ТЕМА 11. Теория вероятностей, математическая статистика

Контрольная работа № 11
Теория вероятностей,
математическая статистика и
случайные процессы
ТЕМА 11. Теория вероятностей, математическая статистика и
случайные процессы.
1.
2.
3.
4.
Случайные события.
Случайные величины.
Элементы математической статистики.
Цепи Маркова.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное
пособие для вузов – 10-е издание, стереотипное – Москва: Высшая школа,
2003. - 479 с.
2. Гмурман В.Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учебное пособие для вузов.- 9-е издание,
стереотипное – Москва: Высшая школа, 2004.- 404 с.
3. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая
статистика: Учебник для вузов – 2-е издание, переработанное и
дополненное – Москва: ЮНИТИ, 2003. -352 с.
Решение типового варианта контрольной работы.
Задача 1. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза
выпадет «решка»?
Решение. Подбрасывание монеты будем считать одним опытом. По
условию задачи производится 4 одинаковых испытания. Вероятность успеха
(выпадение «решки») в каждом испытании равна p  0.5; q  1  p  0.5 .
Требуется найти, что среди проведенных испытаний будет k  3 успешных.
Для решения задачи воспользуемся формулой биномиального закона
распределения дискретной случайной величины. Pn k   C nk p k q n k . В условиях
нашей задачи P4 3  C43 0.53 0.5 43  4 * 0.5 4  0.25 .
Ответ: 0.25.
Задача 2. В квадрат со стороной 2 вписан квадрат, вершины которого
лежат на серединах сторон большего квадрата. Найти вероятность того, что
наудачу брошенная в больший квадрат точка попадет в маленький квадрат.
Решение. Воспользуемся понятием геометрической вероятности.
Будем искать вероятность попадания в меньший квадрат как отношение
площади
меньшего
квадрата
к
площади
большего
квадрата.
P
2
Sm
2
S b  2 2 ; S m  2  P   0,5 .
4
Sb
Ответ: P  0,5 .
Задача 3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го
элемента
Решение. Разобьем цепь на три последовательно соединенных блока. И
вычислим надежность каждого блока отдельно. Первый блок пропускает
электрический ток в трех случаях: если исправен первый элемент и
неисправен второй; если исправен второй элемент и неисправен первый; и
если оба элемента исправны. Таким образом, надежность этого блока может
быть представлена суммой: p1 1  p2   p2 1  p1   p1 p2 . Однако проще
надежность этого элемента вычислить через вероятность противоположного
события. Вычислим вероятность того, что блок не пропускает ток и
надежность найдем по формуле вероятности противоположного события.
Блок не исправен только в случае когда и первый и второй элементы
неисправны: 1  p1 1  p2  , следовательно, надежность блока может быть
вычислена как разность: 1  1  p1 1  p2  . Аналогично вычисляется
надежность второго блока: 1  1  p3 1  p4  . Теперь, зная надежности трех
последовательно соединенных блоков, вычислим надежность цепи в целом.
Схема пропускает ток только если все три блока исправны, то есть
надежность схемы: 1  1  p1 1  p2 (1  1  p3 1  p4 ) p5 .
Ответ: 1  1  p1 1  p2 (1  1  p3 1  p4 ) p5 .
Задача 4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y.
Определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной
случайной величины Y.
Y
5
6
7
10
p
0,1 0,1
x
0,3
Решение.
Найдем
значение
x
из
условия
n
p
i 1
i
 1, 0,1  0,1  x  0,3  1  x  0,5 .
Зная x, становится возможным вычисление математического ожидания.
n
M (Y )   Yi pi  5 * 0,1  6 * 0,1  7 * 0,5  10 * 0,3  7,6
i 1
Ответ: x  0,5; M (Y )  7,6.
Задача 5. Найти доверительный интервал для оценки математического
ожидания m нормального закона с надежностью 0.95; зная выборочную
среднюю X  75,17; n  36;  6 .
Решение. Построить доверительный интервал с доверительной
вероятностью   1  2 для математического ожидания m произвольной
случайной величины можно следующим образом:
X U
X

 m  X  U X .
n
n
При надежности  =0,95 найдем табличное значение U   1,6 и запишем
выражение, подставив значения из условия задачи:
75,17  1,96
6
 m  75,17  1.96
6
36
73,21  m  77,13 .
36
,
Ответ: 73,21  m  77,13 .
Задача 6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за
 0,2 0,8 
 .
один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за три шага P  
0
,
3
0
,
7


Решение. Матрицей перехода системы называют матрицу, которая
содержит все переходные вероятности этой системы:
 p11 p12 ... p1k 


 p 21 p22 ... p2 k 
p1  
........................... 


p

 21 p22 ... pkk 
В каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из
состояния i в состояние j), которые образуют полную группу, поэтому сумма
вероятностей этих событий равна единице:
k
p
j 1
ij
 1,
i  1,2,..., k .
Обозначим через pij n  вероятность того, что в результате n шагов
(испытаний) система перейдет из состояния i в состояние j. Например p 2 5 10 вероятность перехода из второго состояния в пятое за десять шагов.
Отметим, что при n=1 получаем переходные вероятности pij 1  pij .
Перед нами поставлена задача: зная переходные вероятности pij , найти
вероятности pij n  перехода системы из состояния i в состояние j за n шагов.
Для этого введем промежуточное (между i и j) состояние r. Другими
словами, будем считать, что из первоначального состояния i за m шагов
система перейдет в промежуточное состояние r с вероятностью pir m , после
чего, за оставшиеся n-m шагов из промежуточного состояния r она перейдет
в конечное состояние j с вероятностью p rj n  m  . По формуле полной
вероятности получаем:
k
pij n    pir m  p rj n  m  .
r 1
Эту формулу называют равенством Маркова. С помощью этой формулы
можно найти все вероятности pij n  , а, следовательно, и саму матрицу Pn . Так
как матричное исчисление ведет к цели быстрее, запишем вытекающее из
полученной формулы матричное соотношение в общем виде Pn  P1n .
Вычислим матрицу перехода цепи Маркова за три шага, используя
полученную формулу:
3
2
 0,2 0,8   0,2 0,8   0,2 0,8 
  
  
 
P3  P  
0
,
3
0
,
7
0
,
3
0
,
7
0
,
3
0
,
7

 
 

 0,28 0,72  0,2 0,8   0,272 0,728 

  
.
 
0
,
27
0
,
73
0
,
3
0
,
7
0
,
273
0
,
727


 

 0,272 0,728 
 .
Ответ: 
 0,273 0,727 
3
Задача 7. DX = 3. Используя свойства дисперсии, найдите D(4X-2).
Решение. D AX  B   A2 D X   D4 X  2  42 D X   16  3  48 .
Ответ: 48.
Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с
тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные
работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не
принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой
вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3
часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные
вероятности
состояний
и
показатели
эффективности
работы
вычислительного центра.
Решение. В теории массового обслуживания широкое распространение
имеет специальный класс случайных процессов – так называемый процесс
гибели и размножения. Рассмотрим упорядоченное множество состояний
системы S 0 , S1 ,..., S k . Переходы могут осуществляться из любого состояния
только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния S k возможны
переходы только либо в состояние S k 1 , либо в состояние S k 1 . В
предположении, что все потоки событий, переводящие систему из одного
состояние в следующее простейшие с соответствующими интенсивностями
 k ,k 1 или  k 1,k , для отыскания предельных вероятностей, можно использовать
систему уравнений Колмогорова для стационарных процессов. Правило для
составления уравнений Колмогорова звучит следующим образом: слева в
уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния p i , умноженная
на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а
справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-ое
состояние на вероятности тех состояний, из которых эти потоки выходят.
Поток заявок характеризуется интенсивностью  (заявок/час), поток
обслуживания – интенсивностью  (заявок/час). Согласно условию задачи
  0.25 (заявок/час),   1t  13  0.33 (заявок/час). В нашей задаче система
массового обслуживания может находиться в одном из четырех состояний: S 0
- когда все три компьютера свободны; S1 - когда загружен работой только
один компьютер; S 2 - когда заняты два компьютера; S 3 - когда все
компьютеры заняты. В предельном, стационарном режиме система
алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:
 p0   p1
    p   p  2 p

1
0
2
.



2



p


p

3

p
2
1
3

3 p3   p 2
К этой системе добавляется нормировочное уравнение p0  p1  p2  p3  1 .
0.25 p 0  0.33 p1
0.58 p  0.25 p  0.66 p
1
0
2

0.91 p 2  0.25 p1  0.99 p3 .
0.99 p  0.25 p
3
2

 p 0  p1  p 2  p3  1
Решая эту систему уравнений, получим:
p0  0.476; p1  0.357; p2  0.134; p3  0.033 .
То есть в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем
47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка, 13,4% - две
заявки и 3,3% времени – три заявки (заняты все вычислительные мощности).
Вероятность отказа в обслуживании (когда заняты все три компьютера),
таким образом Pom  p3  0.033 .
Относительная пропускная способность центра Q  1  Pom  1  0.033  0.967 , то
есть в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает
96,7 заявок.
Абсолютная пропускная способность A    Q  0.25  0.967  0.242 , то есть в
один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
Среднее число занятых компьютеров есть математическое ожидание числа
4
занятых каналов k   kpk  0.725 , то есть каждый компьютер будет занят
k 0
обслуживанием заявок в среднем лишь на 72.5 / 3  24.2 %.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо
сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя
дорогостоящих компьютеров и выбрать компромиссное решение.
Контрольная работа №11.
Вариант 1.
1. Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет
герб?
2. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов,
попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен
выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых
секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую
фигуру пропорциональна площади этой фигуры.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение x.
1
2
3
4
0,1
х
0,2
0,4
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю
X  100,31; n  100;  5 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0.1 0.9 
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
.
 0.2 0.8 
7. DX = 1.5. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).
8. Рассматривается
круглосуточная
работа
пункта
проведения
профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной
группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов
каждой машины затрачивается в среднем 0,4 часа. На осмотр поступает
в среднем 36 машин в сутки. Если машина, прибывшая в пункт
осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт
осмотра необслуженной. Определить вероятности состояний и
характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
Контрольная работа №11.
Вариант 2.
1. Бросается 6 монет. Какова вероятность того, что герб выпадет более
четырех раз?
2. В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти
вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг,
попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность
попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит
от его расположения.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
математическое ожидание случайной величины.
1
2
5
6
0,2
0,1
0,6
х
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.95; зная выборочную среднюю
X  87,56; n  64;  8 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,2 0,8 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
5
0
,
5


7. MX = 1.5. Используя свойства математического ожидания, найдите
M(2X+5).
8. Рассматривается
круглосуточная
работа
пункта
проведения
профилактического осмотра автомашин с четырьмя каналами
(четырьмя группами проведения осмотра). На осмотр и выявление
дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 часа. На осмотр
поступает в среднем 20 машин в сутки. Если машина, прибывшая в
пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает
пункт осмотра необслуженной. Определить вероятности состояний и
характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
Найти число каналов, при котором относительная пропускная
способность пункта осмотра будет не менее 0,9.
Контрольная работа №11.
Вариант 3.
1. Бросаются 2 кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков
равна 3, составит?
2. В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что
их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу
брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное
построенными окружностями. Предполагается, что вероятность
попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит
от его расположения.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение второго центрального момента случайной величины.
1
2
3
4
0,1 0,2
0,3
0,4
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.98; зная выборочную среднюю
X  69,9; n  68;  3 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,3 0,7 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
 0,4 0,6 
7. MX = 5, MY = 2. Используя свойства математического ожидания,
найдите M(2X - 3Y).
8. Известно, что заявки на телефонные переговоры, в пункт услуг по
предоставлению связи поступают с интенсивностью 90 вызовов в час,
а средняя продолжительность разговора по телефону – 2 минуты.
Определить показатели эффективности работы узла связи при наличии
2-х телефонных номеров. Определить оптимальное число телефонных
номеров, если условием оптимальности считать удовлетворение в
среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.
Контрольная работа №11.
Вариант 4.
1. Бросаются 2 монеты. Какова вероятность того, что выпадут и герб и
решка, равна?
2. В группе 25 студентов, из которых отлично учится 5 человек, хорошо –
12, удовлетворительно – 6 и слабо – 2. Преподаватель вызывает
студента. Какова вероятность того, что вызванный студент или
отличник или хорошист?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
математическое ожидание случайной величины.
1
2
3
5
0,1
0,2
0
0,7
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю
X  78,64; n  70;  10 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,1 0,9 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
 0,1 0,9 
7. X и Y – независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии,
найдите D(2X+3Y).
8. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность
поток судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного
судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть
неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы
причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более,
чем 2 судна.
Контрольная работа №11.
Вариант 5.
1. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза выпадет
герб?
2. В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом.
Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с
оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки – 0.7. Стрелок
наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что
мишень будет поражена.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение второго центрального момента случайной величины.
1
2
3
5
0,1
0,3
0,4
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.8; зная выборочную среднюю
X  56,89; n  78;   10 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,2 0,8 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
3
0
,
7


7. DX =2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).
8. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в
небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для
переговоров. В среднем за сутки поступает 360 заявок на переговоры.
Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в
другом городе) составляет 5 минут. Никаких ограничений на длину
очереди нет. Определить предельные вероятности состояний и
характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном
режиме.
Контрольная работа №11.
Вариант 6.
1. Бросается 6 монет. Какова вероятность того, что герб выпадет не более
двух раз равна?
2. В среднем каждое сотое изделие, производимое предприятием,
дефектное. Если взять два изделия, какова вероятность, что оба
окажутся исправными?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение первого центрального момента случайной величины.
-2
-1
0
1
2
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.98; зная выборочную среднюю
X  78,98; n  135;  8 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,4 0,6 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
8
0
,
2


7. MX=2. Используя свойства математического ожидания, найдите
M(2X+5).
8. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в
небольшом городке. Пункт имеет три телефонных аппарата для
переговоров. В среднем за сутки поступает 240 заявок на переговоры.
Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в
другом городе) составляет 7 минут. Никаких ограничений на длину
очереди нет. Определить предельные вероятности состояний и
характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном
режиме.
Контрольная работа №11.
Вариант 7.
1. Бросаются 2 кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков
равна 4?
2. В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных. Найти
вероятность p того, что вынутый наугад шар окажется красным.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
математическое ожидание случайной величины.
-4
-2
0
2
4
0,1
0,2
0
0,3
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю
X  90,25; n  65;   9 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,3 0,7 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
 0,2 0,8 
7. MX =4, MY =6. Используя свойства математического ожидания,
найдите M(2X +3Y).
8. Рассматривается
круглосуточная
работа
пункта
проведения
профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной
группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов
каждой машины затрачивается в среднем 0,2 часа. На осмотр поступает
в среднем 50 машин в сутки. Машина, прибывшая в пункт осмотра,
покидает пункт осмотра в случае, если в очереди на осмотр стоят более
5 машин. Определить вероятности состояний и характеристики
обслуживания профилактического пункта осмотра.
Контрольная работа №11.
Вариант 8.
1. Бросаются 2 монеты. Какова вероятность того, что выпадут 2 герба?
2. Вероятность выиграть в кости равна 1/6. Игрок делает 120 ставок.
Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы
сосчитать вероятность того, что число выигрышей не будет меньше 15?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение первого центрального момента случайной величины.
-3
-2
-1
1
2
3
0,1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.95; зная выборочную среднюю
X  98,87; n  70;  8 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,1 0,9 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
 0,6 0,4 
7. X и Y – независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии,
найдите D(2X+3Y).
8. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с
интенсивностью 81 человек в час. Средняя продолжительность
обслуживания контролером-кассиром одного покупателя – 2 минуты.
Определить минимальное число контролеров-кассиров при котором
очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие
характеристики обслуживания. Определить вероятность того, что в
очереди будет не более трех покупателей.
Контрольная работа №11.
Вариант 9.
1. Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что два раза выпадет герб?
2. Вероятность выиграть в рулетку равна 1/38. Игрок делает 190 ставок. С
помощью какой таблицы можно найти вероятность того, что он
выиграет не менее 5 раз?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение второго центрального момента случайной величины.
-4
-2
-14
1
2
4
0,1
0,2
0,1
0,3
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю
X  56,54; n  87;  3 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,3 0,7 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
5
0
,
5


7. DX =2.5. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).
8. Рассматривается
круглосуточная
работа
пункта
проведения
профилактического осмотра автомашин с четырьмя каналами
(четырьмя группами проведения осмотра). На осмотр и выявление
дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,8 часа. На осмотр
поступает в среднем 40 машин в сутки. Машина, прибывшая в пункт
осмотра, покидает пункт осмотра в случае, если в очереди на осмотр
стоят более 7 машин.
Определить вероятности состояний и
характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
Найти число каналов при котором относительная пропускная
способность пункта осмотра будет не менее 0,8.
Контрольная работа №11.
Вариант 10.
1. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что герб выпадет более
трех раз?
2. Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы
ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется не честно, мы
решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный
интервал для вероятности выигрыша. По какой формуле строится
интервал и что дала проверке в нашем случае?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
математическое ожидание случайной величины.
-3
-2
-1
1
2
3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.95; зная выборочную среднюю
X  156,65; n  88;  5 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,5 0,5 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
4
0
,
6


7. MX =2.5. Используя свойства математического ожидания, найдите
M(2X+5).
8. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в
небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для
переговоров. В среднем за сутки поступает 360 заявок на переговоры.
Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в
другом городе) составляет 5 минут. Длина очереди не должна
превышать 60 человек. Определить предельные вероятности состояний
и характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном
режиме.
Контрольная работа №11.
Вариант 11.
1. Бросаются 2 кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков
равна 5?
2. Вероятность появлений события А в испытании равна p. Чему равна
дисперсия числа появлений события А в одном испытании?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение x.
5.
6.
7.
8.
-1
-0,5
0
0,5
1
0,1
0,2
х
0,2
0,1
Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.98; зная выборочную среднюю
X  22,45; n  36;  8 .
Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,2 0,8 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
9
0
,
1


MX =6, MY = 2. Используя свойства математического ожидания,
найдите M(2X - 3Y).
Железнодорожная касса с двумя окошками продает билеты в два
пункта А и В. Интенсивность потока пассажиров, желающих купить
билеты, для обоих пунктов одинакова и равна – 0,45 (пассажиров в
минуту). На обслуживание пассажиров кассир тратит в среднем 2
минуты. Рассматриваются два варианта продажи билетов: первый –
билеты продаются в одной кассе с двумя окошками одновременно в
оба пункта; второй – билеты продаются в двух специализированных
кассах (по одному окошку в каждой), одна только в пункт А, другая в
пункт В. Необходимо сравнить два варианта продажи билетов по
основным характеристикам обслуживания. Определить, как надо
изменить среднее время обслуживания одного пассажира, чтобы по
второму варианту продажи пассажиры затрачивали на приобретение
билетов в среднем меньше, чем по первому варианту.
Контрольная работа №11.
Вариант 12.
1. Бросаются 2 монеты. Какова вероятность того, что выпадут 2 решки?
2. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов,
попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен
выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых
секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую
фигуру пропорциональна площади этой фигуры.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения случайной величины. Определить значение x.
-2
-1
1
2
0,5
х
0,1
0,3
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.98; зная выборочную среднюю
X  33,12; n  85;  5 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,7 0,3 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
6
0
,
4


7. X и Y – независимы. DX =6, DY = 2. Используя свойства дисперсии,
найдите D(2X+3Y).
8. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в
небольшом городке. Пункт имеет три телефонных аппарата для
переговоров. В среднем за сутки поступает 240 заявок на переговоры.
Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в
другом городе) составляет 7 минут. Длина очереди не должна
превышать 60 человек. Определить предельные вероятности состояний
и характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном
режиме.
Контрольная работа №11.
Вариант 13.
1. Бросается 6 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет
герб?
2. В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти
вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг,
попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность
попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит
от его расположения.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение x.
1
2
3
4
0,1
х
0,2
0,4
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.8; зная выборочную среднюю
X  56,12; n  45;  9 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,9 0,1 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
 0,2 0,8 
7. DX =3. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).
8. Рассматривается
круглосуточная
работа
пункта
проведения
профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной
группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов
каждой машины затрачивается в среднем 0,4 часа. На осмотр поступает
в среднем 36 машин в сутки. Если машина, прибывшая в пункт
осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт
осмотра необслуженной. Определить вероятности состояний и
характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
Контрольная работа №11.
Вариант 14.
1. Бросается 6 монет. Какова вероятность того, что герб выпадет более
трех раз?
2. В пирамиде 6 винтовок, 4 из которых снабжены оптическим прицелом.
Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с
оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки – 0.8. Стрелок
наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что
мишень будет поражена.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
моду.
-3
-2
-1
1
2
3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю
X  145,78; n  250;  2 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,7 0,3 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
 0,1 0,9 
7. MX=3. Используя свойства математического ожидания, найдите
M(2X+5).
8. Рассматривается
круглосуточная
работа
пункта
проведения
профилактического осмотра автомашин с четырьмя каналами
(четырьмя группами проведения осмотра). На осмотр и выявление
дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 часа. На осмотр
поступает в среднем 20 машин в сутки. Если машина, прибывшая в
пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает
пункт осмотра необслуженной. Определить вероятности состояний и
характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
Найти число каналов при котором относительная пропускная
способность пункта осмотра будет не менее 0,9.
Контрольная работа №11.
Вариант 15.
1. Бросаются 2 кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков
равна 6?
2. В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом.
Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с
оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки – 0.7. Стрелок
наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что
мишень будет поражена.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
медиану.
1
2
3
4
0,1
х
0,2
0,4
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.95; зная выборочную среднюю
X  54,65; n  150;  8 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,5 0,5 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
4
0
,
6


7. MX =6, MY =4. Используя свойства математического ожидания,
найдите M(2X +3Y).
8. Известно, что заявки на телефонные переговоры, в пункт услуг по
предоставлению связи поступают с интенсивностью 90 вызовов в час,
а средняя продолжительность разговора по телефону – 2 минуты.
Определить показатели эффективности работы узла связи при наличии
2-х телефонных номеров. Определить оптимальное число телефонных
номеров, если условием оптимальности считать удовлетворение в
среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.
Контрольная работа №11.
Вариант 16.
1. Бросаются 2 монеты. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы
один герб?
2. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов,
попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен
выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых
секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую
фигуру пропорциональна площади этой фигуры.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
математическое ожидание случайной величины.
-3
-2
-1
1
2
3
0,1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю
X  54,2; n  150;   6 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,2 0,8 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
4
0
,
6


7. X и Y – независимы. DX =6, DY =3. Используя свойства дисперсии,
найдите D(2X+3Y).
8. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность
поток судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного
судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть
неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы
причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более,
чем 2 судна.
Контрольная работа №11.
Вариант 17.
1. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что два раза выпадет
герб?
2. Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы
ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется не честно, мы
решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный
интервал для вероятности выигрыша. По какой формуле строится
интервал и что дала проверке в нашем случае?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение x.
1
2
3
4
0,1
х
0,2
0,4
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.95; зная выборочную среднюю
X  65,45; n  100;  3 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,1 0,9 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за три шага 
 0,9 0,1
7. DX =4. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).
8. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в
небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для
переговоров. В среднем за сутки поступает 360 заявок на переговоры.
Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в
другом городе) составляет 5 минут. Никаких ограничений на длину
очереди нет. Определить предельные вероятности состояний и
характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном
режиме.
Контрольная работа №11.
Вариант 18.
1. Бросается 7 монет. Какова вероятность того, что герб выпадет более
четырех раз?
2. В среднем каждое сотое изделие, производимое предприятием,
дефектное. Если взять два изделия, какова вероятность, что оба
окажутся исправными
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
моду.
-3
-2
-1
1
2
3
0,4
0,2
0,1
0,1
0,1
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.95; зная выборочную среднюю
X  22.25; n  200;  9 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,5 0,5 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за четыре шага 
 0,6 0,4 
7. MX=5. Используя свойства математического ожидания, найдите
M(2X+5).
8. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в
небольшом городке. Пункт имеет три телефонных аппарата для
переговоров. В среднем за сутки поступает 240 заявок на переговоры.
Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в
другом городе) составляет 7 минут. Никаких ограничений на длину
очереди нет. Определить предельные вероятности состояний и
характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном
режиме.
Контрольная работа №11.
Вариант 19.
1. Бросаются 2 кубика. Какова вероятность, что произведение выпавших
очков равно 3?
2. В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных. Найти
вероятность p того, что вынутый наугад шар окажется красным.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
x.
1
2
3
4
0,1
х
0,2
0,4
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю
X  56,45; n  60;  5 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,7 0,3 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
3
0
,
7


7. MX =6, MY =5. Используя свойства математического ожидания,
найдите M(2X +3Y).
8. Рассматривается
круглосуточная
работа
пункта
проведения
профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной
группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов
каждой машины затрачивается в среднем 0,2 часа. На осмотр поступает
в среднем 50 машин в сутки. Машина, прибывшая в пункт осмотра,
покидает пункт осмотра в случае, если в очереди на осмотр стоят более
5 машин. Определить вероятности состояний и характеристики
обслуживания профилактического пункта осмотра.
Контрольная работа №11.
Вариант 20.
1. Бросаются 3 монеты. Какова вероятность того, что выпадут герб, и 2
решки?
2. Вероятность выиграть в кости равна 1/6. Игрок делает 120 ставок.
Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы
сосчитать вероятность того, что число выигрышей не будет меньше 15?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
математическое ожидание случайной величины.
-3
-2
-1
1
2
3
0,1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.8; зная выборочную среднюю
X  12,78; n  50;  8 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,6 0,4 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за пять шагов 
 0,4 0,6 
7. X и Y – независимы. DX =7, DY =4. Используя свойства дисперсии,
найдите D(2X+5Y).
8. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с
интенсивностью 81 человек в час. Средняя продолжительность
обслуживания контролером-кассиром одного покупателя – 2 минуты.
Определить минимальное число контролеров-кассиров при котором
очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие
характеристики обслуживания. Определить вероятность того, что в
очереди будет не более трех покупателей.
Контрольная работа №11.
Вариант 21.
1. Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что хотя бы три раза
выпадет герб?
2. Вероятность выиграть в рулетку равна 1/34. Игрок делает 190 ставок. С
помощью какой таблицы можно найти вероятность того, что он
выиграет не менее 5 раз?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение первого центрального момента случайной величины.
1
2
3
4
0,1
х
0,2
0,4
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю
X  98; n  120;  16 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,3 0,7 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
9
0
,
1


7. DX =4.5. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).
8. Рассматривается
круглосуточная
работа
пункта
проведения
профилактического осмотра автомашин с четырьмя каналами
(четырьмя группами проведения осмотра). На осмотр и выявление
дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,8 часа. На осмотр
поступает в среднем 40 машин в сутки. Машина, прибывшая в пункт
осмотра, покидает пункт осмотра в случае, если в очереди на осмотр
стоят более 7 машин.
Определить вероятности состояний и
характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
Найти число каналов при котором относительная пропускная
способность пункта осмотра будет не менее 0,8.
Контрольная работа №11.
Вариант 22.
1. Бросается 6 монет. Какова вероятность того, что герб выпадет не менее
четырех раз?
2. Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/30. Сделав ставку 110 раз, мы
ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется не честно, мы
решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный
интервал для вероятности выигрыша. По какой формуле строится
интервал, и что дала проверке в нашем случае?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение второго центрального момента случайной величины.
-3
-2
-1
1
2
3
0,1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю
X  87,45; n  70;  9 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,1 0,9 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за три шага 
0
,
2
0
,
8


7. MX =4.5. Используя свойства математического ожидания, найдите
M(2X+5).
8. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в
небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для
переговоров. В среднем за сутки поступает 360 заявок на переговоры.
Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в
другом городе) составляет 5 минут. Длина очереди не должна
превышать 60 человек. Определить предельные вероятности состояний
и характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном
режиме.
Контрольная работа №11.
Вариант 23.
1. Бросаются 2 кубика. Какова вероятность, что произведение выпавших
очков равно 6?
2. Вероятность появлений события А в испытании равна p. Чему равна
дисперсия числа появлений события А в одном испытании?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
математическое ожидание случайной величины.
1
2
3
4
0,1
х
0,2
0,4
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.98; зная выборочную среднюю
X  35; n  90;  6 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,7 0,3 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за четыре шага 
 0,5 0,5 
7. MX =6, MY =3. Используя свойства математического ожидания,
найдите M(2X - 3Y).
8. Железнодорожная касса с двумя окошками продает билеты в два
пункта А и В. Интенсивность потока пассажиров, желающих купить
билеты, для обоих пунктов одинакова и равна – 0,45 (пассажиров в
минуту). На обслуживание пассажиров кассир тратит в среднем 2
минуты. Рассматриваются два варианта продажи билетов: первый –
билеты продаются в одной кассе с двумя окошками одновременно в
оба пункта; второй – билеты продаются в двух специализированных
кассах (по одному окошку в каждой), одна только в пункт А, другая в
пункт В. Необходимо сравнить два варианта продажи билетов по
основным характеристикам обслуживания. Определить, как надо
изменить среднее время обслуживания одного пассажира, чтобы по
второму варианту продажи пассажиры затрачивали на приобретение
билетов в среднем меньше, чем по первому варианту.
Контрольная работа №11.
Вариант 24.
1. Бросаются 4 монеты. Какова вероятность того, что выпадут и герб, и
решка?
2. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов,
попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен
выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых
секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую
фигуру пропорциональна площади этой фигуры.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение дисперсии случайной величины.
1
2
3
4
0,1
х
0,2
0,4
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю
X  98; n  65;  7 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,2 0,8 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за три шага 
 0,2 0,8 
7. X и Y – независимы. DX =7, DY =4. Используя свойства дисперсии,
найдите D(2X+3Y).
8. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в
небольшом городке. Пункт имеет три телефонных аппарата для
переговоров. В среднем за сутки поступает 240 заявок на переговоры.
Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в
другом городе) составляет 7 минут. Длина очереди не должна
превышать 60 человек. Определить предельные вероятности состояний
и характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном
режиме.
Контрольная работа №11.
Вариант 25.
1. Бросаются 2 кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков
равна 4?
2. В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти
вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг,
попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность
попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит
от его расположения.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение второго центрального момента случайной величины.
-4
-2
0
2
4
0,1
0,2
0
0,3
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.98; зная выборочную среднюю
X  35; n  65;  4 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,2 0,8 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за четыре шага 
0
,
7
0
,
3


7. DX =6. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).
8. Рассматривается
круглосуточная
работа
пункта
проведения
профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной
группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов
каждой машины затрачивается в среднем 0,4 часа. На осмотр поступает
в среднем 36 машин в сутки. Если машина, прибывшая в пункт
осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт
осмотра необслуженной. Определить вероятности состояний и
характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
Контрольная работа №11.
Вариант 26.
1. Бросаются 2 монеты. Какова вероятность того, что выпадут 2 герба?
2. В пирамиде 6 винтовок, 4 из которых снабжены оптическим прицелом.
Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с
оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки – 0.8. Стрелок
наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что
мишень будет поражена.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение первого центрального момента случайной величины.
-3
-2
-1
1
2
3
0,1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.999; зная выборочную
среднюю X  88; n  66;  12 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,9 0,1 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за три шага 
0
,
4
0
,
6


7. MX=6. Используя свойства математического ожидания, найдите
M(2X+5).
8. Рассматривается
круглосуточная
работа
пункта
проведения
профилактического осмотра автомашин с четырьмя каналами
(четырьмя группами проведения осмотра). На осмотр и выявление
дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 часа. На осмотр
поступает в среднем 20 машин в сутки. Если машина, прибывшая в
пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает
пункт осмотра необслуженной. Определить вероятности состояний и
характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
Найти число каналов при котором относительная пропускная
способность пункта осмотра будет не менее 0,9.
Контрольная работа №11.
Вариант 27.
1. Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что два раза выпадет герб?
2. В круг радиусом 8 помещен меньший круг радиусом 4. Найти
вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг,
попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность
попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит
от его расположения.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение дисперсии случайной величины.
-4
-2
-14
1
2
4
0,1
0,2
0,1
0,3
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.99; зная выборочную среднюю
X  100; n  100;  10 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,2 0,8 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за пять шагов 
 0,4 0,6 
7. MX=6, MY=6. Используя свойства математического ожидания, найдите
M(2X +3Y).
8. Известно, что заявки на телефонные переговоры, в пункт услуг по
предоставлению связи поступают с интенсивностью 90 вызовов в час,
а средняя продолжительность разговора по телефону – 2 минуты.
Определить показатели эффективности работы узла связи при наличии
2-х телефонных номеров. Определить оптимальное число телефонных
номеров, если условием оптимальности считать удовлетворение в
среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.
Контрольная работа №11.
Вариант 28.
1. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что герб выпадет более
трех раз?
2. В пирамиде 7 винтовок, 4 из которых снабжены оптическим прицелом.
Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с
оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки – 0.7. Стрелок
наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что
мишень будет поражена.
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение второго центрального момента случайной величины.
-3
-2
-1
1
2
3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.99; зная выборочную среднюю
X  78; n  64;  8 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,2 0,8 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
 0,8 0,2 
7. X и Y – независимы. DX =6, DY =5. Используя свойства дисперсии,
найдите D(2X+3Y).
8. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность
поток судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного
судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть
неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы
причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более,
чем 2 судна.
Контрольная работа №11.
Вариант 29.
1. Бросаются 2 кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков
равна 5?
2. Вероятность выиграть в рулетку равна 1/30. Игрок делает 190 ставок. С
помощью какой таблицы можно найти вероятность того, что он
выиграет не менее 7 раз?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение дисперсии случайной величины.
-1
-0,5
0
0,5
1
0,1
0,2
х
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.999; зная выборочную
среднюю X  11; n  48;  3 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,4 0,6 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за два шага 
0
,
7
0
,
3


7. X и Y – независимы. DX =6, DY =3. Используя свойства дисперсии,
найдите D(2X+3Y).
8. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в
небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для
переговоров. В среднем за сутки поступает 360 заявок на переговоры.
Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в
другом городе) составляет 5 минут. Никаких ограничений на длину
очереди нет. Определить предельные вероятности состояний и
характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном
режиме.
Контрольная работа №11.
Вариант 30.
1. Бросаются 2 кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков
равна 5?
2. Вероятность появлений события А в испытании равна p. Чему равна
дисперсия числа появлений события А в одном испытании?
3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента
4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Определить
значение дисперсии случайной величины.
-1
-0,5
0
0,5
1
0,1
0,2
х
0,2
0,1
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
m нормального закона с надежностью 0.99; зная выборочную
среднюю X  12; n  50;  2 .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг.
 0,1 0,9 
 .
Найти матрицу перехода данной цепи за четыре шага 
 0,9 0,1
7. DX =4. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).
8. Анализируется работа междугородного переговорного пункта в
небольшом городке. Пункт имеет три телефонных аппарата для
переговоров. В среднем за сутки поступает 240 заявок на переговоры.
Средняя длительность переговоров (с учетом вызова абонентов в
другом городе) составляет 7 минут. Никаких ограничений на длину
очереди нет. Определить предельные вероятности состояний и
характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном
режиме.