TV_F1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского»
Экономический факультет
Кафедра экономической информатики
СПРАВОЧНИК ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
для студентов экономических специальностей.
Учебное пособие
Рекомендовано методической комиссией экономического факультета
для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению «Прикладная информатика в экономике»
г.Н.Новгород
2011 г.
1
Справочник по теории вероятностей для студентов экономических
специальностей. – Учебное пособие.
Составитель: Е.Н. Вышинская – Н.Новгород. 2011 – 23 с.
В учебном пособии дана краткая теоретическая справка по дисциплине, основные
формулы курса «Теория вероятностей и математическая статистика», рассматривается
решение типовых задач по основным темам курса. Пособие обеспечивает
методическую поддержку лекций и практических занятий по теории вероятностей и
математической статистике для студентов, обучающихся на экономическом
факультете по направлению «Прикладная информатика в экономике».
Пособие содержит хорошо структурированный справочный материал,
охватывающий разделы, наиболее часто используемые в экономических приложениях.
Справочник может использоваться при изучении студентами других дисциплин, таких
как «Информационные технологии», «Имитационное моделирование экономических
процессов» и т.п.
В пособии рассмотрен широкий круг задач, особое внимание уделено задачам с
экономическим содержанием.
Рецензент:
доцент, к.т.н. Громницкий В.С.
© Вышинская Е.Н., 2011
© Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского, 2011
2
СОДЕРЖАНИЕ
№№
Стр.
1.
Случайные события
4
2.
Операции над событиями
5
3.
Повторные независимые испытания
8
4.
Дискретная случайная величина
11
5.
Непрерывная случайная величина
15
6.
Закон больших чисел
19
7.
Система двух случайных величин
21
8.
Учебная литература
23
-3-
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.
Основные понятия:
• Испытание - комплекс условий появления какого-либо случайного явления.
• Событие - исход испытания.
• Частота события - отношение числа наступлений события к числу испытаний.
• Вероятность события - мера объективной возможности появления события.
Классификация событий.
• Достоверное - событие, которое обязательно наступает при испытании.
• Невозможное - событие, которое не может наступить при испытании.
• Несовместные события - наступление одного исключает наступление других.
• Независимые события - вероятности наступления событий не зависят от наступления
других событий.
• Полная система событий - совокупность несовместимых событий, хотя бы одно из
которых обязательно наступит при испытании.
• Если при испытании может наступить только два события и одно из них исключает
наступление другого, то они называются противоположными.
m
,
n
где А - событие, Р(А) - вероятность события, n - число всех исходов (несовместных,
единственно возможных и равновозможных), m – число исходов, связанных с
наступлением данного события А.
Классическое определение вероятности события:
P ( A) 
Пример 1.1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
очков, выпавших на верхних гранях равна 6.
Решение. А – событие, состоящее в том, что сумма выпавших на двух игральных
костях очков равна 6. Согласно классическому определению вероятности события:
m
P ( A)  , где n=62=36 – число всех возможных исходов (несовместных, единственно
n
возможных и равновозможных); m=5 (1+5=5+1=2+4=4+2=3+3=6) – все возможные
варианты получения в сумме 6 очков при подбрасывании двух игральных костей.
m 5
P ( A)   .
n 36
Пример 1.2. В городе имеется одиннадцать различных .коммерческих банков.
Господин «N» открыл по одному счету в пяти различных банках. Позднее четыре банка
из одиннадцати изменили ставки процентов по вкладам. Найти вероятность того, что по
двум вкладам господина ставки остались неизменными.
Решение. Господин выбирал банки случайным образом. Испытание -выбор пяти
банков из имеющихся одиннадцати. А - событие состоящее в том, что по двум вкладам
господина, из имеющихся пяти, ставки остались неизменными, и, следовательно, по трем
другим изменились.
m
11!
Р(А)=
, где n= C115 
=462 - число всех исходов испытания (несовместных,
n
5!*6!
единственно
возможных
и
равновозможных);
m
=
7!
4!
m1 * m2  C 72 * C 43 
*
=21*4=84- число исходов, связанных с наступлением
2!*5! 3!*1!
-4-
события А (m1 - число вариантов выбора двух банков, из имеющихся семи, не
изменивших ставки процентов, m2 - число вариантов выбора трех банков, из имеющихся
m 84
2
 .
четырех, изменивших ставки процентов). P( A)  
n 462 11
Пример 1.3. Номер телефона включает шесть цифр (от ноля до девяти). Найти
вероятность того, что случайно набранный номер окажется верным.
Решение. Испытание - набор любых шести цифр, причем каждая из них может быть
любой из десяти - от ноля до девяти. А- событие состоящее в том, что случайно
набранный номер верен. Р(А)=
m
, где n=106 - число всех исходов испытания
n
(несовместимых, единственно возможных и равновозможных); m=1 – число исходов,
m
1
 6.
n 10
связанных с наступлением события А. P ( A) 
Пример 1.4. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не
умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал в произвольном порядке. Найти
вероятность того, что у него снова получилось исходное слово.
Решение. А – событие, состоящее в том, что случайно собрано слово «ананас».
P ( A) 
m
, где n=6! – число всех возможных исходов (несовместных, единственно
n
возможных и равновозможных); m=3!2! – число благоприятных исходов, так как
повторяющиеся буквы «а» и «н» можно произвольным образом переставлять между
собой. P( A) 
m 3!2!
6*2
1


 .
n
6! 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1 60
2. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ.


Определения:
Под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в том, что хотя бы
одно из суммируемых событий произойдет.
Под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в совместном
наступлении всех событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
P( Ai )   P( Ai ),
i
i
Следствия:

Для полной системы событий P( Ai )   P( Ai )  1.
i

i
Вероятность противоположного события: P( А )= 1-Р(А).
Теорема сложения вероятностей двух совместных событий:
-5-
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
Теорема умножения вероятностей:
P( A1 A2 ... Ak )  P( A1 ) P( A2 / A1 )...P( Ak / A1 A2 ... Ak 1 ),
где события Аi ( i  1, k ) - могут быть, в общем случае, зависимыми;
P( A2 / A1 ),..., P( Ak / A1 A2 ... Ak 1 ), - условные вероятности событий.
Теорема умножения вероятностей независимых событий:
k
k
i 1
i 1
P ( Ai )   P ( Ai ).
Полная вероятность события:
Если о событии A известно, что оно может появляться только вместе с одним из событий
полной системы событий: H1 , H 2 ,..., H k , то
k
P( A)   P( H i ) * P( A / H i ) - полная вероятность события А, формула полной
i 1
вероятности;
P( H i / A) 
P( H i ) * P( A / H i )
- вероятность «гипотезы», формула Байеса.
P( A)
Пример 2.1. Два стрелка по очереди стреляют в мишень. Если не попадет один, то
начинает стрелять другой. Найти вероятность того, что после трех выстрелов в мишени
будет две пробоины; если вероятность попадания в мишень для первого стрелка,
начинающего стрельбу - 0.7, для второго - 0.8.
Решение. Аi - событие, состоящее в том, что первый стрелок при i-ом выстреле
попадет, а Ai - не попадет в цель. Вi - событие состоящее в том, что . второй стрелок при
i-том выстреле попадет, а Bi - не попадет в цель.
P(Аi)=0,7; P(Вi)=0,8; P( Ai )= 1-0,7 = 0,3; Р( Bi ) = 1-0,8 = 0,2.
Все события Аi , Ai , Вi , Bi - независимы друг от друга. С- событие, состоящее в том, что
после трех выстрелов в мишени будет две пробоины. C  A1 A2 A3  A1 A2 B3  A1 B2 B3 . С
помощью теоремы сложения вероятностей несовместных событий и теоремы
умножения вероятностей для независимых событий можно найти вероятность данного
события.
P(C )  P( A1 A2 A3  A1 A2 B3  A1 B2 B3 )  P( A1 A2 A3 )  P( A1 A2 B3 )  P( A1 B2 B3 ) 
P( A1 ) * P( A2 ) * P( A3 )  P( A1 ) * P( A2 ) * P( B3 )  P( A1 ) * P( B2 ) * P( B3 ) 
(0,7) 2 * 0,3  0,7 * 0,3 * 0,8  0,3 * (0,8) 2  0,507
Пример 2.2. На рынке ценных бумаг предлагались к продаже пакеты акций пяти
различных предприятий. Господин «N» приобрел три пакета акций различных
предприятий. Два предприятия отказались выплачивать дивиденды по итогам текущего
-6-
года. Найти вероятность того, что не менее двух пакетов акций принесли дивиденды
данному господину.
Решение. Предположим, что господин выбирал пакеты акций случайным образом.
Для каждого i-того выбранного пакета может наступить одно из событий: не будут
выплачены дивиденды Ai или будут - Аi. События Аi , Ai - зависимы друг от друга.
Рассмотрим событие В, состоящее в том, что не менее двух пакетов акций из трех
(т.е. или два или три) принесут дивиденды данному господину.
B  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 ;
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
P( B)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 A2 A3 )  P( A1 A2 A3 )  P( A1 A2 A3 );
По теореме умножения вероятностей для зависимых событий и классической. формулы
вероятности события можно найти вероятность данного события.
P( B)  P( A1 ) * P( A2 / A1 ) * P( A3 / A1 A2 )  P( A1 ) * P( A2 / A1 ) * P( A3 / A1 A2 ) 
P( A1 ) * P( A2 / A1 ) * P( A3 / A1 A2 )  P( A1 ) * P( A2 / A1 ) * P( A3 / A1 A2 );
P( B) 
2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 1
* *  * *  * *  * *  0,2  0,2  0,2  0,1  0,7.
5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 4 3
Пример 2.3. В магазин поступили соответственно 20, 15, и 10 пальто трех различных
фирм, Известно, что доля высококачественных изделий среди продукции первой фирмы в
среднем составляет 70%, второй -80%, третьей - 60%. Наудачу выбранное пальто
оказалось плохим. Найти вероятность того, что оно поставлено второй фирмой.
Решение. Для выбранного пальто могут наступить события: Hi - оно поставлено iтой фирмой, A - оно оказалось плохим. Группа событий: H 1 , H 2 , H 3 - является полной,
причем событие A может появиться только вместе с одним из них. По условию задачи:
20
15
10
P( H 1 ) 
, P( A / H 1 )  0,3; P( H 2 ) 
, P( A / H 2 )  0,2; P( H 3 ) 
, P( A / H 3 )  0,4.
45
45
45
Полная вероятность события А:
3
P( A)   P( H i ) * P( A / H i ) 
i 1
20
15
10
13
* 0,3  * 0,2  * 0,4  .
45
45
45
45
Выбранное пальто оказалось плохим, наступило событие А. Определим вероятность
«гипотезы, состоящей в том, что пальто поставлено в магазин второй фирмой» по
формуле Байеса:
P( H 2 ) * P( A / H 2 ) 15 / 45 * 0,2 3
P( H 2 / A) 

 .
P( A)
13 / 45
13
Пример 2.4. Имеются две урны. В первой – семь красных шаров и три черных, во
второй – три красных и четыре черных. Из первой урны переложили во вторую один шар,
затем, перемешав шары, из второй урны переложили в первую один шар. Найти
вероятность того, что шар, извлеченный после этого из первой урны, окажется красным.
Из первой урны после перекладывания шаров достали наугад красный шар. Какова
-7-
вероятность того, что количество красных шаров в урне после перекладывания не
изменилось?
Решение. Поскольку после перекладывания шаров мы достоверно не знаем сколько
в урне находится красных, а сколько черных шаров, то можно выдвинуть гипотезы Hi
относительно количества красных и черных шаров в первой урне. Всего шаров как было,
так и осталось 10, из них число красных могло уменьшиться на один (H1), остаться
прежним (H2) или увеличиться на один шар (H3). Событие А – достать из первой урны
красный шар. Группа событий: H 1 , H 2 , H 3 - является полной, причем событие A может
появиться только вместе с одним из них. Расчеты в данной задаче можно оформить в
виде следующей таблицы:
i Hi
P(Hi)
P(A/
P(Hi)*P(A/ Hi)
P(Hi /A)
Hi)
1 6 кр, 4 ч.
0,6
7 4 28
28
168
* 
* 0,6 
80
800
10 8 80
2 7 кр, 3 ч.
7 4 3 5 43 0,7
43
301
301 541 301
*  * 
* 0,7 
:

10 8 10 8 80
80
800
800 800 541
3 8 кр, 2 ч.
0,8
3 3 9
9
72
* 
* 0,8 
80
800
10 8 80
 P( H )  1
P( A) 
i
i
168  301  72 541

800
800
3. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ.
Испытания называются независимыми по отношению к некоторому событию А, если
вероятность наступления данного события в каждом испытании постоянная и не зависит
от результатов других испытаний.
Введем обозначения: Р(А) = р, P( А ) = 1-p = q.
Рассмотрим событие, состоящее в том, что событие А наступит в n независимых
испытаниях m раз. Для определения вероятности данного события применяется формула
Бернулли: Pn (m)  C nm p m q n  m .
При большом количестве испытаний для расчетов следует применять вместо формулы
Бернулли асимптотические формулы.
Для вычисления вероятности m-кратного наступления редкого события служит
формула Пуассона: Pn (m) 
m
m!
e  ,   np( 10).
Для вычисления вероятности m-кратного наступления нередкого события служит
асимптотическая формула Муавра – Лапласа:
 ( x)
m  np
1  x2 / 2
Pn (m) 
, гдеx 
,  ( x) 
e
, (npq  10).
npq
npq
2
Для вычисления вероятности того, что число наступлений события заключено в
заданных границах, служит асимптотическая интегральная формула Муавра – Лапласа:
-8-
Pn (a  m  b)  ( x 2 )  ( x1 ), гдеx 2 
( x) 
1
x
e
2
t 2 / 2
dt  функция
b  np
npq
, x1 
a  np
npq
,
Лапласа.
0
Следствия из интегральной формулы Муавра – Лапласа:

m

1. P  p     2 
 n


n 
;
pq 
  
.
2. P(| m  np |  )  2
 npq 


Пример 3.1. В среднем 20% продукции предприятия изготавливается на экспорт.
Найти вероятность того, что из пяти наудачу избранных изделий предприятия на экспорт
пойдет: а) три изделия: б) менее двух.
Решение. Событие А состоит в том, что наудачу выбранное изделие пойдет на
экспорт. Для всех изделий вероятность данного события одинакова. Р(А)=0,2=р;
P( А )=0,8 = q. Имеют место независимые повторные испытания, число которых невелико
n=5. Для определения вероятности того, что событие А в серии из n независимых
испытаний наступит ровно m раз следует применить формулу Бернулли.
a) три изделия из выбранных пяти пойдут на экспорт:
P5 (3)  C53 p 3 q 2 
5!
* (0,2) 3 * (0,8) 2  0,0512;
3!*2!
b) менее двух изделий означает либо одно, либо ни одного:
P5 (0)  P5 (1)  C50 p 0 q 5  C51 p 1 q 4  (0,8) 5  5 * 0,2 * (0,8) 4  0,7373.
Пример 3.2. Вероятность ошибки при передаче знака текстовой информации равна
0,002. Найти вероятность того, что при передаче 1000 знаков будет: а) четыре ошибки; б)
не более двух ошибок.
Решение. Событие А состоит в том, что при передаче знака будет допущена ошибка.
Для всех знаков вероятность данного события одинакова и очень мала. Р(А)=0,002 = р;
P( А )=0,998=q. Имеют место независимые повторные испытания, число которых велико:
n=1000, np==2. Найдем вероятность того, что «редкое событие» А наступит в серии из
n независимых испытаний m раз. Для определения вероятности «редкого события»
следует применять формулу Пуассона:
a) при передаче 1000 знаков будет 4 ошибки:
2 4 2
P1000 (4) 
e  0,0902;
4!
b) не более двух ошибок – это две, одна или ни одной:
2 0 2 21 2 2 2 2
P(0)  P(1)  P(2) 
e  e  e  0,1353  2 * 0,2707  0,6767.
0!
1!
2!
-9-
Пример 3.3. В среднем 90% выпускников Вуза устраиваются в течение года на
работу по полученной специальности. Найти вероятность того, что из 900 выпускников
университета этого года в течение года устроится на работу по полученной
специальности: а) 795; b) не менее 795 .
Решение. Событие А состоит в том, что наудачу выбранный студент устроится на
работу в течение года по специальности. Для всех выпускников вероятность данного
события одинакова. Р(А) = 0,9 = р; Р( А )= 0,1 = q. Имеют место независимые повторные
испытания, число которых велико n=900. Для определения вероятности того, что событие
А наступит в n независимых испытаниях m раз следует применять асимптотические
формулы.
a) Для определения вероятности того, что устроится на работу по
специальности в течение года 795 выпускников университета следует
использовать формулу Муавра-Лапласа. По условиям задачи:
795  810
npq  900 * 0,9 * 0,1  81; npq  81  9; x 
 1,67;
9
0,0989
 (1,67)   (1,67)  0,0989; P900 (795) 
 0,011.
9
b) Для определения вероятности того, что устроится на работу по
специальности в течение года не менее 795 из 900 выпускников, следует
использовать интегральную формулу Муавра-Лапласа. По условиям задачи:
795  810
900  810
x1 
 1,67; x2 
 10;
9
9
P900 (795  m  900)  (10)  (1,67)  (10)  (1,67)  0,5  0,4525  0,9525.
Пример 3.4. Какое количество бросков игральной кости следует сделать, чтобы
частота выпадения шести очков отличалась от вероятности этого события не более
чем на 0,01 с вероятностью не менее 0,9545.
Решение. Событие А состоит в том, что при броске игральной кости выпадет шесть
очков. Для всех бросков вероятность данного события одинакова. Р(А) = 1/6 = р; Р( А ) =
5/6=q. Имеют место независимые повторные испытания, число которых велико. Для
определения необходимого количества бросков можно использовать следствие из
интегральной формулы Муавра – Лапласа. По условиям задачи:




m 1

n

  0,9545  2 (2)
P   0,01  2 0,01
1
5


n
6


* 

6 6

n
5 * 22
 2 отсюда n 
n  5556.
5
(0,06) 2
Пример 3.5. Отдел контроля проверяет качество 1000 изделий. Известно, что в
среднем 10% данной продукции имеют какие-либо дефекты. Найти с вероятностью
0,9973 границы, в которых будет заключено количество изделий с дефектами.
Решение. Событие А состоит в том, что наудачу выбранное изделие имеет дефекты.
Для всех изделий вероятность данного события одинакова. р =0,1; q = 0,9. Имеют
место независимые повторные испытания, число которых велико. Для определения
границ, в которых будет заключено количество изделий с дефектами, можно
использовать следствие из интегральной формулы Муавра – Лапласа. По условиям
задачи:
0,06
- 10 -
npq  1000 * 0,1 * 0,9  90  10
  
P (| m  np |  )  2
  0,9973  2 (3)
 90 

 3    29  100  29  m  100  29 или 71  m  129.
90
4. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.
Случайная величина Х - это переменная, которая может принимать в зависимости от
исходов испытаний те или иные случайные значения х i. Если все значения случайных
величин составляют счетное множество, то случайная величина называется дискретной.
Ряд количественных показателей экономических систем могут быть рассмотрены как
дискретные случайные величины.
Закон распределения случайной дискретной величины связывает между собой
значения случайной величины и вероятности принятия случайной величиной ее
значений. Он может быть записан в форме таблицы:
Xi
X0
X1
Pi=P(X=Xi)
P0
P1
X2
P2
…
Xk
ИТОГО
…
Pk
1
Особое место среди случайных дискретных величин занимают величины с
биномиальным законом распределения:
- число наступлений события в независимых повторных испытаниях,
- частота наступлений события в независимых повторных испытаниях.
Характеристики дискретной случайной величины:
M ( X )   xi pi - математическое ожидание.
i
D( X )   ( xi  M ( X )) 2 pi - дисперсия.
i
 ( x)  D( X ) - среднее квадратическое отклонение.
При расчетах дисперсии используют свойство: D(X) = М(Х2)-М2(Х).
Для биномиально распределенных случайных величин можно применять известные
формулы расчета характеристик:
M ( X  m)  np; D( X  m)  npq.
M (X 
m
m
pq
)  p; D( X  ) 
.
n
n
n
Функция распределения дискретной случайной величины: F ( x)  P( X  x); x  R.
Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной,
она имеет разрывы в точках с координатами, равными значениям случайной величины.
P( x1  X  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 ); x1 , x2  R.
Основные операции над случайными дискретными величинами:
1. Умножение случайной величины на число a:
Y=aX,
Y=yi=ахi , P(Y = уi)=P(X=xi)=pi;
где X=xi, P(X=xi)=pi
- 11 -
2. Суммирование случайных величин:
Z=X+Y,
Z = zij=xi+yj, P(Z=zij)=pi*pj ;
где Х = хi , Р(Х = xi)= pi; Y = yj , P(Y=yj)=pj
3. Умножение случайных величин:
Z = XY,
Z = zij=xi*yj, P(Z=zij)=pi*pj ;
где Х = хi , Р(Х = xi)= pi; Y = yj , P(Y=yj)=pj.
Пример 4.1. У господина "N" имеется три пакета акций различных предприятий.
Вероятность получения дохода по пакету акций равна 0,6. Составить закон
распределения случайной величины X - числа доходных пакетов акций у господина,
определить ее математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что у
данного господина не менее двух доходных пакетов акций.
Решение. Для каждого выбранного пакета акций может наступить одно из событий:
он не принесет дохода - А или принесет - А, по условию задачи с вероятностями
Р(А)=0,6 = р; Р( А )=0,4 = q. Вероятности событий неизменны для всех пакетов акций,
следовательно, имеют место независимые повторные испытания, число которых мало
n=3.
X – случайная величина, а именно, число доходных пакетов акций у господина.
Рассмотрим событие хm=m, состоящее в том, что событие А наступит в n независимых
испытаниях m раз. Для определения вероятности данного события следует применять
формулу Бернулли. Случайная величина имеет биномиальный закон распределения:
хm=m
P( X  x m )  p m  C nm p m q n  m
0
P( X  0)  p 0  C 30 p 0 q 3  (0,4) 3  0,064
1
P( X  1)  p1  C 31 p 1 q 2  3 * 0,6 * (0,4) 2  0,288
2
P( X  2)  p 2  C 32 p 2 q 1  3 * (0,6) 2 * 0,4  0,432
3
P( X  3)  p 3  C 33 p 3 q 0  (0,6) 3  0,216
итого
1
Характеристики биномиально распределенной случайной величины можно найти,
используя известные формулы:
Математическое ожидание - М(Х=m)=3*0,6=1,8.
Дисперсия – D(X=m)=3*0,6*0,4 = 0,72.
Событие В, состоящее в том, что у господина не менее двух доходных пакетов
акций, т.е. или два или три, имеет вероятность:
Р(В) = Р(Х  2) = P(X = 2)+Р(Х = 3) = 0,432 +0,216 = 0,648.
Пример 4.2. В населенном пункте три рынка. Вероятность того, что на рынке есть
необходимый для господина N товар, равна 0,6. Он пытается купить этот товар. Если на
очередном рынке отсутствует данный товар, господин отправляется за ним на
следующий рынок. Поиски прекращаются либо с приобретением товара, либо после
того как посещены все рынки. Составить закон распределения числа посещенных
- 12 -
рынков.
Построить функцию распределения найти математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа посещенных рынков.
Решение. X - число посещенных рынков. Аi - событие, состоящее в том, что на
посещенном рынке есть необходимый товар, А i - товар отсутствует. Вероятности этих
событий: P(Аi)=0,6=p; P( А i)=0,4=q; i=1;2;3. Закон распределения и рабочие расчеты по
характеристикам случайной величины:
хi
pi=Р(Х = хi)
1
pl=P(X=l) = P(Al) = 0,6
2
3
XiPi
Xi2Pi
0,6
0,6
p2 = Р(Х = 2)=Р( А 1)*Р(А2)=0,4*0,6 = 0,24
0,48
0,96
p3 = Р(Х = 3)=Р( А 1)*Р( А 2)=0,4*0,4 = 0,16
0,48
1,44
1,56
3,0

1.0
Характеристики случайной величины - числа посещенных рынков:
Математическое ожидание - M ( X )   xi pi  1,56.
i
Дисперсия - D(X) = М(Х )-М (Х)=3-(1,56)2=0,5664.
2
2
Среднее квадратическое отклонение -  ( X )  D( X )  0,5664  0,7526.
По определению функция распределения случайной величины: F(x)=P(X<x); xR.
Следовательно, функция распределения рассматриваемой случайной величины - числа
доходных акций господина принимает вид:
0;
x1
p1=0,6;
1<х2
p1 + p2 = 0,6+0,24=0,84;
2<x3
p1 + p2 + p3 = 0,6+0,24+0,16 = 1;
х>3
F(X)=
Пример 4.3. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение случайной величины Z - суммы потраченных
средств на приобретение товара, если известны законы распределения случайных
величин Х - количества приобретаемого товара и Y - стоимости одной условной
единицы товара. С какой вероятностью можно ожидать, что потраченные средства не
превысят 1 условной единицы?
Xi
0,3
0,4
итого
yj
2
3
4
итого
Pi
0,2
0,8
1
Pj
0,3
0,5
0,2
1
Решение. Используем операцию умножения случайных величин. Рабочие расчеты
по операции:
- 13 -
2
yj
3
4
Pj
Xi
0,3
0,5
0,2
Pi
0,3
0,3*2 = 0,6
0,2
0,3*3=0,9
0,2* 0,3 = 0,06
0,4
0,2 *0,5 = 0,1
0,4*2=0,8
0,8
0,3*4 = 1,2
0,4*3=1,2
0,8* 0,3 = 0,24
0,2 * 0,2 = 0,04
0,4*4=1,6
0,8* 0,5 = 0,4
0,8 * 0,2=0,16
Искомый закон распределения (первые две строки таблицы) и рабочие расчеты по
характеристикам случайной величины Z - суммы потраченных средств:
0,6
0,8
0,9
1,2
1,6
итого
P(Z=zij)
0,06
0,24
0,1
0,4+0,04
0,16
1
ZkPk
0,036
0,192
0,09
0,528
0,256
1,102
Zk2 Pk
0,0216
0,1536
0,081
0,6336
0,4096
1,2994
zij
Математическое ожидание – M(Z) =  zкрк =1,102.
Дисперсия - D(Z)=M(Z2)-M2(Z)=1,2994-(1,102)2 =0,085.
Среднее квадратическое отклонение - (Z) = 0,291.
Вероятность того, что потраченные средства не превысят 1 условной единицы:
P(Z < 1)=0,06+0,24+0,1=0,4.
Пример 4.4. В урне 10 шаров: 4 белых, остальные – черные. Найти закон
распределения случайной величины Х – числа белых шаров, если из урны один за одним
не глядя вынули 3 шара. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной
величины Х. Найти вероятность того, что число вынутых белых шаров окажется больше
математического ожидания.
Решение. Х – число белых шаров из 3 взятых. Закон распределения и рабочие
расчеты по характеристикам случайной величины:
хi
pi=Р(Х = хi)
0
p0  P( X  0) 
C 40 C103  4
20 1


3
120 6
C10
- 14 -
XiPi
Xi2Pi
0
0
1
C 41C102 4 4 *15 1
p1  P( X  1) 


120
2
C103
2
p 2  P( X  2) 
3
p3  P( X  3) 

0,5
0,5
1
C 42 C10
6*6
4

 0,3
3
120
C10
0,6
1,2
C 43C100 4
4
1


3
120 30
C10
0,1
0,3
1.0
1,2
2,0
Характеристики случайной величины Х - числа белых шаров из 3 взятых:
Математическое ожидание - M ( X )   xi pi  1,2.
i
Дисперсия - D(X) = М(Х )-М (Х)=2-(1,2)2=0,56.
Вероятность того, что число вынутых белых шаров окажется больше математического
ожидания:
P(X>M(X))=P(X>1,2)=P(X=2)+P(X=3)=0,3+1/30=1/3.
Закон распределения дискретной случайной величины Х в данной задаче носит название
гипергеометрический закон распределения.
2
2
5. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.
Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, все возможные
значения которой целиком заполняют некоторый промежуток на числовой прямой.
Функция распределения непрерывной случайной величины: F ( x)  P( X  x); x  R.
Функция не убывает и непрерывна, причем производная функции не имеет разрывов на
всей числовой оси, за исключением конечного числа точек.
F(-)=0; F(+)=1.
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал aX<b определяется по
формуле: P(aX<b)=F(b)-F(a).
Плотность вероятности непрерывной случайной величины: f(x)=F’(x); xR.
Свойства плотности вероятности:
1. f(x)0; xR.
2. lim f ( x)  0.
x  
x
3. F ( X ) 
 f (t )dt.

b
4. P(aX<b)=F(b)-F(a)=  f ( x)dx.
a

5. P(  X  ) 
 f ( x)dx  1.

6. Математическое ожидание непрерывной случайной величины:

M (X ) 
 xf ( x)dx.

7. Дисперсия непрерывной случайной величины:
- 15 -

D( X ) 
2
 ( x  M ( X )) f ( x)dx 


x
2
f ( x)dx  M 2 ( X ).

Нормальный закон распределения случайной величины.
Плотность вероятности:
f ( x) 
1
 2

e
( x a )2
2 2
; xR.
Параметры нормального закона:

a  M (X ) 
 xf ( x)dx
- математическое ожидание,

  D(X ) - среднее квадратическое отклонение.
Интегральная функция:
 ( x) 
*
1
 2
x
e

(t a )2
2 2
dt.

Свойства интегральной функции нормального закона:
1. *(-)=0; *(+)=1.
2. *(x)=0,5+(x), где (x) – функция Лапласа.
3. *(-x)=1-*(x).
 a
 a
  a 
*  a 
4. P(  x   )   * 
 
  
  
.
  
  
  
  
 
5. P (| X  a |  )  2 .
 
Сумма конечного числа независимых величин с нормальным законом распределения
имеет нормальный закон распределения.
Важное применение для решения задач имеет теорема Ляпунова, согласно которой
сумма большого количества независимых случайных непрерывных величин распределена
по нормальному закону.
Равномерный закон распределения случайной величины.
Непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной в
интервале (a;b), если ее плотность распределения в этом интервале постоянна:
при
xa
 0
 1
f ( x)  
при a  x  b
b  a
при
xb
 0
Интегральная функция:
при
xa
 0
x  a
F ( x)  
при a  x  b
b  a
при
xb
 1
Вероятность попадания в заданный интервал (;):
- 16 -
P(  X   ) 
 
ba
M (X ) 
Математическое ожидание:
Дисперсия:
D( X ) 
ba
.
2
(b  a) 2
.
12
Среднее квадратическое отклонение:  ( X )  D( X ) 
ba
.
2 3
Показательный закон распределения случайной величины.
при x  0
 0
Плотность вероятности:
f ( x )    x
при x  0
e
Параметр показательного закона:  - в теории массового обслуживания – среднее
число событий, приходящихся на единицу времени.
при x  0
 0
Интегральная функция:
F ( x)  
.
 x
при x  0
1  e
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (;):
P(  X   )  e   e 
M (X ) 
Математическое ожидание:
Дисперсия:
D( X ) 
1
2
1

.
.
Среднее квадратическое отклонение:  ( X )  D( X ) 
1
.

При определенных условиях число событий, произошедших за промежуток времени ,
распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а=. Длина
промежутка t, между произвольными двумя соседними событиями, подчиняется
показательному закону: P(T  t )  F (t )  1  e t .
Пример 5.1. Дана плотность вероятности случайной величины X:
[
[
[
0 , xl
f(X)= 0,25 , 1<х5. Найти функцию распределения, М(Х), D(X).
0 , х>5
x
Решение. По определению функция распределения F(x)=
 f (t )dt.

Следовательно, функция распределения принимает вид:
0
x1
x
F(X)=
 0,25dt 0,25( x  1)
1<х5
1
1
х>5
- 17 -
Математическое ожидание случайной величины:
5
x2 5
25  1
M ( X )   0,25 xdx 0,25
 0,25
 3.
2 1
2
1
Дисперсия случайной величины:
5
( x  3) 3 5
88 4
D( X )   ( x  3) 2 0,25dx  0,25
 0,25
 .
1
3
3
3
1
Пример 5.2. Торговая точка имеет в продаже большое количество различных
товаров. Средняя выручка в день составляет 5 д.е., а среднее квадратическое отклонение
0.9 д.е. Составить плотность вероятности и функцию распределения выручки торговой
точки. Найти вероятность того, что выручка торговой точки в случайно выбранный день:
а) составит от 4 до 7 д.е., б) будет отличаться от средней выручки не более чем на 2 д.е.
Решение. X - выручка торговой точки, случайная величина, представляющая собой
сумму большого количества случайных величин - выручек от продажи различных
товаров, т.о., согласно теореме Ляпунова, имеет нормальный закон распределения.
Средняя выручка, по теории выборки (математическая статистика), является хорошей
оценкой математического ожидания данной случайной величины. Следовательно:
М(X)=5д.е.; (Х)=0,9д.е.
Плотность вероятности - f ( x) 

1
0,9 2
e
( x 5 ) 2
2*0 ,81
; xR.
 x 5
Функция распределения - F ( X )  0,5  
; xR.
 0,9 
Вероятность того, что выручка торговой точки составит от 4 до 7 д.е.:
7 5
 45
P ( 4  x  7 )  
  
  (2,22)  (1,11)  (2,22)  (1,11) 
 0,9 
 0,9 
 0,4868  0,3665  0,8533.
Вероятность того, что выручка будет отличаться от средней выручки не более чем на 2
д.е.:
 2 
P( X  5  2)  2
  2(2,22)  2 * 0,4868  0,9736.
 0,9 
Пример 5.3. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с
интервалом движения 20 минут. Найти вероятность того, что пассажир, случайно
подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус более 15 минут. Найти
числовые характеристики полученной случайной величины.
Решение. Х- случайная величина, время ожидания пассажиром очередного автобуса.
Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (0;20].
a=0; b=20; =15; =20.
1
1

при 0  x  20 .
Плотность вероятности: f ( x) 
b  a 20
Вероятность ожидания автобуса более 15 минут:
   20  15 5 1
P(  X   ) 


 .
ba
20  0 20 4
b  a 20  0

 10.
Математическое ожидание: M ( X ) 
2
2
- 18 -
(b  a) 2 (20  0) 2 400 100
1



 33 .
12
12
12
3
3
b  a 20  0 10
Среднее квадратическое отклонение:  ( X )  D( X ) 


.
2 3
2 3
3
Дисперсия:
D( X ) 
Пример 5.4. Случайная величина Х – время безотказной работы прибора
распределена по показательному закону с параметром =0,01 1/час. Вышедший из строя
прибор немедленно заменяют новым. Найти вероятность того, что неисправность
прибора наступит не ранее, чем через 150 часов. Найти вероятность того, что за 200 часов
прибор не придется заменять.
Решение. Случайная величина Х – время безотказной работы прибора распределена
по показательному закону, следовательно:
1
P( X  150)  1  P(0  x  150)  1  (e 0  e 150 )  1  (1  e 150*0,01 )  e 1,5 
 0,223.
4,4817
Число отказов прибора за время =200 часов распределено по закону Пуассона с
математическим ожиданием а==0,01*200=2. Вероятность того, что за 200 часов прибор
не придется заменять, вычисляется по формуле Пуассона:
a 0 a 2 0 2
1
P(0) 
e 
e  e 2 
 0,1353.
0!
0!
7,3891
6.ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
Лемма Маркова.
Для случайной неотрицательной величины X справедливы неравенства:
M (X )
P( X  A) 
, A  0;
1.
A
M (X )
P( X  A)  1 
, A  0.
2.
A
Неравенство Чебышева.
D( X )
1.
P( X  M ( X )   ) 
2.
P( X  M ( X )   )  1 
2
,   0;
D( X )
2
,   0.
Неравенство Чебышева для случайных величин, распределенных по биномиальному
закону.
1. Случайная величина - число появлений события в n независимых испытаниях:
X=m,
D(X=m)=npq;
P( m  np   )  1 
npq
2
,   0.
2. Случайная величина - частотa появлений события в n независимых испытаниях:
m 
m  pq
X  , D X   
;
n 
n n
m

pq
P  p     1  2 ,   0.
n
 n

- 19 -
Пример 6.1. Средняя дневная выручка торгового предприятия составляет 300 д.е.
Оценить вероятность того, что она завтра будет больше 400 д.е.
Решение. Для случайной неотрицательной величины X - выручки торгового
предприятия, справедлива лемма Чебышева. Так как средняя дневная выручка торгового
предприятия 300 д.е., то M(X)=300 и, следовательно: Р(Х>400)300/400=0,75.
Пример 6.2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
прибыль предприятия в следующем месяце будет не менее 29,95 д.е. и не более 30,05 д.е.,
если ее средняя ежемесячная величина 30 д.е., а среднее квадратическое отклонение
составляет 0,02.
Решение. Случайная величина X - прибыль предприятия.
D( X )
,   0.
Неравенство Чебышева: P( X  M ( X )   )  1 
2
M ( X )  30, D( X )   2 ( X )  (0,02) 2 ,
P(29,95  X  30,05)  P( X  30  0,05  1 
(0,02) 2
 0,84.
(0,05) 2
Пример 6.3. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить наименьшее количество
независимых испытаний, которое следует провести, чтобы с вероятностью не меньшей
0,85 частость события отличалась от вероятности события не более чем на 0,01.
Решение. Введем обозначения А - событие, вероятность его наступления в каждом
испытании - Р(А)=р, противоположного события - P( A) = 1 - р. Рассмотрим случайную
величину X - частость появлений события в n независимых испытаниях.
m 
m  pq p(1  p ) 0,25
X  , D X   


n 
n n
n
n
m

По условию задачи: P  p  0,01  0,85.
 n

m

pq
Используем неравенство Чебышева: P  p     1  2 ,   0.
n
 n

m

pq
0,25
P  p  0,01  1 
 1
 0,85,
2
n(0,01)
n(0,01) 2
 n

0,25
0,25
50000
 0,85, n 

, n  16667
2
2
3
n(0,01)
0,15(0,01)
Следовательно, наименьшее количество независимых испытаний, которое следует
провести, составляет n=16667.
1
Пример 6.4. Вероятность того, что в магазине имеется требующийся покупателю
товар, равна 0,6. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки
вероятности того, что из 1000 посетителей число таких, которые найдут в магазине
нужный им товар, будет не менее 550 и не более 630? Как нужно изменить правую
границу указанного интервала, чтобы применение неравенства Чебышева стало
возможным? Решить задачу при соответствующем изменении правой границы.
Решение. Событие А - состоит в том, что наудачу выбранный посетитель магазина,
найдет в магазине нужный товар. Для всех посетителей вероятность данного события
одинакова.
P(A)=0,6 = р; P( A )=0,4=q. Имеют место независимые повторные
- 20 -
испытания. Рассмотрим случайную величину X - число посетителей магазина, которые
найдут в магазине нужный товар:
X=m, M(X)=np=1000*0,6=600, D(X=m)=npq=1000 0,6 0,4 = 240.
Неравенство Чебышева имеет вид:
P(np    m  np   )  P( m  np   )  1 
npq
2
,   0.
Оно не может быть использовано для оценки вероятности того, что из 1000 посетителей
число таких, которые найдут в магазине нужный им товар, будет не менее 550 и не более
630, так как указанный интервал не является симметричным относительно
математического ожидания рассматриваемой величины: 600-50m600+30. Изменив
правую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным, получаем:
240
P(600  50  m  600  50)  P m  600  50  1  2  0,904.
50
7. СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
Интегральной функцией распределения системы двух случайных величин (X,Y)
называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X<x и Y<y:
F ( x, y )  P(( X  x)(Y  y )).
Свойства интегральной функции:
1. F(x, y) есть неубывающая функция обоих своих аргументов.
2. F(x. -)=F(-, y)=F(-, -)=0.
3. F(x, +)=F1(x) – функция распределения СВ Х; F(+, y)=F2(y) – функция
распределения СВ Y.
4. F(+, +)=1.
Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник X< и
Y<:
P(( X , Y )  R)  F (  ,  )  F ( ,  )  F (  ,  )  F ( ,  )
Плотность распределения системы двух случайных величин представляет собой
вторую частную смешанную производную функции F(x,y) по x и y:
 2 F ( x, y)
f ( x, y) 
 Fxy ( x, y).
xy
Свойства плотности распределения:
1. f(x,y)0.

2.
  f ( x, y)dxdy  1.

x y
3. F ( x, y ) 
  f ( x, y)dxdy.
  
4.
f1 ( x)  F1( x) 

 f ( x, y)dy
- плотность распределения СВ Х;


f 2 ( y )  F2 ( y ) 

 f ( x, y)dx - плотность распределения СВ Y.

5. Условные законы распределения:
f ( x, y )
f ( x, y )
f ( y | x) 
: f ( x | y) 
.
f1 ( x)
f 2 ( y)
- 21 -
f ( x, y )  f 1 ( x ) f ( y | x )  f ( x | y ) f 2 ( y )
Для зависимых СВ X иY
f1 ( x)  f ( x | y ); f 2 ( y )  f ( y | x)
Для независимых СВ X и Y f ( x, y)  f1 ( x) f 2 ( y).
Числовые характеристики системы двух случайных величин.
Начальный момент:
 k ,s  M [ X k Y s ].
o k o s
o
o
Центральный момент:  k , s  M [ X Y ]; X  X  M ( X ); Y  Y  M (Y ).
Дискретные СВ
 x p
 1, 0  M ( X )
i
i
i
 
 M ( X )) 2 pij
i
  ( x  M ( X ))
j
i
i
2
f ( x, y )dxdy
2
f ( x, y )dxdy
  
j
 
 M (Y )) 2 pij
  ( y  M (Y ))
j
 ( x
K xy  1,1  M [ X Y ]
  yf ( x, y)dxdy
  
 ( y
o o
 
pij
j
j
i
 0, 2  D(Y )
  xf ( x, y )dxdy
ij
  
 ( x
 2, 0  D( X )
 
j
 y
 0,1  M (Y )
Непрерывные СВ
  
 
 M ( X ))( y j  M (Y )) pij
i
  (x  m
j
x
)( y  m y ) f ( x, y )dxdy
  
Пример 7.1. Система двух случайных величин (X,Y) подчинена закону распределения
1
.
с плотностью f ( x, y )  2
 (1  x 2 )(1  y 2 )
Найти функцию распределения F(x,y). Определить вероятность попадания случайной
точки (X,Y) в квадрат 0x<1, 0y<1. Определить, зависимы или независимы случайные
величины X и Y.
Решение.
x y
x y
1
dxdy
1  1
1
1
F ( x, y )    f ( x, y )dxdy  2  
  arctgx   arctgy  .
2
2
2  
2
  (1  x )(1  y )  
  
P(( X , Y )  R) 
1

2
1 1
0 0

f1 ( x) 


f ( x, y )dy 
1
dy
1

;
2
2

 (1  x )  (1  y )  (1  x 2 )
f ( x, y )dx 
1
dx
1

;
2
2

 (1  y )  (1  x )  (1  y 2 )


f 2 ( x) 


dxdy
1
1
1
 1
 1
  arctg1  arctg 0  arctg1  arctg 0   .
2
2


)(1  y )  
 
 16
  (1  x

f ( x, y )  f1 ( x) f 2 ( y )  случайные величины X , Y
- 22 -
независимы.
Учебная литература
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1998.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории
вероятностей. – М.: Высшая школа, 2000.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Высшая школа, 1997.
4. Гмурман Д.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М.: Высшая школа, 1998.
5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.
6. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая
статистика в примерах и задачах с применением Excel. – Ростов-наДону: Феникс, 2002.
7. Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической
статистике. – М.: Мир, 1990.
- 23 -