Об управлении конвекцией в реальной невесомости. Наземное

Об управлении конвекцией в реальной невесомости.
Наземное моделирование.
А.В. Зюзгин*, Г.Ф. Путин*, А.Г. Осокин*, А.Ф. Харисов*
Д.А. Брацун**
*Пермский государственный университет
**Пермский государственный педагогический университет
В 1995-2000 годах на орбитальной станции “Мир” проводилась серия
российско-французских экспериментов по изучению влияния инерционных
микроускорений на режимы теплообмена в сверхкритических жидкостях
[1, 2]. Основным результатом исследований стало обнаружение термовибрационного и термо-инерционного конвективных движений в условиях
реальной
невесомости
и
контролируемого
микрогравитационного
воздействия.
Переносные тепловые и массовые процессы в неоднородно нагретых
жидких
средах
могут
играть
положительную
роль
во
многих
технологических циклах. Например, при перемешивании компонентов
химических реакций или топлива. Однако влияние конвективных движений
зачастую негативно сказывается на получении высокочистых материалов с
упорядоченной структурой (кристаллы, полимеры и белки), в том числе и в
условиях микрогравитации. Поэтому актуальным становится исследование
возможности динамического управления переносными процессами.
В данной работе приводятся результаты орбитальных опытов и их
наземного моделирования, и обсуждается экспериментально обоснованная
возможность
пассивного
и
активного
управления
режимами
тепло-
получены
термо-
массообмена.
В
результате
наземного
моделирования
[3]
вибрационные конвективные режимы, подобные обнаруженным в ходе
космических экспериментов. В широком диапазоне параметров задачи
изучена эволюция структуры течений и их пространственно-временные
характеристики.
Определено
микроускорений
на
влияние
структуру
квазистатической
компоненты
вибро-конвективных
движений.
Представленные результаты хорошо согласуются с данными орбитальных
опытов и позволяют расширить представление о термо-вибрационных
эффектах в условиях реальной невесомости.
Результаты наземного моделирования подтвердили сильное влияние
квазистатической компоненты микроускорений на интенсивность и режимы
теплообмена в неоднородно нагретых жидких и газообразных средах в
условиях орбитального полета. Поэтому, для изучения возможности
управляющего воздействия медленноменяющейся компоненты ускорений на
режимы теплообмена, теоретически и экспериментально исследована задача
об автоматическом управлении с обратной связью. Показана возможность с
помощью такого управления поддерживать систему в заданных состояниях, в
том числе в механическом равновесии, неустойчивых без управления.
Пассивное управляющее воздействие высокочастотных инерционных
ускорений изучалось в системе, состоящей из двух неоднородно нагретых
встречных потоков. В результате показана как стабилизирующая, так и
дестабилизирующая роль вибраций на термогравитационные режимы
взаимодействия и переход к хаосу.
Результаты наземного моделирования и лабораторных исследований
позволяют определить подходы к постановке космических экспериментов по
пассивному и активному управлению режимами тепло- массообмена в
условиях реальной невесомости.
Управляющее
влияние
микроускорений
на
тепло-массообмен
(орбитальный эксперимент)
Конвективная ячейка приборов ALICE-1,2 [4, 5] позволяла изучать
влияние микроускорений на теплообмен от точечного источника тепла в
шестифтористой сере (SF6), находящейся вблизи термодинамической
критической
точки
(для
повышения
конвективной
чувствительности
системы).
Измерительно-регистрационные
компоненты
оборудования
позволяли проводить видео-захват интерференционных картин и тепловые
измерения.
Помимо фоновых микроускорений [6] в некоторых реализациях на
приборы
оказывалось
периодическое
воздействие
со
стороны
электромагнитного вибратора или экипажа.
Эксперименты обнаружили различные режимы тепло-массообмена,
вызванные термо-вибрационным (Рис. 1. a) и термо-инерционным (Рис. 1. c)
механизмами
генерации
или
a
их
совместным
действием
(Рис. 1. b).
с
b
Рис. 1. Структуры тепло-массообмена от точечного источника тепла
(эксперименты Alice-1,2): а - термовибрационный, , b – совместное влияние
высокочастотных
и
квазистатических
микроускорений,
c–
термоинерционный режим; белыми стрелками обозначено направление
наибольшего изменения вектора микроускорений, белые кружки обозначают
месторасположение нагревателя.
Зависимости скорости V фронта тепловой неоднородности от времени t
приведены
на
Рис. 2.
Когда
частота
изменений
контролируемых
микроускорений была 0.3 Гц, конвективная система откликалась на каждое
изменение (Рис. 1 c), а скорость V разрастания теплового пятна была
пропорциональна их амплитуде (Рис. 2, линия С). При частоте воздействия
1.6 Гц возбуждалось осредненное конвективное движение (Рис. 1 b) с
интенсивностью, зависящей от вибрационной скорости (Рис. 2, линия A).
Отмечено сильное влияние квазистатической компоненты микроускорений
на интенсивность (Рис. 2, линия B) и структуру (Рис. 2 b) вибрационных
режимов теплообмена. Обсуждаемые результаты позволяют сделать вывод о
том, что конвективные ячейки могут быть эффективно использованы для
обнаружения,
регистрации
медленноменяющейся
и
измерения
компоненты
квазистатической
инерционных
микроускорений
и
в
диапазоне до 1 Гц.
В
более
высокочастотной
области
они
позволяют
определить
интенсивность вибрационного воздействия. Таким образом, на основе
конвективных датчиков могут быть разработаны методики сертификации
орбитальных объектов с точки зрения гравитационной чувствительности
размещаемых на них технологических установок и систем.
5
B
D
F
2
, cm/s
Velocity
V∙10
Y Axis
Title
4
C
3
B
2
1
D
A
0
0
10
20
30
40
50
X axis title
Time
t, s
Рис. 2. Зависимость скорости фронта области тепловой неоднородности
от времени: A- вибро-конвективный режим, B- увеличение интенсивности
термо-вибрационных эффектов при воздействии квазистатической
компоненты
микроускорений,
С- термоинерционный
режим,
Dбесконвективный режим
Управляющее влияние инерционных ускорений на тепло-массообмен
(наземное моделирование)
Наземное моделирование проводилось в лабораторных условиях с
помощью вибрационной платформы, создававшей высокочастотное поле
инерционных ускорений. Квазистатическая компонента моделировалась
отклонением полости от горизонтальной ориентации. Параметры полости,
рабочих жидкостей, нагрева, наклона и приложенных вибраций подбирались
таким образом, что бы термо-вибрационные эффекты превосходили по
интенсивности
термогравитационные,
а
порядок
различия
величин
управляющих параметров задачи был подобен значениям, реализованным в
ходе космического эксперимента. В результате наземных опытов получены
режимы теплообмена от точечного источника тепла (Рис. 3 а, b), подобные
обнаруженным
в
условиях
орбитального
полета
(Рис. 1 а, b).
Пространственно-временные характеристики режимов и их эволюция были
изучены в широком диапазоне параметров задачи. Результаты измерений
зависимости скорости фронта конвекции V от времени t приведены на Рис. 4.
a
b
Рис. 3. Влияние вибраций на тепло-массообмен от точечного источника
тепла (лабораторный эксперимент): а- несимметричное искажение
области охваченной конвекцией, b- влияние продольной квазистатической
компоненты на термо-вибрационные эффекты; белыми стрелками
иллюстрируется направление вибраций, черной – квазистатической
компоненты.
5
B
3
2
Velocity V∙10 , cm/s
4
D
2
A
1
0
0
t, s
50
100
150
200
Time t, s
Рис. 4. Зависимость скорости фронта области охваченной конвекцией V от
времени t: А- термовибрационный режим (см. Рис. 3 а), B- возбуждение
интенсивного движения после включения высокочастотных вибраций при
наличии квазистатической компоненты (см. Рис. 3 b), D- статический
режим, симметричный относительно нагревателя
Выше
показано,
что
быстроменяющаяся
и
квазистатическая
компоненты микро-ускорений, возникающие при орбитальном полете,
вызывают конвективные течения в неоднородно нагретой жидкой или
газообразной среде. Поэтому актуальным является поиск различных методов
управления возникающими режимами конвекции в условиях реальной
невесомости.
Здесь рассмотрим результаты наземного моделирования пассивного и
активного методов управления режимами теплообмена. Под пассивным
управлением в дальнейшем понимается высокочастотное воздействие на
конвективную систему, заведомо задающее режим движения в неоднородно
нагретой жидкости. Активное управление подразумевает обратную связь,
позволяющую малыми низкочастотными динамическими воздействиями
восстанавливать механическое равновесие или задавать режим тепломассообмена, даже в случае изменения параметров, характеризующих
состояние системы.
В наземных условиях моделирование поведения стратифицированных по
плотности систем в условиях реальной невесомости обеспечивалось
подбором соответствующих значений параметров конвективных камер и
динамических воздействий.
Пассивное управление с помощью быстроменяющихся инерционных
полей
Эффекты управляющего воздействия высокочастотных вибраций на
равновесие неоднородно нагретой жидкости или Рэлеевскую конвекцию
теоретически и экспериментально описаны в [7-9]. Параметрические
эффекты возбуждения резонансной конвекции экспериментально изучены в
[10].
Здесь
инерционных
рассмотрим
ускорений
нагретых потоков.
управляющее
на
влияние
взаимодействие
высокочастотных
встречных
неоднородно
Конвективная
камера
(Рис. 5.)
представляла
собой
плоскую
вертикальную полость 1, заключенную между двумя изотермическими
теплообменниками.
Один
из
теплообменников
выполнялся
из
дюралюминиевой пластины 2 толщиной 1 см, а другой из прозрачного
органического
стекла
3.
Прозрачный
(холодный)
теплообменник
изготавливался из двух листов органического стекла толщиной 0.3 см с
зазором между ними в 1 см. Рамка 4 ограничивала рабочую полость сбоку,
Рис. 5. Схема модели вертикального слоя жидкости
1- рабочая полость; 2- металлический теплообменник; 3- прозрачный
теплообменник; 4- рамка; 5- термопары для измерения отклонений
температуры в слое от температуры горячего теплообменника; 6- трубки
для заливки рабочей жидкости.
задавая ее толщину. Измерительные спаи 5 дифференциальных термопар
выставлялись в жидкость на ¼ толщины слоя. Патрубки 6 использовались
для заливки рабочей жидкости (керосин, число Прандтля Pr = 26) и удаления
пузырьков после ее дегазации. Виброплатформа придавала конвективной
камере продольные, поступательные, линейно-поляризованные вибрации в
горизонтальном направлении.
Известно [11], что в статическом случае в вертикальном слое
неоднородно нагретой жидкости возникает подъемно-опускное течение. По
мере роста разности температур между стенками полости встречные потоки
начинают
взаимодействовать,
поэтапно
образуя
последовательность
квазистационарных режимов, переходящих к хаосу по сценарию РюэляТаккенса [12]. Воздействие вибраций имеет как стабилизирующее, так и
дестабилизирующее влияние на режимы термо-гравитационной конвекции в
такой системе. Рассмотрим карту режимов (Рис. 6) в плоскости параметров
Rag (критерий Рэлея) и RaV (его вибрационный аналог). Вдоль оси RaV = 0
расположены выноски, иллюстрирующие структуру термо-гравитационной
конвекции. В областях (B, C, D и E) при невысоких значениях RaV
нейтральные кривые снижаются, иллюстрируя дестабилизирующее влияние
вибраций на взаимодействие встречных потоков. При росте RaV в области F
теплообмен обусловлен термо-вибрационным режимом конвекции, в то
время
как
гравитационные
потоки
подавлены.
Дальнейший
вибрационного
воздействия
приводит
к
неустойчивости
вибрационного
валикового
течения,
термо-гравитационная
рост
термомода
(горизонтальные валики) и термо-вибрационная мода (вертикальные валики)
Rag·10-4
создают ромбовидную квазистационарную структуру течения (область G).
9
E
4
6
5
7
8
3
D
7
2
6
G
F
C
H
1 B
5
A
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Rav·10-3
Рис. 6. Карта режимов конвекции в вертикальном слое жидкости в
вибрационном поле.
Область H, при наибольшей интенсивности вибраций иллюстрирует
возникновение
хаотического
движения,
недостижимого
в
данной
конвективной камере в статическом случае. Таким образом, в данной задаче
можно наблюдать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние
быстроменяющихся инерционных ускорений на режимы тепло-массообмена
термо-гравитационной природы.
Активное управление с обратной связью
В данной задаче исследовалось автоматическое управление с обратной
связью устойчивостью равновесия и режимов течений неоднородно нагретой
жидкости в прямоугольной конвективной петле. Известно, что конвективные
процессы в такой системе во многом моделируют тепло-массообмен в
замкнутых
полостях.
конвективную
В
систему
качестве
динамического
использовалось
малое
воздействия
изменение
на
взаимной
ориентации градиента температур и ускорения силы тяжести.
Конвективная
представляет
собой
камера
(Рис. 7)
алюминиевый
блок 1 сечением 4,1 х 3,2 см2 и длиной
16
см,
оканчивающийся
двумя
массивными теплообменниками 2, по
которым
струйных
прокачивалась
вода
ультратермостатов,
от
что
позволяло создать линейное по длине
распределение температуры. В блоке
вырезаны две канавки глубиной 0,82
см, шириной 0,64 см и длиной 15,5 см
с расстоянием между их осями 1,2 см.
Концы
канавок
соединялись
Рис. 7. Схема конвективной петли.
перемычками такого же сечения. Для обеспечения возможности визуальных
наблюдений образовавшийся замкнутый канал 3 закрывался прозрачной
пластиной из органического стекла 4 толщиной 2 см. Глубина канала
выбрана несколько большей, чем ширина, чтобы уменьшить относительную
поверхность соприкосновения жидкости со стеклом и тем самым ослабить
влияние различия тепловых условий на этой поверхности по сравнению с
условиями на металлических стенках. Термосифон мог поворачиваться
вокруг оси 5, перпендикулярной плоскости каналов.
В качестве рабочей жидкости использовалось трансформаторное
масло. С помощью дифференциальной медь-константановой термопары 6,
спаи которой находились в металлическом блоке вблизи перемычек между
каналами, измерялось падение температуры на длине каналов. Для
регистрации и измерения интенсивности конвективного течения кювета была
оборудована дифференциальной медь-константановой термопарой 7, спаи
которой выставлялись в центры каналов в их среднем поперечном сечении.
При отсутствии течения спаи находились на одной изотерме, и термо-ЭДС
термопары была равна нулю. Когда жидкость приходила в движение, между
спаями возникала разность температур V, обусловленная тем, что по одному
каналу поднималась нагретая жидкость, а по другому опускалась холодная.
ЭДС термопары 7, пропорциональная скорости этого движения, была
принята нами за меру интенсивности конвективного течения.
При превышении числом Рэлея R критического значения Rcr
в
термосифоне возникало течение. ЭДС термопары 7 подавалась на плату
сбора данных, сопряженную с компьютером. ПК с помощью управляющей
программы вычислял угол, необходимый для того, чтобы погасить
конвекцию, и через устройство сопряжения управлял шаговым двигателем,
поворачивавшим
кювету
на
вычисленный
угол.
Последовательность
регулировочных циклов при достаточно большом коэффициенте k и
относительном числе Рэлея r < 5
(r = R/Rcr)приводила к уменьшению
скорости конвективного течения и установлению в системе динамически
стабилизированного механического квазиравновесия. При значениях r > 5
удавалось управлять устойчивостью конвективных течений.
Под квазиравновесием в данном случае подразумевается такое
состояние конвективной системы, при котором конвективное искажение
равновесного распределения температуры не превышает 5% величины при
выключенном управлении (k = 0) и вертикальной ориентации термосифона.
Результаты экспериментов по динамической стабилизации механического
равновесия жидкости приведены на Рис. 8 в виде карты устойчивости в
координатах k - коэффициент усиления обратной связи и r - относительное
число Рэлея.
Точки на оси r отвечают случаю выключенной обратной связи k = 0. В
интервале r  1 жидкость находится в состоянии механического равновесия.
В диапазоне r > 1 устойчивость равновесия нарушается и возбуждается
стационарное конвективное течение. При включении управления (k > 0)
интенсивность этого течения уменьшается и при некотором k* не
превосходит уровня, обусловленного шумами экспериментальной установки.
Рис. 8 Карта режимов течения
Нейтральная кривая 1 разделяет область А, где конвективное течение не
может быть подавлено и существует, хотя и с меньшей интенсивностью, и
область B, где динамически стабилизированное квазиравновесие может
поддерживаться
сколь
угодно
долго
(в
опытах
квазиравновесие
поддерживалось несколько часов при включенном управлении).
При достаточно больших значениях k стабилизированное квазиравновесие
снова теряет устойчивость, и конвективной петле реализуется колебательный
режим движения жидкости (область C). По-видимому, его появление
обусловлено тем, что при большой величине
k углы отклонения
конвективной камеры  настолько значительны, что вызывают не только
подавление конвективного движения одного направления, но и возбуждение
циркуляции
с
противоположным
направлением.
В
силу
постоянно
действующего управления, конвективная камера тут же отклоняется в
другую сторону, и в результате последовательности таких циклов,
управление
генерирует
конвективное
течение
и
в
термосифоне
устанавливается колебательный режим движения.
Возможность управления процессами в конвективной петле с помощью
динамического изменения ориентации кюветы в поле силы тяжести была так
же
исследована
теоретически
на
основе
модели
двух
связанных
вертикальных каналов конечной высоты, заполненных жидкостью и
окруженных массивом высокой теплопроводности. Как и в эксперименте,
предполагается, что в массиве задан линейный градиент температуры,
направленный вниз и ориентация этого градиента по отношению к силе
тяжести может динамически меняться со временем. Так как ширина каналов
мала по сравнению с высотой петли и температура жидкости мало меняется в
любой точке поперечного сечения, то согласно стандартной процедуре [13],
поля температуры и скорости могут быть усреднены в этих направлениях.
Получившиеся одномерные уравнения конвекции близки к знаменитой
системе триплета Лоренца, но содержат дополнительные слагаемые,
связанные с управлением:
dA
 P( A  B cos( kB)  (R  C ) sin( kB)) ,
dt
dB
  B  A( R  C ) ,
dt
dC
 C  AB ,
dt
(1)
где A, B, C – амплитуды соответствующих мод в разложении ГалеркинаКанторовича, R – число Рэлея, P – число Прандтля, k – коэффициент
управления обратной связи,
конвективной
петли.

Линейный
и

анализ
- геометрические параметры
устойчивости
механического
равновесия жидкости A=B=C=0 по отношению к монотонным возмущениям,
рассчитанной на основе уравнений (1), приводит к простой аналитической
2
формуле для нейтральной кривой: k  ( R  1) / R . Сплошная линия на
Рис. 8 соответствует этой кривой. Мы видим, что наблюдается хорошее
согласие между экспериментом и теорией относительно возможности
управления квазиравновесием.
Что касается колебательной неустойчивости, которая была зафиксирована
в эксперименте при достаточно высоких значениях k, здесь ситуация
значительно сложнее. Легко убедиться, что в системе (1) колебаний нет.
Отсюда следует, что их вызывает какая-то причина, которая не была учтена
при выводе этих уравнений. Мы предположили, что такой причиной может
стать запаздывание реакции управления системой на изменение ее состояния.
Таким образом, первое уравнение в системе (1) было переписано следующим
образом:
dA(t )
 P( A(t )  B(t ) cos( kB(t   ))  (R  C (t )) sin( kB(t   ))) ,
dt
где

(2)
- время запаздывания. Последующий линейный анализ системы с
запаздыванием (2) показал, что возникает целое семейство нейтральных
кривых, параметрически зависящих от времени запаздывания  , при
пересечении которых механическое квазиравновесие теряет устойчивость
колебательным образом. Из этого семейства была выбрана одна кривая,
которая находится в количественном согласии с экспериментальными
данными (отмечена на рис. 8 штрих-пунктиром). Она соответствует времени
запаздывания порядка 13 секунд.
Это значение находится в хорошем
согласии с экспериментально полученным периодом колебаний порядка 50 с,
так как из теории систем с запаздыванием хорошо известен результат,
согласно которому период колебаний примерно равен учетверенному
времени запаздывания.
Заключение
Таким образом, показано, что интенсивное вибрационное воздействие
может вызывать термо-вибрационные переносные эффекты в неоднородно
нагретых жидкостях, находящихся в условиях реальной невесомости. В то же
время
быстроменяющееся
инерционное поле может стабилизировать
гравитационно-чувствительные
системы.
Квазистатическая
компонента
микроускорений способна вызывать термо-инерционную конвекцию и
значительно
увеличивать
тепло-массообмен
в
поле
переменных
инерционных ускорений малой интенсивности.
Экспериментально и теоретически показана возможность стабилизации
устойчивости механического равновесия неоднородно нагретой жидкости с
помощью
управления
с
пропорциональной
обратной
связью.
Такое
управление может поддерживать квазиравновесие системы сколь угодно
долго при надкритическом значении управляющего параметра задачи, когда
в случае отключенного управления равновесие неустойчиво и существует
стационарное
движение.
Обнаружено,
что
при
больших
значениях
коэффициента усиления обратной связи механическое равновесие теряет
устойчивость и возникает колебательный режим движения. Такое поведение
конвективной
системы,
находящейся
под
воздействием
управления,
достаточно необычно, так как с увеличением интенсивности управляющего
воздействия следовало бы ожидать возрастание надежности поддержания
квазиравновесия.
Теоретическое
рассмотрение
соответствующей
математической модели показало, что причиной такой неустойчивости
является
запаздывание
управляющей
подсистемы
при
внесении
корректирующих изменений. Таким образом, повышение эффективности
управления путем увеличения динамического воздействия на систему может
привести к обратному результату, когда управление будет генерировать
колебательный
режим
движения,
срывающий
устойчивость
стабилизированного механического равновесия конвективной системы.
Экспериментально
изучена
возможность
пассивного
управления
взаимодействием встречных неоднородно нагретых потоков с помощью
быстроменяющегося инерционного поля. Показано, что заданные значения
динамического
воздействия
дестабилизирующее
влияние
оказывают
на
стабилизирующее
термо-гравитационную
или
конвективную
неустойчивость.
На
основе
исследованных
подходов
возможно
планирование
экспериментов на борту МКС для изучения возможностей управления
процессами
тепло-массообмена
в
инерционно-
и
вибрационно-
чувствительных технологических установках при различных режимах полета
в условиях реальной невесомости.
Работа поддержана грантом РФФИ № 06-08-00754-а и частично выполнялась
на средства гранта CRDF PE-009-0.
Список литературы
1. Зюзгин А.В.,
Иванов
А.И., Полежаев В.И.,
Путин Г.Ф.,
Соболева Е.Б. Конвективные движения в околокритической
жидкости в условиях реальной невесомости// Космические
исследования. 2001. Т. 39. № 2. C. 188 – 201.
2. A.V. Zyuzgin, G.F. Putin, N.G. Ivanova, A.V. Chudinov, A.I. Ivanov,
A.V. Kalmykov, V. I. Polezhaev, V.M. Emelianov The heat convection
of nearcritical fluid in the controlled microacceleration field under zerogravity condition. Advances in Space Research, 2003, Vol. 32, No 2, pp.
205-210.
3. А.В. Зюзгин, Г.Ф. Путин, А.Ф. Харисов Наземное моделирование
термо-вибрационной конвекции в реальной невесомости //Изв.АН,
Механика жидкости и газа, №3, 2007, с. 21-30.
4. Laherrere, J.M. and Koutsikides, P., ALICE an Instrument for the
Analysis of Fluids Close to Their Point in Microgravity, Acta Astronaut.,
1993, vol. 29, nos. 10/11, pp. 861–870.
5. Marcout, R., J. Zwilling, J. Laherrere, et al., ALICE 2 – an Advanced
Facility for the Analysis of Fluids Close to Their Critical Point in
Microgravity. IAF-94-J-2, 45th Congress of the International
Astronautical Federation, Jerusalem, Israel, 12, 1994.
6. Беляев М.Ю., Зыков С.Г., Рябуха С.Б., Сазонов В.В., Сарычев В.А.,
Стажков В.М. Математическое моделирование и измерение
микроускорений на орбитальной станции "Мир"// Изв. РАН. МЖГ.
1994. N 5. С.5-14.
7. Gershuni G. Z., Lybimov D.V. Thermal vibrational convection. John
Wiley and sons, 1998, 358 p.
8. Заварыкин М.П., Зорин С.В., Путин Г.Ф. О термоконвективной
неустойчивости в вибрационном поле. ДАН АН СССР, Т. 299, № 2,
1988, с. 309-311.
9. Заварыкин М.П., Зорин С.В., Путин Г.Ф. Экспериментальное
исследование вибрационной конвекции. ДАН АН СССР, Т. 281, №
4, 1985, с. 815-816.
10.Gennady F. Putin, Mikhail P. Zavarykin, Alexey V. Zyuzgin Parametric
resonance convection in a modulated gravity field. ASME IMECE200580714, 2005, 8 p.
11.Bratsun D.A., Zyuzgin A.V., Putin G.F. Nonlinear dynamics and pattern
formation in a vertical fluid layer heated from the side. International
Journal of Heat and Fluid Flow, 2003, Vol.24, N 6, pp. 835-852.
12.Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные
аттракторы. М.: Мир, 1981, с.117-151.
13.Singer J., Bau H. Active control of convection// Phys. Fluids. A3. 1991.
PP. 2859-2865.