Урок по теме «Линейные неравенства с

Урок по теме «Линейные неравенства с
параметрами»
Каждое из неравенств вида Ах > В, Ах <В, Ах ≥ В, Ах ≤ В, где А и В действительные числа или функции от параметров ,а х –
действительная переменная величина, называется линейным
неравенством с одним неизвестным (х).
Пример 1.
Неравенство (m-1) х < 5m – линейное.
При m=1 оно принимает вид:
0х < 5,
что верно при любом действительном значении х.
При m > 1 получим х< ( 5m) / (m-1),а при m < 1 получим
х > (5m)/ (m-1).
Рассмотрим пример неравенства, приводимого к линейному.
Пример 2. Пусть требуется решить относительно х
(2х-5)/(m-1) –(Х+7)/3 ≤ (3х-2m)/2(m-1).
(1)
При m=1 это неравенство не имеет смысла.
При m >1 ,то есть при m-1 > 0 неравенство (1) равносильно
неравенству
6(2х-5)- 2(m-1)(х+7) ≤3(3х-2m),
или
(2m-5)х≥-8(m+2).
Отсюда, при m>2,5 получим х ≥ -8(m+2)/2m-5;
При 1<m<2,5 получим х≤ -8(m+2)/2m-5;
При m=2,5 неравенство (2) принимает вид:
(2)
0х ≥-36,
то есть х-любое действительное число.
Если m<1,то m-1<0 и, умножив обе части неравенства(1) на (m-1) и
изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим
неравенство
6(2х-5)-2(m-1)(х+7)≥3(3х-2m)
или
(2m-5)х≤-8(m+2),
равносильное неравенству(1).
Отсюда х≥-8(m+2)/(2m-5),так как 2m-5<0,при m<1.
Таким образом, мы получили ответ:
При m<1 и при m >2,5 х≥-8(m+2)/2m-5;
При 1<m<2,5 х≤ -8(m+2)/2m-5;
При m=2,5 х -любое действительное число;
При m=1 неравенство (1) не имеет смысла.
Пример 3.
2х-m/(m-2)(х+3) – m/(m-2) <3/(х+3).
(3)
По смыслу задачи m ≠2, х≠-3.
Несложные преобразования приводят к неравенству
((m-2)х-(6-7m))/(m-2)(х+3)>0,
или
х-((6-7m)/(m-2)) /(х+3) > 0,
(3а)
(3б)
равносильному (3),сводящемуся к совокупности двух систем:
1)Х > (6-7m) / (m-2) и Х > -3
2)х < (6-7m) / (m-2) и Х < -3.
Для выбора решения каждой из них сравним величины
(6-7m) /(m-2) и -3
Для этого рассмотрим разность
(6-7m) /(m-2) –(-3)= - 4m /(m-2)
-4m /(m-2)<0 при 4m /(m-2)>0,т.е. при m<0 и при m>2;
-4m /(m-2)=0 при m=0;
-4m /(m-2)>0 при 4m /(m-2) <0,т.е. при 0<m<2.
Следовательно,
(6-7m) /(m-2) < -3 при m<0 и при m>2.
(6-7m) /(m-2)≥ -3 при 0≤m<2.
Ответ: При m<0 и при m>2 - ∞< х <(6-7m) /(m-2); -3< х <∞;
При 0≤m<2
- ∞<х< -3; (6-7m) / (m-2) < х < ∞.
Пример 4. При каких значениях k неравенство
(к-1)х+2к+1>0
(4)
верно при всех значениях х, удовлетворяющих условию -3≤х≤3.
Рассмотрим функцию f(х)=(к-1)х+2к+1.
Она является линейной при любом действительном значении k,
т.е. при любом действительном значении графиком ее служит
прямая.(см.рис.)
Из чертежа видно, что для выполнения неравенства (4) на всем
отрезке [-3;3] достаточно выполнения условия
f(-3)>0 и f(3)>0.
f(-3)=-3(k-1)+2k+1=4-k,
f(3)=3(k-1)+2k+1=5k-2
f(3)>0,f(-3) >0 при 4-к >0 и 5k-2>0, т.е. при 0,4<k<4.
Упражнения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
3(2a-x)<ax+1
(a+2)x/(a-1)-2/3<2x-1
x/(x-2)<2b+1/(b-3)(x-2)
(2х-1) /(m+1) –(х+1) /2(m-1)> (2х-3) /(m-1)
(ах-3) /(х-3) – а/2 < (а-1)
ах / (а-2) –(х-1) /3 < (2х+3) /4.