Секция: математика Тема: «В мире функций

ГОРОДСКОЙ КОНКУРС НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ
И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ «ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ»
Секция: математика
Тема: «В мире функций»
Автор: Матвеев Алексей
ученик 10 класса
Научный руководитель: Дубинина Надежда Юрьевна
Место выполнения работы: Муниципальное автономное общеобразовательное
учреждение средняя общеобразовательная школа № 3
Городской округ Красноуральск
2013
1
Содержание
1. Введение.___________________________________________________________стр3
2. Теоретическая часть __________________________________________________3
2.1 История развития понятия функции.____________________________________3
2.2 Что такое функция?__________________________________________________5
2.3Способы задания функций.____________________________________________6
2.4 Применение функций в различных областях знаний.______________________7
3.Практическая часть___________________________________________________12
3.1Функции в физиологии человека.______________________________________12
3.2 Функциональная зависимость в физике.________________________________13
3.3Функции вокруг нас._________________________________________________15
а) стоимость покупки и количество товара_________________________________15
б) температура и время_________________________________________________16
в) расход топлива и протяженность пути__________________________________16
г) ученик и класс______________________________________________________16
д) горение свечи_______________________________________________________16
е) демографическая ситуация в Красноуральске____________________________17
4.Заключение._________________________________________________________18
5.Список литературы.__________________________________________________19
2
1. Введение
Проблема. На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их
свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с
этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.
Актуальность темы. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством
переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью
функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов,
предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.
Функциональная зависимость встречается в жизни «на каждом шагу», поэтому данная тема
актуальна как для каждого человека, так и для всего города, а в целом- для всего человечества.
Объект исследования: функции и их приложения.
Цель: увидеть связь функций с явлениями окружающего мира и практической
деятельностью человека, показать, что понятие “функция” находит широкое применение в
жизни.
Задачи:

изучить историю возникновения понятия «функция»;

найти применение функций в различных областях знаний;

исследовать примеры функций в моем окружающем мире.
Гипотеза: между величинами существует функциональная связь.
Использованные методы:

сбор материала, работа с литературой, опыт, наблюдение, решение задач, анализ,
обобщение;

изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии);

анализ полученной информации (обобщение, сравнение, сопоставление с
имеющимися знаниями по данной теме);
2.Теоретическая часть
2.1 История развития понятия функции.
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и
поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (45тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его
радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного
задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и
индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения
3
площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений,
причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей
зависимости.
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет
и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре
получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними
буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b,
c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и
многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность
записывать общие формулы.
Кроме того, у Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических
работах появляется отчетливое представление переменной
величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает
понятие функции, как изменение ординаты точки в
зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически
рассматривал лишь те кривые, которые можно точно
представить с помощью уравнений, притом преимущественно
алгебраических. Постепенно понятие функции стало
отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671
году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с
течением времени (называл в «флюентой»).
В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и
Лейбница понятие функции носило по существу
интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими
представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция
от времени (t) и т.п.
Само слово «функция» (от латинского functio - совершение,выполнение) впервые было
употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. Швейцарский математик Иоганн
Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом:
«функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом
из этой переменной величины и постоянных». Окончательную формулировку определения
функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во
«Введении в анализ бесконечного»). Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера,
4
Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес
французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном
математической физикой.
Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем
определении функции Дирихле, ставшим классическим. В общем виде понятие обобщенной
функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский
математик и механик С.Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции,
включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач
математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести
ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов и др.
2.2 Что такое функция?
Разные ученые выдвигали разные мысли. Но я хочу вас познакомить с одним
определением: «Если даны числовое множество X и правило f, позволяющие поставить в
соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана
функция у = f(x) с областью определения Х; у = f(x) , хЄХ. При этом переменную х называют
независимой переменной или аргумент, а переменную у- зависимой переменной.»
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и
поныне играет большую роль в познании реального мира.
Функция – это не только математическое понятие, но и:
функция — работа, производимая органом, организмом; роль, значение чего-либо;
функция в математике — закон зависимости одной величины от другой;
функция — возможность, опция, умение программы или прибора.
функция — обязанность, круг деятельности;
функция персонажа в литературном произведении;
функция — вид подпрограммы в информатике социальная функция.
Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика имеет свои
объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.
В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные
соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.
Математика создает условия для развития умения применять теоретические знания для
решения практических задач, ориентироваться в окружающей нас действительности. Нам
кажется, что функциональные зависимости могут касаться самых разнообразных явлений
природы и окружающей среды. Каждому человеку в его повседневной практической
деятельности приходится применять практические приемы геометрических измерений и
построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков. Без
5
конкретных математических знаний затруднено понимание и восприятие научных знаний,
разнообразной социальной, экономической, технологической информации.
Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, а
порой является естественным средством их решения. Математика является языком различных
областей науки и нашей жизни.
2.3Способы задания функций.
Существует несколько способов задания функций:
аналитический,


словесный,

графический,

табличный.
Аналитический способ.
Наиболее распространен аналитический способ задания функции, при котором функция
задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести
над х, чтобы найти у. Пример: у = к х; V = s h ; s = a b
Словесный способ
(пословицы, поговорки)

Чем дальше в лес, тем больше дров.

Кашу маслом не испортишь.

Меньше слов, больше дела.

Любишь кататься, люби и саночки возить.
Графический способ.
Распространен и графический способ задания функции. Графиком функции у=f(x), где х из
множества Е, называется множество точек плоскости с прямоугольными координатами (х,у),
где х из Е, у=f(x). Графический способ состоит в проведении линии (графика), у которой
абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции.
Этот способ позволяет наглядно представить функциональную зависимость. Пример:
600
п
у 400
т
ь 200
км
1
0
0
1
2
3
4
5
время t,с
6
10
с
к
о
р
о
с
т
ь
8
6
4
1
2
0
0
м/с
1
2
3
4
5
время t,c
с
к
о
р
о
с
т
ь
5
4
3
2
2
1
1
0
0
м\с
0.5
1
1.5
2
2.5
время t,с
Табличный способ.
При табличном способе задания функция задается в виде таблицы, в которой для каждого
значения аргумента указывается соответствующее ему значение функции. Табличный способ
общеизвестен (таблица квадратов и таблица кубов натуральных чисел и т. д.). Этот способ
сразу даёт числовое значение функции. В этом его преимущество перед другими способами.
Пример. Таблица квадратов чисел от 1 до 10:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
2.4
Применение функций в различных областях знаний
1). Квадратичная функция. Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной
функцией, она довольно часто встречается на практике. Графиком квадратичной функции
является парабола. Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к
горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста,
7
выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, будет
параболой (при отсутствии сопротивления воздуха).
Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике, например,
параболическая арка; свод моста.
Потенциальная энергия — минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы
перенести тело из некой точки отсчёта в данную точку.
Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной
зависимости.
Свойство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей,
солнечных электростанций, отражательных телескопов - рефлекторов.
2). Функция «Обратная пропорциональность» очень важна, как предмет изучения.
Она обладает замечательными свойствами, которые позволяют
считать её не только предметом изучения, но и средством
познания мира, позволяющим сделать мир более совершенным.
Гипербола в жизни. Гипербола в жизни встречается гораздо реже, чем парабола. Наши предки
наблюдали ветвь гиперболы на стене, когда подносили к ней горящую свечу в подсвечнике с
круглым основанием.
Применение гиперболы для определения местонахождения. Во время второй мировой
войны использовались гиперболические навигационные системы. Штурман на борту самолёта
или морского судна принимал радиосигналы от двух пар станций на берегу, которые испускали
их одновременно. Используя разность времени между моментами приема сигналов от обеих
8
станций, штурман строил две гиперболы, пересечение которых на карте позволяло определить
место, где он находился.
Гипербола и космические спутники:
Если спутник движется «с первой космической скоростью, то он будет вращаться

вокруг Земли по круговой орбите».
При достижении «второй космической скорости, траектория спутника станет

параболической и спутник никогда не вернётся в точку из которой он запущен».
При дальнейшем увеличении скорости, спутник будет двигаться по гиперболе и

второй фокус появится с другой стороны (центры Земли всё время будут находиться в фокусе
орбиты).
3). Тригонометрическая функция.
Различные колебания окружают нас на каждом шагу. Механические колебания
применяются для просеивания материалов на виброситах, безболезненного высверливания
отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а
электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. С помощью
электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно
закрытой облаками Венеры. Колебания сопровождают и биологические процессы, например,
слух, зрение, работу сердца и мозга.
Где же еще применяются графики, оказалось, что метеорологическая служба фиксирует
изменения температуры, строя с помощью термографа график температуры.
Используя показания сейсмографов ( приборов, непрерывно фиксирующих колебания почвы и
строящих специальные графики – сейсмограммы), геологи могут предсказать приближение
землетрясение или цунами.
9
Врачи выявляют болезни сердца с помощью кардиографа, их называют кардиограммами.
4). Свойства функции в пословицах и поговорках.
Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых
человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам
и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное
многовековым опытом народа.
«Чем дальше в лес, тем больше дров»
График представит количество дров как функцию пути.
«Каши маслом не испортишь».
Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно
пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может
оставаться и на прежнем уровне.
10
«Каково проживёшь, такую славу наживёшь»
5)Экологическая ниша.
Есть в экологии универсальное понятие - экологическая ниша. Под «нишей » понимают
условия, в которых живет вид, т.е. диапазон факторов среды, в котором данный вид живет и
размножается. Допустим, что известны верхние и нижние пределы температуры и влажности,
приемлемые для существования какого-либо вида. Виды живых существ зависят от факторов
окружающей среды.
6)Функции в экономике
Широко применяются графики в экономике, в частности, кривая спроса и предложения, линия
производственных возможностей.
11
В течение последних нескольких месяцев страны мира находятся в состоянии финансово
- экономического кризиса, начавшегося в США. Пришел кризис и в Россию. Нас
заинтересовало, какие функциональные зависимости в экономике подверглись изменениям в
связи с этим, и каким образом. Изучением этих вопросов занимается математическая экономика
- наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и
процессов.
Экономический рост в России за последние пять лет в большей степени определялся
высокими ценами на энергоресурсы: нефть и газ. И когда цены на нефть упали, денежный
поток, который шел в Россию, сократился. Как следствие этого сократился спрос внутри страны
на продукцию, что в свою очередь привело к сокращению производства. Финансовый кризис
перешел в промышленный.
Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик,
как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.
Облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них
проявляются основные свойства функций.
Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их
черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего
круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на
основе этих закономерностей.
3.Практическая часть
Изучив теоретический материал по данной теме, я приступил к выполнению практической
части, т.е. исследовал примеры функций в моем окружающем мире.
3.1Функции в физиологии человека.
12
Зависимость пульса от физической нагрузки
Количество
0
10
15
20
70
90
110
125
приседаний
Количество
сердечных сокращений в
минуту
колл-во сердечных сокращений
140
120
100
80
60
Ряд 1
40
20
0
0
10
15
20
Кол-во приседаний
Как видим из данных, что количество сердечных сокращений зависит от физической
нагрузки, причем эта зависимость прямо пропорциональная. Поэтому физические нагрузки
следует учитывать людям для сохранения здоровья.
3.2 Функциональная зависимость в физике.
а) Зависимость силы тока от напряжения.
13
Сила тока,
0,5
1
1,5
2
4
6
Ампер
Напряжение,
Вольт
2
с
и 1.5
л
а
1
т
0.5
о
к
0
а
Значения Y
0
2
4
6
8
напряжение
Результаты опытов показывают, что напряжение и сила тока зависят друг от друга, причем
эта зависимость прямо пропорциональная, т.е. при увеличении напряжения увеличивается сила
тока.
б )Зависимость силы тока от сопротивления проводника при одном и том же напряжении.
Я провел опыт с тремя различными проводниками при напряжении в 2 вольта и получил
следующие результаты:
№ опыта
Сопротивление
проводника, Ом
Сила тока в
цепи, А
1
1
2
2
2
1
3
4
0,5
14
2.5
с
и 2
л
а 1.5
1
т
о 0.5
к
0
а
Столбец1
0
1
2
3
4
5
сопротивление
Опыт показывает, что сопротивление и сила тока тоже зависимые величины, чем больше
сопротивление проводника, тем меньше сила тока.
Зависимость силы тока, напряжения, сопротивления человек учитывает в своей
повседневной жизни, например: линии электропередач изготавливают из металлов с маленьким
сопротивлением (медь, алюминий).
3.3Функции вокруг нас.
а) Стоимость покупки есть функция от количества товара.
Покупая конфеты «Метелицасказочница» по цене 87,4 руб за 250
граммов, мы понимаем, что за две таких
15
упаковки, т.е. за 500 граммов мы заплатим в два раза больше – зависимость прямо
пропорциональная.
б) Ежедневная температура на улице есть функция от времени. В
одно, и тоже время температура не может принимать более одного
значения и быть одновременно +5 и -10.
в)Существует зависимость между расходом топлива(дизельного
топлива) от протяженности пути и, следовательно, стоимостью топлива.
Я узнал следующую информацию: цена одного литра дизтоплива на 30.01.2013 г была
31,60руб, а расстояние от Красноуральска до Тарньерского рудника- 378км, до Волковского
рудника-50км. Различное оборудование, трубы и т. п. до данных рудников возят на «Камазах».
Расстоян
Расход
Расход
Стоимость
одного рейса, руб.
ие одного
дизтоплива
дизтоплива на 1
рейса, км.
на
рейс
1км.(Камаз)
Волковс
кий рудник
Тарньер
ский рудник
2*50=10
0,42л.
0км
0,42*100=42
42*31,6=1327,2
0,42*756=31
317,52*31,6=10
л.
2*378=7
56км
0,42л.
7,52л
986,2
Исследования показывают, что стоимость одного рейса зависит от расхода топлива,
протяженности пути и цены на это топливо (функциональная зависимость прямо
пропорциональная). Конечно, стоимость рейса зависит не только от этого, а также от марки
машины, поэтому на ОАО «Святогор» руду перевозят чаще на «Тонарах».
г)Есть примеры функциональной зависимости и в школе, например- каждый ученик в
школе учится в определённом классе. Если обозначить через Х – множество учеников в школе,
а через Y – множество классов, то можно сказать, что каждому элементу множества Х (т.е.
каждому ученику) сопоставляется единственный элемент множества Y (т.е. тот класс, где
данный ученик учится);
16
д) Как будет меняться длина свечи при горении? Я для эксперимента взял 2 свечи длиной
19 см и 16,8см, диаметром 2см и 0,5см соответственно и наблюдал за ними в течение 1 часа.
Результаты получились следующие.
20
в
ы 15
с
о
10
т
а
5
1-я свеча
2-я свеча
см
0
0
0.5
1
1.5
время (ч)
Результаты опыта показывают \, что при горении свечи её высота зависит от времени
горения (обратно пропорциональная зависимость) и от диаметра свечи (прямо
пропорциональная зависимость).
е) Демографическая ситуация в городе Красноуральске.
Познакомившись со статистическими данными по городскому округу Красноуральск, я
выбрал следующие данные:
17
2007
2009г.
2011г.
2012г.
358
343
310
374
Смертность
466
489
478
458
Численность
28,5
25,8
25,3
25,2
г.
Рождаемость
детей
постоянного
населения (тыс. чел).
600
ч
е
л
о
в
е
к
500
400
300
рождаемость
200
смертность
100
0
2006
2008
2010
2012
2014
Демографическая ситуация есть функциональная зависимость от рождаемости и
смертности населения, причём первая зависимость прямо пропорциональная, а вторая - обратно
пропорциональная.
4.Заключение.
В рамках изученной темы и в соответствии с поставленными целями и задачами

я проанализировал и изучил литературу по истории развития функции, применении
её в науке и технике;

познакомился с определением понятия «функция» и способами задания функции;

познакомился со способами изучения функциональной зависимости величин: опыт,
измерение, вычисление, составление таблиц и построение графиков;

научился применять изученные способы для установления функциональных
зависимостей между величинами и описания свойств величин на основании их
функциональной зависимости;
18

обобщил сведения о линейной функции, выяснил её связь с повседневной жизнью и
устным народным творчеством.
Практическая ценность. Я считаю, что моя работа будет полезна ученикам, желающим
расширить свои знания о функциях и их приложениях, а также учителям - при изучении темы
«Функции». Данная работа будет размещена на сайте школы №3, поэтому ее могут
использовать в других учебных учреждениях, а также результаты работы могут быть
использованы во внеучебных организациях.
5.Список литературы.
1.
Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике: Книга для внеклассного чтения 9 – 10
кл. – 2 – е изд., испр. – М.: Просвещение, 1993.
2.
Волович М.Б. «Справочник школьника 5-11 класс»
3.
Володин В.А/ Аванта +/ Энциклопедия для детей «Общество. Экономика и политика
Ч.1», том 21- М.:/ 2002 г.
4.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение. - 1982.
5.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс - М.: Просвещение. - 1983.
6.
Интернет-ресурсы:http://linear function.ru
7.
http://ru.wikipedia.org/wiki/ЭТ
8.
Колягин Ю. М. «Алгебра 10,11 классы»-3-е изд.- – М. : Издательство
“Просвещение”, 2011.
9.
Макарычев Ю.Н. “Алгебра 7,8,9 классы”. – 6-е изд. – М. : Издательство
“Просвещение”, 2011.
10.
Ульяновская Н. Н. О. Функция, как ты Важна. // Математика. – 1999. - №45.
11.
Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.
19