Урываев Б.В. Об одной линейной релаксации разрезного

Урываев Б.В. Об одной линейной релаксации разрезного многогранника. // Проблемы
информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей Всерос. научнотехн. конф.– Пенза: ПДЗ, 2008. – С. 59-61.
ОБ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕЛАКСАЦИИ
РАЗРЕЗНОГО МНОГОГРАННИКА
Б.В. Урываев
Ярославский государственный университет,
г. Ярославль
Разрезной многогранник [1] и его линейные релаксации связаны со многими
важными комбинаторными задачами, такими, как «максимальный разрез»,
«максимальная 2-выполнимость» и др. Рассмотрим некоторые линейные
релаксации разрезного многогранника, первая из которых исследовалась в работе
[2], установим ряд важных свойств.
В пространстве Rm при m = 4n2 обозначим координаты точек xij, yij, zij, tij, (i, j 
Nn). Определим многогранник Mn системой ограничений:
xij + yij + zij + tij = 1,
(1)
xij + yij = xkj + ykj,
(2)
xij + zij = xik + zik,
(3)
xij = xji, tij = tji, yij = zji,
(4)
yii = zii = 0,
(5)
xij ≥ 0, yij ≥ 0, zij ≥ 0, tij ≥ 0,
(6)
где i, j, k независимо пробегают значения 1, 2, …, n.
Обозначим Mn,3 многогранник, удовлетворяющий ограничениям (1) – (6) для
многогранника Mn и дополнительным ограничениям для каждой тройки i, j, k:
xij + tij + xik + tik + yjk + zjk ≤ 2,
(7)
xij + tij + yik + zik + xjk + tjk ≤ 2,
(8)
yij + zij + xik + tik + xjk + tjk ≤ 2,
(9)
yij + zij + yik + zik + yjk + zjk ≤ 2.
(10)
Установим ряд важных свойств многогранника Mn,3.
Свойство 1. Общее число ограничений в (1)-(10) полиномиально по n.
Свойство 2. Размерность многогранника Mn,3 равна n(n+1)/2.
Свойство 3. Множество целочисленных вершин многогранника Mn,3 состоит
из 2n точек, каждая из которых имеет координаты:
xij = xiixjj, yij = (1 – xii)xjj, zij = xii(1 – xjj), tij = (1 – xii)(1 – xjj),
где x = (x11, . . . ,xnn)  Rn – произвольный вектор из нулей и единиц.
Свойство 4. Все целочисленные вершины многогранника Mn,3 являются
попарно смежными.
Свойствами 3 и 4 обладает многогранник Mn (см. [2]). Поскольку новые
гиперплоскости (7)-(10) не «срезают» целочисленные вершины, то ребра между
ними останутся ребрами. Таким образом, утверждения 3 и 4 справедливы и для
Mn,3.
Введём следующие обозначения:
xijk = ½ (2 – xij – tij – xik – tik – yjk – zik),
(11)
yijk = ½ (2 – yij – zij – xik – tik – xjk – tik),
(12)
zijk = ½ (2 – xij – tij – yik – zik – xjk – tik),
(13)
tijk = ½ (2 – yij – zij – yik – zik – yjk – zik),
(14)
xi,j,n+1 = zi,j, yi,j,n+1 = xi,j, zi,j,n+1 = yi,j, ti,j,n+1 = ti,j,
где i, j, k  {1, 2, …, n}, i < j < k.
Нетрудно проверить, что выполняются условия
xijk + yijk + zijk + tijk = 1,
(15)
xijk + yijk = xilk + yilk,
(16)
xijk + zijk = xijl + zijl,
(17)
yijk + zijk = yljk + zljk,
(18)
xijk ≥ 0, yijk ≥ 0, zijk ≥ 0, tijk ≥ 0.
(19)
где i, j, k  {1, 2, …, n, n+1}, i < j < k.
Отметим, что система ограничений (15) – (19) легко приводится к виду Ax = e,
x ≥ 0, где A – булева матрица, e – вектор из единиц; т. е. многогранник,
задаваемый этими условиями, является релаксационным многогранником
разбиений. В то же время он находится во взаимнооднозначном соответствии с
многогранником Mn,3. Поэтому справедливо следующее утверждение.
Лемма. Mn,3 является релаксационным многогранником разбиений.
Теорема.
Mn,3
является
квазицелочисленным
релаксационным
многогранником разбиений.
Справедливость данного утверждения следует из предыдущего и из теоремы
Трубина, приведенной, например, в [3].
Обозначим Wn множество целых вершин многогранника Mn. Выпуклая
оболочка conv Wn может быть преобразована в разрезной многогранник. Mn
соответствует корневому полуметрическому многограннику, а Mn,3 –
полуметрическому (см. [1]). Выполняется conv Wn  Mn,3  Mn. Таким образом,
Mn и Mn,3 можно рассматривать как линейные релаксации разрезного
многогранника, причём conv W2 = M2 и conv W3 = M3,3. Более тесная релаксация
Mn,4, такая, что W4 = Mn,4, определяется добавлением к ограничениям (1) – (10)
новых неравенств (запишем их, используя обозначения (11) – (14)):
xij + xik + xil + xjk + xjl + xkl + tijk + tijl + tikl + tjkl ≥ 1,
xij + xik + zil + xjk + zjl + zkl + tijk + yijl + yikl + yjkl ≥ 1,
xij + zik + xil + zjk + xjl + ykl + yijk + tijl + zikl + zjkl ≥ 1,
xij + zik + zil + zjk + zjl + tkl + yijk + yijl + xikl + xjkl ≥ 1,
zij + xik + xil + yjk + yjl + xkl + zijk + zijl + tikl + xjkl ≥ 1,
zij + xik + zil + yjk + tjl + zkl + zijk + xijl + yikl + zjkl ≥ 1,
zij + zik + xil + tjk + yjl + ykl + xijk + zijl + zikl + yjkl ≥ 1,
zij + zik + zil + tjk + tjl + tkl + xijk + xijl + xikl + tjkl ≥ 1,
yij + yik + yil + xjk + xjl + xkl + xijk + xijl + xikl + tjkl ≥ 1,
yij + yik + til + xjk + zjl + zkl + xijk + zijl + zikl + yjkl ≥ 1,
yij + tik + yil + zjk + xjl + ykl + zijk + xijl + yikl + zjkl ≥ 1,
yij + tik + til + zjk + zjl + tkl + zijk + zijl + tikl + xjkl ≥ 1,
tij + yik + yil + yjk + yjl + xkl + yijk + yijl + xikl + xjkl ≥ 1,
tij + yik + til + yjk + tjl + zkl + yijk + tijl + zikl + zjkl ≥ 1,
tij + tik + yil + tjk + yjl + ykl + tijk + yijl + yikl + yjkl ≥ 1,
tij + tik + til + tjk + tjl + tkl + tijk + tijl + tikl + tjkl ≥ 1.
Многогранники Mn и Mn,3 наряду с целочисленными имеют и
нецелочисленные вершины. Интересен вопрос, «срезаются» ли они новыми
гиперплоскостями, определяющими более тесные релаксации. Известно, что
координаты нецелых вершин многогранника Mn принимают значения лишь из
множества {0, 1, ½}; эти вершины не удовлетворяют условиям
(7) – (10). Для Mn,3 этот вопрос пока открыт. Mn,3 имеет очень сложные вершины с
произвольно большим знаменателем. Вершины многих классов, например, с
координатами, принимающими значения ⅓ и ⅔, не удовлетворяют новым
неравенствам, определяющим Mn,4.
Библиографический список
1. Бондаренко, В.А. Полиэдральные графы и сложность в комбинаторной
оптимизации. – Ярославль: Яросл. гос. ун-т. 1995. – 126 с.
2. Деза, М.М., Лоран, М. Геометрия разрезов и метрик: пер. с англ.
Е. Пантелеевой и П. Сергеева / под ред. В. Гришухина. – М.: МЦНМО, 2001. –
736 с.
3. Емеличев, В.А., Ковалев, М.М., Кравцов, М.К. Многогранники, графы,
оптимизация. – М.: Наука, 1981. – 344 с.