Лабораторная работа №1 - МАИ, 6 факультет, кафедра 604

Московский авиационный институт
(Государственный технический университет) «МАИ»
_________________________________________________________________
Кафедра 604
В.Н.Баранов
Лабораторная работа № 1 по курсу «Методы экспериментальных
исследований»
(Спец.072204)
«Оценка эффективности испытаний на основе марковских моделей»
Утверждено на заседании кафедры
«__________»_______2009
Москва 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………….
1.Постановка задачи………………………………………………………..
1.1. Критерии и математические модели испытаний…………………….
1.2. Марковская модель испытаний на уровне компонент
1.3. .Марковская модель испытаний системы.
2. Порядок выполнения работы…………………………………………….
3. Исходные данные и варианты заданий………………………………….
4. Содержание отчета……………………………………………………….
5. Контрольные вопросы……………
6.Литература
Введение
Целью данной лабораторной работы является получение оценок
эффективности проведения испытаний сложных технических систем на
основе ЛА с использованием марковских моделей. В этом случае проводится
нахождение вероятностей не обнаружения дефекта для различных схем
соединения элементов в системе, а также
видов используемых
математических моделей.
1. Постановка задачи.
1.1 Критерии и математические модели испытаний
Анализ различных видов испытаний позволяет рассматривать их в качестве
некоторой обратной связи. Ее назначением является оценка соответствия объекта
экспериментальных исследований предъявляемым к нему требованиям, т.е. оценка
текущей эффективности, выявление причин возможного несоответствия и
выработка рекомендаций, направленных на устранение этого несоответствия.
Т.о. критерий эффективности испытаний можно представить в следующем
виде:
  W f  W  
(1.1)
где Wf – заданное или финальное значение эффективности, W() – текущее
значение эффективности, выявленное при испытаниях – .
С учетом (1.1) можно в общем виде представить задачу оптимального
планирования эксперимента
   arg min W f  W  

(1.2)
Критерий (1.1) не учитывает затрат, необходимых для достижения требуемого
значения эффективности. При этом под затратами может пониматься как стоимость
испытаний, так и их продолжительность. В связи с этим задачи оптимальным
планированием эксперимента можно представить в следующих постановках.
Первая постановка: оптимальным экспериментом будет тот эксперимент, при
котором максимизируется эффективность при выполнении ограничений на
стоимость или продолжительность испытаний:
W    max
C ( )  C 0
t ( )  t f
(1.3)
(1.4)
Здесь Со – допустимые затраты на проведение испытаний, tf – допустимая
продолжительность испытаний. Величины Со, tf могут задаваться в нормативнотехнической документации на проведение испытаний.
Вторая постановка: оптимальным экспериментом будет тот эксперимент, при
котором минимизируется стоимость или продолжительность испытаний при
выполнении ограничений на эффективность:
C    min
t    min 
W    W f
(1.5)
(1.6)
Для возможности решения задач оптимального планирования эксперимента
(1.3) – (1.6) необходимо иметь зависимости W(), С(), t() или математические
модели испытаний.
Как отмечалось, любое испытание направлено на выявление и устранение
дефектов, которые могут привести к снижению эффективности. Дефекты носят
случайный характер, поэтому при формировании математических моделей
используются методы теории вероятностей и случайных процессов. Кроме того,
временной фактор в процессе экспериментальной отработки является одним из
определяющих. Т.о. процесс испытаний может быть описан с помощью динамических, стохастических математических моделей, которые должны определять
изменение эффективности в зависимости от времени или затрачиваемых на испытания средств.
Кроме того, при формировании математических моделей испытаний
необходимо учитывать, что комплексная программа испытаний носит
иерархический характер. Программа испытаний на каждом уровне иерархии, в
свою очередь, состоит, как правило, из ряда частных программ испытаний,
например, вибрационных, термовакуумных, акустических и др.
Каждое такое частное испытание определенного типа проводится по единой
программе с неизменными условиями испытаний и носит название единичного
испытания.
Далее рассматривается простейшая марковская модель единичного испытания
в форме уравнения Колмогорова.
1.2.Марковская модель испытаний на уровне компонент.
При выводе математической модели испытаний предполагается, что все
дефекты одинаковы с точки зрения возможности их обнаружения. В общем случае
это не так, потому что вероятность перехода дефекта в отказ и, следовательно,
вероятность его обнаружения зависти от условий испытаний.
Предполагается также, что дефекты являются независимыми, т.е. вероятность
обнаружения дефекта не зависит от числа и вида других дефектов объекта. В ряде
случаев, когда один дефект маскирует присутствие другого, это предположение не
выполняется.
Будем рассматривать подвергающийся испытаниям объект –
компоненту, блок, подсистему и т.п., как некоторую физическую систему
«S», состояние которой меняется с течением времени по мере выявления
дефектов в процессе испытаний. Изменение состояний происходит
дискретно, причем будем рассматривать два состояния: S1 – дефект не
обнаружен и S2 – дефект обнаружен. Соответствующий граф состояний
показан на рис.
Q12(t)
S1
S2
Рис. 1.. Стохастический граф состояний объекта в процессе испытаний.
На рис. 1. Q12(t) – плотность вероятности перехода или интенсивность
процесса испытаний, определяемая как предел отношения вероятности перехода
системы за время t из состояния S1 в S2 к длине промежутка t. При этом
предполагается, что система в момент t находится в состоянии S1:
Q12 t  
lim
t 0
P12 t 
t
(1.7)
или с точностью до бесконечно малых величин высших порядков можно записать:
P12 t   Q12  t
(1.8)
Как отмечалось, в момент времени t система находится в состоянии S1.
Вычислим вероятность P1(t+t), т.е. вероятность нахождения системы в состоянии
S1 в момент (t+t), т.е. вероятность того, что дефект не был обнаружен в момент
(t+t). С учетом этого допущения P12(t+t) определяется как следующая условная
вероятность:
P12 t  t   P1 t 1  P12 (t )  P1 (t )1  Q12 (t )t  (1.9)
где [1-Q12(t)]- вероятность не обнаружения дефекта за время t.
Осуществив в (1.9) предельный переход, получим дифференциальное
уравнение Колмогорова:
dP12 (t )
 Q12 (t ) P1 (t )
dt
(1.10)
Как отмечалось, Q12(t) представляет собой интенсивность обнаружения
дефектов под воздействием процесса испытаний. Т.о. можно говорить о некотором
случайном потоке событий – выявлений дефектов с интенсивностью Q12(t). В
простейших случаях считается, что в этом потоке отсутствует последействие, т.е.
поток является марковским. Кроме того, обычно поток рассматривается как
ординарный. Отсутствие последействия заключается в том, что статические
характеристики потока на двух непересекающихся отрезках времени 1 и 2 не
зависят друг от друга, например, среднее число событий потока. Ординарность
означает, что вероятность попадания двух и более событий потока на малый
отрезок времени t пренебрежимо мало по сравнению с вероятностью попадания
одного события.
В дальнейшем в выражении интенсивностей будем использовать один индекс
Q12  Qj, причем индекс j будет использоваться для обозначения объекта или этапа
испытаний.
Тогда уравнение (1.10) можно записать в виде:
dPj (t )
dt
 Q j (t ) Pj (t )
(1.11)
или
d
ln Pj (t )  Q j (t )
dt
(1.12)
Это уравнение является фундаментальным уравнением для описания процесса
обнаружения дефектов. Решение уравнения (1.12) имеет вид:
Pj t   P0 j exp( Q j (t )  t )
(1.13)
-где Р0j – вероятность не обнаружения дефектов к началу j–ого испытания.
Марковская модель может быть применена для формирования сложной
программы испытаний некоторой l–ой компоненты, содержащей несколько
единичных испытаний, каждое из которых имеет продолжительность t(j) и
характеризуется интенсивностью обнаружения дефектов Qj. Общее число
различных единичных испытаний, содержащихся в комплексном испытании, равно
К (рис. 2).
Рис. 2 Комплексная программа испытаний на уровне компонент.
Для такого комплексного испытания фундаментальное уравнение
обнаружения дефектов запишется в виде:
 Q1 ,0  t  t1
 Q , t  t  t
2
1
2


d
..............................
ln Pl (t )  
(1.14)
dt
 Q j , t j 1  t  t j
..............................


 QK , t K 1  t  t K
Решая уравнение (1.14), получим вероятность не обнаружения дефектов после
выполнения комплексной программы испытаний:

Pl (t K )  P0l exp  Q1t (1)  Q2 t ( 2)    Q j t ( j )    QK t ( K )
Общее время испытаний l–ой компоненты равно:

(1.15)
tK 
K
t
( j)
j 1
Тогда относительное время j, затраченное на каждый j–ый тип испытаний,
определяется следующим образом:
j
t ( j)

tK
Величину j можно интерпретировать как вероятность проведения испытания
j–ого типа в любой момент времени в течение всего комплексного испытания при
условии, что эта вероятность не зависит от времени.
С учетом j формулу (1.15) можно записать в виде:
Pl (t K )  P0l exp  Ql t K 
где
(1.16)
K
Ql (t K )   Q j j
j 1
При вероятностной интерпретации величина Ql(tк) является средней
интенсивностью обнаружения дефектов при комплексном испытании. В отличие от
уравнения (1.14), которое приводит к кусочно-непрерывному решению для Pl(t),
при такой вероятности интерпретации может быть получено решение при любых t:
Pl (t )  P0l exp  Ql t 
(1.17)
При t = tK формулы (1.16) и (1.17) совпадают.
Следует отметить, что кусочно-непрерывное решение (1.15) хотя и
требует оценки интенсивности обнаружения дефектов для единичных
испытаний каждого типа, является более полным, т.к. позволяет не только
оценить эффективность испытаний в целом, но и указать пути повышения
этой эффективности.
Марковская модель испытаний является достаточно гибкой и может
быть использована для описания достаточно сложных программ испытаний.
В частности, программа испытаний может иметь участок, когда испытания
не проводятся. Формально это можно учесть в комплексной программе,
положив Qj(t)= 0 (рис. 3).
Рис. 3 Формирование марковской модели комплексной программы
испытаний.
Возможно также наложение программ испытаний друг на друга (рис. 4).
Рис. 4. Формирование марковской модели комплексной программы
испытаний.
К сожалению, получение оценок индивидуальных значений Qj
затруднительно, т.к. реальные программы испытаний не всегда предполагают
последовательное проведение единичных испытаний различных типов. Эти
испытания могут проводиться одновременно или в какой-либо комбинации.
Кроме того, число таких типов испытаний достаточно велико, и дефекты,
характерные для каждого отдельного типа испытаний, будут наблюдаться
сравнительно редко. Это может привести к тому, что для определения
достоверных оценок индивидуальных интенсивностей обнаружения
дефектов Qj статического материала по каждому типу испытаний окажется
недостаточно. Поэтому для описания модели испытаний компоненты
сложной системы на каждом уровне иерархии комплексной программы
испытаний будет в дальнейшем использоваться осредненная модель типа
(1.17).
Это выражение определяет закон изменения вероятности не
обнаружения дефектов при испытании l-ой компоненты, проведенном на i-м
уровне иерархии.
Перейдем к определению вероятности не обнаружения дефекта системы,
каждая компонента которой подвергается комбинированному испытанию с
интенсивностью Ql в течение времени tl.
1.3.Марковская модель испытаний системы.
Рассмотрим вероятности не обнаружения дефекта системы –i, каждая компонента
которой подвергается комбинированному испытанию с интенсивностью е в
течении времени te. Для получения расчетных соотношений будем отдельно
исследовать схемы последовательного и параллельного соединений компонент
(рис 5)
I
…
…
1
2
l
II
1
2
l
L
L
Рис. 5. Схемы последовательного соединения (I) и параллельного (II) соединения
компонент системы.
Для системы, состоящей из последовательно соединенных L компонент,
вероятность необнаружения деффекта определяется следующим образом:
L
Pi (t )   Pl (t )
l 1
(1.18)
Для системы, состоящей из параллельно соединенных L компонент эта вероятность
равна:
L
Pi (t )  1  [1  Pl (t )]
l 1
(1.19)
Будем считать, что в обоих случаях Pi(t) удовлетворяет фундаментальному
уравнению процесса обнаружения дефектов, решение которого имеет вид:
Pi (t )  P0i exp[  i (t )t ]
(1.20)
Уравнение (1.20) можно рассматривать как обобщенное выражение для
определения вероятности не обнаружения дефектов в системе, при этом параметры
P0i и I(t) должны определятся с учетом вида соединения компонент.
Начальное значение вероятности не обнаружения дефектов в системе Р0i
определяются из (1.18) и (1.19) при t=0:
- для последовательного соединения компонент
L
P0i   P0l
l 1
(1.21)
- для параллельного соединения компонент
L
P0i  1  (1  P0l )
l 1
(1.22)
Значение интенсивности обнаружения дефектов системы i(t) при
последовательном соединении компонент может быть определено непосредственно
на основе (1.18),(1.20),(1.21)
L
L
l 1
l 1
L
L
l 1
l 1
Pi (t )   Pl (t )   P0l exp(  l (t )t )  ( P0l ) exp(    l (t )t ),
L
Pi (t )  P0i exp(  i (t )t )  ( P0l ) exp(  i (t )t ),
l 1
откуда
L
 i (t )    l (t )
(1.23)
l 1
Из (1.23), в частности. Следует, что при постоянной интенсивности
обнаружения дефектов компонент интенсивность i также оказывается постоянной
величиной.
Определение интенсивности обнаружения дефектов i(t) в случае
параллельного соединения компонент оказывается более сложным. Рассмотрим
частный случай, когда интенсивности обнаружения дефектов компонент и
длительности их испытаний являются постоянными и одинаковыми величинами:
l=const;

tl=const, l=1, L
Осуществим преобразование интенсивности l к интенсивности l(i)
следующим образом:
 l(i )   l
tl
t
где t продолжительность испытаний системы (рис.6). Тогда вероятность
обнаружения дефектов при испытании компонент в составе системы можно
определить следующем образом
Pl (t )  P0l exp(  l(i ) t )
(1.23)

l
l(i)
tl
t
Рис. 6. Преобразование интенсивности испытаний компоненты при
испытаниях системы.
На основании (1.19) запишем выражение для вероятности обнаружения
дефектов системы:
L
1  P i (t )  [1  Pl (t )]  [1  P0l exp(  l(i ) t )] L
( 1.24)
l 1
Для нахождения I(t) воспользуемся фундаментальным уравнением процесса
обнаружения дефектов, которые запишем в следующем виде:
dPi (t )
 i (t )   dt
Pi (t )
(1.25)
На основании (1.24) определяется Рi(t):
Pi (t )  1  [1  P0l exp(  l(i ) t )] L
(1.26)
Далее дифференцируя это выражение и подставляя значение производной
dPi (t )
и Рi(t) в (1.25), получим искомое выражение для I(t):
dt
P0l L l(i ) [1  P0l exp(  l(i ) t )] L 1 exp(  l(i ) t )
 i (t ) 
1  [1  P0l exp(  l(i ) t )] L
(1.27)
Из уравнения (1.27) следует, что даже при постоянных интенсивностях
обнаружения дефектов отдельных компонент интенсивность обнаружения
дефектов системы при параллельном соединении компонент является переменной
по времени функцией.
2. Порядок выполнения работы.
Работа выполняется в следующей последовательности.
Для заданного варианта задачи определяются вероятности не
обнаружения дефекта в системах последовательного, параллельного и
смешанного соединения элементов. Полученные результаты
представляются в виде графических зависимостей.
Далее производятся расчеты интенсивностей обнаружения
дефектов в системе с последовательным и параллельным соединением
элементов по формулам (1.23) и (1.27) соответственно. Полученные
результаты представляются в виде графических зависимостей. Кроме
того представляется график зависимости от времени интенсивности
обнаружения дефектов при параллельном соединении элементов в
системе по формуле (1.27).
3. Исходные данные и варианты заданий.
Исходные данные для выполнения лабораторной работы и варианты
заданий приведены в табл.1
Таблица 1
№ элемента
1 вариант
2 вариант
3 вариант
4 вариант
Роl
Роl
Роl
Роl
1
0.9
0.95
0.8
0.7
2
0.8
0.7
0.9
0.9
3
0.75
0.6
0.7
0.6
4
0.7
0.5
0.6
0.5

0.01
0.02
0.015
0.025
4.Содержание отчета.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
-краткую постановку задачи использования марковских моделей для
оценки эффективности испытаний;
-программу расчетов на ПЭВМ;
-результаты численных расчетов ;
-выводы по проделанной работе.
5. Контрольные вопросы.
1.Какие теоретические положения определяют возможность
использования марковской модели процесса испытаний?
2. Что такое интенсивность процесса испытаний и каким образом она
может быть определена на практике?
3. Чем отличаются схемы последовательного и параллельного
соединения элементов с точки зрения трудностей обнаружения
дефектов в системе?
4. Какими соотношениями определяется эквивалентная интенсивность
обнаружения дефектов в система с различным типом соединения
элементов?
6.Литература
1.Адлер Ю.П., Маркова Е.В. , Грановский Ю.В. Планирование эксперимента
при поиске оптимальных условий. –М.:Наука ,1971 , 264с.
2.Баранов В.Н., Бельский М.Е. Определение параметров движения ЛА на
основе данных внешнетраекторных измерений. Изд. МАИ , 2000, 28с.
3. Вольский А.П.(ред.). Космодром. –М.:Воениздат ,1977,309с.
4. Голяков А.Д., Миронов В.И., Смирнов В.В. Испытания систем ракетнокосмической техники. С.-Петербург , ВИКИ им. А.Ф.Можайского , 1992, 398
с.
5.Грибанов В.Ф. (ред.). Методы наземной и летной отработки
народнохозяйственных космических комплексов. –М.; Машиностроение
,1992 , 402 с.
6. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике
и науке. Методы обработки данных. –М. : Мир , 1980 , 610 с.
7. Ермаков С.М. , Жиглевский А.А. Математическая теория оптимального
эксперимента. –М.:Наука , 1987, 320 с.
8. Кринецкий Е.И. (ред.). Летные испытания ракет и космических аппаратов .
– М.: Машиностроение , 1979 ,464 с.
9. Меньшиков В.А. Полигонные испытания. (т.т.1.2). – М.: КОСМО ,
1997,1999, 360с.,464 с.