РПД Теория вероятностей и математическая статистика

1. Рабочая программа
1.1. Цели освоения дисциплины
Ознакомление с теоретическими основами описания случайных событий и
случайных величин, а также методами обработки экспериментальных данных. Теория вероятностей и математическая статистика дают необходимый математический
аппарат для изложения экономических дисциплин.
1.2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»
входит в вариативную часть математического и естественнонаучного цикл. Требования к входным знаниям и умениям студента – знание элементарной математики:
алгебры, элементарных функций. Данная дисциплина является предшествующей
для следующих дисциплин: «Статистика», «Институциональная экономика», «Экономико-математическое моделирование», «Методы принятия управленческих решений», «Эконометрика».
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля)
В результате изучения данной дисциплины студент должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
- знанием базовых ценностей мировой культуры и готовностью опираться на
них в своем личностном и общекультурном развитии (ОК-1).
В результате изучения данной дисциплины студент должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
организационно-управленческая деятельность:
знанием основных этапов эволюции управленческой мысли (ПК-1);
способностью проектировать организационную структуру, осуществлять распределение полномочий и ответственности на основе их делегирования (ПК-2);
готовностью к разработке процедур и методов контроля (ПК-3);
способностью использовать основные теории мотивации, лидерства и власти
для решения управленческих задач (ПК-4);
способностью эффективно организовать групповую работу на основе знания
процессов групповой динамики и принципов формирования команды (ПК-5).
В результате изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика» обучающийся должен:
знать:
– основные понятия и теоремы теории вероятностей и математической статистики;
– основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их параметры;
– числовые характеристики случайных величин и методы их нахождения;
– сущность и условия применения выборочного метода;
– методы обработки результатов статистических наблюдений;
– основы статистической проверки статистических гипотез;
уметь:
– решать типичные задачи с использованием классического определения вероятности и основных теорем теории вероятностей;
– составлять закон распределения дискретной случайной величины, а также
находить ее числовые характеритики;
– находить числовые характеритики непрерывных случайных величин, а также
решать задачи на применение наиболее распространенных законов распределения непрерывных случайных величин (нормального, равномерного, показательного);
– обрабатывать статистические данные с использованием точечных и интервальных оценок;
– формулировать и проверять наиболее типичные виды статистических гипотез;
владеть:
– методами вычисления вероятностных характеристик случайных событий;
– методами описания дискретных и непрерывных случайных величин;
– методами определения параметров законов распределения случайных величин,
а также нахождения их числовых характеристик;
– методами обработки результатов выборочных наблюдений для оценки параметров распределения исследуемых характеристик генеральной совокупности;
– методами статистической проверки статистических гипотез.
1.4. Структура и содержание дисциплины (модуля)
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетных единиц, 72 часа.
Форма контроля – зачет.
Вид учебной работы
Всего
Очное
Заочное
Очно-
часов
отделени
отделение
заочное
е
отделение
3 сем.
Общая трудоемкость
72
4 сем.
4 сем
72
72
72
36
20
22
Лекции (Л)
18
12
12
Практические занятия
18
8
10
36
48
50
36
48
50
Зачет
Зачет 4часа Зачет
дисциплины
Аудиторные занятия
(всего)
В том числе:
(ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы
(ЛР)
Самостоятельная
работа (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические
работы
Реферат
И (или) другие виды
самостоятельной работы
Вид промежуточного
Зачет
3 семестр 2 семестр
контроля (экзамен)
3 семестр
Неделя семестра
№ Раздел дисп/ циплины (моп
дуля)
Семестр
1.4.1. Разделы дисциплин и виды занятий
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
Дневное
Заочное
Очно-заочное
отделение
отделение
отделение
Формы текущего контроля успеваемости и
промежуточ-
2
3
4
5
Случайные
события
Дискретные
случайные
величины
Непрерывные
случайные
величины
Выборочный
метод
Статистическая проверка
статистических гипотез
Практические занятия
Самостоятельные
занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельные
занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельные
занятия
Лекции
1
ной аттестации
Контрольная
работа №1
Контрольная
работа №2
3
1-2
2
2
4
2
1
8
2
2
10
3
3-6
4
4
8
3
2
10
3
2
10
3
7-10
4
4
8
3
2
10
3
2
10
Контрольная
работа №3
3
11-14
4
4
8
2
2
10
2
2
10
3
15-18
4
4
8
2
1
10
2
2
10
Контрольная
работа №4
Контрольная
работа №5
1.4.2. Содержание лекционных занятий
№
п/п
1
Наименование раздела дисциплины
(модуля)
Случайные события
Содержание раздела
Основные понятия теории вероятностей. Классическое,
геометрическое и статистическое определение вероят-
2
3
4
5
ности. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них. Формула Бейеса.
Дискретные случай- Понятие дискретной случайной величины и ее закона
ные величины
распределения. Формула Бернулли и биномиальный закон распределения дискретной случайной величины.
Закон Пуассона. Числовые характеристики дискретных
случайных величин. Функция распределения.
Непрерывные слуПонятие непрерывной случайной величины. Интечайные величины
гральная и дифференциальная функции распределения
непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Равномерное, показательное и нормальное распределения непрерывных случайных величин, их особенности и
области применения.
Выборочный метод Цели и задачи математической статистики.
Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативность выборки. Формы представления результатов
выборочных наблюдений. Точечные оценки и их свойства. Статистические оценки генеральной средней, генеральной дисперсии и генерального среднего квадратического отклонения.
Статистическая
Понятие статистической гипотезы. Статистический
проверка статисти- критерий. Вероятности ошибок первого и второго рода,
ческих гипотез
доверительная вероятность и уровень значимости. Проверка гипотез о равенстве дисперсий, математических
ожиданий двух и нескольких генеральных совокупностей. Общий алгоритм проверки гипотез о виде закона
распределения. Проверка гипотез о нормальном распределении.
1.4.3. Содержание практических занятий
Наименова- Компе- ОбразовательСодержание занятий
ние раздела тенции ная технолодисциплин
гия
(модуля)
Решение задач на классическое определеСлучайные ОК - 1 Практикум
события
ПК – 1,
ние вероятности, основные теоремы теоПК – 2,
рии вероятностей и их следствия.
Решение задач на составление законов
Дискретные ОК - 1 Практикум
случайные
ПК – 1,
распределения дискретных случайных вевеличины
ПК – 2,
личин и определение их числовых харарктеристик. Нахождение функции распределения дискретных случайных величин.
Непрерывные случайные величины
ОК - 1 Практикум
ПК – 1,
ПК – 2,
Выборочный метод
ОК - 1 Практикум
ПК – 4,
ПК – 5
Статистическая проверка статистических
гипотез
ОК - 1 Практикум
ПК – 1,
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Решение задач на применение биномиального закона и закона Пуассона.
Решение задач на нахождение дифференциальной и интегральной функции распределения непрерывных случайных величин, а также их числовых характеристик. Изучение особенностей применения
равномерного, показательного и нормального распределений и вычисления их параметров.
Построение полигонов и гистограмм.
Решение задач на вычисление точечных
оценок генеральной средней, генеральной
дисперсии и генерального среднего квадратического отклонения.
Решение задач на проверку гипотез о равенстве дисперсий двух и нескольких генеральных совокупностей, математических ожиданий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону.
Решение задач на проверку гипотез о равномерном, показательном и нормальном
распределении случайных величин.
1.5. Образовательные технологии
В качестве образовательной технологии при проведении практических занятий по всем темам данной дисциплины используется практикум. На каждом практическом занятии студенты под руководством преподавателя и самостоятельно приобретают и закрепляют навыки решения задач и примеров по соответствующей теме.
В ходе решения задачи или примера производится анализ возможных методов решения и выбор наиболее приемлемого, реализация выбранного подхода, а также
оценка достоверности и правильности полученного решения. Особое внимание уделяется отработке наиболее сложных вопросов каждой темы.
1.6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
1.6.1. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Текущий контроль знаний студентов осуществляется с помощью контрольных
работ, выполняемых на практическом занятии по темам 1,2,3,4,5,6,7,8 и индивидуальных самостоятельных работ, выполняемых дома в ходе подготовки к занятию по
«Теории вероятностей и математической статистике», по темам 1,2,3,4,5,6,7,8. Примеры решения задач, подобных входящим в контрольные работы, можно найти в
лекции по соответствующей теме. Образцы контрольных заданий прилагается в
п.7.1.
Тема 1. Случайные события
Контрольная работа № 1
Цель работы: контроль знаний и умений студентов по основным понятиям и
теоремам теории вероятностей, относящимся к случайным событиям.
Тема 2. Дискретные случайные величины
Контрольная работа № 2
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области составления законов распределения дискретных случайных величин, нахождения их числовых характкеристик и функции распределения.
Тема 3. Непрерывные случайные величины
Контрольная работа № 3
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области взаимосвязи
дифференциальной и интегральной функции распределения непрерывных случайных величин, нахождения их числовых характкеристик, а также относительно
наиболее распространенных законов (равномерного, показательного и нормального)
распределения непрерывных случайных величин.
Тема 4. Выборочный метод
По данной теме котрользнаний студентов осуществляется на практических занятиях в виде опроса.
Тема 5. Статистическая проверка статистических гипотез
Контрольная работа № 5
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области проверки гипотез
о виде закона распределения и о параметрах известных законов распределения случайных величин.
1.6.2 Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов должна способствовать укреплению и
углублению знаний студентов, формированию творческого отношения к изучаемой
дисциплине, дополнительному приобретению навыков решения задач.
Самостоятельная работа по дисциплине “Математический анализ” заключается:
- в активной работе на лекциях;
- в активной работе на практических занятиях;
- в углубленном изучении теоретических материалов с использованием конспекта лекций и рекомендуемой литературы. В конце каждой темы приводятся вопросы для самоконтроля знаний студентов;
- в выполнении контрольных работ;
- в выполнении дополнительных заданий по каждой теме. Три задания по
каждой теме (на выбор студента) предоставляются преподавателю. Задания считаются выполненными, если правильно решены все три представленные задачи.
Тема 1. Случайные события
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
1. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100.
Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 7.
2. В урне 2 белых, 7 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том,
что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный шар и при
третьем – синий шар.
3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что число очков,
выпавших на одной кости в два раза больше числа очков, выпавших на другой кости.
4. Для отключения системы достаточно срабатывания одного датчика. С какой вероятностью отключится система при наличии 4 датчиков, вероятности срабатывания которых соответственно равны 0,6; 0,75; 0,85; 0,80?
5. В денежной лотереи выпущено 100 билетов. Разыгрываются один выигрыш
в 1000 рублей, десять выигрыша по 250 рублей, 35 выигрышей по
1 рублю. Найти вероятность того, что при покупке одного билета сумма выигрыша
составит не более 500 рублей.
6. В ящике находятся 9 деталей, 4 из которых окрашены. Наудачу извлечены
5 деталей. Найти вероятность того, что окрашенных деталей среди отобранных будет не менее трех.
7. В ящик, содержащий 2 детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.
8. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных
костей 4 очка появится хотя бы один раз?
9. В двух ящиках находятся детали: в первом – 8 (из них 3 стандартных), во
втором – 12 (из них 5 стандартных). Из первого ящика извлекают деталь и перекладывают ее во второй ящик, а затем из второго ящика извлекают одну деталь. С какой вероятностью деталь, извлеченная из второго ящика, окажется стандартной?
10. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3.
Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.
11. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны: 0,5; 08; 0,9. Найти вероятности того, что формула содержится: а)
только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в)во всех трех справочниках; г) хотя бы в одном справочнике.
Тема 2. Дискретные случайные величины
Для самостоятельной работы по данной теме рекомендуется выполнение следующих дополнительных заданий:
1. Найти функцию распределения и математическое ожидание дискретной
случайной величины X, имеющей распределение:
X
p
-10
0.40
10
0.10
20
0.05
50
0.15
70
0.30
2. Найти функцию распределения и математическое ожидание дискретной
случайной величины X, имеющей распределение:
X
p
–10
0.40
10
0.10
20
0.05
50
0.15
70
0.30
3. Составить закон распределения и найти числовые характеристики случайной величины X – числа попаданий в мишень при четырех выстрелах при условии,
что вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7.
4. Составить биномиальный закон распределения случайной величины X –
числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости, а также найти ее
числовые характеристики.
5. В денежной лотереи выпущено 100 билетов. Разыгрываются один выигрыш
в 1000 рублей, десять выигрыша по 250 рублей, 35 выигрышей по 1 рублю. Найти
закон распределения дискретной случайной величины X – стоимости выигрыша для
владельца
одного лотерейного билета, а также числовые характеристики и функцию распределения данной случайной величины.
6. В семье четверо детей. Составить закон распределения числа мальчиков
среди этих детей, найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения данной случайной величины при условии, что вероятность рождения мальчика равна 0,6.
Тема 3. Непрерывные случайные величины
Для самостоятельной проработки отдельных вопросов данной темы рекомендуется выполнение следующих дополнительных заданий:
1. Дана интегральная функция распределения непрерывной случайной величины X :
при x  0,
0
F (x) =
x2  x
50
1
при
при 0  x  5,
x  5.
Найти дифференциальную функцию распределения и числовые характеристики
непрерывной случайной величины X , а также P (1 <X < 2).
2. Непрерывная случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения вида
f ( x) 
1
e
4 2

( x  3) 2
32
.
Найти интегральную функцию распределения и числовые характеристики случайной величины X, а также P (-2 <X < 0).
3. Случайная величина X задана на всей числовой оси Ox функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg x)/  . Найти вероятность того, что в результате испытания
величина X примет значение, заключенное в интервале (0, 1).
4. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения
F (x) =
x
при 0  x  1,
1
при
x  1.
Найти дифференциальную функцию распределения и числовые характеристики случайной величины X.
5. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией
f ( x)  sin x в интервале (0,  /2); вне этого интервала
распределения
f ( x)  0 . Найти интегральную функцию распределения и математическое ожидание случайной величины X, а также вероятность того, что в результате испытания
величина X примет значение, принадлежащее интервалу (  /3,  /2).
Тема 4. Выборочный метод
Для закрепления навыков в нахождении числовых характеристик выборки
рекомендуется выполнение следующих дополнительных заданий:
1. Построить полигоны частот и относительных частот, а также найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию для приведенного ниже эмпирического
распределения.
xi
-10
5
24
31
40
45
ni
12
8
12
10
13
5
2. Построить гистограммы частот и относительных частот, а также найти выборочное среднее квадратическое отклонение для приведенного ниже эмпирического распределения.
xi  xi 1
0 – 10
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
ni
5
8
12
10
14
11
3. Найти несмещенную оценку генеральной дисперсии для приведенного ниже
эмпирического распределения, а также интервальную оценку неизвестного математического ожидания, если предполагается, что данная выборка взята из генеральной
совокупности, подчиняющейся нормальному закону распределения со средним
квадратическим отклонением, равным 13,2.
xi  xi 1
3 – 10
13 – 20
20 – 27
27 – 34
34 – 41
41 – 48
ni
7
13
20
15
10
5
Тема 5. Статистическая проверка статистических гипотез
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
xi  xi 1
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
ni
9
6
12
17
20
12
11
1
35-40 40-45
статисти
ческую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе
H1 : D( X )  D(Y ) .
2. По пяти независимым выборкам одинакового объема n  17 , извлечен8
5
xi
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
ni
7
9
28
27
30
26
21
25
22
9
5
ным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 87,5; 100, 3; 121,7;129,0; 160,5. При уровне значимости   0,01
проверить гипотезу об однородности генеральных дисперсий, и, в случае ее подтверждения, найти оценку генеральной дисперсии.
3. При уровне значимости   0,05 проверить гипотезы о нормальном распределении случайной величины X , если результаты выборочных наблюдений над
указанной величиной представлены в виде следующей таблицы:
4. При уровне значимости   0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины X , если результаты выборочных наблюдений над
указанной величиной представлены в виде следующей таблицы:
1.6.3. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов должна способствовать укреплению и углублению знаний студентов, формированию творческого отношения к изучаемой дисциплине, дополнительному приобретению навыков решения задач.
Самостоятельная работа по дисциплине “Вероятностей и математическая
статистика” заключается:
- в активной работе на лекциях;
- в активной работе на практических занятиях;
- в углубленном изучении теоретических материалов с использованием конспекта лекций и рекомендуемой литературы. В конце каждой темы приводятся вопросы для самоконтроля знаний студентов;
- в выполнении контрольных работ;
- в выполнении дополнительных заданий по каждой теме. Объем заданий,
предоставляемых студентом на проверку преподавателю, указывается ниже по каждой теме.
1.7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Балдин К. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: Учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев. - 2-е изд. - М.:
Дашков и К, 2010. - 473 с.- ЭБС: http://znanium.com/
2.Теория вероятностей и математическая статистика: [Электронный ресурс]:
Учеб. пособие / В. С. Мхитарян, Е. В. Астафьева, Ю. Н. Миронкина, Л. И. Трошин;
под ред. В. С. Мхитаряна. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Московский финансовопромышленный университет «Синергия», 2013. - (Университетская серия).- ЭБС:
http://znanium.com/
3. Красс М.С. Математика для экономического бакалавриата: Учебник/ М.С.
Красс, Б.П. Чупрынов. - М.: ИНФРА-М, 2011. – 472 с. – (Высшее образование). –
ЭБС: http://znanium.com/
б) дополнительная литература:
1. Шапкин А. С. Задачи с решениями по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию [Электронный ресурс] : Учеб. пособие для бакалавров / А. С. Шапкин, В. А. Шапкин. - 8-е
изд. - М. : Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2013. - 432 с.- ЭБС:
http://znanium.com/
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.
пособие / В.Е. Гмурман. - 12-е изд.; перераб. - М.: Юрайт; Высш. образование, 2009.
- 479 с. - (Основы наук)
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие / В.Е. Гмурман. - 11-е изд.; перераб. - М.:
Юрайт; Высш. образование, 2009. - 404 с. - (Основы наук)
1.8. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины (модуля)
Аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения.
2. Перечень вопросов к зачету
Зачет по данной дисциплине проводится в виде теста.
Ниже излагаются основные принципы формирования тестов и рекомендации
по оцениванию знаний студентов.
Тест состоит из 10 заданий, которые, в свою очередь, включают в себя:
а) задания на знание определений основных понятий теории вероятностей и
математической статистики, основных свойств функций распределения и числовых
характеристик случайных величин, а также особенностей обработки результатов
выборочных наблюдений;
б) примеры и задачи по отдельным вопросам (задачи на классическое определение вероятности, на основные теоремы теории вероятностей и следствия из них,
на вычисление характеристик случайных величн, подчиняющихся наиболее известным законам распределения, а также простейшие задачи по обработке статистических данных). Задание считается выполненным правильно, если правильный ответ
подтверждается соответствующим расчетом.
Тест оценивается от 0 до 10 баллов (1 балл студент получает за каждое правильно выполненное задание).
Ниже приводятся 3 примера из 10 заданий тестовой части экзаменационной
работы и оформления их решения.
1. Дайте определение противоположных событий.
Ответ: два события называются противоположными, если они образуют полную группу событий.
2. В урне 6 белых и 5 красных шаров. По одному (не возвращая обратно) из
урны извлекают два шара. Какова вероятность того, что все извлеченные шары окажутся красными.
Решение.
Введем следующие обозначения:
A – событие, состоящее в том, что первый извлеченный шар будет красным;
B – событие, состоящее в том, что второй извлеченный шар будет красным;
AB – событие, состоящее в том, что оба извлеченных шара будет красными.
Используем формулу вероятности произведения зависимых событий
P( AB)  P( A)  PA ( B) ,
где: P( A) – вероятность события A ;
PA (B) – вероятность события A , если предварительно свершилось событие A ;
P ( AB) – вероятность совместного появления событий A и B .
Вероятность P( A) находим по формуле классического определения:
P( A) 
где:
m
,
n
m – первоначальное число красных шаров ( m  5 );
n – первоначальное число всех шаров ( n  11).
P ( A) 
5
.
11
Вероятность PA (B) находим по формуле классического определения:
m
,
n
где: m – число красных шаров, оставшихся после извлечения одного красного шара ( m  4 );
n – число всех шаров, оставшихся после извлечения одного красного шара
( n  10 ).
4
PA ( B )  .
10
5 4
2
 
Следовательно, P ( AB) 
11 10 11 .
2
Ответ:
11 .
P( A) 
3. Непрерывная случайная величина X равномерно распределена в интервале (-2;8). Найти числовые характеристики данной случайной величины.
Решение.
M (X ) 
а) Математическое ожидание
где:
ab
,
2
a  2 , b  8 – границы интервала возможных значений случайной вели-
чины X .
M (X ) 
28
3
2
.
(b  a) 2
б) Дисперсия D( X ) 
,
12
D( X ) 
(8  (2)) 2
 8,33.
12
б) Среднее квадратическое отклонение
 ( X )  D( X ) ,
 ( X )  8,33  2,89.
Ответ: M ( X )  3; D( X )  8,33;  ( X )  2,89.
3. Перечень вопросов к экзамену
Экзамен по данной дисциплине не предусмотрен.
4. Методические рекомендации
по изучению учебной дисциплины для студентов
При изучении темы “Случайные события” необходимо обратить внимание на
основные подходы к определению понятия вероятности и условия их применения, а
также на основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
При изучении темы “Дискретные случайные величины” особое внимание следует обратить на понятие дискретной случайной величины, ее описание спомщью
закона распределения, а также на основные числовые характеристики случайных величин.
При изучении темы “Непрерывные случайные величины ” внимание следует
обратить на отличие непрерывных случайных величин и способов их описания от
дискретных случайных величин, а также на наиболее распространенные законы распределения непрерывных случайных величин и их характерные особенности.
При изучении темы “Выборочный метод” особое внимание следует обратить
на основные цели и задачи математической статистики, методы обеспечения репрезентативности выборки, основные формы представления результатов выборочных
наблюдений, а также на методы расчета оценок параметров распределения в зависимости от объемов и формы представления экспериментальных данных.
При изучении темы “Статистическая проверка статистических гипотез” внимание следует обратить на виды статистических гипотез, разновидности статистических критериев и условия их применения, на достоверность принятия решения, а
также на общий порядок проверки гипотез о виде закона распределения и о параметрах распределения исследуемых случайных величин.
II. Практическая часть
Практическая часть включает в себя одну задачу прикладного характера,
требующую использования знаний по нескольким темам дисциплины, таким как,
нахождение функций распределения, числовых характеристик дискретных и непрерывных случайных величин, обработки результатов выборочных наблюдений, проверка статистических гипотез и т.п.
Практическая часть экзаменационной работы оценивается от 0 до 2 баллов в
зависимости от правильности и полноты решения задачи.
Ниже приводятся примеры заданий практической части экзаменационной работы и оформления их решения.
1. Игральную кость бросают 3 раза. Составить биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X - числа выпадений шестерки при трех
бросаниях игральной кости и найти ее числовые характеристики.
Решение.
а) Составляем закон распределения случайной величины X .
Возможные значения случайной величины X : x1  0 ; x2  1 ; x3  2 ; x4  3 .
Вероятности этих значений находим по формуле Бернулли Pn (k )  Cn  p  q 
k
k
nk
с
учетом того, что число испытаний n  3 , вероятность выпадения шестерки при од-
1
, вероятность выпадения не шестерки при од6
1 5
ном бросании игральной кости q  1   , а k  x1; x2 ; x3 ; x4 .
6 6
ном бросании игральной кости p 
0
3
125 125
1 5
P( X  0)  P3 (0)  C      1  1 

216 216 ;
6 6
0
3
1
2
1 25 75
1 5
P( X  1)  P3 (1)  C      3  

6 36 216 ;
6 6
1
3
 1   5  3  2 1 5 15
P( X  2)  P3 (2)  C     
  
6
6
1

2
36 6 216 ;
   
2
1
2
3
1
P( X  3)  P3 (3)  C  
6
3
3
3
0
1
1
5
1 
   1
216
216 .
6
Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет следующий
вид:
xi
0
1
2
3
pi
125
216
75
216
15
216
1
216
б) Находим числовые характеристики случайной величины.
M ( X )  np ,
Математическое ожидание
1 1
M ( X )  3    0,5.
6 2
.
б) Дисперсия D( X )  npq ,
1 5 5
D( X )  3   
 0,42.
6 6 12
б) Среднее квадратическое отклонение
 ( X )  D( X ) ,
 ( X )  0,42  0,65.
Ответ: M ( X )  0,5; D( X )  0,42;  ( X )  0,65.
2. Найти интегральную функцию распределения непрерывной случайной величины X , а также вероятность P(1,4  X  2,8) , если ее плотность распределения
вероятностей имеет вид
0
f (x) 
x  1,
при
x  1 2 при 1  x  2,
0
x  2.
при
Решение.
а) Находим интегральную функцию распределения F ( X ).
x
Для непрерывной случайной величины F ( x) 
 f ( x)dx .

Из условия задачи видно, что случайная величина X может имеет различную
плотность распределения на разных интервалах. Поэтому рассмотрим следующие
случаи:
1) для всех x  1
F ( x) 
x
x


 f ( x)dx   0dx  0 ;
2) для всех
1 x  2
1
x
x2 x x
x2 x
1 1
1
F ( x)   0dx   ( x  1 2)dx  (  )  (  )  (  )  ( x 2  x) ;
2 2 1
2 2
2 2
2

1
x2
3) для всех
1
2
x
x 2 x 2 22 2
1 1
F ( x)   0dx   ( x  1 2)dx   0dx  (  )  (  )  (  )  1 .
2 2 1
2 2
2 2

1
2
Следовательно,
при
0
x  1,
1 2
( x  x)
2
F (x) 
при
1
при 1  x  2,
x  2.
б) Находим вероятность P(1,4  X  2,8) .
Использум формулу P(a  X  b)  F (b)  F (a) .
В условиях задачи a  1,4 и b  2,8 следовательно,
1
P(1,4  X  2,8)  F (2,8)  F (1,4)  1  (1,4 2  1,4)  0,72 .
2
Ответ:
при
0
x  1,
1 2
( x  x)
2
F (x) 
при
1
при 1  x  2,
x  2.
P(1,4  X  2,8)  0,72 .
3. Найти числовые характеристики выборки и эмпирическую функцию распределения случайной величины X , если результаты выборочных наблюдений
представлены в виде:
xi
2
10
20
25
ni
3
6
9
7
Решение.
1. Находим объем выборки n  3  6  9  7  25 .
k
_
2. По формуле x в 
n x
i i
i 1
n
вычисляем выборочную среднюю
_
xв 
3  2  6 10  9  20  7  25
 16,84 .
25
k
3. По формулам Dв 
n
_
 ni ( xi  x в ) 2
i 1
n
2
и S (X ) 
 (x
i 1
i
_
 xв )2
n 1
вычисляем
выборочную и исправленную выборочную дисперсии соответственно:
3(2  16,84) 2  6(10  16,84) 2  9(20  16,84) 2  7(25  16,84) 2
Dв 

25
1002,34

 40,09 ;
25
3(2  16,84) 2  6(10  16,84) 2  9(20  16,84) 2  7(25  16,84) 2
2
S (X ) 

24

1002,34
 41,76 .
24
4. По формулам  в  Dв и S ( X )  S 2 ( X ) вычисляем выборочное и исправленное выборочное средние квадратические отклонения соответственно:
 в  40,09  6,33 :
S ( X )  41,76  6,46 .
5. Эмпирическую функцию распределения случайной величины X находим
nx
*
F
(
x
)

n
x n
по формуле
n , где x – число вариант, меньших ; – объем выборки.
а) при x  2 :
x1  2 представляет собой наименьшее значение наблюдаемой величины,
*
следовательно, F ( x)  0 для всех x  2 .
б) при 2  x  10 :
Для любого x , принадлежащего данному интервалу, nx  3 , следовательно,
F * ( x) 
3
 0,12 .
25
в) при 10  x  20 :
Для любого x , принадлежащего данному интервалу, nx  9 , следовательно,
9
F * ( x) 
 0,36 .
25
г) при 20  x  25 :
Для любого x , принадлежащего данному интервалу, nx  18 , следовательно,
18
F * ( x) 
 0,72 .
25
д) при x  25 :
Для любого
F * ( x) 
x , принадлежащего данному интервалу, nx 25 , следовательно,
25
 1.
25
В итоге получаем следующее выражение эмпирической функции распределения:
F ( x) 
*
0
0,12
0,36
0,72
1
при
при
при
при
при
x  2;
2  x  10 ;
10  x  20 ;
20  x  25 ;
x  25 .
_
2
Ответ: x в  16,84 ; Dв  40,09 ; S ( X )  41,76 ;  ( X )  6,33 ; S ( X )  6,46 ;
F ( x) 
*
0
0,12
0,36
0,72
1
при
при
при
при
при
x  2;
2  x  10 ;
10  x  20 ;
20  x  25 ;
x  25 .
III. Общетеоретическая часть
Общетеоретическая часть экзаменационной работы включает в себя один
теоретический вопрос из предлагаемого ниже перечня.
Общетеоретическая часть оценивается от 0 до 3 баллов в зависимости от правильности и полноты изложения.
Перечень теоретических вопросов
1. Основные понятия теории вероятностей.
2. Классическое определение вероятности.
3. Геометрическое и статистическое определения вероятности.
4. Вероятность суммы и произведения событий.
5. Следствия из теорем сложения и умножения вероятностей.
6. Формула Бейеса.
7. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
8. Биномиальный закон и закон Пуассона.
9. Функция распределния дискретной случайной величины.
10. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
11. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.
12. Интеральная функция распределния непрерывной случайной величины.
13. Дифференциальная функция распределния непрерывной случайной величины.
14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
15. Равномерное распределение непрерывной случайной величины.
16. Показательное распределение непрерывной случайной величины.
17. Нормальное распределение непрерывной случайной величины.
18. Основные понятия выборочного метода.
19. Точечные оценки.
20. Числовые характеристики выборки.
21. Метод произведений вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии.
22. Метод сумм вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии.
23. Основные понятия статистической проверки статистических гипотез.
24. Статистические критерии.
25. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.
26. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нескольких нормальных генеральных совокупностей.
27. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных
генеральных совокупностей.
28. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.
29. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.
30. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.