Задачи на классическое определение вероятности

Задачи на классическое определение вероятности
Задача 1. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её
наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.
Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10.
Рассмотрим следующие случаи:
1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра).
2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10
(первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр).
3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна
9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2).
Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется звонить
не более чем в три места.
Задача 2. Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они
различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2
цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.
Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех
возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов,
благоприятствующих осуществлению события.
m = 1, так как только одно число правильное. Подсчитаем количество всех возможных
двузначных чисел с разными цифрами, меньшее 30, которые может набрать абонент:
10 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 23 24 25 26 27 28 29
Таких чисел n = 18 штук. Тогда искомая вероятность P=1/18.
Ответ: 1/18.
Задача 3. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти
вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все
ящики не пустые.
Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число
исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных
исходов.
m = 6, так как есть только три случая расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы во всех
ящиках оказалось разное число шаров: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2).
Всего случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы ни один ящик не остался
пустым равно
Тогда искомая вероятность P=6/10.
Задача 4. На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова
вероятность, что они не будут бить одна другую?
Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число
исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных
исходов.
Число всех способов расставить ладьи равно n = 64*63 (первую ладью ставим на любую
из 64 клеток, а вторую - на любую из оставшихся 63 клеток). Число способов расставить
ладьи так, что они не будут бить одна другую равно m = 64*(64-15) = 64*49.
Тогда искомая вероятность P=(64*49)/(64*63)=49/63.
Ответ: 49/63.
Задача 5. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность
того, что ровно одна папка останется пустой?
Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число
исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных
исходов.
Подсчитаем
- число различных способов разложить 6 рукописей по
5 папкам, причем в каждой папке может быть любое количество рукописей. Теперь
подсчитаем
- число способов разложить 6 рукописей по 4 папкам,
причем в каждой папке должно быть не менее одной рукописи. При этом нужно
полученное число сочетаний умножить на 5, так как папку, которая останется пустой,
можно выбрать 5 способами. Искомая вероятность Р=50/210=5/21.
Ответ: 5/21.
Задача 6. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и
тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что
число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.
Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех
возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов,
благоприятствующих осуществлению события.
Случай а). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 4, так как всего на 4 карточках
написаны четные числа (2, 4, 6, 8). Тогда P=4/9.
Случай б). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 0, так как на всех карточках
написаны однозначные числа. Тогда P=0/9=0.
Ответ: 4/9, 0.
Задача 7. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится
трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания
номера слева направо, но не обязательно рядом.
Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех
возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов,
благоприятствующих осуществлению события (Тома стоят в порядке возвозрастания
номера слева направо, но не обязательно рядом).
n = 40*39*38, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое
из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест.
Тогда искомая вероятность
Ответ: 1/6.
Задача 8. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв:
"а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на
четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта".
Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число
исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных
исходов.
n = 5*4*3*2 = 120 способов, так как первую карточку (букву) можно вытянуть (выбрать) 5
способами (так как всего карточек пять), вторую - 4 (осталось к этому шагу четыре),
третью - 3 и четвертую - 2 способами. m = 1, так как искомая последовательность карточек
"ю", потом "р", потом "т", потом "а" только одна.
Получаем P = 1/120.
Ответ: 1/120.
Задача 9. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность
того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?
Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех
возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов,
благоприятствующих осуществлению события.
Число различных перестановок из букв А, К, К, Л, У равно
, из
них только одна соответствует слову "кукла" (m=1), поэтому по классическому
определению вероятности вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"
равна P=1/60.
Ответ: 1/60.
Задачи на геометрическое определение вероятности
Задача 1. В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того,
что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?
Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна
отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника
(в которой точка ставится), т.е.
Ответ: 0,353
Задача 2. Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться
в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут?
Задачи на формулу Бернулли
Задача 1. Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m
аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных.
n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что
аккумулятор выйдет из строя), n = 5 (число испытаний), k = 5-3 =2 (число «успехов»,
неисправных аккумуляторов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того,
что в n испытаниях событие произойдет k раз).
Получаем
Ответ: 0,0394.
Задача 2. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается
за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность
того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p = 0,2 (вероятность того, что элемент
откажет), n = 5 (число испытаний, то есть число элементов), k (число «успехов»,
отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для
n элементов отказ произойдет в k элементах):
Получаем
а)
пяти.
- вероятность того, что откажут ровно три элемента из
б)
- вероятность того, что
откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять).
в)
- вероятность того, что
откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события - ни
один элемент не откажет).
Ответ: 0,0512; 0,00672; 0,67232.
Задача 3. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной
партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?
Решение: Наивероятнейшее число побед k определяется из формулы
Здесь p =1/3 (вероятность победы), q = 2/3 (вероятность проигрыша), n - неизвестное
число партий. Подставляя данные значения, получаем:
Получаем, что n = 15, 16 или 17.
Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей
Задача 1. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения.
Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9,
в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:
а) только одно отделение получит газеты вовремя;
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
Решение: Введем события
А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),
А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),
А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),
по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.
Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя).
Событие Х произойдет, если
или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,
или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,
или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.
Таким образом,
Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем
Найдем вероятность события У=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием).
Введем противоположное событие
Вероятность этого события
Тогда вероятность события У:
=(все отделения получат газеты вовремя).
Ответ: 0,032; 0,316.
Задача 2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для
первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии
сработает только один сигнализатор.
Решение: Введем независимые события:
А1 = (при аварии сработает первый сигнализатор);
А2 = (при аварии сработает второй сигнализатор);
по условию задачи P(A1)=0,95, P(A2)=0,9.
Введем событие Х = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие
произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или
если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть
Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна
Ответ: 0,14.
Задача 3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна
0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Решение: Пусть p- вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие X
= {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие
= {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.
Вероятность события
равна
, тогда вероятность события Х равна
. По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение
относительно p
Ответ: 0,8.
Формула Байеса.
Пример. Объемы продукции, изготавливаемой двумя рабочими, относятся как 3:2.
Вероятности брака для деталей первого и второго рабочих равны соответственно 0,02 и
0,01. Найти вероятность того, что деталь, извлеченная наудачу из не рассортированной
продукции,
а) является бракованной;
б) изготовлена первым рабочим, если известно, что она бракована.
Решение. а) Введем в рассмотрение события: А 1 – деталь изготовлена первым
рабочим, А 2 – деталь изготовлена вторым рабочим, F – деталь бракована. Из условия
следует, что всю продукцию можно предполагать состоящей из 5-ти частей (3+2=5),
причем на долю первого рабочего приходится 3 части из этих 5-ти, на долю второго – 2
части. Тогда, по классическому определению вероятности, Р ( А 1 )  3 5 , Р ( А 2 )  2 5 . По
условию, Р А 1 (F )  0,02, Р А 2 (F )  0,01, и по формуле полной вероятности получаем
P (F )  P ( A 1 )PA 1 (F )  P ( A 2 )PA 2 (F ) 
б) PF ( A 1 ) 
Р ( А 1 )PA 1 (F )
P (F )

3
2
 0,02   0,01  0,016. ,
5
5
3 5  0,02
 0,75.
0,016
Задачи на теоремы Лапласа (Муавра-Лапласа)
Теоретическая справка
Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из
которых некоторое событие А наступает с вероятностью p , причем число испытаний
достаточно велико ( n  100) .Тогда вероятность того, что число m наступлений
события А в этих n испытаниях будет заключено в границах от m 1 до m 2 , вычисляется
по следующей приближенной формуле
 m  np  
1   m  np 
 ,
P ( m 1  m  m 2 )    2
  1





2  npq 
 npq  


2
x 2 2
где ( x ) 
e
dx – функция Лапласа, q  1  p .

2 0
Пример. Каждая из 1000 деталей партии стандартна с вероятностью 0,9. Найти
вероятность того, что число стандартных деталей этой партии будет не меньше 880.
Решение. Число n повторных независимых испытаний в данном случае равно
числу деталей в партии (каждая из деталей партии будет проверяться на предмет качества,
а в этой проверке и состоит испытание). n  1000  100, поэтому интегральная теорема
Муавра-Лапласа применима; неравенство ( m  880) , где m – число стандартных деталей
в партии, здесь равносильно (880  m  1000), поэтому m 1  880, m 2  1000; p  0,9,
q  1  p  1  0,9  0,1; np  1000  0,9  900; npq  1000  0,9  0,1  90. Тогда
 880  900  
1   1000  900 
  
  
P (880  m  1000)   
2 
90
90



1
10,5   2,11.
2
По свойствам функции Лапласа (см. ниже), (10,5)  1 , ( 2,11)  (2,11). По таблице
функции Лапласа (см. учебник Н.Ш. Кремера, с. 555) находим (2,11)  0,9651. Тогда
окончательно имеем
1
1
P (880  m  1000)  (1  (2,11))  (1  0,9651)  0,9826.
2
2

1
y
y  (x )
x
Свойства функции Лапласа
1. Функция Лапласа нечетна:
( x )  ( x ).
2. Функция Лапласа – монотонно
возрастающая;
3. lim ( x )  1, lim ( x )  1,
n  
y  (x ) ;
n  
т.е. прямые y  1 и
-1
y  1 являются
горизонтальными
асимптотами (правой и левой
Рис. 2
соответственно) графика
на практике полагаем ( x )  1 при x  4.
График функции Лапласа схематично изображен на рис. 2.
Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа
Пусть выполнены условия применимости интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Следствие 1. Вероятность того, что число m наступлений события А в n
повторных независимых испытаниях будет отличаться от величины np не более чем на
 (по абсолютной величине), вычисляется по формуле
  
.
P  m  np     
 npq 


Следствие 2. Вероятность того, что доля m n наступлений события А в n
повторных независимых испытаниях будет отличаться от вероятности p наступления
этого события в одном испытании не более чем на  (по абсолютной величине),
вычисляется по формуле
 n 
m

.
P 
 p     


n


 pq 
Задача 1. В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в
вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных
ламп будет между m1 и m2. Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди n и
его соответствующую вероятность.
n = 6400, m1 = 3120, m2 = 3200.
Решение: Используем интегральную теорему Лапласа:
, где n = 6400, p = 0.5, q = 1-p = 0.5, m1 =3120, m2 = 3200, Ф - функция Лапласа (значения
берутся из таблиц). Подставляем:
Найдем наивероятнейшее число включенных ламп среди n из неравенства:
Отсюда m0=3200. Найдем вероятность по локальной теореме Лапласа:
Ответ: 0,4772; 3200; 0,0099752..
Задача 2. Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих
независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти
вероятность, что за смену откажут m элементов.
р= 0,024, m=6.
Решение: Используем локальную теорему Лапласа:
Здесь n=1000, k =6, p=0,024, q= 1-p = 0,976, значения функции берутся из таблицы.
Подставляем:
Ответ: 0,000084
Задача 3. Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90
до 110 раз.
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами n = 200, p = q = 1/2 (вероятность
выпадения орла/решки). Так как число n достаточно велико, будем использовать
интегральную теорему Лапласа для подсчета вероятности:
где m1 =90, m2 = 110, Ф - функция Лапласа
(значения берутся из таблиц). Подставляем:
Ответ: 0,8414.
Пример. Подлежат исследованию 1000 проб руды. Вероятность промышленного
содержания металла в каждой пробе равна 0,15. Найти границы, в которых с вероятностью
0,9973 будет заключено число проб руды с промышленным содержанием металла.
Решение. Искомые границы для числа m проб руды с промышленным
содержанием металла (из данных 1000 проб) определяются величинами m 1 и m 2 (см.
интегральную теорему Муавра-Лапласа). Будем предполагать, что искомые границы
симметричны относительно величины np , где n  1000 и p  0,15 . Тогда m 1  np   ,
m 2  np   для некоторого
  0 , и, тем самым, единственной определяющей
неизвестной данной задачи становится величина  . Из следствия 1 и условия задачи
следует, что
  
  0,9973.

 npq 


По таблице значений функции Лапласа найдем такое t , что (t )  0,9973 : t  3.
Тогда  npq  3 и   3  npq  3  1000  0,15  0,85  33,8748  34 . Окончательно
np    1000  0,15  34  150  34  116,
получаем
искомые
границы:
np    150  34  184, т.е. с вероятностью 0,9973 число проб руды с промышленным
содержанием металла (из данных 1000 проб) попадет в интервал (116; 184).
Пример. В лесхозе приживается в среднем 80 саженцев. Сколько саженцев надо
посадить, чтобы с вероятностью 0,9981 можно было утверждать, что доля прижившихся
саженцев будет находиться в границах от 0,75 до 0,85.
Решение. p  80 100  0,8 – вероятность прижиться для каждого из саженцев,
q  1  p  1  0,8  0,2 . Пусть n – необходимое число саженцев (искомая величина данной
задачи) и m – число прижившихся из них, тогда m n – доля прижившихся саженцев. По
условию,
m


P  0,75 
 0,85   0,9981.
n


Данные границы для доли m n симметричны относительно величины p  0,8 , поэтому
неравенство 0,75  m n  0,85 равносильно неравенству m n  0,8  0,05.
Следовательно, вероятность 0,9981 – это та самая вероятность, которая вычисляется по
следствию 2 из интегральной теоремы Муавра-Лапласа при   0,05 , p  0,8, q  0,2 :
 0,05 n 
m

  0,9981.
P 
 0,8  0,05   


n
0
,
8

0
,
2




По таблице функции Лапласа найдем такое значение t , что (t )  0,9981. Это
значение: t  3,1. Тогда
0,05 n
0,8  0,2
 3,1,
n  3,1  0,8  0,2 0,05 и
3,12  0,8  0,2
 615,04  616.
0,05 2
Заметим, что значение n округлено до целых в большую сторону, чтобы
обеспечить, как говорят, “запас по вероятности”. Кроме того, видно, что полученное
значение n достаточно велико (более 100), поэтому применение интегральной теоремы
Муавра-Лапласа для решения данной задачи было возможно.
n
Случайные процессы
Задача 1. Найти
случайная величина с характеристиками
, если
, где
-
.
Решение см на раб столе (файл в формате pdf)
Задача 2. На вход интегрирующего устройства поступает случайный процесс
характеристиками:
Найти
, если
Решение см на раб столе (файл в формате pdf)
.
с