АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец Экзаменационная (письменная) работа по математике

АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
Образец
Экзаменационная (письменная) работа по математике
итоговой аттестации выпускников основной школы
Назарбаев Интеллектуальной школы
физико-математического направления
2012-2013 учебного года
1.
Структура письменной работы
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников основной школы
используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная работа состоит из трех
частей и содержит 20 заданий, которые различаются по содержанию, сложности и числу
заданий.
Часть 1 содержит 13 заданий базового уровня, они обозначены Б1, Б2, … , Б13.
Задания Б1-Б10 – тестовые задания с выбором одного верного ответа из пяти
предложенных
Задания Б11-Б13 – задания открытого типа с кратким ответом
Часть 2 содержит 5 заданий открытого типа с развернутым ответом продвинутого
уровня, они обозначены П14, П15, П16, П17, П18.
Часть 3 содержит 2 задания открытого типа с развернутым ответом высокого уровня,
они обозначены В19, В20.
2. Система оценивания письменной работы
Максимальный балл за всю работу – 48 баллов.
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1–Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а
задание Б11 - Б13 оцениваются 2 баллами.
Критерии оценивания заданий части 2 и части 3
Полное и правильное решение каждого из заданий П14 - П18 оценивается 4 баллами.
Задания В19 и В20 части 3 оцениваются 6 баллами каждое. Общие требования к выполнению
заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, с
необходимыми пояснениями и обоснованиями, полным, в частности, все возможные случаи
должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут
быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется
максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0
баллов. Полнота и обоснованность рассуждений оцениваются независимо от выбранного
метода решения.
3. Шкала перевода баллов в оценку
Оценка «5»
Оценка «4»
Оценка «3»
Оценка «2»
90 – 100 %
75 – 89 %
51 – 74 %
50 % и ниже
43 - 48 баллов
36 - 42 баллов
25 - 35 баллов
24 балла и ниже
4. Время выполнения работы
Время выполнения контрольной работы - 240 минут или 4 часа.
Образец экзаменационной работы
Часть 1
2
Б1. Значение выражения 1,3 + 1,6 ∙ (1 : 2,5 − 2) равно:
3
58
A) − 15
5
B) − 6
23
C) 3 30
D) 0,1
E) 0
Б2. На рисунке изображён график движения туриста, который отправился от станции до
озера, а затем возвратился обратно. До озера турист шёл со скоростью:
A) 2 км/ч
B) 3 км/ч
C) 6 км/ч
D) 1 км/ч
E) 4 км/ч
Б3. За 3ч. мотоциклист проезжает то же расстояние, что велосипедист за 5ч. Скорость
мотоциклиста на 12 км/ч. больше скорости велосипедиста. Скорости мотоциклиста и
велосипедиста соответственно равны:
A) 16 км/ч и 28 км/ч
B) 40 км/ч и 28 км/ч
C) 15 км/ч и 27 км/ч
D) 18 км/ч и 30 км/ч
E) 20 км/ч и 32 км/ч
2
1
Б4. Выражение 10√5 − 0,5√160 + 3√1 9 равно:
A)
B)
C)
D)
E)
√10
3√10
0
7√10
−√10
1 5
Б5. Выражение (
𝑎3 ∙ √𝑎3
15
√𝑎8
−5
)
при 𝑎 = 0,5 равно:
A) 1
B) 2,5
C) 3,5
D) 4
E) 5,5
Б6. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром в точке О, угол В
треугольника равен 400 , ∠С: ∠А = 3: 4. Градусные меры дуг АВ, АС, ВС соответственно
равны:
A) 1200 , 400 , 1600
B) 1200 , 800 , 1600
C) 800 , 1200 , 1600
D) 1000 , 1000 , 1600
E) 1600 , 400 , 1200
Б7. Решением неравенства −𝑥 2 + 4𝑥 − 3 ≤ 0 является:
A) (−∞; 1) ∪ (3;∞)
B) [1;3]
C) (1; 3)
D) (−∞; −3] ∪ [−1; ∞)
E) (−∞; 1] ∪ [3; ∞)
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
Б8. Даны точки А(-2;0), В(2;2), С(4;-2), D(0;-4). Длина вектора 3𝐴𝐵
𝐶𝐷 равна:
A) 80
B) 4√5
C) 8√5
D) 4√3
E) 16√5
Б9. Вкладчик положил в банк 50 тыс. тенге. Известно, что вклад возрастает ежемесячно на
2% от накопленной суммы. Через три месяца доход вкладчика составит:
A) 86,4 тыс. тенге
B) 30 тыс. тенге
C) 36,4 тыс. тенге
D) 16,4 тыс. тенге
E) 10 тыс. тенге
Б10.
Вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков сумма очков на них
окажется равной 4, равна
A) 0,5
5
B) 36
1
C) 12
D) 0,25
E) 0,3
Б11.
Какие значения принимает функция 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3, если 0 ≤ 𝑥 ≤ 3?
Ответ: [2;6]
Б12.
Двое рабочих, работая вместе, могут оклеить комнату обоями за 6 ч. За сколько
часов может оклеить комнату каждый, если первый сделает это на 5 ч быстрее второго?
Ответ: 10 ч и 15 ч.
Б13.
Высота, проведённая из тупого угла прямоугольной трапеции, отсекает квадрат,
площадь которого равна 16 см2 . Найдите площадь и большую диагональ трапеции, если
её тупой угол равен 1350 .
Ответ: 24 см2 и 4√5 см.
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1–Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а
задание Б11 - Б13 оцениваются 2 баллами.
№ зада
ния
Задания
Баллы
Задания
Баллы
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
1
1
1
1
1
Б6
Б7
Б8
Б9
Б10
1
1
1
1
1
Критерии оценивания
Баллы
Максимальный
балл
Б11
Верно определена левая граница промежутка
Верно определена правая граница промежутка
Верно определено время первого рабочего
Верно определено время второго рабочего
Верно определена площадь
Верно определена большая диагональ
Б12
Б13
1
1
1
1
1
1
2
2
2
Часть 2
3
П14.
Упростите выражение
√9𝑎2
− 6𝑎𝑥 +
𝑥2
+(
1
𝑥 2 −𝑎
1
1
𝑥 2 −𝑎3
1
1
−1
1
+ 𝑎3 𝑥 2 ) ∙ (𝑥 + 𝑎3 𝑥 2 )
1
и найдите его значение при а=1,1, x=4,62.
Решение:
3
√9𝑎2 − 6𝑎𝑥 + 𝑥 2 + (
1
𝑥2 − 𝑎
1
𝑥2
1 1 −1
1 1
3 2
3 2
1 + 𝑎 𝑥 ) ∙ (𝑥 + 𝑎 𝑥 )
1
1
− 𝑎 3 𝑥 −2 =
− 𝑎3
1
1 1
2
1
(𝑥 2 − 𝑎3 ) (𝑥 + 𝑥 2 𝑎3 + 𝑎3 )
1 1
1
𝑎3
2
3𝑥 2) ∙
= √(3𝑎 − 𝑥) + (
+
𝑎
−
1 =
1
1
1
1
1
2
3
2
2
3
𝑥 −𝑎
𝑥 (𝑥 + 𝑎 ) 𝑥 2
1 2
1
1
(𝑥 2 +𝑎3 )
= |3𝑎 − 𝑥| +
1
1
1
𝑥 2 (𝑥 2 +𝑎3 )
−
𝑎3
1
1
1
𝑥 2 +𝑎3
𝑎3
1
= |3𝑎 − 𝑥| +
𝑥2
1
𝑥2
−
1
= |3𝑎 − 𝑥| + 1.
𝑥2
При а=1,1, x=4,62 получим |3 ∙ 1,1 − 4,62| + 1 = |−1,32| + 1 = 1,32 + 1 = 2,32.
Ответ: 2,32.
№
задания
П14
П15.
Критерии оценивания
Верно применены формулы сокращённого
умножения и тождество √𝑎2 = |𝑎|
Верно выполнен переход от отрицательных
показателей к положительным и вынесение за
скобки общего множителя
Верно выполнены дальнейшие преобразования
выражения
Верно найдено значение выражения при
заданных значениях переменных
Решите систему уравнений:
Баллы Максимальный
балл
1
4
3𝑥 + 𝑦 = 2(𝑥 − 𝑦),
{
(3𝑥 + 𝑦)2 + 2(𝑥 − 𝑦)2 = 96;
Решение:
Введём замену переменных: 𝑚 = 3𝑥 + 𝑦, 𝑛 = 𝑥 − 𝑦.
{
𝑚 = 2𝑛,
𝑚 = 2𝑛,
⟺{ 2
⟺
2
𝑚 + 2𝑛 = 96;
4𝑛 + 2𝑛2 = 96;
2
1
1
1
1
− 𝑎 3 𝑥 −2
𝑚 = −8,
𝑚 = 2𝑛,
{
𝑚 = 2𝑛,
𝑚 = 2𝑛,
𝑛 = −4;
⟺{ 2
⟺{ 2
⟺ { 𝑛 = −4, ⟺ [
[
𝑚 = 8,
6𝑛 = 96;
𝑛 = 16;
𝑛 = 4;
{
𝑛 = 4.
Вернёмся к замене переменных:
3𝑥 + 𝑦 = −8,
3(𝑦 − 4) + 𝑦 = −8,
3𝑦 − 12 + 𝑦 = −8,
{
{
{
𝑥 − 𝑦 = −4;
𝑥 = 𝑦 − 4;
𝑥 = 𝑦 − 4;
[
⟺[
⟺[
⟺
3𝑥 + 𝑦 = 8,
3𝑦 + 12 + 𝑦 = 8,
3(𝑦 + 4) + 𝑦 = 8,
{
{
{
𝑥 − 𝑦 = 4.
𝑥 = 𝑦 + 4.
𝑥 = 𝑦 + 4.
4𝑦 = 4,
𝑦 = 1,
{
{
𝑥 = 𝑦 − 4;
𝑥 = −3;
⟺[
⟺[
4𝑦 = −4,
𝑦 = −1,
{
{
𝑥 = 𝑦 + 4.
𝑥 = 3.
Ответ: (−3; 1), (3;-1)
№
задания
П15
Критерии оценивания
Верно введена замена переменных, выражена
переменная из одного из полученных уравнений и
подставлена во второе уравнение
Верно найдены значения новых переменных
Верно выполнен возврат к первоначальным
переменным, выражена одна переменная из
одного из получившихся уравнений и подставлена
во второе уравнение
Верно найдены решения системы и записан ответ
Баллы Максимальный
балл
1
4
1
1
1
П16.
Бак ёмкостью 2400 м3 наполняется топливом. При опорожнении этого бака
производительность насоса на 10 м3 /мин выше, чем производительность насоса при
заполнении. В результате время опорожнения бака на 8 мин меньше времени заполнения.
Определите производительность насоса при заполнении бака.
Решение:
Пусть х м3 /мин – производительность насоса при опорожнении бака. Тогда (х-10) м3 /мин
– производительность насоса при заполнении бака.
2400
𝑥
2400
𝑥−10
ч – время, затраченное при опорожнении бака,
ч – время, затраченное катером при заполнении .
Учитывая, что время опорожнения бака на 8 мин меньше времени заполнения, получим и
решим уравнение:
2400
2400
2400
2400
−
=8⟺
−
−8=0⟺
𝑥 − 10
𝑥
𝑥 − 10
𝑥
⟺
2400𝑥 − 2400𝑥 + 24000 − 8𝑥 2 + 80𝑥
−8𝑥 2 + 80𝑥 + 24000
=0⟺
=0⟺
𝑥(𝑥 − 10)
𝑥(𝑥 − 10)
−8𝑥 2 + 80𝑥 + 24000 = 0,
𝑥 2 − 10𝑥 − 3000 = 0,
⟺{
⟺{
⟺
𝑥(𝑥 − 10) ≠ 0;
𝑥(𝑥 − 10) ≠ 0;
10 − √100 + 12000
,
𝑥 = −50,
2
[
𝑥 = 60;
𝑥 = −50,
⟺ 𝑥 = 10 + √100 + 12000 ; ⟺ {
⟺[
𝑥
≠
0,
𝑥 = 60.
[
2
[
𝑥 ≠ 10,
𝑥 ≠ 0,
[
{
𝑥 ≠ 10,
𝑥=
Так как значение -50 не подходит по смыслу задачи, то производительность насоса при
опорожнении бака равна 60 м3 /мин. Следовательно, производительность насоса при
заполнении бака равна 50 м3 /мин.
Ответ: 50 м3 /мин.
№
задания
П16
П17.
Критерии оценивания
Верно составлена математическая модель задачи
Верно составлено уравнение
Верно решено полученное уравнение
Верно интерпретирован и записан ответ
Баллы Максимальный
балл
1
4
1
1
1
Решите систему неравенств:
{
2𝑥 2 − 10𝑥 + 5 < 0,
𝑥 2 + 3𝑥 − 2 > 0.
Решение:
{
2𝑥 2 − 10𝑥 + 5 < 0,
𝑥 2 + 3𝑥 + 2 > 0;
Найдём корни квадратного трёхчлена 2𝑥 2 − 10𝑥 + 5.
10 − √100 − 40
10 − 2√15
5 − √15
,
𝑥=
,
𝑥=
,
4
4
2
2𝑥 2 − 10𝑥 + 5 = 0 ⟺
⟺
⟺
10 + √100 − 40
10 + 2√15
5 + √15
;
𝑥=
;
𝑥=
;
[𝑥 =
[
[
4
4
2
𝑥=
Найдём корни квадратного трёхчлена 𝑥 2 + 3𝑥 + 2.
𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = 0.
По теореме Виета 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 2, а 𝑥1 + 𝑥2 = −3. Следовательно, 𝑥1 = −1, 𝑥2 = −2.
5−√15
5+√15
Так как 2𝑥 2 − 10𝑥 + 5 = 2 (𝑥 − 2 ) (𝑥 − 2 ), 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2), то
получим и решим следующую систему неравенств:
5 − √15
5 + √15
5 − √15
5 + √15
<𝑥<
,
2 (𝑥 −
) (𝑥 −
) < 0,
2
{
⟺{ 2
⟺
2
2
𝑥 < −1,
[
(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) > 0;
𝑥 > −2;
⟺
5 − √15
5 + √15
<𝑥<
.
2
2
5−√15 5+√15
Ответ: (
№
задания
П17
2
;
2
).
Критерии оценивания
Верно найдены корни первого квадратного
трёхчлена
Верно найдены корни второго квадратного
трёхчлена
Верно найдены решения каждого из
полученных неравенств
Верно найдено решение системы неравенств и
записан ответ
Баллы Максимальный
балл
1
4
1
1
1
П18. Упростите выражение:
3𝜋
− cos ( − 2𝛼) + cos(2𝜋 − 2𝛼) ∙ 𝑐𝑡𝑔(𝜋 + 𝛼).
2
Решение:
− cos (
=
3𝜋
cos 𝛼
− 2𝛼) + cos(2𝜋 − 2𝛼) ∙ 𝑐𝑡𝑔(𝜋 + 𝛼) = sin 2𝛼 + cos 2𝛼 ∙
=
2
sin 𝛼
2𝑠𝑖𝑛2 𝛼 ∙ cos 𝛼 + (1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝛼) ∙ cos 𝛼 cos 𝛼 ∙ (2𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝛼)
=
=
sin 𝛼
sin 𝛼
=
№ задания
П18
cos 𝛼
= 𝑐𝑡𝑔𝛼
sin 𝛼
Критерии оценивания
Верно выбраны тригонометрические формулы,
необходимые для преобразования выражения
Верно выполнены преобразования по
тригонометрическим формулам
Верно выполнены алгебраические
преобразования
Верно получен и записан ответ или сделан
вывод о равенстве правой и левой частей
тождества
Баллы Максимальный
балл
1
4
1
1
1
В19.
В треугольнике АВС медианы 𝐴𝐴1 и 𝐶𝐶1 пересекаются в точке О. 𝐴𝐴1 = 15 см и
𝐶𝐶1 = 18 см, ∠ 𝐴𝑂𝐶1 = 600 . Найдите площадь треугольника АВС.
Решение:
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении
2:1, считая от вершины.
2
Так как 𝐴𝐴1 = 15 см, 𝐶𝐶1 = 18 см, то 𝐴𝑂 = 3 𝐴𝐴1 = 10 см,
1
𝐶1 𝑂 = 3 𝐶𝐶1 = 6 см.
1
1
√3
𝑆𝐴𝑂𝐶1 = 𝑂𝐶1 ∙ 𝑂𝐴 ∙ sin 600 = ∙ 6 ∙ 10 ∙
= 15√3(см2 )
2
2
2
Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.
Следовательно, 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 6 ∙ 𝑆𝐴𝑂𝐶1 = 90√3(см2 )
Ответ: 90√3 см2 .
№
задания
В19
Критерии оценивания
Баллы Максимальный
балл
1
6
Верно записано условие задачи и безошибочно и
аккуратно выполнены необходимые для решения
чертежи
Верно выбран возможный способ решения задачи и
приведена верная последовательность всех шагов
решения
Верно обоснованы все моменты решения
Верно найдены промежуточные дополнительные
элементы.
Верно приведены доказательства на
промежуточных этапах
Верно выполнены все вычисления, получен верный
ответ или верно сделан вывод в задаче на
доказательство
1
1
1
1
1
В20. Постройте график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), если 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 8𝑥 − 6 при 𝑥 ≤ 0 и 𝑓(𝑥) –
функция чётная. По графику определите область определения и область значений функции,
нули функции, интервалы знакопостоянства, промежутки монотонности, точки максимума и
минимума.
Решение:
Построим график функции 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 8𝑥 − 6
при 𝑥 ≤ 0.
𝑏
Вершина параболы 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 имеет координаты: (− 2𝑎 ; −
𝑏 2 −4𝑎𝑐
4𝑎
).
Следовательно, (-2;2) – координаты вершины параболы 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 8𝑥 − 6 .
График данной функции получается сдвигом графика функции 𝑦 = −2𝑥 2 .
График функции 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 8𝑥 − 6
при 𝑥 ≤ 0 имеет вид:
𝑓(𝑥) – функция чётная, следовательно, график этой функции симметричен относительно оси
Оу.
𝐷(𝑓) = (−∞; ∞)
𝐸(𝑓) = (−∞;2]
𝑓(𝑥) = 0 при 𝑥 = −3; −1; 1; 3.
𝑓(𝑥) > 0 при 𝑥 ∈ (−3; −1) ∪ (1; 3).
𝑓(𝑥) < 0 при 𝑥 ∈ (−∞; −3) ∪ (−1; 1) ∪ (3; ∞).
Функция возрастает при 𝑥 ∈ [−∞;−2] и 𝑥 ∈ [0;2]
Функция убывает при 𝑥 ∈ [−2;0] и 𝑥 ∈ [2;∞]
𝑥 = 0 – точка минимума функции 𝑦 = 𝑓(𝑥).
𝑥1 = −2 и 𝑥2 = 2 – точки максимума функции 𝑦 = 𝑓(𝑥).
№
задания
В20
Критерии оценивания
Верно определены координаты вершины параболы
Верно построена парабола на заданном промежутке
Верно построен график искомой функции
Верно определены область определения и область
значений функции, нули функции
Верно определены интервалы знакопостоянства
функции
Верно определены промежутки монотонности,
точки максимума и минимума функции
Баллы Максимальный
балл
1
6
1
1
1
1
1
Ответы письменной работы по математике
Часть 1
№ задания
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Б6
Ответ
В
С
D
А
D
В
Б7
Е
№ задания
Б8
Б9
Б10
Б11
Б12
Б13
Ответ
В
С
С
[2;6]
10 ч и 15 ч.
24 см2 и
4√5 см.
Часть 2
№ задания
П14
П15
П16
П17
Ответ
2,32.
(−3; 1), (3;-1)
50 м3 /мин.
(
5 − √15 5 + √15
;
)
2
2
П18
𝑐𝑡𝑔𝛼
Часть 3
№ задания
В19
В20
Ответ
90√3 см2
𝐷(𝑓 ) = (−∞; ∞) 𝐸 (𝑓) = (−∞;2]
𝑓(𝑥) = 0 при 𝑥 = −3; −1; 1; 3.
𝑓(𝑥) > 0 при 𝑥 ∈ (−3; −1) ∪ (1; 3).
𝑓(𝑥) < 0 𝑥 ∈ (−∞; −3) ∪ (−1; 1) ∪ (3; ∞).
Функция возрастает при 𝑥 ∈
[−∞;−2] и 𝑥 ∈ [0;2]
Функция убывает при 𝑥 ∈
[−2;0] и
𝑥 ∈ [2;∞]
𝑥 = 0 – точка минимума.
𝑥1 = −2 и 𝑥2 = 2 – точки максимума