Глава 5 - WordPress.com

ГЛАВА 5. ДИАГНОСТИКА КАК КОМПОНЕНТ МЕТОДИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
5.1. Актуальность проблемы диагностики в процессе обучения математике.
5.2. Диагностика на этапе итогового (рубежного) контроля.
5.3. Некоторые особенности итоговой аттестации школьников:
Единый государственный экзамен в форме тестирования.
5.1. Актуальность проблемы диагностики в процессе
обучения математике
В современных методических исследованиях, связанных с разработкой
новых подходов к обучению, ориентированных на развитие личности учащегося средствами математики, обращается внимание на необходимость учета
всех факторов, влияющих на течение процесса обучения математике. Важным становится то, как, какими путями ученик достигает ожидаемых результатов, как и когда происходит его переход на качественно новый уровень
усвоения математики. В этих условиях традиционные рамки контроля становятся тесными, не дающими полной информации о текущих изменениях личности учащегося, о том, как происходит овладение общелогическими, эвристическими и специфическими средствами познания.
Подчеркивая основную тенденцию изменения приоритетных целей образования, ученые отмечают, что эти изменения должны касаться и системы
контроля, «которая кроме общепознавательных, общеучебных и частнопредметных знаний должна включать в себя способы деятельности, опыт творческой деятельности, опыт эмоционально-ценностного отношения к миру, к
людям, к себе» 24, с. 3. В настоящее время на первый план выходит не
столько задача поиска путей локальных изменений существующей системы
контроля, сколько задача разработки такой системы проектирования, получения, обработки и анализа обратной информации о продвижении учащихся
в усвоении математики, которая стала бы реальным механизмом управления
и регулирования процессом обучения математике.
Понятие педагогической диагностики
Одним из эффективных средств управления учебно-воспитательным
процессом признается педагогическая диагностика как способ, обеспечивающий широкое и всестороннее изучение предпосылок, условий и результатов учебного процесса, как способ прояснения всех изменений, которые происходят в образовательном процессе.
295
Педагогическая диагностика проводится в тех случаях, когда обычные
устоявшиеся в школьной практике методы изучения учащихся (наблюдение,
беседа, контроль и т.п.) не позволяют вскрыть причинно-следственные зависимости изучаемого явления, когда требуется выявить причины какого-либо
отклонения в усвоении учебного материала, в развитии учащихся. Таким образом, целью педагогической диагностики является выявление комплекса
взаимосвязанных причин изменения какого-либо педагогического явления.
В реальной практике педдиагностика принимает форму каких-либо конкретных специализированных методик, которые носят диагностический характер.
Под диагностической методикой понимают специально разработанные задания для изучения определенных особенностей или изменений (прогресса или
регресса) в развитии или поведении учащихся, для выявления причин, их вызывающих. Процедуру применения диагностических методик называют диагностированием. В понятийно-терминологическом словаре педагогический
диагноз характеризуется как определение характера и объема трудностей в
учебе, а также способностей учащихся на основе данных об освоении учебных программ.
Проблема диагностики в обучении математике приобрела особое значение в связи с разработкой и широким внедрением современных образовательных и информационных технологий, реализация которых требует от учителя новых специфических умений: строить систему диагностируемых целей
и ориентировать процесс обучения на гарантированное их достижение; осуществлять оперативную обратную связь и оценивать текущие, промежуточные и рубежные результаты; анализировать динамику изменений личностных качеств ученика в процессе овладения им математической деятельностью и т.п.
Для обеспечения полноценного управления процессами обучения и
развития учащихся учитель должен уметь включать учащихся в математическую деятельность, получать, оценивать и анализировать всю информацию
об изменениях личности учащегося в процессе выполнения учебной математической деятельности, т.е. уметь осуществлять диагностическую деятельность в процессе обучения. Чтобы определить этот вид деятельности, нужно
установить, что является объектом деятельности, каковы ее цель и результат,
состав и структура.
Понятие диагностической деятельности учителя математики
С позиции деятельностного и личностного подходов к обучению объектами диагностики являются индивидуальные особенности школьников, которые и определяют их возможности в осуществлении учебной деятельности.
С учетом специфики математики, возможности учащихся в осуществлении
учебной деятельности проявляются через степени усвоения содержания
школьного курса математики и через качества, специфично характеризующие освоение математической деятельности. Следовательно, если учебная
математическая деятельность учащихся выступает как основное средство
296
развития их личности, то ее состояние можно рассматривать как объект диагностики при обучении математике. Сказанное позволяет дать следующее
определение диагностической деятельности учителя математики.
Под диагностической деятельностью учителя математики (ДДУМ) будем понимать деятельность, направленную на изучение состояния учебной
математической деятельности учащегося с целью познания тех изменений
личности учащегося, которые происходят в процессе осуществления им
учебной математической деятельности 72, с.66.
Из определения следует, что цель ДДУМ состоит в выявлении изменений личности учащегося в процессе выполнения им учебной математической
деятельности, а ее результатом является диагноз.
Диагноз ставится на основе оперативной, по возможности, достаточно
полной информации о продвижении учащихся в процессе развивающего
обучения. Диагноз включает оценку полученных результатов в соответствии
с путями их достижения для эффективного управления процессами обучения
и развития. Здесь надо отметить, что диагноз, являясь результатом диагностической деятельности учителя, ставится только на основе того, что делается или сделано учителем и учениками в учебно-воспитательном процессе,
поэтому диагноз не составляет отдельного, взятого вне этого процесса продукта. В этом смысле диагностическая деятельность и ее результат – диагноз
– должны отражать успехи или неудачи всего процесса обучения, т.е. его эффективность.
Структуру ДДУМ определяют три составные части: ориентировочная,
исполнительная и рефлексивно-оценочная. Первая часть непосредственно
связана с проектированием учебного процесса и предполагает выполнение
учителем следующих действий: выделение объектов диагностики; постановку диагностируемых целей через наблюдаемые и опознаваемые действия
учащихся в виде образца конечного продукта обучения; описание уровней
усвоения учебного материала и критериев их достижения; выбор форм, методов и средств диагностики и выделение этапов урока для ее проведения;
отбор и конструирование диагностических заданий.
Вторая часть ДДУМ связана с реализацией проекта на практике и
предполагает использование диагностических средств и сбор данных о состоянии учебной математической деятельности учащихся.
Третья часть ДДУМ связана с анализом учебного процесса и осуществляется на основе следующего комплекса действий: проверка, оценка и обработка результатов; сопоставление полученных результатов с запланированными; интерпретация результатов и постановка диагноза; анализ причин
возможных отклонений от ожидаемых результатов; самооценка учителем
своих действий; принятие решения о внесении корректив в технологию обучения.
297
Объекты диагностики – содержание ДДУМ
Объектами диагностики при обучении математике могут выступать
следующие группы взаимосвязанных объектов. Первая связана с усвоением
элементов содержания учебного материала в процессе осуществления математической деятельности:
– степень усвоения различных видов математических знаний (дидактических единиц, методологических знаний);
– степень овладения учебно-познавательными и специфическими действиями по приобретению, преобразованию и применению выделенных видов знаний (умения);
– степень овладения мыслительными операциями и приемами мышления, характеризующими умственную и коммуникативную деятельность обучаемых;
– степень овладения приемами и методами познания, познавательными
средствами, характеризующими опыт поисковой, творческой математической
деятельности обучаемых;
– степень самостоятельности обучаемых в осуществлении учебной математической деятельности.
Вторая группа объектов характеризует некоторые качества ученика,
влияющие на осуществление учебной математической деятельности:
– отношение к содержанию и процессу обучения математике (мотивы,
интересы, склонности и т.п.);
– отношение к учителю, самооценка своих способностей к математике;
– степень сформированности общеучебных умений и навыков (планирование, рациональная организация учения, самоконтроль, четкая и лаконичная математическая речь, математические записи и т.п.);
– степень участия в мероприятиях, расширяющих математический
кругозор (олимпиады, кружки, факультативные занятия, конкурсы и т.п.).
Например, в теме «Неравенства», VIII класс к первой группе объектов
диагностики можно отнести:
 степень усвоения определения сравнения чисел и его логической
конструкции;
 степень усвоения теорем о свойствах числовых неравенств и обобщенного способа их доказательства либо синтетическим методом, либо методом восходящего анализа;
 сформированность умений выполнять преобразования над верными
числовыми неравенствами и обосновывать выполненные действия; умений
выдвигать гипотезы при «открытии» свойств неравенств и степень самостоятельности при их обосновании;
 степень осмысления свойств числовых неравенств и специфики их
применения к решению неравенств, сводящихся к линейным; степень самостоятельности в переносе способа сравнения чисел в новую практическую
ситуацию и т.п.
298
К числу объектов диагностики второй группы могут быть отнесены:
корректная математическая речь и математические записи в обосновании
свойств неравенств; мотивы, которыми руководствуется ученик при выполнении заданий в теме, его интерес к изучению темы, умение проводить самоконтроль и самоанализ своих действий при выполнении заданий и т.п.
Приведенный выше перечень включает те объекты, которые можно
диагностировать. Учитель же в своей деятельности, в частности при анализе
учебного материала, должен уметь отбирать те, которые можно и нужно
диагностировать. Следовательно, отбор и выделение подобных объектов
должен осуществляться в процессе логико-дидактического анализа содержания учебного материала, т.е. на этапе проектирования учебного процесса с
учетом целей математического образования учащихся.
Дальнейшая конкретизация объектов диагностики, выделение тех из
них, которые нужно диагностировать, напрямую связана с постановкой целей
обучения и развития, описывающих конечный продукт, т.е. то, чего требуется достигнуть в процессе обучения. Такую постановку целей называют диагностичной, а цели – диагностируемыми.
Этапу постановки диагностируемых целей, чрезвычайно важному для
оценки результатов обучения, к сожалению, до сих пор не придается должного значения. Отчасти это можно объяснить тем, что контрольные мероприятия (самостоятельные и контрольные письменные работы, экзамены) чаще
всего проводятся в школе по официальным текстам или по текстам, рекомендованным в методических пособиях. Учителя полагают, что авторы текстов
работ реализовали в их содержании все необходимые цели. Однако, как отмечает Ю.М. Колягин, «незнание конкретных целей самим учителем делает
по существу невозможным качественный анализ результатов работы, а значит, и эффективное совершенствование процесса обучения» [47, c.89].
Поэтому остановимся подробнее на проблеме построения системы диагностируемых целей, но прежде всего введем понятие уровней усвоения.
Уровневый подход: уровни усвоения, классификация
Заметим, что в описании объектов диагностики использовались термины «усвоение», «овладение», «сформированность», «отношение», обозначающие в широком смысле «превращение накопленного человечеством опыта
в достояние личности». В тех случаях, когда пройден определенный рубеж
обучения, достигнут некоторый итог, названные характеристики заменяют
термином «результат обучения» и говорят о степени обученности ученика, о
сложившихся отношениях ученика к содержанию и процессу обучения, т.е. о
качественных изменениях в личных достижениях ученика на завершающем
этапе обучения.
Между тем для обеспечения эффективности управления учебным процессом важным является наличие постоянной информации о том, как учащийся усваивает определенные знания и овладевает умениями, как идет ход
его умственного развития, как меняется отношение ученика к содержанию и
299
процессу обучения. Для этого названные выше характеристики объектов диагностики используют в более узком смысле, как некоторые промежуточные
ступени «превращения опыта в достояние личности». В специальной литературе эти ступени получили название уровней усвоения.
Уровневый подход в обучении предполагает, во-первых, подразделение
учебного материала на части, которые ученик может знать, которые он должен знать и которые ему необходимо знать [95,c.70]. Тем самым задаются
уровни усвоения темы, раздела или отдельных дидактических единиц. Вовторых, выделение познавательных средств, овладение которыми способствует интеллектуальному развитию учащихся, требует установления и соответствующих уровней сформированности интеллектуальных умений и навыков. Устанавливая степень овладения этими средствами, получают возможность следить за динамикой интеллектуального роста учащихся. В-третьих,
уровневый подход открывает возможности и в оценке объектов диагностики,
отнесенных ко второй группе. Их характеристики чаще всего описывают на
трех уровнях: низкий, средний, высокий.
Например, об отношении ученика к содержанию и процессу обучения
математике можно судить: по его оценке личностной значимости математических знаний и пониманию их роли в изучении других школьных предметов; по желанию изучать и передавать математические знания окружающим;
по участию в различных внеурочных и внешкольных математических мероприятиях; по интересу, который ученик проявляет к различным видам заданий по математике, к способам их выполнения; по пониманию значимости
математики в науке и производстве, в развитии общества. Можно выделить
три уровня в оценке этого качества:
1-й уровень – отрицательное отношение к математике, непонимание ее
значения для собственного развития, ее социального значения и роли в изучении других школьных предметов;
2-й уровень – наличие интереса к выполнению отдельных видов учебных заданий по математике при понимании значения математики для социального и личностного развития;
3-й уровень – увлеченность математикой, специфичными для нее методами познания, понимание ее личностного и социального значения, ее роли в
изучении других школьных предметов, стремление к поиску различных способов решения задачи, к составлению задач, к самостоятельному выдвижению гипотез при изучении математики и их обоснованию.
Таким образом, введение уровней усвоения позволяет превращать непрерывный процесс формирования опыта ученика в дискретный и дает возможность достаточно точно диагностировать как сам процесс обучения, так и
качественные характеристики личности ученика на определенных этапах
осуществления математической деятельности.
Уровневый подход связан с введением соответствующих классификаций (иерархий, таксономий). Примером классификации подобного рода являются три уровня усвоения содержания: базовый, повышенный и высокий.
Эти уровни представлены в государственном образовательном стандарте и в
300
программах по математике при описании требований к математической подготовке учащихся. В названных нормативных документах четко прописаны
цели – результаты (диагностируемые цели) на уровне обязательной (базовой)
подготовки. К сожалению, цели других уровней (повышенного и высокого) –
уровни «возможностей» нельзя назвать диагностируемыми. Они не всегда
задают ожидаемые результаты. Кроме того, и в формулировках целей базового уровня, представленных в программах по математике, не достаточно четко
обозначены современные идеи развивающего обучения, идеи гуманитаризации содержания школьного курса математики.
К наиболее часто применяемым классификациям с точки зрения деятельностного подхода (видов деятельности) относится классификация, предложенная В.П. Беспалько. Определяющим основанием при ее построении является вид деятельности человека, структуру которой автор описывает в виде
четырех последовательных уровней усвоения, характеризующих картину
развития обучаемого:
I уровень – репродуктивный с подсказкой – предусматривает узнавание
объектов, свойств, методов на основе предшествующего обучения;
II уровень – репродуктивный, предполагающий воспроизводство информации, операций, методов деятельности путем самостоятельного применения типовых правил (алгоритмов) деятельности;
III уровень – продуктивная реконструктивная деятельность (эвристическая). Выполняется с опорой на интуицию, догадку, по образцу на определенном множестве объектов. На данном уровне добывается субъективно новая информация путем самостоятельного построения или трансформации ранее известной ориентировочной основы действия;
IV уровень – продуктивная творческая деятельность на любом множестве объектов путем самостоятельного конструирования новой программы
деятельности. В этом случае добывается объективно новая информация [6].
Уровни усвоения, предложенные В.П. Беспалько, довольно хорошо отражают этапы формирования умений при изучении математики. Многие учителя придерживаются подобной классификации при оценке сформированности конкретных умений в процессе обучения математике, используя при этом
только первые три уровня:
I уровень – воспроизведение знаний (определения понятия, формулировки и доказательства теоремы, алгоритма, ключевой задачи и способа ее
решения и т.п.);
II уровень – применение знаний в знакомой ситуации (в решении типовых или близких к ним задач);
III уровень – применение знаний в измененной и новой ситуации
(нахождение нового способа решения задачи, установление новых фактов и
закономерностей).
Исторически сложилось так, что уровни усвоения, в частности, в
школьных программах описывают через такие категории, как знание, умение
и навыки. С точки зрения диагностики важным представляется их описание
через совокупности соответствующих действий обучаемых или через каче301
ственные характеристики усвоенных знаний: полноту, глубину, оперативность, гибкость, конкретность и обобщенность, системность, осознанность,
прочность, свернутость и развернутость, действенность.
Одним из недостатков приведенных классификаций является то, что и
методологические знания (знания о методах, о процессе познания, о различных способах деятельности), и интеллектуальные умения (анализ, синтез,
обобщение и т.д.), растворяясь в содержании названных категорий, могут
выпадать из поля зрения учителя. Это скажется и на реализации развивающей цели обучения, и на создании диагностических заданий, и на анализе результатов усвоения. Кроме того, рассмотренные уровни усвоения непосредственно не соотнесены с целями изучения конкретного материала. Это затрудняет их использование в проектировочной деятельности учителя, так как
требует специальной адаптации к содержанию учебного материала.
Вместе с тем широкую известность получила таксономия Б. Блума, в
которой цели обучения сформулированы так, что они могут раскрываться через содержание материала, подлежащего усвоению. В этой классификации
цели описываются через знания и интеллектуальные умения в порядке нарастания абстрактности и универсальности, что позволяет анализировать степени усвоения школьниками знаний, степени овладения умениями и уровни
обобщения, на которые можно вывести учащихся, сообразуясь с их желаниями и возможностями. И наконец, способ формулировки обобщенных типов
учебных целей в классификации Б. Блума, представленный в виде знаний,
умений и навыков, в том числе и интеллектуальных, позволяет описать их в
виде конкретного продукта усвоения содержания учебного материала. Все
сказанное дает возможность выбрать классификацию Б. Блума для выделения
уровней овладения учебным материалом и описать эти уровни в виде диагностируемых целей обучения математике.
Построение системы диагностируемых целей
развивающего обучения математике
При построении системы диагностируемых целей развивающего обучения математике будем исходить из того, что учебная математическая деятельность обучаемых выступает как основное средство формирования их
личности в соответствии с целями математического образования. Эти цели, в
свою очередь, трансформируются в конкретное содержание обучения – учебный материал, которым овладевают школьники. Каждому выделенному объекту содержания соответствует определенный вид учебно-познавательной, в
том числе учебной математической, деятельности учащегося. Соотнесение
целей математического образования и содержания позволяет выделить следующую иерархию уровней овладения учебным материалом: знание – понимание – применение знаний.
Цели изучения учебного материала на уровне знаний должны отражать
в качестве конечных продуктов знания школьниками дидактических единиц
и познавательных средств. Диагностируемые цели усвоения знаний на этом
302
уровне можно описать через следующие действия обучаемых: воспроизведение формулировки определения понятия, теоремы, правила; конкретизация
формулировки и приведение примеров, ее иллюстрирующих; восстановление
формулировки по ее отдельным частям; выделение условий и заключения
теоремы, отдельных шагов в применении алгоритма, правила, формулы; распознавание дидактической единицы по словесному, символическому или
графическому ее представлению и т.п. О степени достижения целей этого
уровня можно судить по результатам выполнения заданий, в которых явно
указано, какой именно объект нужно воспроизвести, восстановить или распознать.
Следующая группа целей изучения учебного материала должна отражать уровень понимания, т.е. осознания и осмысления учащимися специфики
выполняемой математической деятельности. Диагностируемые цели на этом
уровне можно описать с помощью следующих действий испытуемых: выделение характеристических свойств понятия, подведение под понятие, выведение следствий, перевод формулировки (определения, теоремы, алгоритма,
задачи) с естественного языка на символический, графический и обратно;
обоснование и доказательство суждений, выделение закономерности, общего
признака у различных объектов, конструирование алгоритма, правила, формулы на основе выделенной закономерности; указание условий существования объекта и выполнения с ним действий; обобщение, выделение сферы
применения понятия, теоремы, алгоритма, ключевой задачи и т.п. Судить о
достижении уровня понимания можно по тому, как ученик выполняет
названные действия, т.е. по тому, как он устанавливает связи между объектами и суждениями, как обосновывает свои суждения и свой ход решения задачи, как описывает способы получения знаний и сферу их применения.
Далее, исходя из специфических особенностей применения теоретических знаний к решению математических задач, следует выделить еще два последовательных уровня овладения содержанием учебного материала.
Один из них будет отражать уровень применения знаний (способов
действий) к конкретным практическим задачам, тип которых знаком учащимся, а способ решения отрабатывался в учебном процессе. Диагностируемые цели на этом уровне должны описывать такие действия обучаемых, как
воспроизведение и актуализация, которые опираются на сопоставление условий диагностического задания с изученным ранее образцом, на восстановление из памяти и из опыта осуществляемой познавательной деятельности известных алгоритмов, приемов и способов преобразования, применимых к ситуации, описанной в диагностическом задании. Назовем эту категорию целей
и соответствующий уровень овладения учебным материалом «Применение
знаний в знакомых или близких к ним ситуациях». Фактически этот уровень
должен отражать один из этапов формирования умений решать математические задачи. Следовательно, он включает в себя подуровни, характеризующие репродуктивную и продуктивно-реконструктивную деятельность обучаемых.
303
Другой уровень и соответствующие ему цели овладения учебным материалом назовем «Применение знаний в новой ситуации». Под новой ситуацией будем понимать систему элементов условия диагностического задания,
не встречающуюся в явном виде в процессе изучения учебного материала.
Действия учащихся на этом уровне должны отражать глубину проникновения в сущность изучаемых объектов и отношений; осознанное выделение новых видов связей, отношений, закономерностей; обобщение частных положений и получение новых математических фактов, способов действий и т.п.
Судить о достижении этого уровня можно по тому, как ученик находит субъективно новый способ решения нетиповой задачи, новый ход рассуждений,
приводящий к «открытию» закономерностей, зависимостей между объектами, изучаемыми в различных темах школьного курса математики или в
смежных учебных дисциплинах. Этот уровень должен отражать наивысшую
форму абстракции знаний, и его достижение в процессе обучения математике
можно охарактеризовать как высокий уровень математической подготовки
школьника.
Что же касается анализа, синтеза и оценки, выделенных как уровни в
таксономии Б. Блума, то они, на наш взгляд, являются составными элементами учебной математической деятельности школьников, опознаваемой на
уровнях понимание – применение. Их выделение полезно на этапе структурно-логического, математического и дидактического анализа учебного материала. Как объекты диагностики они должны рассматриваться лишь в контексте учебной математической деятельности школьников, характеризуя степень ее овладения.
Сопоставив выделенные группы диагностируемых целей и соответствующие им уровни овладения учебным материалом с требованиями к математической подготовке учащихся, описанными в программе по математике
на уровне обязательной подготовки и уровне возможностей, можно сделать
следующие выводы.
Во-первых, включение в содержание учебного материала метазнаний,
способствующих реализации гуманитарного потенциала математики на всех
этапах обучения, позволяет раскрыть уровень обязательной подготовки учащихся через следующие уровни усвоения учебного материала: знание – понимание – применение знаний в знакомой ситуации.
Во-вторых, включение в содержание учебного материала опыта осуществления
учащимися
логической,
эвристической,
аналитикосинтетической и оценочной деятельности позволяет рассматривать уровни
«понимание – применение знаний в знакомой ситуации – применение знаний
в новой ситуации» как уровни формирования интеллектуальных умений в
процессе осуществления учащимися учебной математической деятельности.
В-третьих, при анализе учебного материала и соответствующем описании ожидаемых результатов как объектов диагностики, полезно выделять
действия, характеризующие аналитико-синтетическую и оценочную деятельность учащихся как для построения соответствующей технологии развивающего обучения, так и для конструирования диагностических заданий.
304
В-четвертых, детализация планируемой на уроке учебной математической деятельности учащихся, т.е. описание ее в виде опознаваемых учебнопознавательных и специфических действий, дает возможность рассматривать
последние как объекты диагностики и формулировать соответствующие диагностируемые цели на каждом из уровней овладения учебным материалом.
Таким образом, в процессе анализа учебного материала учителю математики необходимо:
– выделить все элементы учебного материала и связи между ними;
– выделить способы получения новых элементов темы и сферу их
применения, установить внутрипредметные и межпредметные связи;
– провести пооперационный анализ каждого выделенного действияумения темы;
– установить возможный уровень формирования каждого действия умения;
– построить задания, выполнение которых послужит основой для соотнесения полученных результатов с выделенными показателями.
Эти действия и задают дидактическую основу деятельности учителя
математики по выделению объектов диагностики.
Критерии усвоения
Учебный материал, как и каждый его существенный элемент, может
быть освоен на уровнях: знание – понимание – применение в знакомой ситуации – применение в новой ситуации. На каждом из этих уровней следует
описать диагностируемые цели через наблюдаемые действия обучаемых. Но
для того чтобы установить уровень, на котором освоено содержание, надо
отобрать те диагностируемые цели, достижение которых является необходимым и достаточным для данного уровня. В этом случае они задают критерии
усвоения и их формулируют в виде цели-эталона.
Проиллюстрируем сказанное на примере темы «Неравенства».
Цели, формулируемые учителем при проектировании темы «Неравенства», должны дополняться целями диагностики, в том числе проверки и
контроля, в которых четко фиксируется направленность диагностики на объекты. Так, при создании проекта по теме «Неравенства», можно сформулировать следующие цели диагностики:
1. Установить уровни усвоения выделенных единиц темы.
2. Оценить степень освоения содержания темы «Неравенства» на завершающем этапе изучения этой темы (степень обученности).
3. Выявить остаточные знания и умения учащихся по теме «Неравенства» спустя месяц после ее изучения.
Конкретизация первой цели позволит определить содержание текущей
диагностики.
Сформулируем одну из первых целей диагностики: установить уровни
усвоения определения сравнения чисел. В скобках около каждой цели ука305
жем номера соответствующих диагностических заданий, содержание которых раскрыто в тесте под названием «Определение» (Опр.).
Цель – эталон можно описать так.
Будем считать, что ученик усвоил определение сравнения чисел (алгебраических выражений) на уровне знания (I), если он:
– воспроизводит формулировку определения или восстанавливает ее
из отдельных фрагментов, т.е. знает, как и в какой последовательности конструируется определение (12);
– конкретизирует формулировку определения применительно к заданному случаю, т.е. верно сравнивает числа и выражения по заданной разности
или находит знак разности по заданному отношению (11);
– выводит следствия из условий a>b (a<b) или a-b>0 (a-b<0), т.е. может мысленно восстановить нужную конструкцию типа «если одно число
больше (меньше) другого, то их разность больше (меньше) нуля» или «если
разность чисел больше (меньше) нуля, то первое число больше (меньше) второго» (13).
Опишем цель-эталон для остальных уровней усвоения определения
сравнения чисел.
Будем считать, что ученик освоил определение на уровне понимания
(II), если он:
– раскрывает смысл введенного определения сравнения чисел и анализирует его роль (21);
– истолковывает условие и требование задачи на основе определения
сравнения чисел (22);
– выделяет достаточные условия для сравнения выражений (23).
– Будем считать, что ученик усвоил определение на III уровне, т.е.
умеет применять определение в знакомой или близкой к ней ситуациях, если
он:
– умеет выделять «шаги» доказательства теоремы, на которых используется определение сравнения чисел (31);
– умеет выделять обобщенный способ сравнения выражений (32);
– умеет выделять типы задач, где используется определение понятия, и
решать выделенные задачи (33).
Будем считать, что ученик усвоил определение на IV уровне, т.е. способен к применению определения в видоизмененной, незнакомой ситуации,
если он:
– умеет провести анализ задачи нового типа и установить возможность
применения способа сравнения чисел и выражений к описанной в ней ситуации (41);
– умеет обосновать ход рассуждений при решении задачи (41).
Для проверки достижения целей должны быть составлены диагностические задания, по итогам выполнения которых можно было бы не только
оценить результаты, но и выявить причины возникающих затруднений учащихся. Приведем примеры диагностических заданий, которые соответствуют
306
первым трем уровням усвоения определения и входят в пакет теста (Опр.).
Ожидаемые результаты их выполнения представим в виде ключа-таблицы.
Тест (Опр.)
Уровень знания (I)
11. Известно, что 2а < в. Сравните разность 2а – в с нулем:
а) больше 0; б) меньше 0; в) равна 0; г) не хватает данных для сравнения.
12. Восстановите определение сравнения чисел «Число р…числа q, если…отрицательное число», заполнив пропуски словами, выбранными в
нужном порядке из списка а)-д):
а) больше; б) меньше; в) произведение; г) разность; д) сумма.
13. Пусть c>d, тогда по определению сравнения чисел верными являются неравенства:
а) c>0, d>0; б) – d< – c; в) c – d>0; г) – d> – c.
Выберите ответ из а)-г).
Уровень понимания(II)
21. Выберите суждения, которые согласуются с вашей точкой зрения на
целесообразность введения определения сравнения чисел:
а) это определение нужно, так как не умеем сравнивать все числа;
б) это определение нужно, так как дает возможность сравнивать все
числа и алгебраические выражения;
в) это определение не нужно, так как есть правила для сравнения всех
чисел;
г) это определение не нужно, так как, чтобы сравнить два числа m и n,
надо найти их частное и сравнить его с единицей.
22. Известно, что 2а > в, и требуется доказать, что а + в < 5а – в. Найдите в списке а)-г) верный перевод требования задачи:
а) а+в < 0 и 5а – в < 0; б) (а+в) – (5а – в) < 0; в) (5а – в) – (а+в) < 0;
г) 2а – в > 0.
23. При каком условии выражение (х – 2 )2 будет больше выражения
х2 + 4?
Выберите ответ из списка а)-д): а) x > 2; б) x > 0; в) x = 0; г) x < 0;
д) x = 2.
Уровень применения (III)
31. Ниже приведены четыре этапа доказательства теоремы «Если m > n
и p- любое число, то m+p > n+p»:
а) m – n > 0; б) m – n + p – p > 0; в) (m+p) – (n+p) > 0; г) m+p > n+p.
Укажите номера этапов, где использовано определение сравнения чисел.
32. Если в задаче требуется установить, что первое выражение больше
второго, то следует:
а) сравнить каждое из них с нулем;
б) поделить первое выражение на второе;
в) найти разность сравниваемых выражений и сравнить ее с нулем;
307
г) сложить сравниваемые выражения и сравнить сумму с нулем.
33. Выберите задачи, для решения которых целесообразно использовать
определение сравнения чисел, и приведите их решения:
а) какое из чисел –2 или 3,5 лежит правее на оси Ох?
б) верно ли, что с >
1
?
с
в) площадь какого квадрата больше, если сторона первого больше стороны второго квадрата в два раза?
г) что меньше
Уровень знания
Уровень понимания
Уровень применения
1
1
или ?
4
3
Ключ к тесту 1 (Опр.)
11- б
12 - б,г
21- б
22 - б
31- а,г
32 - в
13 - в
23 - г
33 - б,в
Аналогично конструируются задания для диагностики усвоения других
единиц содержания темы «Неравенства».
Методика диагностирования
В зависимости от того, на каких этапах обучения используются задания
теста, строится и методика диагностирования. Рассмотрим ее на основе работы с приведенным тестом.
Задания первого уровня могут быть предложены на уроке, где вводится
определение сравнения чисел. По тому, как ученик конструирует или выбирает ответ, можно установить, усвоено ли определение на данном уровне.
Если ученик верно выполняет приведенные задания, то можно констатировать, что он усвоил определение сравнения чисел на уровне знания формулировки. Если ученик допускает хотя бы одну ошибку, то это означает, что
уровень знания определения им не достигнут. Вид допущенной ошибки в
предложенных заданиях покажет учителю, какое именно действие не освоено
учеником. Сделать этот вывод позволяет принцип подбора ответов к каждому заданию. Они подобраны так, чтобы учесть все варианты возможных
нарушений, которые может допустить ученик при выполнении этих заданий.
Поэтому в текущей диагностике полезны так называемые тестовые задания с
выбором ответов. Принцип подбора ответов при конструировании неформальных тестовых заданий будет раскрыт ниже.
Задания второго уровня могут быть использованы перед изучением
теорем о свойствах верных числовых неравенств. Диагноз о достижении этого уровня ставится, как и на первом уровне, на основе полноты и верности
выполнения каждого задания. Быстрая обработка полученных результатов,
благодаря закрытой форме представления заданий, позволит не только установить достижение данного уровня каждым учеником, но и включить обучаемых в процесс обсуждения результатов, в их анализ. В этом случае методи308
ка диагностирования будет служить средством организации учебнопознавательной деятельности учащихся, создающим условия для формирования положительных мотивов учения.
Задания третьего уровня могут быть предложены на уроке по закреплению приемов доказательства теорем – свойств числовых неравенств. В
этом случае методика диагностирования позволяет определить системность в
усвоении единиц содержания и установить тех учащихся, которые не видят
пока связи между определением сравнения чисел и способами доказательства
теорем. Диагноз, как и в предыдущих случаях, ставится на основе полноты и
правильности ответов в каждом задании. Обнаруженные затруднения учащихся покажут, на решение каких задач следует обратить внимание при подготовке к следующему уроку.
Задания четвертого уровня целесообразно предлагать либо на этапе систематизации и обобщения знаний, либо в итоговой диагностической работе.
Итак, пакет тестовых заданий может быть использован по частям на
отдельных этапах обучения. В этом случае оцениваются результаты достижения каждого уровня усвоения. Вместе с тем, чтобы получить целостную
картину усвоения диагностируемого объекта, нужно провести диагностику
по всему пакету тестовых заданий. При этом трехуровневые задания всего
теста должны быть аналогичны рассмотренным выше как по форме, так и по
содержанию.
Оценка, обработка и интерпретация результатов тестирования
Рассмотрим некоторые приемы и принципы, на основе которых осуществляется оценка результатов выполнения отдельных заданий и всего пакета тестов.
Оценка выполнения тестовых заданий одного уровня.
Задание считается выполненным верно и полностью, если указаны
только верные ответы (верная и полная совокупность) к нему, результат выполнения оценивается 1 баллом. Если задание выполнено неверно (выделены
не все составляющие ответ элементы, допущены ошибки при выборе ответа
или правильный ответ указан в совокупности с ошибочным), то результат
выполнения оценивается нулем баллов. При таком подходе к оцениванию
каждого задания число баллов за выполнение всех заданий конкретного
уровня в тесте совпадает с числом верных и полностью выполненных заданий соответствующего уровня.
Как правило, оценка за выполнение одноуровневых заданий диагностирующего характера не ставится. Цель этих заданий в другом – выявить
причины возможных ошибок учащихся в процессе изучения нового. Хотя
можно ввести в рассмотрение и так называемый коэффициент усвоения знаний (К) на соответствующем уровне. Он определяется как отношение числа
баллов, набранных учеником при выполнении заданий, к числу максимально
возможных баллов за выполнение всех заданий данного уровня. В этом слу309
чае оценка ставится из следующих соображений. Если коэффициент усвоения меньше 0,7, то усвоение проверяемого материала считается неудовлетворительным, и ученик не может без специальной коррекции продолжать обучение. Если К  0,7, то результат усвоения признается удовлетворительным,
и при оказании дополнительной помощи ученик может продолжать изучение
темы. Если К = 1, то запланированный уровень обучения достигнут, и ученик
готов к изучению нового.
Оценка выполнения разноуровневых заданий (тестов).
За основу выбирается прием введения весовых коэффициентов как частей общей степени обученности ученика. Суть его состоит в следующем.
Верное выполнение каждого задания первого уровня – уровня знания,
распознавания знаний – оценим в 2 балла. Верное выполнение заданий этого
уровня означает, что ученик достигает 20% обученности. За верное выполнение заданий второго уровня – уровня понимания (осознанного выполнения
действий) – припишем 3 балла, что соответствует 30% обученности. Если
ученик верно выполняет задания 1-го и 2-го уровней, то будем считать, что
он достигает в совокупности 50% обученности по проверяемому материалу.
Верное выполнение заданий 3-го уровня – уровня применения знаний в знакомой или близкой к ней ситуации – оценим в 2 балла, как и при оценке заданий 1-го уровня, т.к. его выполнение связано с актуализацией и воспроизведением необходимых действий применительно к ситуации, знакомой ученику по обучению. Выполнение заданий 1, 2 и 3-го уровней будет соответствовать 70% обученности, т.е. означать, что ученик освоил обязательный
программный минимум. Задания 4-го уровня – применение знаний в новой
ситуации – соответствуют коэффициенту 3, что добавляет еще 30% к накопленной сумме и соответствует 100% обученности. Тогда общую степень обученности по проверяемой теме (ее части; разделу; курсу) составят
2+3+2+3=10 частей.
Идеализация описанного выше процесса оценивания соответствует, вопервых, построенной иерархии уровней; во-вторых, не противоречит существующим и общепринятым нормам, когда 66 – 70% считаются достаточными для того, чтобы положительно оценить работу ученика. В-третьих, введение коэффициента 3 за выполнение заданий второго уровня позволяет даже
при оценке уровня обязательной подготовки учащегося учесть осознанность
выполняемых им действий, т.е. диагностировать понимание учебного материала. Следовательно, такой подход открывает реальные возможности для
изучения изменений в личных достижениях учащегося в плане освоения умственного опыта.
Исходя из вышеизложенного, построим алгоритм вычисления интегральной оценки за тест, содержащий задания разного уровня и позволяющий оценить результаты как текущей, итоговой диагностики, так и результаты «остаточных» знаний по теме.
Алгоритм построения интегральной оценки за тест.
1. Составить таблицу, заполнив соответствующие столбцы по количественным данным теста:
310
Уровни заданий
1. Знание
Число заданий
в тесте, n
х
Весовой
коэффициент,
2
р
Произведение,
nр
2х
2. Понимание
у
3
3у
3. Применение в знакомой ситуации
4. Применение в новой ситуации
z
2
2z
t
3
3t
2. Определить максимально возможную сумму баллов s за тест по формуле: s = 2х + 3у + 2z + 3t.
3. Определить максимально возможную сумму баллов k за обязательную часть теста (задания 1 – 3-го уровней) по формуле: k = 2х + 3у + 2z,
k  s.
4. По формулам установить границы (в баллах) для выставления оценки по 5 – балльной шкале:
«2», если m  0,7k;
«3», если 0,7k  m  0,85k + 0,9t;
«4», если 0,85k + 0,9t  m  0,85k + 2,4t;
«5», если 0,85k + 2,4t  m  s, где m – число баллов, набранных учеником при тестировании.
Замечание. Произведения 0,9t и 2,4t показывают части верно выполненных заданий t 4-го уровня с учетом весового коэффициента, равного 3
(соответственно 30% и 80% ).
5. Для оценивания результатов теста текущей диагностики, не содержащего заданий 4-го уровня, границы для выставления оценки определяются
следующим образом. Максимально возможная сумма баллов за тест (задания
1 – 3-го уровней) вычисляется по формуле: k = 2х + 3у + 2z, где х, у, z – число
заданий 1, 2 и 3-го уровней соответственно. Тогда оценка «2» ставится, если
m  0,7k;
оценка «3» ставится, если 0,7k  m  0,85k;
оценка «4» ставится, если 0,85k  m  0,9k;
оценка «5» ставится, если 0,9k  m  k.
Приведем пример вычисления интегральной оценки результатов выполнения теста (Опр.): 1)всего в тесте 9 заданий, при этом х = 3, у = 3, z = 3;
2) - ; 3) k = 6 + 9 + 6 = 21; 4)- ; 5) оценки: «2», если m < 15; «3», если
15 m < 18; «4», если 18  m < 19; «5», если 19  m  21.
Для диагностирования качественных изменений в состоянии математической деятельности учащихся используются сопоставимые по содержанию
задания. Здесь возможны два пути. Первый связан с описанным выше подходом включения заданий теста на различных этапах обучения. В этом случае
результаты выполнения всего пакета теста сравниваются с результатами выполнения отдельных заданий в тестах. Сопоставимые задания легко могут
311
быть построены учителем по аналогии. Эти задания иногда называют эквивалентными. Второй путь предполагает включение в итоговый тест по теме
заданий, эквивалентных тем, что использовались в соответствующем пакете
тестов. Для определения возможных изменений в деятельности учащихся
при усвоении темы используют прием сравнения результатов по следующим
параметрам: стабильность (нестабильность), прогресс (регресс) в усвоении
содержания учебного материала.
Приведем пример итогового теста (И) по теме «Неравенства», в который включены сопоставимые задания с тестом (Опр.), и методику оценивания сопоставимых заданий.
Тест (И)
Цель диагностики: оценить степень обученности учащихся по теме
«Неравенства».
Уровень воспроизведения (I)
11. Пусть c – d < 0, тогда по определению сравнения чисел верными являются неравенства:
а) c<0, d<0; б) c<d; в) – c> – d; г) – c < – d.
Выберите ответ из а)-г).
12. Составьте верные предложения, устанавливающие связь между p и
q, из фраз и слов, имеющихся в списке а)-з):
а) является; б) разность (p – q); в) p больше q; г) отрицательной; д) положительной; е) равной нулю; ж) если; з) то.
Ответ запишите в виде последовательности выбранных букв из списка
а)-з).
13. Какому интервалу из списка а)-г) принадлежит сумма а+в, если
–4< а < – 1 и 2< в < 11:
а) (– 2, 11); б) (– 6, – 12); в) (– 2, 10); г) (– 16, – 3).
Уровень понимания (II)
21. Укажите номера упражнений, в которых неверно выполнена замена
первого неравенства вторым:
а) – 3x  6  x  – 2;
б) 9  2x – 3  x  6;
1
> 1  x < 1;
x
70163
70164
22. Сравните дроби С и Д, если С =
и Д=
,
35419
35421
в) 14 – 8x < 2x  7 < 5x;
г)
и выберите ответ:
а) С > Д; б) С < Д ; в) С = Д; г) не удается сравнить без калькулятора.
23. Из перечня действий а)-е) составьте два возможных плана доказательства теоремы «Если а > в и с > d , то а + с > в +d »:
а) определить знак разности чисел а и b;
б) определить знак разности чисел с и d;
в) определить знак разности (а + с) – (b + d);
г) сложить неравенства a>b и с> d;
312
д) сложить числа а – b и c – d;
е) сравнить числа, если их разность положительна.
24. Если с – неположительное число, то верными являются неравенства:
а) 3с  – 4с; б) 3с  4с; в) 3с  4с; г) –3с  4с; д) 3с < 4с.
Уровень применения (III)
31. Какие из приведенных неравенств в списке а)-д) являются верными,
если k – отрицательное число:
а) 9 < 13k; б) 9 > 13k; в) 9k < 13k; г) –9k < – 13k; д) 9k > 13.
32. Какому интервалу из списка а)-г) принадлежит разность а – в, если
–5< а < – 2 и 3< в < 12:
а) (– 2, 12); б) (– 8, – 14); в) (– 17, – 5); г) (– 2, 14).
33. Докажите, что если 2x > y, то 3x + y < 11x – 3y. Выделите этапы доказательства неравенства и составьте из перечня действий а)-д) планы различных способов доказательства:
а) установить знак разности выражений на основе выполненных преобразований над числами и данных в условии;
б) прибавить к обеим частям неравенства выражение…;
в) сделать вывод на основе определения сравнения чисел;
г) умножить обе части исходного неравенства на одно и то же число…;
д) найти разность сравниваемых в заключении выражений.
34. Решением неравенства
1 3х  1 2(1  х )


является промежуток:
3
2
3
а) х  – 1; б) х  – 1; в) х  – 0,2; г) х  – 0,4. Выберите ответ из а)-г).
35. Решите неравенства:
а) 2x + 1 > 2(x –1 );
б) 5(1 – x ) + 2  13 – 5x;
в)
9x  1
1
 3x  .
3
3
и укажите те из них, решением которых является любое число.
36. Укажите наибольшее целое решение неравенства
3( x  2)  10 x
 2  x из списка а)-д):
2
а) х = 1; б) х = 0; в) х = – 1; г) х = – 2; д) х = – 3.
Уровень применения в новой ситуации (IV)
41. Себестоимость деталей, изготовленных на токарном и револьверном
станках, определяется соответственно формулами fТ (n)  0,5n  200 и
f p ( n )  0,3n  400 , где n – число деталей, а f (n ) - себестоимость. Какой из станков наиболее выгоден при изготовлении более 1000 деталей? Выберите ответ
из списка а)-г):
а) любой; б) токарный; в) револьверный; г) не хватает данных для
сравнения. Обоснуйте кратко свой ответ.
42. Имеются три неравенства: 1) 3х  – 7х +2; 2) – 6х + 3  14х – 1 ;
3) 2х – 1  5х. Известно, что второе неравенство получено из первого с помощью некоторых преобразований. Установите этот способ преобразований
и подберите из списка а)-е) такое неравенство, которое получено из третьего
неравенства тем же способом:
313
а) – 4х – 4  – 10х – 6 ; б) – 4х + 1  – 10х +3; в)– 4х + 1  – 10х – 1;
г) –4х + 5  – 10х + 3; д) – 4х + 5  – 10х +3; е) – 4х + 3  2х + 5.
43. Укажите задачи из списка а)-д), которые сводятся к решению неравенства, и составьте соответствующие неравенства по тексту задачи:
а)при каком значении х график функции у = 5х + 2 пересекает ось абсцисс?
б) при каких значениях х график функции у = – 3х + 17 лежит выше
прямой у = – 4?
в) при каких значениях х дробь
х
х 1
?
меньше дроби
3
4
г) каким наибольшим целым числом сантиметров может быть длина
третьей стороны треугольника, если первая сторона равна 5см, а вторая – 12
см?
д) доказать, что 9х2 + 1  6х при любом х.
Ключ к тесту (И)
11 - б
31 - б,г
12 - ж-в-з-б-а-д,
ж-б-а-д-з
32 - в
13 - в
33 - д-а-в, г-б,
в-г-б
41 - в. Обоснование: f T  f P  0,2n  200;
n>1000, 0,2n>200, значит, 0,2n – 200>0,
т.е. f T  f P .
21 - а, г
22 - а
34 - б
35 - а, в
42 - д
23 - а-б-д-ж,
в-а-б-е-ж
36 - д
24 - а, в,
г
43 - б, в, г; – 3x+17>– 4,
х x 1

, 12 – 5< c <17
3
4
Приведем пример вычисления интегральной оценки по заданиям теста
(И):
1) всего в тесте 16 заданий, при этом х = 3, у = 4, z = 6, t = 3;
2) s = 6 + 12 + 12 + 9 = 39; 3) k = 6 + 12 + 12 = 30; 4) оценки:
«2», если m < 21;
«3», если 21  m < 28,2;
«4», если 28,2  m < 32,7;
«5», если 32,7  m  39.
Раскроем суть методики оценивания сопоставимых заданий.
В приведенных тестах сопоставимыми являются задания 13 и 12 из теста (Опр.) и задания 11 и 12 соответственно из теста (И). Для выделения указанных выше параметров составим пары (х, у), в которых зафиксируем результаты выполнения задания х из теста (Опр.) и эквивалентного ему задания
у из итогового теста (И). Сравнение результатов по выделенным типам заданий позволит выделить следующие пары.
Пара (0,0) описывает ситуацию «неусвоения» и означает, что ученик не
продвинулся в усвоении проверяемых объектов. Пара (0,1), напротив, позволяет выявить ситуацию «прогресса» в усвоении конкретного материала темы.
Пара (1,0) показывает «нестабильность» ситуации и свидетельствует, что
314
проверяемый математический факт оказался неусвоенным. Пара (1,1) позволяет отметить стабильную ситуацию в усвоении проверяемого объекта.
Для представления об «остаточных» знаниях учащихся по проверяемой
теме нужно составить еще один тест, результаты выполнения которого полезно сравнить с результатами пар сопоставимых заданий из теста (И).
Понятие «оперативной диагностики»: приемы подбора ответов
к неформальным тестовым заданиям закрытого типа
В приведенных выше примерах в качестве средства диагностики использовались тесты открытого и закрытого типов, которые являются специфической формой диагностирования. Такая форма заданий позволяет охватывать всех учащихся, допускает учет индивидуальных результатов каждого
ученика без больших затрат времени как на выполнение работы, так и на
проверку их учителем. Следовательно, тесты используются как средство
«оперативной» диагностики. Употребляя термин «оперативная диагностика»,
мы вкладываем в него такой смысл: а) осуществление диагностики непосредственно в процессе изучения, при этом весь материал темы может быть еще
не изучен, а диагноз ставится в целях коррекции; б) проверка работ учащихся
осуществляется преимущественно на этом же уроке либо при подготовке к
следующему. Но поскольку на проверку работ учитель не затрачивает много
времени, то это позволяет проводить тестирование часто, достигая систематичности и регулярности в получении информации о ходе учебного процесса,
которую невозможно получать с помощью контрольных работ в их традиционном понимании.
Таким образом, выбор формы диагностических заданий зависит как от
вида планируемого диагностического мероприятия, его места в процессе
обучения, так и от целей получения обратной информации.
Для конструирования оперативных диагностических заданий закрытого
типа необходимо выделить возможные ошибки, которые допускают учащиеся при усвоении учебного материала, и составить перечень ожидаемых ответов (верных, неверных, полных, некорректных и т.п.). В основе подбора ответов к неформальным заданиям «закрытого» типа, построенным на математическом материале, лежат следующие приемы:
 варьирование условий выполнимости и невыполнимости отдельных
признаков, характеризующих объект усвоения. Эти условия выделяются в
процессе логико-математического анализа конструкций соответствующих
элементов математического содержания, анализа структуры учебного материала, анализа способов их получения, преобразования и применения;
 включение нескольких правильных ответов, которые только в совокупности отражают требуемый уровень усвоения проверяемых знаний;
 включение в перечень ответов как верных, так и неверных (неполных, с ошибками) «шагов» доказательства теорем, решения задачи, приемов
преобразований и т.п.;
315
 включение в перечень ответов избыточной теоретической информации (математических положений), из которой ученик должен выбрать необходимую и достаточную для обоснования проведенных рассуждений; указание неверных границ применения анализируемых объектов и т.п.
5.2. Диагностика на этапе итогового (рубежного) контроля
Цель этого этапа состоит в выявлении степени обученности учащихся
по теме (разделу, курсу) и сопоставлении полученных результатов с требованиями Государственного образовательного стандарта к подготовке учащихся.
В качестве средства используются итоговое тестирование, тематические контрольные работы, зачеты, экзамены и другие контрольные мероприятия. Очевидно, что контрольные материалы и требования к их выполнению,
включая критерии и нормы оценивания, должны быть сформулированы на
этапе проектирования. При создании проекта, как было показано выше, следует выделить промежуточные контрольные точки (этапы диагностики) и
определить содержание текущей диагностики, ее средства. Следовательно,
только совокупность результатов текущей диагностики и контрольных мероприятий позволит получить полную картину как о продвижении ученика в
процессе изучения темы, так и на «выходе» из нее. Действительно, если в
процессе обучения не проводилась текущая диагностика, по результатам которой и осуществляется коррекция усвоения, то результаты только итогового
мероприятия не могут дать объективной информации об усвоении темы (раздела, курса) по ряду причин. Во-первых, в контрольную работу обычно не
включаются все вопросы изучаемого материала. В частности, в них не проверяется уровень знания формулировок определений, теорем, правил, не устанавливается и уровень понимания сущности доказательства теорем, которые
используются в решении контрольных задач, и т.п. Во-вторых, решение задач
в контрольной работе связано с применением целого комплекса учебнопознавательных и специфических действий, формируемых не только в проверяемой теме, а новые умения реализуются в них лишь в «свернутом» виде.
Поэтому глубину, полноту и осознанность учеником специфических действий бывает трудно установить. Только в случае неверного решения задачи
можно обнаружить «шаг», на котором допущена ошибка, но не причину,
приводящую к этой ошибке. В-третьих, контрольные мероприятия не всегда
позволяют выявить опыт творческой деятельности учащихся, их эмоционально-ценностное отношение к изучаемому, к самому процессу познания.
Для выявления этих качественных характеристик нужны специальные методики, которые используют в текущей (промежуточной) диагностике, т.е. вне
стрессовых ситуаций, возникающих у школьников перед контрольным мероприятием.
316
Таким образом, этап итогового контроля служит для выявления, измерения, оценивания и сопоставления всех результатов, полученных в ходе всего образовательного процесса.
Проблемы оценивания и определения критериев оценки
Рассмотрим содержание выделенных действий учителя: выявление, измерение и оценивание. Выявление означает установление фактически усвоенных знаний и умений. Измерение связывают с нахождением некоторых количественных характеристик – показателей. Подобный коэффициент,
названный коэффициентом усвоения, мы рассмотрели при определении алгоритма для оценивания тестовых заданий.
Решение проблем оценивания на итоговом этапе обучения связывают с
описанием требований к уровню предметной подготовки школьников, которые зафиксированы, в частности, в программах по математике. Однако эти
требования не являются стандартами в том смысле, что в них, кроме, пожалуй, обязательного уровня подготовки, не выражены четко и однозначно понимаемые параметры. Для того чтобы учитель мог выполнять действия выявления, измерения и оценивания, необходимо, чтобы у него имелся качественный (надежный и валидный) инструментарий для измерения знаний и
умений школьников и практическое обоснование конечных результатов как
оценочного эталона.
Основой для оценки успеваемости учащихся являются итоги (результаты) контроля, а для оценивания умственного развития (качеств мышления,
интеллектуальных умений), овладения школьниками приемами и методами
познания – итоги всего комплексного диагностирования по выделенным для
этих целей параметрам. И в том и в другом случаях учитываются как качественные, так и количественные показатели. Количественные показатели
фиксируются в виде отметок (условных обозначений), а качественные – в виде оценочных суждений. При этом каждому оценочному суждению часто
приписывают определенный, заранее согласованный балл (показатель, отметку) по выбранной шкале.
Всякая оценка складывается под влиянием двух факторов: объективного и субъективного. В качестве объективного фактора, по мнению
Л.М. Фридмана, выступает фактический результат контроля учебных действий ученика. Отношение оценивающего субъекта (учителя) к оцениваемому субъекту (ученику), а также цель самого действия оценивания относят к
субъективным факторам. Оценка учителем (учеником) самого себя также
носит субъективный характер.
В литературе, посвященной проблеме оценивания, очень часто можно
встретить требование объективности оценки учебной работы ученика. Но что
это требование означает? Реальная жизнь показывает, что при разном способе оценивания работы ученика оценка будет, несомненно, различной, но она
каждый раз может быть вполне объективной, соответствующей действительному положению дел. Объективность как принцип диагностирования и кон317
тролирования обученности заключается в научно обоснованном содержании
самого диагностического инструментария (тестов, заданий, вопросов), диагностических процедур, в доброжелательном отношении учителя ко всем
обучаемым, в точном и адекватном оценивании знаний, умений учащихся в
соответствии с установленными для этих целей критериями. Практически
«объективность диагностирования означает, что выставленные оценки совпадают независимо от методов и средств контролирования и педагогов, осуществляющих диагностирование» [76, с.403].
В педагогической литературе выделяют несколько способов оценивания: личностный, сопоставительный и нормативный. Личностный способ
связан со сравнением состояния знаний, умений, (обученности) ученика на
момент обследования с его прошлым опытом. Его часто используют, чтобы
поддержать ученика, создать положительную мотивацию и интерес к учению.
Сопоставительный способ оценивания учебной работы учащихся предполагает сравнение успехов одного ученика с успехами других. И несмотря
на то что он довольно часто практикуется в школе, психологи считают его
недопустимым. Сам ученик в своей самооценке может производить такое
сравнение, но учитель гласно этого делать не должен.
Нормативный способ оценивания связан со сравнением успеха ученика
с установленной нормой. Этот способ дает наибольший эффект в следующих
случаях. Во-первых, когда формируется конкретное действие, для которого
создана пошаговая программа (алгоритм, алгоритмическая схема). Для учителя этот способ оценивания дает информацию о полноте и качестве сформированного действия, где пошаговая программа и выступает в качестве
нормы, образца. Во-вторых, при установлении уровня овладения учащимися
пройденным материалом. Здесь нормой выступают уровни усвоения (обученности). Этот способ оценивания используется на рубеже изучения темы,
раздела, курса.
Проблема измерения непосредственно связана с проблемой его качества. К числу качественных характеристик измерения относят: объективность, надежность и валидность.
Объективность предполагает согласованность всех этапов измерения:
проведения измерений, обработки данных, интерпретации результатов измерения. Измерение считается объективным, если удается максимально исключить интерсубъективное воздействие исследователей (или лиц, проводящих
диагностику). Надежность показывает, насколько точно проведено измерение
изучаемого явления, предполагает получение тех же результатов измерения
одного и того же признака при повторном измерении. Валидность (достоверность) позволяет определить, действительно ли измеряется то, что требуется
измерить, или что-то другое.
Анализ существующей оценочной практики, отраженный в работах
отечественных исследователей (В.С. Аванесов, В.П. Беспалько, В.М. Соколов, Б.У. Родионов и др.) показал, что традиционные формы контроля учеб318
ных достижений школьников не всегда бывают объективными, валидными и
надежными методами диагностики.
Субъективность оценок и невоспроизводимость (неповторимость) результатов, полученных с помощью традиционных методик, как правило, связаны с тем, что предлагаемые материалы для их осуществления не всегда соотносятся с диагностируемыми целями обучения, с установленной нормой.
Это объясняет невозможность принятия эффективных решений по совершенствованию процесса обучения. Следовательно, проблема оценивания непосредственно связана и, в конечном счете, определяется постановкой диагностических целей, а также разработкой материалов для объективного контроля
за качеством знаний учащихся на всех этапах обучения.
Обычные контрольные работы помогают учителю и учащимся увидеть
слабые места в усвоении предмета, но оценивание по ним также является неточным и нестрогим. Главной причиной этого ученые считают отсутствие
критериев оценки выполнения таких работ, отмечают, что при оценивании
преподаватели исходят из различных соображений и критериев оценки. Традиционный подход к оценке выполненных заданий носит характер интуитивного, неалгоритмизированного оценивания. Отсутствует однозначное правило соответствия, присвоения числа измеряемому свойству или явлению.
Ученые, занимающиеся проблемами измерения и оценивания, видят
два возможных пути повышения объективности и достоверности оценивания.
Первый – связан с совершенствованием качества измерения письменных работ (привлечение к оцениванию необходимого числа экспертов, разработка и
введение алгоритмов оценивания сложных задач и заданий и т.п.). Второй
путь – переход к тестовому контролю. Примеры составления тестовых заданий с учетом объективности их оценивания рассмотрены выше.
Таким образом, первым, необходимым требованием при переходе к
объективным методам контроля качества усвоения выступает диагностичное
описание целей. Следовательно, рассмотренные раньше подходы к построению системы диагностируемых целей не только служат ориентировочной основой при создании проекта изучения учебного материала, основой при разработке диагностического инструментария, но и являются определяющими
при выполнении учителем действий по выявлению, измерению и собственно
оцениванию знаний и умений школьников.
Пути и способы оценивания математической
подготовки учащихся
В литературе, посвященной проблеме оценивания и определения критериев оценки, единой точки зрения в этих вопросах не существует. Иногда
для определения критериев оценки предлагают различные градации (степени) выполнения заданий. Например, могут описываться различные случаи
полноты и верности выполнения заданий: верно и полностью; верный ход
рассуждений, но не доведенный до конца; верна только часть рассуждений
(преобразований) и т.п. Так, в нормах Минвуза СССР и позднее в програм319
мах по математике в описании критериев оценки задаются следующие количественные показатели (доля, часть) выполненной контрольной работы: 2/3
правильного выполнения работы соответствуют оценке «3», 3/4 правильного
выполнения работы и больше – оценке «4», верно выполненная работа –
оценке «5».
Многие исследователи опираются на эмпирические показатели таких
границ, определяя 2/3 усвоенного программного материала как критическую
массу знаний, которая может быть признана достаточной в качестве обязательного минимума.
За точку отсчета в государственном образовательном стандарте по математике принимается обязательный минимум знаний, усвоение которых соответствует оценке «удовлетворительно». Ученик, достигший этого уровня
(уровня обязательной подготовки), имеет возможность выбирать – либо оставаться на этом уровне, либо осваивать следующий. Оценки «4» и «5» на
уровне возможностей выставляются методом «суммирования» в зависимости
от объема знаний, превышающего обязательный уровень.
Именно этот подход отражается в построении многоуровневых контрольных работ. Суть оценивания работы при таком подходе состоит в следующем.
Если ученик верно выполняет задания, относящиеся к уровню обязательной подготовки, то он получает оценку «3» или «зачет», если, кроме обязательного, учащийся выполняет задания следующего – реконструктивного
(преобразующего) уровня, то его работу можно оценить как хорошую, т.е.
поставить оценку «4». Поднимаясь на следующую ступеньку, т.е. выполняя
задания продуктивного, творческого характера, ученик может получить
оценку «5» при условии, что предыдущие задания выполнены верно.
Внедрение в школу государственных образовательных стандартов без
жесткого определения единой критериальной основы оценивания предметной подготовки учащихся оставляет пока учителю некоторую «свободу» в
самостоятельном определении норм оценивания. И хотя в нормативных документах, в частности в программе по математике, выделены совокупности
умений, которыми должен овладеть ученик на уровне обязательной подготовки, но и здесь не прописаны нормы оценивания. За учителем остается
«свобода» выбора критериев оценки «в наиболее напряженном, нижнем
участке оценочной шкалы».
Государственный подход, отраженный в нормативных документах
(Государственный образовательный стандарт, программы), не вносит определенности в решение вопросов корректного и объективного оценивания математической подготовки учащихся, что приводит порой к завышению или
занижению оценок в школьной практике, т.е. к девальвации оценки.
Вместе с тем относительность учительских отметок нельзя рассматривать исключительно как следствие расплывчатости критериев оценивания,
отсутствия четкой нормативной базы и т.п. Во многом она обусловлена самими принципами функционирования общеобразовательной школы. К их
числу относят принцип положительного оценивания подавляющего боль320
шинства учащихся и принцип ориентации на локальную (внутриклассную,
внутришкольную) статистическую норму знаний при выставлении школьных
отметок. Именно эти принципы, по справедливому замечанию Г.А. Стрюкова, определяют своего рода общепедагогическую закономерность: «чем ниже
уровень знаний в группе, тем мягче оценка» [100, c.15].
В условиях личностно ориентированного подхода к обучению учителю
важно обеспечить соблюдение основных принципов диагностики: объективность, систематичность и гласность в оценивании. Важно при оценивании
знаний учащихся внушить уверенность в справедливом отношении, поддержать самооценку и уровень притязаний каждого ученика. Это, на наш взгляд,
становится возможным тогда, когда не только учитель, но и ученики и их родители знают критерии, по которым выставляются школьные оценки. Еще
более важным является разработка учителем норм и критериев оценки на
этапе создания проекта изучения темы и ознакомление всех заинтересованных лиц с этими критериями.
Опираясь на существовавшие и разрабатываемые ныне пути и способы
оценивания математической подготовки учащихся, выделим возможные ориентиры в разработке соответствующих критериев оценки тематической контрольной работы.
В последнее время в содержании контрольной работы выделяют основную (базовую) и вариативную части. Вариативная часть контрольной работы
содержит задания более высокого уровня сложности и трудности чем базовая. Кроме того, и в основной части контрольной работы задания могут располагаться по мере возрастания сложности и соответствовать различным
уровням усвоения знаний. Поэтому такие контрольные работы все чаще
называют разноуровневыми контрольными работами.
Для того чтобы определить способы оценивания разноуровневой контрольной работы, выделим основные этапы подготовки контрольных материалов для оценивания.
Рассмотрим эти этапы на примере анализа контрольной работы, приведенной в журнале «Математика в школе» [105, c.47] по теме «Неравенства, 8
класс».
Тематическая контрольная работа (Неравенства, 8 класс)
1. Решить неравенства:
5x  3  6 x  7 ;
2)
4  3x x
 1 .
3
6
2. Доказать, что неравенство (a + 3)(a – 2)>(a + 4)(a – 3)
верно при любых значениях a.
3. Решить систему неравенств.
2 x  15  0,

12  3x  0
4. Найти наименьшее целое число, являющееся решением системы.
3( x  2)  4 x  5( x  2),

6( x  3)  2( x  2)  7 x
321
5. Длина прямоугольника больше 10 см., а ширина в 2,5 раза меньше длины.
Доказать, что периметр прямоугольника больше 28 см.
Приведенная контрольная работа состоит из двух частей. В первую часть
входят четыре задания базового уровня подготовки: 11, 12, 2 и 3, а во вторую
(дополнительную) – задания повышенного уровня – № 4 и 5.
Приведем решение, анализ и комментарии к некоторым заданиям контрольной работы.
Решение 11. 5x  3  6x  7 , 5x  6 x  3  7,  x  4, x  4 .
Ответ. x  4 .
Успешное решение этого неравенства связано со следующими действиями учащихся:
1) переносить члены неравенства из одной части в другую; 2) находить сумму целых чисел с разными знаками; 3) приводить подобные члены; 4) делить
обе части неравенства на коэффициент при x, равный (– 1).
Решение 12.
Ответ. x 
4  3x x
2
  1 , 2(4  3 x)  x  6, 8  6 x  x  6, 5 x  2, x 
.
3
6
5
2
.
5
Перечислим проверяемые действия учащихся при решении неравенства
12, продолжив их нумерацию, и сохранив прежнюю для уже названных действий: 5) умножать обе части неравенства на положительное число; 6) раскрывать скобки, перед которыми стоит знак + ; 1) переносить члены неравенства из одной части в другую; 3) приводить подобные члены; 2) находить
сумму чисел с разными знаками; 7) делить обе части неравенства на положительный коэффициент при x.
Таким образом, задание 1 в контрольной работе предполагает проверку
выполнения учащимися действий 1)-7). Новыми из них являются действия 1,
4, 5, 7. Поэтому основная цель этого задания состоит в установлении степени
освоенности этих действий, т.е. сформированности умения решать неравенства.
Умение решать неравенства входит как составной элемент в умение решать систему неравенств, поэтому, прежде чем переходить к определению
критерия оценки первого задания, необходимо выяснить состав проверяемых
умений при выполнении третьего и четвертого заданий контрольной работы.
Не приводя здесь решения системы из задания 3, перечислим только
проверяемые действия учащихся. Сохраним прежнюю нумерацию списка
действий: 1) переносить члены неравенства из одной части в другую; 7) делить обе части неравенства на положительное число; 8) делить обе части неравенства на отрицательное число (отличное от –1); 9) отмечать на числовой
оси решения системы неравенств; 10) записывать решения системы в виде
двойного неравенства.
Базовым умением для решения систем неравенств является умение решать неравенства, включающее в себя все перечисленные действия 1, 4, 5, 7
и умение 8. Специфическими для этого задания являются действия 9 и 10.
322
Для создания полной картины проверяемых умений проанализируем задание 4, которое авторы не включают в обязательную часть работы. Выполнение этого задания предполагает следующие действия из отмеченных выше:
6, 1, 3, 7, 8, 9. Новым, специфическим для этого задания, является действие
(11) по выбору наименьшего целого числа, являющегося решением системы
неравенств.
Выполнение задания 4, во-первых, требует применения большего количества разнообразных действий, чем в предыдущих заданиях. Во-вторых, поиск наименьшего целого числа среди отрицательных решений неравенства
(системы неравенств) всегда является трудным делом для учащихся. Поэтому
успешное выполнение этого задания может повысить на один балл оценку,
выставленную за обязательную часть контрольной работы.
Итак, задания 1, 3, и 4 направлены на проверку сформированности двух
комплексных умений: решать неравенства и решать системы неравенств.
Соотнесение выделенных заданий контрольной работы с целями обучения и развития учащихся при изучении темы «Неравенства» требует выяснения полноты проверяемых умений. Это означает, что в работе должны быть
представлены: все виды неравенств типа f(x)>(<)0, f(x)>(<)g(x), включая нестрогие неравенства; предусмотрен перенос как положительных, так и отрицательных членов неравенства из одной части в другую; перенос членов как
содержащих, так и не содержащих неизвестного. Кроме того, в работе должны быть неравенства, сводящиеся к основным видам простейших неравенств,
содержащих различные сочетания свободных членов и коэффициентов при
неизвестном. С учетом последнего замечания в рассмотренном варианте работы требуется небольшая корректировка. Например, в заданиях 11 и 3 действия 4 и 8 применяются к неравенствам, содержащим отрицательные числа
в левой и правой частях: в одном случае – x > – 4 , в другом, – 3x < – 12 .
Здесь имеет смысл в одном из заданий предусмотреть случай – x > 4. Проще
это сделать, заменив неравенство в задании 11 на неравенство 5x – 3 > 6x + 1,
сводящееся к неравенству – x > 4.
Одним из важнейших показателей, характеризующих уровень применения знаний и понимания основных единиц темы «Неравенства», является
умение доказывать неравенство.
В анализируемой контрольной работе на проверку этого умения направлены
второе задание в основной части и пятое задание в дополнительной.
Рассмотрим вариант выполнения второго задания.
Доказательство:
1)
(a  3)( a  2)  (a  4)( a  3)  a 2  2a  3a  6  (a 2  3a  4a  12) 
 a 2  a  6  (a 2  a  12)  a 2  a  6  a 2  a  12  6.
2) 6>0, значит неравенство верно при любых значениях a.
Перечислим проверяемые действия учащихся при выполнении второго
задания, продолжив нумерацию действий в предыдущих заданиях:
12) выделять сравниваемые выражения; 13) находить разность сравниваемых
выражений;
323
14) умножать двучлены; 6) раскрывать скобки, перед которыми стоит знак
плюс и знак минус; 3) приводить подобные; 15) определять знак разности
выражений и делать вывод, т.е. осуществлять доказательство по схеме:
1) А – В; 2) если A – B >0, то A > B.
Чтобы выполнить названные действия, ученик должен понимать смысл
требования задачи; выделять условие и заключение; знать определение сравнения чисел и понимать его роль в доказательстве неравенств.
При выполнении этого задания возможны ошибки при осуществлении
действий 14, 6 и 3, если они были плохо освоены в предыдущих разделах
курса алгебры. Поэтому при оценке этого задания следует учесть, как повлияли эти ошибки на ход рассуждений.
Грубой ошибкой будет проведение рассуждений по одной из цепочек
схемы нисходящего анализа, т.е. преобразование левой и правой частей неравенства, истинность которого еще не установлена.
Конечно, по верному выполнению задания 2 этой контрольной работы
судить об умении учащихся доказывать неравенства довольно трудно. Вывод
при верном его выполнении может быть более конкретный: учащийся умеет
доказывать неравенства приведенного вида.
В пятом задании, не входящем в обязательную часть контрольной работы, от учащихся требуется провести доказательные рассуждения с применением теоремы о сложении неравенств одинакового знака. Приведем один из
вариантов его выполнения.
Доказательство.
Пусть d – длина прямоугольника, тогда d>10.
Ширина прямоугольника в 2,5 раза меньше длины, тогда, разделив обе части
неравенства на 2,5, получим:
d
10
. Пусть ш – ширина, тогда ш>4.

2,5 2,5
Периметр прямоугольника находится по формуле Р=2(d+ш), тогда сложив
неравенства d>10 и ш>4, получим d+ш>14 (по теореме о сложении неравенств одинакового знака). Умножим обе части неравенства на 2, получим
2(d+ш)>28, т.е. Р>28.
Доказательство может быть проведено и иначе, например, по той же схеме, что и в задании № 2 обязательной части работы.
Задание 5 направлено на проверку следующих умений:
а) переходить от словесного описания отношений «больше», «меньше в 2,5
раза» на язык неравенств, т.е. переводить условия задачи с естественного
языка на математический;
б) применять свойства неравенств (о почленном делении на положительное
число и о сложении неравенств одинакового знака);
в) интерпретировать и моделировать требования задачи в виде неравенства
2(d+ш)>28 (в выбранных учеником обозначениях).
Задание 5 требует не только непосредственного применения усвоенных
знаний, но и существенного осмысления новой ситуации, ее анализа и синтеза. Его выполнение учеником на данном этапе обследования соответствует
уровню применения знаний в новых, существенно измененных условиях. По324
этому решение этой задачи на доказательство может служить основой для
выставления отличной оценки при условии, что все остальные задания контрольной работы выполнены учеником верно.
Как было отмечено выше, анализируемая контрольная работа состоит из
обязательной и дополнительной частей. Но значит ли это, что для выставления оценки «3» ученик должен безупречно выполнить задания 11, 12, 2 и 3?
Может ли ученик получить удовлетворительную оценку, если он допустит
ошибку, например, при выполнении действий над целыми числами? Как оценить работу ученика, если он неверно решит неравенство в задании 12 , но
верно выполнит задание 4 из дополнительной части работы и т.п.? Для ответа на поставленные вопросы нужно оценить новизну и значимость выделенных действий, и учесть эти параметры при определении критериев оценки.
Воспользуемся методом введения весовых коэффициентов, который позволяет перейти к интегральной оценке за контрольную работу. Установим
весовые коэффициенты (баллы) для всех выделенных действий по 5балльной шкале, определяя степень их новизны и значимости, простоты и частоты применения, системности и целостности. Опишем эту шкалу.
Если действие выполнено неверно, то это соответствует нулю баллов.
Каждому действию, освоенному ранее, т.е. не являющемуся новым в данной
теме, припишем один балл. К ним, например, относятся действия 2, 3 и 6.
Действие, которое является новым в теме и отличается простотой выполнения или его аналог применялся ранее к другим объектам усвоения, оценим
двумя баллами. К ним, например, относятся действия 1, 5, используемые в
решении уравнений. Новые и значимые действия, которые являются относительно простыми, оценим в 3 балла. К ним, например, относятся действия 7 и
12.
Остальные новые и значимые в теме действия, обладающие свойствами
системности (действия 4, 9, 10) оценим в 4 балла, а обладающие еще и свойством целостности, оценим в 5 баллов (действия 8,15).
Таким образом, получим следующую таблицу весов, где нумерация проверяемых действий совпадает с выделенной при анализе заданий (таблица
5.1.).
Таблица 5.1.
№ заУмение
задание11 задание12 задание задание
дания
2
3
решать не- решать си- доказыват
равенства
стему не- неравенст
равенств
Число
1) - 2
5) - 2
12) - 3
1) - 2
1) - 2
8) - 5
12) - 3
баллов
2) - 1
6) - 1
13) - 1
7) - 3
4) - 4
9) - 4
13) - 1
3) - 1
1) - 2
14) - 1
8) - 5
5) - 2
10) - 4
15) - 5
4) - 4
3) - 1
6) - 1
9) - 4
7) - 3
2) - 1
3) - 1
10) - 4
7) - 3
15) - 5
Итого
8 б.
10 б.
12 б.
18 б.
11 б.
13 б.
9 б.
325
На основе этой таблицы строится интегральная оценка ученика за выполнение первой части работы, т.е. ведется подсчет баллов за выполнение
каждого задания следующим образом. Если ученик верно выполнил все действия, например, в задании 11, то он получает 8 баллов. Если он верно выполняет только первые три действия, то результат определяется на основе
суммирования баллов за каждое верно выполненное действие и равен 4 баллам (2 + 1+ 1). Таким образом, подсчет баллов можно вести по числу верно
выполненных учеником действий с учетом их весовых коэффициентов, а
можно воспользоваться формулой Вi = P – q, где Bi – сумма набранных учеником баллов за i –е задание, P – максимальная сумма баллов за это задание,
q – число баллов за предусмотренное, но неверно выполненное действие.
Так, если ученик верно выполнил в третьем задании действия № 1,7, 8, 9, но
не записал ответ в виде двойного неравенства, т.е. не выполнил действие №
10, то сумма баллов за это здание равна 14, В3 = 18 – 4 = 14.
Сложив весовые коэффициенты по столбцам таблицы, получим максимальную сумму баллов за выполнение каждого задания (8, 10, 12 и 18 баллов). Поскольку приведенные в таблице задания отнесены к обязательному
уровню усвоения, то вес М обязательной части контрольной работы составит
48 баллов (8+10+12+18).
Во второй части таблицы 5.1 приведена оценка выделенных действий,
входящих в состав трех умений, проверяемых в контрольной работе. Сложив
весовые коэффициенты в каждом из трех последних столбцов таблицы, получим, что умение решать неравенства оценивается в 11 баллов, умение решать системы неравенств – в 13 баллов (учитываются только специфические
действия), а умение доказывать неравенства оценивается в 9 баллов. Таким
образом, можно найти сумму баллов К за новые умения, проверяемые в контрольной работе: К = 11 + 13 + 9 = 33.
Чтобы определить нижнюю границу для выставления удовлетворительной оценки за контрольную работу, нужно найти процент, который сумма
баллов К составляет от суммы баллов М за обязательную часть работы. В
рассмотренном примере К = 33, М = 48, тогда (33:48)  100%  69 %. Следовательно, сумма К составляет 69 % от веса первой части контрольной работы.
Полученный показатель (69%) согласуется со всеми существующими ныне
нормами, определяющими нижнюю границу подготовленности школьников
2
3
(от до 70% всей работы). Поэтому естественно принять значение величины
К за точку отсчета при выставлении удовлетворительной оценки за контрольную работу по анализируемой теме. Кроме того, нам представляется,
что полученное процентное отношение (К : М), свидетельствует и о методически верном подборе заданий для проверки обязательного уровня подготовки.
Введение весовых коэффициентов позволяет установить не только количество баллов, набранных учеником, но и путем перебора выделить возможные наборы заданий из обязательной части контрольной работы, с которыми
326
может справиться ученик, чтобы получить сумму в 33 балла. Например,
школьник может выполнить задания 11 , 12 , 2 и приступить к решению системы неравенств, не получив верного ответа по разным причинам. Кстати, эти
причины должны быть вскрыты при анализе его работы и могут быть количественно определены. Полностью выполненные задания 11 , 12 , 3 уже позволяют поставить ученику удовлетворительную оценку. Но в этом случае
оценка должна сопровождаться соответствующими замечаниями о неосвоенных учеником действиях, в частности, по доказательству неравенств.
С учетом сказанного сформулируем рекомендации по выставлению
оценки за разноуровневую контрольную работу.
Пусть m – интегральная оценка, т.е. сумма набранных учеником баллов
за выполнение контрольной работы. Если m < K , где К – сумма баллов за
новые умения, проверяемые в контрольной работе, то выставляется оценка
«2».
Если К ≤ m ≤ М, где М – сумма баллов за обязательную часть работы, то
выставляется оценка «3». Правда, мы допускаем, что удовлетворительная
оценка может быть поставлена и при условии К– 2 ≤ m ≤ М, если в процессе
решения задач из дополнительной части работы ученик компенсирует ошибки, допущенные при выполнении заданий из обязательной части. Это допущение основано на том, что и в задании 4, и в задании 5 дополнительной части ученик практически будет выполнять те же самые действия, что и в основной части.
Более жесткие требования должны предъявляться при выставлении оценок «4» и «5». Для их получения следует потребовать выполнения обязательной части работы, т.е. сумма баллов m должна удовлетворять неравенству К
≤ m ≤ М. Если при этом ученик полностью и верно выполнит одно из заданий
дополнительной части, то его работа соответствует оценке «4». Для получения оценки «5» ученик должен показать безусловное владение знаниями на
уровне обязательной подготовки, т.е. набрать не менее М баллов и при этом
верно и полностью выполнить оба задания из дополнительной части. Один –
два недочета в работе, не влияющие на сущность выполняемых преобразований при выполнении всех заданий, вполне допустимы при выставлении
оценки «5».
Чтобы построить шкалу перевода баллов в школьные оценки «2», «3»,
«4» и «5», надо провести описанную выше работу не только с заданиями из
первой части работы, но и с заданиями из дополнительной части. Оценить в
баллах все действия, необходимые для выполнения этих заданий, используя
приведенный способ начисления весовых коэффициентов.
С учетом введения весовых коэффициентов сумма баллов за всю контрольную работу по теме «Неравенства» составляет 84 балла. Она складывается из 48 баллов за первую часть и из 36 баллов за вторую часть работы. Для
выставления оценки «4» необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: 33 ≤ m1 ≤ 48 и 16 ≤ m2 ≤ 24, где m1 – интегральная оценка ученика за
первую часть работы, а m2 – интегральная оценка за вторую часть работы.
327
Нижняя граница для оценки m2 в 16 баллов составляет
2
от максимальной
3
суммы баллов за задание № 4, а верхняя граница – 24 - балла равна максимальной сумме баллов за выполнение этого задания. Тогда, если сложить
оценки m1 и m2, получим границы интегральной оценки ученика за всю работу, которые и будут соответствовать школьной оценке «4». Описанная
процедура позволяет построить следующую шкалу перевода баллов в школьные оценки.
Баллы 0 ≤ m < 33 33 ≤ m < 49 49 ≤ m < 73 73 ≤ m ≤ 84
Оценки «2»
«3»
«4»
«5»
Заметим, что приведенные рекомендации по оцениванию контрольной
работы составлены с учетом того, что ее выполнение все учащиеся начинают
с решения задач обязательной части и лишь после этого переходят к последовательному решению задач дополнительной части контрольной работы.
Проведенный анализ позволяет выделить следующие этапы подготовки
контрольных материалов для оценивания результатов выполнения учащимися разноуровневой контрольной работы.
 выделение проверяемых умений в каждом задании, необходимых и достаточных для их выполнения учащимися, т.е. детальный анализ каждого задания самостоятельно составленной или отобранной для этих
целей контрольной работы;
 установление целей конкретной задачи в контрольной работе и соотнесение их с целями обучения и развития учащихся, с требованиями к
подготовке учащихся по теме, сформулированными в программах по
математике;
 установление критериев оценки за выполнение задач работы на основе
введения весовых коэффициентов для каждого проверяемого действия
по степени его значимости и новизны;
 вычисление суммы баллов М за часть работы, соответствующую обязательному уровню подготовки;
 определение количества и типов задач в контрольной работе, соответствующих принципу «минимальной достаточности» для удовлетворительной оценки работы:
а)вычисление суммы баллов К за выполнение тех действий, которые
являются новыми в анализируемой теме и значимыми в математической подготовке учащихся;
б)вычисление доли (процента) величины К от величины М обязательной части контрольной работы;
 выделение групп задач, решение которых соответствует оценкам «4» и
«5»;
 описание способа вычисления интегральной оценки за контрольную
работу и построение шкалы перевода баллов в школьные оценки.
Замечание. Если значение величины К удовлетворяет требованиям
328
2
М ≤ К ≤ 0,7М, то это значение принимается в качестве минимальной ниж3
ней границы для выставления удовлетворительной оценки. Верхняя граница
задается чаще всего показателем М. В случае, если значение величины К будет меньше
2
М или значительно больше 0,7М, следует еще раз проанализи3
ровать выделенные действия и произвести пересчет или изменить содержание обязательной части контрольной работы.
Схема анализа контрольной работы
Для проведения анализа контрольных заданий и учета весовых коэффициентов за каждое действие, входящее в состав проверяемых умений, можно
использовать специальную схему для анализа результатов выполнения контрольной работы. Она позволяет не только учитывать количественные данные, но и проводить содержательный анализ усвоения учениками конкретного учебного материала. При составлении схемы анализа контрольной работы
выделяют как общие показатели успешности (неуспешности), так и частные
показатели по выполнению каждого задания.
Для традиционных контрольных работ используют три формы схемы
анализа по способу отражения в них действий учащихся: позитивная, негативная и позитивно-негативная. Позитивная форма фиксирует правильность
выполнения учащимися как отдельных заданий, так и всех необходимых действий. Например, верно переносит члены неравенства из одной части в другую, верно выполняет умножение двучленов, верно решает неравенство и т.п.
Негативная схема анализа фиксирует как неверность выполнения задания в
целом, так и отдельные ошибки. Например, неверно решает неравенство, неверно приводит подобные члены и т.п. Позитивно-негативная форма схемы
анализа позволяет фиксировать верное и неверное выполнение заданий и
конкретных действий. Это более сложная схема анализа, т.к. включает много
разнообразных параметров. При использовании позитивно-негативной формы надо стремиться ограничить их число, включая лишь те, которые раскрывают цели диагностики (контроля) и могут быть использованы для содержательной интерпретации. Пример такой схемы анализа контрольной работы по
теме «Неравенства» приведен в таблице 5.2. Она состоит из двух частей: общие показатели и частные показатели.
Таблица 5.2
Схема анализа результатов контрольной работы.
Общие показатели
Число учащихся по списку…
Приняли участие в работе…
Справились с работой (получили оценки: 5, 4, 3)…
Общие показа- задание задазадазадазадание задавсе затели
1
ние 2
ние 3
ния 1-3 4
ние 5
дания 15
1)
2)
Выполнили
329
полностью и
верно
Не справились
Не приступили
Частные показатели
1)сформированность действий 1,5,7,4 и 8
В столбцах таблицы отмечается, как ученики выполняют выделенные действия:
1. Переносят члены неравенства из одной части в другую (2)
5,7. Выполняют деление (умножение) обеих частей
неравенства на положительное число (3+2)
4,8. Выполняют деление обеих частей неравенства на
отрицательное число (4+5)
11
Задания
12
3
4
***
***
Замечание. Если действие не проверяется заданием, то на пересечении
строки и столбца можно поставить прочерк или, например, знак ***. При
анализе каждого частного показателя полезно указывать весовые коэффициенты действий. Например, по первому и пятому показателю они приведены в
скобках.
2) допускают ошибки при решении неравенств, систем неравенств, при доказательстве неравенств:
11
12
В столбцах указывается количество учащихся, допу2
3
4
стивших ошибки при выполнении указанных действий
2. При сложении чисел с разными знаками
3. При приведении подобных
6. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак *** ***
минус или плюс
14. При выполнении умножения двучленов, одночлена ***
на многочлен
3) сформированность умения решать системы неравенств:
В столбцах указывается количество учеников, которые:
Верно решают каждое неравенство системы
9. Отмечают решения системы на числовой прямой
10,11. Записывают ответ в требуемом виде
4) умение доказывать неравенства приведенного вида (по заданию 2)
12. Выделяют сравниваемые выражения
330
3
4
13. Находят разность сравниваемых выражений
15. Определяют знак разности и делают вывод, т.е. осуществляют доказательство по схеме: 1) А – В; 2) если А – В > 0, то А > В
5) умение применять знания в новых условиях (задание 5):
16. Переводят условие задачи на математический язык (4)
17. Применяют определение и свойства неравенств для преобразования
полученных неравенств (4)
18. Интерпретируют и моделируют требование задачи, например, в виде
неравенства 2(d+ш)>28 (4)
Проводят доказательство, используя: синтетический метод; метод восходящего анализа; другие методы
метод
Заметим, что включенные в схему анализа таблицы по общим и частным
показателям служат для обнаружения некоторых закономерностей, для сопоставления результатов по видам заданий и т.п. В частности, таблица сформированности специфических действий по решению неравенств позволяет вычислять количественные показатели по каждому действию с учетом их применения к конкретным видам неравенств. Таблица по виду ошибок поможет
выявить те реальные пробелы в знаниях учащихся, которые оказывают негативное влияние на решение неравенств, систем неравенств и на доказательство неравенств.
Действия, выделенные при анализе заданий, сгруппированы в схеме
анализа по проверяемым в контрольной работе умениям. Следовательно, обработка данных, представленных в схеме, позволит найти и сумму баллов М
за часть работы, соответствующую обязательному уровню подготовки, и
сумму баллов К – за новые умения. Таким образом, схема анализа результатов выполнения контрольной работы может служить и для определения критериев и границ интегральной оценки.
5.3.Некоторые особенности итоговой аттестации школьников:
Единый государственный экзамен в форме тестирования
Развитие и становление различных видов и типов образовательных
учреждений, внедрение в практику работы школ вариативных образовательных программ, учебников, методов и технологий обучения обусловили актуальность проблемы оценивания учебных достижений и качества подготовки
выпускников.
В Приложении к материалам коллегии Министерства образования Российской Федерации от 12.10.2001 г. подчеркивается, что одни и те же отметки в аттестатах, выданных в разных школах, могут соответствовать совершенно разному уровню знаний. Обращается внимание на то, что с каждым
331
годом растет число медалистов, не подтверждающих свои знания во время
вступительных экзаменов в вузы. Отмечается, что качество и уровень образования выпускников разных школ не совпадают. Все больше различий выявляется в уровне подготовки школьников, получающих образование в городских школах, от их ровесников из отдаленных от центра районов.
Названная проблема приводит к нарушению преемственности среднего
общего образования и высшего профессионального образования. Она обостряется и тем, что почти в каждом вузе разрабатывается собственное содержание экзаменов. На протяжении ряда лет уменьшается количество выпускников средних школ, способных выдержать вступительные экзамены в высшие учебные заведения без дополнительной (довузовской) подготовки. Сохраняются и различия в отметках по учебному предмету, полученных учениками в школе, на вступительных экзаменах и при обучении в вузе.
Среди причин, влияющих на доступность высшего образования для
выпускников из отдаленных от центров районов, следует назвать и социальные причины.
Одним из путей преодоления обозначенных негативных тенденций является разработка и введение единой системы оценивания и проверки результатов обучения выпускников школ и знаний абитуриентов в форме единого государственного экзамена (далее ЕГЭ).
К числу основных задач введения ЕГЭ относят следующие задачи:
- расширение доступности высшего образования;
- снижение психологической нагрузки на выпускников общеобразовательных учреждений;
- объективизация и унификация требований к общеобразовательной
подготовке поступающих в вузы.
Предполагается, что введение единого государственного экзамена позволит решить следующие проблемы:
1. Обеспечить реальную эквивалентность государственных документов
о полученном среднем (полном) общем образовании.
2. Восстановить преемственность между высшим и общим образованием на этапе перехода с одной ступени на другую. Реально превратить конкурс в высшие учебные заведения в конкурс знаний.
3. Зачислять в вуз на основе конкурса документов, обеспечивая доступность качественного высшего образования для талантливой молодежи из
малообеспеченных семей и отдаленной от вузовских центров местности.
4. Обеспечить государственный контроль качества общего образования
путем создания независимой, более объективной системы оценки подготовленности выпускников общеобразовательных учреждений.
5. Создать технологию объективной независимой оценки подготовленности выпускников, которая могла бы использоваться в деятельности независимой службы аттестации образовательных учреждений.
В 2001 году Министерством образования был начат эксперимент по
введению ЕГЭ, в котором приняли участие пять регионов России. В целом, в
результате эксперимента была доказана принципиальная возможность про332
ведения ЕГЭ в форме усовершенствованного централизованного тестирования. Повсеместное введение ЕГЭ в России началось с 2009 года.
По замыслу авторов проекта, единый государственный экзамен объединяет два вида экзаменов: выпускной по предмету за курс средней школы
и вступительный экзамен в высшее учебное заведение. Поэтому по результатам экзамена до 2009 года выставлялись две отметки: пятибалльная – в аттестат о среднем образовании и стобалльная – в свидетельство для предъявления в вуз. В ходе многолетнего эксперимента осуществлялась независимая
объективная оценка подготовленности выпускников и абитуриентов, участвующих в ЕГЭ. Фактически обоснована возможность совмещения итоговой
аттестации в форме ЕГЭ и вступительных испытаний в вузы. Вместе с тем
анализ хода эксперимента и результатов массового тестирования выпускников школ показал, что еще ряд важных вопросов требуют разрешения.
Проблемы, связанные с введением ЕГЭ
Основные возражения противники ЕГЭ связывают с формой проведения экзамена. Считается, что с помощью теста можно проверять только отработанные навыки и умения, а реальные представления о знаниях учащихся
получить довольно сложно, т.к. глубину понимания, творческие способности
трудно проверить с помощью теста. Как правило, эти замечания связаны с
недостаточной информированностью о развитии тестологии, о современных
подходах к разработке теста, к оцениванию результатов обучения с его помощью [1, 117].
Многие учителя-предметники, а также родители выпускников весьма
настороженно относятся к введению ЕГЭ, считая процедуру экзамена недостаточно отработанной. К числу недостатков относят и «тестовую неискушенность» учащихся. Отмечается, что ученики не подготовлены к выполнению большого объёма заданий за короткое время. «Гуманитарнонаправленные» выпускники опасаются, что результаты ЕГЭ по математике
могут «испортить» им балл аттестата или существенно снизить их шансы на
поступление в вуз.
Новая бланковая форма проведения итоговой аттестации диктует необходимость подготовки учащихся к верному заполнению бланков регистрации
и бланков для записи ответов. Учитывая тот факт, что всякий экзамен – это
стрессовая ситуация, при введении ЕГЭ важной становится проблема психологической устойчивости школьника, решению которой в настоящее время
уделяется недостаточное внимание. Широкое внедрение ЕГЭ в качестве современного средства оценивания результатов обучения взывает к жизни и
новую проблему методического характера – подготовку учащихся к такому
виду итогового испытания.
В соответствии с задачами ЕГЭ его результаты предполагается засчитывать как конкурсные оценки в тот вуз, который выбрал для себя абитуриент. Но содержание экзамена не всегда учитывает профессиональные интересы вузов, не отражает требуемой глубины освоения учебных предметов, уме333
ний учащихся нестандартно мыслить. Поэтому к числу проблем, вызванных
введением ЕГЭ, относят разработку заданий продуктивного, творческого
уровня, а также изменение роли подготовительных курсов при вузах и поиск
иных путей отбора профессионально ориентированных абитуриентов.
Существуют и положительные стороны этого нововведения. Закодированные экзаменационные работы проверяются не в школе, где проходило
обучение, а в специально организованных центрах. Это исключает возможность протекционизма, а наличие обоснованных критериев и норм оценивания экзаменационной работы позволяет повысить объективность оценки
учебных достижений выпускников школ. При такой системе итоговой аттестации выпускников отпадает необходимость в занятиях с репетитором из
конкретного вуза или на подготовительных курсах с целью поступления в
выбранный вуз. Но при этом возрастает ответственность учителей школы за
качество предметной подготовки учащихся.
В ходе эксперимента высшие учебные заведения имели право зачислять студентов на основе свидетельств, содержащих результаты ЕГЭ по различным учебным предметам. Абитуриент получал возможность разослать
копии своего свидетельства о ЕГЭ в любое число вузов. Получив подтверждение из различных вузов о зачислении, абитуриент мог выбирать учебное
заведение, в котором он хотел бы продолжить своё образование. Вместе с
тем, практика массового тестирования выпускников школ в 2009 году выявила ряд организационных недостатков такой процедуры приема абитуриентов
в вуз. К ним можно отнести:
– неограниченный выбор абитуриентом различных специальностей и вузов не давал реальной картины участвующих в конкурсе;
– недостаточно обоснованный выбор школьниками дополнительных
дисциплин для ЕГЭ приводил к поиску специальностей с соответствующим
набором предметов, без учета склонностей и способностей выпускников;
– осуществление приема в вуз в три этапа (три волны) привело к хаотичному движению абитуриентов и их родителей от вуза к вузу, к неоправданному увеличению срока приемной кампании.
Таким образом, введение ЕГЭ как единой формы аттестации выпускников и оценки знаний абитуриентов вызывает к жизни ряд проблем, требующих своевременного разрешения и обусловливают актуальность проблем
обеспечения качества подготовки учащихся в общеобразовательной школе,
совершенствования средств оценивания результатов обучения. Министерство
образования Российской Федерации и авторы проекта по введению ЕГЭ анализируют все возникающие проблемы, ищут пути их решения, вносят коррективы как в содержание, так и в организацию ЕГЭ. Так, с 2010 года планируется ввести ограничения на число специальностей и вузов, в которые абитуриент может подать документы для участия в конкурсе.
Контрольно-измерительные материалы (КИМы)
334
Внедрение новой формы итоговой аттестации выпускников школ поставило перед обществом громадную, в некоторой степени революционную
задачу: оценить всех выпускников всех школ всех регионов России одним
измерителем. В качестве таких измерителей выступают контрольноизмерительные материалы, представленные в тестовой форме.
КИМы представляют собой систему специально подобранных проверочных заданий специфической формы, позволяющую количественно оценить учебные достижения учащихся в одной или нескольких областях знаний. Тестовые задания упорядочены в рамках определённой стратегии их
предъявления учащимся и обеспечивают информативность оценок уровня
подготовки испытуемых.
Поскольку контрольно-измерительные материалы служат средством
измерения (инструментом), с помощью которого реализуется процедура
стандартизированного тестирования, то далее рассмотрим структуру КИМов
и виды заданий экзаменационной работы, некоторые общие подходы к оцениванию результатов.
Содержание КИМов определяется на основе примерных программ общеобразовательных предметов, разработанных Министерством образования
и науки Российской Федерации для общеобразовательных учреждений, и не
может выходить за пределы указанных программ. Это означает, что дополнительные знания по предмету для успешной сдачи ЕГЭ не требуются.
В процессе осуществления эксперимента изменялось количество заданий экзаменационной работы, время на ее выполнение. Отрабатывалась методика начисления баллов за выполнение каждого типа задания и оценивания
всей работы. За 2002–2009 годы сложилась вполне определенная структура
экзаменационной работы по математике. В ней выделялись три части, соответствующие базовому, повышенному и высокому уровням усвоения проверяемого материала. Ниже в таблице приведены данные об изменении числа
заданий в каждой части и времени на выполнение всей работы за 2002 –
2009 годы.
Таблица
Число заданий и время выполнения экзаменационной работы по математике
Год
Часть 1
Часть 2
Часть 3
Всего
Время
(мин)
2002
13
9
3
25
210
2003
16
10
4
30
240
2004
14
9
4
27
240
2006-2009
13
10
3
26
240
В работе 2002г. с помощью 25 заданий не удалось охватить проверкой
некоторые важные умения, традиционно проверявшиеся на вступительных
экзаменах в вузы. В связи с этим в 2003г. изменилось число заданий, их распределение по частям и время на выполнение работы. Работа уже включала
30 заданий, распределённых на три части, и время выполнения было увеличено до 240 минут. Как видно из таблицы, в последующие годы число зада335
ний уменьшилось (до 26 в 2006–2009 годах), а время на выполнение работы
осталось 240 минут.
В контрольно-измерительные материалы (2002–2009г.г.) включены задания трех типов - А, В и С:
 к типу А относят задания с выбором ответа;
 к типу В относят задания с кратким дополняемым ответом в
виде числа, формулы, слова и т.п.;
 к типу С относят задания со свободно конструируемым ответом, не регламентированным по длине и форме представления.
В указанный период задания в каждом варианте экзаменационной работы распределялись по трем частям, которые различались по назначению,
по содержанию, по сложности включенных в них заданий. Рассмотрим более
подробно содержание этих частей на примере варианта ЕГЭ по математике в
2006 году, опубликованного в качестве проекта для обсуждения Федеральным институтом педагогических измерений.
Часть 1
А1 Вычислите: 4 4827
1) 36
2) 18
3) 6
4) 12
2
А2 Представьте в виде степени выражение:
8
1) 25 9
8
2) 5 9
3)
1) 10
2) 5
53 53
4) 52
252
А3 Найдите значение выражения
4
1 log 2 10
2
2
3) log 2 10
4) 20
А 4 Укажите множество значений функции, график которой изображен на
рисунке:
336
1) [– 3; 7)
2) [– 3; – 2)  [2; 5] 3) [– 4; 3] 4) [– 4;– 1)  (–1; 3]
А5 Найдите область определения функции
f ( x)  log 0,5 (2 x  x 2 )
1) (0; 2) 2) (– ; 0)  (2; +) 3) [0; 2] 4) (– ∞; 0]  [2; +)
А6 Укажите наибольшее значение функции
1) 1
2) 2
3) 0
y 1cos 3x
4) 4
А7 На рисунке изображены графики функций y  f (x) и y  g (x) , заданных
на промежутке [– 3; 6]. Укажите те значения х , для которых выполняется
неравенство f ( x)  g ( x) .
1) [– 3; – 1]  [1; 6]
2) [– 1;1] 3) [– 3; – 2]  [2; 6] 4) [– 2; 2]
337
А8 Решите уравнение
1) (1)n 
3)
sin 3x  1
2
 
 n, n  Z
9 3
 
(1)n   n,nZ
18 3
2)

 2
18
4) 

3
n,nZ
 2

n, n  Z
9 3
 1 3x  7
 
А9 Решите неравенство  
> 0,04
5
 
5
1) (– ; 3) 2) (– ; ) 3) (3; +  )
3
5
3
4) (– ;  )
А10 Укажите абсциссу точки графика функции f ( x)  5  4 x  x 2 , в которой
угловой коэффициент касательной равен нулю.
1) 0
2) 2
3) – 2
4) 5


3 sin    
2
 , если   7
В1 Найдите значение выражения
4
2 cos(   )
.
В2 Решите уравнение 2 x  37 = х + 1.
В3 Решите уравнение log 1,6 (5 x  8)  log 1,6 3  log 1,6 7 .
Часть 2

6
В4 Вычислите:  3,43 25 5  1,6 53 5  11


В5 Функция y  f (x) определена на промежутке (– 3;7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х0 , в которой функция y  f (x)
принимает наибольшее значение.
338
у
y  f (x)
1
1
-3
7
х
0
В6 Найдите наибольшее значение функции
[1;3].
y  2,7  e3x
2  x3  4
на отрезке
В7 Решите уравнение 0,2 x 1  35  5 x . В ответе запишите корень уравнения
или сумму корней, если их несколько.
В8 Нечетная функция y  f (x) определена на всей числовой прямой. Для
всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции
совпадает со значением функции g ( x)  x(2 x  1)( x  2)( x  3) . Сколько корней
имеет уравнение f ( x)  0 ?
В9 По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении
каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в 50 000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение З лет.
Какой доход был получен по истечении этого срока?
В10 Основанием прямой призмы АВСDА1В1С1D1 является прямоугольник
АВСD, стороны которого равны 6 5 и 12 5 . Высота призмы равна 8. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер АD и СD.
Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения.
В 11 Трапеция АВСD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание АD равно 15, синус угла ВАС равен
нус угла АВD равен
5
.
9
339
1
, си3
С1 Решите уравнение 4 cos xctgx  4ctgx  sin x  0 .
С2 При каких значениях х соответственные значения функций f ( x)  log 2 x
и g ( x)  log 2 (3  x) будут отличаться меньше чем на 1?
Часть З
С3 Для монтажа оборудования необходима подставка объёмом 1296 дм3 в
форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки
будет вмонтировано в пол, а её задняя стенка – в стену цеха. Для соединения
подставки по рёбрам, не вмонтированным в пол или стену, используется
сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.
С4 Основанием пирамиды FАВС является треугольник АВС, в котором
АВС = 90°, АВ =3, ВС = 4. Ребро АF перпендикулярно плоскости АВС и
равно 4. Отрезки АМ и АL являются соответственно высотами треугольников АFВ и АВС. Найдите объем пирамиды АМLС.
С5 Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию.
Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями
неравенства log 0,5 x 1  log 4

x  11 
  0 , а остальные не являются решениями этого
x 8 
неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена
таких прогрессий.
Дадим краткую характеристику частей приведенного выше варианта
единого государственного экзамена.
Часть 1 включает 13 заданий (А1 – А10, В1 – В3), что составляет 50%
всей работы. Эта часть направлена на проверку степени усвоения учащимися
только курса алгебры и начал анализа 10-11 классов и содержит задания обязательного уровня, достаточно полно проверяющие усвоение данного курса
на базовом уровне. Задания первой части являются типичными по той или
иной теме, методы их решения хорошо известны учащимся, а сами решения
отрабатывались в процессе обучения. Первые 10 заданий этой части относятся к типу А – с выбором ответа из 4 предложенных вариантов, а три задания
– к типу В – на дополнение. Успешное выполнение первой части работы позволяет сделать вывод об удовлетворительном усвоении учащимся материала
курса алгебры и начал анализа 10-11 классов.
Часть2 направлена на проверку степени усвоения учащимися отдельных вопросов содержания из различных разделов курса математики 5-11
классов. Она включает 8 заданий типа В (В4 – В11) и два задания типа С (С1
и С2), что составляет 38% всей работы. В эту часть вошли более сложные за340
дания по сравнению с заданиями обязательного уровня из первой части. Задания типа В требуют от испытуемых выполнения необходимых преобразований на черновиках и только записи полученного ответа в специальном
бланке. При выполнении заданий С1 и С2 испытуемый должен записать весь
ход решения в соответствующем бланке ответов. Для решения заданий второй части ученики должны показать умение применять знания сразу из нескольких разделов математики, в том числе из курса алгебры и начал анализа. Верное выполнение этих задач соответствует школьным оценкам «4» и
«5». Последние два задания (С1 и С2) относятся к типичным задачам выпускных экзаменов в школе и вступительных экзаменов в вузы со средним
уровнем требований к математической подготовке абитуриентов. Таким образом, результаты выполнения этой части работы позволяют дифференцировать учащихся, которые имеют более высокую математическую подготовку
по сравнению с базовой.
В третьей части представлены три наиболее сложных задания типа С
(С3 – С5), и их выполнение требует записи полного решения. Все они относятся к заданиям высокого уровня сложности и подобны наиболее сложным
задачам, которые предлагаются на выпускном экзамене в школе и на вступительных экзаменах в большинстве вузов. В свою очередь, эти задания также
отличаются друг от друга по сложности. Среди них обязательно должно быть
задание, которое ориентировано на ученика, имеющего в школе оценку «5»,
но который не предполагает обучаться математике в вузе. Еще одно задание
в этой части должно примерно соответствовать сложности задач на вступительных экзаменах в вуз, при обучении в котором математика присутствует,
но не будет для ученика основным изучаемым предметом. Третье задание
рассчитано на учеников, предполагающих в будущем тесно связать свою
профессиональную деятельность с углубленным изучением высшей математики.
Таким образом, задания третьей части работы дают возможность выделить выпускников, имеющих высокий уровень математической подготовки,
позволяя им продемонстрировать глубокое усвоение как алгебраического,
так и геометрического материала.
Дадим характеристику типов заданий, представленных в демонстрационном варианте ЕГЭ. Более подробно типы и формы тестовых заданий изложены в пособии «Современные средства оценивания результатов обучения»
[97].
Задания с выбором ответа. Этот тип заданий используется только в
первой части работы. К каждому заданию предлагается 4 варианта ответов,
из которых только один верный. Теоретически возможность угадывания верного ответа составляет 25%. Однако анализ ответов к заданиям этого типа
показал, что они удовлетворяют требованиям к подбору дистракторов, т.е.
неправильных, но похожих на правильные и потому правдоподобных ответов. Кроме того, наличие среди них ответов, содержащих типичные ошибки
учащихся, снижает процент угадывания, и позволяет по выбору ответа диагностировать уровень усвоения проверяемого материала.
341
При решении заданий этого типа ученик может выполнять только те
действия, которые ему необходимы, т.к. в задании не требуется приводить ни
решения, ни обоснования своего ответа. Полученный ответ ученик должен
сопоставить с вариантами, которые предложены к данному заданию, и затем
отметить в специальном бланке соответствующий номер выбранного ответа.
Если полученный учеником ответ не совпадает ни с одним из предложенных
к данному заданию, то ему следует либо пропустить это задание, либо снова
попытаться его решить.
Задания с кратким ответом. Эта форма заданий используется в первой и
второй частях работы. При их выполнении надо записать полученный краткий ответ, который является некоторым целым числом, в соответствующем
месте бланка ответов. При решении этих заданий ученик может выполнять
необходимые действия для получения числового ответа устно или на черновике.
Анализ заданий этого типа показал, что даже если ученик записал верный ответ, то это не всегда означает правильность и обоснованность выполненных им шагов рассуждений. Этот недостаток заданий типа В компенсируется, на наш взгляд, в экзаменационной работе достаточно большим количеством заданий, позволяющим оценить уровень подготовки ученика.
Задания с развёрнутым ответом. Этот тип заданий используется во второй и третьей частях работы. При выполнении заданий типа С требуется записать полное решение с необходимым обоснованием полученного ответа,
как это обычно делается при выполнении письменных контрольных работ в
школе.
Как уже отмечалось выше, задания этого типа являются самыми сложными, поскольку при их выполнении требуется использовать знание материала различных разделов и тем курса математики средней школы, а в некоторых заданиях – находить свой способ решения, не рассматриваемый в процессе обучения.
Цель заданий с развёрнутым ответом состоит в проверке умений ученика не только найти ответ на поставленный вопрос, но и обосновать свои
выводы, построить логическую цепочку рассуждений и математически грамотно записать решение. За выполнение задания этого типа ставится максимальная оценка в 4 балла, если приведенное решение удовлетворяет следующим требованиям:
 Приведена верная последовательность всех шагов решения.
 Имеется обоснование всех ключевых моментов решения.
 Правильно выполнены все преобразования и вычисления.
 Получен верный ответ.
Способы оценивания результатов ЕГЭ
Заметим, что экзаменационные варианты по разным предметам содержат различное количество заданий указанных типов. Их соотношение в работе по математике позволяет выявить следующую тенденцию: заданий типа А
342
не больше, чем заданий типа В, а число заданий В, в свою очередь, больше
числа заданий типа С. Общее число заданий в экзаменационных вариантах по
разным учебным дисциплинам разное и колеблется от 25 – 26 по математике
до 80 по географии. Это примерные границы.
Экзаменационные работы в рамках ЕГЭ оцениваются баллами (по стобалльной шкале) и оценками по общепринятой пятибалльной системе. Порядок и шкала перевода баллов в отметки устанавливаются Министерством образования и науки Российской Федерации.
В 2004 году для получения оценки «удовлетворительно» достаточно
было выполнить не менее 8 заданий типа А из первой части работы, что соответствует 8 первичным баллам. Так планировалось и в 2003 году, однако
реально оценка «3» в 2003 году ставилась уже за пять правильно выполненных заданий. Для получения оценки «4» необходимо было набрать не менее
14 баллов, т.е. правильно выполнить почти все задания типа А и обязательно
выполнить хотя бы одно задание типа В. Для оценки «отлично» необходимо
было выполнить более 75% всех заданий, причем одно из них должно быть
обязательно из числа заданий типа С. Другими словами, для получения отличной оценки при выполнении ЕГЭ в 2004 году надо было набрать не менее
21 первичного балла. Эта сумма может складываться, например, из количества баллов, полученных за правильное выполнение всех 14 заданий с выбором ответов (14 первичных баллов); баллов за выполнение одного из заданий
С1 или С2 (за полное и правильное решение каждого из которых начисляется
4 балла); количества баллов за верное выполнение еще около половины заданий из второй части работы, чтобы получить дополнительно 3 – 4 первичных
балла.
Нижняя граница школьной «двойки» по математике за годы эксперимента никогда не опускалась ниже 30 тестовых баллов. Так, «5 задач из 16
типа А» в 2003 году соответствовали 34 тестовым баллам. Для получения
школьной «пятерки», как было указано выше, надо было набрать не менее 21
первичного балла, что по стобалльной шкале соответствует 71 и более тестовым баллам.
Проведение ЕГЭ, наряду с решением содержательно-методических
проблем, требует решения многих организационных вопросов и четкого описания процедур и определенных действий всех участников массового тестирования выпускников школ. Организационно-нормативные основы проведения ЕГЭ ежегодно публикуются в соответствующих сборниках нормативных
документов.
Вопросы и задания
1. Выделите составные части диагностической деятельности учителя математики и перечислите действия, входящие в каждую из этих частей.
2. Что общего и чем отличаются понятия «результат обучения» и «уровень
усвоения»? В чем сущность уровнего подхода в обучении?
343
3. Какие профессиональные действия учителя лежат в основе выделения
объектов диагностики на этапе анализа учебного материала?
4. На каких этапах изучения темы «Неравенства» целесообразно использовать тест «Опр.»? Ответ обоснуйте.
5. Выделите особенности конструирования тестовых заданий для диагностики уровня усвоения определения понятия. Как ставится диагноз?
6. По аналогии с приведенным тестом «Опр.» по теме «Неравенства» составьте диагностические задания для выявления уровней усвоения определения понятия «квадратные уравнения».
7. Раскройте сущность процесса оценивания результатов выполнения разноуровневых заданий теста. Используя алгоритм построения интегральной
оценки за тест, оцените работу ученика, если в итоговом тесте (И) по теме
«Неравенства» он верно выполнил следующее число заданий соответствующих уровней: 3, 2, 4, 1.
8. Раскройте смысл термина «оперативная диагностика» и укажите принципы конструирования диагностических заданий закрытого типа.
9. Что означает требование объективности оценки учебной работы ученика?
Раскройте смысл действий «выявление», «измерение» и «оценивание» в деятельности учителя.
10. Как на уроке можно использовать методику определения интереса учащихся? Опробуйте ее в период педпрактики и оцените результаты.
Литература для самостоятельного чтения:
6, 10, 14, 47, 72, 76, 97, 102.
344