162
24
228
Куб 3
162
11
102
Тетраэдр 1
162
30
277
Тетраэдр 2
162
9
83
Тетраэдр 3
162
4
37
2.1
4.7
2.2
Найдем отношение объемов сфер
7,88
2,303
Найдем отношение объемов кубов
2,132
4,783
2,243
Теперь вычислим объем геометрических тел,
использованных в
эксперименте практически:
Для начала найдем объем тетраэдров по уже известной формуле.
Теперь найдем объем кубов
Vк1= (
Vк2= (
Vк3= (
Найдем объем сфер по формуле
Известно, что
;
;
;
, следовательно,
.;
Теперь мы увеличим объем кубов в n – количество раз.
Итак, мы доказали, что при увеличении объема куба в n – количество
раз, объем описанной сферы также увеличится в n – раз.
;
, (так какR =
);
Теперь увеличим объем тетраэдра в n – количество раз.
;
Итак, мы доказали, что при увеличении объема тетраэдра в n –
количество раз, объем описанной сферы также увеличится в n – раз.
Следующим шагом найдем отношение объемов тетраэдров
3,3797
8,0909
2,3939
Найдем отношение объемов сфер
8,3059
2,4589
Найдем отношение объемов кубов
3,3881
8,03
2,37
Погрешность вычислений произошла за счет приближенных
иррациональных чисел к десятичным дробям.
Итак, в ходе вычислительных действий, мы убедились, что отношение
объемов сфер и объемов многогранников вписанных в сферы соответственно
равны.
Вывод
Мы, экспериментально и практически, сумели доказать, что если объем
многогранника изменить в некоторое количество раз, то и объем сферы
изменится.
Список Литературы
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия 10-11 класс. –
М.: Просвещение, 2007
2. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. – М.: Гостехиздат,
1956.
3. Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М.—Л., Гостехиздат,
1950
4. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение,
1966.
5. Правильные многогранники / http://www.scribd.com /doc/2613164.
6. Звездчатые многогранники /http://penza.fio.ru/personal/58/3/3/zvezd.htm.
7. Звездчатые многогранники /http://гu.wikipedia.org/wiki/Звездчатыe
многогранники.
8. Тайны многогранника
http://nsportal.ru/ap/drugoe/library/tainymnogogrannikov
9. Теория многогранников http://polyhedron2008.narod.ru/pages/polyhedr.htm
10. Виды многогранников
http://www.propro.ru/graphbook/Graphbook/book/001/027.htm
11. Многогранники Архимеда http://mnogogranniki.ru/stati/191mnogogranniki-arkhimeda.html
12. Правильные многогранники или Платоновы тела http://repetitorproblem.net/pravilnyie-mnogogranniki