Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей

Практикумы
по теме:
Элементы
комбинаторики,
статистики,
теории вероятностей
Разработано учителем
математики школы №1
г. Радужный
Комовой И.П.
2003
Практикум по теме «Комбинаторика».
Ī вариант
ĪĪ вариант
1. Вычислите
6
а) C8
 P2 ;
7
а) C10
P20 A 520
б) 15  5 ;
A 20 C 20
3
2
2
1
в) C5  C 4  C 4  C3 ;
 P3 ;
4
P14 A14
б) 10  4 ;
A14 C14
4
3
3
2
в) C 6  C5  C5  C 4 ;
2. Решите задачу.
Сколькими способами из 7 членов
президиума собрания можно выбрать
председателя , его заместителя и секретаря?
Сколькими способами из 9 учебных
предметов можно составить расписание
учебного дня из 6 различных уроков?
3. Решите задачу.
Сколькими способами из 10 игроков
волейбольной команды можно составить
стартовую шестерку?
Сколькими способами из 25 учеников
класса можно выбрать четырех для
участия в праздничном концерте?
4. Решите уравнение.
12  C xx 13  55  A2x 1
A5x  336  Cxx52
5. Решите задачу.
Сколько диагоналей имеет выпуклый
семиугольник ?
6. Решите задачу.
Сколько различных пятизначных
чисел можно составить из цифр 6,7,8,9,0
(цифры в одном числе не должны
повторяться)?
7. Решите задачу.
Сколько различных перестановок
можно образовать из букв слова
«комбинаторика» ?
Сколько диагоналей имеет выпуклый
восьмиугольник ?
Сколько различных трехзначных чисел
можно составить из цифр 0,1,2,3,4, если
цифры в одном числе не повторяются?
Сколько различных перестановок
можно образовать из букв слова
«абракадабра»?
Решение задач по теме «Комбинаторика».
I вариант.
II вариант.
№1
8!
 2! 7  8  56 ;
6!2!
20!
5
P20 A 20 20!5! 15!
 5 


20
!
20
!
A15
C
20
б) 20
5!15!
5!15!
 5!
 0;
15!
5! 4!
C 35  C 24  C 24  C13 


3!2! 2!2!
4! 3! 4  5  3  4 3  4  3
в) 




2!2! 1!2!
22
2
 60  18  78;
6
а) C 8
 P2 
 P3 
7
а) C10
10!
 3! 8  9 10  720;
7!3!
4
P14 A14
14!4! 14!4!10!




4
б) A10
14
!
10
!

14
!
C
14
14
 4!4! 0;
6! 5!


4!2! 3!2!
5! 4! 5  6  4  5 4  5  3  4
в) 




3!2! 2!2!
4
4
 150  60  90;
C 64  C 35  C 35  C 24 
№2
A 37 
6
C10

7!
 5  6  7  210;
4!
10! 7  8  9 10

 210
6!4! 1  2  3  4
A 96 
№3
C 425 
9!
 4  5  6  7  8  9  60480.
3!
25! 22  23  24  25

 12650
4!21!
1 2  3  4
№4
A  336  C
5
x
x  0
x  2  0


x  N
x  5  0
x 5
x 2
12  C xx 13  55  A 2x 1
x  3  0
x  1  0


x  1  0

x  N
x!
336  ( x  2)!

;
( x  5)! ( x  5)!( x  2  x  5)!
x!
336  ( x  2)!

;
( x  5)!
( x  5)!3!
( x  1)  x  56;
12  ( x  3)!
55  ( x  1)!

;
( x  1)!( x  3  x  1)! ( x  1  2)!
( x  3)!
 55  ( x  1)!;
2
( x  2)  ( x  3)  110;
x 2  x  56  0; x 1  7
x 2  5x  104  0; x 1  8
x2  8
х1=-7 не подходит
Ответ: 8.
x 2  13
х2=-13 не подходит
Ответ: 8.
№5
C  7  14.
C82  8  20.
2
7
№6
1 способ :1 цифра выбирается 4
способами, а остальные :
4 способами;3 способами;
2 способами;1 способом.
1 способ :
4  4  3  2 1  96
2 способ :
2 способ:
4  4  3  48
4  A 24  4 
4!
 4  3  4  48
2!
4  A34  4  4! 96.
№7
Всего букв – 13.
«о»- два раза
«к»- два раза
«и»- два раза
«а»- два раза.
13!
 389188800
2!2!2!2!
Всего букв – 11.
«а»- 5 раз
«б» - 2 раза
«р» - 2 раза.
11!
 83160
5!2!2!
Практикум по теме «Бином Ньютона».
I вариант.
а) (х + 2 )6 ;
б) (2 3 + 6 )5 .
II вариант.
1. Раскройте скобки и упростите
выражение.
а) (х - 3 )5 ;
б) ( 6 - 3 2 )4 .
2. Найдите показатель степени бинома
(7 х +
1 n
) , если второй член
х
1
(
3
разложения не зависит от х.
х
2
+ х)n , если третий член
разложения не зависит от х.
3. Найдите член разложения бинома
1
х+
(
3
х
2
)n , содержащий х в первой
(
1
х+
3
степени, если сумма всех биномиальных
биномиальных
коэффициентов равна 512.
х
)n , содержащий х в первой
степени, если сумма всех
коэффициентов равна 128.
4. В разложении бинома
( х +
3
х )n третий биномиальный
1
( х+
3
коэффициент в 4 раза больше второго.
Найдите член разложения , содержащий
х
4
х
2
)n
коэффициенты третьего и
пятого членов относятся как 2:7. Найдите
1
член разложения , содержащий х .
Решение задач практикума по теме
«Бином Ньютона».
a )( x  2 ) 6  x 6  6x 5 2  15x 4 
a )( x  3 ) 5  x 5  5x 4 3  10x 3 
 ( 2 ) 2  20x 3 ( 2 ) 3  15x 2 ( 2 ) 4   ( 3 ) 2  10x 2 ( 3 ) 3  5x ( 3 ) 4 
 6x ( 2 ) 5  ( 2 ) 6  x 6  6x 5 2 
 ( 3 ) 5  x 5  5x 4 3  30x 3 
 30x 4  40x 3  2  60x 2  24x 
 30x 2  3  45x  9 3.
 2  8.
б)(2 3  6 ) 5  (2 3  2 3 ) 5 
б)( 6  3 2 ) 4  ( 6 ) 4  4( 6 ) 4  3 
 ( 2 3 ) 5  ( 2  1) 5  ( 6 ) 5 
 2  6( 6 ) 2  (3 2 ) 2  4 6  (3 
 (( 2 ) 5  5( 2 ) 4  10( 2 ) 3  10 
 2 ) 3  (3 2 ) 4  36  24  6  3 2
 ( 2 ) 2  5 2  1)  36 6 (4 2 
 36 18  4 6  27  2 2  324  36 
 20  20 2  20  5 2  1)  36 6
 72  2 3  648  216  2 3  324 
(41  29 2 )  36  41 6  36  29 
 1008  576 3.
12  36  41 6  72  29 3  1476 
 6  2088 3.
№2
8
1
7
8
7 1
 x    1  ( 7 x )  7( 7 x )  
x
x

5
5
4
 1
  1 
 1 

  5
 x 
 x   
3
3
3
2
2
2 
 x
  x 
 x 
8
3
5
1
1
 ...     (7 x ) 8  7  ...  8 .  10   1   x 2  ...  x 5   1  
x
3 2 
3 2 
x
несодер.-х
 x 
 x 
Ответ : n  8.
x
1
 5
 10  2  х 2  ...  x 5 .
3
x 8 х
несодер.-х
Ответ : n  5.
№3
128 = 27 ; n = 7.
512  2 9 ; n  9
7
1 

7
6
 x  3   ( x)  7( x) 
x

9

1 
2
 x 
  ( x ) 9  9( x ) 8 
1
3
2
5  1 
x 

 7  21( x )   3  

2
 1 
 
 36  ( x ) 7  
3
2
2 
x
 x 
1
3
 x
x
3
 1 
 35  ( x )   3   ...
 x




4
содержит хв первой степени
35  x 2 
3
 1 
  ...
 84( x ) 6  
3
2 
x




содержит  х
1
 84  x
x2
Ответ : 84х.
84  x 3 
1
 35x.Ответ : 35х
x
№4
n 9
9
n 9
( x  3 x ) 9  ( x ) 9  9( x ) 8  3 x 

1 
 x 
  ( x ) 9  9( x ) 8 
3
x2 

2
 1 
 36  ( x ) ( x )  84( x ) ( x )  ... 
 
 36  ( x )  


3
3
2
2 
x
 x 
содержит х в 4 степени
3
84x 3  x  84x 4 .
6  1 
  ...
 84( x )  
3
2 
Ответ : 84х 4
x




7 3
2
6 3
3
1
7
содержит  х
1
 84  x
2
x
Ответ : 84х.
84  x 3 
Практикум по теме « Условная и полная вероятность»
I вариант
II вариант
1. Используя понятие условной и полной вероятности,
формулу Бейеса , решите задачи :
а) В ящике лежат 12 белых , 8 черных и 10 красных
шаров. Какова вероятность того , что наугад
выбранный шар :
будет красным , если известно , что
он не черный ?
будет черным , если известно, что
он не белый ?
б) На заводе 50% деталей типа А1 производит рабочий
Уткин , 30% - рабочий Чайкин и 20% - рабочий
Воронин. Вероятность брака у этих рабочих составляет
5%, 3%, и 2% соответственно. Из партии деталей наугад
выбирается одна. Найдите вероятность того , что эта
деталь:
1) качественная;
2) бракованная и изготовлена Уткиным ?
1) бракованная;
2) качественная и изготовлена
Чайкиным?
в) В цехе 10 станков марки А , 6 – марки В и 4 – марки С.
Вероятность выпуска качественной продукции для
каждого станка составляет 0,9 ; 0,8 и 0,7 соответственно.
Какой процент
качественной
бракованной
продукции выпускает цех в целом ?
2. Используя понятие геометрической вероятности ,
решите задачи:
а) После бури на участке между 40-м и 70-м километрами
телефонной линии произошел обрыв провода. Какова
вероятность того , что обрыв провода произошел между:
50-м и 55-м километрами ?
60-м и 66-м километрами ?
б) В круг случайным образом бросают две точки. Найдите
вероятность того , что обе точки окажутся внутри
вписанного в этот круг правильного
шестиугольника ?
треугольника ?
Решение задач практикума по теме « Условная и
полная вероятность»
1 вариант
2 вариант
№1
а) Всего белых и красных – 22 шара. Не черный – белый или красный.
P
а) Всего черных и красных – 18 шаров. Не белый – черный или
красный.
10 5
 .
22 11
P
8 4
 .
18 9
брак качеств.
б) Уткин
0,5 0,05 0,95
Чайкин 0,3 0,03 0,97
Воронин 0,2 0,02 0,98
1)P(A)  0,5  0,95  0,3  0,97 
1)P( A )  1  0,962 
 0,2  0,98  0,962
 0,038
0,5  0,05 25

0,038
38
в) А – 10 станков 0,5
В – 6 станков 0,3
С – 4 станка
0,2
P(A)  0,5  0,9  0,3  0,8 
0,3  0,97 291

0,962
962
в) А – 10 станков 0,9
В – 6 станков 0,8
С – 4 станка 0,7
P(A)  1  0,83  0,17 
2) P 
2)
 0,2  0,7  0,83  83%.
 17%.
№2
55  50 5 1

 ;
70  40 30 6
б)R  a
а) P 
a 2 3 3a 2 3
Sшестиуг.  6 

4
2
а) P 
66  60 6 1

 ;
70  40 30 5
б)R 
a 3
;
3
  3a 2
Sкр .  R 

9
a 2

.
3
2
3a 2 3
3 3
P1 
: a 2 
2
2
для двух точек
2
3 3
 .
P  
2



a 2 3 a 2 3 3
P1 
:

4
3
4
для двух точек
2
3 3
 .
P  
 4 
Практикум по теме «Классическая вероятность»
I вариант
II вариант
1. Бросают две одинаковые монеты. Какова
вероятность того, что выпадут:
«орел» и «решка» ?
равна 6 или 8 ?
30 – го числа ?
« лиса » ?
два «орла» ?
2. Из 28 костей домино наугад выбирают
одну. Что вероятнее, что сумма цифр на
ней будет:
равна 3 или 4 ?
3. Какова вероятность того , что ваш будущий
ребенок родится:
31- го числа ?
( год не является високосным).
4. Из букв слова « апельсин » последовательно
выбирают 4 буквы. Найдите вероятность того ,
что выбранные буквы в порядке их выбора
образуют слово:
« плен » ?
5. Каждый из трех стрелков стреляет по мишени
один раз , причем вероятность попадания 1-го
стрелка составляет 90%, 2-го – 80 % ,3-го–70 %.
Найдите вероятность того, что :
а) все три стрелка поразят
а) все три стрелка
мишень ?
б) двое из трех стрелков
промахнутся ?
промахнутся ?
б) двое из трех стрелков
поразят мишень ?
Решение задач практикума по теме «Классическая
вероятность»
1 вариант
2 вариант
№1
Варианты: ОО РР ОР РО
P
2 1
 .
4 2
60

6 1

5

4
 33
2
Варианты: ОО РР ОР РО
№2
1
P .
4
30

3
 1
2
4 варианта
2 варианта
86

2

5
 3

4
4
40

4

1

2
2
3
3варианта
3варианта
4
3
;Р2  ;
28
28
4
3

28 28
P1 
P1 
2
3
; P2  .
28
28
Ответ: вероятнее 6.
Ответ: вероятнее 4.
№3
P
11
;
365
P
№4
7
;
365
1
1 4!
1




A 84 8! 8! 5  6  7  8
4!
1

.
1680
P
P
P1  0,9; P2  0,8; P3  0,7
a )P  0,9  0,8  0,7  0,504;
№5
1
1

.
A 84 1680
P1  0,9; P2  0,8; P3  0,7
a )P  0,1  0,2  0,3  0,006;
б)Р  0,9  0,2  0,3  0,1  0,8  0,3  б)Р  0,9  0,8  0,3  0,9  0,2  0,7 
 0,7  0,1  0,2  0,092.
 0,1  0,8  0,7  0,398.
Практикум по математической статистике
Выборка:
2
0
7
3
3
1
4
4
2
4
6
2
4
6
2
4
3
4
2
3
4
4
3
4
1
4
1
7
3
2
2
3
3
1
4
3
2
3
2
3
4
1
3
3
2
4
5
5
3
2
3
3
1
1
3
0
1
3
3
1
4
6
3
1
1
1
2
По данной выборке составить:






вариационный ряд;
вычислить относительные и накопленные частости;
построить полигон и гистограмму;
составить эмпирическую функцию распределения;
построить график эмпирической функции распределения;
вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
- выборочное среднее;
- выборочную дисперсию;
- среднеквадратическое отклонение;
- моду;
- медиану.
Пример выполнения:
значение
случайной
величины
частота относительная накопленная
появления частость
частость
0
1
2
3
4
5
6
7
4
13
14
24
16
3
3
2
0,0506
0,1646
0,1772
0,3038
0,2025
0,0380
0,0380
0,0253
сумма
79
1,0000
0,0506
0,2152
0,3924
0,6962
0,8987
0,9367
0,9747
1,0000
1
3
4
0
2
4
2
3
3
0
3
5
Гистограмма распределения значений случайной
величины
30
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
значения
График функции распределения
1,2000
1,0000
накопленная частость
частота
25
1,0000
0,9747
0,9367
0,8987
0,8000
0,6962
0,6000
0,4000
0,3924
0,2152
0,2000
0,0506
0,0000
0
2
4
6
значения
8
10
8
Задачи для домашних заданий.
1.В студенческой группе 15 девушек и 10т юношей. случайным образом (по жребию)
выбирают одного. Найти вероятность того, что это будет юноша .
Ответ:
10 2
 .
25 5
2. Найти вероятность того , что брошенная в квадрат точка окажется внутри вписанного в
этот квадрат круга , если её любое положение в квадрате равновозможно.
Ответ:

.
4
3.Вероятность успешной сдачи экзамена по первому ,второму и третьему предметам у
данного студента соответственно равны: 0,6 ; 0,7 и 0,75. Найти вероятность того , что
студент а) сдаст хотя бы один экзамен ;
б) сдаст только один экзамен ;
в) сдаст все три экзамена ;
г) не сдаст ни одного экзамена.
Решение :
а) 1  0,4  0,3  0,25  0,97;
б) 0,6  0,3  0,25  0,4  0,7  0,25  0,4  0,3  0,75  0,205;
в) 0,6  0,7  0,75  0,315;
г) 0,4  0,3  0,25  0,03.
4.Два охотника увидели волка и одновремённо в него выстрелили. Каждый охотник попадает
в цель с вероятностью 0,6 . Найдите вероятность того , что
а) волк будет подстрелен ;
б) в волка попадет только один охотник .
Решение :
а) 0,6  0,6  0,6  0,4  0,4  0,6  0,84;
б) 0,6  0,4  0,4  0,6  0,48.
5.Студент пришел сдавать зачет , зная из 30 вопросов программы только 24. Чему равна
вероятность сдать зачет, если для этого нужно ответить на случайно доставшейся ему вопрос
,а в случае неудачи ответ на дополнительный вопрос , предложенный ему преподавателем
случайным образом ?
Решение :
P
24 6 24 4 1 24 28
 
  
 .
30 30 29 5 5 29 29
6.В ящике лежит 15 шаров , из которых 5 – черных. Какова вероятность того , что при
выборе из ящика трех шаров :
а) один окажется черным ?
б) два окажутся черными ?
Решение: задача «контроля качества»
а)
3
N  C15

15!
 13  7  15
3!12!
31
1
2
1
M  C15
5  C 5  C10  C 5 
M
25  9
45

 .
N 13  7  15 91
15!
3
N  C15

 13  7  15
3!12!
10! 5! 9  10  5


 25  9
2!8! 1!4!
2
P
б)
3 2
2
1
2
M  C15
5  C 5  C10  C 5  10 
P
5! 10  4  5

 100
2!3!
1 2
M
100
20

 .
N 13  7  15 91
7. Монету бросают шесть раз подряд. Найти вероятность того ,что
а) «решка» будет выпадать чаще ,чем «орел»;
б) «орел» будет выпадать не реже чем , «решка».
Решение:
1
1
p  ;q  1  p 
2
2
а) Р – 4 Р – 5 Р – 6
0–2 0–1 0–0
Применим схему Бернули.
4
2
1 1
1
P  C        C56   
 4  2
 2
4
6
б) Р – 4 Р – 5 Р – 6
0–2 0–1 0–0
5
6
0
22 11
1
1 1
    C66       

2
2
2
64
32
 
   
Р-3
0–3
11
11 6! 1 11 4  5  6 1 11 10 21
1 1
P
 C36       







 .
32
2
2
32
3
!

3
!
64
32
1

2

3
64
32
32
31
   
3
3
Самостоятельная работа (15 мин.)
1. На сборку поступают одинаковые детали с трех предприятий, причем первое поставляет
50% , второе 30% и третье остальное количество. Вероятность появление брака для 1-го ,2го и 3-го поставщиков, соответственно равны 0,05 ; 0,1 и 0,15 . Выборочный контроль
обнаружил брак. Какова вероятность того , что брак произошёл по вине второго предприятия
?
Решение:
0,1  0,3
0,03 30 6


 .
0,05  0,5  0,1  0,3  0,15  0,2 0,085 85 17
2. При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру и набрал её наугад ,
помня только что эта цифра нечетная . Найти вероятность того, что номер набран правильно.
Ответ:
1
.
5
3. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика.
Вероятность того , что при возгорании датчик сработает, для 1-го и 2-го датчиков
соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероятность того , что при пожаре сработает хотябы
один датчик.
Решение: 1  0,1  0,95  0,995.
Контрольная работа (1 урок).
I вариант
II вариант
1. В игральной колоде 36 карт .Какова вероятность
того , что взятая наугад карта окажется :
а) валетом;
а) тузом;
б) бубновой ?
б) пиковой?
2. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05 , в
девятку – 0,1 , в восьмерку – 0,2 , в семёрку – 0,4.
Найдите вероятность выбить с одного выстрела :
больше 7 очков.
больше 8 очков.
3. Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное
число
а) делится на 5;
а) делится на 10;
б) содержит в записи цифру 0.
б) содержит в записи цифру 9.
4. Вероятность встретить на улице мужчину – блондина
составляет – 0,4.Какова вероятность того ,что среди
четырех прохожих мужчин встретится
не менее двух блондинов ?
не более двух блондинов ?
5. Даны числа 1,2,3,4,6,8. Найдите вероятность того ,что
а) произведение любых двух из них будет
а) сумма любых двух из них будет
нечетным;
нечетной;
б) любые три наугад взятые числа могут
б) Любые четыре наугад взятых числа
быть длинами сторон треугольника.
могут быть членами пропорции.
Решения задач контрольной работы.
I вариант
II вариант
№1
1
9
1
б) P 
4
а)
1
9
1
б) P 
4
P
а)
P  0,05  0,1  0,2  0,35.
№2
P
P  0,05  0,1  0,15.
№3
а) всего двузначных чисел – 90
делится на 5
– 18
а)
18 1

90 5
9
 0,1
б) P 
90
P
P
9
 0,1
90
б) в первых 8 десятках – 8 чисел ,
в последнем – 10 чисел .
P
8  10 1
 .
90
5
№4
P  C 24  0,4 2  0,6 2  C34  0,43  0,61 
P  C 04  0,4 0  0,6 4  C14  0,41 
 C 44  0,4 4  0,60  0,5248.
 0,63  C 24  0,4 2  0,6 2 
 0,8208.
№5
а)всего произведений:
а) нечетные суммы :
1  2; 1  4; 1  8; 1  6;
C 62  15
3  2; 3  4; 3  8; 3  6;
8
P
15
2 4 1 2
 ;
 ;
б)
3 6 3 6
1 2 1 3 1 4
 ; 
 ;
4 8 2 6 2 8
нечетное произведение: 1 3,
т.е. 1 вариант
P
б)
1
15
стороны треугольника :
3;6;8;
2;3;4
4;6;8;
3;4;6
всего исходов
C36  20
5 вариантов .
4 1
P
 .
20 5
всего исходов
P
5 1
 .
15 3
C 64  15