Неравномерное движение в вертикальной плоскости

1. Система из грузов m и M и связывающей их лёгкой
нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной
плоскости, проходящей через центр закреплённой сферы. Груз m
находится в точке А на вершине сферы (см. рисунок). В ходе
возникшего движения груз m отрывается от поверхности сферы,
пройдя по ней дугу 30°. Найдите массу М, если m = 100 г. Размеры
груза m ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы. Трением
пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил,
действующих на грузы.
m
M
3
3
2
m  3 cos   2 
2
M 
 100 г 
 330 г.

π
3
 cos 

3
3
2
2. Наклонная плоскость AB длиной 1 м и
горизонтальная
поверхность
касаются
расположенного в вертикальной плоскости обруча
радиусом 30 см с центром в точке O. Небольшая
шайба скользит вдоль наклонной плоскости из точки
A. Какую минимальную начальную скорость надо
сообщить шайбе, чтобы она оторвалась от опоры в точке B? Коэффициент трения между
наклонной плоскостью и шайбой равен 0,2, угол  = 30о. 4 м/с.
3. На укреплённой на столе полусфере радиуса r лежит небольшая шайба массой m. От
незначительного толчка шайба начинает соскальзывать. Вследствие трения за время, в
течение которого шайба скользила по полусфере, выделилось количество теплоты Q.
2
Q 
а) На какой высоте h шайба оторвалась от полусферы? h   r 
.
3
mg 
б) На какой высоте h шайба оторвалась от полусферы, если выделившееся
количество теплоты равно кинетической энергии шайбы в момент отрыва? r/2.
4. Небольшая шайба массой m соскальзывает с высоты H = 2r по гладкому жёлобу,
переходящему в окружность радиуса r.
а) На какой высоте h (по отношению к нижней точке окружности) шайба оторвётся от
5r
жёлоба? h 
.
3
б) С какой силой шайба давит на жёлоб, когда она находится на одной горизонтали с
центром окружности? 2 mg.
5. Какую скорость можно сообщить шарику в нижней точке, чтобы он начал
совершать колебания, если:
а) шарик подвешен на нити длиной l? v  2 gl .
а) шарик подвешен на лёгком стрежне длиной l? v  2 gl .
Подсказка. Шарик на нити не должен подняться выше точки подвеса, а шарик на
стержне, не должен достичь верхней точки окружности.