3. Функционал накопления - Московский институт электроники и

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет экономики
«Исследование функционала для заданной системы массового
обслуживания»
Практическая часть
Методические указания
к курсовой работе по дисциплине
«Экономические вопросы качества»
для направления 080116 подготовки специалиста, специализация УвЭС
Автор программы:
Каштанов В.А., доктор физ.-мат. наук, профессор, VAKashtan@yandex.ru
Одобрена на заседании кафедры высшей математики «___»____________ 2013 г
Зав. кафедрой Кузьмина Л.И.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 2013 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета прикладной математики и кибернетики
«___»_____________2013 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Составители: проф., д-р физ.-мат. наук В.А. Каштанов, к.физ.-мат. н.,
Е.В. Кондрашова.
Для студентов IV–V курсов обучающихся по специальности «Математические
методы в экономике». В методических указаниях изложен основной
теоретический материал для выполнения курсового проекта.
УДК 519.248
«Исследование функционала для заданной системы массового обслуживания»
по дисциплине «Экономические вопросы качества»/ Моск. гос. ин-т
электроники и математики; Сост.: В.А. Каштанов, Е.В. Кондрашова. – М., 2013.
– 20 с.
Библиогр.: 2 назв.
ISBN 978-5-94505-251-1
Содержание
1. ПОЛУМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС ............................................................................................. 4
2. УПРАВЛЯЕМЫЙ ПОЛУМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС............................................................ 5
3. ФУНКЦИОНАЛ НАКОПЛЕНИЯ .............................................................................................. 8
4. ФУНКЦИОНАЛ ДОСТИЖЕНИЯ .............................................................................................. 9
5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ .......................................................................................................... 10
5.1 ТЕОРЕМА О СТРУКТУРЕ ФУНКЦИОНАЛОВ НАКОПЛЕНИЯ И ДОСТИЖЕНИЯ................................ 10
5.2 ТЕОРЕМА О МАКСИМУМЕ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА ........................................................... 10
5.3 ТЕОРЕМА О МАКСИМУМЕ/МИНИМУМЕ ДРОБНОЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА .......................... 11
5.4 ТЕОРЕМА .................................................................................................................................. 11
6. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ..................................................................... 12
7. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ........................................................................................................... 14
8. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАДЁЖНОСТИ ........................................................... 15
9. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ ............................................... 16
9.1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ............................................................................................................... 17
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .............................................................................................................. 19
1. Полумарковский процесс
Полумарковский процесс или, как его иногда называют, процесс
марковского восстановления сочетает в себе свойства марковских процессов и
процессов восстановления. Полумарковский процесс – это такой случайный
процесс, который переходит из одного состояния в другое в соответствии с
заданными распределениями вероятностей, а время пребывания процесса в
каком-либо состоянии является случайной величиной, распределение которой
зависит как от этого состояния, так и от состояния, в которое будет
осуществлен следующий переход процесса.
Процесс восстановления, цепь Маркова с дискретным временем и
однородный Марковский процесс с непрерывным временем являются частными
случаями
полумарковского
процесса.
Так,
процесс
восстановления
–
полумарковский процесс с одним состоянием. Марковская цепь с дискретным
временем – полумарковский процесс, у которого длительности пребываний в
каждом из состояний равны единице, а однородный Марковский процесс с
непрерывным временем есть полумарковский процесс, у которого время
пребывания
в каждом
состоянии
имеет показательное распределение,
зависящее лишь от номера этого состояния.
Полумарковский процесс определяется двумерной Марковской цепью
( n , n ) , 0  n   ,  n  E  {1,2,..., N} ,  n [0; ) .
Причём, распределения P{ 0  0}  1 , pi  P{ 0  i}  0 ,

iE
Марковская
цепь
задаётся
переходными
pi  1 .
вероятностями,
которые
называются полумарковским ядром:
P{ n1  j, n1  t  n  i, n   }  P{ n1  j, n1  t  n  i}  Qij (t ) .
Будем предполагать, что эта переходная вероятность не зависит от n
(номера шага), это означает однородность марковской цепи.
Полумарковское ядро - вероятность того, что полумарковский процесс
перейдёт в состояние j и время до этого перехода не превзойдёт t при условии,
что процесс пребывает в состоянии i.
Свойства полумарковского ядра P{ n1  j, n1  t  n  i}  Qij (t ) :
1) Qij (t )  0 , i, j  E  {1,2,..., N } .
2) pij  lim Qij (t )  P{ n1  j  n  i} , i, j  E  {1,2,..., N } .
t 
3)

jE
P{ n1  j , n1  t}   Qij (t )  P{ n1  t  n i} , i  E  {1,2,..., N } .
jE
4) Fij (t )  P{ n1  t  n  i,  n1  j} 
Qij (t )
pij
, pij  0 , i, j  E  {1,2,..., N } .
5) Qij (t ) является неубывающей функцией, аналогично Fij (t ) .
6)
p
jE
 1, i  E  {1,2,..., N } .
ij
Вероятности переходов в моменты скачков определяются стохастической
N  N матрицей P  pij , которая задаёт вложенную цепь Маркова, где pij -
вероятность перехода из состояния i в состояние j . Если процесс из состояния
i перейдёт в состояние j , то время пребывания процесса в состоянии i не
превосходит t и из состояния i процесс переходит в состояние j .
Последовательность построения полумарковского процесса.
1. Определение Марковских моментов.
2. Определение состояний процесса.
3. Вычисление полумарковского ядра Qij (t ) .
4. Проверка свойств полумарковского ядра.
2. Управляемый полумарковский процесс
Для задания управляемого полумарковского процесса задаётся трёхмерная
марковская цепь ( n , n , un ) , 0  n   ,  n  E  {1,2,..., N} ,  n [0; ) , un U i , В есть σалгебра подмножеств множества U , B В. Причём, распределения P{ 0  0}  1 ,
pi  P{ 0  i}  0 ,

iE
un  U i
pi  1 .
- управление.
Марковская
цепь
задаётся
переходными
вероятностями,
которые

называются полумарковским ядром Qij (t , B) :

P{ n1  j, n1  t , un1  B  n  i, n   , un  A}  P{ n1  j, n1  t , un1  B  n  i} Q ij (t , B) .
Будем предполагать, что эта переходная вероятность не зависит от n
(номера шага), это означает однородность Марковской цепи.

Опишем свойства Qij (t , B) :

1) Q ij (t , B)  0 , i, j  E  {1,2,..., N } .

2) Q ij (t , B) - неубывающая функция, i, j  E  {1,2,..., N } .

3) pij ( B)  lim Q ij (t , B)  P{ n1  j, un1  B  n  i} , i, j  E  {1,2,..., N } .
t 

4) pij ( B)  lim
Q ij (t , B)  P{ n1  j, un1  B  n  i}  pij , i, j  E  {1,2,..., N } .
t 

5)  P{ n1  j, n1  t , u n1  B  n  i}   Q ij (t , B) 
jE
jE
 P{ n1  E, n1  t , un1  B  n  i}  P{ n1  t , un1  B  n  i} i  E  {1,2,..., N } .

6) lim
 Q ij (t, B)  P{un1  B  n  i}  Gi ( B) , i  E  {1,2,..., N } .
t 
jE

7) Q ij (t , B)  Gi ( B) , i, j  E  {1,2,..., N } .

Q ij (t , B) порождает условную меру в пространстве управлений.
По
теореме
Родона-Никодима,
если

Q ij (t , B)  Gi ( B) ,
то

существует функция Q ij (t ,U ) такая, что Q ij (t , B)   Qij (t , u )Gi (dU ) .
uB
Тогда Qij (t,U )  P{ n1  j, n1  t  n  i, un  u} - полумарковское ядро –
условная вероятность того, что полумарковский процесс перейдёт в состояние
j и время до этого перехода не превзойдёт t при условии, что процесс пребывает
в состоянии i и в этом состоянии принято решение из множества управлений.
Заметим, что:
pij (u)  P{ n1  j  n  i, un  u} ,
Fij (t , u )  P{ n1  t  n  i,  n1  j , u n1  u} 
Qij (t , u )
pij (u )
.
Управляемый полумарковский процесс может быть задан следующими
способами:

- с помощью задания вероятностей Q ij (t , B) ;
- с помощью задания семейств матриц Qij (t ,U ) и вектора набора
вероятностных мер.
Следует отметить следующее.
Управляемый полумарковский процесс X (t ) определяется как пара:
X (t )  ( (t ), u (t )),  (t )   (t ) 1 , u (t )  u (t ) ,
где  (t )  inf( n : k ), 0  0 называется считающим процессом. Процесс  (t )
k n
совпадает со стандартным полумарковским процессом. Вторая компонента
полумарковского процесса u (t ) определяет траектории принимаемых решений.
Компоненты
управляемого
полумарковского
процесса
 (t ) , u (t ) и
введённый считающий процесс  (t ) имеют ступенчатые траектории, для
которых совпадают моменты разрывов.
При
фиксированной
стратегии
управления
вероятностные
характеристики полумарковского процесса определяются равенствами:
Qij (t )  Qij (t , U i ) 

Qij (t , u )Gi (du ).
Ui
Множество
вероятностных
мер
Gi (B)
определяют
Марковскую
однородную рандомизированную стратегию управления.
Последовательность
операций
построения
управляемого
полумарковского процесса:
1) Определение Марковских моментов.
2) Определение состояний процесса.
3) Определение множества управлений.
4) Для определения полумарковского ядра нужно задать Gi (B) - вектор на
пространстве управлений и Qij (t ,U ) .
5) Выполнение проверки свойств полумарковского ядра.
3. Функционал накопления
Объективность управления определяется траекторией процесса. Для
этого нужно построить функционал. Это значит, траектории или ее части
поставить в соответствие число.
Траектории управляемого полумарковского процесса с конечным
множеством состояний есть ступенчатые функции, которые задаются на
произвольном интервале (0, T ) последовательностью t0  0  t1  t2  ...  tn  T  tn 1
моментов
скачков,
последовательностью
i0 , i1, i2 ,..., in 1, ik  E,0  k  n  1 ,
определяющей состояния процесса в моменты t k , последовательностью
u0 , u1, u2 ,..., un 1,  (tk )  ik , n (T )
n (T )

s 0
ts  T 
Пусть
– число смен состояний (скачков) на отрезке (0, T ) .
n (T ) 1
t
s 0
s
заданы
числовые
функции
Rij (t , u ), i, j  E ,
тогда
значение
функционала, соответствующее определённой выше траектории, определим
величиной
n (T ) 1

k 0
n (T )
Rik ik 1 (tk 1, uk 1 )  Rin (T ) in (T )1 (tn(T ) 1,T   tk , un 1 ).
k 0
Функция Rij (t , , u ) - есть математическое ожидание накопленного эффекта
(дохода) за время  , при условии, что процесс находится в состоянии i
следующим состоянием будет состояние j , время этого перехода равно t , при
условии, что в момент перехода из состояния i было принято решение u .
Функция Rij (t , u ) - есть математическое ожидание накопленного эффекта
(дохода) за весь период t , при условии, что процесс находится в состоянии i
следующим состоянием будет состояние j , при условии, что в момент
перехода было принято решение u .
Функционал накопления
MS (T )
определяется как математическое
ожидание накопленного эффекта на интервале времени (0, T ) .
Если предположить, что процесс стартует из состояния i , P{ (0)  i}  1 , то
определённое выше математическое ожидание будет зависеть от i . Обозначим
через MSi (t ) условное математическое ожидание накопленного дохода за
период (0, t ) , при условии, что процесс  (t ) стартует из состояния i при t  0 .
Тогда по формуле полного математического ожидания получаем систему
интегральных уравнений относительно искомых функций Si (t )  MSi (t ) :
Si (t )  si (t )  
jE
si (t )  
jE

uU i
t

Si (t  x)dQij ( x),
0
t

0
t
{ Rij ( x, u )dQij ( x, u )   Rij ( x, t , u )dQi , j ( x, u )}Gi (du ).
В дальнейшем будем использовать следующее обозначение:

si  lim si (t )  
 
Величины
есть математические ожидания накопленного дохода за
t 
jE uU i 0
si
Rij ( x, u )d xQij ( x, u )Gi (du ) .
полный период пребывания процесса в состоянии i и будем предполагать, что
они конечны.
Если процесс
 (t )
наблюдается долго, то накопленный эффект
неограниченно растёт, тогда за характеристику качества функционирования
принимают удельный накопленный эффект, то есть
lim
t 
Si (t )
t
(если этот предел
существует).
4. Функционал достижения
В ряде задач используется функционал достижения. С этой целью
множество состояний E разбивается на два непересекающихся множества E0 ,
E1 , E  E0  E1 , E0 E1  Ø.
Для каждой траектории управляемого полумарковского
процесса  (t ) мы можем поставить в соответствие время  до первого
попадания траектории в подмножество E1 .
Обозначим i ( x)  P{  x  (0)  i}, i  E1 .
Функционал
функционала
Si (t )
 i (t )
для
может
рассматриваться
некоторого
как
частный
модифицированного
случай
управляемого
полумарковского процесса, у которого множество состояний
поглощающими состояниями и
Rij (t , u )  0
для
E0
являются
i  E0 .
Можем выписать интегральные уравнения условных распределений по
формуле полной вероятности:
t
i (t ) 
 Q (t )   
jE 0
ij
jE1 0
 j (t  x)dQij ( x) .
Математическое ожидание времени непрерывного пребывания процесса в
состоянии i :
mi  lim mi (t )  
t 
Для
jE


0
0
 xdQij ( x)   [1   Qij ( x)]dx .
построения
jE
функционала
накопления
нужно
рассматривать
функционирование управляемого полумарковского процесса до момента
попадания в подмножество состояний отказа, функционал – накопленный
эффект до момента попадания.
5. Основные теоремы
5.1 Теорема о структуре функционалов накопления и достижения
Если для управляемого полумарковского процесса вложенная цепь
Маркова эргодическая, для любого j  E существует i  E такое, что Fij (t )
нерешётчатое распределение, математические ожидания времён непрерывного
пребывания процесса в любых состояниях конечны,
mij  , i, j  E ,
то
функционал накопления и
функционал достижения являются дробно-
линейными
вероятностных
относительно
мер
Gi (B) ,
определяющих
Марковскую однородную рандомизированную стратегию управления.
5.2 Теорема о максимуме линейного функционала
Если существует максимум линейного функционала
max  A(u )G (du )   ,
G
то он достигается на множестве вырожденных распределений.
Следствие.
Если существует максимум дробно-линейного функционала, то он
достигается на множестве вырожденных распределений.
5.3 Теорема о максимуме/минимуме дробнолинейного функционала
Если максимум (минимум) дробно-линейного функционала существует и
подынтегральная
функция
знаменателя
F2 (u1, u2 ,..., uN )  0
при
u ( n )  (u1 , u2 ,..., u N ) U ( N ) , то
max J (G )  max
GW
A1 (u1 , u2 ,..., u N )
,
A2 (u1 , u2 ,..., u N )
где максимум берётся по u ( n )  (u1 , u2 ,..., u N ) U ( N ) .
5.4 Теорема
Если есть полумарковский процесс с конечным множеством состояний,
если вложенная цепь Маркова эргодическая, если по крайней мере, одно из
распределений Qij (t ) нерешётчатое, если средние доходы si конечны при любом
i  E , то
S (t )
S  lim i 
t 
t
s 
k E
k
k
m 
k E
k
,
k
где  i стационарные вероятности распределения состояний вложенной
цепи Маркова, то есть решение системы уравнений

 l    k pkl

kE
,

  1
k

kE
где pij  lim Qij (t ) ,
t
 
si  
и
si  lim si (t ) ,
t 

mi  lim mi (t )   [1   Qij ( x)]dx
t 
0
- условное математическое ожидание времени
jE
непрерывного пребывания процесса в состоянии i .
6. Системы массового обслуживания
Каждая система массового обслуживания включает в свою структуру
некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами
обслуживания. Роль каналов могут играть различные приборы, лица,
выполняющие те или иные операции, ремонтные бригады, линии связи и так
далее.
Каждая
система
массового
обслуживания
предназначена
для
обслуживания некоторого потока требований, поступающих в систему.
Целью
теории
массового
обслуживания
является
выработка
рекомендаций по обеспечению высокой эффективности функционирования
системы.
Для
достижения
этой
цели
ставятся
задачи
теории
массового
обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности
функционирования системы от её организации. В качестве характеристик
эффективности функционирования могут быть выбраны различные показатели.
Важным свойством такого показателя является его объективность. Часто в
качестве такого показателя выбирается средний доход, приносимый системой в
единицу времени.
При разработке математических моделей вводится понятие стратегии.
Под стратегией подразумевается правило принятия конкретных решений, то
есть управление системой.
Для
управляемого
случайного
процесса
ставится
задача
выбора
оптимальной стратегии управления. Количественный показатель качества
управления должен иметь связь с конкретной траекторией течения процесса.
Таким образом, каждой траектории необходимо поставить в соответствие
число,
характеризующее
траекториях
случайного
качество
процесса
управления.
строится
Это
означает,
некоторый
что
на
функционал.
Возможность появления той или иной траектории связана с вероятностью её
появления, следовательно, значение построенного функционала является
случайной величиной. Однако сравнивать функции распределения случайных
величин не представляется возможным. Следовательно, можно использовать
числовые показатели, например, математическое ожидание, на множестве
которых установление порядка возможно.
Задачу управления определяет объект управления. Далее при решении
конкретной задачи этим объектом является управляемый полумарковский
процесс. На траекториях управляемого полумарковского процесса проводится
построение функционала. Так как целью управления является повышение
эффективности работы системы, для нахождения стратегий, определяющих
наиболее
производительную
работу
системы,
выбирается
объективная
характеристика – функционал доходов.
Для характеристики систем массового обслуживания используется
символика, предложенная Кендаллом.
Символика использует пять разрядов: для характеризации входящего
потока однородных событий (первый разряд), характеристики обслуживания
(второй разряд), третий разряд определяет особенности структуры системы, в
четвёртом разряде фиксируются особенности очереди, пятый разряд вводится
для описания приоритетных систем массового обслуживания. В нашем случае
рассматриваются системы с описанием первых четырёх разрядов.
Символами M,D,E,G обозначаются соответственно экспоненциальное,
регулярное, эрланговское и произвольное распределения.
Если в первом разряде стоит один из перечисленных выше символов, то
это означает, что входящий поток есть рекуррентный поток с соответствующим
распределением интервалов между моментами поступления требований.
Каждый из введённых выше символов во втором разряде означает, что
распределение длительности обслуживания имеет указанный вид. В третьем
разряде указывается число обслуживающих приборов. В четвёртом разряде
указывается число мест для ожидания (максимальная длина очереди): N   -
случай неограниченной очереди, N  0 - система с потерями без ожидания,
0  N   -система с ограниченным числом мест для ожидания.
7. Алгоритм решения
Для решения задачи применяется следующий алгоритм вычисления
показателей качества функционирования системы и выбора оптимального
управления.
Определяются вероятностные характеристики полумарковского процесса
Qij (t )  Qij (t ,U i )   Qij (t , u )Gi (du ) .
Ui
Полумарковское ядро Qij (t , u ) - вероятность того, что полумарковский
процесс перейдёт в состояние j и время до этого перехода не превзойдёт t при
условии, что процесс пребывает в состоянии i и в этом состоянии принято
решение u из множества управлений.
Распределения
Gi (u ) ,
определяющие правило выбора решений в
состоянии i, j  E.
Определяются переходные вероятности вложенной цепи Маркова
pij  Qij ()  Qij (,U i ).
Определяется нормированное решение алгебраической системы
уравнений
 k    j p jk ,   k  1.
jE
Определяются
условные
kE
математические
ожидания
времени
непрерывного пребывания процесса в состоянии i
mi 

x( 0 , )
[1   Qij ( x)]dx.
jE
Определяются условные математические ожидания накопленного дохода
за полный период пребывания процесса в состоянии i
si  
jE
 R ( x)d Q ( x).
ij
x( 0 , )
x
ij
Функция Rij (t ) - условное математическое ожидание накопленного дохода
при условии, что процесс пребывает в состоянии i и через время t перейдёт в
состояние j.
Вычисляется значение показателя качества функционирования
s 
S
m 
kE
kE
k
k
k
k
.
Проводится поиск стратегий, при которых значение качества показателя
функционирования является максимальным.
8. Основные понятия теории надёжности
Надёжность – свойство объекта выполнять во времени заданные
функции.
Признаки классификации, отличающие одну восстановительную работу
от другой (влияющий на длительность):
- состояние системы в начале работы;
- состояние системы в конце работы;
- момент начала работы.
В начале работы система может быть:
- неработоспособной (работа остановлена из-за аварии), в этом случае
имеем дело с аварийной работой;
- работоспособная (работа остановлена для профилактики), в этом
случае в системе проводится предупредительная работа.
Если в конце восстановительной работы система полностью обновлена,
то эта работа - работа полного обновления системы.
Если момент начала восстановительной работы известен, то имеется в
виду плановая работа, если не известен – восстановительная.
Названия восстановительных работ:
- аварийная и предупредительная;
- полная и неполная;
- плановая и внеплановая.
В задачах надёжности также возможно применение теории управляемых
полумарковских процессов и нахождения коэффициента готовности.
Коэффициент готовности определяется следующим образом:
KГ 
X0-
MX 0
, где
MX
время работоспособности между моментами восстановления,
X - случайное время, интервал между соседними восстановлениями.
9. Решение задачи при неполной информации
Иногда мы не знаем конкретный процесс, а можем описать множество
процессов, к которому принадлежит наш процесс.
Отметим описание множества исходных функций распределения:
1. Известна оценка для математического ожидания x . Тогда считаем
  x , где  является математическим ожиданием  .
F ( x)  (  ) - множество функций распределения с математическим
ожиданием  .
2. Известен доверительный интервал для математического ожидания
  ( ,  ) .
F ( x)  (  ,   ( ,  )).
Известны оценки значений функции распределения F(x) в отдельных
точках:
0  y0  y1  y2  .....  yn  yn1   ,
F ( yi )   i ,0   0   1   2  .....   n   n1  1 .
 
Будем считать F  (n, y,  ) - множество функций распределения в


точках y , принимающих значение  .
Имея множество возможных процессов, ставим соответствующим
образом задачу управления. Возможны различные принципы постановки
задачи.
Приведём минимаксный подход. В множестве процессов берётся такой
процесс, в котором наши функционалы будут наихудшими. Затем выбирается
такая стратегия управления, чтобы минимальное значение (например, прибыль)
было максимальным. Решив эту задачу, для наихудшего варианта получим
наилучшее управление. Если будем придерживаться этой стратегии, то в
условиях неопределённости хуже этого значения мы не получим. Если не
придерживаться этой стратегии, то в множестве процессов может найтись такой
процесс, для которого значение показателя будет хуже. Если значение
минимакса нас не устраивает, тогда нужно сужать множество процессов (на
более узком множестве получим больший по значению максимин/меньший по
значению минимакс), то есть необходимо получать больше информации.
Рассмотрим функционал I=I(F,G), где F,G – меры, определяющие
полумарковское ядро.
Допустим, ищем максимин:
max min I ( F , G)  I ( F0 , G0 )
G F (  )
(ищем на множестве, которое сузили для
поиска).
Зафиксируем G и будем искать min I ( F , G) . Таким образом, найдём
F (  )
наихудшее значение. Этот минимум является функционалом от G. Далее
ищется максимум этого нового функционала по G.
Далее будет рассматриваться функционал:

I ( F , G) 
 A( x, u )dF ( x)dG(u)
0 0

.
 B( x, u )dF ( x)dG(u)
0 0
9.1 Основные теоремы
Теорема
Если функция A( x, y ) убывает по x при y , а функция B( x, y ) возрастает
по x при y , то при любом распределении G максимум дробно-линейного
функционала по F достигается на мажорирующем распределении, при условии,
что оно существует.
Теорема
Если функция A( x, y ) возрастает по x при y , а функция B( x, y ) убывает
по x при y , то при любом распределении G минимум дробно-линейного
функционала по F достигается на мажорирующем распределении, при условии,
что оно существует.
Теорема
Пусть F  (  ) , F - стареющее распределение.
Тогда справедливо соотношение:
x


1  e  , x  
F ( x)  
.
1, x  

Теорема для линейного функционала ( I ( F )   C ( x)dF ( x) ).
0
 
Если существует минимум линейного функционала при F  (n, y,  )
равный C , то он достигается на множестве распределений, имеющих в каждом
множестве [ yk ; yk 1 ) одну точку роста.
Теорема
Дробно-линейный функционал достигает экстремум по множеству
ограничений распределений G1 ( x)  F ( x)  G2 ( x) на распределениях, которые либо
совпадают с границей, либо постоянны, либо имеют скачок.
Теорема
Если для любого x  0
F1 ( x)  F2 ( x),
то H1 (t )  H 2 (t ).
Список литературы
1. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового
обслуживания: Учеб. Пособие для вузов. –М.: Высшая школа, 1982.
2. Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надёжности сложных систем
(теория и практика). – М.: Европейский центр по качеству, 2002.
Учебное издание
Составители:
КАШТАНОВ Виктор Алексеевич, КОНДРАШОВА Елизавета Владимировна
«Исследование функционала для заданной системы массового обслуживания»
Методические указания
к курсовому проекту по дисциплине
Управление системами массового обслуживания в экономике
Редактор С. П. Клышинская
Технический редактор О. Г. Завьялова
Подписано в печать 9.04.2010.
Формат 60х84/16. Бумага офсетная.
Печать-ризография. Усл. печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 0,95.
Изд. № 35. Тираж 50 экз. Заказ.
Московский государственный институт электроники и математики.
109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3.
Отдел оперативной полиграфии
Московского государственного института электроники и математики.
113054, Москва, ул. М. Пионерская, 12.