контрольной работы - Самарский Государственный

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ
Кафедра математической статистики и эконометрики
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Методическиеуказания
к выполнению контрольной работы
Самара2011
Методическиеуказания содержат образец выполнения контрольной работы, в
котором приведены решения типовых задач по основным разделам курса "Теория
вероятностей и математическая статистика", 12 вариантов контрольной работы и
примерные вопросы для подготовки к экзамену(зачету). Также включены
необходимые для решения задач математико-статистические таблицы.
Предназначены студентам факультетаВВиДО Самарского государственного
экономическогоуниверситета.
2
Прежде чем приступить к решению задач, следует ознакомиться с необходимым
теоретическим материалом, ссылки на который даются перед решением каждой задачи,
по следующим учебным пособиям:
1. Репин, О.А. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая
статистика: учеб.пособие / О.А. Репин, Е.И. Суханова, Л.К. Ширяева. - Самара: Изд-во
Самар. гос. экон. акад., 2005.
2. Репин, О.А. Математика для экономистов. Сборник задач по теории вероятностей
и математической статистике: учеб.пособие / О.А. Репин, Е.И. Суханова, Л.К. Ширяева.
- Самара: Изд-во Самар. гос. экон. акад., 2005.
Обращаем внимание читателя на небольшое различие в обозначениях. В
указанных учебных пособиях сумма событий А и B обозначается "А или B", а
произведение - "A и B". В данной разработке сумма и произведение событий
обозначены, соответственно, "A+B", "AB".
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Студенты ВВиДО выполняют одну контрольную работу по курсу "Теория
вероятностей и математическая статистика". Контрольная работа содержит 7
заданий.
Номер варианта следует выбрать по первой букве фамилии студента в
соответствии с данной таблицей:
Первая буква фамилии студента
Вариант контрольной работы
А, Б
№ 12
В, Г
№ 11
Д, Е, Ж
№ 10
З, И
№9
К
№8
Л, М
№7
Н, О
№6
П, Р
№5
С, Т
№4
У, Ф, Х
№3
Ц, Ч, Ш
№2
Щ, Э, Ю, Я
№1
Контрольная работа, выполненная не по своему варианту, к зачету не
принимается.
На титульном листе надо разборчиво написать свою фамилию и инициалы,
название факультета, специальности и номер варианта.
Перед решением задачи необходимо указать ее номер и записать полностью ее
условие.
Решение задачи следует излагать подробно с объяснением всех действий.
После получения отрецензированной работы студент должен исправить все
отмеченные ошибки или недочеты в той же тетради и явиться на собеседование.
3
Если есть задачи, выполненные неверно, студенту необходимо переделать их и
прислать работу повторно.
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание 1. В ящике 12 писем, из них 7 иногородних и 5 городских. Какова
вероятность того, что среди вынутых наудачу 4 писем окажется:
а) только одно городское;
б) городских и иногородних поровну.
Литература: 1, гл. 1. С. 7-13.
2, гл. 1. С. 7-9.
Решение. а) Пусть событиеА - среди вынутых 4 писем только одно городское.
Согласно классическому определению вероятности
M
P( A)  A ,
N
где N - число всех равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов;
MA - число исходов, благоприятствующих событию А.
В нашем случае N  C124 - число всевозможных сочетаний из 12 писем по 4
письма.
Найдем число исходов, благоприятствующих событию А. Так как среди
вынутых четырех писем будет только одно городское, то остальные три будут
иногородние. Число способов, которыми можно вынуть одно письмо из пяти
городских, равно С51  5 . Три иногородних письма берут из имеющихся семи писем.
Число сочетаний из семи по три равно С73 . При этом каждое городское письмо
может появиться с любой тройкой иногородних, поэтому
M A  C51  C73  5  C73 .
5  C73 5  7!4!8! 5  7 35
Таким образом,
P( A)  4 


 0,3535 .
C12
3!4!12! 9  11 99
б) Пусть событие B - среди вынутых 4 писем городских и иногородних поровну.
Вероятность событияВ
M
P( B )  B ,
N
4
где N  C12 (см. пункт а); число исходов, благоприятствующих событиюВ,
M В  С52  С72 , так как каждая пара городских писем может появиться с любой
парой иногородних. При этом два письма из пяти городских можно выбрать С52
способами, а два письма из семи иногородних - С72 .
C2  C2
5!7!4!8!
2  7 14
Тогда P( B)  5 4 7 

  0,4242 .
C12
2!3!2!5!12! 3  11 33
4
Задание 2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом,
втором и третьем ящике, равны 0,5; 0,8; 0,6, соответственно. Найти вероятность
того, что нужная деталь содержится:
а) во всех трех ящиках;
б) только в одном ящике;
в) по крайней мере, в одном ящике.
Литература: 1, гл. 2. С. 14-23.
2, гл. 1. С. 12-18.
Решение. Введем обозначения:
событие А1 - нужная деталь содержится в первом ящике;
событие А2 - нужная деталь содержится во втором ящике;
событие А3 - нужная деталь содержится в третьем ящике.
По условию P( A1 )  0,5 ; P( A2 )  0,8 ; P( A3 )  0,6 .
а) Пусть событиеА - нужная деталь содержится во всех трех ящиках. Это
событие является произведением событий А1 , и А2 , и А3 , то есть А  А1  А2  А3 .
Учитывая, что события А1 , А2 , А3 - независимые, по теореме умножения
вероятностей для независимых событий будем иметь
P( А)  P( А1  А2  А3 )  P( А1 )  P( А2 )  P( А3 )  0,5  0,8  0,6  0,24 .
б) Пусть событиеВ - нужная деталь содержится только в одном ящике. Это
событие можно представить так:
B  A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 ,
где событие ( A1  A2  A3 ) означает, что нужная деталь содержится в первом ящике, а
во втором и третьем ящиках нужной детали нет. Аналогично, событие
( A1  A2  A3 ) - нужная деталь есть во втором, а в первом и третьем ящиках ее
нет. Событие ( A1  A2  A3 ) - нужной детали нет в первом и во втором ящиках, в
третьем она есть.
События, являющиеся слагаемыми последней суммы, несовместны, поэтому
по теореме сложения вероятностей для несовместных событий получим
P( B)  P( A1  A2  A3 )  P( A1  A2  A3 )  P( A1  A2  A3 ) .
Каждое слагаемое этой суммы можно найти, используя теорему умножения
вероятностей для независимых событий
P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 ) ;
P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 ) ;
P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 ) .
Учитывая, что
P( A1 )  1  P( A1 )  1  0,5  0,5 ;
P( A2 )  1  P( A2 )  1  0,8  0,2 ;
P( A3 )  1  P( A3 )  1  0,6  0,4 ,
окончательно получим
5
P( B)  P( A1 )  P( A 2 )  P( A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 )  P( A 2 )  P( A3 ) 
 0,5  0,2  0,4  0,5  0,8  0,4  0,5  0,2  0,6  0,26.
в) Пусть событиеС - нужная деталь содержится, по крайней мере, в одном
ящике.
Рассмотрим противоположное событие С - нужной детали нет ни в одном
ящике, то есть С  A1  A2  A3 . Тогда
P(С )  P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  0,5  0,2  0,4  0,04 .
Следовательно,
P(C )  1  P(C )  1  0,04  0,96 .
Задание 3. В сборочный цех завода поступили однотипные детали,
изготовленные на трех автоматах. При этом с первого автомата поступило 600
деталей, со второго и третьего, соответственно, в 2 и 3 раза меньше. Известно, что
первый автомат дает 3% брака, второй - 1%, а третий - 2% брака. а) Найти
вероятность попадания на сборку годной детали, если деталь отбирается случайным
образом. б) Наугад взятая деталь из сборочного цеха оказалась годной. Какова
вероятность того, что она изготовлена на втором автомате?
Литература: 1, гл. 2. С. 23-26.
2, гл. 1. С. 26-28.
Решение. Пусть событиеВ - взятая наугад деталь оказалась годной. Это событие
может произойти только вместе с одним из трех событий-гипотез:
событие А1 - деталь изготовлена на первом автомате;
событие А2 - деталь изготовлена на втором автомате;
событие А3 - деталь изготовлена на третьем автомате.
События А1 , А2 , А3 образуют полную группу событий. Из условия задачи ясно,
что на первом автомате изготовлено 600 деталей, на втором -300, а на третьем - 200
деталей. Отсюда находим
600
6
P( A1 ) 
 ;
600  300  200 11
300
3
P( A2 ) 
 ;
600  300  200 11
200
2
P( A3 ) 
 .
600  300  200 11
В условии задачи даны условные вероятности события В (наугад взятая деталь
бракованная), противоположного событиюВ, при гипотезах А1 , А2 и А3 :
PA1 ( B)  0,03  PA1 ( B)  1  0,03  0,97;
PA2 ( B)  0,01  PA2 ( B)  1  0,01  0,99;
PA3 ( B)  0,02  PA3 ( B)  1  0,02  0,98.
а) Вероятность событияВ найдем по формуле полной вероятности
P( B)  P( A1 )  PA1 ( B)  P( A2 )  PA2 ( B)  P( A3 )  PA3 ( B) 
6
6
3
2
 0,97   0,99   0,98  0,9773 .
11
11
11
б) Наугад взятая деталь оказалась годной, то есть событиеВ наступило.
Вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором автомате, вычисляем по
формуле Байеса:
P( A2 )  PA2 ( B )
P( A2 )  PA2 ( B )
PB ( A2 ) 


P( B )
P( A1 )  PA1 ( B )  P( A2 )  PA2 ( B )  P( A3 )  PA3 ( B )

3
 0,99
11

 0,2763 .
6
3
2
 0,97   0,99   0,98
11
11
11
Задание 4. Станок-автомат производит валики, причем контролируется размер их
диаметра Х. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина с
математическим ожиданием, равным 10 мм, и дисперсией, равной 0,01 мм2; найти: а)
вероятность того, что размер диаметра валика будет от 9,8 до 10,3 мм; б) интервал, в
который с вероятностью 0,9973 попадает размер диаметра наугад взятого валика.
Литература: 1, гл. 5. С. 81-95.
2, гл. 2. С. 78-80.
Решение. Диаметр валика - случайная величина Х, имеющая нормальный закон
распределения со следующими параметрами:
a  M ( X )  10 мм ;   ( Х )  D( X )  0,1 мм .
а) Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой
  а 
а
P(   X   )  Ф
  Ф
,
  
  
 10 ,3  10 
 9 ,8  10 
P( 9 ,8  X  10 ,3 )  Ф
  Ф
  Ф( 3 )  Ф( 2 ) 
 0,1 
 0,1 
 Ф( 3 )  Ф( 2 )  0,49865  0,4772  0,97585 .
Здесь значения функции Лапласа Ф(3) и Ф(2) найдены по прил. 2.
б) Найдем искомый интервал с помощью формулы

P  X  a     2Ф  .

Учитывая,
что
неравенство
равносильно
неравенству
X a  

P( а    X  a   )  2Ф  .

По условию эта вероятность равна 0,9973, следовательно:
 
 
2Ф   0,9973  Ф   0,49865 .
 
 
а    X  a   , получим
7

 3 . Отсюда,

  3    3  0,1  0,3. Таким образом, 10  0,3  X  10  0,3 или 9,7  X  10,3 . Искомый
интервал - (9,7; 10,3) мм.
По таблице значений функции Лапласа (прил. 2) находим
Задание 5. На ферме по схеме случайного повторного отбора были отобраны
100 коров. Распределение их по дневному надою (Х, л) следующее:
Дневной надой, л 7 9 11 13 15
Число коров
3 8 52 30 7
Вычислить выборочные характеристики: средний надой, моду, медиану, размах
вариации, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Литература: 1, гл. 7. С. 125-130.
2, гл. 4. С. 110-114.
Решение. Признак Х - дневной надой коров. Для расчета выборочных характеристик
данного распределения удобнее использовать таблицу:
Дневной
Число
хimi
Н(хi)
хi2mi
(хi- x в )2mi
надой (хi, л)
коров (mi)
7
3
21
0
63,48
147
9
8
72
3
54,08
648
11
52
572
11
18,72
6292
13
30
390
63
58,80
5070
15
7
105
93
80,92
1575
Итого
100
1160
276,00
13732
k
1
1160
x в   xi  mi 
 11,6 (л) - средний дневной надой коров данной фермы.
n i 1
100
Легко убедиться, что в случае дискретного признака Х в ранжированном
вариационном ряду xj=xi при Н(хi)+1jН(хi+1). Для рассматриваемого примера:xj= 11
при 12j63.
Объем выборки n=100 - число четное. Пусть n=2j, тогда j=50. Поэтому медиана
x ме  x j  x j 1 2   x50  x51  2  11  11 2  11 (л).


Частота достигает максимума: mi = mmax = 52 приxi= 11, поэтому мода
хмо= 11 (л).
Очевидно, хмoхме x в . Таким образом, распределение признака Х асимметричное.
Размах вариации R = хmax - хmin= 15 - 7 = 8 (л).
Дисперсию можно вычислить двумя способами:
1 k
276
1) Dв   ( xi  xв ) 2  mi 
 2 ,76.
n i 1
100
1 k
13732
2) Dв  x 2  x в2 , где x 2   xi2  mi 
 137,32.
n i 1
100
8
D в = 137,32 - (11,6)2 = 2,76.
Среднее квадратическое отклонение σ в  Dв  2,76  1,67 (л) (дневной
надой каждой коровы данной фермы отклоняется от среднего дневного надоя коров
в среднем на 1,67 л).
σ
1,67
Коэффициент вариации v  в  100 % 
 100 % 14,32 %.
xв
11,6
На практике считают, что если v 33%, то совокупность однородная. В данном
случае исследуемая совокупность однородная.
Замечание. Если в условии задан интервальный ряд распределения признака Х,
то сначала необходимо перейти к дискретному ряду, заменив интервалы их
серединами.
Задание 6а. Установить при уровне значимости 0,05, случайно или значимо
расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, которые
вычислены, исходя из предположения, что некоторый признак Х распределен
нормально:
13 16 28 65 18 30 10
miэ
9
22
miт
Литература:1,гл. 9. С. 148-160.
2,гл. 5. С. 135-145.
30
75
16
16
12
Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0 и ей конкурирующую Н1.
Н0: признак Х имеет нормальный закон распределения.
Н1: признак Химеет закон распределения, отличный от нормального.
В данном случае рассматривается правосторонняя критическая область.
s (m э  m т ) 2
2
i
Проверим гипотезу с помощью случайной величины χ   i
, которая
т
m
i 1
i
2
имеет распределение  с k=s-3=7-3=4 степенями свободы. Вычислим наблюдаемое
значение критерия 2 по выборочным данным. Расчеты представим в таблице:
Итого
miэ
miт
13
16
28
65
18
30
10
180
9
22
30
75
16
16
12
180
(miэ  miт ) 2
miт
1,78
1,64
0,13
1,33
0,25
12,25
0,33
17,71
9
2
2
Итак, χ набл
17,71. По прил. 3 находим критическое значение χ крит
(0,05;
2
2
4)=9,5. Сравниваем χ набл
и χ крит
(0,05;4).
2
2
Так как χ набл
 χ крит
(0,05; 4), то есть наблюдаемое значение критерия попало в
критическую область, нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая
гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального,
расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами значимо.
Задание 6б. На предприятии разработаны два метода изготовления
определенной продукции. Для проверки - одинаково ли материалоемки эти методы собраны статистические данные о расходе сырья в расчете на единицу готовой
продукции в процессе работы обоими методами. Получены следующие данные. При
работе первым методом: количество наблюдений nx=9, среднее значение x в=3,8,
исправленное среднее квадратическое отклонение Sx=0,6; при работе вторым
методом:
количество
наблюдений
ny=8,
среднее
значение
y в=2,7, исправленное среднее квадратическое отклонение Sy=0,5. Согласно
имеющимся данным проверить гипотезу о том, что средний удельный расход сырья
при работе обоими методами одинаков, считая, что выборки извлечены из
нормально распределенных генеральных совокупностей. Уровень значимости
=0,05.
Литература: 1, гл. 9. С. 161-172.
2, гл. 5. С. 152-155, 158-163.
Решение. Даны совокупности Х и Y, имеющие нормальный закон
распределения, где Х - расход сырья при работе первым методом, Y - расход сырья
при работе вторым методом. Требуется проверить гипотезу: Н0:М(Х)=М(Y).
Так как о генеральных дисперсиях ничего неизвестно, то с помощью случайной
S2
величины F  большая , которая имеет распределение Фишера - Снедекора с k1 =nх2
Sменьшая
1=8 и k2 =ny-1=7 степенями свободы (n1=nх, так как S x2 = (0,6)2 = 0,36, больше чем
S y2 = (0,5)2 = 0,25) предварительно проверим вспомогательную нулевую гипотезу:
Н0:D(Х)=D(Y) при Н1:D(Х)D(Y).
0 ,36
=1,44. По прил. 5 определим критическое значение Fкрит(,
0 ,25
k1, k2)=Fкрит(0,05; 8; 7)=3,73.
Находим Fнабл=
Сравниваем Fнабл и Fкрит(0,05; 8; 7). Так как Fнабл<Fкрит(0,05; 8; 7), то есть Fнабл
попало в область принятия гипотезы, нет оснований отвергать нулевую гипотезу, по
данным наблюдения D(Х)=D(Y), расхождение между исправленными выборочными
10
дисперсиями ( S x2 и S y2 ) случайное. Следовательно, можно проверить основную
гипотезу.
Предварительно выбираем конкурирующую гипотезу. В данном случае их
может быть две: 1) Н1:М(Х)М(Y) (двусторонняя критическая область); 2)
Н1:М(Х)>М(Y), так как x в> y в (правосторонняя критическая область).
Проверяем гипотезу Н0в первом случае:
Н0: М(Х)=М(Y), Н1: М(Х)М(Y).
Для проверки используется случайная величина
T
xв  yв
(nx  1) S x2  (n y  1) S y2

nx n y (nx + n y  2)
nx  n y
,
которая имеет распределение Стьюдента с k=nx+ny-2=9+8-2=15 степенями свободы.
Вычислим Тнабл 
3,8  2,7
8  0,36  7  0,25

9  8  15
 4,075.
98
По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 4) находим
tкрит.дв(0,05;15)=2,13 (при двусторонней критической области). Сравниваем Тнабл и
tкрит.дв(0,05;15). Так как Тнабл>tкрит.дв(0,05;15), то есть Тнабл попало в критическую
область, нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая: М(Х)М(Y),
следовательно, расхождение между выборочными средними значимо. Таким образом,
средний удельный расход сырья при работе обоими методами различен.
Проверим гипотезу Н0 во втором случае:
Н0: М(Х)=М(Y), Н1: М(Х)>М(Y).
Так как Тнабл4,075, tкрит.пр(0,05;15)=1,75 (при односторонней (правосторонней)
критической области), то Тнабл>tкрит.пр(0,05;15), то есть Тнабл попало в критическую
область, вывод аналогичен предыдущему.
Замечание. В контрольную работу входит либо задание 6а, либо задание 6б (см.
свой вариант).
Задание 7. В результате исследования зависимости выпуска валовой продукции
(Y,тыс.руб.) от основных фондов (Х, тыс.руб.) однотипных предприятий получены
следующие данные:
Х
Y
9
3
22
8
35
9
48
14
61
20
Полагая, что между Х и Y имеет место линейная зависимость, определить
выборочный коэффициент корреляции, объяснить его смысл, проверить значимость
коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05. Построить уравнение
11
регрессии и объяснить его. Вычислить предполагаемый выпуск валовой продукции,
если основные фонды составят 80 тыс. руб.
Литература: 1, гл. 10. С. 182-196.
2, гл. 6. С. 177-182.
Решение. Признак Х-основные фонды, тыс.руб. (факторный признак). Признак Yвыпуск валовой продукции, тыс. руб. (результативный признак). Предполагаем, что
признаки имеют нормальный закон распределения. Признаки находятся в статистической
зависимости, так как выпуск валовой продукции зависит не только от основных фондов,
но и от многих других факторов, которые в данном случае не учитываются. Определим
форму связи. Построим точки с координатами (хi, yi) и по их расположению определим
форму связи (см. рисунок).
Рис.
Итак, форма связи линейная.
Проведем корреляционный
коэффициент корреляции:
анализ.
rв 
Вычислим
выборочный
линейный
xy  x  y
.
 x  y
Расчеты представим в таблице:
Итого
x
хi
9
22
35
48
61
175
yi
3
8
9
14
20
54
хiyi
27
176
315
672
1220
2410
x i2
y i2
81
484
1225
2304
3721
7815
9
64
81
196
400
750
1 n
175
1 n
54
1 n
2410
x


35
;
y

y


10
,
8
;
xy

 482;
 i
 i
 xi y i 
n i 1
5
n i 1
5
n i 1
5
1 n
7815
1 n
750
x 2   xi2 
 1563; y 2   yi2 
 150;
n i 1
5
n i 1
5
 x2  x 2  x 2  1563  1225  338;  2y  y 2  y 2  150  116,64  33,36 .
12
482  35  10,8
 0,98.
338  33,36
Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого
выдвигаем гипотезы:
Н0: rген=0, Н1: rген 0.
Уровень значимости   0,05 .
Таким образом, rв 
r n2
Для проверки нулевой гипотезы используем случайную величину T  в
,
2
1  rв
имеющую распределение Стьюдента с k=n-2=3 степенями свободы. По выборочным
0,98  3
данным найдем наблюдаемое значение критерия Тнабл=
8,53. По таблице
1  0,9604
критических точек распределения Стьюдента определим tкрит.дв(0,05;3)=3,18.
Сравниваем Тнабл и tкрит(0,05;3). Так как Тнаблtкрит.дв(0,05;3), то есть Тнабл попало в
критическую область, нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая
гипотеза: rген0. Признаки Х и Yкоррелированны,rв значим. Так как rв близок к
единице, следовательно, выпуск валовой продукции и основные фонды находятся в
тесной корреляционной зависимости.
Найдем коэффициент детерминации. D=rв2100%=95,8% , то есть вариация
выпуска валовой продукции в среднем на 95,8% объясняется вариацией основных
фондов.
Выразим эту связь аналитически в виде линейного уравнения регрессии:
y x - y a1(х- x ),
a1 
xy  x  y
или a1  rв
 x2
y
x

104
 0,31 ;
338
 0,98 
33,36
 0,31 .
338
Таким образом, y x -10,80,31 (x-35) или y x 0,31x-0,05.
Из уравнения следует, что с увеличением основных фондов на 1 тыс.руб. выпуск
валовой продукции увеличится в среднем на 0,31 тыс. руб.
Найдем по уравнению регрессии выпуск валовой продукции, если основные
фонды составят 80 тыс.руб.:
y x 0,31  80- 0,05=24,75 (тыс. руб.)
13
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант № 1
(Первая буква фамилии студента:Щ, Э, Ю, Я)
1. В партии готовой продукции, состоящей из 25 деталей, 5 бракованных.
Определить вероятность того, что при случайном выборе четырех деталей: а) все
окажутся небракованными; б) бракованных и небракованных изделий будет
поровну.
2. В городе три коммерческих банка, оценка надежности которых 0,95; 0,90 и
0,85, соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития
города администрацию интересует ответ на вопрос: какова вероятность того, что в
течение года: а) обанкротятся все три банка; б) обанкротится хотя бы один банк.
3. В ящике находятся изделия, сделанные на трех станках: 20 - на первом
станке, 18 - на втором и 14 - на третьем. Вероятности того, что изделия,
изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества,
соответственно, равны 0,7; 0,85; 0,9. Взятое наудачу изделие оказалось отличного
качества. Какова вероятность того, что оно изготовлено на втором станке?
4. Диаметр деталей, изготовленных автоматом, представляет собой случайную
величину, распределенную по нормальному закону. Дисперсия ее равна 4 мм2, а
математическое ожидание - 20,5 мм. Найти вероятность брака, если допустимые размеры
диаметра должны быть (203) мм.
5. Группа рабочих изготавливает одинаковую продукцию. Дан ряд распределения
рабочих по числу изготавливаемых за смену деталей:
Число деталей 18 20 22 24 26
Число рабочих 5
6 10 4
5
Вычислить выборочные среднюю, размах вариации, моду, медиану, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
6.
В
результате
специального
обследования
получено
выборочное
распределение стажа работников завода (Х- стаж работы, лет; miэ - эмпирические
частоты; miт - теоретические частоты нормального распределения):
xi
miэ
5
15
7
26
9
25
11
30
13
26
15
21
17
24
19
20
21
13
miт
9
16
25
32
34
30
22
18
14
Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется
ли гипотеза о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности с
эмпирическим распределением выборки.
7. Средняя урожайность пшеницы и глубина вспашки по фермерским
хозяйствам даны в следующей таблице:
Глубина вспашки, см
Средняя урожайность, ц\га
14
7
8,1
8
8,3
9
8,2
10
9,1
11
10,3
12
10,8
При =0,05 проверить значимость корреляционной связи глубины вспашки и
средней урожайности пшеницы. Если связь значима, составить уравнение регрессии.
Объяснить его. Спрогнозировать урожайность пшеницы при глубине вспашки в 11,5
см.
Вариант № 2
(Первая буква фамилии студента:Ц, Ч, Ш)
1. Из партии, в которой 10 деталей без дефектов и 5 с дефектами, берут наудачу
3 детали. Чему равна вероятность того, что: а) все 3 детали без дефектов; б) по
крайней мере, одна деталь без дефектов.
2. В автопробеге участвуют три автомобиля. Первый может сойти с маршрута с
вероятностью 0,15; второй и третий не дойдут до финиша, соответственно, с
вероятностью 0,05 и 0,1. Требуется определить вероятность того, что до финиша
дойдут: а) только один автомобиль; б) два автомобиля; в) по крайней мере, два
автомобиля.
3. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод
производит 40% продукции, второй - 45%, а третий - 15 %. В продукции первого завода
не спешат 80% часов, второго - 70% и третьего- 90%. Какова вероятность того, что
купленные часы спешат?
4. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной,
распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см2,
математическое ожидание - 2,5 см. В каких границах с вероятностью 0,98 можно
гарантировать диаметр детали?
5. Имеются выборочные данные о дневном сборе хлопка (Х, кг):
Х
Число сборщиков
20-25
8
25-30
18
30-35
42
35-40
20
40-45
12
Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
6. В результате специального обследования получено выборочное
распределение времени простоя фрезерных станков одного цеха (Х- время простоя,
мин; miэ - эмпирические частоты; miт - теоретические частоты нормального
распределения):
xi
miэ
5,5
6
10,5
8
15,5
15
20,5
40
25,5
16
30,5
8
35,5
7
miт
5
10
20
27
21
11
6
Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить,
согласуется ли гипотеза о нормальном распределении признака Х генеральной
совокупности с эмпирическим распределением выборки.
7. Имеются следующие данные по группе предприятий о выпуске продукции
(Х, тыс.шт.) и себестоимости одного изделия (Y, руб.):
15
Х
Y
2,0
1,9
3,5
1,7
4,0
1,8
4,5
1,6
5,5
1,5
6,0
1,4
Вычислить коэффициент корреляции на основе этих данных. При уровне
значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента
корреляции в генеральной совокупности. Построить уравнение линейной
регрессионной зависимости и объяснить его смысл. Спрогнозировать среднюю
себестоимость одного изделия при выпуске 6,5 тыс. шт.
Вариант № 3
(Первая буква фамилии студента:У, Ф, Х)
1. Партия состоит из 10 деталей I сорта, 7 деталей II сорта и 5 деталей III сорта.
Наудачу берутся 2 детали. Какова вероятность того, что детали будут одного сорта?
2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого
стрелка равна 0,75, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Найти вероятность того, что:
а) все трое промахнутся; б) только один стрелок попадет в цель.
3. Электролампы поставляются магазину тремя заводами. В очередной раз
первый завод поставил 100 шт., второй - 150 шт., а третий - 200 шт. Продукция
первого завода содержит 97% стандартных ламп, второго - 98%. Продукция третьего
завода содержит только стандартные изделия. Определить вероятность того, что
купленная в магазине лампа окажется нестандартной.
4. Диаметр стальных стержней, выпускаемых цехом, представляет собой
случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим
ожиданием 75 мм и средним квадратическим отклонением 0,3 мм. Найти
вероятность брака, если допустимые размеры диаметра стержня (750,5) мм.
5. Дано распределение времени простоя станка за смену (Х, мин):
Х
Число станков
20-30
10
30-40
15
40-50
8
50-60
5
60-70
2
Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
6. В результате обследования получено следующее распределение дневной
выручки от продажи продукции в промтоварных магазинах (Х- дневная
выручка,руб.; miэ - эмпирические частоты (число магазинов); miт - теоретические
частоты, вычисленные в предположении о нормальном законе распределения):
xi
miэ
2
7
3
15
4
20
5
25
6
18
7
13
8
5
miт
5
14
19
26
20
12
6
Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу
о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности.
16
7. Определить тесноту связи общего веса некоторого растения (Х, г) и веса его
семян (Y, г) на основе следующих выборочных данных:
Х
Y
40
20
50
25
60
28
70
30
80
35
90 100
40
45
Проверить значимость коэффициента корреляции при
линейное уравнение регрессии и объяснить его.
=0,05. Построить
Вариант № 4
(Первая буква фамилии студента:С, Т)
1. Собрание, на котором присутствуют 25 чел., в том числе 9 женщин, выбирает
делегацию из трех человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой
вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут:
а) две женщины и один мужчина; б) хотя бы одна женщина.
2. К испытываемому устройству подключены три прибора. Вероятности выхода
из строя прибора, соответственно, равны: 0,3; 0,2; 0,15. Найти вероятность того, что
за время проведения испытаний останутся работоспособными: а) один прибор; б)
два прибора; в) хотя бы два прибора.
3. Количество продукции, поступающей на механическую обработку от трех
литейных цехов, определяется соотношением 3 : 4 : 5. На 100 единиц продукции
первого цеха приходится в среднем 3 единицы брака, второго и третьего цехов,
соответственно, 2 и 4 единицы. Наудачу взятая отливка оказалась годной. Какова
вероятность того, что она отлита во втором цехе?
4. В некоторой партии гаек средний диаметр оказался равным 82,6 мм, а
среднее квадратическое отклонение 1,2 мм. Считая, что размер диаметра гайки
подчиняется нормальному закону распределения, найти поле допуска, если брак
составляет 1,24%.
5. В результате выборочного обследования получено распределение времени на
выполнение технологической операции (Х, с) 20 рабочими:
Х
Число рабочих
25-30
3
30-35
8
35-40
4
40-45
3
45-50
2
Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
6. В результате обследования получено выборочное распределение времени,
затрачиваемого операторами бухгалтерских машин на обработку документов
складского учета (Х- время, с; miэ - эмпирические частоты (количество документов);
miт - теоретические частоты, вычисленные в предположении о нормальном законе
распределения):
xi
miэ
miт
100 105 110 115 120 125
5
16 24 13 16
8
6
11
18
20
17
10
17
Используя критерий Пирсона, при =0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о
нормальном распределении признака Хгенеральной совокупности с эмпирическим
распределением выборки.
7. Представлены данные, отражающие статистическую связь издержек
обращения (Y, тыс.руб.) и товарооборота (Х, тыс.руб.):
Y
5,0
5,2
5,8
6,4 6, 6 7,0
Х 17,6 17,5 18,0 18,1 18,2 18,5
При  = 0,1 проверить значимость указанной статистической связи. Построить
уравнение регрессии, объяснить его. Спрогнозировать издержки обращения при
заданном товарообороте в 17,9 тыс. руб.
Вариант № 5
(Первая буква фамилии студента:П, Р)
1. Группа студентов-спортсменов, состоящая из 5 студентов II курса и 4 студентов III
курса, проводит тренировку. Одновременно тренируются двое. Какова вероятность того,
что, войдя случайно на тренировку, мы застанем тренирующимися двух студентов одного
курса?
2. Служба контроля качества проверяет партии деталей, изготовленных тремя
рабочими. Вероятность того, что будет признана годной партия, изготовленная первым
рабочим, составляет 0,97, вторым и третьим рабочим, соответственно, 0,95 и 0,92. Какова
вероятность того, что среди партий деталей окажутся забракованными: а) одна партия
деталей; б) две партии деталей; в) хотя бы одна партия деталей?
3. На двух станках изготавливают одинаковые детали. Вероятность того, что
изготовленная деталь стандартная, для первого станка равна 0,8; для второго - 0,9.
Производительность второго станка вдвое больше производительности первого.
Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной?
4. Автомат штампует пуговицы. Контролируется диаметр пуговицы - Х,
который распределен по нормальному закону с математическим ожиданием 10 мм и
средним квадратическим отклонением 0,1 мм. Найти интервал, в котором заключен
диаметр изготовленных пуговиц, если брак составляет 1%.
5. Дано распределение расхода сырья, идущего на изготовление одного изделия
(Х, г):
Х
Число изделий
380-390
4
390-400
5
400-410
6
410-420
2
420-430
3
Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
6. В результате обследования опытных участков одинакового размера получено
выборочное распределение урожайности ржи (Х- урожайность, ц/га; miэ
-
эмпирические частоты; miт - теоретические частоты, вычисленные в предположении
о нормальном законе распределения):
18
xi
miэ
16
5
18
7
20
9
22
10
24
17
26
15
28
11
miт
7
9
12
14
12
11
9
Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить,
согласуется ли гипотеза о нормальном распределении признака Хгенеральной
совокупности с эмпирическим распределением выборки.
7. Имеются выборочные данные о стаже работы (Х, лет) и выработке одного
рабочего за смену (Y, шт.):
Х
2
3
4
5
6
7
Y
14
15
18
20
22
25
Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции при =0,05.
Построить линейное уравнение регрессии и объяснить его. Вычислить предполагаемую
среднюю выработку при стаже 5,5 лет.
Вариант № 6
(Первая буква фамилии студента:Н, О)
1. Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартные. Найти вероятность
того, что среди отобранных 5 деталей окажутся: а) только 2 стандартные детали; б)
все детали нестандартные?
2. На участке установлены три станка. Вероятность выхода из строя первого
станка при его включении равна 0,02; второго - 0,03, а третьего - 0,05. Чему равна
вероятность того, что при включении одновременно всех станков останутся
работоспособными: а) только один станок; б) два станка; в) хотя бы один станок?
3. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой
фабрики составляет 20% , второй - 45% , третьей – 35 %. В продукции первой
фабрики 5% нестандартных изделий, в продукции второй - 2% , третьей - 1% .
Наудачу взятое изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно
произведено на первой фабрике.
4. Вес отдельного батона хлеба данной партии есть случайная величина Х,
описываемая нормальным законом распределения с математическим ожиданием
М(Х)=500 г и средним квадратическим отклонением (Х)=8 г. Определить
вероятность того, что вес взятого наугад из данной партии батона: а) будет в
пределах от 496 до 508 г; б) отклоняется от математического ожидание не более чем
на 3,2 г.
5. Дано распределение расхода материала на изготовление одного изделия:
Расход материала, см 240-250 250-260 260-270 270-280 280-290
Число изделий
4
6
5
3
2
Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, размах вариации, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
19
6. Установить при уровне значимости 0,05, случайно или значимо расхождение
между эмпирическими и теоретическими частотами, которые вычислены, исходя из
предположения, что признак Х распределен нормально:
5
10 35 70 100 80
20
10
miэ
miт
6
13
37
78
95
65
27
9
7. В результате исследования зависимости выпуска валовой продукции (Y,
тыс.руб.) от основных фондов (Х, тыс.руб.) однотипных предприятий получены
следующие данные:
Х 10 22 35 48 51
Y
3
8
9
14 20
Полагая, что между Х и Y имеет место линейная зависимость, определить
выборочный коэффициент корреляции, объяснить его смысл, проверить значимость
коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05. Построить уравнение
регрессии и объяснить его.
Вариант № 7
(Первая буква фамилии студента:Л, М)
1. Из 25 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу вынимают три билета.
Какова вероятность того, что среди них окажутся: а) не более одного выигрышного
билета; б) хотя бы один выигрышный билет?
2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95
для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при
аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.
3. На трех поточных линиях производятся одинаковые изделия, которые
поступают в службу контроля качества. Производительность первой поточной
линии вдвое больше производительности второй и вдвое меньше
производительности третьей поточной линии; причем первая линия в среднем
производит 50% изделий высшего сорта, вторая - 80%, третья - 30%. Наугад взятое
на проверку изделие оказалось высшего сорта. Какова вероятность того, что это
изделие произведено на второй поточной линии?
4. Найти дисперсию случайной величины, распределенной по нормальному
закону, если известно, что отклонение случайной величины от ее математического
ожидания, не превосходящее 0,1, имеет место с вероятностью 0,7887.
5. Имеются выборочные данные о дневном сборе урожая (Х, кг):
xi
30 33 35 37 40
Число работников 11 15 28 14
12
Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, размах вариации, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
6. Экономический анализ производительности труда предприятий отрасли
позволил выдвинуть гипотезу о наличии двух типов предприятий с различной
средней величиной показателя производительности труда. Для первой группы (12
объектов) средняя производительность труда x в=119 деталей, исправленная
20
выборочная
дисперсия
S x2 =126,91;
для
второй
группы
(12
объектов),
соответственно, y в=107 деталей, S y2 =136,10. Считая, что выборки извлечены из
нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y при уровне
значимости 0,05 проверить, случайно ли полученное различие средних показателей
производительности труда в группах или же имеются два типа предприятий с
различной средней величиной производительности труда.
7. Определить тесноту связи выпуска продукции Х (тыс.шт.) и себестоимость
одного изделия Y (руб.) на основе следующих данных:
Х
3
4
5
6
7
Y
10 8
7
5
2
Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции при уровне
значимости 0,05. Построить линейное уравнение регрессии и объяснить его.
Вариант № 8
(Первая буква фамилии студента:К)
1. В коробке имеется 7 одинаковых изделий, среди них 4 окрашенных. Наудачу
извлекаем 3 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных трех изделий
окажутся: а) только два окрашенных изделия; б) хотя бы одно изделие окрашенное.
2. Вероятность того, что в течение года в радиоприемнике выйдет из строя лампа №
1, равна 0,25. Вероятности выхода из строя ламп №2 и №3 равны, соответственно, 0,15 и
0,1. Найти вероятность того, что вышедший из строя радиоприемник не работает из-за
неисправности: а) только одной лампы; б) двух ламп; в) по крайней мере, одной лампы.
3. Среди студентов академии 30% - первокурсники, 35% студентов учатся на втором
курсе; на третьем и четвертом курсах их 20% и 15%, соответственно. По данным
деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на
"отлично"; на втором - 30%, на третьем - 35%, на четвертом - 40% отличников. Наудачу
вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он
первокурсник.
4. Завод изготавливает шарики для подшипников. Диаметр шарика является
случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим
ожиданием 20 см и средним квадратическим отклонением 2 см. В каких границах с
вероятностью 0,9216 можно гарантировать размер диаметра шарика?
5. Затраты времени на сборку прибора у 70 сборщиков цеха имеют следующее
распределение:
Время, мин
30-40 40-50 50-60 60-70 70-80
Число сборщиков
12
13
25
11
9
Вычислить выборочные характеристики этого распределения: среднюю, моду,
медиану, размах вариации, дисперсию, среднее квадратическое отклонение,
коэффициент вариации.
6. Для испытания шерстяной ткани на прочность произведены две выборки
объемом в 10 и 12 образцов. Средняя прочность оказалась равной 135 и 136 г при
исправленных выборочных дисперсиях 4 и 6. Считая выборки извлеченными из
21
нормальных совокупностей, определить при уровне значимости 0,01
существенность расхождения между средними в обеих выборках.
7. В результате исследования зависимости выпуска валовой продукции
(Y,тыс.руб.) от основных фондов (Х, тыс.руб.) однотипных предприятий получены
следующие данные:
Х 11 22 35 48 61 74
Y
3
8
11 20 25 33
Полагая, что между Х и Y имеет место линейная зависимость, определить
выборочный коэффициент корреляции, объяснить его смысл, проверить значимость
коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05. Построить уравнение
регрессии и объяснить его.
Вариант № 9
(Первая буква фамилии студента:З, И)
1. Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 10 мест в
Саратове, 8 в Казани, остальные в Самаре. Какова вероятность того, что три
определенных студента попадут на практику в один город?
2. Вероятность бесперебойной работы в течение часа первого станка равна 0,8;
второго - 0,85; третьего - 0,9. Какова вероятность того, что в течение часа
произойдет нарушение в работе: а) только одного станка; б) всех станков?
3. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 98% годных
деталей, второй - 99%, а третий - 97%. Найти вероятность попадания на сборку
бракованной детали, если она выбрана случайным образом, а производительность
автоматов одинакова.
4. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, представляет случайную величину,
распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 16 мм и дисперсией
0,16 мм2. Найти вероятность брака при условии, что для диаметра подшипника разрешается
допуск (0,7) мм.
5. В результате выборочного обследования получено распределение времени на
выполнение технологической операции (Х, с) 20 рабочими:
хi
25 30 33 35 40
Число рабочих 2
3
8
4
3
Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
6. На заводе имеются центробежные насосы, закупленные на предприятияхА и
В по 10 шт. Насосы, закупленные на предприятии А, проработали до поломки в
среднем 100 дней, исправленное среднее квадратическое отклонение 10 дней;
насосы, закупленные на предприятии В, проработали до поломки в среднем 105
дней, исправленное среднее квадратическое отклонение 9 дней. Заводу требуется
приобрести еще насосы. Специалист по материально-техническому снабжению
решил, что надо закупать насосы на предприятии В. Считая, что выборки извлечены
из нормально распределенных генеральных совокупностей, проверить,
действительно ли насосы, выпущенные предприятием В, лучше (=0,01).
7. Экономическое обследование пяти предприятий дало следующие результаты:
22
Х
3
4
6
7 10
Y
3
5
6
7 9
,
где Y-выпуск готовой продукции на одного работающего, тыс. руб.;
Х-энерговооруженность труда работающего, кВтч.
Полагая, что между Х и Y имеет место линейная зависимость, определить
выборочный коэффициент корреляции, объяснить его смысл, проверить значимость
коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05. Построить уравнение
регрессии и объяснить его.
Вариант № 10
(Первая буква фамилии студента:Д, Е, Ж)
1. Из десяти билетов выигрышными являются 3 билета. Найти вероятность
того, что среди взятых наудачу четырех билетов: а) выигрышным будет только
один; б) выигрышных и невыигрышных билетов будет поровну.
2. Известно, что первый станок простаивает 5%, второй - 10%, а третий - 15%
рабочего времени. Какова вероятность того, что в случайно выбранный момент
окажутся работающими: а) один станок; б) два станка; в) хотя бы два станка?
3. Первый заготовительный цех изготовил 1000 деталей, второй в 2 раза
больше, а третий столько, сколько первые два, вместе взятые. При этом продукция
первого цеха содержит 0,3% брака, второго - 0,2% и третьего - 0,4% брака. Все детали
общей партией поступают на сборку. Наудачу берут одну деталь. Найти вероятность того,
что она годная.
4. На автомате изготовляются заклепки. Диаметр их головок представляет
собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, имеет среднее
значение, равное 2 мм, и дисперсию, равную 0,01 мм2. Найти вероятность того, что
диаметр головки заклепки будет от 2,1 до 2,3 мм. Какие размеры диаметра головки
заклепки можно гарантировать с вероятностью 0,95?
5. Имеются данные о производительности труда 50 рабочих:
Произведено продукции одним
8 9 10 11 12
рабочим за смену, шт.
Число рабочих
7 10 15 12 6
Определить среднюю производительность труда одного рабочего, а также
характеристики вариации. Дать экономическую интерпретацию полученных
результатов.
6. С целью увеличения срока службы разработана новая конструкция прессформы. Старая пресс-форма в 10 испытаниях прослужила в среднем 4,4 месяца с
исправленным средним квадратическим отклонением 0,05 месяца. Предлагаемая
новая пресс-форма при 6 испытаниях требовала замены в среднем после 5,5 месяца с
исправленным средним квадратическим отклонением 0,09 месяца. Считая, что
выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей,
проверить, действительно ли новая конструкция лучше (используйте =0,01).
7. По данным таблицы изменения веса поросят (Y, кг) в зависимости от их
возраста (Х, недели) построить эмпирическую линию регрессии и по ее виду
определить предполагаемую форму связи Y и Х. Оценить тесноту корреляционной
23
связи (уровень значимости принять равным 0,05). Построить уравнение регрессии,
объяснить его.
Х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Y
1,3
2,5
3,9
5,2
6,3
7,5
9,0 10,8 13,1
Вариант № 11
(Первая буква фамилии студента:В, Г)
1. Имеются изделия трех сортов. Число изделий каждого сорта равно,
соответственно, 4, 3, 5. Для контроля наудачу берут 6 изделий. Определить
вероятность того, что среди них одно изделие I сорта, два - II сорта, три - III сорта.
2. В цехе три участка. Вероятность невыполнения плана первым участком
составляет 0,02, для второго и третьего участков эти вероятности, соответственно, равны
0,05 и 0,01. Найти вероятность того, что к моменту подведения итогов плановое задание
будет выполнено: а) олько одним участком; б) двумя участками; в) хотя бы одним
участком.
3. Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов: 60 штук из
первого цеха, а из второго и третьего, соответственно, в 2 и 4 раза больше, чем из
первого. При этом материал первого цеха имеет 1% брака, второго - 2%, а третьего 2,5%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка окажется без дефектов.
4. Длина изготовляемой автоматом детали представляет собой случайную
величину, распределенную по нормальному закону. Средняя длина детали равна 15
см, среднее квадратическое отклонение равно 0,2 см. Найти вероятность брака, если
допустимые размеры детали должны быть (150,3) см. Какую точность длины
изготавливаемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,97?
5. В результате выборочного обследования получены данные о составе
строительных бригад:
Число рабочих
в бригаде, чел.
16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50
Число бригад
80
44
100
200
40
20
16
Определить среднее число рабочих в бригаде, коэффициент вариации.
6. По выборочным данным 15 предприятий одной отрасли найдена средняя
себестоимость единицы продукции. Она составила x в=4,85 руб. При этом
исправленное среднее квадратическое отклонение Sxоказалось равным 0,94 руб.
Аналогично была вычислена средняя себестоимость единицы продукции по 12
предприятиям той же отрасли, она составила y в=5,07 руб., а Sy=1,02 руб. При
уровне значимости 0,01 выявить существенность различия средней себестоимости
единицы продукции на предприятиях, считая, что выборки извлечены из нормально
распределенных генеральных совокупностейХ и Y.
7. Определить тесноту связи выпуска продукции Х (тыс.шт.) и себестоимость
одного изделия Y (руб.) на основе следующих данных:
X
2
3
4
5
6
Y 1,9 1,7 1,8 1,6 1,4
Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции при уровне
значимости 0,05. Построить линейное уравнение регрессии и объяснить его.
24
25
Вариант № 12
(Первая буква фамилии студента:А, Б)
1. 17 студентов группы, среди которых 8 девушек, разыгрывают 7 билетов.
Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся: а) только 4
девушки; б) хотя бы одна девушка?
2. Три баскетболиста производят по одному броску мяча. Вероятности попадания в
корзину первым, вторым, третьим баскетболистом равны, соответственно, 0,9; 0,8; 0,7.
Найти вероятность того, что произведет удачно бросок: а) только один баскетболист; б)
хотя бы один баскетболист.
3. В одной студенческой группе обучаются 24 студента, во второй - 36
студентов, в третьей - 40 студентов. По теории вероятностей получили отличные
оценки 6 студентов первой группы, 6 студентов второй группы, и 4 студента третьей
группы. Наудачу выбранный студент оказался получившим по теории вероятностей
оценку "отлично". Какова вероятность того, что он учится во второй группе?
4. Детали, изготовленные автоматом, по размеру диаметра распределяются по
нормальному закону. Известно, что математическое ожидание равно 4,8 см, а
дисперсия равна 0,81 см2. Найти: а) вероятность того, что диаметр наудачу взятой
детали будет в пределах от 5,7 до 7,5 см; б) границы, в которых следует ожидать
размер диаметра детали, если вероятность невыхода за эти границы равна 0,9545.
5. Дано распределение расхода сырья, идущего на изготовление одного изделия
(Х,г):
хi
390 395 400 403 405
Число изделий
3
6
4
5
2
Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
6. Для изучения норм выработки двух бригад завода,выполняющих одинаковый
вид работ, проведено выборочное обследование затрат времени на изготовление
одной детали. Для первой бригады (7 чел.) среднее время x в=25 мин, исправленная
выборочная дисперсия S x2 =2,5; для второй бригады (8 чел.), соответственно, y в=30 мин,
S y2 =3. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных
совокупностей Х и Y, проверить при уровне значимости 0,05, одинаковы ли для этих
бригад средние затраты времени на выполнение одной детали.
7. По пяти предприятиям одной отрасли имеются данные о валовой продукции
и издержкам производства:
Валовая продукция, тыс. шт.
40 50 60 70 80
Издержки производства, тыс. руб.
6 4,5 5
4 3,5
Проверить значимость коэффициента корреляции при =0,05. Если
коэффициент корреляции значим, то написать уравнение регрессии, объяснить его
смысл. Спрогнозировать издержки производства при заданном объеме валовой
продукции в 65 тыс.шт.
26
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ)
1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных
событий. Классическое и статистическое определение вероятности события.
Свойства вероятностей события. Непосредственный подсчет вероятностей.
Основные формулы комбинаторики.
2. Сложные события. Сумма и произведение событий. Теорема сложения
вероятностей для несовместных событий и следствия из нее. Теорема сложения
вероятностей для совместных событий.
3. Зависимые и независимые события. Условная вероятность события. Теорема
умножения вероятностей для конечного числа зависимых событий. Теорема умножения
вероятностей для конечного числа независимых событий.
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшая
частота.
6. Повторные независимые испытания. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Теорема Пуассона.
7. Случайная величина. Виды случайных величин. Закон распределения
случайной величины и
способы его задания (табличный, графический,
аналитический).
8. Интегральная функция распределения случайной величины, ее свойства.
9. Дифференциальная функция распределения случайной величины (плотность
распределения вероятности), ее свойства. Выражение интегральной функции через
дифференциальную функцию распределения случайной величины.
10. Характеристики случайной величины: математическое ожидание. Свойства
математического ожидания.
11. Характеристики случайной величины: дисперсия и среднее квадратическое
отклонение. Свойства дисперсии.
12. Биномиальный закон распределения случайной величины, его свойства,
характеристики случайной величины, полигон распределения.
13. Распределение Пуассона, его свойства, характеристики случайной
величины, полигон распределения.
14. Равномерное распределение случайной величины: дифференциальная и
интегральная функции распределения, их графики; характеристики распределения;
вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
15. Показательное распределение случайной величины: дифференциальная и
интегральная функции распределения, их графики, характеристики распределения,
вероятность
попадания
случайной
величины
в
заданный
интервал.
Характеристическое свойство показательного распределения.
16. Нормальный закон распределения случайной величины. Дифференциальная
функция распределения, ее свойства. Нормированное нормальное распределение.
Кривая Гаусса. Влияние параметров распределения на форму и положение
нормальной кривой.
27
17. Теоретико-вероятностный смысл параметров нормального распределения
(вывод формул математического ожидания и дисперсии).
18. Интеграл вероятностей (функция Лапласа). Свойства функции Лапласа.
Выражение интегральной функции нормального распределения через функцию
Лапласа.
19. Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной
случайной величины. Вероятность заданного отклонения значений случайной
величины от ее математического ожидания. Правило трех “сигм”.
20. Распределение Пирсона (χ2 - распределение). Распределение Стьюдента (t распределение).
21. Распределение Стьюдента (t - распределение). Распределение Фишера Снедекора (F - распределение).
22. Понятие закона больших чисел. Неравенство Чебышева.
23. Теорема Чебышева, частный случай теоремы. Теорема Бернулли. Понятие о
теореме Ляпунова. Частный случай теоремы Ляпунова.
24. Статистическая совокупность (генеральная и выборочная). Ряды
распределения (дискретные и интервальные). Графическое изображение рядов
распределения.
25. Статистическая совокупность (генеральная и выборочная). Ряды
распределения. Накопленные частоты и частости. Эмпирическая функция
распределения.
26. Выборочные средние статистических распределений: средняя, мода,
медиана.
27. Выборочные характеристики рассеяния статистических распределений:
дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
28. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки.
Свойства статистических оценок параметров распределения (несмещенность,
состоятельность, эффективность). Оценка генеральной средней по выборке.
29. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки.
Свойства статистических оценок параметров распределения (несмещенность,
состоятельность, эффективность). Оценка генеральной дисперсии и среднего
квадратического отклонения по выборке. Исправленная выборочная дисперсия.
30. Интервальные оценки параметров распределения. Точность оценки.
Доверительный интервал и доверительная вероятность. Доверительные интервалы
для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной
величины при известном среднем квадратическом отклонении.
31. Интервальные оценки параметров распределения. Точность оценки.
Доверительный интервал и доверительная вероятность. Доверительные интервалы
для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной
величины при неизвестном среднем квадратическом отклонении.
32. Статистические гипотезы. Ошибки 1-го и 2-го рода. Статистический
критерий. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия
гипотезы. Критические точки. Уровень значимости. Отыскание критической
области.
28
33. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения генеральной
совокупности.
34. Сравнение дисперсий двух нормально распределенных
генеральных
совокупностей.
35. Сравнение средних двух нормально распределенных генеральных
совокупностей при неизвестных дисперсиях.
36. Сравнение средних двух нормально распределенных генеральных
совокупностей при известных дисперсиях.
37. Сравнение вероятностей.
38. Функциональная и статистическая зависимости. Условные распределения.
Условные средние.
39. Корреляционная зависимость. Виды корреляционной зависимости.
Уравнение регрессии. Понятие о методе наименьших квадратов.
40. Линейная
корреляционная
зависимость.
Оценивание
параметров
выборочного уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов.
Коэффициент регрессии, его экономический смысл.
41. Выборочный линейный коэффициент корреляции, его свойства.
42. Выборочный линейный коэффициент корреляции, проверка его значимости.
Коэффициент детерминации.
43. Простейшие
случаи
нелинейной
корреляционной
зависимости:
параболическая. Отыскание параметров уравнения регрессии методом наименьших
квадратов.
44. Простейшие
случаи
нелинейной
корреляционной
зависимости:
гиперболическая. Отыскание параметров уравнения регрессии методом наименьших
квадратов.
45. Выборочное корреляционное отношение, его свойства.
29
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1. Репин, О.А. Математика для экономистов. Теория вероятностей и
математическая статистика / О.А. Репин, Е.И. Суханова, Л.К. Ширяева. - Самара:
Изд-во Самар. гос. экон. акад, 2005.
2. Репин, О.А. Математика для экономистов. Сборник задач по теории вероятностей
и математической статистике: учеб.пособие / О.А. Репин, Е.И. Суханова, Л.К. Ширяева.
- Самара: Изд-во Самар. гос. экон. акад., 2005.
Дополнительная литература
3. Айвазян, С.А. Теория вероятностей и прикладная статистика / С.А. Айвазян, В.С.
Мхитарян. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
4. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей /Е.С. Вентцель,
Л.А. Овчаров. - М.: Высш. школа, 2002.
5. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. - М.: Высш. школа, 2003.
6. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:
Высш. школа, 2003.
7. Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика / В.А.
Колемаев, В.Н. Калинина. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.
8. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.для
вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
9. 2. Репин, О.А. Сборник задач по теории вероятностей и математической
статистике: учеб.пособие / О.А. Репин, Е.И. Суханова, Л.К. Ширяева. –М.: ВегаИнфо, 2009.
30
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
1 
Таблица значений функции f(х) =
e
2
х
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1093
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
2
3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
x2
2
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
31
Приложение 2
z2
1 x 2
Таблица значений функции Ф(х) =
 e dz
2 0
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
32
Ф(х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
x
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
Ф(х)
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
x
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
Ф(х)
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2516
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3228
0,3264
0,3289
x
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
Ф(х)
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
Окончание прил. 2
x
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
Ф(х)
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
x
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
Ф(х)
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
x
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
Ф(х)
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
x
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
Ф(х)
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
33
Приложение 3
a m a
e
Таблица значений функции Пуассона
m!
m
0
1
2
3
4
5
6
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
34
0,1
0,9048
0,0905
0,0045
0,0002
-
1,0
0,3679
0,3679
0,1839
0,0613
0,0153
0,0081
0,0005
0,0001
-
0,2
0,8187
0,1638
0,0164
0,0011
-
2,0
0,1353
0,2707
0,2707
0,1804
0,0902
0,0361
0,0120
0,0034
0,0009
0,0002
-
0,3
0,7408
0,2222
0,0333
0,0033
0,0002
-
3,0
0,0498
0,1494
0,2240
0,2240
0,1680
0,1008
0,0504
0,0216
0,0081
0,0027
0,0008
0,0002
0,0001
-
0,4
0,6703
0,2681
0,0536
0,0072
0,0007
0,0001
-
a
0,5
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
-
0,6
0,5488
0,3293
0,0988
0,0198
0,0030
0,0004
-
0,7
0,4966
0,3476
0,1217
0,0284
0,0050
0,0007
0,0001
0,8
0,4493
0,3595
0,1438
0,0383
0,0077
0,0012
0,0002
0,9
0,4066
0,3696
0,1647
0,0494
0,0111
0,0020
0,0003
4,0
0,0183
0,0733
0,1465
0,1954
0,1954
0,1563
0,1042
0,0595
0,0298
0,0132
0,0053
0,0019
0,0006
0,0002
0,0001
-
a
5,0
0,0067
0,0337
0,0842
0,1404
0,1755
0,1755
0,1462
0,1044
0,0655
0,0363
0,0181
0,0082
0,0034
0,0013
0,0005
0,0002
-
6,0
0,0025
0,0149
0,0446
0,0892
0,1339
0,1606
0,1606
0,1377
0,1033
0,0688
0,0413
0,0025
0,0113
0,0052
0,0022
0,0009
0,0003
0,0001
-
7,0
0,0009
0,0064
0,0223
0,0521
0,0912
0,1277
0,1490
0,1490
0,1304
0,1014
0,0710
0,0452
0,0264
0,0142
0,0071
0,0033
0,0014
0,0006
0,0002
0,0001
-
8,0
0,0003
0,0027
0,0107
0,0286
0,0572
0,0916
0,1221
0,1396
0,1396
0,1241
0,0993
0,0722
0,0481
0,0296
0,0169
0,0090
0,0045
0,0021
0,0009
0,0004
0,0002
0,0001
-
9,0
0,0001
0,0011
0,0050
0,0150
0,0337
0,0607
0,0911
0,1171
0,1318
0,1318
0,1186
0,0970
0,0728
0,0504
0,0324
0,0194
0,0109
0,0058
0,0029
0,0014
0,0006
0,0003
0,0001
Приложение 4
Критические точки распределения 2
Число
степеней
свободы k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Уровень значимости 
0,01
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
0,025
5,0
7,4
9,4
11,1
12,8
14,4
16,0
17,5
19,0
20,5
21,9
23,3
24,7
26,1
27,5
28,8
30,2
31,5
32,9
34,2
35,5
36,8
38,1
39,4
40,6
41,9
43,2
44,5
45,7
47,0
0,05
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
0,95
0,0039
0,103
0,352
0,711
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5
0,975
0,00098
0,051
0,216
0,484
0,831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
0,99
0,00016
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
35
Приложение 5
Критические точки распределения Стьюдента
Число
степеней
свободы k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

Число
степеней
свободы k
36
0,1
6,31
2,92
2,35
2,13
2,01
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,73
1,72
1,72
1,71
1,71
1,71
1,71
1,71
1,70
1,70
1,70
1,68
1,67
1,66
1,64
0,05
Уровень значимости (двусторонняя критическая
область)
0,05
0,02
0,01
0,002
12,7
31,82
63,7
318,3
4,30
6,97
9,92
22,33
3,18
4,54
5,84
10,22
2,78
3,75
4,60
7,17
2,57
3,37
4,03
5,89
2,45
3,14
3,71
5,21
2,36
3,00
3,50
4,79
2,31
2,90
3,36
4,50
2,26
2,82
3,25
4,30
2,23
2,76
3,17
4,14
2,20
2,72
3,11
4,03
2,18
2,68
3,05
3,93
2,16
2,65
3,01
3,85
2,14
2,62
2,98
3,79
2,13
2,60
2,95
3,73
2,12
2,58
2,92
3,69
2,11
2,57
2,90
3,65
2,10
2,55
2,88
3,61
2,09
2,54
2,86
3,58
2,09
2,53
2,85
3,55
2,08
2,52
2,83
3,53
2,07
2,51
2,82
3,51
2,07
2,50
2,81
3,49
2,06
2,49
2,80
3,47
2,06
2,49
2,79
3,45
2,06
2,48
2,78
3,44
2,05
2,47
2,77
3,42
2,05
2,46
2,76
3,40
2,05
2,46
2,76
3,40
2,04
2,46
2,75
3,39
2,02
2,42
2,70
3,31
2,00
2,39
2,66
3,23
1,98
2,36
2,62
3,17
1,96
2,33
2,58
3,09
0,025
0,01
0,005
0,001
Уровень значимости (односторонняя критическая
область)
0,001
637,0
31,6
12,9
8,61
6,86
5,96
5,40
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,01
3,96
3,92
3,88
3,85
3,82
3,79
3,77
3,74
3,72
3,71
3,69
3,66
3,66
3,65
3,55
3,46
3,37
3,37
0,0005
Приложение 6
Критические точки распределения Фишера-Снедекора
(k1 - число степеней свободы большей дисперсии;
k2 - число степеней свободы меньшей дисперсии)
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
4052
98,49
34,12
21,20
16,26
13,74
12,25
11,26
10,56
10,04
9,86
9,33
9,07
8,86
8,68
8,53
8,40
2
4999
99,01
30,81
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,20
6,93
6,70
6,51
6,36
6,23
6,11
3
5403
90,17
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,18
Уровень значимости
k1
4
5
6
7
5625 5764 5989 5928
99,25 99,33 99,30 99,34
28,71 28,24 27,91 27,67
15,98 15,52 15,21 14,98
11,39 10,97 10,67 10,45
9,15 8,75 8,47 8,26
7,85 7,46 7,19 7,00
7,01 6,63 6,37 6,19
6,42 6,06 5,80 5,62
5,99 5,64 5,39 5,21
5,67 5,32 5,07 4,88
5,41 5,06 4,82 4,65
5,20 4,86 4,62 4,44
5,03 4,69 4,46 4,28
4,89 4,56 4,32 4,14
4,77 4,44 4,20 4,03
4,67 4,44 4,10 3,93
= 0,01
8
5981
99,36
27,49
14,80
10,27
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
9
6022
99,36
27,34
14,66
10,15
7,98
6,71
5,91
5,35
4,95
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
3,78
3,68
10
11
12
6056 6082 6106
99,40 99,41 99,42
27,23 27,13 27,05
14,54 14,45 14,37
10,05 9,96 9,89
7,87 7,79 7,72
6,62 6,54 6,47
5,82 5,74 5,67
5,26 5,18 5,11
4,85 4,78 4,71
4,54 4,46 4,40
4,30 4,22 4,16
4,10 4,02 3,96
3,94 3,86 3,80
3,80 3,73 3,67
3,69 3,61 3,55
3,59 3,52 3,45
Уровень значимости = 0,05
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 161
200
216
225
230
234
237
239
241
242
243
244
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,40 19,41
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 8,76 8,74
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,93 5,91
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,78 4,74 4,70 4,68
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,63 3,60 3,57
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,34 3,31 3,28
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,10 3,07
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,97 2,94 2,91
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,86 2,82 2,79
12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,92 2,85 2,80 2,76 2,72 2,69
13 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,84 2,77 2,72 2,67 2,63 2,60
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,77 2,70 2,65 2,60 2,56 2,53
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,70 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,45 2,42
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,62 2,55 2,50 2,45 2,41 2,38
37
СОДЕРЖАНИЕ
Правила выполнения и оформления контрольной работы ........... 3
Образец выполнения контрольной работы ..................................... 4
Варианты контрольной работы ........................................................ 14
Примерные вопросы для подготовки к экзамену (зачету) ............ 26
Рекомендуемая литература ............................................................... 29
Приложения ........................................................................................ 30
38