Егоров Е.А. Элементы теории массового обслуживания

2. Элементы теории массового обслуживания.
Теория массового обслуживания изучает системы массового
обслуживания (СМО) и сети массового обслуживания (СеМО).
Под системой
массового
обслуживания
(СМО)
понимают
динамическую систему,
предназначенную
для
эффективного
обслуживания потока заявок (требований на обслуживание) при
ограничениях на ресурсы системы.
Модели СМО удобны
для
описания
отдельных
подсистем
современных вычислительных
систем,
таких
как
подсистема
процессор - основная память, канал ввода - вывода и т. д.
Вычислительная система в целом представляет собой совокупность
взаимосвязанных подсистем,
взаимодействие
которых
носит
вероятностный характер. Заявка на решение некоторой задачи,
поступающая в вычислительную систему, проходит последовательность
этапов счета, обращения к внешним запоминающим устройствам и
устройствам ввода
вывода.
После
выполнения
некоторой
последовательности таких
этапов,
число и продолжительность
которых зависит от трудоемкости программы, заявка считается
обслуженной и покидает вычислительную систему. Таким образом,
вычислительную систему в целом можно представлять совокупностью
СМО, каждая
из которых отображает процесс функционирования
отдельного устройства или групы однотипных устройств, входящих в
состав сиистемы.
Совокупность взаимосвязанных СМО называется сетью массового
обслуживания (стохастической сетью).
Основными задачами, которые решаются в
рамках
теории
массового обслуживания, являются :
- задача анализа,
т.
е.
определение
количественных
характеристик СМО и СеМО при заданной структуре и заданных
параметрах элементов структуры;
- задача синтеза оптимальной структуры СМО или СеМО при
заданных характеристиках и ограничениях на параметры элементы
структуры.
2.1. Обобщенная структурная схема СМО.
Параметры и характеристики СМО.
При исследовании СМО предполагаются известными некоторые их
свойства, т. н. параметры СМО. В
результате
исследования
определяются характеристики СМО, являющиеся функцией параметров.
Рассмотрим структурную схему СМО.
Входящий
Прерванные заявки
Выходящий
поток+---------------------------------------------+
поток
. Д1
Каналы
. Обслуженные
+>|||
обслу|
заявки о
LA1
|||
Очередь
живания .
LA1
------>|||
Q1
Д2
+----+->/|
/-->
|||------->+-+---+-+-+---->|||---->| К1 +->-\
/
|||
/<---+-+---+-+-+
||| /<-+----+
|\
/
||| /
\->+ ||| |
. \
/
o
LAi
||| |
Qk
. ||| .
+----+->/| \ /
LA2
------>|||-+----->+-+---+-+-+--+->|||-+-->| Кj +------>X------->
||| | /<---+-+---+-+-+ . ||| ./<-+----+
| / \
||| ./
\->| ||| |
. /
\
||| |
QN
. ||| .
+----+->/ /
\
LAM
|||-+----->+-+---+-+-+--+->|||-+-->| Кm +-->/
\
------>||| . /<---+-+---+-+-+ .
./<-+----+
\-->
|/
\->|
|
o
.
.
.
LAM
\
\
\ Уходы
Потери
\
\ _._._\_._._._._.>
_._._._>
\
\
/
n
\
\ /
LA1
\
X_._._._._>
\
/ \
n
\ Отказы
/
\
LAi
\_._._._._._._._._._._._._._._._>
\._._._>
n
LAM
На вход СМО поступают заявки на обслуживание, образующие
входящий поток. Первопричину заявок, какова бы ни была ее
физическая природа, называют источником заявок.
В зависимости
от характера источника заявок различают
разомкнутые и замкнутые СМО. В разомкнутых СМО число заявок,
вырабатываемых источником, считается неограниченным, поведение
источника заявок не связано с состоянием СМО ни в данный, ни в
какой-либо из предшествующих моментов времени. Для замкнутых СМО
характерно конечное числу заявок, циркулирующих
в
системе
источник - СМО. Обслуженные заявки возвращаются в источник и
через некоторое, в общем случае, время могут вновь появиться на
входе СМО.
Поведение
источника
в замкнутых СМО является
некоторой функцией состояния СМО.
Параметры входящего
потока. Процесс поступления в СМО
заявок на обслуживание является в общем случае случайным и может
рассматриваться как поток оюнородных событий, происходящих через
случайные промежутки времени. Случайные временные
интервалы
между поступлениями заявок могут подчиняться различным законам
распределения.
Наибольшее распространение в теории массового обслуживания
получил простейший поток заявок, то есть поток, в котором
интервал
времени
между двумя соседними заявками подчинен
экспоненциальному закону распределения с интенсивностью LA.
f(TAU) = LA * e**(-LA*TAU).
Привлекательность простейшего
потока
объясняется рядом
обстоятельств.
Допущение о простейшем потоке заявок позволяет получать
аналитические зависимости характеристик
СМО
от
параметров
входящего потока, что затруднительно для других видов потока
заявок.
Простейший поток в теории массового обслуживания играет
такую же роль, как нормальный закон распределения случайных
величин в
теории
вероятностей:
при
сложении
нескольких
независимых, ординарных,
стационарных
случайных
потоков
образуется суммарный поток, приближающийся по своим свойствам к
простейшему.
Если СМО
обеспечивает
желаемую
эффективность
функционирования системы при простейшем потоке заявок на входе, то обслуживание системой
других
случайных
потоков
заявок с одинаковой интенсивностью будет выполняться не хуже.
Если входящий
поток
представляет собой совокупность М
потоков заявок различных типов с интенсивностями
LAi,
___
i = 1,M, то его можно характеризовать суммарной интенсивностью
M
LA = SUMMA LAi
i = 1
Степень важности заявок может быть различной, по этому признаку
заявки делят на классы, каждому классу присваивается приоритет К,
___
K = 1,N, причем наивысшим приоритетом обладают заявки первого
класса, с увеличением К приоритет заявки падает.
Различают "терпеливые" заявки, т. е. такие, на время
пребывания которых в СМО не накладывается никаких ограничений, и
"нетерпеливые", способные
уйти
из
системы,
не
будучи
обслуженными, если время пребывания их в СМО превысит допустимую
величину.
Параметры структуры
СМО.
Каждая
система
массового
обслуживания обладает определенной структурой, характеризующейся
совокупностью параметров. Основным компонентом структуры СМО
являются каналы обслуживания. В зависимости от числа каналов
различают одноканальные и многоканальные СМО. В свою очередь,
многоканальные СМО могут содержать одинаковые и различные по
производительности каналы обслуживания.
Производительность канала обслуживания обратна длительности
обслуживания заявки., равной промежутку времени, необходимому
каналу обслуживания для обслуживания заявки. В общем случае это
случайная величина с функцией распределения F(TAUоб), плотностью
___
распределения f(TAUоб) и математическим ожиданием TAUоб. Типы
заявок различаются либо законами распределения, либо только
математическими ожиданиями при одинаковых законах распределения.
При этом принимается допущение о независимости длительностей
обслуживания для различных заявок одного типа, вполне корректное
для большинства
реальных
систем.
Наряду с математическим
ожиданием длительности
обслуживания
используется
понятие
___
интенсивности потока обслуживания MU = 1 / TAUоб - величины,
обратной средней длительности обслуживания и характеризующей
количество заявок, которое может быть обслужено в
единицу
времени постоянно загруженным каналом обслуживания. Наибольшее
число результатов получено для длительности обслуживания
с
экспоненциальной плотностью распределения.
- MU*TAUоб
f(TAUоб) = MU * е
Если в момент появления заявки на входе СМО хотя бы один канал
свободен от обслуживания, ее обслуживание может быть начато
немедленно, без задержки. Однако вполне вероятна ситуация, когда
заявка застает СМО полностью загруженной, то есть когда все m
каналов обслуживания заняты обслуживанием. В этом случае начало
обслуживания задерживается,
заявка
может
занять
место в
соответствующей очереди. Таким образом, вторым важным компонентом
структуры СМО является очередь, параметром которой является
число мест в очереди n. В приоритетных системах общая очередь
может быть разделена на несколько очередей по числу различаемых
системой приоритетов, для каждой из которых должно быть указано
___
число мест ni, i = 1,N. На число мест в очереди может быть
наложено ограничение, это может быть сделано как для каждой
очереди в отдельности, так и для всей совокупности очередей в
целом. При этом возможны конфликтные ситуации, решением которых
может быть отказ системы принять заявку.
В зависимости от числа мест в очереди различают СМО с
отказами, и, соответственно, СМО без отказов. В СМО с отказами
число мест в очереди конечно и
вследствие
вероятностного
характера как входящего потока, так и процессов обслуживания,
существует ненулевая вероятность того, что поступившая на вход
СМО заявка застанет все каналы занятыми обслуживанием и все
места в очереди занятыми ожидающими обслуживания заявками, то
есть она получит отказ. В СМО без отказов заявка либо сразу
назначается на обслуживание, если в момент ее
поступления
свободен хотя
бы один канал обслуживания, либо безусловно
принимается в очередь на обслуживание.
Параметры закона управления процессами в СМО.
Процесс продвижения заявки от входа к выходу СМО происходит
в соответствии с некоторым законом управления процессами в СМО,
который задается
дисциплинами
ожидания
и
обслуживания.
Дисциплина ожидания определяет порядок приема заявок в систему и
размещения их в очереди, дисциплина обслуживания - порядок
выбора заявок из очереди для назначения на обслуживание.
В зависимости от принятых в СМО дисциплин ожидания и
обслуживания различают СМО с бесприоритетными и приоритетными
дисциплинами.
В СМО с бесприоритетными дисциплинами все заявки считаются
равноправными. Возможны следующие бесприоритетные дисциплины
обслуживания, то есть правила выборки заявки из очереди
при необходимости назначения на обслуживание:
- выбирается первая в очереди заявка - дисциплина "первым
пришел - первым вышел" (FIFO - First Input First Output);
- выбирается
последняя в очереди заявка - дисциплина
"последним пришел - первым вышел" (LIFO - Last Input First
Output);
- заявка выбирается из очереди случайным образом.
В приоритетных дисциплинах обслуживания заявкам некоторых
типов представляется преимущественное право на
обслуживание
перед заявками других типов, называемое приоритетом. Различают
относительные, абсолютные и смешанные приоритеты.
Относительные приоритеты
учитываются
только
в момент
назначения заявки на обслуживание. При освобождении
канала
обслуживания сравниваются
приоритеты
заявок, находящихся в
очереди в состоянии ожидания, и обслуживание предоставляется
заявке с наибольшим приоритетом, после чего выбранная заявка
захватывает канал обслуживания.
Абсолютные приоритеты предполагают прерывание обслуживания
низкоприоритетной заявки в момент поступления в СМО заявки с
более высоким приоритетом, прерванная заявка ставится в начало
либо общей очереди, либо
очереди
заявок
соответствующего
приоритета.
Обслуживание прерванных заявок может проводиться либо от
начала (повторное обслуживание), либо от момента прерывания
(дообслуживание), чаще используют второй способ - дообслуживание
прерванных заявок.
Смешанные приоритеты предполагают сочетание рассмотренных
видов приоритета,
причем
для отдельных заявок может быть
использовано бесприоритетное обслуживание.
Совокупность обслуженных и потерянных заявок образует
выходящих поток СМО.
В зависимости от структуры выходящего потока различают СМО
без потерь ("чистые" СМО) и СМО с потерями ("смешанные" СМО).
Для "чистых" СМО характерно отсутствие ограничений на число мест
в очереди (бесконечная очередь) и на время пребывания заявки в
системе ("терпеливые" заявки). По этой причине выходящий поток
будет состоять лишь из обслуженных заявок.
Выходящий поток
в
общем случае распадается на поток
обслуженных и поток потерянных заявок, каждый
из
которых
характеризуется законом
распределения длительности интервала
между соседними заявками.
Если входящий
поток
содержит
заявки
М
типов
с
___
интенсивностями LAi
потока заявок типа i, i = 1,M,
выходящий поток можно характеризовать суммарной интенсивностью
потока обслуженных заявок
о
М
о
LA = SUMMA LAi ,
i = 1
о
где LAi - интенсивность потока обслуженных заявок типа i, и
суммарной интенсивностью потока потерянных заявок
п
М
п
LA = сумма LAi ,
i = 1
п
где LAi - интенсивность потока потерянных заявок типа i. Очевидно,
что
о
п
LA + LA = LA.
В свою очередь, поток потерянных заявок может состоять из потока
заявок, получивших отказ, и потока "нетерпеливых" заявок,
покинувших систему, так как их время пребывания превысило
допустимую величину, то есть
п
отк
у
LA = LA
+ LA
Проиллюстрируем обобщенную
структуру
СМО
примером
однопроцессорной цифровой управляющей системы (ЦУС), входящей в
состав автоматизированной
системы управления технологическим
процессом (АСУ ТП). Помимо аппаратных
средств
(процессор,
память, устройство прерывания, периферийные устройства) в состав
ЦУС входят программные средства,
содержащие
прикладные
и
системные управляющие
программы.
Прикладные
управляющие
программы реализуют
алгоритмы
управления
технологическим
процессом, их
исполнение
процессором
рассматривается
как
обслуживание заявок,
поступающих в ЦУС от технологического
процесса. Системные
управляющие
программы
осуществляют
управление прохождением заявок через ЦУС (диспетчирование) и
исполняются тем же процессором. Обычно выделяют две основные
системные управляющие программы: ДИСПЕТЧЕР_1 (D1) и ДИСПЕТЧЕР_2 (D2), реализующие, соответственно, дисциплины ожидания и
обслуживания.
Заявки С1, С2, ..., СМ в виде сигналов прерывания от
датчиков состояния
технологического
процесса
поступают
в
устройство прерывания, входящее в состав процессора. Появление
сигнала прерывания (заявки) С инициирует в процессоре
операцию
прерывания, в результате выполнения
которой
процессор
переключается
на выполнение программы D1.
D1
распознает
приоритет поступившей заявки и ставит ее в соответствующую
очередь, реализованную в специально зарезервированной области
памяти, причем для хранения информации об одной заявке может
потребоваться несколько ячеек памяти. D2 анализирует
состояние очередей Q1, Q2, ..., QN, выбирает заявку Сk, имеющую
преимущественное право
на
обслуживание,
и
инициирует
соответствующую прикладную программу. Инициирование программы
D2 происходит в моменты окончания исполнения прикладных
программ и программы D1.
Показатели эффективности
СМО.
Под
показателями
эффективности понимается
количественный показатель, частично
характеризующий уровень
выполнения СМО возложенных
на
нее
функций.
На
основании показателей эффективности может
быть построен некоторый критерий эффективности, совокупно
характеризующий эффективность СМО при ограничениях на
ее
параметры.
Эффективность
СМО
может характеризоваться большим
числом
различных
показателей эффективности. Рассмотрим
наиболее употребительные из них и их обозначения. Следует помнить,
что все эти показатели отражают возможности СМО по обслуживанию
заявок, отнюдь не характеризуя качество самого обслуживания.
Вероятность обслуживания Роб
характеризует
вероятность
того, что
произвольно
выбранная
из
входящего
потока с
интенсивностью LA заявка будет обслужена, то есть окажется в
o
потоке обслуженных заявок с интенсивностью LA .
о
Роб = LA / LA
Иногда вероятность
обслуживания
называют
относительной
пропускной способностью.
Вероятность потери Рп характеризует вероятность того, что
произвольно выбранная из входящего потока с
интенсивностью
LA заявка
окажется
в
потоке
потерянных
заявок
с
п
интенсивностью LA :
п
о
о
LA
LA-LA
LA
Рп = -------- = ------ = 1 - ---- = 1 - Роб;
LA
LA
LA
и является
суммой
вероятностей
потерь заявок по частным
причинам: Ротк - вероятность отказа вследствие переполнения
(насыщения) СМО, Ру - вероятность "ухода" нетерпеливых заявок
из СМО.
Рп = Ротк + Ру
_
Среднее время
ожидания
tож
заявки
(среднее
время
пребывания заявки в очереди) является математическим ожиданием
времени ожидания. Время ожидания tож заявки является случайной
величиной и равно сумме длительностей интервалов времени, в
течение которых заявка находится в очереди, начиная с момента
появления заявки на выходе СМО и кончая моментом, когда заявка
последний раз
покидает
очередь
по причине назначения на
обслуживание или ухода из очереди (в случае нетерпеливых заявок).
_
Среднее время ожидания tож в общем случае является суммой двух
составляющих:
__
н
- tож - среднего начального времени ожидания, равного промежутку времени между моментом появления заявки на входе СМО и моментом
первого назначения
заявки
на
обслуживание или ухода из очереди
__
п
- tож - среднего времени ожидания в прерванном состоянии,
равного в общем случае сумме промежутков времени между моментами
поступления заявки,
обслуживание
которой было прервано, в
очередь и моментами либо повторного назначения
заявки
на
дообслуживание (продолжение обслуживания заявки с того состояния,
в котором она находилась на момент очередного прерывания), либо
потери заявки за счет ухода:
__
__
_
н
п
tож = tож + tож
_
Среднее время
пребывания
заявки
в
СМО tс является
математическим ожиданием времени пребывания заявки в СМО. Время
пребывания tс заявки в СМО равно промежутку времени от момента
поступления заявки на вход СМО до момента появления ее в
выходящем потоке и связано с длительностью процессов ожидания
_
tож и обслуживания tоб. Среднее время пребывания заявки в СМО tс
_
равно сумме среднего времени ожидания (пребывания в очереди) tож
и среднего
времени
обслуживания
(пребывания
в
канале
_
обслуживания) tоб
_
_
_
tс = tож + tоб
_
Средняя длина очереди l представляет собой математическое
ожидание числа заявок, находящихся в очереди, то есть длины
_
очереди l. Для определения l в общем случае необходимо знание
___
совокупности вероятностей Pожi, где i = 0,n,
то
есть
вероятностей нахождения в очереди равно i заявок. Для систем без
потерь средняя длина очереди связана со средним временем ожидания
_
tож простым соотношением
_
_
l = tож * LA
Это выражение становится очевидным, если учесть, что за время
ожидания tож в СМО поступает в среднем LA * tож заявок.
_
Среднее число занятых
каналов
обслуживания
К
равно
математическому ожиданию числа занятых обслуживанием каналов
обслуживания, являющегося случайной величиной, и характеризует
_
степень загрузки обслуживающей системы. Для определения К в
___
общем случае необходимо знание совокупности Рзанi, i = 0,m вероятностей того, что в произвольный момент времени занято
обслуживанием i каналов обслуживания. Важную роль в дальнейшем
играет загрузка PSI - вероятность того, что в произвольный момент
времени обслуживанием будут заняты все m каналов обслуживания:
_
PSI = К / m.
_
Среднее число заявок в системе Z
представляет
собой
математическое ожидание числа заявок, одновременно находящихся в
очереди или в канале обслуживания. Оно представляет собой
сумму средней длины очереди и среднего числа занятых каналов
обслуживания, так как с каждым каналом обслуживания в произвольный
момент времени может быть связана только одна заявка
Z = l + K
(УП-2)
Для СМО без потерь среднее число заявок в системе связано со
средним временем пребывания заявки в системе простым соотношением:
_
_
_
_
_
Z = l + K = LA * tож + LA * tоб =
_
_
_
LA(tож + tоб) = LA * tс
(УП-3)
2.2. Разомкнутые СМО с пуассоновскими потоками событий.
2.2.1. Разомкнутые СМО с ожиданием (общий случай).
Рассмотрим СМО разомкнутого типа, содержащую m однотипных
каналов обслуживания,
характеризующихся
экспоненциальным
___
распределением времени обслуживания со средним значением TAUоб
или, что эквивалентно, простейшим
потоком
обслуживаний
с
___
интенсивностью MU = 1 / TAUоб независимо от типа обслуживаемой
заявки. При полностью загруженных каналах обслуживания заявки
могут ждать обслуживания в общей очереди, число мест в которой
равно n.
Дисциплина
ожидания
FIFO,
заявки становятся
в очередь в порядке поступления, при переполнении очереди
вновь поступившая заявка получает отказ. Дисциплина обслуживания также FIFO, выбор заявки из очереди при освобождении какоголибо из каналов обслуживания делается из начала очереди. Заявки
на входе СМО относятся к одному из М типов, причем заявки i-го
типа образуют простейший поток с
интенсивностью
LAi
____
(i
=
1, M). Поскольку рассматривается бесприоритетная
СМО
с общей очередью, целесообразно рассматривать объединенный входящий
поток, который будет также простейшим с интенсивностью
M
LA = SUMMA LAi
i = 1
Будем считать заявки нетерпеливыми, то есть имеющими право
пробыть в
СМО
не более TAUдоп единиц времени. Если время
пребывания заявки в системе tс превышает ТAUдоп, заявка покидает
систему и
считается потерянной для системы. Нетерпеливость
заявок хорошо
отражает
свойство
старения
информации
в
вычислительных системах реального времени. Будем считать ТAUдоп
случайной величиной,
распределенной
экспоненциально
с
___
математическим ожиданием М(ТAUдоп) = ТAUдоп.
Удобной для дальнейшего рассмотрения абстракцией является
представление о простейшем
потоке
уходов
из
СМО
с
___
интенсивностью NU = 1/ТAUдоп). Уходы заявки возможны либо из
очереди, если tож > ТAUдоп, либо из канала обслуживания, если
tож <= TAUдоп <= tс. Методически удобно рассматривать два потока
уходов с интенсивностями, соответственно, NUож и NUоб.
___
NUож = NUоб = NU = 1/TAUдоп
Определим основные показатели эффективности рассмотренной
СМО, пользуясь теорией непрерывных марковских цепей.
Возможные состояния СМО будем связывать с числом заявок,
находящихся в СМО:
S0 - в СМО нет ни одной заявки, каналы обслуживания
простаивают, очередь отсутствует;
S1 - в СМО одна заявка, ее обслуживанием занят один из
каналов обслуживания, другие (m - 1) канал обслуживания
простаивают, очередь отсутствует;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Si - в СМО i заявок, их обслуживанием заняты i каналов
обслуживания, другие (m - i)
канал
обслуживания
простаивают, очередь отсутствует;
...........................................................
Sm - в СМО m заявок, все каналы обслуживания загружены,
очередь отсутствует;
Sm+1 - в СМО (m + 1) заявок, все каналы обслуживания загружены,
последняя из пришедших в СМО заявок находится в очереди;
............................................................
Sm+l - в СМО (m + l) заявок, все каналы обслуживания загружены,
l заявок находится в очереди (l - длина очереди);
............................................................
Sm+n - в СМО m+n заявок, все каналы обслуживания загружены,
все n мест в очереди заняты
ожидающими обслуживания
заявками,
СМО
в
этом состоянии не способна принять
дополнительно ни одной заявки, все вновь приходящие заявки
будут получать отказ (состояние "насыщения" системы).
Переходы между состояниями такой СМО будут происходить
под
действием входящего потока заявок, потоков уходов нетерпеливых
заявок из очереди или канала обслуживания, потоков обслуживаний.
Граф переходов, соответствующий описанной СМО, приведен на рис.
+----+ LA +----+ LA
LA +----+ LA
| S0 +----->| S1 +-----> ... ----->| Si +-----> ...
|
|<-----|
|<----- ... <-----|
|<----+----+
+----+
+----+ (i+1)*(MU+NUоб)
MU+NUоб 2*(MU+NUоб) i*(MU+NUоб)
LA +----+ LA +----+ LA
----->| Sm +----->|Sm+1+-----> ...
<-----|
|<-----|
|<----+----+
+----+m*(MU+NUоб)+2*NUож
m*(MU+NUоб)
m*(MU+NUоб)+NUож
LA +----+ LA
LA +----+
----->|Sm+l+-----> ... ----->|Sm+n|
<-----|
|<----<-----|
|
m*(MU+NUоб)+l*NUож +----+
+----+
m*(MU+NUоб)+
m*(MU+NUоб)+
(l+1)*NUож
n*NUож
Граф представляет типовую структуру НМЦ, известную в литературе
как "процесс гибели и размножения". Для такой НМЦ легко выводятся
выражения для предельных вероятностей состояний в установившемся режиме
(формулы Эрланга).
ЛАУ для предельных вероятностей состояний P0, P1,.., Pi,..,Pm, не
cвязанных с очередью, имеют вид:
-LA*P0 + (MU+NUоб)*P1 = 0;
-(LA+(MU+NUоб))*P1 + LA*P0 + 2*(MU+NUоб)*P2 = 0
....................................................................
-(LA+i*(MU+NUоб))*Pi + LA*P(i-1) + (i+1)*(MU+NUоб)*P(i+1) = 0
....................................................................
-(LA+m*(MU+NUоб))*Pm + LA*P(m-1) + [m*(MU+NUоб)+NUож]*P(i+1) = 0
Для состояний P(m+1),..., P(m+l),..., P(m+n), связанных с наличием
очереди, уравнения имеют вид:
-(LA+[m*(MU+NUоб)+NUож])*P(m+1) + LA*Pm + [m*(MU+NUоб)+2*NUож]*P(m+2) = 0
....................................................................
-(LA+[m*(MU+NUоб)+l*NUож])*P(m+l) + LA*P(m+l-1) +
+ [m*(MU+NUоб)+(l+1)*NUож]*P(l+2) = 0
........................................................................
-([m*(MU+NUоб)+n*NUож])*P(m+n) + LA*P(m+n-1) = 0
Выразим вероятности P1, P2,...., P(m+n) через вероятность P0. Из
первого уравнения получаем:
LA
P1 = --------- * P0,
(MU+NUоб)
из второго с учетом предыдущего выражения
2
LA
LA
LA
P2 = --------- * ----------- * P0 = -------------- * P0
2
(MU+NUоб)
2*(MU+NUоб)
1*2*(MU+NUоб)
и далее в общем случае:
i
LA
____
Pi = ------------------ * P0, i = 1, m;
i!*(MU+NUоб)**i
Нетрудно заметить, что в приведенных выражениях числитель
коэффициента, на который умножается вероятность P0, равен произведению
интенсивностей потоков событий, переводящих систему из состояния S0 в
состояние Si, а знаменатель - произведению интенсивностей потоков событий,
переводящих систему их состояния Si в состояние S0.
Используя эту закономерность, запишем выражения для вероятностей
состояний, связанных с наличием очереди:
m
l
LA
+-+
LA
Pm+l = --------------- * | | -------------------- * P0;
m!*(MU+NUoб)**m
j=1 [m*(MU+NUоб)+j*NUож]
___
l = 1,n
Приведем интенсивности всех потоков к интенсивности потока
обслуживаний:
RO = LA/MU - приведенная интенсивность входящего потока,
представляющая собой среднее число заявок, поступающих на вход
СМО за среднее время обслуживания одной заявки;
ALFAож = NUож/MU - приведенная интенсивность потока уходов
из очереди;
ALFAоб = NUоб/MU - приведенная интенсивность потока уходов
из канала обслуживания.
Тогда получим
i
RO
---Pi = -------------------- * Po, i = 1, m;
i!*(1 + ALFAоб)**i
m
l
RO
+-+
RO
Pm+l = ------------------- | | ----------------------------- P0;
m!*(1 + ALFAoб)**m j=1 [m*(1 + ALFAoб) + j*ALFAож]
___
l = 1,n.
Вероятность Р0 определяется из нормирующего условия
m+n
SUMMA Pi = 1
i = 0
и равна
+
i
m
|
m
RO
RO
Po =|1+SUMMA -------------------- + -------------------- *
| i = 1 i!*(1 + ALFAоб)**i
m!*(1 + ALFAоб)**m
+
l
+-1
n
+-+
RO
|
SUMMA | | -----------------------------|
l = 1 j=1 [m*(1 + ALFAоб) + j*ALFAож] |
+
Одним из важных показателей эффективности является среднее
_
число каналов К, занятых обслуживанием. Его можно определить,
зная распределение вероятностей состояний
и
связь
номера
состояния с числом занятых каналов:
_
m
m
m
m
К = 0 * Рo + SUMMA(i*Pi)+m*SUMMA(Pm+l) = SUMMA(i*Pi)+m*(1-SUMMA(Pi))
i = 1
l = 1
i = 0
i = 0
_
Аналогично средняя длина очереди l может быть определена на
______
основании распределения вероятностей состояния Pi, i = 0,(m+n)
и связи номера состояния с длиной очереди:
m
n
n
l = 0 * SUMMA Pi + SUMMA l*P(m+l) = SUMMA l*P(m+l)
i = 0
l = 1
l = 1
Среднее число заявок в СМО:
_
_
_
Z = K + l.
В рассматриваемой СМО потери заявок возможны либо в форме
отказа вследствие переполнения системы, либо в форме ухода
нетерпеливых заявок из системы.
Вероятность отказа
Ротк
может
быть
определена
как
вероятность нахождения системы в состоянии Рm+n, то есть
m+n
RO
Ротк = Рm+n = ----------------------------------------------- * P0
n
m+-+
m!*(1 + ALFAоб) | |[m*(1 +ALFAоб) + j*ALFAож]
j=1
Уход нетерпеливой заявки из СМО возможен либо во время
ожидания, либо во время обслуживания. Поскольку такие случайные
события как уход заявки из очереди и уход заявки из канала
обслуживания несовместны,
то
вероятность ухода может быть
представлена суммой
ож
об
Ру = Ру
+ Ру
(VII-9)
ож
где Ру - вероятность ухода заявки во время ожидания;
об
Ру - вероятность ухода заявки во время обслуживания.
Вероятность ухода
заявки
во время обслуживания можно
определить как отношение суммарной интенсивности ухода во время
обслуживания, равной произведению среднего числа занятых каналов
К на интенсивность уходов из одного канала обслуживания NUоб, к
интенсивности входящего потока LA, то есть
_
об
К * NUоб
Ру = ---------LA
Аналогично можно
выразить
вероятность ухода во время
_
ожидания через среднюю длину очереди l, интенсивность ухода
одной заявки из очереди NUож и интенсивность входящего потока
LA:
_
ож
l * NUож
Ру = ---------LA
Вследствие несовместимости таких случайных событий, как
отказ системы принять заявку к обслуживанию и уход нетерпеливой
заявки из
системы, по теореме сложения выроятностей можно
записать
ож
об
Рп = Ротк + Ру
+ Ру
Вероятность обслуживания Роб, то есть вероятность появления
в потоке обслуженных заявок произвольной заявки из входящего
потока, может быть определена как дополнение вероятности потерь
до единмицы:
Роб = 1 - Рп
Отсюда можно получить такую
характеристику
выходящего
о
потока СМО, как интенсивность потока обслуженных заявок LA :
о
LA = LA * Роб = LA*(1 - Рп)
2.2.2 Разомкнутые СМО с ожиданием и терпеливыми заявками
Рассмотрим теперь СМО с терпеливыми заявками и ограниченным
числом мест в очереди. В такой СМО возможны потери заявок лишь
за счет отказов СМО принять заявку в очередь на обслуживание,
заявка же, попавшая в очередь, обязательно дождется назначения
на обслуживание.
Граф функционирования такой системы имеет вид:
+----+ LA +----+ LA
LA +----+ LA
| S0 +----->| S1 +-----> ... ----->| Si +-----> ...
|
|<-----|
|<----- ... <-----|
|<----+----+
+----+
+----+
MU
2*MU
i*MU
(i+1)*MU
LA +----+ LA +----+ LA
----->| Sm +----->|Sm+1+-----> ...
<-----|
|<-----|
|<----+----+
+----+
m*MU
m*MU
m*MU
LA +----+ LA
LA +----+
----->|Sm+l+-----> ... ----->|Sm+n|
<-----|
|<----<-----|
|
+----+
+----+
m*MU
m*MU
m*MU
Вероятности состояний имеют вид:
i
RO
---Pi = ----- * Po, i = 1, m
i!
m
l
RO
RO
---Pm+l = ----- * ------ * P0, l = 1, n
m!
m**l
+
i
m
l +-1
|
m
RO
RO
n
RO
|
P0 = < 1 + SUMMA ----- + ---- * SUMMA ------ >
|
i = 1
i!
m!
l = 1 m**l |
+
+ .
Вторая сумма в этом выражении является суммой n членов
геометрической прогрессии с первым элементом и знаменателем,
равными RO/m, откуда следует:
+
i
m
n+1 +-1
|
m
RO
RO
RO/m - (RO/m)
|
P0 = |1 + SUMMA ----- + ----- * ------------------ |
|
i = 1
i!
m!
1 - RO/m
|
+
+
Распределение предельных вероятностей состояний позволяет
найти основные показатели эффективности СМО.
Вероятность потери заявки Pn совпадает с
вероятностью
отказа Ротк и равна вероятности нахождения СМО в состоянии Sm+n:
m+n
RO
Pп = Pотк = Pm+n = -------- * P0
m! * m**n
Вероятность обслуживания
Роб
и
интенсивность
потока
о
обслуженных заявок
LA
определяются,
соответственно,
выражениями
m+n
RO
Pоб = 1 - Pп = 1 - --------- * P0;
m! * m**n
+
m+n
+
o
|
RO
|
LA = LA * Роб = LA * | 1 - -------- * P0 |
|
m! * m**n
|
+
+
Среднее число занятых каналов можно определить аналогично
рассмотренной ранее структуры СМО согласно выражению:
m
n
К = SUMMA i*Pi + m*SUMMA P(m+l)
i = 0
l = 1
Более удобно определение среднего числа занятых каналов как
o
отношение интенсивности потока обслуженных заявок LA к
интенсивности обслуживания
MU,
характеризующей
производительность одного канала обслуживания:
o
-
LA
LA*Роб
+
|
m+n
RO
+
|
К =
---- = ------ = RO * Роб = RO * | 1 - --------- * P0|
MU
MU
|
m! * m**n
|
+
+
Найдем теперь среднюю длину очереди l:
m
l
n
RO
n
RO
l = SUMMA l*P(m+l) = --- * P0 * SUMMA l* ----l = 1
m!
l = 1
m**l
(1)
Далее определяется срелнее число заявок в СМО
Z = K + l
Перейдем к определению временных характеристик.
Важным
показателем
эффективности
СМО
с
ожиданием является
среднее время ожидания заявки в очереди tож, характеризующее
запаздывание заявки за счет наличия в СМО других заявок. Для
определения tож сформулируем возможные гипотезы о том, в каком
состоянии застанет систему вновь прибывшая заявка и сколько
времени ей придется ждать обслуживания с
учетом
принятых
бесприоритетных дисциплин ожидания и обслуживания.
Если заявка застанет СМО в одном из состояний S0, S1, ...,
Sm-1, ей вообще не придется ждать (tож = 0), так как для этих
состояний характерно наличие в системе хотя бы одного свободного
канала, следовательно,
задержка
отсутствует и обслуживание
заявки будет начато немедленно. Застав СМО в состоянии Sm, когда
все m каналов заняты, заявка должна будет встать в очередь
(занять первое место в очереди) и ждать окончания обслуживания в
одном из каналов обслуживания. Суммарный поток обслуживания при
полностью загруженных каналах складывается из m
простейших
потоков обслуживаний с одинаковой для всех каналов средней
--длительностью обслуживания TAUоб, следовательно, суммарный поток
будет
характеризоваться средней
длительностью обслуживания
--TAUоб/m и
интенсивностью
обслуживания m*MU. Вследствие отсутствия последействия в простейшем суммарном потоке обслуживаний
время ожидания заявки в рассматриваемой ситуации равно в среднем
1/(m*MU), причем вероятность этой ситуации равна Pm. Застав СМО
с вероятностью P(m+1) в состоянии S(m+1) (все каналы обслуживания
заняты, в очереди одна заявка), вновь прибывшая заявка займет
второе место в очереди и должна будет ждать в среднем 2/(m*MU)
единиц времени, и т.д. Последнее состояние, находясь в котором
СМО еще способна принять заявку в очередь, S(m+n-1) имеет вероятность P(m+n-1), время ожидания заявки, заставшей СМО в состоянии
S(m+n-1), равно в среднем n/(m*MU). Время ожидания заявки, заставшей СМО в состоянии S(m+n), равно нулю, так как заявка получает
отказ и является потерянной для СМО.
Поскольку рассмотренные гипотезы случайны, среднее время
ожидания заявки в очереди определим как математическое ожидание
времен ожидания, связанных с различными гипотезами:
m - 1
1
n - 1 (l + 1)
tож = SUMMA 0*Pi + ---- * Pm + SUMMA ------- *P(m+l) + 0*P(m+n) =
i = 0
m*MU
l = 1
m*MU
m
l
n - 1 (l + 1)
RO
n - 1
RO
= SUMMA ------- Pm+l = --------- * Р0 * SUMMA (l+1) * ----l = 0
m*MU
m! * m*MU
l = 0
m**l
Сравним выражения (2) и (1). Существует
двумя характеристиками:
l = LA * tож
Определим среднее
обслуживания.
время
прибывания
связь
заявки
между
в
этими
канале
(2)
Время пребывания в канале обслуживания tоб - случайная
величина, для
определения
которой
необходимо
рассмотреть
различные возможные ситуации. Если заявка
застает
СМО
в
состоянии Sm+n, вероятность которой равна Pm+n = Pотк, время
пребывания ее в канале обслуживания равно нулю, поскольку заявка
получает отказ и тотчас же попадает в выходящий поток СМО.
Застав СМО в любом другом
состоянии,
что
происходит
с
вероятностью 1 - Pm+n = 1 - Pотк = Роб, заявка попадает в
систему и поскольку другие виды потерь (уходы нетерпеливых заявок)
в рассматриваемой СМО отсутствуют,
непременно
проходит
обслуживание, то есть время пребывания в канале обслуживания в
данной ситуации равно случайной величине, распределенной экспо--ненциально со средней длительностью обслуживания TAUоб.
Теперь нетрудно найти среднее время обслуживания
--1
Роб
tоб = 0 * Ротк + TAUоб * Роб = ---- Роб = ----MU
MU
Сравним среднее время обслуживания со
среднем
числом
занятых каналов К. Убедимся в
справедливости
соотношения,
связывающего эти две характеристики:
К = LA * tоб
Рассмотрим еще один показатель эффективности СМО - среднее
время пребывания заявки в системе. Среднее время пребывания
произвольной заявки в системе складывается из среднего времени
пребывания в очереди (ожидания) tож и из среднего времени
пребывания в канале обслуживания tоб. Вследствие независимости
процессов обслуживания и ожидания справедливо соотношение
tс = tож + tоб
Очевидно, что среднее время пребывания в системе и
число заявок в системе связано соотношением:
среднее
Z = LA * tс
Рассмотрим предельный вариант СМО с ожиданием, когда число
мест в очереди бесконечно (n --> бесконечность) и на время
пребывания заявки в системе не наложено ограничений (NU = 0,
ALFAож = 0, ALFAоб = 0). Такие СМО называются чистыми СМО с
ожиданием, или СМО без
потерь,
поскольку
любая
заявка,
поступающая на вход такой системы, либо немедленно назначается
на обслуживание, либо ставится в очередь на обслуживание, причем
из-за отсутствия потерь все заявки из входящего потока рано или
поздно будут обслужены.
Граф переходов такой СМО имеет вид:
+----+ LA +----+ LA
LA +----+ LA
| S0 +----->| S1 +-----> ... ----->| Si +-----> ...
|
|<-----|
|<----- ... <-----|
|<----+----+
+----+
+----+
MU
2*MU
i*MU
(i+1)*MU
LA +----+ LA +----+ LA
LA +----+ LA
----->| Sm +----->|Sm+1+-----> ... ----->|Sm+l+----->
<-----|
|<-----|
|<----<-----|
|<----+----+
+----+
+----+
m*MU
m*MU
m*MU
m*MU
m*MU
Индекс состояний определяет число заявок, связанных
с
системой, число состояний в системе бесконечно велико. Граф
соответствует типичной схеме гибели и размножения.
Определим предельные вероятности состояний,
бесконечности:
i
RO
---Pi = ----- Po, i = 1, m
i!
устремив j к
m
l
RO
RO
---------------Pm+j = ----- ----- Po, l = 1, бесконечность
m!
m**l
+
i
m
|
m
RO
RO
Po = |1 + SUMMA ----- + ----|
i = 1
i!
m!
+
+-1
беск-ть + RO +l|
SUMMA |-----| |
l = 1 + m + |
+
Из анализа выражения для Р0 следует, что установившийся
режим в СМО сушествует (предельные вероятности отличны от нуля),
беск-ть
l
SUMMA (RO/m)
.
Необходимым
условием
l = 1
сходимости этой суииы для RO > 0, m > 0 является неравенство
RO/m = LA/(m*MU) < 1, то есть когда интенсивность входящего
потока LA меньше максимальной
интенсивности
суммарного
потока обслуживаний m*MU. Невыполнение указанного неравенства
приведет к тому, что каналы обслуживания не будут справляться с
потоком заявок и длина очереди будет неограниченно возрастать.
При условии LA < m*MU предельный переход l --> бесконечность
в выражении (УП-17) дает
если сходится
сумма
+
i
m
+-1
|
m
RO
RO
RO/m
|
Po = |1 + SUMMA ----- + ----- ----------| =
|
i = 1
i!
m!
1 - RO/m |
+
+
+
i
m+1
+-1
|
m
RO
RO
|
= |1 + SUMMA ----- + ------------ |
|
i = 1
i!
m!(m - RO) |
+
+
В "чистой" СМО с ожиданием потери отсутствуют, поэтому
вероятность обслуживания равна единице Роб = 1, интенсивность
потока обслуженных заявок совпадает с интенсивностью входящего
о
потока LA = LA.
Среднее время ожидания заявки tож можно получить предельным
переходом из Тож для системы с конечной длиной очереди n,
устремив n --> бесконечность. Получим:
m
RO
tож = ---------------------- * P0
(m-1)! * MU*(m -RO)**2
Среднее время
обслуживания
будет
иметь
значение
--tоб=1/MU=TAUоб, то есть будет совпадать со средней длительностью
обслуживания заявки.
Теперь нетрудно записать выражение для среднего времени
пребывания заявки в "чистой" СМО с ожиданием
m
RO
--= ---------------------- * P0 + TAUоб
(m-1)!*MU*(m-RO)**2
Среднюю длину очереди l и среднее число заявок, связанных с
каналами обслуживания К можно найти, умножив, соответственно, tож
и tоб на интенсивность входящего потока LA:
m+1
(VII-34)
RO
l = tож * LA = ----------------------- * P0,
(m - 1)!(m - RO)**2
tc
--1
K = tоб * LA = TAUоб * LA = ---- * LA = RO.
MU
СМО без потерь ("чистые" СМО с ожиданием) не
имеют
аналогов среди реальных СМО, однако удобны тем, что позволяют
получить предельные соотношения для случая, когда число мест в
очереди заметно превышает среднюю длину очереди.
2.2.3. СМО с отказами.
Последней среди
СМО
разомкнутого
типа
рассмотрим
классическую СМО с отказами. Для этой СМО характерно полное
отсутствие очереди (n = 0), заявка, поступившая на вход СМО,
либо сразу попадает на обслуживание, если свободен хотя бы один
из каналов обслуживания, либо получает отказ и попадает в ту
часть выходящего потока, которая соответствует потерям. В каждый
момент времени с системой может быть связано не более m заявок,
где m - число каналов обслуживания.
Граф переходов m-канальной СМО с отказами приведен на рис.
+----+ LA +----+ LA +----+ LA +----+ LA +----+
| S0 +----->| S1 +>---->| Si +>---->|Sm-1+----->| Sm |
|
|<-----|
|<----<|
|<----<|
|<-----|
|
+----+
+----+
+----+
+----+
+----+
MU
2MU iMU (i+1)MU (m-1)MU mMU
Предельные вероятности состояний
системы,
процессы
которой подобны процессам гибели и размножения, имеют вид
i
RO
---Pi = ----- Po, i = 1, n
i!
+
i +-1
|
m
RO
|
P0 = |1 + SUMMA ----- |
|
i = 1
i! |
+
+
Отказ получает
следовательно
заявка,
m
RO
Pотк = Pm = ----m!
заставшая
СМО
в
+
|
|
|
>
|
|
|
+
в
состоянии
Sm,
+
i +-1
|
m
RO
|
|1 + SUMMA ----- |
|
i = 1
i! |
+
+
Вероятность обслуживания
Роб
и
интенсивность
о
обслуженных заявок LA равны, соответственно
Роб = 1 - Ротк = 1 - Pm,
о
LA = LA*Роб = LA*(1 - Pm)
потока
Среднее число
каналов
К
может быть найдено как отношение
о
интенсивности потока
обслуженных
заявок
LA
к
производительности одного канала обслуживания, характеризуемой
интенсивностью обслуживания MU.
о
LA
LA*Роб
К = ----- = ------- = RO * Роб = RO*(1 - Pm)
MU
MU
Среднее число заявок, звязанных с системой, Z совпадает со
средним числом каналов обслуживания
Z = К = RO(1 - Pm).
Задача.
Проектируется трехпроцессорная ВС оперативной обработки с
неограниченным числом запросов на решение задач. Интенсивность
потока задач LA = 1,2 сек**(-1), средняя трудоемкость задач
--5
TAU = 4 * 10 операций. Используется процессор со средним
5
быстродействием B = 2 * 10 оп/с. Объем буферной памяти позволяет
очередь неограниченной по длине. Потоки событий в системе можно
считать простейшими.
Необходимо сравнить
два
варианта
организации
вычислительного процесса:
1) каждый из процессоров по отдельности реализует последовательный алгоритм обработки,
2) все три процессора реализуют параллельный
алгоритм
обработки, причем среднее время обработки за счет организации
параллелизма уменьшается в 2,667 раза.
Для сравнения вариантов использовать комплексный показатель
эффективности
_
_
Е = 2 усл. ед. l + 30 усл. ед./сек * tс.
Для анализа
первого
варианта
используется
модель
трехканальной СМО без потерь:
B
-1
LA
m = 3
MU1 = ----- = 0,5 с , RO1 = -------- = 2,4.
--MU1
TAU
Условие существования установившегося режима выполняется:
RO1/m = 2,4/3 = 0,8 < 1.
+
i
4
+-1
|
3
RO1
RO1
|
Р0 = |1 + SUMMA ----- + -------------| = 0,056.
|
i = 1
i!
3!(3 - 2,4) |
+
+
4
RO1
l = ---------------- Po = 2,58;
2!(3 - 2,4)**2
l
1
tc = -------- + ---- = 4,15с.
LA
MU
Е = 129,66 усл. ед.
Анализ варианта с параллельной
модели одноканальной СМО без потерь,
потока обслуживания равна:
обработкой проведем
на
для которой интенсивность
-1
MU2 = 2,667 * MU1 = 1,333 с
LA
RO2 = -------- = 0,9.
MU2
Условие выполнения
установившегося
выполняется.
Показатели эффективности:
+
2 +-1
|
RO2
|
Р0 = |1 + RO2 + ---------| =
|
1 - RO2 |
+
+
2
RO2
l = --------- = 8,1;
1 - RO2
режима
RO2
<
1
+
2
2 +-1
| 1 - RO2 + RO2
|
| ----------------| = 1 - RO2 = 0,1
|
1 - RO2
|
+
+
l
1
tc = -------- + ----- = 7,5 c
LA
MU2
E = 241,2 усл. ед.
По сравнению
с
вариантом
последовательной
увеличивается реактивность системы.
обработки
2.3. Замкнутые СМО.
Важный и интересный класс СМО составляют СМО замкнутого
типа. Как
говорилось
ранее, для замкнутых СМО характерно
конечное число источников заявок, причем параметры суммарного
входящего потока СМО зависят от состояния самой СМО. Следует
отметить, что разомкнутых в строгом смысле этого слова СМО в
действительности не существует, однако для значительного числа
СМО зависимостью интенсивности входящего потока от состояния СМО
можно пренебречь и считать их разомкнутыми. Примером замкнутой
СМО может служить вычислительная система оперативной обработки с
диалоговым режимом
работы.
Упрощенно
представим
ее
функционирование на некотором
интервале
времени
следующим
образом. Система оперативной обработки содержит М терминалов, за
каждым из которых работает пользователь (П), формирующий запросы
на обслуживание
заявки
(рис. УП-6). Обслуживание запросов
выполняется совокупностью из m однотипных ЭВМ (m
<=
M),
рассматриваемых без детализации их внутренней структуры как
каналы обслуживания с длительностью обслуживания, распределенной
--по экспоненциальному закону с математическим ожиданием TAUоб.
Операционная система
реализует
бесприоритетные
дисциплины
ожидания и обслуживания в порядке поступления запросов, причем
все ресурсы
некоторой
ЭВМ (каналы обслуживания) полностью
монополизируются назначенной на обслуживание заявкой до конца ее
обслуживания. Заявка,
заставшая
все
каналы
обслуживания
занятыми, занимает место в очереди, число мест в которой
n = M - m, заявки считаются терпеливыми. Формирование нового
запроса пользователь начинает лишь после получения ответа на
предыдущий запрос,
причем
длительность промежутка времени,
необходимого пользователю для формирования очередного запроса,
будем считать распределенной экспоненциально с математическим
_
ожиданием Т,
что
позволяет рассматривать пользователя как
_
источник простейшего потока с интенсивностью LA = 1/Т.
П1
+-+-+
+-> | | |
|
+-+-+
|
П2
|
+-+-+
+-->| | |
+----+
| T1 |\
+----+ \
\
+----+
\
| T2 |\
\
+------+
|
|
/| ЭВМ1 |\
/ |
| \
/ +------+ \
/
\
|
+-+-+ +----+ \
\
Q
/
\
|
\
\ +-+-----+-+-+
/
.
\
|
+--+--| | ... | | +--|
.
++
|
ПМ
/
+-+-----+-+-+
\
.
/ |
|
+-+-+ +----+ /
\
/ |
+-->| | | | TM |/
\
/
|
|
+-+-+ +----+
\ +------+ /
|
|
\ |
| /
|
|
\| ЭВМm |/
|
|
|
|
|
|
+------+
|
+--------------------------------------------------------------+
Построим граф переходов такой СМО. Возможные состояния
системы будем связывать с числом пользователей, ожидающих ответа
на сделанные запросы, то есть с числом заявок, находящихся на
обслуживании и в очереди:
(M-1)*LA [M-(m-1)]*LA
[M-(m+l)]*LA LA
+----+ М*LA+----+
+----+(M-m)*LA +----+
+----+
| S0 +---->| S1 +->------->| Sm +-------->|Sm+l+->------->|Sm+n|
|
|<----|
|<-------<-|
|<--------|
|<-------<-|
|
+----+
+----+
+----+
+----+
+----+
MU
2*MU
m*MU
m*MU m*MU
m*MU
m*MU
S0 - в системе нет ни одной заявки, каналы обслуживания
простаивают, все пользователи независимо друг от друга заняты
подготовкой запросов, следовательно, интенсивность суммарного
потока заявок, переводящего СМО в состояние S1, равна М*LA;
S1 - в системе одна заявка, обслуживанием которой занят
один канал обслуживания, пославший запрос пользователь ждет
ответа на свой запрос
и
не
формирует
новых
запросов,
следовательно, интенсивность потока переходов в соседнее справа
состояние равна (М - 1)*LA; интенсивность потока переходов в
соседнее слева состояние связана с интенсивностью суммарного
потока обслуживаний, равной произведению числа занятых каналов
на интенсивность потока обслуживаний одного канала, то есть 1*MU;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sm - в системе m заявок, все ЭВМ заняты обслуживанием
запросов пользователей, очереди на
обслуживание
еще
нет,
интенсивность суммарного потока заявок равна (M - m)*LA,
суммарного потока обслуживания - m*MU.
Sm+l - в системе m + l заявок, все ЭВМ заняты и одна заявка
стоит в очереди на обслуживание, интенсивность суммарного потока
заявок равна [M - (m + l)]*LA, где l - длина очереди, суммарный
поток обслуживаний имеет интенсивность попрежнему m*MU;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sm+n - в системе m + n заявок, то есть все пользователи
сформировали и ввели в систему запросы на обслуживание, m ЭВМ
обслуживают m заявок, n = M - m заявок находятся в очереди на
обслуживание, интенсивность суммарного потока заявок равна нулю,
так как
все
пользователи
ждут
ответа на свои запросы,
интенсивность суммарного потока обслуживания равна m*MU.
Для исследования переходного режима в рассматриваемой СМО
необходимо составить и решить систему дифференциальных уравнений
Колмогорова. Займемся
исследованием
установившегося режима,
несомненно существующего в рассматриваемой системе, так как граф
переходов соответствует схеме гибели и размножения.
Предельные вероятности состояний описываются выражениями
i
M!RO
---Pi = ------------ Po, i = 1, m;
(M - i)!i!
m+l
Pm+l =
M!RO
----------------------- Po, l = 1, n;
[M - (m+l)]!m!m**l
+
i
m+l
+-1
|
m
M!RO
n
M!RO
|
Po = |1 + SUMMA ------------ + SUMMA --------------------|
|
i = 1 (M - i)!i!
l = 1 [M - (m+l)]!m!m**l |
+
+
Вероятность обслуживания для замкнутой СМО равна единице,
так как любая заявка будет в конце концов обслужена: Роб = 1.
о
Интенсивность потока обслуживания заявок LA для замкнутой
СМО имеет смысл средней суммарной производительности каналов
обслуживания, равной произведению среднего числа занятых каналов
обслуживания К на производительность одного канала обслуживания
о
_
MU: LA = К * MU.
_
Среднее число занятых каналов обслуживания К может быть
найдено как математическое ожидание числа занятых каналов:
_
m
n
m
m
K = 0 * Po + SUMMAi*Pi + m*SUMMAPm+j = SUMMAi*Pi + m(1 - SUMMAPi)
i = 1
l = 1
i = 1
i = 0
Зная среднее число занятых
каналов
_
К
и,
соответственно,
о
интенсивность потока обслуживания заявок замкнутой СМО LA =
_
_
К*MU, можно найти среднее число Z заявок связанных с системой, из
следующих рассуждений. Поскольку пользователь, сформировав и
введя в систему запрос на обслуживание, до получения ответа на
свой запрос не формирует новых запросов, суммарный поток заявок
_
на обслуживание будет определяться (М - Z)*LA. Поскольку
система находится
в
установившемся
режиме,
интенсивность
суммарного потока
заявок
на
входе
системы
должна
уравновешиваться интенсивностью потока обслуженных заявок, то
_
_
есть в среднем должно выполняться соотношение (М-Z)LA = К*MU.
Отсюда несложно найти среднее число заявок, связанных с системой
_
_
_
M*LA - К*MU
K
Z = --------------- = M - ---LA
RO
_
_
Зная Z и К, находим среднюю длину очереди
_
_
_
_
_
К
_
К(RO + 1)
l = Z - К = M - ---- - K = M - ----------RO
RO
Важной характеристикой замкнутой СМО является среднее время
_
пребывания заявки в системе tс, характеризующее и среднее время,
в течение которого пользователь ждет ответа на свой запрос, то
есть среднее время реакции системы. Поскольку для замкнутой
_
системы из-за отсутствия потерь среднее время обслуживания tоб
___
совпадает со средней длительностью обслуживания TAUоб, остается
_
найти среднее время пребывания заявки в очереди, то есть tож.
Рассмотрим возможные гипотезы относительно времени ожидания tож
в очереди заявки, поступающей на вход системы в случайный момент
времени. Заявка, застающая СМО в одном из состояний S0, ...,
Sm-1, не будет ждать (tож = 0), так как застает хотя бы один
свободный канал обслуживания. Нулевое время ожидания мы должны
приписать и состоянию Sm+n, так как в этом состоянии внутри
замкнутой системы не может появиться новых заявок. С состоянием
Sm следует связать ненулевое время ожидания, в среднем равное
1/(mMU), так как застав СМО в состоянии Sm, заявка должна будет
стать в очередь и дождаться ближайшего события в суммарном
потоке обслуживаний,
то
есть ближайшего момента окончания
обслуживаний в каком-либо из m
независимо
функционирующих
занятых каналов обслуживания. Заявка, заставшая СМО в состоянии
Sm+1, занимает в очереди второе место и должна будет дождаться
второго из ближайших событий в суммарном потоке обслуживаний,
время ожидания для нее удваивается. Заявка, застающая СМО в
_____
состоянии Sm+l, l= 1,n-1, должна ждать в среднем (l+1)/(mMU)
единиц времени. Среднее время ожидания найдем как математическое
ожидание времени ожидания, связанного с произвольным состоянием
СМО:
_
m - 1
1
n - 1 (l+1)
tож = 0*Ро + 0*SUMMAPi + -----Рm + SUMMA -----*Pm+l + 0*Pm+n =
i = 1
mMU
l = 1 mMU
=
n - 1 (l+1)
SUMMA -----*Pm+l
l = 0 mMU
Среднее время пребывания заявки в
реакции системы, равно
_
_
_
tс = tож + tоб =
системе
n - 1 (l+1)
___
SUMMA -----*Pm+l + TAUоб =
l = 0 mMU
_
tс,
или
время
n - 1 (l+1)
1
SUMMA -----*Pm+l + -l = 0 mMU
MU
Пример.
В лаборатории 5 однотипных ЭВМ, которые обслуживаются двумя
инженерами. ЭВМ требует обслуживания в среднем каждые два часа.
Инженер тратит на обслуживание в среднем 12 минут. ЭВМ имеет
пропускную способность
3
зад/час.
Сравнить по пропускной
способности лаборатории два варианта организации обслуживания ЭВМ:
1) каждый инженер обслуживает ЭВМ самостоятельно;
2) инженеры
обслуживают
ЭВМ
совместно,
однако
их
взаимопомощь увеличивает производительность в 1,9 раз.
Решение.
В этой задаче источником заявок на обслуживание являются
ЭВМ, роль каналов обслуживания играют инженеры.
Первый вариант
организации
обслуживания
сводится
к
замкнутой СМО с параметрами:
M = 5; m = 2; n = M - m = 3.
Интенсивность входящего потока
LA
=
0,5
1/час,
интенсивность потока обслуживания MU1 = 5 1/час, RO = 0,1.
Вероятности состояний:
+
2
3
4
5 +-1
|
5RO
5*4RO
5*4*3RO
5*4*3*2RO
5RO
|
Р0 = |1 + --- + ----- + ------- + --------- + ------ | = 0,618
|
1!
2!
2!2
2!2**2
2!2**3 |
+
+
Р1 = 5*RO*Ро = 0,309;
2
Р2 = 10*RO *Р0 = 0,062;
3
Р3 = 15*RO *Р0 = 0,01;
4
Р4 = 15*RO *Р0 = 0,001;
15
5
Р5 = -- RO *Р0 = 0.
2
Среднее число занятых инженеров:
_
К = 1*Р1 + 2*Р2 + 2*(1 - Р0 - Р1 - Р2) = 0,45.
_
Загрузка инженеров PSI = K/m = 0,227.
Среднее число обслуживаемых ЭВМ:
_
_
Z = M - K/RO = 0,45
_
l = 0.
Среднее число ЭВМ, занятых производительной работой, равно
_
M - Z = 4,55. Пропускная способность равна 13,65 зад/час.
Вариант со
параметрами:
взаимной
помощью
сводится
к
замкнутой СМО с
M = 5; m = 1; n = 4; LA = 0,5 1/час,
MU2 = 1,9*MU1 = 9,5 1/час, RO = 0,053.
Вероятности состояний:
2
3
4
5 -1
Р0 = (1 + 5RO + 5*4RO + 5*4*3RO + 5*4*3*2RO + 5!RO ) = 0,751
Р1
Р2
Р3
Р4
Р5
=
=
=
=
=
0,199;
0,042;
0,007;
0,001;
0.
_
_
_
K = 0,249; Z = 0,3; l = 0,051.
Пропускная способность составляет
_
(M - Z)3 = 14,1 зад/час
Следовательно, взаимопомощь повысила пропускную способность
лаборатории.
2.4. Сети массового обслуживания
с простейшими потоками событий.
Рассмотренные ранее системы массового обслуживания (СМО)
позволяют с той или иной степенью точности описывать процессы,
протекающие в отдельных устройствах или подсистемах современных
вычислительных систем.
Для
исследования
процессов
в
вычислительной системе
в
целом
необходимо
рассматривать
взаимодействие некоторой
совокупности
систем
массового
обслуживания (стохастическую сеть).
Ограничимся рассмотрением линейных стохастических сетей,
которые могут быть построены из конечного числа n СМО без потерь
_____
Si, i = 1, n и источника заявок S0 следующим образом. Заявки из
источника заявок S0 поступают в сеть, причем с постоянной
_____
вероятностью P0i, i = 1, n, заявка, появляющаяся на выходе
____
источника, поступит в систему Si, i = 1, n. Заявки, обслуженные
____
____
системой Si, i = 1, n, с постоянной вероятностью Pij, i = 1, n
____
____
j = 1, n поступают в систему Sj, j = 1, n или покидают сеть (j =
0), причем заявки, покидающие сеть, возвращаются
заявок. Очевидно, должно выполняться равенство
в источник
n
____
SUMMA Pij = 1, i = 0, n,
j = 0
причем Р00 = 0.
Структура сети может быть представлена графом, вершины
которого соответствуют системам массового
обслуживания
Si,
____
i=1, n, и источнику заявок S0, а дуги, взвешенные вероятностями
_____
____
Pij, i = 0, n, j = 0, n - передачами между элементами сети. Не
следует путать этот граф, называемый графом передачи сети, с
графом переходов между состояниями системы, встречавшимся ранее
при рассмотрении СМО с простейшими потоками событий.
Различают разомкнутые
и замкнутые стохастические сети.
Разомкнутая сеть характеризуется постоянной и независящей от
состояния сети интенсивностью потока заявок LAо на выходе
источника заявок S0, причем интенсивность
LAо
заранее
известна и является параметром сети.
------------|
Сеть|
Р0i
|
+----+ |
Pi0
+------|-->| Si +--|-------+
|
|
+--+-+ |
|
|
|
^ |
|
V
LA0+++
|Pji | | Pij|
+-+LA0
S0 +++
|
| |
|
+-+ S0
||
|
| |
|
^|
||
|
| V
|
||
||
|
++---+ |
||
|+------|-->| Sj +--|-------+|
| P0j
|
+----+ |
Pj0 |
|
------------|
-----------------------------Разомкнутые сети применяются для описания вычислительных
систем, в которых на обработке может находиться переменное число
задач, например, вычислительных систем оперативной обработки с
разделением времени. Замкнутая сеть характеризуется тем, что в
нее не могут
попадать
заявки
извне,
число
заявок
М,
циркулирующих в ней, всегда постоянно и определяется начальными
условиями.
------------|
Сеть|
Р0i
|
+----+ |
Pi0
+------|-->| Si +--|-------+
|
|
+--+-+ |
|
|
|
^ |
|
|
|
|Pji | | Pij|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| V
|
|
|
|
++---+ |
|
|
+-|-->| Sj +--|--+
|
| P0j| |
+----+ | |Pj0 |
|
| ------------- |
|
|
|
|
|
|
|
S0
|
|
|
+------+-+<------+
|
+-----------+-+<-----------+
LA0
Заявка, появляющаяся в выходящем потоке замкнутой сети, тут
же вызывает появление новой
заявки
во
входящем
потоке,
интенсивность LA0 фиктивного источника заявок характеризует
производительность замкнутой сети, не зависящую от каких-либо
внешних причин,
а
определяемую
конфигурацией
сети и ее
параметрами. Замкнутые стохастические сети используются
для
описания вычислительных систем, с которыми в каждый момент
времени связано фиксированное число заявок, например, систем
пакетной обработки.
Полный перечень сведений о экспоненциальной стохастической
сети (ее параметров) содержит: 1) число n СМО, образующих сеть;
2) число каналов обслуживания mi, входящих в состав СМО Si,
____
i = 1, n; 3) интенсивности потоков обслуживания MUi в СМО Si,
____
____
i = 1, n; 4) матрицу вероятностей передач P=[Pij], i, j = 0, n;
интенсивность LA0 потока заявок на выходе источника заявок
S0 для разомкнутой сети или число М заявок, циркулирующих в
замкнутой сети.
2.4.1. Анализ разомкнутых сетей массового обслуживания
Матрица вероятностей передач Р, содержащая как в случае
разомкнутой так и замкнутой сети n + 1 строку n + 1 столбец
S0
S1 ... Sj ...
+
S0| 0
P01... P0j...
S1| P10 P11... P1j...
||poij|| = ...|. . . . . . . . . .
Si| Pi0 Pi1... Pij...
...|. . . . . . . . . .
Sn| Pn0 Pn1... Pnj...
+
Sn
+
P0n|
P1n|
. .|
Pin|
. .|
Pnn|
+
является важным параметром сети, однако не может быть непосредственно
использована для получения характеристики cети и составляющих ее СМО,
поскольку для этого необходимо знание интенсивностей
----потоков заявок на входах СМО Si, i = 1, n. Возникает вопрос о
трансформации входящего потока заявок с интенсивностью LAо
ко входам составляющих сеть СМО. Будем рассматривать только
----установившийся режим.
Обозначим
через
ALFAi, i = 1, n
коэффициент передачи (трансформации) входящего потока заявок ко
---входу системы Si, i = 1, n, количественно равный среднему числу
появлений произвольной
заявки из входящего потока сети во
----входящем потоке СМО Si, i = 1, n, иначе говоря равный среднему
числу обслуживаний, получаемых произвольной заявкой в СМО Si,
---i = 1, n за все время пребывания ее в сети. Тогда интенсивность
---входящего потока СМО Si, i = 1, n может быть выражена через
интенсивность входящего потока сети LAо:
---LAi = ALFAi * LAо, i = 1, n
Поскольку рассматриваемая
сеть без потерь, интенсивности
----выходящих потоков СМО Si, i = 1, n совпадают с интенсивностями
их входящих потоков. Интенсивность входящего потока СМО Sj,
----j = 1, n равна сумме долей потока, поступающих от источника
заявок S0 и от других СМО сети:
n
---LAj = P0j * LAо + SUMMA(Pij * LAi), j = 1, n
i = 1
Выражая интенсивность
----
LAi
входящих и выходящих потоков СМО
Si, i = 1, n через интенсивность источника заявок
n
ALFAj*LAо = P0j*LAо + SUMMA(Pij*ALFAi*LAо) =
i = 1
+
n
+
---= LAо*|P0j + SUMMA(Pij*ALFAi)|, j = 1, n,
+
i = 1
+
и сокращая LAо в
систему линейных
получим
уравнений
---относительно искомых коэффициентов передач ALFAi, i = 1, n:
(P11-1)*ALFA1
P12*ALFA1
. . . . .
P1n*ALFA1
обеих частях равенства (УП-63),
неоднородных
алгебраических
+
P21*ALFA2 + ...
+ (P22-1)*ALFA2 + ...
. . . . . . . . . . .
+
P2n*ALFA2 + ...
+
P01 |
P02 \
. . /
P0n |
+
является ли
+
Pn1*ALFAn
+
Pn2*ALFAn
. . . . . . . .
+ (Pnn-1)*ALFAn
=
=
.
=
.
-
имеющую единственное решение независимо от того,
рассматриваемая сеть разомкнутой или замкнутой.
Поскольку для
разомкнутой сети интенсивность источника
заявок LAо известна, анализ стохастической сети сводится к
анализу совокупности независимых систем массового обслуживания
---Si, i = 1, n, интенсивности входящих потоков которых LAi,
----i = 1, n выражены через интенсивность входящего потока сети
----LAо и коэффициенты передачи ALFAi, i = 1, n (рис. УП-14).
+-----------+
----->|S1, m1, MU1|----->
+-----------+
...........................................
+-----------+
LAn = ALFAn*LAо
----->|Sn, mn, MUn|----->
+-----------+
LA1 = ALFA1*LAо
Рис. VII-14
Каждая из составляющих сеть СМО представляет собой СМО без
потерь с
числом каналов обслуживания mi, характеризующихся
интенсивностью потока обслуживаний MUi. Однако, разложение сети
на независимые СМО возможно лишь при условии существования
установившегося режима в каждой из СМО сети, имеющего вид
LAi
--------- < 1
mi*MUi
Поскольку LAi = ALFAi*LAо,
(VII-65)
то (УП-65) приводится к виду
mi*MUi
---LAо < --------, i = 1, n
ALFAi
Данное неравенство позволяет сформулировать ограничение сверху
на интенсивность входящего потока сети LAо из
условия
существования установившегося
режима
в
разомкнутой
стохастической сети
+
+
| mi*MUi |
---LAо < min | -------- |, i = 1, n
(VII-66)
i |
ALFAi |
+
+
Если установившийся режим в сети существует, то для каждой
---из составляющих сеть СМО Si, i = 1, n нетрудно найти показатели
эффективности tожi, tсi, li,
выражениями (УП-32) - (УП-35):
Ki,
пользуясь,
соответственно,
+
j
(mi+1)
+-1
|
mi
ROi
ROi
|
Роi = | 1 + SUMMA ------ + --------------- |
|
j = 1
j!
mi!(mi - ROi) |
+
+
(VII-67)
(mi+1)
ROi
tожi = --------------------------- * Роi;
(mi - 1)!*MUi*(mi - ROi)**2
--tсi = tожi + TAUобi = tожi + 1/MUi
li = tожi * LAi;
Ki = ROi;
---i = 1, n
(VII-68)
(VII-69)
На основании показателей
эффективности
отдельных
находятся показатели эффективности сети в целом:
СМО
n
tожi = SUMMA(ALFAi * tожi);
i = 1
n
tс = SUMMA(ALFAi * tсi);
i = 1
n
l = SUMMA(li);
i = 1
n
K = SUMMA(Ki);
i = 1
n
SUMMA(Ki)
K
i = 1
PSI = ---------- = ---------n
n
SUMMA(mi)
SUMMA(mi)
i = 1
i = 1
Пример.
Найти значение критерия эффективности вида
n
Е = еож*tож + SUMMA енi*(mi - Ki),
i = 1
где еожi
штраф
за единицу времени ожидания заявки в
очередях,
енi - штраф за недоиспользование каналов обслуживания в
системе Si для разомкнутой вычислительной сети, изображенной на
рис. УП - 2, при следующих ее параметрах: 1) число СМО n = 3; 2)
число каналов обсдуживания, соответственно, m1 = 1, m2 = 1, m3 =
2; 3) интенсивность потоков обслуживания, соответственно, MU1 =
-1
-1
-1
2с , MU2 = 0,8с , MU3 = 0,1с ; 4) матрица вероятностей
передач
+
+
+
+
| 0 Р01 Р02 Р03|
| 0
1
0
0 |
Р = |Р10 Р11 Р12 Р13| = |0,1 0 0,4 0,5|
|Р20 Р21 Р22 Р23|
| 0
1
0
0 |
|Р30 Р31 Р32 Р33|
| 0
1
0
0 |
+
+
+
+
5) интенсивность входящего потока сети LAо = 0,02с. Значения
штрафов принять равными, соответственно, еож
=10 усл.ед./с,
ен1 = 20 усл.ед., ен2 = 10усл.ед., ен3 = 2усл.ед.
На основании матрицы вероятностей передач в соответствии с
(УП-64) вычислим определители системы неоднородных
линейных
алгебраических уравнений:
DELTA =
|(Р11-1) Р21
Р31 |
| -1 1 1|
| Р12 (Р22-1) Р32 | = |0,4 -1 0| = 0,1;
| Р13
Р23 (Р33-1)|
|0,5 0 -1|
DELTA1 =
|-Р01
Р21
Р31 |
|-1 1 1|
|-Р01 (Р22-1) Р32 | = | 0 -1 0| = -1;
|-Р01
Р23 (Р33-1)|
| 0 0 -1|
DELTA2 =
|(Р11-1) -Р01
Р31 |
| -1
| Р12
-Р01
Р32 | = |0,4
| Р13
-Р01 (Р33-1)|
|0,5
DELTA3 =
|(Р11-1) Р21
-Р01 |
| -1 1
| Р12 (Р22-1) -Р01 | = |0,4 -1
| Р13
Р23
-Р01 |
|0,5 0
1 1|
0 0| = -0,4;
0 -1|
1|
0| = -0,5;
0|
позволяющие найти коэффициенты передач сети
ALFA1 = DELTA1 / DELTA = 10,
ALFA2 = DELTA2 / DELTA = 4,
ALFA3 = DELTA3 / DELTA = 5.
Проверим условие существования установившегося
рассматриваемой сети в соответствии с (УП-66)
режима
в
+
+
| m1*MU1
m2*MU2
m3*MU3 |
LAо < min |--------, --------, -------- | =
| ALFA1
ALFA2
ALFA3 |
+
+
+
+
| 1 * 2
1 * 0,8
2 * 0,1 |
min|-------, ---------, ---------| = 0,04
| 10
4
5
|
+
+
Установившийся режим
в сети существует, поэтому можно
перейти к определению необходимых показателей эффективности СМО,
составляющих сеть,
принимая
интенсивности входящих потоков
-1
заявок равными LA1 = ALFA1*LAо = 10 * 0,02 = 0,2с ,
-1
LA2 = ALFA2*LAо = 4 * 0,02 = 0,08с ,
-1
LA3 = ALFA3*LAо = 5 * 0,02 = 0,1с .
В соответствии в (УП-69) определим среднее число занятых
каналов обслуживания в каждой из СМО:
К1 = RO1 = LA1/MU1 = 0,2/2 = 0,1;
К2 = RO2 = LA2/MU2 = 0,08/0,8 = 0,1;
К3 = RO3 = LA3/MU3 = 0,1/0,1 = 1.
В соответствии с (VII-67, 68) определим средние времена
задержек заявок в соответствующих СМО при каждом обслуживании, используя вероятности простоя каждой из СМО:
Po1 = 0,9; Pо2 = 0,9; Pо3 = 0,333;
tож1 = 0,055с;
tож2 = 0,055с;
-
tож3 = 3,33с;
Учитывая коэффициенты
имеющие смысл
среднего
передачи
числа
ALFA1, ALFA2,
обслуживаний,
ALFA3,
получаемых
---произвольной заявкой из входящего потока в системе Si, = 1, 3 за
все время ее пребывания в сети, найдем среднее время ожидания
заявки в очередях
3
tож = SUMMA(ALFAi*tожi) = 10*0,055 + 4*0,055 + 5*3,33 = 17,42c
i = 1
Теперь нетрудно найти значение критерия эффективности
Е = 10 * 17,42 + 20(1 - 0,1) + 10(1 - 0,1) + 2(2 - 1)
203,2 усл.ед.
=
2.4.2. Анализ замкнутых сетей массового обслуживания
Замкнутые сети
характеризуются
тем, что интенсивность
LAо является искомой характеристикой сети, причем число M
заявок, циркулирующих в сети, постоянно и является параметром
----сети. Коэффициенты
передач
ALFAi, i = 1, n могут быть
определены как
решение
системы
уравнений
(УП-64).
При
определении характеристик
замкнутой
сети
необходимо
рассматривать сеть как систему более высокого уровня сложности
по отношению к составляющим ее СМО и
характеризовать
ее
множеством состояний.
Под
состоянием
сети
понимается
совокупность чисел (z1, z2, ..., zi, ..., zn), характеризующая
распределение заявок, находящихся в сети, среди составляющих ее
---СМО Si, i = 1, n: в системе S1 находится z1 заявок, в системе S2
- z2 заявок, ..., в системе Sn находится zn заявок. Заявки,
---находящиеся в СМО Si, i = 1, n, в общем случае обслуживаются
каналами обслуживания или стоят в очереди на обслуживание. С
каждым возможным состоянием сети можно связать его вероятность
P(z1, z2, ..., zi, ..., zn).
В установившемся режиме вероятность состояния разомкнутой
стохастической сети равна произведению вероятностей состояний
составляющих сеть СМО, поскольку функционирование отдельных СМО
можно считать независимым:
n
P(z1, ..., zi, ..., zn) = П Pzi,
i=1
где Pzi - вероятность того, что в СМО Si находится zi заявок.
Для замкнутой сети не все возможные состояния совокупности
из
n
СМО без потерь, каждая из которых характеризуется
бесконечным числом возможных состояний (z1, z2, ..., zi, ...,
zn), удовлетворяющих условию
n
SUMMA(zi) = M = const
i = 1
Установившийся режим
в
замкнутой
сети
(VII-70)
всегда
существует,
---i = 1, n не
поскольку длина очереди в произвольной СМО Si,
превышает величины (zi - mi), то есть конечна.
Обозначим допустимое множество состояний замкнутой сети,
удовлетворяющее условию (УП-70), через A(M,n), а число таких
состояний через |A(M,n)|. Число допустимых состояний замкнутой
сети |A(M,n)| равно числу различных распределений M заявок по n
системам и равно числу сочетаний
M
|A(M,n)| = C
M+n-1
Например, если замкнуть сеть, рассмотренную в примере УП-7, и
положить M равным 3, то число допустимых состояний замкнутой
3
сети будет равно |A(3,3)| = С = 5!/3!/(5-3)! = 5!/3!/2! = 10,
5
а множество A(3,3) будет иметь вид (3, 0, 0), (2, 1, 0), (1, 2, 0),
(0, 3, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 3), (1, 0,2), (2, 0, 1),
(1, 1, 1).
Вероятность состояния замкнутой сети определяется выражением
+ n
+
+
n
+
P(z1, ..., zi, ..., zn) = | П Pzi| / | SUMMA
П Pzi|
+i=1
+
+ A(M,n) i=1
+
(VII-71)
где
SUMMA - символ суммирования по всем допустимым состояниям
A(M,n)
замкнутой сети. Знаменатель в (УП-71) необходим для нормирования
вероятностей с учетом ограничения (УП-70).
Поскольку замкнутая сеть построена из СМО без потерь, для
определения вероятностей состояний отдельных СМО, входящих в
(УП-71), приведем выражения (УП-29), (УП-31) к виду
zi
Pzi = ROi * Ri(zi) * P0i,
(VII-71)
где ROi = LAi / MUi;
+
| 1/zi! при zi <= mi,
Ri(zi) = <
(zi-mi)
| 1/(mi!*mi
) при zi > mi,
+
+
i
(mi+1) +-1
|
mi
ROi
ROi
|
P0i = |1 + SUMMA ----- + ------------- |
|
i = 1
i!
mi!*(mi-ROi) |
+
+
Подставляем в (УП-71) выражение для вероятностей состояний
отдельных СМО (УП-72) с учетом коэффициентов передач (УП-62),
получим
n
| ALFAi*LAо |zi
П { | --------- | *Ri(zi)*P0i }
i=1 |
MUi
|
P(z1, ..., zi, ..., zn) = ------------------------------------n | ALFAi*LAо |zi
SUMMA { П | --------- | *Ri(zi)*P0i }
A(M,n) i=1 |
MUi
|
n
П {P0i}
и
i=1
n
zi
n
M
произведение П {LAо } = LAо ** ( SUMMA zi) = LAо не зависят от
i=1
i = 1
индекса A(M,n) суммирования, поэтому их можно вынести за знак
суммирования и
сократить
на них числитель и знаменатель;
окончательно получаем
В этом выражении произведение вероятностей
n
| ALFAi |zi
П { | ----- | *Ri(zi)
i=1 |
MUi |
P(z1,...,zi,...,zn) = ----------------------------n | ALFAi |zi
SUMMA { П | ----- | *Ri(zi)
A(M,n) i=1 | MUi |
(VII-73)
Располагая вероятностями состояний замкнутой сети, можно
найти показатели эффективности как отдельных СМО, составляющих
сеть, так и сети в целом.
Среднее число
выражением
занятых
каналов
в
системе Si определяется
+
+
mi
|
mi
|
Ki = SUMMA{r*P(zi = r)} + mi*|1 - SUMMA{P(zi = r)}|
r = 0
|
r = 0
|
+
+
(VII-74)
где P(zi = r) - вероятность того, что в системе Si находится
точно r заявок, а оставшиеся (M - r) заявок распределяются среди
других систем любыми возможными способами
P(zi = r) = SUMMA P(z1,
zi=r
z2,
..., zi, ..., zn),
где суммирование ведется по тем состояниям множества A(M,n), для
которых справедливо zi = r.
Расчет средней длины очереди для системы Si можно выполнить
в соответствии с выражением
zi
li = SUMMA {(r - mi)*P(zi = r)}
r=mi+1
(VII-75)
Здесь суммирование
ведется по тем состояниям из множества
A(z,n), в которых число заявок zi в системе Si превышает число
каналов обслуживания mi и, следовательно, очередь имеет ненулевую
длину.
----Среднее число заявок, пребывающих в СМО Si, i = 1, n,
удобно искать как сумму средней длины очереди li и среднего
числа занятых каналов обслуживания Кi:
zi = li + Ki
Вычисленные в
(VII-76)
значения
соответствии
с (УП-76)
zi
должны
n
удовлетворять равенству: SUMMA zi = M .
i = 1
Зная среднее число занятых каналов Ki и интенсивность
потока обслуживаний одним каналом MUi, интенсивность входящего
---потока СМО без потерь LAi, i = 1, n можно найти по выражению
LAi =
Ki*MUi
(VII-77)
Тогда средние времена ожидания tожi и пребывания в системе
---tсi в СМО без потерь Si, i = 1, n равны
tожi = li / LAi,
tсi = zi / LAi,
(VII-78)
Перейдем к определению показателей эффективности сети в
целом. Зная интенсивность входящего потока какой-либо из систем
---LAi = ALFAi*LAо и коэффициенты передач ALFAi, i = 1, n,
можно найти производительность замкнутой сети LAо:
LA1
LAi
LAn
LAо = ----- = ... = ----- = ... = ----ALFA1
ALFAi
ALFAn
(VII-79)
Среднее время ожидания заявки за все время ее пребывания в
сети определяется выражением
n
tож = SUMMA(ALFAi * tожi)
i = 1
(VII-80)
Аналогично среднее время пребывания заявки в замкнутой сети
можно вычислить по выражению
n
tс = SUMMA(ALFAi * tсi)
i = 1
Пример VII-8.
Замкнем вычислительную систему, рассмотренную в примере
УП-7, и переведем ее в пакетный режим обработки, структура
полученной таким образом замкнутой сети показана на рис. УП-15.
Изменим в условиях примера УП-7 только один параметр сети:
вместо неизвестной интенсивности входящего потока заявок LAо
зафиксируем число заявок, циркулирующих в сети, и примем его
равным М = 3.
LAо
+------------------------------------------------------------+
|P01
----------------------------P10 |
+-->\
|S1
Q1
+----+ |
/->----+
\------>+-+-+---+-+----->| K1 |-----------------/
/
| +-+-+---+-+
+----+ |
\
+->/
----------------------------\--+
|
|
|
----------------------------|
| P21
| +----+
Q2
S2| P12|
|<------------------------| K2 |<----+-+-+---+-+<-------|
|
| +----+
+-+-+---+-+
|
|
|
----------------------------|
|
----------------------------|
|
| +----+
S3|
|
|
| +| K31|<+
|
|
|
| |+----+ |
|
|
| P31
| |
|
Q2
| P13|
|<---------------------|-| . . . |<--+-+-+---+-+<-------+
| |
|
+-+-+---+-+
|
| |+----+ |
|
| +| K3m|<+
|
| +----+
|
----------------------------Рис. VII-15
Поскольку матрица вероятностей передач осталась неизменной,
сохранят свои значения и для замкнутой сети коэффициенты передач
ALFA1 = 10, ALFA2 = 4, ALFA3 = 5. Используя (УП-73), найдем
выражение для расчета вероятностей состояний сети:
Р(z1, ..., zi, ..., zn) =
z1
z2
z3
[(ALFA1/MU1) *R1(z1)]*[(ALFA2/MU2) *R2(z2)]*[(ALFA3/MU3) *R3(z3)]
---------------------------------------------------------------------z1
z2
z3
SUMMA {[(ALFA1/MU1) *R1(z1)][(ALFA2/MU2) *R2(z2)][(ALFA3/MU3) *R3(z3)]
A(3,3)
и вычислим вероятности состояний:
Р(3,
Р(2,
Р(1,
Р(0,
Р(0,
Р(0,
Р(0,
0,
1,
2,
3,
2,
1,
0,
0)
0)
0)
0)
1)
2)
3)
=
=
=
=
=
=
=
125/48000 = 0,0026;
125/48000 = 0,0026;
125/48000 = 0,0026;
125/48000 = 0,0026;
1250/48000 = 0,0260;
6250/48000 = 0,1302;
31250/48000 = 0,6512;
Р(1, 0, 2) = 6250/48000 = 0,1302;
Р(2, 0, 1) = 1250/48000 = 0,0260;
Р(1, 1, 1) = 1250/48000 = 0,0260.
Определим среднее число занятых каналов Ki
СМО в соответствии с выражением (УП-74):
для
каждой
из
K1 = 0 * 0,81 + 1 * 0,1588 + 1(1 - 0,81 - 0,1588) = 0,19;
K2 = 0 * 0,81 + 1 * 0,1588 + 1(1 - 0,81 - 0,1588) = 0,19;
K3 = 0 * 0,0104 + 1 * 0,078 + 2 * 0,2604 + 2(1 - 0,0104 - 0,078 - 0,2604) = 1,9012
Средние длины очередей в каждой из СМО Si найдем, пользуясь
(УП-75):
l1 = 1 * 0,0286 + 2 * 0,0026 = 0,0338;
l2 = 1 * 0,0286 + 2 * 0,0026 = 0,0338;
l3 = 1 * 0,6512 = 0,6512.
Для контроля
соотношением
выполнения расчетов воспользуемся контрольным
3
3
SUMMA zi = SUMMA(li + Ki) = 3,0 = M
i = 1
i = 1
На основании (УП-77) найдем интенсивности входящих
составляющих сеть СМО:
-1;
LA1 = K1 * MU1 = 0,19 * 2 = 0,38c
-1
LA2 = K2 * MU2 = 0,19 * 0,8 = 0,152c ;
-1
LA3 = K3 * MU3 = 1,9012 * 0,1 = 0,19012c .
потоков
Теперь нетрудно по (УП-78) найти средние времена ожидания
заявки в СМО Si при каждом обслуживании:
tож1 = l1/LA1 = 0,0338/0,38 = 0,0889c;
tож2 = l2/LA2 = 0,0338/0,152 = 0,2224c;
tож3 = l3/LA3 = 0,6512/0,19012 = 3,4252c.
Производительность замкнутой сети определяется
(УП-79):
LA1
0,38
-1
LAо = --------- = ------ = 0,038с
ALFA1
10
выражением
Среднее время ожидания произвольной заявки за все время
пребывания в замкнутой сети в соответствии с (УП-80) равно
ее
tож = 10 * 0,889 + 4 * 0,2224 + 5 * 3,4252 = 18,9 с.
Значение критерия эффективности
сети в рассматриваемом примере равно
замкнутой
стохастической
Е = 10 * 18,9 + 20(1 - 0,19) + 10(1 - 0,19) +
+ 2(2 - 1,9012) = 213,5 усл.ед.