М2 для БИО

ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
3 4
8 7
2 6
0 1
1.
Вычислить
2.
Решите систему
0 5
4 2
2 5
0 8
Вариант 1
а) методом Крамара; б) методом Гаусса
2 x1  3 x 2  x 3  5

 x1  2 x 2  2 x 3  5
7 x  x  4 x  10
 1
2
3
3.
Проверить коллинеарность векторов a (5;10;1), b (2;4  0.4) . Установить,
какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они расположены друг к другу.
4.
Найти
проекцию
вектора
на
вектор
a  2i  5 j  3k
b  16i  8 j  16k .
5.
Найти угол между диагоналями четырехугольника, если известны его
вершины А(1;4;-5), В(-2;3;-1), С(5;-6;2), D(1;4;0).
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  p  2q, b  3 p  q; p  1, q  2, ( p^ q)   / 6.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 2
1. Вычислить
3 2 1 5
0
1 2 1
1 2  5 5
1
4
3 1
2. Решите систему
а) матричным методом; б) методом Гаусса
6 x1  x2  7 x3  5

8
3 x1  2 x2
5 x  3 x  x  0
2
3
 1
3. Вычислить работу силы f  (2;3;5) по перемещению из положения А(5;3;-7)
в положении В(4;-1;-4).
4. Найти
вектор
x,
удовлетворяющий
условиям:
x , a   5, xb  11, xc  20, где a =(-2;-1;3), b =(1;–3;2), c =(3;2;–
4).
5. Найти объем тетраэдра с вершинами А(4;-1;2), В(4;-1;3), С(4;-3;2), D(6;4;3).
6. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  3 p  q, b  p  2q; p  4, q  1, ( p^ q)   / 4.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант3
8
8
4
0
1.
Вычислить
2.
Решите систему
7 2 10
0 7 10
2 4 5
4 3 2
а) методом Крамара; б) методом Гаусса
x  y  z  4

2 x  3 y  2 z  1
3x  y  z  0

3.
Вычислить внутренние углы треугольника с вершинами А(6;-8;-7,5), В(3;4;2), С(2;5;-2).
4.
Даны два вектора a =(3;–1;5), b =(1;2;–3) . Найти вектор x при
условии, что он перпендикулярен к оси OZ и удовлетворяет условиям:
xa  9, xb  4 .
 
5
6
5.
Найти модуль a  b , если известно, что a  6, b  2, a , b 
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  p  3q, b  p  2q; p  1 / 5, q  1, ( p^ q)   / 2.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 4
1 1
1
1
1 1 2
2
1 1 1 3
2 3
1 1
1.
Вычислить
2.
Решите систему
а) матричным методом; б) методом Гаусса
2 x1  3 x2  x3  6

 16
3 x1  x2

2 x2  2 x3  7

3.
Даны точки А(-2;4;9), В(6;3;-3), С(-5;1;5). Вычислить длину высоты,
опущенной из точки С на сторону АВ.
4.
Даны три вектора a =(0;1;3), b =(4;1;8), c =(5;8;10). Найти
2
3a  2a b  c 2 .
5.
Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках А(2;-1;-1), В(5;5;4),
С(3;2;-1), D(4;1;3).
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  3 p  22q, b  p  5q; p  4, q  1 / 2, ( p^ q)  5 / 6.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 5
2 1 1 0
0 1 2 1
3 1 2 3
3 1 6 1
1.
Вычислить
2.
Решите систему
а) методом Крамара; б) методом Гаусса
0.04 x  0.08 y  4 z  20

4 x  0.24 y  0.08z  8
 0.09 x  3 y  0.15z  9

3.
Лежат ли точки А(3;-2;1), В(1;2;-3), С(3;-4;-7), D(3;-2;1) в одной плоскости?
4.
Найти длину и направляющие косинусы вектора M P , если М(–5;4;–7),
Р(1;–6;3).
 
3
4
5.
Найти модуль a  b , если известно, что a  4, b  6, a , b 
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  p  2q, b  2 p  q; p  2, q  3, ( p^ q)  3 / 4.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 6
2
2
6
2
1.
Вычислить
2.
Решите систему
3 3 4
1 1 2
2 1 0
3 0 5
а) матричным методом; б) методом Гаусса
3 x1  2 x2  2 x3  6

 x1  3 x2  x3  11
5 x  3 x  4 x  8
 1
2
3
3.
Проверить, что четыре точки А(3;-5;3), В(-8;3;-13), С(5;-6;-3), D(-2;0;4)
служат вершинами трапеции.
4.
Вектор a параллелен оси ОХ. Найти его, если известно, что проекция
вектора a на вектор b  2i  j  2k равна 2.
 
3
4
5.
Найти модуль a  b , если известно, что a  4, b  7, a , b 
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  p  3q, b  p  2q; p  2, q  3, ( p^ q)   / 3.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 7
2 3 4 1
4 2 3 2
1 0 2 4
3 1 4 3
1.
Вычислить
2.
Решите систему
а) методом Крамара; б) методом Гаусса
 18
3x1  x2

2 x1  5 x2  x3  7
x

x3  8
 1
3.
Векторы a и c взаимно перпендикулярны, вектор b образует с ними углы,
равные 11/3, зная, что / a /  2, / b /  3, / c /  6 , вычислить (a  2b  3c ) 2 .
4.
Найти площадь треугольника АВС, если А(1;1;1), В(–1;2;0), С(1;3;–2).
5.
6.
Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках А(3;2;-1), В(2;1;3),
С(-1;4;3), D(3;-5;0).
7.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  2 p  q, b  p  3q; p  3, q  2, ( p^ q)   / 2.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант8
3 1
5 2
0 2
6 2
1.
Вычислить
2.
Решите систему
4 2
0 1
1 3
9 8
а) матричным методом; б) методом Гаусса
14 x1  5 x2  13x3  2

 10 x1  4 x2  8 x3  5
  2x  x  x  4

1
2
3
3.
Установить, компланарны ли векторы a  (2;1;2), b  (1;2;3), c  (3;4;7), и
если нет, то какую тройку они образуют.
4.
Определить проекции вектора a на оси ОХ и ОУ, если известно, что
этот вектор a  xi  yj  3k параллелен вектору b  2i  4 j  6k .
 
2
3
5.
Найти модуль a  b , если известно, что a  7, b  5, a , b 
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  4 p  q, b  p  q; p  7, q  2, ( p^ q)   / 4.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 9
2
2
6
2
3 3 4
1 1 2
2 1 0
3 0 5
1.
Вычислить
2.
Решите систему
а) методом Крамара; б) методом Гаусса
3 x1  2 x2  2 x3  6

 x1  3 x2  x3  11
5 x  3 x  4 x  8
 1
2
3
3.
Доказать, что АС и ВD, взаимно перпендикулярны, если А(3;-1;7), В(1;2;1),
С(7;4;-2), D(6;-8;-7/3).
4.
В треугольнике АВС даны точки А(2;–8), В(5;–4) и Н(3;–2) – точка
пересечения высот. Найти координаты точки С.
5.
Найти угол между диагоналями четырехугольника, если известны его
вершины А(6;-2;9), В(-4;1;-3), С(2;3;-1), D(4;1;-2).
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  p  4q, b  3 p  q; p  1, q  2, ( p^ q)   / 6.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 10
2 3 4 1
4 2 3 2
1 0 2 4
3 1 4 3
1.
Вычислить
2.
Решите систему
а) матричным методом; б) методом Гаусса
 18
3x1  x2

2 x1  5 x2  x3  7
x

x3  8
 1
3.
Даны точки А(1;2;-1), В(3;2;-4), С(2;-1;-1). Вычислить площадь треугольника
АВС.
4.
Найти
вектор
удовлетворяющий
условиям:
x,
x , a  5, xb  11, xc  20, где a =(-2,-1,3), b =(1,-3,2), c =(3,2,-4).
5.
6.
Найти объем тетраэдра с вершинами А(3;3;3), В(-3;4;2), С(1;6;5), D(2;1;4).
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  p  4q, b  2 p  q; p  7, q  2, ( p^ q)   / 3.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 11
3 1
5 2
0 2
6 2
1.
Вычислить
2.
Решите систему
4 2
0 1
1 3
9 8
а) методом Крамара; б) методом Гаусса
14 x1  5 x2  13x3  2

 10 x1  4 x2  8 x3  5
  2x  x  x  4

1
2
3
3.
На плоскости даны два вектора p  (7;4), q  (1;2) и найти разложение
вектора a  (2;1) по базису p и q .
4.
что
xa
5.
Даны два вектора a =(3,-1,5), b =(1,2,-3) . Найти вектор x при условии,
он перпендикулярен к оси OZ и удовлетворяет условиям:
 9, x b  4 .
Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках А(0;1;4), В(1;1;2),
С(3;0;2), D(2;3;-1).
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  3 p  2q, b  p  q; p  10, q  1, ( p^ q)   / 2.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 12
5
4
2
4
1.
Вычислить
2.
Решите систему
1
0
2
2
2 1
4 3
3 2
5 4
а) матричным методом; б) методом Гаусса
3.21x  0.71y  0.34 z  6.12

0.43x  4.11y  0.22 z  5.71
0.17 x  0.16 y  4.73z  7.06

3.
Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находят в точках А(-3;2;5),
В(2;-2;1), С(-4;-2;0), D(8;-4;5).
4.
Даны три вектора a =(0,1,3), b =(4,1,8), c =(5,8,10). Найти
3a 2  2a b  c 2
 
2
3
5.
Найти модуль a  b , если известно, что a  4, b  3, a , b  
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  4 p  q, b  p  2q; p  5, q  4, ( p^ q)   / 4.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 13
1.
Вычислить
2.
Решите систему
3.
Даны векторы a  (0;1;3), b  (4;2;3), c  (2;3;6) вычислить a b c  и a b c .
а) матричным методом; б) методом Гаусса
4.
Вектор a параллелен оси ОХ. Найти его, если известно, что проекция
вектора a на вектор b  2i  j  2k равна 2.
5.
Найти угол между диагоналями четырехугольника, если известны его
вершины А(9;2;-1), В(6;-4;3), С(5;4;-8), D(2;3;-5).
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  2 p  3q, b  p  2q; p  6, q  7, ( p^ q)   / 3.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 14
5 3 3 3
1 0 1 1
1.
Вычислить:
2.
Решить систему а) методом Крамера; б) методом Гаусса
2 1
4 1
1
2
1
3
4x 1  7 x 2  3x 3  5;

 x 1  6x 2  2x 3  8;
2x  x  3x  1
2
3
 1
3.
Вычислить внутренние углы треугольника с вершинами А(1;2;1), В(3;-1;7),
С(7;4;-2).
4.
Найти площадь треугольника АВС, если А(1,1,1), В(-1,2,0), С(1,3,-2).
5.
6.
Найти объем тетраэдра с вершинами А(5;2;-1), В(3;-1;0), С(2;0;5), D(2;0;-4).
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  3 p  q, b  p  2q; p  3, q  4, ( p^ q)   / 3.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 15
2 0 1 2
3 1 1 0
1.
Вычислить
2.
Решить систему
0 2
1 3
2
1
1
1
а) методом Крамера; б) методом Гаусса
 3x 1  6x 2  4x 3  8;

x 1  2x 2  3x 3  7;
 3x  5x  x  4
1
2
3

3.
Лежат ли точки А(3;6;-3), В(0;3;15), С(-3;6;3), D(6;3;9) в одной плоскости?
4.
Определить проекции вектора a на оси ОХ и ОУ, если известно, что
этот вектор a  xi  yj  3k параллелен вектору b  2i  4 j  6k .
5.
Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках А(-2;2;3), В(3;2;1),
С(1;4;4), D(-3;5;0).
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  2 p  3q, b  p  2q; p  2, q  3, ( p^ q)   / 4.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 16
2
1
1.
Вычислить
2.
Решить систему
2
2
1 3
2 2
3
5 6 6
 4 1 3 7
а) методом Крамера; б) методом Гаусса
2x 1  2x 2  x 3  7;

 4x 1  5x 2  2x 3  9;
3x  4x  3x  9
2
3
 1
3.
Проверить, что четыре точки А(-1;5;-10), В(5;-7;8), С(2;2;-7), D(5;-4;2)
служат вершинами трапеции.
4.
В треугольнике АВС даны точки А(-6,2), В(2,-2) и Н(1,2) - точка
пересечения высот. Найти координаты точки С.
5.
6.
Найти объем тетраэдра с вершинами А(2;-7;1), В(3;-1;2), С(2;1;4), D(3;4;-3).
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  2 p  3q, b  3 p  q; p  4, q  1, ( p^ q)   / 6.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 17
1.
Вычислить
5
5 2 1
1  7 4  2
4
3
2.
Решить систему
9
6
3
4
6
1
а) методом Крамера; б) методом Гаусса
3x 1  7 x 2  2x 3  4;

2x 1  3x 2  3x 3  7;
 x  4x  2x  2
2
3
 1
3.
Доказать, что АС и ВD, взаимно перпендикулярны, если А(2;-3;5), В(3;-2;-1),
С(2;-4;2), D(-1;-1;-4;6).
4.
Найти
вектор
удовлетворяющий
условиям:
x,
xa  5, xb  11, xc  20, где a =(-2,-1,3), b =(1,-3,2), c =(3,2,-4).
5.
Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках А(1;-3;0), В(0;5;2),
С(6;2;-1), D(4;-3;4).
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  5 p  q, b  p  3q; p  1, q  2, ( p^ q)   / 3.
ФГОУ ВПО Орел ГАУ
Кафедра математики
Дисциплина: математика
Специальность 240901 «Биотехнология»
Модуль №2 «Элементы линейной и векторной алгебры»
Вариант 18
1.
Вычислить
5
1
5 3
4
2
2.
6
1
2
2
1
2
3
2
3
1
Решить систему уравнений
а) методом Крамера; б) методом Гаусса
 4x 1  2x 2  3x 3  5;

3x 1  x 2  5x 3  7;
5x  4x  3x  6
2
3
 1
3.
Даны точки А(-2;1;9), В(3;-1;2), С(3;4;-2). Вычислить площадь треугольника
АВС.
4.
Даны два вектора a =(3,-1,5), b =(1,2,-3) . Найти вектор x при условии,
что он перпендикулярен к оси OZ и удовлетворяет условиям:
x a  9, x b  4 .
5.
Найти объем тетраэдра с вершинами А(-5;6;-4), В(-2;-4;-8), С(3;5;7), D(5;2;1).
6.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b
a  7 p  2q, b  p  3q; p  1 / 2, q  2, ( p^ q)   / 2.