Начертательная геометрия. Инженерная графика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Г.М. Мяленко, Е.А. Сафонова
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА
Практикум
Для студентов вузов
Кемерово 2005
2
УДК 514.18+744(076.5)
ББК 22.151.3+85.15
М99
Рецензенты:
Е.И. Харлампенков, канд. техн. наук,
доцент Кемеровского института коммерции;
В.И. Полтавцев, д-р техн. наук,
профессор Кемеровского сельскохозяйственного института
Рекомендовано редакционно-издательским советом
Кемеровского технологического института
пищевой промышленности
Мяленко Г.М., Сафонова Е.А.
М99
Начертательная геометрия. Инженерная графика : практикум / Г.М.
Мяленко, Е.А. Сафонова; Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. - Кемерово, 2005. - 92 с.
ISBN 5-89289-363-4
Содержание и объем практикума находится в соответствии с программой Министерства образования Российской Федерации.
В практикуме представлен краткий теоретический материал, приведены примеры решения задач, даны варианты задач.
Предназначен для студентов вузов технологических и механических (210200,
330500, 072500) специальностей.
УДК 514.18+744(076.5)
ББК 22.151.3+85.15
ISBN 5-89289-363-4
© КемТИПП, 2005
© Г.М. Мяленко, Е.А. Сафонова, 2005
3
ВВЕДЕНИЕ
В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования,
входят начертательная геометрия и инженерная графика.
Начертательная геометрия дает возможность изображать пространственные формы на плоскости и является теоретической основой для построения
технических чертежей. Чертежи могут быть:
- проекционные, т.е. построенные на основе законов и методов проецирования;
- схематические: выполненные без учета проекционных связей, с помощью
условных знаков;
- в форме графиков, отображающих количественные связи параметров какихлибо процессов и явлений;
- технические, т.е. содержащие информацию о конструкции, размерах и другие
данные, необходимые для ее изготовления.
Большую часть чертежей составляют проекционные. Использование методов начертательной геометрии дает возможность проецировать сложные поверхности, применяемые в авиационной, автомобильной промышленности, в
судостроении; при решении задач, связанных с проектированием дорог, каналов, тоннелей; математических задач в их графической интерпретации.
Инженерная графика учит правильно отображать свою техническую
мысль на бумаге и читать на ней чужую. Чертеж - это язык техники, который
дает полное и ясное представление об объекте.
Формирование начертательной геометрии как науки связано с именем
Г. Монжа, опубликовавшего в 1798 г. книгу под названием «Начертательная
геометрия», где он изложил основные принципы проецирования. В России
начертательная геометрия как предмет преподается с 1810 г., сначала на французском, а затем и на русском языке. Большой вклад эту в науку внесли русские
ученые: Н.И. Лобачевский, П.Л. Чебышев, В.О. Гордон, С.А. Фролов и многие
другие.
Знания и навыки, приобретенные при изучении курса, необходимы для
изучения других общеинженерных и специальных технических дисциплин, а
также в последующей инженерной и научно-исследовательской деятельности.
4
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ
1. Точки - заглавные буквы латинского алфавита: А, В, С, D…, а также цифры:
1, 2, 3…
2. Линии - строчные буквы латинского алфавита: а, в, с, d…
3. Углы - строчные буквы греческого алфавита: , , …
4. Плоскости - строчные буквы греческого алфавита  ,, …
5. Плоскости проекций:
Н - горизонтальная;
V - фронтальная;
W - профильная.
6. Оси проекций - строчные буквы: х, y, z.
7. Проекции точек:
на горизонтальную плоскость проекций - А′, В′, С′…;
на фронтальную плоскость проекций - А″, В″, С″…;
на профильную плоскость проекций - А″′, В″′, С″′…
8. Следы плоскости:
горизонтальный - Н, βН…;
фронтальный - V, βV…;
профильный - W, βW…
9. Символы:
║ - параллельность;
- перпендикулярность;
∩ - пересекаются;
÷ - скрещиваются;
 - принадлежит;
= - совпадают;
 - логическое следствие.
5
ТЕМА 1. ТОЧКА
Цель занятия - научиться:
1) выполнять комплексный чертеж точки;
2) определять положение точки в пространстве относительно плоскостей проекций;
3) определять взаимное положение точек.
Способ построения комплексного чертежа точки основан на применении
метода прямоугольного проецирования. Точку проецируют на три взаимно
перпендикулярных плоскости проекций, которые делят пространство на 8 частей - октантов. Их нумерация показана на рис. 1.
II
VI
z
z
V
V
I
W
V
W
О
x
III
VII
H
y
IV
Рис. 1
•О
x
y
H
VIII
y
Рис. 2
Плоскость H располагают горизонтально и называют горизонтальной
плоскостью проекций.
Плоскость V располагают вертикально перед наблюдателем и называют
фронтальной плоскостью проекций.
Плоскость W располагают вертикально и перпендикулярно двум, H и V,
плоскостям. Ее называют профильной плоскостью проекций.
Пользоваться данным пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических объектов неудобно, поэтому его преобразуют в эпюр (рис.2) следующим образом: горизонтальную и профильную плоскости проекций совмещают с фронтальной путем поворота плоскости H на 90º
вокруг оси x по часовой стрелке и плоскости W на 90º вокруг оси z против часовой стрелки.
Эпюр - чертеж, составленный из двух или более связанных между собой
ортогональных проекций геометрической фигуры.
6
Примеры решения задач
По заданным координатам построить наглядное изображение точек А и В
и их эпюры. Для построения каждой точки выполнить отдельный чертеж.
Определить положение точек относительно плоскостей проекций.
а) А (40, 30, 50)
z
V
z
A″ ●
50
А″ ●
А●
● A″′
50
● А″′
W
40
x
х
•О
А′ ●
30
A′ ●
H
30 у
O
40
30
у
y
Рис. 3
Рис. 4
Точка А находится в I октанте и удалена от горизонтальной плоскости
проекций на 50 мм, от фронтальной плоскости проекций - на 30 мм, от профильной плоскости проекций - на 40 мм (рис. 3, 4).
б) В (40, 0, 30)
z
z
V
В=В″ ●
30
● В″′
30
● В″′ W
В=В″ ●
В′
В′
x
●
40
H
х
•О
Т
●
40
O
у
у
y
Рис. 5
Рис. 6
Точка В  V, удалена от горизонтальной плоскости проекций на 30 мм, от
профильной плоскости проекций - на 40 мм (рис. 5, 6).
7
Задания для самостоятельного решения
Задача 1. По заданным координатам (табл. 1) построить наглядное изображение точек A, B, C, D, E и их эпюры. Для построения каждой точки выполнить отдельный чертеж. Определить положение точек относительно плоскостей
проекций.
Таблица 1
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Координаты точек
A
10, 15, 25
5, 10, 20
15, 10, 20
10, 20, 30
10, 15, 15
20, 30, 15
5, 15, 20
10, 15, 25
25, 5, 5
20, 10, 30
15, 30, 15
5, 25, 5
20, 40, 30
15, 15, 15
25, 20, 30
5, 15, 20
35, 20, 10
15, 5, 25
30, 20, 15
10, 25, 5
5, 30, 15
5, 10, 25
25, 30, 15
15, 25, 5
5, 20, 5
15, 25, 10
10, 5, 5
25, 30, 35
15, 10, 5
10, 40, 35
B
20, 25, 10
15, 20, 5
20, 30, 10
30, 20, 15
5, 20, 15
35, 40, 15
15, 25, 15
5, 15, 10
10, 15, 30
15, 25, 5
5, 15, 20
15, 0, 5
0, 40, 30
5, 30, 25
5, 10, 5
25, 40, 25
5, 25, 25
40, 40, 5
10, 5, 10
15, 20, 20
15, 15, 15
15, 20, 30
5, 10, 10
10, 5, 35
25, 15, 35
40, 20, 5
15, 35, 20
40, 5, 20
35, 45, 0
5, 15, 5
C
30, 10, 0
25, 5, 0
0, 5, 10
0, 20, 30
10, 5, 0
0, 30, 40
0, 5, 15
5, 15, 0
0, 5, 15
5, 0, 15
15, 15, 0
5, 5, 5
10, 25, 5
10, 10, 0
0, 15, 35
30, 0, 30
0, 15, 30
5, 0, 10
0, 15, 20
10, 5, 0
0, 20, 10
25, 5, 0
20, 35, 0
15, 0, 15
35, 5, 0
0, 15, 10
5, 25, 0
0, 15, 20
20, 15, 25
0, 25, 20
D
40, 0, 30
35, 0, 25
10, 15, 0
25, 0, 15
0, 15, 20
20, 0, 15
5, 0, 5
10, 0, 25
20, 0, 20
25, 30, 0
0, 5, 0
40, 5, 0
15, 0, 10
5, 0, 35
0, 5, 0
15, 20, 0
5, 10, 0
20, 20, 0
0, 5, 5
0, 20, 0
35, 5, 0
10, 0, 10
0, 5, 30
10, 20, 0
0, 15, 20
30, 35, 0
20, 0, 15
5, 5, 0
0, 25, 40
15, 45, 0
E
0, 0, 10
0, 0, 5
5, 0, 0
0, 15, 0
0, 0, 0
0, 15, 0
5, 0, 0
0, 0, 20
20, 0, 0
10, 0, 0
30, 0, 20
0, 0, 10
0, 0, 5
10, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 10
15, 0, 0
25, 0, 0
25, 0, 0
30, 0, 5
25, 0, 0
0, 0, 10
0, 15, 0
0, 0, 25
0, 0, 30
0, 5, 0
10, 0, 0
0, 25, 0
15, 0, 0
0, 10, 0
Задача 2. Построить недостающие проекции точек A, B, C, определить их
координаты, записать в таблицу. Построить точку D.
8
Вариант 1
Точка D ниже точки А на 10 мм.
Вариант 4
Точка D ближе к плоскости V на 5 мм,
чем точка А.
xy z
xy z
A
B
C
D
A
B
C
D
z
z
В′′ ●
А″ ●
● С′″
А″ ●
●
x
● А′″
•О
В′
● C′′′
C′
●• О
x
y
● B′″
y
А′●
B′ ●
С′ ●
y
y
Вариант 2
Точка D выше точки С на 20 мм.
Вариант 5
Точка D выше точки А на 20 мм.
xy z
z
С″ ●
А′′ ●
●
x
● А′″
В′′′
●• О
В′
A
B
C
D
y
xy z
z
● В′″
А″ ●
● С″′
С′′ ●
•О
x
С′●
А′●
y
В′ ●
y
A
B
C
D
y
9
Вариант 3
Точка D ниже точки С на 15 мм.
Вариант 6
Точка D ниже точки А на 15 мм.
xy z
xy z
A
B
C
D
A
B
C
D
z
В′′ ●
● С′″
А″ ●
•О
x
z
А′′ ●
В″ ●
●
x
y
С′ ●
А′ • О
С′●
′
А′=В ●
● С′″
В′ ●
y
y
Вариант 7
Точка D выше точки А на 15 мм.
С′′ ●
● С′″
В′′ ●
А″ ●
Вариант 10
Точка D ниже точки С на 10 мм.
xy z
z
x
y
•О
z
A
B
C
D
y
C′′ ●
x
А″ ●
● В′
●
C′ • О
B′ ●
А′●
y
А′●
y
xy z
A
B
C
● B′″ D
y
10
Вариант 8
Точка D ближе к плоскости V на 10
мм, чем точка B.
Вариант 11
Точка D выше точки C на 20 мм.
xy z
xy z
A
B
C
D
A
B
C
D
z
z
● А′″
А″ ●
А″ ●
● А″′
● B′″
C′=C′′
●• О
x
x
y
●
В′=В′′ С′′ ●
B′ ●
С′ ●
y
Вариант 9
Точка D ближе к плоскости V на 15
мм, чем точка B.
С′′
А″ ●
A
C
D
В′′ ●
•О
x
y
y
z
C′′ ●
● А″′=С′″ B
●
● C′
● B′″
•О
x
B′ ●
y
xy z
А″ ●
А′●
В′ ●
y
Вариант 12
Точка D дальше от H на 10 мм, чем
точка А.
xy z
z
•О
y
A
B
C
D
y
11
Вариант 13
Точка D ниже точки В на 5 мм.
Вариант 16
Точка D выше точки С на 10 мм.
•О
xy z
xy z
A
B
C
D
A
B
C
D
z
z
А″ ●
● B′″
x
●
А′
● C′′
x
y
●
•О
А′
C′ ●
B′ ●
● B′″
B′′●
А″ ●
C′ ●
y
● C′′′
y
y
Вариант 14
Точка D ближе к плоскости W, чем
точка А, в два раза.
Вариант 17
Точка D выше точки В на 15 мм.
xy z
z
А″ ●
x
B′′ ●
A
B
C
D
● B′″
C′′
●• О
z
●
В′′ ●
C′′′
y
x
А″
●
С′
●
С′′
●• О
● А′
А′ ●
y
y
xy z
A
● В′′′B
C
D
y
12
Вариант 15
Точка D выше точки А на 30 мм.
Вариант 18
Точка D ближе к плоскости W на 15
мм, чем точка А.
xy z
xy z
A
B
C
D
A
B
C
D
z
В′′ ●
z
C′′′ ●
А″ ●
А″ ● B″
● С′″
•О
x
•О
x
y
B′ ●
А′●
C′ ●
А′ ●
С′ ●
y
Вариант 19
Точка D выше точки С на 10 мм.
● B′″
А″ ●
●
x
C′=C′′• О
Вариант 22
Точка D выше точки А на 15 мм.
● B′″
B′′ ●
А″ ●
y
A
B
C
D
● C′′′
•О
x
А′ ●
А′ ●
xy z
z
A
B
C
D
y
y
y
xy z
z
B′′ ●
В′ ●
C′ ●
y
y
13
Вариант 20
Точка D ближе к плоскости H на 10
мм, чем точка B.
Вариант 23
Точка D ниже точки А на 5 мм.
xy z
xy z
A
B
C
D
z
В′′ ●
A
B
C
D
z
● С′″
● В″′
А″ ●
В′′ ●
● В″′
А″ ●
•О
x
•О
x
y
С′ ●
А′●
●
С′″
y
С′ ●
А′●
y
y
Вариант 21
Вариант 24
Точка D ближе к плоскости W на 15 Точка D ближе к плоскости H на 20
мм, чем точка В.
мм, чем точка А.
xy z
z
В″ ●
● В′′′
А″ ●
x
C′= C′′
●• О
А′ ●
A
B
C
D
В′′ ●
y
x
● А″′A
А″ ●
● В″′
●
С″
•О
С′ ●
y
xy z
z
y
B
C
D
y
14
Вариант 25
Точка D ближе к плоскости H на 10
мм, чем точка С.
Вариант 28
Точка D ниже точки С на 10 мм.
xy z
xy z
A
B
C
D
A
B
C
D
z
А″ ●
z
C′′ ●
● А′
● C′′′
● C′′′
А″ ●
B′′ ●
•О
x
●
C′
•О
x
y
А′ ●
y
Вариант 26
Точка D ближе к плоскости W на 15
мм, чем точка A.
А′
● B′″
B′ ●
B′ ●
y
y
Вариант 29
Точка D выше точки А на 15 мм.
●
xy z
z
● В″′
● С′″
С′′ ●
А″ ●
•О
x
В′ ●
A
B
C
D
y
С″′ ● A
А″ ●
В′′ ●
● В″′
•О
x
● А′
y
xy z
z
y
B
C
D
С″
●
y
15
Вариант 27
Точка D выше точки А на 20 мм.
Вариант 30
Точка D ближе к плоскости W на 20
мм, чем точка А.
xy z
xy z
A
B
C
D
A
B
C
D
z
А″ ●
● C′′′
C′′ ●
z
С″●
x
А″
●
● С″′
В″ ●
•О
А′ ●
В′ ●
y
y
x
●
•О
А′
В′′ ●
y
● В″′
y
ТЕМА 2. ЛИНИЯ
1)
2)
3)
4)
Цель занятия - научиться:
выполнять чертеж линии;
определять положение линии в пространстве относительно плоскостей проекций;
определять взаимное положение линий;
определять по чертежу натуральную величину отрезка и углы наклона его к
плоскостям проекций.
Линию следует рассматривать как траекторию перемещения точки. Линии могут быть пространственные и плоские.
Пространственными линиями называют линии, все точки которых не
принадлежат одной плоскости.
Линии, у которых все точки принадлежат одной плоскости, называют
плоскими.
Простейшей линией является прямая. При ортогональном проецировании
на плоскость прямая проецируется в прямую. Поэтому для определения ее про-
16
екции достаточно знать проекции двух нетождественных точек, принадлежащих этой прямой.
След прямой - это точка пересечения прямой с плоскостью проекций.
Точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называют
горизонтальным следом прямой, с фронтальной - фронтальным следом прямой,
с профильной - профильным следом прямой.
Прямая может занимать следующие положения относительно плоскостей
проекций:
1. Прямые общего положения - это плоскости не параллельные и не
перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций.
2. Прямые частного положения;
а) проецирующие прямые - прямые, перпендикулярные к какой-либо
плоскости проекций и параллельные к другим двум;
б) прямые уровня - прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций;
в) прямые, принадлежащие плоскости проекций - частный случай прямых
уровня.
Примеры решения задач
Пример 1. Построить прямую, проходящую через точки А и В. Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы
прямой.
Чтобы построить горизонтальный (фронтальный) след прямой, нужно
продолжить фронтальную (горизонтальную) проекцию прямой до пересечения
с осью x и, используя принцип принадлежности точки прямой, достроить недостающие проекции (по соответствующим линиям связи) (рис. 7).
а) А (50, 5, 20); В (20, 12, 5)
z
N″=N ●
●
х
●
A″
●
N′
A′ ●
В′ ●
а)
10
В″
M″
●
10
O
10
● M′=M
у
AB - прямая общего положения;
M - горизонтальный след;
N - фронтальный след.
17
б) А (20, 5, 40); В (20, 25, 10)
z
● N″′
N″=N ●
● A′″
A″ ●
β
γ
В″ ●
10
х
● В′″
M′″
●
10
A′ ●
10
у
AB - прямая частного положения, прямая уровня,
профильная прямая;
M - горизонтальный след;
N - фронтальный след;
β - угол наклона к плоскости V;
γ - угол наклона к плоскости H.
10
В′
●
M′=M ●
у
б)
Рис. 7
Пример 2. Определить взаимное положение прямых а и в в пространстве
на рис. 8 а, б, в.
a″
α║b
b″
A′′
●
x
Если прямые в пространстве параллельны, то на чертеже параллельны их одноименные проекции.
a″
a′
K″
●● A′
b″
b′
а)
x
b′
a′
K′ ●
б)
α∩b
18
Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже пересекаются
их одноименные проекции. При этом проекции точки пересечения лежат на одной линии связи.
a″
С″
●
b″
x
b′
K′
●
α÷b
Если прямые в пространстве скрещиваются, то
на чертеже их одноименные проекции могут пересекаются, но проекции точек пересечения не лежат на
одной линии связи.
a′
в)
Пример 3. Определить натуральную величину
(НВ) отрезка АВ (рис. 9) методом прямоугольного треугольника и углы наклона его к плоскостям проекций.
Рис. 8
Натуральная величина отрезка общего положения равна гипотенузе
прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция на
одну из плоскостей проекций, а другим - разность расстояний концов отрезка
от этой же плоскости.
Угол между катетом - проекцией и гипотенузой прямоугольного треугольника равен истинной величине угла наклона отрезка к той плоскости проекций, на которой выполнены построения.
19
z
НВ
А0 ●
∆y
А″ ●
● В″′
В″ ●
β
∆z
γ
∆x
НВ
● В0
● А″′
∆x
•О
x
y
А′ ●
∆z
А0 ●
НВ
α
∆y
● В′
y
Рис. 9
АВ - прямая общего положения;
А0В′ = А0В′′ = А″′В0 = НВ;
α - угол наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций;
β - угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций;
γ - угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций.
Задания для самостоятельного решения
Вариант 1
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (50, 15, 40),
В (0, 55, 5). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций.
Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 35 мм и
расположенную под углом 25° к плоскости W.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
● A′′
x
x
● A′′
20
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
a″
A′′
a″
●
● С′′
A′′ ●
x
x
x
x
a′
a′
A′
● С″
n″
n″
n′
n′
●
●
С′
●C′
● A′
а)
б)
в)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
C″ ●
●●
A′′ ●
● В″
x
● D′′
x
● В′
С′ ●
● D′
A′ ●
а)
б)
Вариант 2
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (25, 30, 5),
В (25, 0, 10). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 25 мм и
расположенную под углом 35° к плоскости H.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
● A′′
● A′′
● A′
x
x
a′
a′
21
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
● A′′
a″
а″
x
x
a′
A′
С′′●
x
а′
●
n″
● С′′
n″
А″
●
x
n′
n′ С′ ●
C′ ●
А€а
а)
г)
в)
б)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
A′′ ●
● D′′
C″ ●
●●
● В″
x
С′ ●
x
A′ ●
● В′
● D′
б)
а)
Вариант 3
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (15, 30, 10),
В (40, 20, 20). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 10 мм и
расположенную под углом 40° к плоскости H.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
● A′′
●
x
x
● A′
a′
a′
A′′
22
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
a″
●
а″
A′′
x
●
А′
x
a′
● С′′
n″
x
а′
● А′
А€а
а)
n″
● С′′
x
б)
n′
● С′
n′
● С′
г)
в)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
A′′ ●
C″ ●
●●
●
x
● D′′
В″ = В′
x
С′ ●
A′ ●
● D′
б)
а)
Вариант 4
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (20, 30, 10),
В (50, 5, 10). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 15 мм и
расположенную под углом 35° к плоскости H.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
x
a″
● A′′
● A′
a′
x
a′
● A′′
23
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
a″
● A′′
а″
●
x
А″
n″
x
a′
n′
А€а
а)
● С′′
x
x
а′
● A′
n″
● C″
б)
n′
● C′
● С′
г)
в)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
● D′′
● В″
C″ ●
●●
x
A′′
●
x
A′ ●
● В′
● D′
С′ ●
б)
а)
Вариант 5
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (20, 10, 10),
В (35, 20, 10). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 25 мм и
расположенную под углом 45° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
z
a″
а″
● A′′
А″ ●
а″′
●А″′
x
● A′
x
y
24
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
a″
z
● A′′
а″′
а″
А″ ●
x
a′
n″′
y
y
А€а
x
● С′″
С″ ●
● C″
x
● A′
z
n″
x
● C′
y
n′
n′
y
а)
б)
в)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
C″ ●
●●
A′′●
● D′′
● В″
x
x
● D′
● В′
С′ ●
A′ ●
б)
а)
Вариант 6
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (15, 0, 30),
В (25, 10, 50). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить профильную прямую, удаленную от плоскости W на
25 мм и расположенную под углом 30° к плоскости H.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
z
а″
●
А″
a″
а″′
●
А″′
x
x
y
a′
● A′′
25
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
z
a″
а″′
n″
a′
●
C″●
n″
А′″ ●
● A′′
x
● C″
x
A′
y
а′
А′ ●
x
x
● C′
● C′
n′
n′
y
а)
б)
в)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
C″ ●
●●
● В″
A′′
●
x
●
x
● В′
A′ ●
D′′
● D′
С′ ●
б)
а)
Вариант 7
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (10, 40, 5),
В (0, 15, 25). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 40 мм и
расположенную под углом 60° к плоскости W.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
● A′′
a′
● A′
A′′ ●
x
x
A′ ●
26
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
a″
a″
● A′′
n″
● C″
C″●
● A′′
x
●
n″
x
A′
x
a′
a′
●
A′
● C′ n′
n′
б)
а)
x
● C′
в)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
z
A′′●
● С″′
С″ ●
● В″
x
● В′
D″ ●
● D″′
y
x
A′ ●
y
а)
б)
Вариант 8
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (50, 20, 15),
В (10, 20, 15). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 35 мм и
расположенную под углом 45° к плоскости H.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
● A′′
x
x
a′
● A′
a′
● A′′
27
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
z
a″
a″
● A′′
n″
x
x
a′
●
n″
C″ ●
● A′′
x
a′
A′
●
A′
C″●
y
n′
x
● C′
n′
C′ ●
y
б)
а)
в)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
z
● С″′
A′′●
● В″
● D″′
x
● В′
A′ ●
x
С′ ●
y
D′ ●
y
а)
б)
Вариант 9
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (40, 10, 10),
В (10, 20, 20). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 10 мм и
расположенную под углом 25° к плоскости W.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
z
● A′′
а″
●
А″
а″′
●
А″′
x
a′
y
28
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
z
a″
● A′′
А″ ●
C″●
n″
а″′
а″
● А″′
n″
●C′′
x
y
x
a′
●
x
x
y
A′
●
C′
n′
n′
а)
● C′
б)
в)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
z
С″ ●
● С″′
A′′●
●
x
D″ ●
В″
● D″′
y
x
A′ ●
y
● В′
а)
б)
Вариант 10
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (25, 30, 15),
В (25, 30, 40). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 45 мм и
расположенную под углом 20° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
z
a″
x
● A″′
● A′′
x
a′
a″′
a′
A′ ●
y
29
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
z
n″
● A′′
а″
a″
n″′
n″
●C′′
C″ ●
● C″′
А″●
x
x
x
a′
●
а′
A′
● А′
а)
y
x
●
y
C′
n′
в)
б)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
С′′●
A′′●
●
В″
● D″
x
x
A′ ●
С′ ●
● D′
● В′
а)
Вариант 11
б)
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (50, 40, 5),
В (25, 15, 10). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить профильную прямую, удаленную от плоскости W на
30 мм и расположенную под углом 55° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a′′
● A′′
A″ ●
x
x
a′
a′
A′ ●
30
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
z
А″●
x
а″
А″ ●
● А″′
y
x
а′
n″
а″′
а″
●C′′
n″
● C′′
x
x
y
●
n′
C′
n′
● А′
●
б)
а)
C′
г)
в)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
z
наклона их к плоскостям проекций.
● С″′
A′′●
● D″′
●
x
В″
● В′
A′ ●
C′ ●
x
y
D′ ●
y
а)
б)
Вариант 12
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (5, 10, 15),
В (40, 60, 5). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 45 мм и
расположенную под углом 45° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a′′
A″ ●
● A′′
x
x
● A′
a′
a′
A′ ●
31
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
● C′′
●C′′
● A′′
а″
x
x
● А′
n″
a″
А″●
●
n″
x
A′
x
n′
n′
a′
а′
●
а)
●
C′
в)
б)
C′
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
z
● С″
В″
●
A′′
●
x
● D″
● В′
D′ ●
x
A′ ●
C′ ●
а)
y
y
б)
Вариант 13
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (35, 0, 40),
В (35, 20, 40). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 15 мм и
расположенную под углом 30° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a′′
A″ ●
● A′′
x
x
a′
a′
●
A′ ●
32
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
n″
● А″
а″
а″
●А′′
x
x
●
● А′
а′
А′
n″
● C′′
x
x
●
n′
а′
●
C′
n′
C′
в)
б)
а)
● C′′
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
A′′●
●В″
A′′●
●
x
A′ ●
x
● В′
а)
В″
● В′
A′ ●
б)
Вариант 14
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (30, 0, 25),
В (30, 15, 25). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 25 мм и
расположенную под углом 15° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
z
● A′′
а″′
а″
А″ ●
● А″′
x
a′
● A′
x
y
y
33
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
z
● А″
n″
а″
n″
С″ ●
● C′′
● А′′
а″
x
x
x
а′
а′
C′ ●
А′
● А′
●
а)
б)
x
y
n′
●
y
C′
n′
г)
в)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
С′′●
● В″
●
A′′ ●
x
A′ ●
●В′
D″
x
С′ ●
● D′
а)
б)
Вариант 15
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (45, 20, 5),
В (25, 0, 5). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций.
Построить следы прямой.
Задача 2. Построить профильную прямую, удаленную от плоскости W на
25 мм и расположенную под углом 30° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
● A′′
● A′
x
x
● A′
a′
● A′′
a′
34
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
● А′′
● А″
а″
а″
●
а′
С″ ●
n″
x
x
n″
● C′′
x
А′
а′
●
● А′
а)
x
n′
n′
C′ ●
C′
в)
б)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
С′′●
z
● А′″
А″ ●
●
В″ ●
●В′″
x
С′ ●
y
x
D″
● D′
y
а)
б)
Вариант 16
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (50, 0, 20),
В (35, 10, 45). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 45 мм и
расположенную под углом 10° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
● A′′
x
a″
x
a′
● A′
a′
● A′′
35
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
z
● А″
а″
а″
● А′′
n″′
n″
● C′′
● C″′
С″ ●
n″
x
x
●
а′
А′
y
x
x
y
n′
а′
● А′
а)
● C′
г)
в)
б)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
●
● В″
A′′ ●
x
x
D″
C′′
●
C′ ●
A′ ●
● D′
●В′
а)
б)
Вариант 17
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (20, 35, 5),
В (10, 0, 25). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 15 мм и
расположенную под углом 45° к плоскости W.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
● A′′
● A′′
x
x
a′
● A′
● A′
a′
36
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
● А″
● C′′
а″
● А′′
а″
x
n″
x
а′
а′
● А′
●
x
А′
x
n′
●
а)
С″ ●
n″
C′ ●
в)
б)
n′
C′
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
В″●
● D′′
C′′ ●
●
x
A′ = A′′
x
C′ ●
В′ ●
●D′
а)
б)
Вариант 18
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (20, 30, 15),
В (0, 30, 10). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 40 мм и
расположенную под углом 10° к плоскости H.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
● A′′
а″
z
а′″
a″
А″ ●
x
● А″′
● A′
a′
y
x
y
37
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
● А″
а″
x
С″ ●
а″
● А′′
x
а′
●
● А′
а)
n″
x
x
а′
● C′′
n″
n′
А′
●
n′
C′
● C′
г)
в)
б)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
A′′ ●
● В″
x ● A′
●В′
а)
D″
С′′●
●
x
● D′
С′ ●
Вариант 19
б)
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (40, 50, 20),
В (5, 10, 0). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций.
Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 25 мм и
расположенную под углом 60° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
● A′′
● A′′
a″
x
x
● A′
a′
a′
38
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
● А″
а″
а″
С″ ●
n″
● А′′
x
x
● C′′
а′
x
●
● А′
●
а′
а)
n″
x
C′
C′ ●
n′
n′
А′
в)
б)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
z
● A″′
C″●
● B″′
x
A′ ●
B′ ●
●
x
y
D′ = D′′
C′ ●
y
а)
б)
Вариант 20
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (20, 15, 0),
В (70, 45, 20). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 25 мм и
расположенную под углом 75° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
●
x
A′′
x
●
a′
a′
A′ = A′′
39
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
● А′′
а″
n″
● А′′
● C′′
n″
С″ ●
а″
x
● А′
а′
x
x
а′
●
а)
А′
x
● C′
n′
● C′
n′
в)
б)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
x В′
C′′ ●
● A′′
В″●
● D″
●
x
C′ ●
●
A′
а)
●D′
б)
Вариант 21
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (0, 15, 10),
В (15, 0, 25). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 40 мм и
расположенную под углом 15° к плоскости W.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
●
x
A′′
● A′′
●
x
a′
a′
A′
40
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
а″
а″
x
С″ ●
● А′′
● А′′
x
а′
● C′
А′
●
C′ = C′′
n′
n′
● А′
а)
●
x
x
а′
n″
n″
г)
в)
б)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
z
А″●
● В′′
x
D″
●
C″ ●
●
C′″
● D′″
●В′
y
x
y
A′ ●
а)
б)
Вариант 22
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (10, 40, 5),
В (50, 10, 45). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 45 мм и
расположенную под углом 15° к плоскости W.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
z
а″
а′
● A′′
А″ ●
● А″′
x
x
y
41
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
а″
а″
● А′′
x
● А′′
x
а′
а′
●
А′
С″ ●
x
x
n′
C′ ●
n′
● C′
● А′
а)
n″
C′′ ●
n″
г)
в)
б)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
z
●
C″ ●
● В′′
C′″
А″●
x
A′
D″ ●
●
● D′″
y
x
y
●В′
а)
б)
Вариант 23
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (25, 40, 0),
В (5, 10, 0). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций.
Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 40 мм и
расположенную под углом 45° к плоскости W.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
A′′ ●
x
a″
x
a′
● A′
●
A′ = A′′
42
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
● А′′
а″
n″
а″
x
С″ ●
n″
● C′′
● А′′
x
x
● А′ а′
а′
а)
●
А′
n′
x
n′
● C′
● C′
в)
б)
г)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
C′′ ●
В″●
x В′
●
●
●
а)
A′′
●
x
D′′ = D′
C′ ●
A′
б)
Вариант 24
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (10, 40, 5),
В (30, 15, 25). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 55 мм и
расположенную под углом 60° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
x
●
● A′′
A′′
●
x
a′
A′
43
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
n″
а″
● А′′
● А′′
n″
а″
x
● А′ а′
● C′′
С″ ●
x
а′
а)
●
А′
x
x
n′
● C′
n′
● C′
г)
в)
б)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
z
● В′′
x
●
C″ ●
А″
●
C′″
● D′″
D″ ●
A′ ●
y
x
y
● В′
а)
Вариант 25
б)
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (10, 25, 30),
В (40, 30, 20). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить профильную прямую, удаленную от плоскости W на
20 мм и расположенную под углом 35° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
●
A′′
● A′′
a″
a″
x
●
x
a′
a′
A′
44
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
● А′′
n″
а″
а″
а′
C′′ ●
С″ ●
● А′′
x
x
n″
x
x
● А′
а′
●
А′
● C′
C′ ●
n′
n′
а)
г)
в)
б)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
С″●
А″●
● В′′
x
●D ′′
x
●В′
C′ ●
●D′
A′ ●
а)
б)
Вариант 26
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (5, 20, 15),
В (30, 5, 60). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 40 мм и
расположенную под углом 35° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
a″
● A′′
A′′
●
x
●
x
● A′
a′
A′
45
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
а″
● А′′
С″ ●
● А′′
n″
а″
x
а′
x
x
x
а′
● А′
а)
●
n′
● C′
А′
C′′ ●
n″
● C′
n′
г)
в)
б)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
А″●
z
C″ ●
●
C′″
● В′′
D″ ●
x
● В′
A′ ●
а)
● D′″
y
x
y
б)
Вариант 27
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (45, 10, 5),
В (15, 50, 0). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 15 мм и
расположенную под углом 45° к плоскости W.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
x
a″
● A′′
● A′′
x
a′
46
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
z
А′′
а″ ●
● А′′
а″
а′
С″ ●
n″
● C′′
x
x
x
●
а′
n″′
n″
● А′
y
x
n′
А′
● C″′
y
● C′
а)
г)
в)
б)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
● В″
A′′
x ●
●
C′′●
●
x
A′ ●
●В′
а)
D″
D′
C′ ●
б)
Вариант 28
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (5, 0, 35),
В (55, 10, 5). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 45 мм и
расположенную под углом 45° к плоскости W.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
x
a″
● A′′
●
A′
x
a′
● A′′
47
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
а″
а″
● А′′
x
x
а′
● А′′
n″
● C′
n′
x
а′
●
● А′
а)
● C′′
С″ ●
n″
x
● C′
n′
А′
г)
в)
б)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
● В″
A′′
C′′●
●
●
x
●В′
D″
x
C′ ●
● D′
A′ ●
б)
а)
Вариант 29
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (20, 30, 50),
В (5, 5, 10). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций.
Построить следы прямой.
Задача 2. Построить фронталь, удаленную от плоскости V на 45 мм и
расположенную под углом 35° к плоскости H.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a′′
● A′′
a″
● A′′
x
x
48
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
z
n″
● C′′
а″
а″
● А′′
●
x
x
n″
А′′
x
● А′
а′
●
а)
С″ ●
● C″′
x
y
● C′
а′
n″′
y
n′
А′
б)
г)
в)
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
z
А″●
●
● В′′
x
C″ = C′″
● D′″
D″ ●
● В′
y
x
y
A′ ●
а)
б)
Вариант 30
Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А (20, 0, 10),
В (5, 35, 50). Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.
Задача 2. Построить горизонталь, удаленную от плоскости H на 40 мм и
расположенную под углом 15° к плоскости V.
Задача 3. Через точку А провести прямую b, параллельную прямой а.
a″
z
● A′′
x
a′
● A′
а′
А″ ●
x
а″′
● А″′
y
49
Задача 4. Через точку А провести прямую b, пересекающую прямую а; а
через точку С - прямую m, скрещивающуюся с прямой n.
а″
● А′′
n″
n″
x
x
а′
● А′
x
x
а′
а)
●
C′′ ●
С″ ●
● А′′
а″
А′
●
C′
n′
г)
в)
б)
C′ ●
n′
Задача 5. Определить натуральную величину отрезков АВ и CD и углы
наклона их к плоскостям проекций.
z
А″●
C″ ●
● В′′
x A′●
● D′″
D″ ●
y
x
●В′
а)
1)
2)
3)
4)
5)
●C′″
y
ТЕМА 3. ПЛОСКОСТЬ б)
Цель занятия - научиться:
выполнять чертеж плоскости;
определять положение плоскости в пространстве относительно плоскостей
проекций;
строить точку и прямую, принадлежащие плоскости;
строить главные линии плоскости;
строить точку пересечения прямой и плоскости, определять видимость прямой;
50
6) строить линию пересечения плоскостей, определять видимость плоскостей.
Плоскость может быть задана следующими способами:
1. Тремя точками, не принадлежащими одной прямой (рис. 10, а).
2. Прямой и точкой, не лежащей на ней (рис. 10, б).
3. Двумя пересекающимися прямыми (рис. 10, в).
4. Двумя параллельными прямыми (рис. 10, г).
5. Плоской геометрической фигурой (рис. 10, д).
6. Следами.
l″
A″ ●
С″ ●
а″
c″
в″
d″
● В″ С″ ●
x
● В′
С′ ●
x
x
А″ ●
x
A′ ●
x
l′
c′
С′ ●
а′
А′ ●
а)
В″ ●
б)
в)
С″
● B′●
d′
в′
г)
●C′
д)
Рис. 10
След плоскости - прямая, по которой пересекаются плоскость с плоскостями проекций.
Линию пересечения плоскости с горизонтальной плоскостью проекций
называют горизонтальным следом плоскости, с фронтальной - фронтальным
следом плоскости, с профильной - профильным следом плоскости.
Плоскость может занимать следующие положения относительно плоскостей проекций:
1. Плоскости общего положения - это плоскости не параллельные и не
перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций.
2. Плоскости частного положения:
а) проецирующие плоскости - плоскости, перпендикулярные к какой-либо
плоскости проекций;
б) плоскости уровня - плоскости, параллельные какой-либо плоскости
проекций и перпендикулярные к другим двум.
Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.
Прямая принадлежит плоскости, если она имеет две общие точки с этой
плоскостью.
Главными линиями плоскости являются:
1. Линии уровня плоскости - прямые, принадлежащие заданной плоскости и параллельные какой-либо плоскости проекций:
а) горизонталь плоскости - прямая, принадлежащая плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций;
51
б) фронталь плоскости - прямая, принадлежащая плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций;
в) профильная прямая плоскости - прямая, принадлежащая плоскости и
параллельная профильной плоскости проекций.
2. Линии наибольшего наклона плоскости - прямые, принадлежащие
плоскости и перпендикулярные к ее горизонтали (фронтали, профильной прямой).
Результатом пересечения прямой и плоскости является точка. Для
нахождения точки пересечения в общем случае пользуются следующим алгоритмом:
1) заданную прямую заключают в вспомогательную проецирующую
плоскость;
2) находят линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей;
3) точка пересечения найденной линии и заданной является искомой.
Результатом пересечения двух плоскостей является прямая, поэтому для
ее определения достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно
каждой из двух заданных плоскостей. В общем случае пользуются следующим
алгоритмом:
1) вводят две вспомогательные секущие (проецирующие) плоскости;
2) находят линии пересечения заданных плоскостей с одной из вспомогательных;
3) находят точку пересечения найденных линий пересечения;
4) выполняют те же действия со второй вспомогательной плоскостью;
5) через полученные точки проводят искомую линию пересечения.
Если плоскости заданы следами, то построение их линии пересечения
упрощается, т.к. роль вспомогательных секущих плоскостей могут выполнять
плоскости проекций.
При определении видимости точек, линий, плоскостей условно считают,
что плоскости непрозрачны. Анализ видимости линий проводят путем анализа
видимости конкурирующих точек. Конкурирующие точки - это точки, проекции которых на одной из плоскостей проекций совпадают.
При определении видимости на фронтальной плоскости проекций смотрят на конкурирующие точки снизу и определяют, какая точка или линия находится ближе к наблюдателю.
При определении видимости на горизонтальной плоскости проекций
смотрят на конкурирующие точки сверху и определяют, какая точка или линия
находится выше.
Примеры решения задач
в″
а″
● N″
M″ ●
x
в′
а′
●
M′
●
Рис. 11
N′
Пример 1. Плоскость задана параллельными
прямыми а и в (рис. 11). Построить произвольную
прямую, принадлежащую этой плоскости.
52
Задаем на прямых а и в произвольные точки M и N, через которые проводим прямую MN.
Пример 2. Плоскость α задана следами (рис. 12). Точка А принадлежит
данной плоскости?
αV
●
N″ ●
x
A″
h″
●
N′
αH
A′ ●
Рис. 12
h′
Плоскость α является плоскостью общего
положения. Построим линию уровня плоскости,
например, горизонталь h. Проводим через фронтальную проекцию точки А фронтальную проекцию горизонтали параллельно оси x.
h″ ∩ αV = N″. Находим N′: N′ € x. Через
точку N′ проводим горизонтальную проекцию горизонтали h′, h′ ║ αH. Таким образом, точка А не
принадлежит заданной плоскости α, поскольку
она не лежит на прямой, принадлежащей этой
плоскости.
Пример 3. На формате А3 по заданным координатам построить комплексный чертеж пересечения двух плоскостей. Определить видимость. Выполнить в цвете.
Плоскости ABC и DEF являются плоскостями общего положения (рис.
13). Заключим фронтальную проекцию FD в вспомогательную фронтальнопроецирующую плоскость α, которая пересекает треугольник ABC по отрезку
1-2. 1′-2′ ∩ F′D′ = K′. Находим K″.
Введем вторую вспомогательную секущую плоскость β. Заключим горизонтальную проекцию AC в горизонтально-проецирующую плоскость β. β ∩
DEF = 3-4. 3″-4″ ∩ A″C″ = L″. Находим L′.
Точки K и L принадлежат линии пересечения заданных плоскостей, поэтому отрезок KL является искомым.
Видимость линий определяем с помощью конкурирующих точек.
53
50
Рис. 13
54
Задания для самостоятельного решения
Вариант 1
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (70, 10, 65), В (20, 15, 10), С (90, 70, 35). Провести горизонталь плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
●
A″
A″ ●
●
x
x
● C″
B″
B′ ●
● C′
● A′
● D′
αH
● E′
A′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
● В″
αV
l″
А″ ●
А (70, 10, 65),
В (20, 15, 10),
С (90, 70, 35),
l″
● С″
x
x
● С′
● В′
αH
l′
А′●
M (50, 25, 15),
N (12, 13, 35).
l′
а) α (АВС), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
а″
в″
С″
А″ ● ●
x
А′●
x
● В′
С′ ●
βV
αV
● В″
а′
в′
βH
αH
а) α (АВС), β (а║в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (20, 65, 30), B (40, 15, 65), C (80, 30, 35), D (15, 35, 70), E (70, 75, 80),
F (35, 0, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
55
Вариант 2
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (20, 10, 70), В (85, 60, 25), С (0, 50, 10). Провести фронталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
αV
●
●
A″
B″
● C″
A″ ●
x
● D″
E″ ●
E′ ●
x
● D′
● A′
A′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
l″
А″ ●
●
αV
А (47, 10, 10),
В (32, 50, 45),
С (10, 20, 5),
l″
С″
● В″
x
● В′
x
l′
M (57, 17, 45),
N (10, 40, 10).
А′●
αH
l′
С′ ●
а) α (АВС), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
a″ = в″
А″ ●
● С″
● B′
x
βH
в′
βV
● В″
x
A′ ●
а′
αV
αH
● C′
а) α (АВС), β (а∩в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (75, 75, 5), B (60, 20, 60), C (20, 10, 40), D (30, 50, 55), E (90, 50, 35),
F (60, 5, 10). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
56
Вариант 3
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (95, 0, 20), В (65, 55, 50), С (15, 40, 0). Провести горизонталь плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
αV
●
A″
●
B″
A″ ●
● C″
E″ ●
x
●D″
B′ ●
x
● A′
● C′
D′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
l″
а″
αV
в″
А (41, 26, 49),
В (36, 11, 10),
С (9, 30, 26),
l″
x
а′ = в′
x
M (50, 25, 16),
N (11, 13, 35).
l′
αH
l′
а) α (а║в), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
В″ ● a″
αV
в″
βV
А″ ●
● B′ ●
x
A′ ●
С″
x
а′ = в′
βH
αH
● C′
а) α (АВС), β (а║в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (90, 5, 70), B (65, 60, 15), C (15, 15, 15), D (25, 45, 70), E (95, 60, 35),
F (65, 10, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
57
Вариант 4
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (55, 50, 50), В (15, 25, 0), С (95, 0, 15). Провести профильную прямую плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● B″
A″
●
●
C″
A″ ●
x
● A′
x
αH
A′ ●
●D″
● E″
● E′
● D′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
l″
А (50, 25, 10),
В (30, 5, 45),
С (12, 40, 15),
αV
а″ = в″
l″
x
x
l′
l′
M (48, 40, 27),
N (10, 8, 6).
αH
в′
a′
а) α (а║в), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
a″ = в″
A″ ●
βV
● B″
αV
C″ ●
● B′
x
x
A′ ●
a′
αH
в′
βH
● C′
а) α (АВС), β (а║в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (0, 30, 75), B (30, 65, 15), C (80, 25, 15), D (45, 65, 75), E (95, 40, 0),
F (10, 0, 10). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
58
Вариант 5
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (110, 35, 10), В (45, 0, 50), С (20, 55, 10). Провести фронталь плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
A″ ●
A″
●
●
B′ ●
x
αH
x
● C′
● D′
A′ ●
● A′
● C″
B″
● E′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
В″●
αV
l″
● С″
l″
А″ ●
x
x
В′
●
A′ ●
А (46, 9, 9),
В (32, 50, 46),
С (10, 18, 5),
M (56, 16, 44),
N (10, 40, 9).
l′
● С′
αH
l′
а) α (АВС), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
C″ ●
αV
● E″
F″
D″ ● ●
A″●
x
A′●
D′ ●
βV
●B″
● E′
● B′
x
αH
F′ ●
● C′
а) α (АВС), β (DEF)
б) α (αH, αV), β (βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (30, 0, 60), B (70, 15, 15), C (15, 55, 15), D (70, 55, 60), E (5, 30, 60),
F (20, 0, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
59
Вариант 6
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (50, 45, 35), В (20, 30, 20), С (95, 10, 0). Провести горизонталь плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● B″
A″
●
A″ ●
x
αH
●
A′
●D″
C″●
● E″
● B′
x A′ ●
● C′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
l″
А (48, 24, 8),
В (30, 6, 44),
С (12, 38, 14),
αV
A″ ●
C″
●
● B″
l″
● B′
x
x
l′
A′ ●
M (46, 40, 26),
N (10, 8, 8).
αH
l′
● C′
а) α (АВС), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
αV
в″
a″
βV
d″
c″
x
x
αH
c′
a′ = в′
βH
d′
а) α (а║в), β (c ∩ d)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (20, 25, 0), B (60, 5, 80), C (90, 75, 40), D (0, 60, 60), E (75, 80, 70),
F (90, 10, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
60
Вариант 7
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (15, 35, 70), В (70, 75, 80), С (35, 0, 0). Провести профильную прямую плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● C″
B″ ●
A″
●
● D″
● K″
A″ ●
● E″
F″ ●
x
●
A′
● E′
x
αH
F′ ●
D′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
в″
a″
αV
l″
А (40, 25, 50),
В (35, 10, 11),
С (10, 30, 25),
z
l″′
l″
M (48, 24, 16),
N (10, 12, 34).
x
a′ = в′
x
l′
а) α (а ∩ в), l
αW
y
y
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
a″
c″
d″
βV
αV
в″
x
c′
d′
x
a′ = в′
αH
βH
а) α (а ∩ в), β (c║d)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (5, 60, 20), B (20, 10, 60), C (85, 10, 20), D (50, 70, 65), E (75, 35, 0),
F (10, 0, 5). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
61
Вариант 8
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (25, 50, 0), В (40, 10, 50), С (95, 35, 0). Провести горизонталь плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
A″ ●
αV
A″
●
●
B″ ● C″
B′ ●
x
x
●
A′ ●
● A′
C′
● D′
● E′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
a″= в″
А (47, 10, 9),
В (30, 48, 44),
С (10, 20, 5),
αV
l″
l″
x
x
в′
M (55, 15, 45),
N (11, 42, 10).
l′
a′
αH
l′
а) α (а ∩ в), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
в″
● B″
a″
x
в′
βV
● C″
A″●
A′●
● B′
αV
x
αH
а′
βH
● C′
а) α (АВС), β (а ∩ в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (10, 20, 15), B (55, 70, 5), C (80, 20, 45), D (20, 60, 55), E (100, 35, 20),
F (60, 10, 5). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
62
Вариант 9
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (85, 50, 40), В (15, 20, 40), С (110, 5, 0). Провести фронталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
B″ ●
●
● C″
A″
A″ ●
x
x
● A′
αH
B′ ●
● C′
A′ ●
● D′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
А″ ● ●С″
l″
l″
x
● В″
x
А′●
А (50, 24, 10),
В (32, 5, 45),
С (10, 40, 16),
αV
● В′
l′
M (48, 40, 26),
N (10, 9, 9).
αH
С′ ●
l′
а) α (АВС), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
a″
c″
в″
αV
βV
d″
x
a′ = в′
c′
x
d′
αH
а) α (а║в), β (c ∩ d)
βH
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (0, 50, 10), B (60, 70, 70), C (80, 10, 10), D (20, 10, 70), E (90, 50, 60),
F (60, 85, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
63
Вариант 10
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (100, 0, 0), В (80, 35, 40), С (20, 50, 35). Провести профильную прямую плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● B″
αV
A″
●
●
C″
●D″
A″ ●
x
● A′
C′ ●
x
● E″
● D′
E′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
в″
a″
в″
l″
l″
a″
x
x
l′
в′
а) α (а║в), l
M (50, 26, 15),
N (11, 14, 35).
l′
a′
а′ = в′
А (42, 27, 48),
В (36, 10, 11),
С (12, 29, 25),
б) α (а ∩ в), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
● B″
в″
A″ ●
x
● C″
● C′
в′
a′
● B′
αV
βV
a″
x
αH
βH
A′ ●
а) α (АВС), β (а ∩ в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (85, 70, 10), B (25, 20, 25), C (90, 10, 60), D (15, 70, 65), E (105, 70, 45),
F (70, 0, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
64
Вариант 11
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (60, 5, 40), В (90, 55, 0), С (15, 15, 0). Провести фронталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
A″ ●
A″
●
B″ ●
B′ ●
x
x
● C″
● C′
A′ ●
● A′
αH
● D′
E′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
● C″
A″ ●
x
В″ ●
a″
l″
l″
В′ ●
в′
x
l′
A′ ●
А (47, 10, 8),
В (30, 48, 45),
С (10, 20, 4),
в″
а′
M (57, 16, 44),
N (10, 39, 9).
l′
● C′
а) α (АВС), l
б) α (а║в), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
A″ ●
a″
в″
βV
● B″
● C″
● C′
x
A′ ●
αV
x
a′ = в′
● B′
а) α (АВС), β (а║в)
αH
βH
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (25, 5, 25), B (60, 60, 5), C (95, 20, 50), D (35, 45, 55), E (105, 60, 45),
F (70, 0, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
65
Вариант 12
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (60, 5, 40), В (90, 55, 0), С (15, 15, 0). Провести фронталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
B″ ●
αV
A″
●
● C″
●D″
A″ ●
●
x
x
E″
E′ ●
● A′
A′ ●
● D′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
A″ ●
l″
αV
● C″
l″
А (50, 24, 9),
В (28, 5, 44),
С (12, 40, 14),
● В″
x
● В′
A′ ●
x
M (50, 40, 25),
N ( 9, 9, 9).
l′
l′
αH
● C′
а) α (АВС), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
a″ = в″
A″ ●
βV
● B″
● C″
● C′
x
A′ ●
a′
в′
αV
x
● B′
а) α (АВС), β (а ∩ в)
αH
βH
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (95, 30, 65), B (15, 15, 10), C (70, 80, 5), D (35, 70, 70), E (115, 80, 55), F
(85, 20, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
66
Вариант 13
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (46, 29, 7), В (26, 12, 59), С (8, 46, 12). Провести горизонталь плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
A″ ●
● C″
αV
A″
●
●
B′ ●
x
x
●
C′
D′ ●
A′ ●
● A′
B″
● E′
F′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
a″
в″
αV
А (43, 25, 49),
В (35, 9, 9),
С ( 9, 30, 25),
l″
l″
x
x
M (48, 25, 16),
N (12, 12, 35).
l′
l′
αH
a′ = в′
а) α (а ║в), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
A″●
C″
●
a″
βV
в″
αV
● B″
x
● B′
A′●
x
в′
● C′
а′
βH
αH
а) α (АВС), β (а║в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (20, 5, 60), B (50, 60, 5), C (90, 15, 30), D (60, 60, 60), E (100, 5, 10), F
(25, 10, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
67
Вариант 14
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (55, 20, 15), В (40, 5, 65), С (10, 45, 35). Провести фронталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● C″
B″ ●
A″
●
A″ ●
αV
● D″
F″ ●
● K″
x
●
A′
x
● E″
E′ ●
● D′
C′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
z
l″′
l″
●
C″
l″
● C′″
x
● В′″
В″ ●
y
x
А (46, 10, 11),
В (32, 48, 46),
С (10, 20, 5),
αV
● A′″
A″ ●
y
M (56, 16, 45),
N ( 9, 39, 9).
l′
αH
а) α (АВС), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
● B″
a″ = в″
αV
βV
A″ ●
● C″
● C′
x
A′ ●
a′
x
βH
в′
αH
● B′
а) α (АВС), β (а║в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (10, 5, 70), B (80, 20, 25), C (40, 65, 10), D (70, 70, 70), E (0, 35, 60), F
(30, 5, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
68
Вариант 15
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (65, 16, 17), В (23, 6, 43), С (33, 43, 13). Провести профильную прямую плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● B″
z
● A″′
A″●
A″ ●
αW
● K″
● C′
B′ ●
x
● D′
A′ ●
x
● K′
y
y
● E′
F′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
l″
A″ ●
● C″
● B′
x
A′ ●
● C′
в″
● B″
x
M (47, 40, 26),
N (10, 10, 10).
в′
l′
А (52, 25, 8),
В (30, 5, 45),
С (13, 40, 14),
l″
a″
l′
а′
а) α (АВС), l
б) α (а ∩ в), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
в″
● B″
a″
βV
αV
●C″
A″●
x
x
а′
в′
B′ ●
●C′
βH
A′●
а) α (АВС), β (а ∩ в)
б) α (αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (0, 40, 70), B (20, 70, 5), C (65, 10, 30), D (50, 70, 65), E (90, 30, 0), F (5,
5, 30). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
69
Вариант 16
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВСD по заданным координатам: А (45, 60, 12), В (45, 60, 30), С (15, 15, 60), D (15, 15, 20).
Провести горизонталь плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● C″
A″
●
B″ ●
●D″
●
A″ ●
x
● A′
x
αH
E″
● E′
A′ ●
● D′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
l″
x
в″
a″
A″ ●
C″
● ● В″
A′ ●
● В′
x
l′
а′
● C′
А (52, 25, 8),
В (30, 5, 45),
С (13, 40, 14),
l″
M (47, 40, 26),
N (10, 10, 10).
в′
l′
а) α (АВС), l
б) α (а║в), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
a″ = в″
αV
βV
c″
d″
x
c′
d′
а′
x
βH
αH
в′
а) α (а║в), β (c ∩ d)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (25, 10, 60), B (100, 20, 20), C (40, 65, 10), D (80, 60, 60), E (5, 70, 25), F
(30, 0, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
70
Вариант 17
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (85, 20, 25), В (58, 15, 60), С (12, 35, 45), D (35, 70, 70).
Провести горизонталь плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
A″
●
B″ ●
αV
A″ ●
● C″
D″ ●
E″●
x
x
● A′
E′ ●
● D′
● С′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
l″
A″ ●
●
В″
x
А (47, 10, 9),
В (32, 48, 45),
С (10, 20, 4),
αV
● C″
l″
● В′
x
M (57, 15, 45),
N (10, 40, 9).
l′
A′ ●
αH
● C′
l′
а) α (АВС), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
в″
αV
βV
a″
d″
c″
x
x
а′
в′
c′ = d′
d′
а) α (а║в), β (c ∩ d)
αH
βH
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (90, 45, 25), B (65, 0, 50), C (40, 45, 10), D (60, 35, 55), E (95, 0, 5),
F (55, 0, 5). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
71
Вариант 18
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (45, 32, 7), В (46, 15, 38), С (10, 6, 27). Провести профильную прямую плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
B″ ●
z
● A″′
A″●
A″ ●
αW
F″ ●
A′ ●
y
y
● D″
● F′
x
x
● C″
●E″
● B′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
а″
в″
● В″
l″
А (50, 24, 10),
В (30, 5, 48),
С (12, 42, 15),
l″
A″ ●
● C″
x
x
l′
а′
A′ ● ●
● C′
l′
В′
M (48, 39, 26),
N ( 8, 8, 8).
в′
а) α (АВС), l
б) α (а║в), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
c″
αV
βV
d″
a″ = в″
x
x
d′
a′
в′
c′
αH
а) α (а║в), β (c ∩ d)
б) α (αH, αV), β (βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (65, 20, 70), B (0, 20, 15), C (50, 70, 10), D (15, 60, 55), E (90, 60, 40), F
(60, 5, 5). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
72
Вариант 19
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (53, 15, 16), В (10, 9, 40), С (27, 48, 10). Провести фронталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● C″
A″●
●
x
B″ ●
E″ ●
● F″
A″ ●
A′
● D″
F′●
x
● D′
αH
E′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
l″
l″
а″
А (40, 26, 50),
В (34, 10, 10),
С ( 9, 30, 25),
a″
в″
в″
x
x
а′ = в′
M (47, 26, 17),
N (11, 12, 35).
в′
а′
l′
l′
а) α (а ∩ в), l
б) α (а ∩ в), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
a″
● B″
βV
αV
в″
A″ ●
x
A′ ●
в′
a′
● C″
x
● B′
αH
βH
● C′
а) α (АВС), β (a║в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (75, 70, 40), B (45, 10, 60), C (25, 70, 5), D (75, 15, 15), E (30, 50, 45),
F (15, 5, 55). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
73
Вариант 20
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (56, 10, 11), В (19, 6, 34), С (5, 40, 8). Провести профильную прямую плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
B″ ●
z
● С″
αW
A″ ●
B′ ●
x
●A″′
A″●
x
A′ ●
● D′
● K′
y
y
● C′
F′ ●
● E′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
a″ = в″
A″ ●
l″
С″ ●
x
l″ ●
А (45, 10, 10),
В (30, 50, 45),
С (10, 20, 5),
● В″
x
M (55, 15, 45),
N (10, 40, 10).
● В′
С′ ●
l′
в′
а′
А′ ●
а) α (а ∩ в), l
l′
б) α (АВ, С), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
● B″ a″
A″●
● C″
● C′
x
● B′
A′●
βV
в″
в′
а′
а) α (АВС), β (а║в)
αV
x
αH
βH
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (85, 10, 45), B (70, 50, 0), C (20, 20, 10), D (55, 60, 60), E (0, 0, 60),
F (75, 0, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
74
Вариант 21
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (68, 46, 6), В (46, 15, 42), С (10, 7, 28). Провести горизонталь плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если отрезок
ющую проекцию плоскости, заданАВ принадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● C″
● В″
A″●
A″ ●
● B″
B′ ●
x
x
● В′
αH
A′ ●
A′ ●
● C′
E′ ●
● D′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
a″
l″
А (48, 26, 12),
В (32, 6, 44),
С (11, 40, 16),
l′
M (46, 38, 27),
N (10, 9, 8).
αV
в″
l″
x
x
а′ = в′
l′
αH
а) α (а║в), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
● E″
●B″
A″●
D″ ●
● C″
x
D′ ●
A′●
●F″
● B′
●
E′
● C′
βV
● F′
а) α (АВС), β (DEF)
x
αH
βH
б) α (αH), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (0, 70, 60), B (30, 10, 80), C (70, 15, 20), D (60, 50, 70), E (0, 0, 50),
F (15, 70, 5). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
75
Вариант 22
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (55, 22, 16), В (42, 6, 64), С (8, 45, 36). Провести фронталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если отрезок
ющую проекцию плоскости, заданАВ принадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
B″ ●
αV
x
A″ ●
● В″
A″●
● С″
B′ ●
x
A′ ●
● E′
● K′
A′ ●
● В′
● C′
● F′
● D′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
l″
A″ ●
●
C″
a″
А (42, 25, 50),
В (35, 10, 11),
С ( 9, 30, 26),
в″
● В″
l″
x
x
● В′
A′ ●
l′
а′
l′
M (50, 24, 16),
N (13, 12, 36).
в′
● C′
а) α (АВС), l
б) α (а ∩ в), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
● С″
a″
в″
A″ ●
αV
βV
● В″
x A′ ●
a′ = в′
● B′
x
αH
βH
● C′
а) α (АВС), β (а ∩ в)
б) α (αH), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (0, 70, 25), B (45, 10, 70), C (90, 30, 20), D (65, 60, 70), E (90, 10, 15), F
(15, 0, 15). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
76
Вариант 23
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (67, 15, 19), В (24, 7, 44,), С (32, 40, 12). Провести фронталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если отрезок
ющую проекцию плоскости, заданАВ принадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
C″ ●
αH
z
B″ ●
A″ ●
●B″
A″ ●
● E″
●
D″ F″ ●
●
●B′
x
y
x
● L″
M″
●
M′
A′ ●
y
A′ ●
● K″
● L′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
● В″
A″ ●
l″
αV
z
●B″
А (50, 24, 10),
В (30, 8, 43),
С (10, 40, 15),
αW
A″ ●
C″ ●
x
С′
● ● В′
l′
A′ ●
а) α (АВС), l
M (54, 15, 44),
N ( 9, 40, 10).
y
x ● A′
●B′
y
б) α (αV, αW), l (АВ)
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
c″
αV
βV
d″
a″
в″
x
x
d′
c′
a′ = в′
а) α (а║в), β (c ∩ d)
αH
βH
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (10, 20, 40), B (50, 60, 10), C (75, 10, 40), D (75, 60, 75), E (5, 70, 55),
F (35, 0, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
77
Вариант 24
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (57, 9, 12), В (18, 4, 35), С (5, 39, 8). Провести профильную
прямую плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● C″
A″ ●
αV
B″ ●
A″
●
x
x
A′ ●
B′ ●
● C′
F′ ●
● D′
● A′
E′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
a″
l″
в″
a″ = в″
x
А (42, 26, 48),
В (35, 9, 9),
С ( 9, 30, 24),
l″
l′
x
а′
M (50, 24, 14),
N (13, 13, 35).
а′
в′
в′
l′
а) α (а ∩ в), l
б) α (а║в), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
a″
c″
d″
βV
αV
в″
x
c′
x
d′
a′ = в′
βH
αH
а) α (а ∩ в), β (c║d)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (10, 10, 10), B (90, 80, 20), C (65, 10, 60), D (15, 70, 65), E (100, 70, 40),
F (80, 10, 0). Видимые части плоскостей закрасить бледными тонами.
78
Вариант 25
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (70, 44, 7), В (47, 15, 40), С (9, 5, 28). Провести горизонталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● F″
z
αV
●
A″ ●
A″
● B″
B′ ●
x
x
●A′
● C′
A′ ●
y
● F′
● D′
y
E′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
в′′
а′′
А (40, 25, 48),
В (36, 8, 9),
С (10, 29, 25),
αV
l″
l″
x
x
M (52, 26, 15),
N (12, 12, 35).
l′
a′ = в′
αH
l′
а) α (а ∩ в), l
б) б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
A″ ●
βV
● B″
C″ ●
x
a″ = в″
● C′
x
в′
A′ ●
αV
● B′
αH
βH
a′
а) α (АВС), β (а ∩ в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (60, 65, 10), B (0, 10, 25), C (85, 5, 60), D (20, 65, 60), E (105, 35, 35),
F (55, 0, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
79
Вариант 26
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (44, 32, 5), В (26, 12, 60), С (8, 46, 12). Провести профильную прямую плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
B″ ●
αV
A″
●
● D″
A″ ●
● E″
K″ ●
x A′ ●
x
●
● C″
● F″
● K′
A′
● B′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
a″
А (56, 26, 9),
В (32, 6, 45),
С (12, 40, 16),
αV
в″
l″
l″
x
а′ = в′
M (48, 40, 25),
N (10, 10, 6).
x
l′
l′
αH
а) α (а║в), l
б) α (αH, αV), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
d″
αV
βV
c″
в″
a″
x
x
c′
d′
a′ = в′
βH
αH
а) α (а ∩ в), β (c║d)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (10, 70, 20), B (50, 10, 60), C (90, 25, 10), D (70, 65, 45), E (5, 35, 55),
F (25, 0, 50). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
80
Вариант 27
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (65, 16, 15), В (25, 8, 45), С (32, 40, 14). Провести профильную прямую плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
С″ ●
αV
A″
●
● D″
E″ ●
B′ ●
x
x
● A′
A′ ●
K′ ●
● C′
● D′
● F′
E′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
в″
A″ ●
C″
l″
●
А (49, 14, 10),
В (32, 50, 44),
С ( 9, 20, 6),
l″
a″
● B″
● B′
x
x
M (56, 15, 44),
N (10, 40, 10).
A′ ●
l′
a′
в′
l′
● C′
а) α (АВС), l
б) α (а║в), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
● E″
D″ ●
● C″
x
αV
●B″
A″●
D′ ●
A′● ●
C′
βV
●F″
●F′
● B′
x
βH
αH
E′ ●
а) α (АВС), β (DEF)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (10, 5, 70), B (40, 70, 10), C (90, 5, 40), D (100, 50, 25), E (25, 65, 80), F
(50, 0, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
81
Вариант 28
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (55, 22, 15), В (40, 5, 64), С (10, 45, 38). Провести горизонталь плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
B″ ●
z
αW
A″ ●
●A″′
A″●
● D″
● C″
●
L″ ●
●
x
x
K″
● F″
B′
A′ ●
y
y
● E″
● L′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
A″ ●
l″
C″
z
αV
●
αW
l″
● B″
А (50, 24, 8),
В (30, 6, 45),
С (12, 40, 14),
l″′
● B′
x
M (47, 40, 26),
N (10, 9, 8).
A′ ●
l′
y
x
y
● C′
а) α (АВС), l
б) α (αV, αW), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
A″ ●
a″
в″
● B″
● C″
● C′
x
αV
αH
βH
x
A′ ●
a′ = в′
βV
● B′
а) α (АВС), β (а ∩ в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (0, 50, 5), B (25, 0, 60), C (85, 10, 15), D (50, 50, 50), E (90, 0, 55), F (20,
0, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
82
Вариант 29
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (70, 45, 6), В (46, 15, 40), С (10, 6, 27). Провести фронталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
● D″
B″ ●
A″
●
C″ ●
F″ ●
A″ ●
x
● E″
● K″
●
A′
● В′
x
αH
A′ ●
●K ′
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
A″ ●
l″
a″ = в″
x
С″ ●
l″
А (42, 27, 47),
В (35, 10, 9),
С ( 8, 30, 25),
● В″
x
l′
А′ ●
в′
С′ ●
а′
M (48, 24, 14),
N (11, 11, 34).
l′
● В′
а) α (а║в), l
б) α (АВ, С), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
a″ = в″
αV
В″ ●
βV
А″ ●
● B′ ●
x
С″
A′ ●
а′
x
βH
в′
αH
● C′
а) α (АВС), β (а║в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (75, 70, 20), B (10, 35, 10), C (60, 20, 60), D (20, 70, 70), E (100, 60, 50),
F (75, 5, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
83
Вариант 30
Задача 1. Построить в трех проекциях чертеж плоскости АВС по заданным координатам: А (56, 10, 11), В (22, 5, 34), С (6, 42, 8). Провести горизонталь
плоскости.
Задача 2. Построить недостаЗадача 3. Достроить недостающий след плоскости α, если точка А
ющую проекцию плоскости, заданпринадлежит плоскости.
ной плоской фигурой.
F″ ●
αV
● E″
A″
●
D″ ●
x
x
B′ ●
● D′
C′ ●
A′ ●
● A′
● E′
● F′
K′ ●
Задача 4. Построить точку пересечения прямой l и плоскости α. Определить видимость прямой.
z
A″●
● B″
αV
l″
А (45, 9, 9),
В (30, 50, 45),
С (10, 18, 5),
l″′
l″
● C″
x
αW
● B′
● C′
l′
M (55, 15, 45),
N (10, 40, 10).
y
x
y
A′●
а) α (АВС), l
б) α (αV, αW), l
в) α (АВС), l(MN)
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей α и β. Определить
видимость линий.
● В″
a″ = в″
βV
С″ ●
αV
А″ ●
x
x
A′ ●
а′
● B′
в′
αH
βH
● C′
а) α (АВС), β (а ∩ в)
б) α (αH, αV), β (βH, βV)
Задача 6. На формате А3 построить линию пересечения плоскостей ABC
и DEF: A (75, 70, 20), B (10, 35, 10), C (60, 20, 60), D (20, 70, 70), E (100, 60, 50),
F (75, 5, 0). Видимые части треугольников закрасить бледными тонами.
84
ТЕМА 4. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
Цель занятия - научиться:
преобразовывать чертеж так, чтобы прямая общего положения заняла положение прямой уровня;
преобразовывать чертеж так, чтобы прямая общего положения заняла положение проецирующей прямой;
преобразовывать чертеж так, чтобы плоскость общего положения заняла
положение проецирующей плоскости;
преобразовывать чертеж так, чтобы плоскость общего положения заняла
положение плоскости уровня.
1)
2)
3)
4)
В начертательной геометрии задачи решаются графически. Количество
геометрических построений и их характер при этом определяются не только
сложностью задачи, но и в значительной степени зависят от того, с какими проекциями приходится иметь дело (удобными или неудобными). Задачи решаются значительно проще в случае частного положения геометрической фигуры
относительно плоскости проекций. Переход от общего положения к частному
осуществляют, используя способы преобразования.
Рассмотрим два способа преобразования:
1. Способ замены плоскостей проекции.
2. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций.
Способ замены плоскостей проекций состоит в переходе от данной системы плоскостей проекций к новой. При этом геометрические фигуры остаются неподвижными, а их новые проекции образуются за счет введения дополнительных плоскостей проекций. Новые плоскости выбираются перпендикулярно
к старым.
Примеры решения задач
Пример 1. Прямая АВ - общего положения (рис.14). Определить
натуральную величину (НВ) отрезка АВ и угол наклона его к горизонтальной плоскости проекций.
В″ ●
А″ ●
x
V
H
● В′
А′ ●
x1
H
V1
α1
●
А1″
НВ
● В1″
Рис. 14
В натуральную величину
проецируются на плоскость прямые
частного положения. Следовательно, заменим плоскость проекций на
новую таким образом, чтобы прямая АВ заняла положение прямой
уровня.
85
Заменим плоскость V на новую плоскость проекций V1, параллельную
прямой АВ и перпендикулярную к плоскости Н. Таким образом, получим новую
V
V
систему плоскостей: x  x 1 ; V1 ║ АВ и V1  H.
1H
H
В результате АВ в новой системе плоскостей - фронталь. А1″ В1″ - натуральная величина отрезка, 1 - угол наклона к горизонтальной плоскости проекций.
Пример 2. Прямая АВ - общего положения (рис.15). Перевести отрезок
АВ в проецирующее положение.
В″ ●
А″ ●
x
V
H
● В′
А′ ●
x1
H
V1
●
А1″
● В1″
● А2′ = В2′
V1 H1
x2
Рис. 15
Очевидно, что задача решается двойной заменой плоскостей: сначала
преобразуем АВ в прямую
уровня - фронталь, а затем
- в горизонтально-проецирующую.
V
V
1) x  x 1 ;
1H
H
V1 ║ АВ, V1  H;
А1В1 – фронталь.
V
V
2) x 1  x2 1 ;
1H
H
1
H1  А1В1, H1  V1;
А2В2 - горизонтальнопроецирующая прямая.
Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций состоит в том, что плоскости проекций остаются неподвижными, а геометрический объект меняет свое положение. При вращении каждая точка геометрической фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Траектория движения точек представляет собой окружность.
Примеры решения задач
Пример 1. Прямая АВ - общего положения (рис.16). Повернуть АВ вокруг
оси i, перпендикулярной к Н, на угол .
Новое положение горизонтальных проекций точек А и В находим путем
вращения вокруг i′ на угол . Для получения А1″ и В1″ проведем перпендикуляры из А1′ и В1′ к оси x соответственно и отметим точку их пересечения с горизонтальными прямыми, проведенными из А″ и В″ (поскольку точки А и В
86
вращали вокруг оси i, перпендикулярной к Н, то их координата z не изменилась).
i1″
В″ ●
● В2″
А″ ●
● А1″
x
φ
А′ ●
Пример 2. Плоскость АВС - общего положения (рис.17). Определить
натуральную величину плоскости.
● i1′
● B′
φ
Задача решается в два этапа.
Сначала плоскость переводят в проВ′ ●
ецирующее положение. Для этого в
плоскости АВС проводят горизонталь
● А1′
h и переводят ее в фронтальнопроецирующее положение путем
Рис. 16
вращения вокруг оси i1, перпендикулярной к Н. Затем вращают остальные точки плоскости (А, В, С) на угол . Таким образом, получим фронтальнопроецируюшую плоскость А1В1С. Второй этап заключается в переводе А1В1С в
плоскость уровня. Ее вращают вокруг оси i2, перпендикулярной к V. Получим
горизонтальную плоскость уровня А2В1С2, которая определяет натуральную величину заданной плоскости.
●
B 1 ″ i2 ″
●
В″
●
C2″
● A2″
i1 ″
1″ ●
h″
● А1″
А″ ●
x
● С″ = 11″
V
H
А′●
1′ ●
С′
h′
φ φ
●
i1 ′
● C2 ′
B1′ ●
В′ ●
● 11′
●
НВ
i2 ′
● А2′
А1 ′
Рис. 17
87
Задания для самостоятельного решения
Задача 1. Определить натуральную величину отрезка АВ и углы его
наклона к плоскостям проекций Н и V, используя способ замены плоскостей
проекций. Координаты точек взять из табл. 2.
Таблица 2
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
А
В
х
y
z
х
y
z
145
84
125
80
130
93
138
94
154
73
120
77
138
85
134
56
45
72
54
72
46
71
57
78
18
62
38
58
46
98
62
23
96
51
78
17
65
11
67
21
90
42
73
27
75
108
25
92
20
88
38
86
25
88
17
102
19
91
35
95
22
72
20
72
22
92
32
102
26
75
18
64
27
85
52
25
87
32
90
25
65
16
36
45
53
36
110
15
84
11
№
варианта
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
А
В
х
y
z
х
y
z
90
150
67
140
85
120
75
122
138
83
100
77
125
81
75
48
69
60
50
60
55
30
91
73
51
73
58
54
73
62
26
84
24
58
55
72
45
75
64
28
92
27
78
17
42
37
89
20
105
25
95
12
88
91
39
75
19
92
21
19
106
47
92
18
78
58
62
51
26
77
31
27
72
25
22
88
30
106
20
96
12
103
9
42
85
18
84
25
67
97
Задача 2. Перевести отрезок АВ в проецирующее положение, используя
способ замены плоскостей проекций. Исходные данные взять из табл. 2.
Задача 3. Определить натуральную величину отрезка АВ, используя способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций. Координаты точек взять из табл. 3.
Таблица 3
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
А
В
х
y
z
х
y
z
60
45
40
57
60
50
55
5
45
10
28
8
30
15
5
10
40
28
15
35
40
15
10
15
10
15
15
15
40
15
40
5
30
10
35
42
45
10
5
30
5
10
№
варианта
16
17
18
19
20
21
22
А
В
х
y
z
х
y
z
60
48
50
62
46
55
52
9
38
28
10
33
6
15
16
33
28
10
5
10
44
16
15
14
18
10
10
18
28
10
5
32
5
32
42
28
8
5
30
46
32
10
88
Окончание табл. 3
№
варианта
8
9
10
11
12
13
14
15
А
В
х
y
z
х
y
z
45
62
52
60
50
45
55
50
10
10
38
12
35
35
10
5
35
10
30
8
35
20
35
10
10
16
14
16
10
12
15
5
40
32
12
32
15
5
45
40
12
30
8
28
5
50
10
40
№
варианта
23
24
25
26
27
28
29
30
А
В
х
y
z
х
y
z
60
52
40
60
58
55
54
52
10
8
10
5
40
10
12
40
5
36
50
5
5
40
5
40
18
15
15
14
13
10
12
10
32
29
40
40
10
40
40
10
32
7
10
40
38
5
40
10
Задача 4. Перевести отрезок АВ в проецирующее положение, используя
способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций. Исходные данные взять из табл. 3.
Задача 5. Определить натуральную величину плоскости АВС, используя
способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций. Координаты точек взять из табл. 4.
Таблица 4
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
А
В
С
х
y
z
х
y
z
х
y
z
0
50
25
80
30
0
20
30
20
15
15
80
75
20
15
40
70
10
60
65
50
65
65
30
10
5
15
20
65
35
70
65
60
60
10
5
60
10
5
75
10
20
10
30
70
20
90
95
5
50
25
95
50
60
50
70
25
20
40
70
70
30
20
70
10
0
35
10
55
50
5
70
75
15
75
5
0
20
25
50
60
35
50
5
10
60
5
0
65
80
65
5
40
40
80
85
55
80
75
90
80
50
10
80
35
10
5
65
0
35
10
0
35
10
10
45
45
70
30
0
30
30
10
0
15
15
0
15
55
10
10
50
10
35
0
№
варианта
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
А
В
С
х
y
z
х
y
z
х
y
z
75
60
20
0
20
85
15
25
35
95
35
75
25
50
20
75
20
10
50
10
70
70
5
45
30
70
65
45
70
60
5
60
40
10
70
10
65
25
55
65
70
45
70
65
55
0
30
80
60
90
25
95
60
95
15
95
95
95
75
90
30
65
25
70
50
20
70
60
60
15
80
40
60
35
35
75
15
15
70
60
25
45
5
45
10
55
0
35
0
20
90
65
15
80
60
90
70
95
70
70
85
10
65
10
60
5
60
55
10
85
10
0
20
0
80
20
0
10
0
10
75
35
20
10
0
60
5
50
5
5
0
10
0
5
5
Задача 6. Повернуть плоскость АВС вокруг оси i, перпендикулярной к Н,
на угол 130°. Исходные данные взять из табл. 4.
89
Задача 7. (все варианты). Задана плоскость α (координаты взять произвольно). Перевести плоскость в проецирующее положение способами замены
плоскостей проекций и вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
проекций.
● С″
A″ ●
a″
в″
A″ ●
x
A′ ●
● B′
● В″
С″ ●
● В″
x
● В′
x
А′ ●
● C′
в′
● С′
а) α (А, В, С)
а′
б) α (АВ, С)
в) α (а ║ в)
в″
● С″
m″
a″
A″ ●
● В″
x A′ ●
в′
x
x
● B′
m′
а′
● C′
г) α (АВС)
д) α (а ∩ в)
е) α (m)
В″ ●
В″ ●
● С″
● С″
A″ ●
A″ ●
● D″
x
E″ ●
x
● D′
A′ ●
● C′
B′ ●
ж) α (АВСD)
● D″
E′ ●
A′ ●
● D′
B′ ●
● C′
и) α (АВСDE)
90
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Перечислите основные методы проецирования.
2. Что называют эпюром?
3. Каким образом пространственную модель координатных плоскостей, состоящую из трех взаимно перпендикулярных плоскостей, преобразуют в эпюр?
4. Как обозначают проекции точки на плоскости проекций Н, V, W?
5. Какие координаты определяют проекции точки на плоскости Н, V, W?
6. Как построить недостающую проекцию точки по двум данным проекциям?
7. Какие координаты определяют расстояние от точки до плоскостей Н, V, W?
8. Как определить положение прямой относительно плоскостей проекций?
9. Как располагается горизонтальная проекция отрезка, если его фронтальная проекция равна самому отрезку?
10. Как называется прямая, если две ее проекции параллельны двум плоскостям проекций?
11. Как определить по проекциям прямых их взаимное положение?
12. Что называется следом прямой?
13. Каким способом можно определить натуральную величину отрезка общего положения?
14. Перечислите способы задания плоскости.
15. Что называют следом плоскости?
16. Как определить принадлежность точки заданной плоскости?
17. Как определить принадлежность прямой заданной плоскости?
18. Как определить положение плоскости относительно плоскостей проекции?
19. Какие взаимные положения могут занимать две плоскости?
20. Какой признак параллельности двух плоскостей?
21. Как построить линию пересечения двух плоскостей, если одна из них
проецирующая?
22. Алгоритм построения линии пересечения двух плоскостей в общем
случае.
23. Как определить «видимость» линий в случае взаимного пересечения
плоскостей?
24. Какие способы преобразования чертежа вы знаете? Их сущность.
25. Как определить натуральную величину отрезка и углы его наклона к
плоскостям проекций с помощью способов преобразования чертежа?
26. Сколько и в какой последовательности нужно ввести дополнительных
плоскостей для преобразования прямой общего положения в проецирующее?
27. Каким образом нужно выбрать ось вращения при применении способа
вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, для упрощения построений?
28. Какие построения необходимо выполнить, чтобы плоскость общего
положения преобразовать в проецирующее, используя способ вращения вокруг
оси, перпендикулярной к плоскости проекций?
91
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учебник для
студентов втузов. - М.: Гуманит. изд. центр «ВЛАДОС», 2002. - 471 с.
2. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2000. - 272 с.
3. Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебник втузов. - М.: Машиностроение, 1978. - 240 с.
4. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии: Учебное
пособие для вузов. - М.: Машиностроение, 1978. - 240 с.
5. Миронова Р.С., Миронов Б.Г. Сборник заданий по инженерной графике: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа; Изд. центр «Академия»,
2001. - 263 с.
6. Боголюбов С.К. Индивидуальные задания по курсу черчения: Учебное
пособие для учащихся техникумов. - М.: Высшая школа, 1994. - 368 с.
7. Брилинг Н.С., Евсеев Ю.П. Задания по черчению: Учебное пособие для
техникумов. - М.: Стройиздат, 1978. - 271 с.
92
93
94
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ………………………………………………..………………………... 3
Условные обозначения и символы ………..………………………………….... 4
Тема 1. Точка ………………………………………………..…………………... 5
Задания для самостоятельного решения ………………...……………… 7
Тема 2. Линия …………………………………………..……………………… 13
Задания для самостоятельного решения …………………….………… 17
Тема 3. Плоскость ………………………………..……………………………. 47
Задания для самостоятельного решения ………………………………. 51
Тема 4. Способы преобразования чертежа …………………………..………. 81
Задания для самостоятельного решения ………………………………. 84
Вопросы для самоконтроля……………………………………………………..87
Список рекомендуемой литературы…………………………………………....88
x
95
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Мяленко Галина Матвеевна
Сафонова Елена Александровна
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА
Практикум
Для студентов вузов
Зав. редакцией И.Н. Журина
Редактор Н.В. Шишкина
Технический редактор Т.В. Васильева
Художественный редактор Л.П. Токарева
ЛР № 020524 от 02.06.97.
Подписано в печать 30.08.05.Формат 60х841/16
Бумага типографская. Гарнитура Times.
Уч.-изд.л.5,75. Тираж 1000 экз.
Заказ № 135
Оригинал-макет изготовлен в редакционно-издательском отделе
Кемеровского технологического института пищевой промышленности
650056, г. Кемерово, б-р Строителей, 47
ПЛД №44-09 от 10.10.99
Отпечатано в лаборатории множительной техники
Кемеровского технологического института пищевой промышленности
650010, г. Кемерово, ул. Красноармейская, 52