Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2014 г. Теоретический тур. 8 класс

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2014 г.
Теоретический тур.
8 класс
(10 баллов)
(10 баллов)
3. Через два неподвижных блока, находящихся на одной высоте,
перекинута длинная лёгкая нить, к концам которой прикреплены два груза
одинаковой (см. рисунок) массы. Нить начинают медленно оттягивать вниз за
точку , находящуюся посередине между блоками. График зависимости силы F,
прикладываемой к нити, от смещения х этой точки приведён на рисунке. Найти
приблизительную массу m каждого из грузов. Трения нет.
(10 баллов)
4. На прямой дороге находятся велосипедист, мотоциклист и пешеход
между ними. В начальный момент времени расстояние от пешехода до
велосипедиста в 2 раза меньше, чем до мотоциклиста. Велосипедист и
мотоциклист начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 20 км/ч и
60 км/ч соответственно. В какую сторону и с какой скоростью должен идти
пешеход, чтобы встретиться с велосипедистом и мотоциклистом в месте их
встречи?
(10 баллов)
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2014 г.
Теоретический тур.
Решение задачи.
8 класс
(10 баллов)
Решение 1.
Рисунок 1
Рисунок 2
Рис.1
Рис.2
Рисунок 3.
Рисунок 3.
(10 баллов)
Решение 2.
(10 баллов)
Решение 3.
(10 баллов)
Решение 4.
См. рисунок
Рисунок к зад. 4
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2014 г.
Теоретический тур.
9 класс
Задача 1.
Мотоциклист, увидел медленного движущийся длинный поезд и решил
измерить его длину. Когда хвост ползущего поезда поравнялся со стоящим
мотоциклистом, он поехал вдоль поезда и положил белый камень в момент,
когда он поравнялся с головой тепловоза. Затем мотоциклист развернулся, и
поехал обратно, и положил второй камень рядом с концом поезда.
Мотоциклист измерил расстояние от места своей стоянки до каждого из
камней, которые оказались равными 160 и 480 метров. Найдите длину поезда, а
также, во сколько раз мотоциклист ехал быстрее, чем поезд.
(10 баллов)
Задача 2.
В цилиндрический сосуд налита вода до уровня Н.
На высоте h1 = 1/3 Н от дна в стенке проделано
маленькое отверстие. На какой высоте от дна надо
проделать еще одно отверстие, чтобы обе струи
падали в одну точку? Скорость вытекания струи из
отверстия равна   2 gh , где h – высота уровня
воды над отверстием.
(10 баллов)
Задача 3.
На наклонной плоскости стоит ящик с песком; коэффициент трения k ящика о
плоскость равен тангенсу угла α наклона плоскости. В ящик вертикально
падает некоторое тело и остается в нем. Будет ли двигаться ящик после падения
в него тела?
(10 баллов)
Задача 4.
У экспериментатора есть два тела в виде шаров одного диаметра. Первый шар
всплывает в воде с постоянной установившейся скоростью υ0 . Второй шар
тонет в воде с постоянной установившейся вдвое большей скоростью. С какой
постоянной установившейся скоростью будут тонуть эти шары, если их связать
вместе? Сила сопротивления движению пропорциональна скорости.
(10 баллов)
Задача 5.
В калориметре находится m=100 г расплавленного металла галлия при
температуре его плавления tпл=29,8 оС. При медленном охлаждении без
внешних воздействий его удалось охладить до t=19,8 оС, при этом галлий
остался жидким. При перемешивании такого переохлаждённого галлия
палочкой, часть его перешла в твердое состояние. Найти массу отвердевшего
галлия и установившуюся в калориметре температуру, если удельная теплота
плавления галлия =80 кДж/кг, удельная теплоемкость жидкого галлия с=410
Дж/(кг· оС). Теплоёмкостью калориметра и палочки можно пренебречь.
(10 баллов)
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
9 класс
1. (10 баллов) Мотоциклист, увидел медленного движущийся длинный поезд и
решил измерить его длину. Когда хвост ползущего поезда поравнялся со
стоящим мотоциклистом, он поехал вдоль поезда и положил белый камень в
момент, когда он поравнялся с головой тепловоза. Затем мотоциклист
развернулся, и поехал обратно, и положил второй камень рядом с концом
поезда. Мотоциклист измерил расстояние от места своей стоянки до каждого из
камней, которые оказались равными 160 и 480 метров. Найдите длину поезда, а
также, во сколько раз мотоциклист ехал быстрее, чем поезд.
Решение. В первом случае время движения мотоциклиста вдоль поезда и его
путь будут равны:
l

, x1    t1 
(1)
t1 
l ,
u
u
где l – длина поезда; υ, u – скорости мотоциклиста и поезда;
x1 = 480 м, x2 = 160 м.
Во второй части движения имеем::
l

, x1  x2    t2 
t2 
 l . (2)
u
u
Из (1), (2) следует:
x1
  u n 1
48
3



 .
x1  x 2   u n  1 48  16 2

 u
n 1
 x1 
 x1  384 м. .
Откуда получаем: n   5 . Тогда l 

n
u
1. Найдены путь и время на первом участке движения – 3 балл.
2. На втором участке движения – 3 балла.
3. Найдена длина – 2 балла.
4. Найдено, во сколько раз отличаются скорости – 2 балла.
2. (10 баллов)
В цилиндрический сосуд налита вода до уровня Н.
На высоте h1 = 1/3 Н от дна в стенке проделано
маленькое отверстие. На какой высоте от дна надо
проделать еще одно отверстие, чтобы обе струи
падали в одну точку? Скорость вытекания струи из
отверстия равна   2 gh , где h – высота уровня
воды над отверстием.
Решение. При падении с высоты h1 дальность полета S и высота h1 связаны
соотношениями
g t12
m 12
 mg H  h1  .
S = υ1 t 1 , h 1 =
,
2
2
При падении с высоты h2
g t 22
m  22
 mg H  h2  .
S = υ2 t 2 , h 2 =
,
2
2
Из этих формул получаем, что:
h1
t12  22 H  h2
,



h2 t 22 12 H  h1
h1 (H – h1) = h2 (H – h2) ,
h22 – H h2 + h1 H – h12 = 0,
H
H2
H H
h1,2  
 h1 H  h1    ;
2
4
2 6
2
Ответ: h2  H
3
h2 
2
H,
3
1
h1  H .
3
1. Записано соотношения при падении с высоты h1 – 3 балла.
2. Записано соотношения при падении с высоты h2 – 3 балла.
3. Записано выражения для вычисления отношения высот– 2 балла.
4. Подставлены численные значения в системе СИ и получен ответ – 2 балла.
3. (10 баллов) На наклонной плоскости стоит ящик с песком; коэффициент трения
k ящика о плоскость равен тангенсу угла α наклона плоскости. В ящик
вертикально падает некоторое тело и остается в нем. При каких условиях ящик
не будет двигаться после падения в него тела?
Решение. Ящик не будет двигаться, потому что сообщаемые ему
нормальная pn и тангенциальная pt (по отношению к наклонной плоскости)

слагающие импульса р вертикально падающего тела будут удовлетворять
pn
соотношению
 tg  , которому удовлетворяют слагающие веса ящика
pt
mg n
 tg   k . В результате действия последних ящик не приходит в
mg t
движение. После полной остановки падающего тела в ящике увеличение веса
ящика по той же причине не приведет его в движение.
1. Определены условия покоя ящика и правильно записаны соотношения составляющих
импульса– 10 балл.
4. (10 баллов) У экспериментатора есть два тела в виде шаров одного диаметра.
Первый шар всплывает в воде с постоянной установившейся скоростью υ 0 .
Второй шар тонет в воде с постоянной установившейся вдвое большей
скоростью. С какой постоянной установившейся скоростью будут тонуть эти
шары, если их связать? Сила сопротивления движению пропорциональна
скорости.
Решение.
При установившемся движении сила тяжести, сила Архимеда и сила
сопротивления уравновешивают друг друга. Тогда условие равномерного
движения в первом случае будет равно:
FA – m1 g = FC1 = k υ0 , где k – коэффициент пропорциональности, FA – сила
Архимеда. Таким образом:
(ρ0 –ρ1) υ g = k υ0 .
(1)
Во втором случае получаем:
(ρ2 – ρ0) υ g = FC2 = k 2υ0 . (2)
В третьем случае имеем:
ρ1 υ g + ρ2 υ g – 2 ρ0 υ g = FC1 + FC2 = 2 k υ . (3)
Решая (1) – (3) , получяем υ = 0,5 υ0.
1. Определено равенство сил – 1 балла.
2. Записаны условия равномерного движения – 2 балла для каждого случая.
3. Решена система и получено выражение для скорости – 3 балла.
5. (10 баллов) В калориметре находится m=100 г расплавленного металла галлия
при температуре его плавления tпл=29,8 оС. При медленном охлаждении без
внешних воздействий его удалось охладить до t=19,8 оС, при этом галлий
остался жидким. При перемешивании такого переохлаждённого галлия
палочкой, часть его перешла в твердое состояние. Найти массу отвердевшего
галлия и установившуюся в калориметре температуру, если удельная теплота
плавления галлия =80 кДж/кг, удельная теплоемкость жидкого галлия с=410
Дж/(кг· оС). Теплоёмкостью калориметра и палочки можно пренебречь.
Решение.
Когда галлий отвердевает, выделяется теплота кристаллизации, что повышает
температуру галлия вплоть до его температуры плавления tпл=29,8 оС, так как
только при этой температуре жидкий и твёрдый галлий находятся в равновесии.
Количество теплоты кристаллизации массы m1 галлия равно m1. Эта теплота
идёт на нагревание всего металла до температуры плавления:
Q = cm1 (tпл - t).
Т.е. получаем:
m1= сm(tпл - t)/ 5,1 гр.
1. Определено условие нагрева металла до температуры плавления – 3 балла.
2. Записано уравнение для теплоты кристаллизации – 2 балла.
3. Получено выражение для массы отвердевшего галлия – 3 балла.
4. Получен правильный ответ – 2 балла.
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2014 г.
Теоретический тур.
10 класс
1. Скейтборд массой М = 500 г находится на горизонтальной поверхности. На одном конце
скейтборда в точке А сидит лягушка. С какой наименьшей скоростью она должна
прыгнуть, чтобы попасть в точку
В
на
A
B
скейтборде, отстоящую на l = 26 см от точки
l
m
А? Масса лягушки m = 150 г. Трением между
M
скейтбордом и поверхностью пренебречь.
(10 баллов)
2. На наклонной плоскости находится брусок, к которому приложена направленная вверх
вдоль наклонной плоскости сила F = kmg , где k = 1,5 и mg – сила тяжести. Коэффициент
трения μ = 0,8. При каком угле наклона плоскости ускорение бруска будет минимальным и
каково оно?
(10 баллов)
3. Шарам, расположенным как показано на рисунке, сообщили
некоторые скорости, причем правому – скорость
V0 ,
направленную направо. Шары столкнулись 10 раз и больше не
сталкивались. Найдите изменение скорости правого шара. Все
удары абсолютно упругие и центральные, трение отсутствует.
Правый шар массивней левого в 2000 раз.
(10 баллов)
4. Самолет совершает вираж, двигаясь по окружности с постоянной скоростью υ на одной и
той же высоте. Определить радиус r этой окружности, если плоскость крыла самолета
наклонена к горизонтальной плоскости под постоянным углом α .
(10 баллов)
5. К нижней части воронки, помещенной в сосуд с
водой, прижата давлением тонкая пластинка, как
показано на рисунке. Если в воронку налить воду массой
m1 = 0,5 кг, пластинка отпадет. Отпадет ли пластинка,
если в воронку насыпать дробь массой m2 = 0,5 кг?
Ответ обосновать.
(10 баллов)
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2014 г.
Теоретический тур.
10 класс
1. Скейтборд массой М = 500 г находится на горизонтальной поверхности. На одном конце
скейтборда в точке А сидит лягушка. С какой наименьшей скоростью она должна
прыгнуть, чтобы попасть в точку В на
A
B
скейтборде, отстоящую на l = 26 см от точки
l
А? Масса лягушки m = 150 г. Трением
m
между
скейтбордом
и
поверхностью
M
пренебречь.
(10 баллов)
Решение. Напишем уравнение закона сохранения импульса в проекции на горизонтальную
ось для системы «лягушка – скейтборд»
0 = mu cos α – M υ ,
(1)
где u и υ – скорости лягушки и скейтборда соответственно относительно поверхности; α
– угол к горизонту, под которым прыгает лягушка. Время прыжка лягушки определяется
кинематикой тела, брошенного под углом к горизонту
t
2u sin 
.
g
(2)
За это время лягушка должна преодолеть относительно скейтборда расстояние l ,
определяющее точки A и B :
l = (u cos α + υ) t . (3)
Из уравнений (1) – (3) находим скорость лягушки:
u
Из формулы (4) видно, что
glM
.
(m  M ) sin 2
(4)
u имеет минимальное значение при
u min 
α = 45о. Таким образом,
glM
.
(m  M )
1. записано уравнение закона сохранения импульса – 2 балла.
2. Найдено время прыжка – 2 балла.
3. Найдено расстояние АВ относительно скейтборда – 2 балла.
4. Решена система и получено выражение для скорости лягушки – 2 балла..
5. Найдена минимальная скорость – 2 балла.
2. (10 баллов) 2. На наклонной плоскости находится брусок, к которому приложена
направленная вверх вдоль наклонной плоскости сила F = kmg , где k = 1,5 и mg – сила
тяжести. Коэффициент трения μ = 0,8. При каком угле наклона плоскости ускорение бруска
будет минимальным и каково оно?
Решение. На брусок действуют четыре силы: сила тяжести

N , сила трения


F1  mg , сила реакции опоры


f TP и внешняя сила F . Проектируя основное уравнение динамики для
бруска на направления его движения, найдем a = g [ k – (sin α + μ cos α)] . Преобразуем
выражение (sin α + μ cos α).
sin α + μ cos α = r sin β sin α + r cos β cos α = r cos (α – β),
где r sin β = 1, r cos β = μ . tg  
1 2
, r = 1 + μ2 .

Таким образом, sin α + μ cos α = 1   cos (α – β).
Ускорение будет минимальным тогда, когда (sin α + μ cos α) максимально, или же cos
2
(α – β) = 1, т.е.     arc ctg   51,3 . При этом величина ускорения
o


a min  g k  1   2  2,2 м/c2 при g = 10 м/с2.
1. Записано основное уравнение динамики для бруска и выведено ускорение – 4 баллов.
2. Сделаны преобразования и определено условие минимальности ускорения – 4 балла.
3. Получено минимальное ускорение -2 балла.
3. (10 баллов) Шарам, расположенным как показано на
рисунке, сообщили некоторые скорости, причем правому –
скорость V0 , направленную направо. Шары столкнулись 10
раз и больше не сталкивались. Найдите изменение скорости
правого шара. Все удары абсолютно упругие и центральные,
трение отсутствует. Правый шар массивней левого в 2000 раз.
Решение. Так как масса левого шара намного меньше, чем правого, то его скорость при
каждом соударении с большим уменьшается по величине примерно на 2V0 . После n ударов
легкий шар будет иметь скорость примерно υ0 – 2n V0. Дальнейшие соударения станут
невозможны, если  V0   0  2n V0  V0 . Отсюда υ0 ≈ 2n V0. Записываем закон
сохранения энергии
m  02 m( 0  2n V0 ) 2 M (Vo  V ) 2 MV02
.



2
2
2
2
Пренебрегая малыми членами, получаем: V 
m 02
2n 2 mV0 V0

 .
2 МV0
М
10
1. Найдено уменьшение скорости левого шара – 2 балла.
2. Найдена скорость легкого шара после n соударений – 2 балл.
3. Определено условие прекращения соударений – 2 балла.
4. Получено выражение для закона сохранения энергии – 2 балла.
5.Найдено изменение скорости правого шара– 2 балла.
4. (10 баллов) Самолет совершает вираж, двигаясь по окружности с постоянной скоростью υ
на одной и той же высоте. Определить радиус r этой окружности, если плоскость крыла
самолета наклонена к горизонтальной плоскости под постоянным углом α .
(10 баллов)

Fn

FB
α

Fr
α

mg
Решение. Когда самолет летит прямолинейно, плоскость
крыла горизонтальна. Подъемная сила в этом случае
направлена вертикально вверх, т.е. перпендикулярна к
плоскости крыла. При повороте корпуса самолета вокруг
продольной оси подъемная сила поворачивается на тот же
угол, т.е. продолжает оставаться перпендикулярно к
плоскости крыла, так как силы взаимодействия самолета
с окружающей средой зависят лишь от относительного движения самолета и среды.
mg = Fn . cos α ,
m 2
2
.
Fr  Fn  sin  
 r 
r
g  tg 
1. Сформулированы направления подъемной силы при горизонтальном движении и при
повороте– по 2 балла.
2. Сделан рисунок– 2 балла
3. Записаны уравнения проекций подъёмной силы при повороте– 2 балла.
4. Найдено уравнение для радиуса поворота – 2 балла.
5. (10 баллов) К нижней части воронки, помещенной в
сосуд с водой, прижата давлением тонкая пластинка,
как показано на рисунке. Если в воронку налить воду
массой m1 = 0,5 кг, пластинка отпадет. Отпадет ли
пластинка, если в воронку насыпать дробь массой m2 =
0,5 кг? Ответ обосновать.
(10 баллов)
Решение.
Плотность свинца приблизительно в десять раз превышает плотность воды и поэтому
дробинки расположатся в самой нижней части воронки. Давление дроби на пластинку будет
равно pд 
m2 g
Shg
, где S – площадь пластинки, или p д   д
  д h1 g . Вода же зайдет
S
S
и в узкую часть трубки воронки. В первом приближении давление воды можно представить в
виде p  p1  p2   в h2 g   в h3 g , где h2 – высота широкой части воронки, а h3 – высота
занятой водой узкой части воронки. Как видно из формулы, давление определяется лишь
высотой водяного столба. В узкой части трубки воронки даже небольшой объем воды
создает большое давление. Не отпадет.
1. Найдено выражение для давления на пластинку – 3 балла.
2. Получено приближенное давление воды – 3 баллов.
3. Получено обоснование и правильный ответ – 4 балла.
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
11 класс
1. (10 баллов) Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте h = 19,6 м на две
одинаковые части. Через секунду после взрыва одна часть падает на землю под тем местом,
где произошел взрыв. На каком расстоянии S2 от места выстрела упадет вторая часть
снаряда, если первая упала на расстоянии
S1 = 1000 м от места выстрела? Силу
сопротивления воздуха при решении задачи не учитывать.
2. (10 баллов) Твердое тело с привязанной к нему легкой нерастяжимой нитью, перекинутой
через блок очень малого радиуса, лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Блок
подвешен на высоте
h = 1 м над поверхностью. К другому концу нити приложили
постоянную горизонтальную силу Т. Первоначально тело покоится, и нить образует с
вертикалью угол α = 60о. Определить скорость тела в момент отрыва груза от поверхности,
если известно, что ускорение груза в начальный момент а = 15 м/с2. Массой блока и
трением пренебречь.
3. (10 баллов) В цилиндрический сосуд радиуса R , частично
заполненный водой, падает цилиндрическая пробка радиуса r и
высотой h . Начальная высота нижней поверхности пробки над
уровнем воды равна Н, начальная скорость равна нулю. Какое
количество теплоты выделиться после того, как движение пробки и
воды прекратится? Плотность пробки равна ρ, плотность воды –
ρ0 .
h
H
g
2R
4. (10 баллов) Металлической тонкостенной сфере с радиусом R1=5,0см и массой m=0,015г
сообщают заряд до тех пор, пока при достижении потенциала
φ1=10кВ оболочка не
разлетится на мелкие осколки вследствие электростатического отталкивания ее частей.
Найти скорость её осколков к моменту, когда они окажутся на сферической поверхности
радиусом R2=12 см.
5. (10 баллов) Металлический стержень ОА вращается вокруг точки О в плоскости,
перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля В = 1 Тл с угловой скоростью ω =
300 рад/с. Свободный конец стержня скользит
A
по дуге окружности радиусом R = 0,1 м.
Между точкой С дуги и точкой закрепления

В
стержня включена батарея с ЭДС ε и
внутренним сопротивлением r. Направление
вращения стержня и направление магнитной
индукции указаны на рисунке. Сопротивления
R
стержня, дуги и контакта между ними C
пренебрежимо малы. Определить напряжение
O
ε, r
на зажимах батареи.
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
11 класс
1. (10 баллов) 1. (10 баллов) Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте h =
19,6 м на две одинаковые части. Через секунду после взрыва одна часть падает на землю под
тем местом, где произошел взрыв. На каком расстоянии S2 от места выстрела упадет вторая
часть снаряда, если первая упала на расстоянии
S1 = 1000 м от места выстрела? Силу
сопротивления воздуха при решении задачи не учитывать.
Решение.
Падение одной половины снаряда под местом разрыва показывает, что весь импульс,
который имел снаряд в верхней точке, передан второй половине снаряда. Падение за 1с с
высоты в 19,6 м говорит о том, что падающая часть получила при разрыве начальную
скорость υ0 вниз, следовательно, и вторая половина получила такой же импульс вверх.
Поэтому вторая часть снаряда после разрыва имеет начальную скорость 2 υ гор в
горизонтальном направлении (где υгор есть горизонтальная составляющая скорости снаряда
при выстреле) и υ0 в вертикальном направлении. Скорость υ0 определяется из равенства
g 2
h  0 
, где
2
τ – время падения первого осколка. Горизонтальная составляющая
gt 2
и h
: υгор = S1
2
g
.
2h
Расстояние до места падения второго осколка от места разрыва по горизонтальному
направлению можно определить по формулам, описывающим полет снаряда в безвоздушном
пространстве:
скорости
υгор определится из равенства S1 = υгор t
2



h

2
h
h

S 2  S1  2 гор 
 

  .
g  g  2  
g  2


Заменяя υгор на S1
g
, получаем ответ:
2h
2



2h  h    
 2g  h 
S 2  S1 
 
 
   1 .
h
g

2
g
g

2  




 
S2 = 5000 м.
1. Выполнен анализ разрыва снаряда – 2 балла.
2. Найдена горизонтальная составляющая скорости – 2 балла.
3. Определено расстояние до места падения второго осколка от места разрыва – 4 балла.
4. Получен ответ – 2 балла.
2. (10 баллов) Твердое тело с привязанной к нему легкой нерастяжимой нитью, перекинутой
через блок очень малого радиуса, лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Блок
подвешен на высоте
h = 1 м над поверхностью. К другому концу нити приложили
постоянную горизонтальную силу Т. Первоначально тело покоится, и нить образует с
вертикалью угол α = 60о. Определить скорость тела в момент отрыва груза от поверхности,
если известно, что ускорение груза в начальный момент а = 15 м/с2. Массой блока и
трением пренебречь.
Решение. Из второго закона Ньютона в проекции на горизонтальное направление
ma = T sin α
находим T 
ma
. При отрыве нить будет составлять с вертикалью угол
sin 
β , определяемый из условия равенства нулю силы N давления тела на пол. Из второго
закона Ньютона в проекции на вертикальную ось: 0 = T cos β + N – mg , при N = 0 найдем
mg g
 sin  . Горизонтальный участок нити переместится на расстояние Δ l ,
T
a
h
h
равное уменьшению длины ее наклонного участка:  l 
, и сила T тогда

cos  cos
cos 
совершает работу равную:
1  mah  1
a 
 1
A  Tl  Th



,

 cos  cos  sin   cos  g sin  
которая пойдет на приращение кинетической энергии груза.
Из условия A 
m 2
2ah  1
a 

найдем  

 = 3 м/с.
2
sin   cos  g sin  
1. Записан второй закон Ньютона и взяты проекции на оси – 3 балл.
2. Сформулировано условие обрыва нити – 1 балл.
3. Найдена работа горизонтальной силы– 2 балла.
4. Найдено формула для скорости – 2 балла.
5. Получен правильный ответ– 2 балла.
3. (10 баллов) В цилиндрический сосуд радиуса R , частично
заполненный водой, падает цилиндрическая пробка радиуса r и
высотой h . Начальная высота нижней поверхности пробки над
уровнем воды равна Н, начальная скорость равна нулю. Какое
количество теплоты выделиться после того, как движение пробки и
воды прекратится? Плотность пробки равна ρ, плотность воды – ρ0 .
Решение. Введем начальную и конечную (h1 и h2) высоту уровня
жидкости относительно нижней поверхности плавающей пробки.
Пробка, упав, свою потенциальную энергию mg (H + h1) израсходует
на подъем воды
m0 gh2
2
h
H
g
2R
и на выделение некоторого количества теплоты
Q .
Следовательно, получаем:
Q  mg H  h1  
m0 gh2
,
2
где m = ρ π r2 h , m0 = ρ0 π (R2 – r 2) (h2 – h1). Условие плавания пробки имеет вид
ρh
= ρ0 h2 . Условие вытеснения пробкой части воды в сосуде h1 π r 2= (h2 – h1)π (R2 – r 2) .
Отсюда
2

Q  gh  r  H 
2 0


r 2 
h1  2  .
 R 
1. Записано уравнение закона сохранения энергии – 4 балла.
2. Сформулировано условие плавания пробки – 2 балла.
3. Получена конечная формула для выделившейся теплоты – 4 балла.
4. (10 баллов) Металлической тонкостенной сфере с радиусом R1=5,0см и массой m=0,015г
сообщают заряд до тех пор, пока при достижении потенциала
φ1=10кВ оболочка не
разлетится на мелкие осколки вследствие электростатического отталкивания ее частей.
Найти скорость её осколков к моменту, когда они окажутся на сферической поверхности
радиусом R2=12 см.
Решение. Заряженная сфера обладает электростатической энергией
1
1
W  C112  q 1 ,
2
2
где С1 – емкость сферы в начальном состоянии; q = C1 φ1 = 4 π ε0 R1 φ1 .
При разлете осколков их суммарный заряд остается прежним, а потенциал точек на
сферической
поверхности
становится
2 
R
q
 1 1 . Записывая закон
4   0 R2
R2
1 q  2 m  2
сохранения энергии q
и подставляя выражения для q и φ2 , находим


2
2
2
  1
4   0 R1 R2  R1 
 4,7 м/с.
mR2
1. Записано выражение для энергии заряженной сферы – 3 балла.
2. Записаны уравнения для потенциалов – 2 балла.
3. Записан закон сохранения энергии – 2 балла.
4. Получено выражение для скорости и получен ответ – 3 балла.
5. (10 баллов) Металлический стержень ОА вращается вокруг точки О в плоскости,
перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля В = 1 Тл с угловой скоростью ω =
300 рад/с. Свободный конец стержня скользит по
дуге окружности радиусом R = 0,1 м. Между
A
точкой С дуги и точкой закрепления стержня

включена батарея с ЭДС ε и внутренним
В
сопротивлением
r.
Направление вращения
стержня и направление магнитной индукции
указаны на рисунке. Сопротивления стержня, дуги
R
и контакта между ними пренебрежимо малы.
C
Определить напряжение на зажимах батареи.
ε, r
O
Решение. Пусть за некоторый промежуток
времени Δ t
стержень повернулся на угол Δφ = ωΔt . При этом площадь контура
образованного стержнем, батареей и участком дуги
АВ,
возрастает на величину
R 2  1 2
S 
 R t
и поток через этот контур увеличивается
2
2
1
  BS  BR 2 t . В контуре возникает ЭДС электромагнитной индукции
2
на
Eинд 
и в контуре течет электрический ток I 
 1
 BR 2 
t 2
  Eинд
r
.
Напряжение на зажимах батареи U    Ir  Eинд 
1
BR 2 .
2
Таким образом, напряжение на зажимах батареи не зависит от параметров самой батареи.
1. Найдено увеличение потока через ометаемую площадь контура – 2 балл.
2. Определено ЭДС индукции – 2 балл.
3. Найден индукционный ток – 2 балла.
4. Определено напряжение на батарее – 2 балл.
5. Сделан вывод о независимости напряжения -2 балла.