Градусное и радианное измерение углов

Градусное и радианное измерение углов
Величины дуг и углов измеряются в градусах.
1
360
Градусом называется величина центрального угла, который опирается на
часть окружности (обозначается 1°).
Градусная мера окружности равна 360°.
Если рассмотреть прямоугольные треугольники с заданным углом, то
отношение противолежащего катета к гипотенузе будет постоянной величиной.
Эта величина называется синусом угла и равна sin 𝛼 =
𝐵𝐶
𝐴𝐵
.
Аналогично вводится понятие косинуса, тангенса и котангенса угла:
𝐴𝐶
𝐵𝐶
𝐴𝐶
sin 𝛼
cos 𝛼 = , tg 𝛼 = , ctg 𝛼 = . Можно также отметить, что tg 𝛼 =
,
ctg 𝛼 =
𝐴𝐵
cos 𝛼
sin 𝛼
𝐴𝐶
𝐶𝐵
cos 𝛼
.
Эти
функции
называются
тригонометрическими.
Слово
«тригонометрия» впервые встречается в заглавии книги немецкого теолога и
математика Питискуса (1505 г.) и происходит от греческих слов  треугольник и  - измерять. Иными словами, тригонометрия – наука об
измерении треугольников.
Поскольку второй угол треугольника равен 90°–α, то можно вывести
следующие формулы:
sin(900 − 𝛼) = cos 𝛼,
ctg(900 − 𝛼) = tg 𝛼.
cos (900 − 𝛼) = sin 𝛼,
tg(900 − 𝛼) = ctg 𝛼,
При решении задач часто используются следующая таблица:
0°
30°
45°
60°
90°
sin 𝛼
0
1
2
√2
2
√3
2
1
cos 𝛼
1
√3
2
√2
2
1
2
0
tg 𝛼
0
√3
3
1
√3
-
ctg 𝛼
-
√3
1
√3
3
0
Угол также рассматривается как мера поворота.
Если поворот совершен против хода часовой стрелки, то угол поворота
принято считать положительным.
Если поворот совершен по ходу часовой стрелки, то угол поворота
считается отрицательным.
Полный оборот луч делает через 360о.
Любой угол поворота можно представить в виде 𝛼 = 3600 ∙ 𝑛 + 𝜑, где
nZ и 0 ≤ 𝜑 < 3600 .
Если рассмотреть окружность единичного радиуса, то можно отметить
что углы от 0о до 90о лежат в первой четверти, от 90о до 180о – во второй, от
180о до 270о – в третьей, от 270о до 360о – в четвертой.
Из геометрии известно, что отношение длины дуги l, на которую
опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого
радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и
𝑙
мерой данного угла: 𝛼 = .
𝑅
Такая мера называется радианной мерой угла.
Радианом называется величина угла, который опирается на дугу
окружности в один радиус (обозначается 1 рад).
Так как длина всей окружности радиуса R равна 2πR, то всей окружности
2𝜋𝑅
соответствует угол 𝛼 =
= 2𝜋 радиан. π=3,14159265358…
𝑅
Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует
3600
2𝜋
=
1800
𝜋
1800
градусов. Отсюда 1 рад=
𝜋
57о17'45''. И наоборот, 1о=
𝜋
1800
.
Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного
измерения к радианному: 𝛼 =
градусному: 𝛼 0 =
1800 𝛼
𝜋
𝜋𝛼 0
1800
рад и от радианного измерения к
.
Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например,
180°=π рад пишут просто 180°=π.
Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу
перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в
радианную и обратно.
Угол, градусы
Угол, радианы
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
π
3𝜋
2
2π
Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне задолго до
нашей эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце совершает за 180
«шагов», и, значит, один шаг равен 1/180 развернутого угла. В Вавилоне была
принята шестидесятеричная система счисления, т.е. фактически числа
записывались в виде суммы степеней числа 60. Естественно поэтому, что для
введения более мелких единиц измерения углов один «шаг» последовательно
делился на 60 частей.
Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и
ее сохранили математики Древней Греции и Рима. Слово «градус» происходит
от латинского gradus (шаг, ступень). В переводе с латинского minutus означает
«уменьшенный». Secunda переводится как «вторая».
Птолемей (II в. н. э.) количество градусов обозначал кружком, число
минут – штрихом, а секунд – двумя штрихами.
Другая единица измерения углов – радиан – впервые появилась в 1873 г.
в Англии. Сам термин происходит от латинского radius (спица, луч). Связано
это с определением угла в один радиан как центрального угла, длина дуги
которого равна радиусу окружности.
Примеры решения задач
Пример 1. В какой четверти лежит угол 1935о?
Решение. 1935о=360о5+135о. Угол в 135о лежит во второй четверти,
следовательно, угол в 1935о также лежит во второй четверти.
Ответ: II четверть
Пример 2. Определите радианную меру угла, если его градусная мера
равна 225°.
Решение. 𝛼 =
𝜋2250
=
1800
5𝜋 5𝜋
4 4
Пример 3. Выразите в градусах угол 2 рад.
1800 3600
Решение. 2 рад = 2
𝜋

3,14
115о.
Ответ: 115о
𝜋
Пример 4. Выразите в градусах угол
Решение.
𝜋
12
=
1800
12
.
12
= 15о.
Ответ: 15о
Упражнения
1. Сравните острые углы α и β, если:
1) sin 𝛼 =
3) sin 𝛼 =
5) cos 𝛼 =
7) ctg 𝛼 =
9) tg 𝛼 =
1
4
2
3
1
2
3
7
2
5
и sin 𝛽 =
и sin 𝛽 =
3
4
1
и tg 𝛽 =
2
3
4) tg 𝛼 =
3
и cos 𝛽 =
и ctg 𝛽 =
2) ctg 𝛼 =
2
5
2
3
3
5
3
и ctg 𝛽 =
и tg 𝛽 =
5
2
3
2
3
1
1
2
2
6) cos 𝛼 = − и cos 𝛽 =
8) sin 𝛼 =
1
2
10) cos 𝛼 =
и sin 𝛽 = −
2
3
и cos 𝛽 =
1
2
3
4
2. Найдите значение выражения:
1)
2sin60°+3sin45°+10cos60°- 2)
4cos45° - tg60°
4tg30° - 5cos30°+6sin60° - 3tg60°+tg45°
3) 6ctg60° - 2sin60°+12sin60°cos60°
3
4) ctg245°+cos60° – sin260°+ ctg260°
4
5) 2sin30°+6cos60° - 4ctg45°+7tg30°ctg30° 6) tg230° – tg45° – cos230°+2sin60°
7)
3
cos60° - tg245°+ tg230°+4cos230° - sin30°
4
8) 1 – sin30°+sin230°+sin330°
9)
cos230°+2sin30° - ctg245°+ctg230°+cos60°
10) 1 – tg30°+tg230° – tg330°
3. Упростите выражение:
1) cos(900 − 𝛼) − sin 𝛼 +
4)
7)
sin(900 −𝛼)
2)
3)
5)
6)
8)
9)
cos 𝛼
sin(900 −𝛼) cos(900 −𝛼)
ctg(900 − 𝛼)
cos(900 −𝛼) ctg(900 −𝛼)
tg(900 − 𝛼)
10) sin(900 − 𝛼) − cos 𝛼 +
cos(900 −𝛼)
sin 𝛼
4. В какой четверти лежит угол, равный:
1) 292о
2) - 172о
3) - 1201о
4) – 1854о
5) 1748о
6) 306о
7) – 206о
8) 3521о
9) 1792о
10) – 268о
5. Представьте угол в виде 3600 ∙ 𝑛 + 𝜑, где nZ и 0 ≤ 𝜑 < 3600 :
1) 462о
2) – 849о
3) 3524о
4) – 1341о
5) 564о
6) 693о
7) – 784о
8) 2461о
9) – 2889о
10) – 1120о
6. Выразите в градусах угол:
1)
2𝜋
2) −
3
6) −
5𝜋
6
7)
3𝜋
4
5𝜋
9
3)
7𝜋
4)
12
8) −
21𝜋
20
9)
5𝜋
4
5𝜋
12
5) −
3𝜋
4
𝜋
10) − ;
8
7. Выразите в градусах угол:
1) 1,2
2) 3
3) - 1,3
4) 2,5
5) – 2,7
6) - 2,4
7) – 5,2 
8) 6
9) – 3,4
10) 7
8. Выразите в градусах угол:
1) 0,2 рад
2) 3,1 рад
3) 5 рад
4) - 9,2 рад
5) 10 рад
6) 2,7 рад
7) – 1,3 рад
8) – 4,2 рад
9) 6 рад
10) – 0,4 рад
9. Выразите в радианах угол:
1) 215о
2) 240о
3) 150о
4) - 105о
5) 540о
6) 175о
7) – 135о
8) -270о
9) 120о
10) – 405о
10. В какой четверти оканчивается угол, если его радианная мера равна:
1) 10,5
6) −
19𝜋
3
2)
46𝜋
3) 5,2
3
7) – 7,9
8) −
4) −
24𝜋
51𝜋
7
9) 3,14
5
5) – 4,2
10)
7𝜋
8
Дополнительные задания
1. Решите задачу:
1) Окружность морского компаса делится на 32 конгруэнтные части,
называемые румбами. Выразите один румб в градусной и радианной мерах.
2) Колесо вращается с угловой скоростью
за 15 с?
𝜋
6
рад/с. На какой угол оно повернется
3) Колесо вращается с угловой скоростью 4π рад/с. На какой угол оно
повернется за 20 с?
4) При полном обороте зубчатого колеса другое колесо совершает два оборота в
противоположном направлении. На какой угол повернется второе колесо, если
первое повернется на 320°?
5) Найдите длину дуги окружности радиуса R=12 см, соответствующей
𝜋
центральному углу в рад.
12
6) Сколько градусов содержит дуга, если ее длина равна 6 см, а длина радиуса
равна 10 см?
7) Колесо вращается с угловой скоростью 4π рад/с. На какой угол оно
повернется за 3 мин 50 с?
8) Колесо вращается с угловой скоростью
за 1 мин?
𝜋
6
рад/с. На какой угол оно повернется
9) Найдите длину дуги окружности радиуса R=6 см, соответствующей
𝜋
центральному углу в рад.
6
10) Зубчатое колесо, имеющее 56 зубцов. Повернулось на 14 зубцов против
часовой стрелки. Выразите в радианах угол поворота колеса.
Градусная и радианная мера дуг и углов
Вариант 1
Вариант 2
1. Запишите значение
угла в промежутке от 0О
до 180О
3617О
765О
2. В какой четверти
оканчивается угол
370О
- 150О
3. Переведите в радианы
45О
60О
4. Переведите в радианы
- 2315О
3630О
5. Найдите значение
выражения и уменьшите
полученное значение
угла
120О+245О – 15О
325О - 145О+75О
6. Переведите в градусы
7. Переведите в градусы
8. Найдите значение
выражения
9. Переведите в градусы
10. Найдите значение
выражения
3𝜋
4
𝜋+
−
5𝜋
6
𝜋−
𝜋
6
3𝜋
4
2𝜋 𝜋 5𝜋
− +
3
4
6
𝜋 𝜋 𝜋
+ −
3 4 6
0,2 рад
- 0,5 рад
1,2+60О –
3𝜋
5𝜋
4
6
– 2,3+120О