Предисловие Рабочая тетрадь «Функция одной вещественной переменной. Свойства функций» предназначена для студентов первого курса дневного отделения математического факультета и ориентирована на использование в ходе занятий, а также для самостоятельной работы. Данное пособие состоит из двух модулей. Модуль I «Понятие функции одной вещественной переменной» включает следующие темы: 1) Модуль вещественного числа. 2) Метод математической индукции. 3) Понятие функции одной вещественной переменной. Арифметические действия над функциями. Равенство двух функций. 4) Композиция функций. Обратная функция. Модуль II « Элементарные функции. Их свойства и графики» включает темы: 1) Ограниченные и неограниченные множества. Точные верхняя и нижняя границы множества. Наибольший и наименьший элементы множества. 2) Ограниченные и неограниченные функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Точные границы функции. 3) Симметрия и периодичность функций. 4) Монотонность функции. Свойства монотонных функций. 5) Элементарное исследование функций и построение графиков. Содержание изучаемого материала на практических занятиях по математическому анализу раскрывается в рабочей тетради через совокупности конкретных действий, выполнение которых способствует не только их закреплению студентами, но и помогает им осмысливать общий ход рассуждений, обосновывать свои действия. Каждый новый учебный элемент представлен в тетради в соответствии с основными этапами его усвоения: актуализация (повторение теоретического материала лекции); выполнение новых действий с изучаемым объектом, их распознавание, осмысление и закрепление; применение знаний, полученных на лекции, в знакомой по обучению или новой ситуации, их обобщение и систематизация. Выделенные этапы усвоения предваряются, сопровождаются или завершаются работами диагностического или проверочного характера. В тетради эти работы обозначены символами: ВД, ТДО, КД, Тест. Охарактеризуем назначение названных работ, раскроем их обозначение. ВД (Входная диагностика) – направлена на актуализацию знаний учащихся перед изучением нового модуля. Результаты ВД позволяют установить степень готовности обучаемых к изучению нового. ТДО (Текущая диагностика обучающего характера) – позволяет выявить степень овладения общеучебными и специфическими операциями и действиями, определить типичные и индивидуальные ошибки студентов в процессе усвоения конкретного сегмента учебного материала. КД (Контрольная диагностика) – диагностика по результатам выполнения заданий комбинированного характера по одной или нескольким работам. В работах КД студентам приходится выполнять усвоенные действия в различных сочетаниях, встречаемых в модуле. Обязательным элементом работы КД являются задания, направленные на выявление степени понимания изученного материала. Тесты – наборы заданий для диагностики уровня усвоения темы и анализа результатов выполнения заданий по всему модулю. Работы КД, ТДО, и Тесты предназначены для самопроверки учащимися выполненных заданий, поэтому они, как правило, снабжены ответами, приведенными в конце тетради. Работы ВД приведены без ответов и предполагают их проверку преподавателем. Задания для каждой работы построены в соответствии с дидактическими требованиями к системе упражнений на формирование умений и навыков. Включены упражнения, адекватные действиям, лежащим в основе усвоения новых знаний: задания на распознавание но5 вого математического объекта, на осмысление действий с ним, на выведение следствий и подведение под понятие, на установление связей между новыми и изученными ранее понятиями. По каждой теме выделены основные знания и умения, которые должны освоить студенты. Задания для диагностики достижения указанных целей приведены в работах ТДО (и обозначены Ц.1.1, Ц.1.2. и т.д., где первая цифра соответствует номеру работы ТДО, а вторая цифра соответствует номеру соответствующей цели, выделенной в работе). Задания в работах ТДО и КД соответствуют 3- м уровням усвоения знаний (по И. Я. Лернеру): восприятие, понимание, запоминание материала и готовность к опознанию объекта и воспроизведению знаний о нем; готовность применения знаний по образцу и в сходных ситуациях; готовность к творческому применению знаний в новых, незнакомых ситуациях. В основу деления по уровням сложности задач положено наличие или отсутствие алгоритма решения (задания, отмеченные цифрой I в работе КД – уровень стандарта, характеризуется отметкой “ удовлетворительно”; задания, отмеченные цифрой II– уровень “ хорошо”; задания, отмеченные цифрой III– уровень “ отлично”). Конкретизируем основные идеи, принципы и положения, на основе которых была создана данная рабочая тетрадь. 1. Наличие к заданиям работы рекомендаций, указаний, образцов рассуждений, обеспечивающих переход от теоретических фактов к их применению в конкретно-практических задачах, позволяет широко использовать прием комментирования записей (полное, частичное, выборочное). 2. Включение групп заданий, обеспечивающих поэтапное формирование умений, на основе выполнения студентами заданий по освоению входящих в умение действий и операций. 3. Наличие текстов задач, необходимых рисунков и записей, позволяющих студентам соединить моторную деятельность и зрительное восприятие, экономить время на занятии, создавать условия для организации поисковой, исследовательской деятельности студентов, для развития мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, критичность и т.п.). 4. Группировка заданий в работе вокруг ведущего стержня при изучении функций, обеспечивающая предсказуемость предстоящей деятельности студента. 5. Наличие в рабочей тетради заданий для формирования у студентов действий самоконтроля и самооценки, представленных в виде диагностических заданий после каждой работы, и в виде итоговых тестов для самопроверки усвоения темы после каждого модуля. Включение специально составленных заданий, направленных на формирование у студентов способности к рефлексии (осознанию выполненных действий). Наличие работ, позволяющих обобщать и систематизировать усвоенные знания. 6 ОГЛАВЛЕНИЕ Модуль I. Понятие функции одной вещественной переменной стр. Работа 1. ВД …………………………………………………………………….. Работа 2. Модуль вещественного числа ………………………………………... ТДО 1 ………………………………………………………………………........ Работа 3. Метод математической индукции ……………………………………... ТДО 2 ………………………………………………………………………......... Работа 4. Понятие функции одной вещественной переменной. Арифметические действия над функциями. Равенство двух функций …………………………….... ТДО 3 ……………………………………………………………………………. Работа 5. Композиция функций. Обратная функция ……………………………. ТДО 4 …………………………………………………………………………….. КД ……………………………………………………………………………… Работа 6. Тест по теме «Понятие функции одной вещественной переменной»… Модуль II. Элементарные функции. Их свойства и графики Работа 1. Ограниченные и неограниченные множества. Точные верхняя и нижняя границы множества. Наибольший и наименьший элементы множества……………………………………………………………………………... ТДО 1 ……………………………………………………………………….......... Работа 2. Ограниченные и неограниченные функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Точные границы функции ……………………… ТДО 2 ………………………………………………………………………........... Работа 3. Симметрия и периодичность функций ……………………………….. ТДО 3 …………………………………………………………………………….. Работа 4. Монотонность функции. Свойства монотонных функций …………… ТДО 4 …………………………………………………………………………….. Работа 5. Элементарное исследование функций и построение графиков ……… ТДО 5 …………………………………………………………………………….. КД ……………………………………………………………………………… Работа 6. Тест по теме «Элементарные функции. Их свойства и графики»……. 7 Работа 1. ВД 1) Раскройте геометрический смысл предложения “ Решить неравенство x 10,5 2 ”. По- стройте геометрическую модель и запишите решение. Геометрический смысл: Найти на числовой прямой такие точки … , которые удалены от точки … на расстояние, …….. Геометрическая модель: Решение: Ответ: Укажите наименьшее целочисленное решение неравенства из задания 1: ____________ 2) Решите уравнение: 2 x 1 2 x . Решение: Какой теоретический факт Вы использовали при решении данного уравнения? ___________________________________________________ 3) В системе координат (рис.1-6) построены некоторые линии. x2 1) Из рисунков 1-6 выберите тот, на котором изображен график функции y . x __________________________ 2) Укажите область определения и множество значений этой функции. Область определения: _________________________________ Множество значений: ________________________________ 3) Какой из приведенных графиков на рис.1-6 не является графиком функции?________________ Почему?________________________ 8 18 4,5 16 4 14 3,5 12 3 10 2,5 8 2 6 1,5 1 4 0,5 2 0 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -6 5 -4 -2 Рис.1 0 3,5 12 3 10 2,5 8 2 6 1,5 4 1 2 0,5 0 0 -2 -1 0 1 2 3 4 -6 5 -4 Рис.3 -2 0 2 4 6 Рис.4 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 -1 Рис.2 4 14 -3 6 4,5 16 -4 4 Рис.2 18 -5 2 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -2 -3 -3 -4 -4 Рис.5 1 Рис.6 9 2 3 4 4) Среди рисунков 7-10 выберите рисунок, на котором изображен график функции, обладающий свойствами 1)-8): 1) Ä f ; ; 2)нечетная функция; 3)убывает; 4) не ограничена ни сверху, ни снизу; 5) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; 6) непрерывна; 7) E f ; ; 8) выпукла вверх при x> 0, выпукла вниз при x< 0. Рис.7 Рис.8 Рис.9 Рис.10 Ответ:_____________________________________ 10 5) На рис. 11 а)-г) изображены графики некоторых функций. Задайте эти функции формулами и укажите их название. а) б) в) г) Рис.11 Ответ: а) у=_____________,_____________________________________ б) у=____________,_____________________________________ в) у=____________,_____________________________________ г) у=____________,______________________________________ 6)В системе координат (рис.12) постройте график функции: 1 x 1, 2 arcsin x, 1 x 1 2 f x 2 x 1, 1 x 3 x 0,5 , 3 x 4 lg x, x 4 11 Рис.12 7) Прочитайте график функции, построенный в задании 6: 1) Д(f)_____________________________ 2) График пересекает оси координат в точках ____________________________ 3) Четность 4) Функция убывает на ______________________ Функция возрастает на ________________________ 5) унаим= при x _______ унаиб= при x_______ 6) Функция ограничена ______________ 7) Е(f)________________________ 12 Работа 2. Модуль вещественного числа В результате изучения темы студенты должны: Цель 1 (Ц1): знать определение модуля вещественного числа, его аналитическую интерпретацию и уметь аналитически раскрывать знак модуля чисел и выражений; Ц2: знать геометрический смысл модуля и давать графическую интерпретацию; Ц3: знать свойства модуля: 1) a b a b ; 2) a b ≥ a b ; 3) ab a b ; 4) a a , a a ; 5) a b, b >0↔-b≤a≤b; 6) a ≥b↔a≥b, a≤-b, уметь решать уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля и сводящиеся к уравнениям и неравенствам типа а)-г): а) x a (, ≥)b, б) x a (, ≥)b, в) ax c (, ≥)d, г) ax c (, ≥)d Ц4: знать графики основных элементарных функций (линейной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических) и уметь строить графики функций, содержащих знак модуля: а) у= f ( x) ; б) у= f ( x ) ; в) у= f ( x ) ; г) y f ( x) . 1) Запишите аналитическое определение модуля действительного числа. ______, ï ðè ______ x ______, ï ðè ______ Выберите верное утверждение. Модуль любого числа есть число: а) положительное; б) отрицательное; в) неположительное; г) неотрицательное. Ответ:_______________________ 2) Запишите свойства модуля, поставив вместо многоточия соответствующий знак (>, <, , , ). 1) |a + b| …. |a| + |b| 2) a b ... a b 3) a b ... a b 4) a... a , a... a 5) | a | b, b 0 b … a … 6) | a | b a … b, a … -b. 3) Раскройте модуль -b 2 x 0, 25 , выполнив указанные действия в левом столбце, и заполни- те пропуски в правом столбце. 1) Найдите значения x, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в 0. 2 x 0, 25 0 x =_________________ 13 2) укажите, при каких значениях x выраже- а) 2 x 0, 25 0 ние, стоящее под знаком модуля: а) больше нуля; x > ___________ б) меньше нуля. Следовательно, ________, ï ðè ________ 2 x 0, 25 = ________, ï ðè ________ б) 2 x 0, 25 0 x<_______________ 4) Раскройте модуль: а) x 2 ____________ , т. к. _____________________________ _____, ï ðè _____ б) x 3 _____, ï ðè _____ в) x 2 2 x 1 ............. ……… Укажите свойство модуля, которое Вы использовали в п. в) Ответ:_____________________________________________ 5) Что на геометрическом языке обозначает символ x;2 и как его записывают аналити- чески? Геометрическое истолкование Аналитическая модель x;2 - x;2 = 6) Заполните пропуски в таблице, осуществив перевод с алгебраического языка на геометрический и обратно. Аналитическая модель Геометрическое истолкование 1) 1) расстояние на координатной прямой между точками x и 2 равно 0,5 2) x 1 2 2) x;0 3 3) 4) 4) расстояние на координатной прямой между точками x и а меньше ε. 14 x 2 0,5 . Выполните указанные действия, заполнив пропуски в правом столбце. 7)Слева дано описание геометрического способа решения неравенства Чтобы решить неравенство x 2 0,5 , надо: 1) изобразить на числовой прямой точку 2; 2)отметить на числовой прямой точки, которые удалены от точки 2 на расстояние, равное 0,5, т. е. найти координаты этих точек; 3)отметить штриховкой все числа x, которые удалены от точки 2 на расстояние, меньшее 0,5, “выколоть” концы полученного отрезка; 4)записать решение неравенства любым из двух способов: а) с помощью числового промежутка; б) с помощью двойного неравенства 1) 2) х 3) х 4) x 2 0,5 Решения: а) б) Дайте описание геометрического способа решения неравенства x 2 0,5 , заполнив пропуски в левом столбце. Выполните указанные действия в правом столбце. 8) Чтобы решить неравенство x 2 0,5 , надо: 1) изобразить на числовой прямой_______________ 2) отметить на числовой прямой точки, которые ____________________________________________, т. е. ________________________________________ 3) отметить штриховкой все числа, которые _____________________________________________ 4) записать решения неравенства любым из двух способов. 1) 2) х х 3) х 4) x 2 0,5 Решения: а)x є ( … ; … ), x є ( … ; … ) б) 9) Раскройте геометрический смысл предложений 1) и 2), постройте геометрическую модель и запишите решение неравенств: 1) õ 1 2 2) õ 1 2 Геометрический смысл: найти на числовой прямой такие точки…, которые удалены от точки… на расстояние … … геометрическая модель: геометрическая модель: Решение неравенства õ 1 2 : … Решение неравенства õ 1 2 : … 10) Множество точек U à õ R | õ à называется____________________________ Для неравенств 1)-3) запишите окрестность, указав точку a и радиус окрестности . 1) x 5 1, a ___, ____, U___(_______)= . . . . 15 2) x 3 0, a ____, ____, U___(_________)= . . . . 3) 1 x 5 x ..... _______, a ____, ____, U___(_______)=. . . . 11) Решите уравнения и неравенства из списка 1)-7) и укажите: а) какие из них не имеют решений; б) имеют бесконечно много решений; в) какие уравнения имеют один корень (укажите его); г) какие уравнения имеют два корня (укажите их). 1) x 3 x 3 ; 2) x 3 1 ; 3) x 3 1 ; 5) x 3 0 ; 6) x 3 x 5 1 ; Ответ обоснуйте. 4) x 1 ; 7) x 4 x 4 0 . а)________________, т. к. _________________________________________________________________ б)________________, т. к. _________________________________________________________________ в)________________, т. к. _________________________________________________________________ г)________________, т. к. _________________________________________________________________ 12) Решите аналитически уравнения и неравенства, записанные в столбце 1, указав выполненные действия в столбце 2 и свойства, которые при этом использовали, в столбце 3 . столбец 1 1) x 1 столбец 2 2 столбец 3 3 2) log3 2 x 7 1 3) x 2 5 2 x 2 5 ______ x 2 5 ______ 16 4) x x 1 x 2 4 0 1 x0 _____ 0 x 1 _______ 1 x 2 ______ x2 _____ 2 13) Заполните пропуски в предложениях: Для того чтобы по данному графику функции y f x построить график функции а) y f x ,нужно ___________________________________________________________________________ б) y f x ,нужно ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 14) Из приведенных графиков (рис.1-4) выберите график функции: а) y cos x ; б) y cos x ; в) y sin x ; г) y sin x . Ответ: а)рис._____; в)рис._____; б) рис._____; г) рис._____; 2 2 1 1 0 -4 -3 -2 -1 0 -1 0 -4 -2 0 2 -2 4 Рис.1 Рис.2 17 1 2 3 4 1,5 1 1 0,5 -3 -2 0 -4 -2 -0,5 0 2 -1 0 1 2 3 4 -1 -1 -1,5 Рис.3 Рис.4 15) Заполните пропуски и постройте графики функций, указанных в левом и правом столб- цах таблицы. Для того чтобы построить график функции y=|log2x| y=log2|x| нужно:1) построить пунктиром график функции y=… 2) часть графика, расположен- 2) часть графика, расположенную при х…0, ную________Ox, оставить, а часть графика, оставить, а при х…0 график будет симметрасположенную________ Ox, отобра- ричен относительно оси…. построенной его зить__________________________ части для х…0 Рис.5 Рис.6 16) В системе координат (рис.7а)-в)) постройте графики следующих функций, предварительно преобразовав аналитическое выражение и указав область определения этих функций. а) y x3 2 x 2 x ... x 1 ООФ:______________________ y(x)= 18 ,при хє______ ,при хє______ б) y=|x-2|+|x+3|+2 ООФ:____________________ x<-3 y=________ , при х_____________ -3 x<2 y=_______ , при х_____________ y= , при х_____________ x2 y= а) б) Рис.7 в) y=|2x-1|-|2x-2| ООФ:___________ x<__________ y=__________ ______ x<_________ y=_________________ , при х_____________ , при х_____________ y= , при х_____________ x __________ y=__________ 19 в) Рис.7 1 при x 0, x 1 (сплошными линиями). x 1 Укажите свойства этой функции, заполнив пропуски, и достройте график при x<0. 1) D(f)=___________________________ Вертикальные асимптоты: х=_______ и х=__________ (построены пунктиром) 2) f(x) ≠___, f(0)=___ 3) f(x)<0 при xє________ и f(x)>0 при xє________ 4) Функция убывающая при xє________ 5) Функция четная, можно строить график при хє____ При х 0 график симметричен относительно __________ построенной его части для х 0 , 1 б) Заполните пропуски, указав второй способ построения графика функции y= : x 1 1 График функции у= при x 0, x 1 получается из графика функции у=_______(при õ 1 х 1, õ 0 ), который построен пунктиром на рис.8, сдвигом его на___ вдоль оси______________________,или переносом системы координат на ________________________. При х 0 график строится так же, как и в п.а). 17) а) На рис.8 построен график функции y= Y 0 -1 1 -1 X Рис.8 20 18) На рис.9 изображен график функции f(x). Запишите аналитическое задание этой функции. f(x)= …. у 1 0 х -1 Рис.9 19) В системе координат (рис.10) постройте график функции: x , если x 0 , x y= 0, если x 0 . В каком задании Вы уже встречали такой график?_____________________________________ Рис.10 21 ТДО 1 Д 1.1 (первая цифра указывает номер ТДО, вторая - номер соответствующей цели). 1) Для какого действительного числа существует модуль? ______________________________ Раскройте модуль по определению: ________, при___________ а) | x-3 | = ________, при___________ б) õ2 6 õ 9 =|___________|= … Укажите свойство, которое Вы использовали в п. б)_________________ 2) Раскройте знак модуля: а) õ2 3 = б) 4 õ 0, 25 = в) log 4 õ 0,5 = 3) Упростите выражения, записанные в столбце 1, выполнив необходимые действия в столбце 2, и запишите теоретические факты, которые при этом использовали, в столбце 3. столбец 1 столбец 2 столбец 3 а) õ 2 1 õ õ , при х >3 22 б) õ õ 1 õ 2 , при 0< х < 1 Д 1. 2 1) Раскройте геометрический смысл предложений а)-г), постройте геометрическую модель и запишите решения уравнений и неравенств: а) |x|=3 б) õ 3 0,5 Найти на числовой прямой такие точки … , которые удалены от точки … на расстояние … … геометрическая модель: геометрическая модель: Решение уравнения õ 3 Решение уравнения õ 3 0,5 в) õ 3 0,5 г) õ 3 > 0,5 Найти на числовой прямой такие точки … , которые удалены от точки … на расстояние … … геометрическая модель: геометрическая модель: Решение неравенства õ 3 0,5 Решение неравенства õ 3 > 0,5 2) Постройте на числовой прямой множество В, если b>0, ε>0. а) Â õ | õ b} б) Â {õ | x b} в) Â {x | x a } г) Â {x | x a } 23 3) Пусть заданы положительное число ε > 0 и действительное число а. Проверьте равносильность неравенств. Укажите геометрический смысл этих неравенств: Геометрическое истолковаа) x a и ние: a x a ; Геометрическое истолкование: б) x a и a x a Д 1.3 1) Для следующих уравнений и неравенств 1)-4) укажите: а) какие из них не имеют решений; б) имеют бесконечно много решений; в) имеют одно решение (укажите его); г) имеют два решения (укажите их). 1) x 3 2 ; 2) x 5 x 5 ; Ответ обоснуйте. 3) x 5 x 5 0 ; 4) x x 1 а)________________, т. к. _________________________________________________________________ б)________________, т. к. _________________________________________________________________ в)________________, т. к. _________________________________________________________________ г)________________, т. к. _________________________________________________________________ 2) Решите аналитически уравнения и неравенства, записанные в столбце 1, указав выполненные действия в столбце 2 и свойства, которые при этом использовали, в столбце 3 . 24 столбец 1 1) 3 2 x 1 2 столбец 2 столбец 3 3 2 x 1 ______ 3 2 x 1 ______ 2) log5 6 x 9 1 3) 3x 4 x2 4) x 3 2 x x 2x 0 2 x0 _____ 0 x 2 _______ 2 x 3 ______ x3 _____ 3 3) Решите уравнения и неравенства, записанные в левом столбце таблицы, а в правом столбце обоснуйте выполненные действия, указав соответствующие теоретические факты. а) x 2 2 x 5 x 5 x 2 2 x 5 x 5 25 б) sin x 2 1 в) x2 16 x 64 x2 2 x 1 5 Д 1. 4. 1) Раскройте модуль в записи функции и запишите аналитическое выражение этой функции, постройте график: x2 y= , если x 0 x3 y= 0, если x 0 26 2) Постройте график функции y cos2 x и найдите f 0 , f , f 1 , f . 2 y cos 2 x = . . . f 0 =____; f =___; f 1 =__ ; f =___ 2 3) В левом столбце таблицы постройте график функции y= те этапы его построения. 27 2 , а в правом столбце укажиx 2 Работа 3. Метод математической индукции В результате изучения темы студенты должны: Ц1: знать принцип математической индукции и свойства числовых неравенств; уметь применять метод математической индукции при доказательстве утверждений (равенств, неравенств, при решении задач, сводящихся к доказательству утверждений). 1) Запишите аксиому индукции: Если множество М таково, что выполняются следующие условия: 1) ________________________________________________________ 2) ________________________________________________________ 3) ____________________________→ _________________________, то М= ______________ 2) Сформулируйте принцип математической индукции, заполнив пропуски: Если имеется множество утверждений, каждому из которых приписано _____________________________ и если доказано, что: 1) справедливо утверждение с номером __________________________ 2) из справедливости утверждения с номером _______ следует справедливость утверждения с номером____, то тем самым доказана справедливость __________________________________________________, т.е. справедливость утверждения с ____________________________________ номером n. Как называются условия 1) и 2)?_________________________________________________________________ 3) Заполните пропуски, ответив на вопросы а) и б): а) Как называется способ доказательства с помощью принципа математической индукции?____________________________________________________________________________ ________ б) Сколько утверждений одновременно доказывается методом математической индукции?________________ 4) Зрительные места в одном из секторов цирка расположены так, что образуют прямоугольную трапецию, высота которой состоит из 8 рядов кресел. Число мест в первом ряду равно 12. Сколько кресел в секторе, если в каждом ряду, начиная со второго ряда, на 2 кресла больше, чем в предыдущем? Сделайте слева рисунок, обозначьте на нем данные и требование задачи, а справа составьте математическую модель и решите задачу. рисунок математическая модель 1) Последовательность, о которой идет речь в задаче, состоит из чисел, показывающих количество . . . . . . . в каждом ряду. Последовательность образует . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . прогрессию, т.к. an+1=an+ . . . ., где а1= . . . , 2) по формуле n-го члена an=__________________, где d= . . ., n= . . . 3) Sn= . . . . . 28 5) С помощью метода математической индукции докажите формулы для n-го члена (an) и суммы n-первых членов (Sn) арифметической прогрессии, используемые в предыдущем задании. a) an=a1+(n-1)d 1) n=1___________ a1=________________________, a1=a1- верное равенство 2) Допустим, что формула верна при n=____ ak=___________________________________ Покажем, что формула верна для члена с номером n=k+1, т.е. покажем, что аk+1=__________________________ По определению арифметической прогрессии: аk+1=__________________________ Тогда по допущению получаем: аk+1=__________________________ Формула справедлива для члена с номером n=k+1 3) Согласно принципу математической индукции формула верна . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . a1 an n 2 1) Запишите формулу для Sn через a1, d, n, используя формулу n-го члена (an) арифметической прогрессии, доказанную в п.а) Sn= . . . . . . . .. б) Sn= 2) Докажите эту формулу, соблюдая все этапы, рассмотренные в п.а). 1) n=______________ S___ = ____________________ S___ = S___ -верное равенство 2) Допустим, что формула верна при n=______________ S___ = ____________________ Покажем, что эта формула верна для члена с номером n=_____, т.е. покажем, что S___ = ____________________ по определению Sk+1 = по допущению . . . . . . . . .= . . . . . . . .. Формула справедлива для члена с номером n=k+1 3) Согласно __________________________________________________ формула верна при ________________________________________________________________________________ 29 6) Методом математической индукции докажите утверждения: n n 1 б) ( 62n1 1)êðàò í î 7 n а) 1 2 .... n n 2 1) n=1 2) Допустим, что утверждение верно при n =______, т. е. _________________________верно ___________________________верно (гипотеза) (гипотеза) Докажем, что утверждение верно при n=__________. При n = ___________левая часть равна: 1 .... ... k 1 ____________________ 62 k 11 1 6 _____ 1 62 (..... 1) ________ ãèï î ò åçà ãèï î ò åçà ______________________________________ ___________________________________ ____________________________________ Утверждение верно при n= . . . Утверждение верно при n= . . . 3) Согласно принципу математической индукции утверждение ______________________________________________________________________________. k k 1 7) Является ли число вида натуральным k ? 2 Ответ обоснуйте:________________________________________________________________ n3 n 2 n Используя результат, полученный в задании 6а, докажите, что , n 1, 2,.... 6 2 3 1) n=1 2) Допустим, что утверждение верно при n =______, т. е. Докажем, что утверждение верно при n= k 1 : (k 1)3 (k 1) 2 k 1 . . . . . 6 2 3 . = (..................................) + ãèï î ò åçà 2 +( k k 1 1 1 ) (k ) . 2 2 6 3 2 . . Утверждение верно при n= ____________ 3) Согласно принципу_______________________________________________ утверждение _____________________________________________________________________________ 1 2 двумя способами: 2 1) Найдите разность левой и правой части ab ab 2) Используйте неравенство неравенства и сравните ее с нулем 2 8) а) Докажите неравенство: 1 30 б) В случае, когда утверждение выполняется, начиная с некоторого натурального номера n p p , то при его доказательстве используется обобщенный принцип математической индукции, отличие которого состоит в том, что база индукции проверяется при n p . 1 1 1 Докажите неравенство: 1 .... n при n 2 , используя обобщенный прин2 3 n цип математической индукции. Доказательство: 1) n ... 2) Допустим, что неравенство верно при n ____, т.е. 1 1 .....____ ____ - гипотеза. 2 Докажем, что неравенство верно с номером n ____ : 1 k k 1 1 k 1 1 1 ..... _____ _________________ _______ 2 k 1 k 1 k 1 ãèï î ò åçà Утверждение верно при n=_____________. 3) Согласно принципу математической индукции неравенство_______________________ 9) Проанализируйте доказательство неравенства а), заполнив пропуски, и, рассуждая аналогично, докажите неравенство б). а) 1 x x 1 n i, j , если xi 1 и xi x j 0 то 1 nx при всех n , если б) 1 x1 1 x2 ..... 1 xn 1 x1 x2 .... xn при 1) n=_______ левая часть: (1 x) n _________ правая часть: 1 nx _________ Следовательно, неравенство верно при n= 2) Допустим, что неравенство верно при n=k, т. е. _____________________ Покажем, что утверждение верно при n=k+1, т.е.________________________ всех n 1) n=_______ левая часть: 1 x1 1 x2 ..... 1 xn = правая часть: 1 x1 x2 .... xn = Следовательно,____________________ 2) Допустим, что неравенство верно при_____, т.е.____________________________________ Покажем, что утверждение верно при n=_________, т.е.________________________ Преобразуем левую часть: (1 x)k 1 (1 x)k (1 x) По допущению (1 x)k 1 kx . Умножим обе части неравенства, справедливого для n=k, на (1+ x ) , сохранив знак неравенства, т.к. x 1 . (1 x)k (1 x) (1 kx)(1 x), (1 x)k 1 1 x kx kx 2 1 (k 1) x kx 2 Сравним полученную правую часть неравенства с требуемым выражением: 31 1 (k 1) x kx 2 ?1 (k 1) x 1 (k 1) x kx 2 1 (k 1) x, т.к. kx 2 0 Следовательно, (1 x)k 1 1 (k 1) x, неравенство верно при n k 1 . 3) Согласно принципу математической 3) Согласно принципу математической индукn индукции неравенство 1 x 1 nx ции неравенство . . . верно при всех n , если x 1 Как называется неравенство, доказанное в п. 9а? Ответ: _________________________________________________ ТДО 2 Д 2. 1 1) Докажите, что для любого натурального номера n выполняется следующее равенство: 1+2+22+… +2n-1= 2n-1 Доказательство: 1) n ____, 2) Допустим, что равенство верно при n ____, т.е. Докажем, что утверждение верно для n=….. Утверждение верно при n=_____________. 3) Согласно принципу математической индукции неравенство_______________________ 2)а) Деревья в парке расположены так, что образуют прямоугольную трапецию, высота которой состоит из 5 рядов деревьев. Число деревьев в первом ряду равно 4. Сколько деревьев в парке, если в каждом ряду, начиная со второго ряда, деревьев в два раза больше, чем в предыдущем? Сделайте слева рисунок, обозначьте на нем данные и требование задачи, а справа составьте математическую модель и решите задачу. 32 рисунок математическая модель 1) Последовательность, о которой идет речь в задаче, состоит из чисел, показывающих количество . . . . . . . в каждом ряду. Последовательность образует . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . ……………………………………………….., т.к. bn+1=bn . . . ., где b1= . . . , 2) по формуле n-го члена bn=__________________, где q= . . ., n= . . . 3) Sn= . . . . . б) С помощью метода математической индукции докажите формулы для n-го члена (bn) и суммы n-первых членов(Sn) ……………….прогрессии, используемые в предыдущем задании. a) bn= … 1) n=1___________ b1=________________________, b1=b1- верное равенство 2) Допустим, что формула верна при n=____ bk=___________________________________ Покажем, что формула верна для члена с номером n=k+1, т.е. покажем, что bk+1=__________________________ По определению геометрической прогрессии: bk+1=__________________________ Тогда по допущению получаем: bk+1=__________________________ Формула справедлива для члена с номером n=k+1 3) Согласно принципу математической индукции формула верна . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . б) Sn= … 1) n=______________ S___ = ____________________ S___ = S___ -верное равенство 2) Допустим, что формула верна при n=______________ S___ = ____________________ Покажем, что эта формула верна для члена с номером n=_____, т.е. покажем, что S___ = ____________________ по определению Sk+1 = ........ . по допущению = . . . . . . . .. 33 Формула справедлива для члена с номером n=k+1 3) Согласно __________________________________________________ формула верна при ________________________________________________________________________________ 3) Докажите следующие утверждения: а) 3n >n2 при всех n б) (10n +18n-1) кратно 27 при всех n 1) n=______ 1) n=______ Следовательно, Следовательно, 2) Допустим, что утверждение верно при n = _________________, т. е. т. е. Покажем, что утверждение верно при n = ____________________, т. е. т. е. Утверждение верно при n = 3) Согласно принципу математической индукции утверждения _________________________ 34 Работа 4. Понятие функции одной вещественной переменной. Арифметические действия над функциями. Равенство двух функций В результате изучения темы студенты должны: Ц1: знать определения функционального соответствия и функции; уметь определять, являются ли функциями соотношения, заданные формулами; формулировать отрицания к определениям понятий; Ц2: знать операции умножения функции на число, суммы, произведения, частного двух функций; Ц3: уметь находить область определения и множество значений функций аналитически и по графику; Ц4: знать определения равенства двух функций и уметь выяснять равенство двух функций с помощью определения; Ц5: знать определения основных элементарных функций и вид их графиков, уметь строить графики функций с использованием элементарных свойств и преобразований. 1)Запишите определение отображения множества Х в множество У, заполнив пропуски. Пусть X и Y – множества произвольной природы. Отображением множества …… во множество ….. называется ………., по которому ___________________________________________________________________________ . Запишите это определение с помощью кванторов: ____________________________________________________________________________ 2) Заполните пропуски: Отображение f , переводящее любое множество X в множество , называется_____________________________ . Если X …., то функция f: Х называется _______________________________________________________________________________. Множество X при этом называется _______________________ и обозначается _______. Если при отображении f элементу x X соответствует элемент y f x Y , то y называется __________, а x называется ____________. Множество всех образов функции называется _________________________________________________и обозначается _______. 3) Выберите соответствия, которые являются отображениями. 1) Пусть X – множество жителей Земли, Х={x}, где x – один из жителей, и а) f(x)- отец x (т. е. правило f состоит в указании для x его отца) б) f(x) – дедушка x в) f(x) – сын x г) f(x)- старшая дочь x 2) соответствие задано формулой: а) x 2 y 2 1 б) y 2 x x2 , x 0 в) f x 1, x 0 1, при х>0 x г) g x x -1, при х<0 Ответ:________________________________________ 35 4) Запишите определение графика числовой функции, заполнив пропуски: Графиком числовой функции y f x называется ______________________________, y которых первая координата _____ принадлежит __________, а вторая координата ________является соответствующим значением функции: G j { ( ; ) |x ___, y= } График функции обладает следующим свойством: любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке. Является ли окружность графиком некоторой функции? Почему? Ответ: ________________________________________________________________________________ 5) На рисунках 1 а)-г) изображены графики некоторых функций. Задайте эти функции формулами и укажите их названия. а) б) в) г) Рис.1 36 Ответ: а) y = _________________,______________________ б) y = _________________,______________________ в) y = _________________,______________________ г) y = _________________,______________________ 6) Определите допустимые значения x, при которых выражение f(x) имеет смысл, т. е. определено: 1) f ( x) lg x 4) f ( x) 2cos x 2 3) f ( x) x 1 3 2) f ( x) x 1 7) Формулы, приведенные в задании 6 ,задают некоторые функции. Поэтому область допустимых значений x, при которых определены названные выражения, совпадает с____________________________________________________________________________. Запишите область определения функции: а) указав характеристические свойства множества б) используя специальное обозначение- D(f), принятое для записи области определения функции 1) f ( x) lg x Запишите область определения функции: а) указав характеристические свойства множества б) используя специальное обозначение- D(f), принятое для записи области определения функции 3) f ( x) x 1 2) f ( x) 2 3 x 1 4) f ( x) 2cos x 8) а) В системе координат (рис.2) постройте графики функций, указанных в задании 7. 1) 2) 37 3) 4) Рис.2 б) Найдите проекции построенных графиков на ось абсцисс. Выделите построенное множество точек штриховкой (простым карандашом). Как называют выделенное множество точек? ______________________________________________________________________________ в) Найдите проекции построенных графиков на ось ординат. Выделите построенное множество точек штриховкой другого цвета. Как называют выделенное множество точек? ______________________________________________________________________________ г) Запишите множество значений функции: Используя специальное обозначение- Е(f), принятое для записи множества значений функции Запишите множество значений функции: Используя специальное обозначение- Е(f), принятое для записи множества значений функции 1) f ( x) lg x 2) f ( x) 3) f ( x) x 1 4) f ( x) 2cos x 9) Укажите D(f) , E(f) для функций, заданных графиками на рис. 3 а)-г). Для этих функций найдите по графику: а) D(f) =_______; E(f) = ___________; f(0) = б) D(f) =_______; E(f) = ___________; g(3) = в) D(f) =_______; E(f) = ___________; h(0) = г) D(f) =_______; E(f) = ___________; k(b) = ; f(1) = ; g(0)= ; h(a) = ; k(a)= 38 2 3 x 1 Y Y у=f(x) y=g(x) 1 1 0 1 X -1.5 0 а) б) Y Y у=h(x) y=k(x) 3 X d d a a 0 0 b b X X c в) г) Рис.3 39 10) Задайте графически функцию по следующим данным: y 1) D( f ) 0;2, E f 2;6 0 x y 2) D( f ) , E f 0; 0 x 11) Приведите аналитический пример функции, если ООФ есть множество Х: 1) X 2;2 2) X 2;2 3) X ; 5 (5; ) f x = f x = f x = 12) Найдите область определения функции, решив соответствующее неравенство указанным ниже способом: 1) y x 2 2 x 3 используя эскиз графика функции, стоящей под корнем 1 2x 3 3 x используя метод интервалов 2) y 40 3) y log 1 lg 4 3x x 2 3 решив систему неравенств x 2 , 1 x 0, 13) Пусть задана функция y f x , где f x x 1,0 x 1 , 2 1 sin x, 2 x 1. Найдите: 1) область определения функции _____________ 1 1 3 2) f ……; f …….; f 0 …….; f ……..; 2 2 4 3) E f , построив график функции в системе координат (рис.4):__________________ Рис.4 14) а) Какие операции над функциями Вам известны? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ б) Запишите определения умножения функции на число, суммы, произведения, частного двух функций, заполнив пропуски: Пусть даны две функции: f: Df → R; g: Dg→ R 1) Суммой функций f и g называется _______________________ ,область определения и закон соответствия которой определяются следующим образом: 1) Df+g=_____________ 2) (f+g) (x)= ______________ для всех x _____ 2) Произведением функции f на число k называется ___________________, для которой __________________________________________________________________________ 3)Произведением функций f и g называется __________________________, для которой: 1) Dfg=______________ 2) (fg) (x)= ______________ для всех x _____ 41 4) Частным функций f и g называется _______________________________, для которой: 1) D f _______________ g 2) f x _____________ для всех x ____ . g 15) Даны функции: f x 10x , g x sin3 2x 3. Запишите в правом столбце выражения для функций, записанных в левом столбце: а) 2 f x 4 g x б) g x f 2 x 4 в) f x 1 7 g x 16) y=f(x) y=g(x) а) б) Рис.5 а) Задают ли графики, построенные на рисунках 5а)-б), одну и ту же функцию на множестве действительных чисел?__________________________________________________________ б) Укажите промежутки, на которых функции f(x) и g(x) равны________________________ в) Задайте аналитически эти функции______________________________________________ 17) а) Пусть X 0,1 . Среди следующих пар функций выберите функции, равные на мно- жестве Х. 1) f x x , g x x2 2) f x x , g x x 3) f x x 2, , g x x 1 4) f x 1 , g x 2 x2 2 x 1 2 42 1) а) Df = ________ б) x 0 1 f(x) а)Dg = ________ б) x 0 1 g(x) Следовательно, f(x) _____ g(x) на X 0,1 2) а) Df = ________ б) x 0 1 f(x) а)Dg = ________ б) x 0 1 g(x) Следовательно, f(x) _____ g(x) на X 0,1 3) а) Df = ________ б) x 0 1 f(x) а)Dg = ________ б) x 0 1 g(x) Следовательно, f(x) _____ g(x) на X 0,1 4) а) Df = ________ б) x 0 1 f(x) а)Dg = ________ б) x 0 1 g(x) Следовательно, f(x) _____ g(x) на X 0,1 б) Для выбранных функций изобразите графически (в виде кругов) соответствия между множествами Х и Ef 1) 3) X X Ef Ef 2) X 4) X Ef Ef 18) Укажите в правом столбце таблице множество Х, на котором функции f и g равны. 1) f x 2 x2 1, g x 1 3x Решение: 2 x 2 1 1 3x Х= 43 2) f x 1 x , x 1 3) f x log2 x , g x x 1 x 1 g x log 2 x 2 2 Решение: 1 x x 1 x x 1 Х= Решение: log 2 x 12 log 2 x 2 Х= на каком множестве совпадают функции f(x)=2sinx cos3x и g(x)=sin4x+sin2x, выполнив действия, указанные в левом столбце таблицы, и заполнив пропуски в правом столбце. 1) Преобразуйте выражения, входящие в g(x)=sin4x+sin2x=______________________ формулы; найдите все значения аргумента, при которых 2sinx cos3x=2sin3x cosx, решив соответствующее уравнение. 19)Выясните, 2) Сравните области определения этих функций. 3) Сделайте вывод. Функции совпадают при х= . . . 20) Сделайте выводы из заданий 16-19, заполнив пропуски: а) Чтобы установить, что функции f(x) и g(x) равны, надо проверить, что 1)_______________________ 2)_______________________ б) Если функции заданы на конечном множестве X= a, b , то достаточно сравнить_________ ________________________________________________________________________________ в) Чтобы найти множество, на котором функции f(x) и g(x) совпадают, надо_______________ ________________________________________________________________________________ 44 ТДО 3 Д 3. 1 1) Пусть Х- множество всех выпуклых четырехугольников на плоскости, У- множество точек этой плоскости. Выясните, какие из нижеприведенных соответствий между множествами Х и У являются отображениями, а какие не являются таковыми. Ответ обоснуйте. Найдите области определения этих соответствий. Четырехугольнику соответствует: 1) точка пересечения диагоналей; 2) множество центров всех окружностей, не пересекающихся с его сторонами; 3) центр вписанной в него окружности. Ответ: 1)-…………………….., т.к. 2)-………………………., т.к. 3)-………………………., т.к. 2)Выясните, является ли функцией соответствие, заданное формулой: 3x+2, - 2 x<0 f(x)= x2, 0 x<1 -|x|, 1 x 2. В системе координат (рис.1) постройте график этого соответствия и найдите f(-1), f(0), f(1/2), f(1), f(1,5). Ответ: данное соответствие________________________________________________________, т.к._____________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ f(-1)= f(0)= f(1/2)= f(1)= f(1,5)= 45 Рис.1 3) Из указанных соответствий выберите те, которые являются функциями. а) f x x2 x x2, -2< x ≤ 1, x2, -1< x < 0, ; б) f(x)= -x+1, 0≤ x< sin x , 1 , 2 в) f(x)= 1 ≤ x ≤1; 2 1 -x+1, 0≤ x < , 2 1 sin x , x 1 . 2 В системе координат (рис.2) постройте графики соответствий а)-в). Какие линии, построенные в системе координат, не задают функцию? Ответ обоснуйте около рисунков. Ответ: а) б) 46 в) Рис.2 Д 3. 2 1) Даны функции: f(x) =x2, g(x)= x-5. Составьте их сумму, разность, произведение и частное. Являются ли полученные соответствия функциями? Постройте графики тех из них, которые являются функциями. f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x) g(x) f ( x) g ( x) 47 2) f(x) = 5x , g(x) = cos2x +3. Запишите выражения для следующих функций: а) 2f(x) +3g(x) б) 3) Укажите такие функции f x и g x , чтобы функцией. Найдите Dh. Ответ: f x = g x = Dh= 48 f x g 2 x 4 соответствие h x g x f 2 x 4 было Д 3. 3 1) Задайте графиком функцию, имеющую следующие ООФ и МЗФ: Х= (0; 2) , E f 2;5 . Рис.3 2)Найдите ООФ: y x 1 x 2 x3 . Решение: Ответ: 3) Дана функция: 2 x 1 , х < 0, 1 2x+1, 0≤ x < , 2 1 sin x , x 1 . 2 Укажите ООФ. Вычислите f(0), f(1), f(0,5). Постройте график. Определите по графику МЗФ. f(x)= Ответ: ООФ:_______________________ МЗФ:_______________________ 49 Рис.4 f(0)=_________, f(1)=_________, f(0,5)=_________ Д 3.4 1) Пусть Х = {0, 2}.Равны ли следующие пары функций: 1 . x В системе координат (рис.5 а)-б)) постройте графики этих функций. а) 1) Df = ________ , Dg = б) 1) Df = ________ , Dg = а) f(x)=x2, 2) x 0 f(x) б) f(x)=x, g(x)=(x-1)3; 2 x 0 2 g(x) g(x)= 2) x 0 f(x) Следовательно, f(x) _____ g(x) на Х = {0, 2}. 2 x 0 2 g(x) Следовательно, f(x) _____ g(x) на Х = {0, 2}. а) б) Рис.5 50 2) Найдите множество Х, на котором функции совпадают: x2 h(x)= x , v(x)= , x Ответ обоснуйте. 2 k(x)= ( x ) 2 , p(x)=x. Ответ: 3) В какой точке совпадают графики функций f(x) и g(x),если 1 f(x)= x , g(x)= x 1 x x 1 1) Df= . . . Dg= . . . 2) Следовательно, если х= . . . , то функции f(x) и g(x) . . . Графики функций совпадают в точке . . . Д3.5 1) Постройте на рисунке 7 графики функций y=cosx, y=cos2x, y=cos x , выделив их 2 разным цветом. Рис.7 51 2) Постройте график функции и укажите ее ООФ и МЗФ: 3x, если x 1, f(x)= x+2, если x >1. Df=________________; Ef=_________________ Рис.8 3) Покажите, что уравнение х2+2х+1= -1+ x не имеет действительных корней, рассмотрев функции f(x)= х2+2х+1 и g(x)= -1+ x Доказательство: Какой метод использовали при выполнении этого задания?____________________________ 52 Работа 5. Композиция функций. Обратная функция В результате изучения темы студенты должны: Ц1: знать определения композиций двух функций, уметь выделять составляющие композиции функций и выполнять обратную операцию – составлять композиции функций. Ц2: знать определения биективного отображения и уметь проверять, являются ли функции биективными; Ц3: знать определения обратимой и обратной функции и уметь аналитически находить обратную функцию; давать графическую интерпретацию понятий обратимая и обратная функция, строить по графику обратимой функции график обратной и по графику обратной функции находить исходную функцию. Ц4: знать определения и свойства обратных тригонометрических функций; уметь строить графики обратных тригонометрических функций. 1) а) Сформулируйте определение композиции двух функций, заполнив пропуски: Композицией функций f и g называется функция __________, для которой 1) Dg f D____ x | f x D___ 2) g f x _____ ________ для всех х ____ б) Пусть даны два отображения: f : X Y и g : U V . Какие условия должны выполняться, чтобы можно было определить композицию f и g? 1) __________________________ 2) __________________________ 2) Для функций f(x) = ln x и g(x) = 2 x найдите композиции g f , f g и их области определения. а) Рассмотрите рисунок и записи, приведенные для композиции g f в левом столбце, и приведите графическую интерпретацию для композиции в правом столбце. ( g f ) (х)= g ( f ( х)) ( f g ) (х)= f ( g ( х)) g(x)= . . . , Dg= . . . , Eg= . . . f(x) = ln x, Df= x | x 0 , Ef=R Df x Ef f(x)=lnx f g f Dg= f ( x) | 2 f ( x) 0 g g(f(x))= 2 f ( x) Eg g(f(x))= 2 ln x g f : xє Df → g(f(x))= 2 ln x f g : xє Dg→ f(g(x))= . . . б) Найдите аналитически область определения композиций g f и f g 1) По определению композиции функций f и g 1) Для функции f g область определеобласть определения функции g f состоит из ния находим, исходя из условий: тех значений х, для которых выполнены два условия: x D f и f x ln x Dg . 53 Получаем систему: x0 ................ ... 2 ln x 0 ................. Получаем систему: ...................... ................... … ...................... ................... Таким образом, Dgo f ...... D fo g =….. 2) Значения функции g f во всех точках множества Dgof находятся по формуле: g0 f x g f x g ln x ..... 2) Значения функции f g во всех точках множества Df g находятся по формуле: f0 g x ________ _______ ___________ Выясните, равны ли функции g f и f g , сделайте соответствующий вывод о коммутативности композиции функций. ______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 3) Представьте следующие функции в виде композиции основных элементарных функций. Постройте графики функций, являющихся элементами композиции, и с помощью этих графиков найдите множество значений функций f. 3x 6 1) f x 5 x 2 2) f x lg 5x 4 g x _______________ h(x) = ________________ g g x __________ h(x) = ___________ h 0 g 0 х h 0 0 x x f f x x Рис.1 g : . . .→ R h : R →. . . (h g ) : R → R x Рис.2 g : . . .→ . . . R h : R →. . . (h g ) : . . . → . . . 54 h g x ________ ________ _______ ( h g )(x)=_____________________________ _ f x Ef = Ef = Всегда ли можно определить композицию h g для функций, выделенных в правом столбце? Почему?____________________________________________________________ Запишите условия и найдите значения х, при которых можно определить композицию h g. Ответ: 4) Сформулируйте определение сужения функции f на множество A D f , заполнив про- пуски: Сужением функции f на множество A D f называется функция ______, для которой 1) D f / A _______ 2) f / A x ______ для всех x ____ 5) Рассмотрим функции f и g, заданные одной формулой, но на разных множествах (рис.3): а)f(x)=x2 б)g(x)=x2,x 0 Рис.3 Какая из данных функций является сужением другой и на каком множестве? ________________________________________________________________________________ 55 6) Даны функции f x x 2 , g x log 2 x . а) Составьте композицию функций g и f и найдите f0 g 2 . Приведите графическую интерпретацию композиции f g , подпишите множества и заполните пропуски. f(x)=x+2, g(x)=log2x ) f0 g x =f( g(x)= . . . . . . , Dg= x | ................. , Eg= . . . . g f ( f g ): xє . .. →f(g(x))= . . . ( f g )(2)=f(g(2))= . . . . . = . . . б) Проанализируйте графическую интерпретацию композиции g f , заполните пропуски. Установите, существует ли композиция функций f и g на R? На каком множестве можно определить композицию g0 f x ? f(x)=x+2, Df= x | x ....... , E f ....... Df x Ef f(x)=x+2 f ?g f Dg= f ( x) | f ( x)......... , x2 .... g g(f(x))= log2(…..) Eg g0 f : x ............... g ( f ( x)) log2 ( x 2) Как записать множество, на котором можно определить композицию g0 f x ?________ ______________________________________________________________________________ Найдите g0 f 2 .... 56 1 1, x , 2 1 arcsin x, x 1, 2 7) Для функции f x 2 x 1,1 x 3, x 0,5 ,3 x 4, lg x, x 4 вычислите f ( f ( f ( f ( f ( 100 ) ) ) )) Решение: f(100) = ________________ f ( f (100) ) = ________________ f ( f ( f (100) ) )= ________________ f ( f ( f ( f (100) ) ) ) = ________________ f ( f ( f ( f ( f ( 100 ) ) ) )) = _______________ Где Вы уже встречали эту функцию?________________________________________________ 8) Заданы функции: 1 x, åñëèõ 2, и g x 4 x f x 2 x , åñëèõ 2 Задайте аналитически функции y f g x и y g f x , постройте их графики. y f g x Функция y f g x будет задаваться формулой: 1 g x , åñëèg x 2 f g x 2 g x , åñëèg x 2 ________, ï ðè ______ т.е. f 4 x ________, ï ðè ______ y g f x Функция y g f x будет задаваться формулой: ________, åñëè _______ g f x ________ = ________, åñëè _______ ________, åñëè = ________, åñëè ________, åñëè Итак, f g x ________, åñëè 57 9) Решите уравнение: f 4 x 4x x2 , выполнив указанные действия, если функция 1 x, õ 2, f x 2 x , õ 2. 1) Используя результат предыдущего зада1) а) y f 4 x _________ ï ðè x 2 ния, запишите, чему равна функция f 4 x : б) y f 4 x _________ ï ðè x 2 а) при x 2 ; б) при x 2 2) Найдите корни уравнений: а) x 3 4 x x 2 ; 2) а) x1/2= б) б) 4 x 4 x x 2 2 x1/2= 3) Из найденных корней выберите те, которые удовлетворяют условию: а) x 2 ; б) x 2 4) Запишите ответ: 3)а) x ______________ б) x ______________ 4) ответ: 10) Запишите определения: а) инъективной функции; б) сюръективной функции; в) биективной функции, заполнив пропуски: а) Функция f : Х У называется инъективной, если ___________________ элементам множества Х соответствуют _____________ элементы множества У, т.е. _______ x1, x2 X x1 x2 f x1 ______ f x2 Каким свойством обладает график инъективной функции? _____________ б) Функция f : Х У называется сюръективной, если ___________________ элементы множества У участвуют в соответствии, т.е. ________ y Y ______ x X : f x y в) Функция f : Х У называется биективной, если она _________________________, 1) _____ x X ______ y Y : y f x т.е. 2) _____ y Y ______ x X : y f x Как еще называется биективная функция?______________________________________ 11) Разберите пример для соответствия f. Для соответствий g и h выясните (по аналогии с f), являются ли они функциями и биекциями. Пример: Множества X à, â, ñ и Y 1, 2,3 изображены точками плоскости. Законы соответствия f , g и h между множествами Х и У заданы с помощью стрелок: 58 X X Y a Y X a 1 Y a 1 1 2 b 2 b 3 c f : Х У f : Х У 3 c g : Х У Рис. 4 g : Х У 2 b c 3 h : Х У h : Х У Является функцией, т. к. каждому элементу множества Х поставлен в соответствие один элемент множества У (из каждой точки множества Х выходит одна стрелка) Функция f не инъективна, т.к. на схеме имеются две различные стрелки с общим концом (b, c X , b c, f b f c 2) f - не сюръективна, т.к. во множестве У нашлась точка, которая не является концом никакой стрелки (на схеме это точка 3, т.е. ( ó 3 Ó ) (x X ) : (3 f x ) 12) На рисунках 5 а)-в) изображены графики функций, заданных на естественной области определения. Выделите цветом часть графика, которая задает указанное отображение. В каких случаях функция является биекцией? Обоснуйте свой ответ. а) f : ; 1 1; , ãäå f ( x) x 2 ; б) f : ;1 0; , ãäå f ( x) x 2 ; в) f : 0; 0;1, ãäå f ( x) sin x а) б) Рис.5 59 в) 13) На рисунках 6 а)-г) изображены графики некоторых функций. Эти функции называются обратными тригонометрическими функциями. Укажите свойства этих функций, заполнив таблицу. функция y=arcsin x y=arccos x y=arctg x y=arcctg x область определения множество значений монотонность четность (нечетность) Рис.6 14) Запишите определение обратной и обратимой функции, заполнив пропуски: а) Пусть функция f - инъективна. Обратной функцией для функции f называется функция _________, область определения и закон соответствия которой определяются следующим образом: 1) Ä f 1 __________ 2) f 1 x y ______ для всех x D f 1 60 б) Функция называется обратимой, если ___________________________________________ ______________________________________________________________________________ Продолжите фразу: очевидно, функция обратима в том, и только в том случае, когда она своё значение принимает ровно _______раз, т.е. является ____________ 15) Какая симметрия переводит график обратной функции в график первоначальной функции? __________________________________________________________________________ 16) Проанализируйте процесс нахождения функции f 1 x , обратной для функции f x 3x 1 . Заполните пропуски. 1) Нужно проверить, будет ли функция f x 3x 1 обратима, т.е. проверить: а) сюръективность: б) инъективность: а) f : Ef f Ef функция_________________________ б) õ1, õ2 õ1 õ2 3õ1 3õ2 ____________ f x1 f x2 . функция ___________________ Вывод: Каждое своё значение функция принимает ровно _______раз, следовательно, она _____________________________________________________________________________ 2) Нужно найти f 1 (у). Для этого из равенства y 3x 1 выразите переменную х: х=_____________________________ 3) Нужно переобозначить переменные: f 1 x =________________________________ 4) Графики функций f x 3x 1 и f 1 x =_______________ расположены симметрично относительно ___________________________________________________________(рис.7). Рис.7 61 17) Для следующих функций найдите обратную функцию. Постройте график самой функции и обратной ей на одном чертеже. а) y x2 , x 0 б) y 1 log2 x 2 f 1 x = f 1 x = õ 3, õ 1, обратима, заполнив пропуски. Запишите об3õ 1, õ 1 18) Докажите, что функция f x ратную для неё функцию f 1 x и постройте её график. Сравните с графиком исходной функции. Решение: 1)Покажем, что данная функция обратима. Для этого проверим: а) сюръективность: f : ________ __________ E f f _______ б) инъективность: Возьмём две произвольные точки: х1, х2 _________ Докажем, что их образы ______и________ не совпадают. Рассмотрим все возможные случаи: 1) Пусть x1, x2 ,1 . Тогда если x1 x2 , то ___________ ____________,т.е. f x1 f x2 2) Пусть x1, x2 __, __ , тогда условие x1 x2 влечет________ __________,т.е.__________ 3) Пусть x1 (-∞; 1), x2 1; , тогда f ( x1 ) 3x1 1, f ( x2 ) x2 3. Допустим, что f ( x1 ) f ( x2 ) , т.е. 3x1 1 x2 3. Отсюда получим, что x2 3x1 2. Сравним x2 с 1. 62 По условию x1 (-∞; 1), значит, x1 1, тогда по свойствам неравенств получим, что x1 1, 3x1 ......, 3x1 2 ...... Следовательно, x2 1. Получили противоречие с условием. Значит, допущение о том, что f ( x1 ) f ( x2 ) ............. Следовательно, из того, что x1 x2 ......... Таким образом, различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, и функция является ______________________________________________________ Из п.а),б) следует, что функция -__________________________________________________. 2) Найдем f 1 x : Если x 1 , то y=х+3, отсюда х= . . . . и х 1 , получаем у-3 1 , у . . . 1 1 Если x 1 , то y=3х+1, отсюда х= . . . . и х<1, получаем y 1, у< . . . 3 3 y-3, если y … Следовательно, f 1 ( y) …. , если y<… Переобозначив переменные, находим функцию: ……., при х …. 1 f x = ……., при х <…. 3) В системе координат (рис.8) построен график функции у= f(x). Постройте график функции f 1 x . Рис.8 63 ТДО 4 Д4.1 1) Для функций f(x)=cos x и g(x)=3x найдите композиции g f , f g и их области определения. Найдите ( g f )( ), ( f g )( ). 4 4 ( g f ) (х)= g ( f ( х)) ( f g ) (х)= f ( g ( х)) 2) а) Представьте функции f(x)= 5 x 3 и g(x)=3cosx+5 в виде композиции основных элементарных функций; б) Составьте композиции f(g(x)) и g(f(x)); в) Найдите f(g(0)), g(f(3)). f(x)= 5 x 3 g(x)=3cosx+5 f(g(x)) g(f(x)) f(g(0)) g(f(3)) 64 3) Задана функция: 1, arccos x , f(x)= 2x-1, (0,5)x, x 1 2 1 <x 1 2 1< x <3 3 x <4 lg x, x ≥4 а) Вычислите f(f(f(f(f(100))))); б) В системе координат (рис.1) постройте график f(x). Решение: а) f(100)=_____________________________, т.к. 100 ____________ f(f(100))=____________________________,т.к. f(100)____________ f(f(f(100)))=____________________________, т.к. f(f(100))_________ f(f(f(f(100))))=__________________________, т.к. f(f(f(100)))________ f(f(f(f(f(100)))))=________________________, т.к.f( f(f(f(100))))______ б) Рис.1 65 Д4.2 1) Выясните, являются ли следующие функции биекциями, где f(x)=x4. Постройте графики этих функций на указанных множествах. а) f: (-∞;-1)→(1;+∞) б) f: (-∞;1)→(0;+∞), Ответ: 2) Укажите функцию f(x): [0; ]→[0;1], которая является биекцией. Постройте ее график в системе координат (рис.2). Ответ: f(x)=______________________ Рис.2 66 3) Для функции у= x 1 x 1 укажите промежуток, на котором она является биекцией. Постройте ее график в системе координат (рис.3). у= x 1 x 1 -1 1 __________, ï ðè __ õ __ у= __________, ï ðè __ õ __ Функция является биекцией при х………. Рис.3 Д4.3 1) Найдите функцию, обратную для функции у= 1 . Постройте графики самой 2 x функции и обратной ей на одном чертеже. 1) Нужно проверить, будет ли функция об1 f(x)= ратима, т.е. проверить: 2 x а) сюръективность: а) f:____→_____ f(___)=_______ функция_________________________ б) инъективность: õ1, õ2 ___ õ1 õ2 ____________ f x1 ___ f x2 . функция ___________________ Вывод: _____________________________________________________________________________ 2) Нужно найти f 1 . Для этого из равенства у= 1 нужно вы2 x разить переменную х: х=_____________________________ 3) Нужно переобозначить переменные: f 1 x =________________________________ 1 и f 1 x =_______________ расположены симметрично от2 x носительно ___________________________________________________________(рис.4). 4) Графики функций f(x)= 67 Рис.4 ax b 2) Убедитесь в том, что функция у= совпадает со своей обратной. cx a Решение: 3) Найдите для функции у=ех+2 обратную функцию и ее область определения. Постройте графики самой функции и обратной ей на одном чертеже (рис.5). Решение: График: 1) Нужно проверить, будет ли функция обратима, т.е. проверить: а) б) Вывод: 68 2) Нужно найти f 1 : f 1 (х)= D f 1 Рис.5 а)y= Д4.4 1) Перечислите известные Вам обратные тригонометрические функции. Постройте их графики, укажите ООФ и МЗФ. б)y= в)y= г)y= ООФ: МЗФ: ООФ: МЗФ: ООФ: МЗФ: ООФ: МЗФ: график: график: график: график: 2) Представьте функции f(x)и g(x) в виде композиции основных элементарных функций: 1 5. x3 Нарисуйте графики основных элементарных функций, являющихся элементами композиции (в одной системе координат), и с помощью этих графиков найдите множество значений функций f(x)и g(x). f(x)=arcsin33x+5; g(x)= arctg 69 а) f(x)=arcsin33x+5 1) Функции, являющиеся элементами композиции: 1 5. x3 1) Функции, являющиеся элементами композиции: 2) Графики элементарных функций: 2) Графики элементарных функций: б) g(x)= arctg Eg= Ef= 3) Найдите область определения и множество значений функции y= область определения: множество значений: 70 1 5. arcsin 2 x КД f ( x) log 2 x укажите ее область определения и множество значений. 1 Постройте график этой функции. Найдите f (1), f ( 2), f (2), f ( ) . 2 Решение: Df=________________,Ef=_________________ 1 f(1)=________; f( 2 )=_______; f(2)=___________; f( )=___________ 2 I. 1) Для функции Рис.1 2) Используя рисунок 1, постройте график функции g ( x) log 2 x в той же системе коор- динат, выделив его другим цветом. Найдите Dg, Eg. Сравните значения g(1), g( 2 ), g(2), 1 g( ) со значениями, полученными в п.1). 2 Решение: Dg=____________________; Eg=_________________ 1 g(1)=_____________; g( 2 )=___________;g(2)=___________; g( )=__________________ 2 II. Запишите аналитически функции y=f(g(x)) и y=g(f(x)). Укажите их область определения и множество значений и постройте графики этих функций, если: f ( x) x 2 1; 1, x 2, g ( x) x, x 2. 71 б) y=g(f(x)) a) y=f(g(x)) f:______→__________ g:______ →_________ Eg__________Df Df__________________________ Eg _________, õ _____ f ( g ( x)) _________, õ _____ _________, x ______ g ( f ( x)) _________, x ______ Будут ли функции f(g(x)) и g(f(x)) обратимы? Ответ обоснуйте:_________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ III. Заданы функции: 3 2 x, x 1 f ( x) и g ( x) x 2 3 x 1 . x 2, x 1 а) Найдите функции f (3 x ) и g (2 x) и постройте графики этих функций. б) Решите уравнение: f (3 x ) = g (2 x) g (2 x) a) f (3 x ) 1) 3-|x|>1 f (3 x ) =_______________ 2) 3-|x| 1 f (3 x ) =_______________ 72 _______________ f (3 x ) = _______________ б) Решение: 1) при хє_____________ 2) при хє_____________ Ответ: 73 Работа 6. Тест по теме «Понятие функции одной вещественной переменной» В заданиях 1- 9 обведите верный ответ в кружочек: 1) Выберите неравенство, содержащее неизвестную под знаком модуля, если на числовой прямой все точки х удалены от точки 3 на расстояние, меньшее 4: а) |x-4|<3; б) |x-3|>4; в) |x-3|<4; г) |x|<4; д) |x-4|>3. 2) Решением какого неравенства является неравенство: 3<x<5? a) |x-2|<3; б) |x-3|>2; в) |x-4|<1; г) |x-1|>2. 3) Выберите соответствия, являющиеся отображениями: а) отрезку соответствует его середина; б) отрезку соответствует центр окружности, построенной на нем как на радиусе; в) шару соответствует его объем; г) треугольнику соответствует центр описанной около него окружности. 4) Отображение из множества книг во множество натуральных чисел ставит в соответствие книге количество страниц в ней. Какими из перечисленных свойств оно обладает: а) всюду определено; б) сюръективно; в) инъективно; г) биективно? x3 2 x 2 является множество: 2x2 x 1 1 б) (; 1) ( ;2) 0 ; 2 1 г) (1;0) (0; ) (2; ) . 2 5) Областью определения функции 1 а) (; 1) (0; ) (2; ); 2 1 в) (1; ) (2; ); 2 6) Функции y log 2 y ( x ) 2 равна функция: а) y x ; б) y ( 4 x ) 4 ; в) y x 2 ; г) y x . g ( x) 4 2 x , f ( x) x 2 3x 2, то областью определения композиции g ( f ( x)) является множество: а) (;0] 3; ; б) ; в) 0;3 ; г) . 7) Если 8) Функция y x является сужением функции: а) y x ; б) y x ; в) y 4 x 2 ; г) y x 2 . x2 , x 3 . Их композицию g f задает формула: f ( x) x 3; g ( x) x 1, x 3 x 2 , x 3, x 2 , x 0, g ( f ( x)) а) б) g ( f ( x)) x 1, x 3; x 1, x 0; 9) Даны функции: 74 ( x 3)2 , x 3, в) g ( f ( x)) x 2, x 3; 10) Запишите композицию ( x 3)2 , x 0, г) g ( f ( x)) x 2, x 0. f g f , если f ( x) x ; g ( x) 2 x . Ответ: f g f= В заданиях 11- 12 обведите верный ответ в кружочек: 11) На всей своей области определения обратимы функции: 1, если х>0, 5 а) y x ; б) y x sgn x, где sgn x (знак числа)= 0, если х=0, -1, если х<0; 0, если х , в) y D( x) , где D( x) (функция Дирихле)= г) y arctgx ? 1, если х ; x 3, x 5, 12) Отображение f : задано формулой: f ( x) . Тогда обратное к нему 2 x 8, x 5. отображение можно записать в виде: x 3, x 5, x 3, x 2, а) f ( x) x 8 б) f ( x) x 8 2 , x 5; 2 , x 2; x 3, x 5, x 3, x 2, в) f ( x) г) f ( x) x 8 , x 5. 2 x 8, x 2; 2 13) Отображение задано графиком (рис. 1). На каком множестве оно определено, какие значения принимает? Является ли оно обратимым и, если да, на каком множестве определено обратное отображение и какие значения оно принимает? y 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x Рис.1 75 14) Запишите область определения функций, заданных графически на рис. 2 а)-г). Рис.2 Ответ: а)-_________________; б)-___________________; в)-_________________; г)-___________________. 15) Найдите все натуральные значения n, при которых верно неравенство: 2n n 2 ,и дока- жите его при найденных значениях n. Укажите метод доказательства. _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ Доказательство: 1) 2) 3) Согласно__________________________________________________________________ неравенство верно для любого номера n__________. 76 ОТВЕТЫ: Ответы к ТДО 1: Д 1.1 1) для любого действительного числа; а) х-3, при х 3; 3-х, при х 3; б) ( x 3) 2 ( x 3) 2 ( x 3) 2 , по свойству: a a . 2) а) х2-3, при х 3, х 3 ; 3-х2, при 3 x 3 ; б) 4х-0,25 при х 1 ; 0,25-4х при х<-1; в) log4x-0,5 при х 2 ; 0,5- log4x при х<2. 3) а) х-1; б) 3х-1 по опр.модуля. 1) а) х= 3 ; б) х1=3,5; х2=2,5; в) 2,5 x 3,5 ; г) x>3,5; x<2,5 в) -b b a-ε a+ε б) г) -b b a-ε a+ε 3)а) x a x a и x a x a a x a , геом. смыслсмотрите п.2в; б) аналогично. Д1.2 2) а) Д1.3 1) а) 4; б) 3; в) 2, х=5; г) 1, х1=5; х2=1. 2 7 3 8 2) 1) х1=0; х2=3; 2) x , x ; 3) x , x 8; 4) х=1 3 3 2 7 3) а) х 5; б) х= 2 2 , при 0, ; x 1 x , x 0, 1 Д1.4 1) y , x 0, ; x 0, x 0; Графики: 1) 2 , при 0 ; в) х>-2. 2) y cos x , f(0)=1, f( )=1, f(1)= cos1 , f(- 2) 3) 77 )=0; 2 Ответы к ТДО 2: Д 2.1 1) 1) n=1: л.ч.=1, пр.ч.= 1, 1=1-верно 2) n=k, т.е. 1+2+22+…+2k-1=2k-1- верно n=k+1, т.е. 1+2+22+…+2k-1+2k =2k+1-1-нужно показать 2 л.ч.= 1+2+2 +…+2k-1+2k =2k-1+2k=2 2k-1=2k+1-1=пр.ч. (подчеркнута гипотеза). Равенство верно при n=k+1. 3) Согласно ПМИ равенство справедливо n . b1 (q n 1) n 1 2) а) bn b1 q (геом. прогрессия), Sn q 1 б) а) bn b1 q n1 b (q n 1) б) Sn 1 q 1 1) n=1: b1 b1 q 0 , b1= b1-верно b1 (q1 1) 1) n=1: л.ч.=S1=b1; пр.ч.= = b1 q 1 b1= b1-верно 2) Допустим, что утверждение верно при n =k, т. е. bk b1 q k 1 b1 (q k 1) т. е. Sk q 1 Покажем, что утверждение верно при n = k+1, т. е. bk 1 b1 q k b (q k 1 1) т. е. Sk 1 1 q 1 л.ч.= î ï ð . ÃÏ bk 1 bk q b1 (q k 1) bk 1 = q 1 b (q k 1) b (q k 1 1) =пр.ч. 1 b1q k =…= 1 q 1 q 1 î ï ð. ãèï î ò åçà b1q k 1 q b1 q k =пр.ч. л.ч.= Sk 1 Sk bk 1 ãèï î ò åçà Утверждение верно при n = k+1 3) Согласно принципу математической индукции утверждения справедливы n . 3) а) 3n >n2 при всех n б) (10n +18n-1) кратно 27 при всех n 1) n=1: 3>1-верно 1) n=1: (10n +18n-1)=10+18-1=27 27-верно 2) Допустим, что утверждение верно при n = k, т. е. 3k >k2 т. е. (10k +18k-1) кратно 27 Покажем, что утверждение верно при n = k+1, т. е. 3k+1 >(k+1)2 т. е. (10k+1 +18(k+1)-1) кратно 27 л.ч.= 3k+1=3 3k>3 k2; пр.ч.= (k+1)2= k2+2k+1; сравните 3 k2 и k2+2k+1 при k 1 . л.ч.=10k+1+18(k+1)-1=10k 10+18k+17=10k 10+18k+ +162k-1+18-10+10-162k=(10k 10+180k-10)+27-162k= =10(10k +18k-1)+27(1-6k) кратно 27 27 27 78 Утверждение верно при n = k+1. 3) Согласно принципу математической индукции утверждения справедливы n . Ответы к ТДО 3: Д 3.1 1) 1- является отображением; 2, 3 не являются отображениями: в 2 не выполняется функциональность, в 3 – всюду определенность. 2) Функция (по опр.), f(-1)=-1, f(0)=0, f(0,5)=0,25, f(1)=-1, f(1,5)=-1,5 3) а, б. а) б) в) Д3.2 1) а) f x g x x2 x 5 ; б) f x g x x 2 x 5 ; в) f x g x x 2 ( x 5) - функции при x ; г) а) f x x2 - функция при x 5 g x x 5 б) в) 2) а) 2 f x 3g x 2*5x 3 cos 2 x 3 ; 79 г) б) cos 5x 2 2 x 3 4 2 Д3.3 1) например, 3) ООФ: õ 1, МЗФ: 0 ó 2 2) 3 x 2 , x 1; f 0 1, 1) f 1 0 , f 0,5 1 3) Д3.4 1) а), б) f x g x на Х а) 2) k x p x при x 0 б) k x v x при x 0 3) графики совпадают в точке 0;1 , если х=0, то f(x)=g(x) Д3.5 1) 2) Df= , Ef= 3) использовать графический метод Ответы к ТДО 4: Д4.1 1)g: , f: 1;1 , (g f)(x)=g(f(x))=3cosx, (f g)(x)=f(g(x))=cos3x, 3 2 2 (g f)( ) , (f g) ( ) 4 2 4 2 2)a) f(x)=(k h)(x), h(x)=x+3: , k(h)= 5 h : , g(x)=(s t)(x), t(x)=cosx: 1;1 , s(t)=3t+5: ; б) f(g(x))= 5 3cos x 8 , g(f(x))=3cos 5 x 3 5 ; в) f(g(0))= 5 11 , g(f(0))=3cos 5 3 5 1 3)a) f(f(f(f(f(100))))=0, т.к. f(100)=lg100=2, f(f(100))=3, f(f(f(100)))= , f(f(f(f(100))))=1. 8 80 Д4.2 1) а) биекция, б) не является биекцией; 2) y=sin (x/2) 2 x, x 1, 3) биекция при х 1, х 1 , y 2, 1 x 1, 2 x, x 1. 1 a ; 2) y(x): \ x c b ax ax b a y 1 ( x) : \ \ 0 a cx cx a c 1 3) f ( x) ln x 2 ; D f 1 : x 0 Д4.3 1) f 1 ( x) 2 Д4.3 1) Д4.4 1) см.№13, работа5; 2) h(x)=3x k(h)=arcsin h, t(k)=k3+5 f(x)=( t k h)( x) , Ef=(5;+∞) h(x)=1/x k(h)=h3, t(k)=arctgk-5 g(x)=( t k h)( x) , Eg=( 81 2 5; 5) 2 \ 0 , 4 3) Dy: 1;0 0;1 ; Ey: 5; . Ответы к КД: 1 1 I. 1) Ä f : x 0 , E f , f 1 0 , f 2 ; f 1 ; f 2 1 2 1 2) Ä g : x 0 , Eg : y 0 , g 1 0 , g 2 1 , g 2 , g 2 2 2 2, x 2 1, åñëèx 1, x 1 Ä f , E f 1; ; б) g f x II.a) f g x 2 2 x 1, x 2 x 1 , åñëè 1 x 1 Ä g , Eg : 2; 1 1 2 f(g(x)) и g(f(x)) необратимы, т.к. не инъективны 2 x -3, при -2<x<2, g(x)=x2-x-3; б) x 2;2 : 2 x 3 x2 x 3 ; x=0, x=-1 III.а) f(3- x )= x (; 2 2; : 5 x x2 x 3 ; 5- x , при x 2, x 2; x=-2; x=2 2 Ответы к тесту: 1) в; 2) в; 3) а, в, г; 4) а; 5) г; 6) б; 7) в; 8) в, б; 9)г; 10) 2 x , при x 0 ; 11)а, г; 12)б; 13) обл.опр.: 1;2;3;4 , обл.значений: 3;5;4;6 , обратное отображение определено на множестве 3;5;4;6 , его обл.значений : 1;2;3;4 ; 14) а) (-)4;+ ); б) ; 4 (4;1 2;6 ; в) 4;5 ; г) 6; 4 4; 2 0;1;2 3; ; 15) n 5, метод математической индукции. Указание: представить по свойству степени 2k 1 2k 2, использовать предположение, что 2k k 2 ,и сравнить 2k 2 и (k 1)2 , определив знак разности: 2k 2 - (k 1)2 , учитывая, что k 5 . 82 Учебное издание ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Рабочая тетрадь по математическому анализу Учебно-методическое пособие для студентов первого курса физико-математических и технических специальностей Автор-составитель Т. Е. Курапкина Редактор Л.И. Опарина ___________________________________________________________________________ Подписано в печать 26. 07. 2007 г. Печать оперативная Заказ 122 Объем 4, 9 п.л. Тираж 50 экз. ___________________________________________________________________________ Нижегородский государственный педагогический университет Полиграфический участок АНО «МУК НГПУ» 603950, Нижний Новгород, ГСП -37, ул. Ульянова, 1 83