Теория случайных процессов Экон 3 курс 11

Правительство Российской Федерации
Нижегородский филиал
Федерального государственного автономного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет экономики
Программа дисциплины
Теория случайных процессов и её приложения в экономике
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Автор программы:
О.В. Польдин, к.ф.-м.н., доцент, opoldin@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры математической экономики «___»____________ 2011 г
Зав. кафедрой А.М.Силаев
Рекомендована секцией УМС «Экономика» «___»____________ 2011 г.
Председатель Е.Е. Кузьмичева
Утверждена УМС НИУ ВШЭ – Нижний Новгород «___»_____________2011 г.
Председатель Н.С. Петрухин___________
Нижний Новгород, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины Теория случайных процессов и её приложения в экономике для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину Теория случайных процессов и её приложения в экономике.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО по направлению «Экономика»
 Образовательной программой направления подготовки 080100.62 «Экономика».
 Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 080100.62 «Экономика», утвержденным в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Теория случайных процессов и её приложения в экономике являются подготовка в области основ экономико-математического моделирования с использованием случайных процессов.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать
-основы тории случайных процессов, необходимые для решения экономических задач;
 Уметь
-применять методы анализа и моделирования случайных процессов для решения экономических задач;
 Иметь навыки (приобрести опыт)
- применения современного математического инструментария для решения экономических задач;
- построения, анализа и применения математических моделей случайных процессов
для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Теория вероятностей и математическая статистика
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знать определение и классификацию случайных величин и способы их задания, методы расчета числовых характеристик случайных величин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Эконометрика
5
№
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Всего
часов
Аудиторные часы
ЛекСеми- Практи-
Самостоятельная
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины Теория случайных процессов и её приложения в экономике для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
1
2
3
4
5
Основные понятия теории случайных процессов
Свойства случайных процессов
Спектрально – корреляционный анализ
случайных процессов
Марковские процессы
Введение в стохастические дифференциальные уравнения
Всего часов
ции
нары
ческие
занятия
работа
24
8
6
10
20
22
6
6
6
6
8
10
24
18
8
4
8
6
8
8
108
32
32
44
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля Форма контроля
Текущий
(неделя)
Контрольная работа
Итоговый
Зачет
1 год
1
2
7
2
Параметры **
письменная работа 100
минут
письменная работа 60
минут
Критерии оценки знаний, навыков
При выполнении контрольной работы и на зачете студент должен продемонстрировать
знания основных понятий теории случайных процессов, умение решать аналитические и расчетные задания по дисциплине, быть способным обосновывать применение моделей для описания и анализа экономических процессов. Полный ответ на теоретический на вопрос включает в
себя правильную аналитическую формулировку, текстовое пояснение. Полный ответ на расчетное задание включает в себя правильную аналитическую формулировку используемого понятия
или модели, безошибочно выполненные расчеты, верный числовой ответ.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
5.1
6
Содержание дисциплины
Раздел 1 Основные понятия теории случайных процессов
1.1. Вероятностное описание случайного процесса. Определение случайного процесса. Понятие
статистического ансамбля. Многомерные плотности вероятности. Основные свойства многомерных плотностей вероятности. Условные плотности вероятности, их свойства и связь с
многомерными безусловными плотностями вероятности.Плотность вероятности квазидетерминированных случайных процессов.
1.2. Статистические характеристики случайных процессов. Характеристическая функция случайного процесса, определение и свойства. Моментные и кумулянтные функции, их взаимосвязь. Корреляционная и ковариационная функции случайного процесса. Коэффициент
корреляции. Производящая функция случайной последовательности.
1.3. Гауссовские случайные процессы. Многомерная характеристическая функция и плотность
вероятностей гауссовского процесса. Ковариационная матрица отсчетов гауссовского случайного процесса. Основные свойства гауссовских случайных процессов.
3
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины Теория случайных процессов и её приложения в экономике для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
1.4. Совокупность случайных процессов. Общее описание совокупности двух случайных процессов. Статистическая независимость случайных процессов. Взаимные корреляционные и
ковариационные функции. Стационарность, эргодичность, гауссовость совокупности двух
случайных процессов.
Основная литература
1. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2002. (гл. 1)
Дополнительная литература
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. – М.: Мир, 1984.
2. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1980.
3. Тихонов В.И. Случайные процессы. Примеры и задачи. Т. 1 Случайные величины и процессы. М: Издательство Гелиос, 2003
4. Stirzaker D. Stochastic Processes and Models. Oxford University Press, 2005
Раздел 2. Свойства случайных процессов
2.1. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайного процесса Сходимость
в смысле среднего квадратичного. Непрерывность СП в среднем квадратичном. Необходимое и достаточное условие непрерывности СП в среднем квадратичном. Непрерывность СП
по вероятности и с вероятностью единица. Дифференцируемость случайного процесса.
Производная СП в среднем квадратичном, необходимое и достаточное условие ее существования. Интегрируемость случайного процесса. Интеграл от СП в среднем квадратичном, необходимое и достаточное условие его существования.
2.2. Стационарность и эргодичность. Стационарный СП. Строгая и слабая стационарность. Понятие стационарности в узком и широком смысле. Усреднение по статистическому ансамблю и по времени. Эргодичность случайных процессов. Необходимые и достаточные
условия эргодичности по отношению к среднему значению, корреляционной функции, одномерной плотности вероятности.
Основная литература
1. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2002. (гл. 2)
Дополнительная литература
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. – М.: Мир, 1984.
2. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1980.
3. Тихонов В.И. Случайные процессы. Примеры и задачи. Т. 1 Случайные величины и процессы. М: Издательство Гелиос, 2003
Раздел 3. Спектрально – корреляционный анализ случайных процессов.
3.1. Свойства корреляционных функций нестационарных и стационарных случайных процессов. Среднее значение и корреляционная функция производной и интегрального преобразования от случайного процесса.
3.2. Спектральное представление СП. Спектральная функция и спектральная плотность. СП с
конечной энергией. Спектральная плотность энергии, функция корреляции первого рода и
их свойства. СП с конечной мощностью. Спектральная плотность мощности. Соотношение
между спектральной плотностью мощности и корреляционной функцией для стационарных
случайных процессов. Спектральная плотность мощности нестационарных СП. Функция
корреляции второго рода. Ширина спектра случайного процесса, ее связь со временем корреляции. СП типа «белый шум».
Основная литература
1. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2002. (гл. 2)
4
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины Теория случайных процессов и её приложения в экономике для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Дополнительная литература
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. – М.: Мир, 1984.
2. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1980.
Раздел 4. Марковские процессы.
3.1. Марковский СП. Дискретная марковская цепь (ДМЦ). Переходные вероятности. Уравнение
Колмогорова–Чепмена. Однородность МЦ. Применение производящих функций для исследования МЦ. Нахождение вероятностей переходов с помощью производящих функций).
Классификация состояний МЦ. Классификация состояний цепи Маркова по арифметическим свойствам вероятностей перехода. Блочная структура матрицы переходных вероятностей в случае разложимой МЦ, в случае неразложимой периодической МЦ.
3.2. Асимптотическое поведение МЦ. Классификация состояний по асимптотическим свойствам переходных вероятностей. Эргодичность МЦ, предельное распределение. Условия
эргодичности МЦ. Оценивание скорости сходимости к предельному распределению. О
средних временах переходов между состояниями. Стационарные цепи Маркова
3.3.Случайные блуждания. Задача о разорении. Ожидаемая продолжительность игры.
3.4. Оптимальные стратегии в марковских цепях. Ожидаемая отдача, асимптотическое поведение. Правила принятия решений.
3.5. Непрерывные марковские процессы. Пример: процесс диффузии как предел дискретного
случайного блуждания. Обобщенное уравнение Маркова. Обратное уравнение Колмогорова. Уравнение Колмогорова–Фоккера–Планка.
3.6. Точечные случайные процессы. Пуассоновский случайный процесс. Процессы гибели и
размножения. Ветвящиеся процессы.
Основная литература
1. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2002. (гл. 2,3)
Дополнительная литература
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. – М.: Мир, 1984.
2. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1980.
3. Stirzaker D. Stochastic Processes and Models. Oxford University Press, 2005
4. White, D. J. Markov decision processes. John Wiley & Sons, 1993
7
Образовательные технологии
Курс построен на использовании комбинировании лекционных и семинарских занятий.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы для контрольной работы:
Запишите определение ковариационной функции случайного процесса.
Упорядочите следующие характеристики в порядке возрастания полноты описания случайного процесса: шестимерная характеристическая функция, дисперсия, среднее значение,
четырехмерная плотность вероятности, корреляционная функция.
Запишите формулу, связывающую плотности вероятности случайного процесса до и после
нелинейного безынерционного преобразования.
Выведите выражение для плотности вероятности отношения двух случайных величин (x/y)
через совместную п.в. Wxy(x, y).
Приведите достаточное условие того, чтобы случайный процесс являлся эргодическим по
отношению к среднему значению.
Почему эргодический процесс обязан быть стационарным?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины Теория случайных процессов и её приложения в экономике для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
7.
Дан стационарный случайный процесс x(t). Для вектора (x(t1), x(t2)) записать определение
ковариационной матрицы и выразить её определитель через дисперсию с.п. x(t) и нормированную ковариационную функцию Rxy(τ).
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу.
1. Определение случайного процесса.
2. Основные свойства многомерных плотностей вероятности.
3. Условные плотности вероятности, их свойства и связь с многомерными безусловными
плотностями вероятности.
4. Плотность вероятности квазидетерминированных случайных процессов.
5. Характеристическая функция случайного процесса, определение и свойства.
6. Моментные и кумулянтные функции, их взаимосвязь.
7. Корреляционная и ковариационная функции случайного процесса. Коэффициент корреляции.
8. Производящая функция случайной последовательности.
9. Многомерная характеристическая функция и плотность вероятностей гауссовского процесса.
10. Ковариационная матрица отсчетов гауссовского случайного процесса.
11. Основные свойства гауссовских случайных процессов.
12. Марковский процесс.
13. Непрерывность случайного процесса.
14. Дифференцируемость случайного процесса.
15. Производная случайного процесса в среднем квадратичном, необходимое и достаточное
условие ее существования.
16. Стационарный СП. Строгая и слабая стационарность. Понятие стационарности в узком и
широком смысле.
17. Эргодичность случайных процессов. Необходимые и достаточные условия эргодичности по
отношению к среднему значению, корреляционной функции.
18. Общее описание совокупности двух случайных процессов. Статистическая независимость
случайных процессов. Взаимные корреляционные и ковариационные функции. Стационарность, эргодичность, гауссовость совокупности двух случайных процессов.
19. Свойства корреляционных функций нестационарных и стационарных случайных процессов.
Среднее значение и корреляционная функция производной случайного процесса.
20. Спектральное представление СП. Спектральная функция и спектральная плотность.
21. Спектральная плотность мощности. Соотношение между спектральной плотностью мощности и корреляционной функцией для стационарных случайных процессов. Ширина спектра
случайного процесса, ее связь со временем корреляции.
22. Марковский СП. Дискретная марковская цепь (ДМЦ).
23. Применение производящих функций для исследования МЦ
24. Стационарные цепи Маркова
25. Случайные блуждания. Задача о разорении. Ожидаемая продолжительность игры.
26. Пуассоновский случайный процесс, его характеристики.
27. Процессы гибели и размножения. Стационарное распределение.
28. Ветвящиеся процессы. Вероятность вырождения. Время до вырождения.
8.2
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях, а именно правильность решения задач на семинаре. Оценки за работу на семинарских занятиях преподаватель
6
НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Программа дисциплины Теория случайных процессов и её приложения в экономике для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на
семинарских и практических занятиях определяется перед итоговым контролем - Оаудиторная.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов, а именно правильность
выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях. Оценки
за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Отекущий = Ок/р;
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:
Оитоговый = 0,3·Озачет + 0,3·Отекущий + 0,1·Осам. работа + 0,3·Оаудиторная
Способ округления накопленной оценки итогового контроля в форме зачета: арифметический.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Основная литература
1. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2002.
10.2 Дополнительная литература
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. – М.: Мир, 1984.
2. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1980.
3. Тихонов В.И. Случайные процессы. Примеры и задачи. Т. 1 Случайные величины и процессы. М: Издательство Гелиос, 2003
4. Stirzaker D. Stochastic Processes and Models. Oxford University Press, 2005
Автор программы
О.В. Польдин
7