Document 325844

Альтернатива для ряда Стирлинга и чисел Бернулли
В.М. Калинин, СПбГПУ
Числа Бернулли были введены в математику как значения в нуле полиномов Бернулли
Bn = Bn(0). Позднее Эйлер ввел полиномы En(x), получившие его имя. Числа Эйлера были определены как En = 2nEn(1/2). Бросается в глаза разница в способах введения чисел Эйлера и Бернулли.
Можно думать, что многие формулы упростятся, если вместо чисел Бернулли использовать числа
An=2nBn(1/2). Формулы этой статьи подтверждают это предположение. Так, интеграл от аналитической функции на конечном промежутке
b

a
m
h 2n
f ( 2 j 1) (b)  f ( 2 j 1) (a)  h 
ba
f ( x)dx   f (a  (2k  1)h / 4)   A2 j
.
  ,h
2 k 1
(2 j )!
n
4
j 1
2j
Справа первая сумма дает грубое приближенное значение для интеграла. Вторая сумма представляет собой асимптотический ряд, позволяющий как угодно точно вычислить интеграл при правильном выборе параметров n и m.
Для Аn получено: An  1 
n 1
n 1
1 n 1 k
1
nk
n
C
A
2
,
n

1
,
2
...
A

(
1

2
m
)
(1) r 1 C nr1 .
;



n 1 k
n
n  1 k 0
r
m 1
r m
Числа An выражаются через числа Бернулли: An=(2-2n)Bn. Через них выражаются значения полиномов Бернулли: Bn (t ) 
1
2n
n
C
k 0
k
n
(2t  1) k An  k ; B2k(1/2)=A2k2-2k ; B2k(1/4)=A2k2-4k.
Числа с нечетными номерами равны нулю: A2n-1=0, n=1,2,... Асимптотика чисел с четными номерами A2n : A2 n ~ (1) n  2 n 2(2n)! при n   .
Связь с суммой отрицательных степеней натурального ряда:
A2 n 
(1) n 2(2n)!
 2n

 (1) k 1
k 1
1
;
k 2n

 (1) k 1
k 1
n 2n
1
2 n (1) 
.

A
2(2n)!
k 2n
Постоянная Эйлера - Маскерони также выражается через числа A2n:
m
A2 j
1
1
C    ln( n  )  
;
2j
2
k 1 k
j 1 2 j ( 2n  1)
2n
при n=1000 и m=100 получим 389 верных десятичных знаков числа С.
Для /2 получена формула:
(1) j 1 A4 j  2
 2n
16n
1 m
,



2 k 1 16n 2  (2k  1) 2 16 j 0 n 4 j  2 (2 j  1)210 j 1
при n=1500 и m=250 дающая 1863 верных знаков.
1
m ( 2 2 j  1) A
2
2j
ln 2  
  2 j 6 j 1 ,
n 2
k 1 4n  2k  1
j 1
2n
Для ln2 получена формула:
дающая 1237 верных знака при n=2000 и m=300.
По формуле Эйлера - Маклорена с произвольным параметром 
n
n

 f (k )   f ( x)dx   (1)
k 1
j 1

j
B j ()
j!
f
( j 1)

(n  )  f ( j 1) () для   O(1)
получим асимптотический ряд для производной пси-функции:

 / (1  x)  
j 0
B j ()
( x  ) j 1
для   O(1), x   .
В частности, при параметре, равном 1/2, получим  / (1  x)  2

A2 j
 (2 x  1)
j 0
2 j 1
.
Асимптотический ряд для ψ(1+x) с произвольным параметром θ:
n

B j ( )
1 

.
ψ(1  x)  lim  ln n  
  ln( x   )  
j
n 
k 1 x  k 
j 1 j ( x   )



При θ=1/2 это дает: ψ(1  x)  ln  x 
A2 j
1 
.

2  j 1 2 j (2 x  1) 2 j
Асимптотический ряд для гамма-функции с произвольным параметром θ=O(1):

B j 1 ( )
1

ln Γ(1  x)  ln 2   x   ln( x   )  ( x   )  
.
j
2

j 1 j ( j  1)( x   )
Альтернативную формулу для ряда Стирлинга получим при θ =1/2 :
A2 j
1 
1 
1 

ln Γ(1  x)  ln 2   x   ln  x     x    
.
2 
2 
2  j 1 4 j (2 j  1)( 2 x  1) 2 j 1

В некоторых случаях удобнее выбрать другую альтернативу для чисел Бернулли:
k
22 k (22 k  1) B2 k
d


, k=1,2, ...; D2 k   E2 j C 22kj1 ; D2 k  (1) k (1  t 2 )  (1  t 2 ) .
t 0
dt 
2k

j 0
2k
D2 k  2
Приближения для /2:

2
m
D2 j
4
1


; при n=1000 и m=300 эта
4n  1 j 0 (4n  1) 2 j  2
k 1 ( 4k  3)( 4k  1)
n

формула дает 875 верных цифр. Для ln2: ln 2 
2n
 (1) k 1
k 1
2
m
D2 j
1 1

 2
.
2 j 2
k 4n
j  0 ( j  1)( 4n)
2 k 1

1
k A2 k z
,
  (1)
sin z k 0
(2k )!
Ряды Лорана и Маклорена для тригонометрических функций:
2k
2k


B2 k z 2 k 1
1
k E2 k z
k 2
, ctg z   (1)
,
  (1)
cos z k 0
(2k )!
(2k )!
k 0
D2 k z 2 k 1
. Если в этих
tg z   (1)
(2k  1)!
k 0

k
разложениях убрать множитель (-1)k, то получим ряды для 1/shz, cthz, 1/chz и thz .
Разложения в произведения. Для гамма-функции классическая и улучшенная формулы:
x
n
n
m B
1
x 
1

 x  k
j 1  B j 1 (  x )  ( j  1) xB j
Cx
 e Cx  1   e k exp 
.
 e  1   e ;
Γ(1  x)
k
j ( j  1)n j
Γ(1  x)
k
j 1
k 1 
k 1 
x
Для x=1,5 точное значение 0,7522527780636750492… . При n=10 первая формула дает 0,832…, а
вторая при m=20 дает 18 верных знаков: 0,7522527780636750494…
Аналогично: cos
n 1
m 

x2 
j

, где коэффициенты в поправочном множи  1 

exp

2 
2 j 1
2
(2k  1) 
j 1 n
k 0 
x
B2 j ( x / 2)  B2 j
теле равны:  j 
j (2 j  1)

B2 j ( x)  B2 j
j (2 j  1)22 j 1
.
Для x=2/3 при n=5 произведение дает 0.511… с ошибкой уже во втором знаке. С учетом поправочного множителя при m=20 имеем 14 верных знаков: 0,500000000000006….
m B  B ( x)
x n 1
x2
2j
.
sin  x   x(1  ) (1  2 ) exp  2 j
2 j 1
n k 1
k
j 1 j (2 j  1) n
Для x=1/2 , n=10 и m=20 результат отличается от единицы в 27 знаке после запятой, тогда как
формула без поправочного множителя дает 0,975…
Приведем еще два примера. При n=10 и m=20 формулы:
m
m
(1  2 2 j ) B2 j
E2 j
 (2n)!!  1
  (2n)!! 
1
;

exp

exp





2 j 1
2j
2  (2n  1)!! 2n
4  (2n  1)!! 4n  1
j 1 j ( 2 j  1)( 2n)
j 1 2 j ( 4n  1)

2
2
дают 24 верных знака, а без поправки - только один знак.
Эти формулы можно также записать в виде:
 (2n)!! 

2  (2n  1)!!
2

2

 (2n)!! 

4  (2n  1)!!
m
j
 ( 2n)
j 0
m
j 1
j
, где  0  1,  j 
 (4n  1)
j 0
1
j
 j 1 
 2 


2
k 1
, где  0  1,  j 
2 j 1
1 2 k
D2 k  2 j  2 k 1 ;
1 j
 E2 k  j  k .
2 j k 1
При n=50 и m=30 первая формула дает 44 знака точности, вторая – 71 знак.
3

 (2n)!! 

2  (2n  1)!!
2
j
1 j
;
где


1
,



 Ek ( ) j k ,   O(1), n   .
0
j
j 1
j k 1
j  0 ( 2n   )
m
В заключение дадим две формулы для комбинаторных чисел:
m
m
D2 j
 D2 j
(2n)!!
2 2n
n
;
.
 n exp 
C

exp

2
n
2 j 1
2 j 1
(2n  1)!!
n
j 0 ( 4 j  2)( 4n)
j 0 ( 4 j  2)( 4n)
Все вычисления в статье выполнили В.И. Сушков (СПбГПУ) и С.В. Ганцевич (ФТИ им.
Иоффе), за что выражаю им свою искреннюю благодарность.
Итоги
Наиболее важная формула этой статьи – первая – позволяет с желаемой точностью вычислить значение интеграла по конечному промежутку от любой аналитической функции. Первообразной не требуется, интегрирование заменено дифференцированием. Эта формула – пример
асимптотических двухпараметрических приближений. Первый параметр – n, – задает количество
слагаемых в первой сумме, известной из классики и сходящейся медленно к искомому числу при
возрастании n. Вторая сумма – часть асимптотического ряда для остатка. Второй параметр – m, –
задает количество слагаемых в ней. Эти слагаемые содержат параметр n в знаменателях, поначалу
убывают по величине. Во всех формулах знаки этих слагаемых чередуются. Обрывание ряда вносит ошибку, не превышающую по величине первого отброшенного слагаемого и имеющую одинаковый с ним знак. Добавление второй суммы резко уменьшает погрешность.
Еще одна особенность – наличие в формулах произвольного параметра θ, изменение величины которого не нарушает равенств, но позволяет на их основе получать эффективные приближенные формулы.
Литература
1. В.М.Калинин. Мои формулы. – СПб.: Изд.СПбГТУ, 1997, 106 с.
2. В.М.Калинин. Новые формулы квадратур на базе формул Эйлера-Маклорена с произвольным
параметром.- СПб.: Научно-технические ведомости СПбГТУ, 2004, 4.
Эти же материалы см. Математика в ВУЗе: http:/www.spbstu.ru/public/m_v/index.html
4