Обработка резул. изм - Камышинский технологический

Н. И. Привалов, А. А. Шеин, Н. В. Бережная
Лабораторный практикум
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Н. И. Привалов, А. А. Шеин, Н. В. Бережная
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Лабораторный практикум
Волгоград
2011
1
УДК 658.516
О – 23
Рецензенты: директор ООО «Систем-сервис» В. А. Неверов;
Камышинский филиал НАЧОУ ВПО Современная Гуманитарная
Академия
Привалов, Н. И. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ: лабораторный практикум / Н. И. Привалов, А. А. Шеин, Н. В. Бережная; Волгоград. гос.
техн. ун-т. – Волгоград, 2011. – 68 с.
ISBN 978-5-9948-0599-2
Разработан в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация».
Рассмотрены вопросы практического применения статистической обработки результатов измерений, представлены контрольные задания и примеры выполнения расчетно-графических работ.
Предназначен для студентов ВПО очной формы обучения по
специальности 140200.62 «Электроэнергетика».
Ил. 16. Табл. 24. Библиогр. 15 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета

ISBN 978-5-9948-0599-2
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2011
ВВЕДЕНИЕ
Современное техническое образование невозможно без знаний
теории и практики метрологии. Метрология – наука об измерениях
и является одним из важнейших путей познания. Сегодня ни одна
отрасль не может существовать без измерений.
Вместе с тем просто измерения без обработки данных не могут дать полную информацию о происходящем процессе. Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь проанализировать.
В настоящем лабораторном практикуме приводятся сведения
по некоторым линейным средствам измерений, определению погрешностей измерения и методах обработки полученных измерений.
Для полноты и удобства приводятся примеры выполнения заданий.
3
1. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ.
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Физическая величина – это характеристика одного из
свойств физического объекта (системы, явления или процесса).
Качественно одна и та же физическая величина может иметь различное количественное выражение. Количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, характеризуется ее размером. Значение физической
величины представляет собой оценку размера этой величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц. Значение физической величины выражается произведением ее числового значения
на выбранную для этой величины единицу. Числовое значение –
это отвлеченное число. Единица измерения физической величины
– физическая величина, которой условно присвоено числовое значение, равное 1.
Пример: значение длины можно выразить как L = 0,202 м =
20,2 см = 202 мм. Следовательно, числовое значение физической
величины с измерением размера единицы изменяется. Размер величины и ее значение при этом будут одними и теми же.
Различают истинное значение физической величины, идеально отражающее материальный объект, и действительное – значение, найденное экспериментально.
Измерение физической величины заключается в сравнении
измеряемой величины с её единицей, с целью получения значения
этой величины в форме, наиболее удобной для использования. Измерение производится с помощью технических средств, хранящих
единицу, или воспроизводящих шкалу физической величины.
Не следует отождествлять понятие измерение с понятием
наблюдение при измерении – экспериментальной операцией, выполняемой в процессе измерения. Результат наблюдения – это одно значение (отсчет) измеряемой величины. Результат измерения
получается после математической обработки всех отсчетов.
Измерением с однократными наблюдениями называется
измерение, при котором каждый отсчет получен при различных
значениях физических величин, связанных с измеряемой величиной.
Пример: измерение ускорения тел различной массы при действии на них фиксированной силы.
4
Измерением с многократными наблюдениями называется
измерение, при котором все отчеты получены при фиксированных
значениях физических величин, связанных с измеряемой величиной.
Пример: измерение ускорения тела заданной массы при действии на него одной и той же силы при многократном повторении
эксперимента.
Существуют следующие виды измерений: прямые; косвенные; совокупные и совместные; статические и динамические.
Прямым измерением называется измерение физической величины, при котором ее значение находят непосредственно из
опытных данных.
Примеры: измерение длины с помощью линейки; измерение
сопротивления омметром.
Косвенным измерением называется измерение физической
величины, при котором ее значение находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, значения
которых получены прямыми измерениями.
Пример: определение сопротивления по напряжению и току,
измеренным вольтметром и амперметром, соответственно.
Совместными называются такие измерения, при которых одновременно измеряют две и более неоднородные величины для
нахождения зависимости между ними или определения параметров этой зависимости.
Пример: измерение тока при различных значениях напряжения для проверки закона Ома.
Совокупные – такие измерения, при которых одновременно
измеряют несколько одноименных величин (калибровка гирь по
известной массе одной из них).
Моделью объекта измерения называется абстрактный, как
правило, идеализированный образ реального объекта.
Примеры: материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальный газ, однородный проводник.
Метод измерений – это совокупность приемов сравнения измеряемой величины с её единицей. Метод измерений осуществляется в соответствии с моделью объекта измерения и доступным
набором технических средств.
Истинной погрешностью измерения называется отклонение
результата измерения физической величины (действительного
5
значения) от ее истинного значения. При проведении измерений,
как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно.
Результатом измерения является оценка истинного значения, которая чаще всего с ним не совпадает. Принято, независимо от того,
известно или неизвестно истинное значение, погрешность характеризовать, так называемым, доверительным интервалом, в котором с определенной степенью достоверности содержится истинное значение. Середина этого интервала совмещается с оценкой
истинного значения (рис. 1).
Погрешность выражается в виде абсолютной и относительной погрешности.
Абсолютная погрешность равна модулю разности между
оценкой и границей интервала, т. е. полушарие доверительного
интервала.
Относительная погрешность равна отношению абсолютной
погрешности к оценке истинного значения. Как правило, эту погрешность выражают в процентах x 
x
100 % . Величину, обратx
ную относительной погрешности, называют точностью измерений.
‹х›-∆х
доверительный
доверительныйинтервал
интервал
2·∆х
числовая ось
‹›
х +∆х
оценка истинного
значения ‹х›
абсолютпогрешность
ная погрешность ∆х
абсолютная
истинное значение х
Рис. 1. Результат измерений x  x  x. Например F = 53,2 ± 0,4 H
При сравнении результатов измерения одной и той же физической величины поступают следующим образом. Если доверительные интервалы перекрываются, то говорят, что различия незначимые и результаты измерений согласуются. В противном случае
различия считаются значимыми и результаты измерений не совпадают.
Пример: пусть при различных методах измерений одной и той
же силы получены следующие результаты: F = 240 ± 8 H, F = 250
± 5 H. Различие в 10 Н в данном случае является незначимым, и
результаты согласуются. Если бы оба результата были F = 242 ± 2 H,
6
F = 249 ± 3 H, то различие в 7 Н было бы значимым, и результаты
измерений оказались бы несовпадающими.
По влиянию на результат измерения можно выделить следующие классы погрешности:
 Систематическая погрешность – погрешность, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторении измерений.
 Случайная погрешность – погрешность, изменяющаяся
случайным образом при повторении измерений.
 Промах (грубая ошибка) – погрешность, существенно
превосходящая ожидаемую при заданных условиях.
По источникам погрешности различают следующие ее виды:
 Методическая погрешность – погрешность, обусловленная несовершенством метода измерений.
 Инструментальная погрешность – погрешность средств
измерений (приборов).
 Доверительная погрешность – погрешность, обусловленная влиянием факторов, которые не учтены в модели объекта
измерения.
Названные источники погрешности в общем случае могут
иметь как систематическую, так и случайную составляющую погрешности, но вклад этих составляющих различен при различной
организации эксперимента.
Учет и исключение (или уменьшение) систематической погрешности представляют одну из самых сложных задач теории измерений. Способы решения этой задачи зависят от конкретных видов измерений, и не существует общей методики ее решения. Часто используется подход, основанный на всестороннем теоретическом анализе процедуры измерения и характеристик применяемой
аппаратуры. Такой анализ может дать оценку границ систематической погрешности. При точных измерениях оценка систематической погрешности производится по результатам измерения искомой величины различными, принципиально независимыми методами с применением различной аппаратуры. Многие современные
способы анализа систематической погрешности используют аппарат математической статистики (дисперсионный, регрессионный,
корреляционный, спектральный анализ), теории принятия решений, теории игр и др. Более детально эти вопросы рассматриваются в специальном курсе метрологии.
7
Случайная погрешность в большинстве случаев может быть
уменьшена с помощью относительно простой статистической обработки результатов измерений.
Промахи относятся к аномальным результатам измерений, которые могут быть следствием кратковременного воздействия на
процесс измерения некоторого мешающего фактора, преобладающего над остальными. Промах может быть вызван ошибкой оператора, проводящего измерение, или сбоем измерительной аппаратуры. В этих случаях аномальный результат должен быть отброшен.
Однако отбрасывание аномальных данных является спорным вопросом, по которому у специалистов нет единого мнения. Например, из истории физики известно, что именно аномальные результаты экспериментов привели к великим открытиям. Поэтому при
научных исследованиях и в большинстве технических измерений
необходимо тщательно проанализировать причину промаха, в
частности, многократно повторив эксперимент. Тем не менее, в
хорошо изученной ситуации, если не удается найти внешнюю
причину промаха, вопрос об отбрасывании аномального отсчета
должен быть решен на основе обработки всех данных эксперимента.
При измерениях в лаборатории эксперимент организован так, что:
1. Методической погрешностью можно пренебречь или ее
значение можно оценить.
2. Инструментальная погрешность имеет только систематическую составляющую.
3. Дополнительная погрешность имеет только случайную составляющую.
4. Точность показаний измерительных устройств и приборов
гарантируется.
8
2. ОБРАБОТКА ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
2.1. Инструментальная погрешность
Методика определения погрешности прибора приводится в его
паспорте. Для характеристики большинства приборов часто используют понятие приведенной погрешности, равной абсолютной погрешности в процентах диапазона шкалы измерений. По
приведенной погрешности приборы разделяются на классы точности. Класс точности указан на панели прибора и может принимать следующий ряд значений: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5 – прецизионные;
1,0; 1,5; 2,5; 4,0 – технические приборы.
Наибольшая абсолютная инструментальная погрешность:
∆а = К  А/100,
(1)
где К – класс точности, А – наибольшее значение шкалы прибора.
Из формулы (1) следует, что относительная погрешность будет минимальной, если измеряемая величина дает отброс стрелки
индикатора на всю шкалу. Поэтому для оптимального использования прибора его предел выбирают так, чтобы значение измеряемой величины попадало в конец шкалы.
В метрологии [1,2], кроме формулы (1), используются и другие, более сложные определения инструментальной погрешности и
связанного с ней класса точности, особенно для приборов с неравномерными шкалами.
Инструментальная погрешность приборов для измерения линейных размеров указана на самом приборе в виде абсолютной погрешности или в виде цены деления. Если на приборе не указан ни
класс точности, ни абсолютная погрешность, то она принимается
равной половине цены наименьшего деления.
Для приборов с цифровым отсчетом измеряемых величин метод вычисления погрешности приводится в паспортных данных
прибора. Если эти данные отсутствуют, то в качестве абсолютной
погрешности принимается значение, равное половине последнего
цифрового разряда индикатора.
Инструментальную погрешность невозможно уменьшить
статистической обработкой отсчетов.
9
Примеры считывания со шкал различных приборов показаны на
рис. 2–7. Принцип устройства нониуса рассмотрен в приложении 5.
Рис. 3. Штангенциркуль
10
Микровольтметр. Класс точности 2,0.
Рис. 5. Вольтметр
Рис. 6. Амперметр
Рис. 7. Цифровой омметр
11
2.2. Случайная погрешность
При наличии случайных погрешностей наблюдаемые значения
измеряемой величины при многократных измерениях случайным
образом рассеяны относительно ее истинного значения. В этом
случае действительное значение находят как наиболее вероятное
из серии отсчетов, а погрешность характеризуют шириной интервала, который с заданной вероятностью покрывает истинное значение. Математическое обоснование ниже приведенных положений
представлено в разделах 6, и в литературе [3–7].
Наилучшей оценкой истинного значения величины Х является
выборочное среднее значение:
N
 xn
x  n 1 ,
(2)
N
где хn – отсчет величины х; N – число отсчетов.
Для оценки разброса отсчетов при измерении используется
выборочное среднее квадратическое отклонение отсчетов:
N
Sx 
2
 ( xn  x )
n 1
N 1
.
(3)
Выборочное среднее является случайной величиной и его разброс относительно истинного значения измеряемой величины оценивается выборочным средним квадратическим отклонением среднего значения:
S
Sx  x .
(4)
N
Среднее квадратическое отклонение среднего из n отсчетов в N раз меньше среднего квадратического отклонения одного отсчета.
Доверительным интервалом называется интервал [ x  , x   ] ,
который с заданной степенью достоверности включает в себя истинное значение измеряемой величины (см. рис. 1).
Доверительной вероятностью (надежностью) результата серии наблюдений называется вероятность , с которой доверительный
интервал включает истинное значение измеряемой величины.
Случайную составляющую погрешности принято выражать
как полуширину доверительного интервала. Размер доверительного
12
интервала обычно задают в виде кратного S x значения. Тогда случайная составляющая погрешности многократных измерений:
x  t  S x ,
(5)
где t – безразмерный коэффициент доверия (коэффициент
Стьюдента).
Коэффициент доверия показывает, во сколько раз нужно
увеличить среднее квдратическое отклонение среднего, чтобы при
заданном числе измерений получить заданную надежность их результата. Коэффициент доверия сложным образом зависит от
надежности и числа измерений, и его значение определяют по статическим таблицам (приложение 1).
При расчете случайной погрешности задаются надежностью
измерений, которую (в зависимости от целей измерений и требований к ним) принимают равной 0,9; 0,95; 0,96; 0,98; 0,99; 0,99;
0,997; 0,999.
Чем больше доверительная вероятность, тем надежнее
оценка интервала и, вместе с тем, шире его границы.
Полная погрешность ∆х прямых измерений равна квадратичной
сумме ее составляющих: инструментальной – ∆а и случайной – ∆х:
x  2a  2x .
(6)
2.3. Промахи
Обработку прямых измерений рекомендуется начинать с проверки отсчетов на наличие промахов. Существует много критериев
выявления и отбрасывания промахов, но ни один из них не является универсальным. Выбор критерия зависит от цели измерений, но
решение отбросить какие-то данные, в конечном счете, всегда
субъективно.
Сформулируем, так называемый, критерий Шовене [3]. Из
полученного ряда, содержащего N отсчетов, выбирается аномальный отсчет – xk и вычисляется модуль его отклонения от среднего
значения в долях выборочного среднего квадратического отклонения:
Z
xk  x
.
Sx
(7)
Затем вычисляется вероятность этого отклонения, а также
ожидаемое число n измерений, которые дадут отсчеты, имеющие
отклонение Z не меньшее, чем испытуемый. Если получено n < 0,5
13
(при округлении до целого n = 0), то отсчет xk считается промахом.
Эту процедуру можно изменить и вычислить ожидаемое число М
отсчетов, среди которых хотя бы один аномальный.
Если М > N, то отсчет считается промахом. Связь между М и Z
приведена в приложении 3.
Таблица 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Алгоритм обработки прямых измерений
Определить инструментальную погрешность
Вычислить среднее значение серии измерений
формула (2)
Вычислить среднее квадратическое отклонение отсчета
формула (3)
Если промах устранен, то перейти к 5; иначе – к 4
Проверить отсчеты на наличие промаха:

отобрать аномальный отсчет;
формула (7)

вычислить его относительное отклонение;

определить ожидаемое число отсчетов, среди которых
приложение 3
может быть аномальный;

если это число больше числа отсчетов, то исключить
аномальный отсчет и перейти к 2; иначе – перейти к 5
Вычислить выборочное среднее квадратическое отклонение
среднего значения
формула (4)
Определить коэффициент доверия для заданной надежности
и полученного числа отсчетов
приложение 1
Вычислить случайную погрешность
формула (5)
Вычислить полную погрешность
формула (6)
После округлений результат обработки измерений записать
в форме:

  ( x / x ) / 100%
x  ( x  x ) / Y ;
Иногда необходимо объединить результаты нескольких серий
прямых измерений одной и той же физической величины. Эту задачу
можно решить следующим образом. Пусть результаты М измерений
представлены в виде
x  x1  x1 , x  x2  x2 , x  xM  xM .
Наилучшее значение <x> и его погрешность ∆x вычисляются по
формулам:
M
x
 wm xm
m 1
M

1
 M
 2
x    wm  ,
 m 1 
,
 wm
(8)
m 1
где wm 
1
( xm )2
– статистический вес каждой серии изме-
рений.
14
3. ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Пусть и = f(x, y,…) – функциональная зависимость между измеряемой величиной и и величинами x, y,…, значения которых
найдены прямыми измерениями. Действительное значение и
определяется как:
(9)
и  f ( x , y , ) .
Получим выражение для погрешности ∆и. Если зафиксировать
значения всех аргументов кроме одного, например х, то приращение функции при изменении ее аргумента имеет вид:
(10)
x и  f ( x  x , y , )  f ( x , y , ) .
Если значение ∆х мало, то в интервале x  x , x  x функцию
и = f(x) можно считать линейной и:
∆хи ≈(д f/д х) ∆х.
(11)
Величина ∆хи характеризует погрешность ∆и, обусловленную
погрешностью ∆х. Аналогично определяются составляющие погрешности ∆и, вносимые другими аргументами. Полная погрешность ∆и косвенных измерений и вычисляется либо с помощью
квадратичного суммирования, либо суммирования по модулю ее
составляющих, вносимых каждым аргументом:
и  ( x )2  (  y )2  ... .
и  x   y  ... .
(12)
(13)
Соотношения (12) применяются в том случае, когда выполняются два условия. Во-первых, погрешность аргументов обусловлена влиянием многих факторов, среди которых нет преобладающего фактора. Во-вторых, погрешности аргументов статистически не
связаны. В остальных случаях используется соотношение (13).
Однако правило суммирования (13) часто приводит к завышенному значению погрешности косвенных измерений. Более подробные сведения о суммировании погрешностей приведены в [3].
Пример. Пусть значение сопротивления на участке цепи постоянного тока определяется по результатам прямых измерений
тока и напряжения на этом участке. Если погрешности измерения
тока и напряжения обусловлены влиянием многих факторов (температуры, внутренних сопротивлений амперметра и вольтметра,
электрических наводок, нестабильностью источника питания и
др.), то при суммировании погрешностей лучше использовать
формулу (12). Если погрешность прямых измерений обусловлена в
основном случайным изменением внутреннего сопротивления источника питания, то лучше применить формулу (13).
15
Соотношения (9–12) позволяют использовать два алгоритма
обработки косвенных измерений. В одном из них необходимо
найти аналитические выражения для частных производных, в другом – используются только численные методы. В приложении 3 приведены формулы для вычисления погрешности первым способом для
некоторых часто встречающихся на практике функциональных связей.
Часто измеряемая величина р является параметром функциональной зависимости у = f(х,р) величин х и у, которые находят в
результате серии прямых измерений с однократными наблюдениями. В этом случае случайную составляющую погрешности косвенных измерений ∆р определяют с помощью обработки вычисленных значений рm = F(xm,ym) по методике обработки прямых измерений (здесь m = 1…М, где М – число однократных наблюдений
величин х и у).
Таблица 2
1.
2.
Алгоритм обработки косвенных измерений
По известной зависимости измеряемой величины от её
аргументов, значения которых найдены с помощью прямых измерений, вычислить действительное значение
функции
Вычислить составляющие погрешности как приращения
функции по каждому аргументу
или
найти частные производные по всем аргументам и вычислить составляющие погрешности
3.
Вычислить полную погрешность функции
4.
После округлений результат обработки измерений записать в форме:
и = (<и> ± ∆и)/ Y ;
δ = (∆и/<и>)100%;
формула
(9)
формула
(10)
формула
(11)
формула
(12)

Пример. Пусть при прямом измерении периода колебаний с помощью секундомера получено значение Т = 2,0 ± 0,2 с. Тем же секундомером период можно измерить косвенно, зафиксировав время
t = 2,000 ± 0,002 с, за которое совершилось N = 100 колебаний. Тогда период Т = t/N, т. е. Т = 2,000 ± 0,002 с. Говорить о том, что в
данном случае полная погрешность измерения меньше инструментальной погрешности и некорректно, так как речь идет об измерении разных величин, а именно: прямом измерении времени и кос16
венном измерении периода. Последний вид измерений непосредственно не связан с инструментальной погрешностью.
4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ
Незначащими цифрами числа называются нули в начале десятичных дробей, меньших 1, и нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления. Остальные цифры называются
значащими.
Сомнительной цифрой результата измерения называется
цифра, стоящая в разряде, соответствующем старшему разряду со
значащей цифрой в значении погрешности. Цифры, стоящие слева
от сомнительной называются верными, а справа – неверными.
Пример. Числа 586 ± 6; 0,00234 ± 0,00002; 1,00 ± 0,03; 2000 ±
30 содержат по три значащие цифры. При округлении числа
299793 ± 1 до значения 3  105 допущена погрешность 207, поэтому
в полученном числе сотни являются сомнительной цифрой и, следовательно, последние два нуля – незначащие.
Погрешность обычно выражается одной значащей цифрой
и лишь при особо ответственных измерениях – двумя.
4.1. Округление погрешности действительного значения
Погрешность округляется до одной значащей цифры. Эта
цифра является сомнительной т. к. значение погрешности не
имеет верных цифр.
Действительное значение округляется до цифры, разряд которой равен разряду значений цифры погрешности. Последняя
цифра действительного значения – сомнительная, остальные
цифры – верные.
При особо точных измерениях погрешность округляется до
двух значащих цифр, если первая из них меньше 4-х и до одной
цифры, если первая цифра больше 3-х. Иногда в качестве второй
цифры оставляют 0 или 5.
4.2. Запись чисел, считанных со шкалы прибора
В числовом значении измеряемой величины, считанном со
шкалы прибора, записываются только верные цифры и сомнительная цифра, разряд которой определяется по значению инструментальной погрешности прибора.
4.3. Округление чисел
17
Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то оставшиеся цифры
не изменяются. Если указанная цифра больше 5, то последняя
оставшаяся цифра увеличивается на 1. Если заменяемая нулем или
отбрасываемая цифра равна 5, то округление производится следующим образом: последняя цифра в округленном числе остается без изменения, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.
4.4. Округление при вычислениях
При записи результатов промежуточных вычислений сохраняется одна запасная цифра – цифра, стоящая справа от сомнительной. При сложении, вычитании приближенных чисел разряд сомнительной цифры результата совпадает со старшим из разрядов
сомнительных цифр слагаемых. Результат умножения и деления
содержит столько значащих цифр, сколько их в исходном данном с
наименьшим количеством значащих цифр. При возведении в степень (извлечении корня) приближенного числа результат должен
иметь столько цифр, сколько их в основании (подкоренном выражении). При логарифмировании в мантиссе сохраняется столько
значащих цифр, сколько их в исходном числе. Если один из операндов – точное число, то количество его цифр не влияет на
округление результата операции. Если при вычислениях используются табличные данные, то все их цифры верные.
Приведем примеры округления результатов измерения.
Таблица 3
Запись до округления
123357 ± 678 А/м
123357 ± 678 В
237,46 ± 0,13 мм
0,00283 ± 0,00034 кг
1,045 ± 0,0000034 с
359623 ± 307 с
0,000000047 ± 0,0000000098 м
67,8910-7 ± 49,310-8 А
589 ± 0,69 Н
589 ± 0,078 Н
Запись после округления
123400 ± 700 А/м
123,4 ± 0,7 В
237,5 ± 0,1 мм
(2,8 ± 0,3)10-3 кг
1,045000 ± 0,00003 с
(359,6 ± 0,3)103 с
50 ± 10 нм
6,8 ± 0,5 мкА
589,0 ± 0,7 Н
589,00 ± 0,08 Н
18
5. ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
5.1. Примеры обработки прямых измерений
Вольметром измерено 10 отсчетов напряжения U в электрической цепи. Вольтметр, класс точности которого К = 2,5, имеет
максимальное значение шкалы, равное А = 200 В. Результаты измерений представлены в табл. 4.
Таблица 4
№
U, В
•
1
145
2
140
3
145
4
105
5
130
6
150
7
150
8
155
9
175
10
160
Вычисляем инструментальную погрешность:
a 
K  A 2 ,5  200

 5B .
100
100
• Для заданной доверительной вероятности  = 98 % и количество отсчетов N = 10, определяем коэффициент доверия t0,98; 10
= 2,8 (прил. 1).
• Вычисляем среднее значение:
N
U n
U  n1
N
•
; U  146 B .
Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов:
SU 
N
2
(U n U )
n 1
N 1
; SU  18 ,6 B .
• Проверяем отсчеты на наличие промахов.
Аномальным отсчетом является отсчет № 4, вычисляем нормированное отклонение U4 от среднего значения:
z
U4 U
SU

105  146
 2 ,17 .
18,6
Согласно данным прил. 3, количество опытов, при котором
полученный отсчет считать промахом, равно 17. Это число больше, чем N = 10. Следовательно, отсчет U4 = 105 В является промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда.
Новый ряд напряжений (N = 9, t0,98; 9 = 2,9), прил. 1.
Таблица 5
19
№
U, В
•
1
145
2
140
3
145
4
130
5
150
6
150
7
155
8
175
9
160
Вычисляем новое среднее значение:
U  150B .
Вычисляем среднее квадратическое отклонение:
SU = 12,7 В.
Вычисляем случайную составляющую погрешности:
•
•
S
12,7
SU  U 
 4 ,23B ,
N
9
U  t ;N  SU  2 ,9  4 ,23  12,2 B.
•
Вычисляем полную погрешность абсолютную:
2
U  2a  U
 5 2  12,2 2  13B , принимаем ∆U = 10 В,
относительную:
δU 
ΔU 10

 6,6 %.
U
150
•
После округления результат измерения напряжения записываем в виде:
U = 150 ± 10 B;
δ = 7 %;
 = 98 %.
5.2. Примеры объединения результатов прямых измерений
В трех различных условиях измерено сопротивление одного и
того же проводника. Результаты измерений представлены в виде:
R1 = 11 ± 2 Ом; R2 = 12 ± 2 Ом; R3 = 10 ± 3 Ом.
Необходимо объединить эти измерения.
•
Находим статистический вес (вклад) каждого измерения:
w1 
w2 
w3 
•
R
•
1
R12
1
R22
1
R32

1
2

2
1
2

2
1
32
 0 ,25 1 / Ом 2 ,
 0 ,25 1 / Ом 2 ,
 0 ,11 1 / Ом 2 .
Находим новую оценку сопротивления:
R1  w1  R2  w2  R3  w3 11  0 ,25  12  0 ,25  10  0 ,11

 11,2 Ом .
w1  w2  w3
0 ,25  0 ,25  0 ,11
Находим новую оценку погрешности:
20
R 
•
1
1

 1,28 Ом ; принимаем ∆R = 1.
w1  w2  w3
0,25  0,25  0,11
Результат совместной оценки сопротивления:
R = 11 ± 1 Ом.
5.3. Примеры обработки результатов косвенных измерений
Прямыми измерениями найдены значения массы m, радиуса R
и линейной скорости v равномерного вращения по окружности материальной точки. Необходимо оценить значение центробежной
силы F, действующей на материальную точку:
M = 310 ± 6 г;
R = 104 ± 5 мм; v = 30 ± 1 м/с;
F
m  v2
.
R
В расчете принимаем величины, согласно системе единиц физических величин СИ.
Рассмотрим три способа расчета погрешности косвенных измерений.
1. Алгоритм, использующий вычисление производных измеряемой величины по её аргументам.
•
Вычисляем среднее значение силы:
F 
m  v
R
2

0 ,31  30 2
 2683 H  2 ,68 кН .
0 ,104
•
Находим частные производные и вычисляем их значения
при средних значениях аргументов:
v 2 30 2
F


 8 ,65 H / г ,
m
R
104
m  v 2 310  30 2
F


 25,8 H / мм ,
R
1042
R2
F 2  m  v
2  310  30


 179 H  c / м.
v
R
104
•
Вычисляем составляющие погрешности от каждого аргумента:
Fm 
F
 m  8 ,65  6  51,9 H ,
m
21
F
 R  25,8  5  129 H ,
R
F
Fv 
 v  179  1  179 H .
v
FR 
•
Вычисляем полную погрешность абсолютную:
F  Fm2  FR2  Fv2  51,9 2  129 2  179 2  227 H  0 ,2 кН ,
относительную:
F 
F 0,2

7 % .
F
2,7
•
После округления записываем результат косвенных измерений:
F = 2,7 ± 0,2 кН, δF = 7 %.
2. Алгоритм, использующий вычисление приращений измеряемой величины по её аргументам.
•
Вычисляем среднее значение силы:
2
m  v
0,31  30 2
F 

 2683 H  2,68 кH .
R
0,104
•
Вычисляем приращение функции по её аргументам:
Fm  F ( m  m, R ,v )  F ( m, R ,v ) 
( 0 ,31  0 ,006 )  30 2
 51,6 H ,
0 ,104
Fm  F ( m, R  R ,v )  F ( m, R ,v ) 
0 ,31 30 2
 2683  123 H ,
0 ,104  0 ,005
Fm  F (m, R, v  v)  F (m, R, v) 
0,31  ( 30  1 )2
 2683  182 H .
0,104
•
Вычисляем полную погрешность абсолютную:
F  Fm2  FR2  Fv2  51,6 2  1232  1822  226 H  0 ,2 кН ,
относительную:
F 
F 0,2

7 %.
F
2,7
•
После округления записываем результат косвенных измерений:
F = 2,7 ± 0,2 кН, δF = 7 %.
22
3. Алгоритм, использующий сложение абсолютных величин
погрешностей:
•
Вычисляем среднее значение силы:
F 
•
m  v
R
2

0 ,31  30 2
 2683 H  2 ,68 H .
0 ,104
Вычисляем относительную погрешность аргументов:
m
6
m 

 0,019  2 %;
m
310
R 
R
5

 0,048  5 %;
R 104
v 1

 0,033  3 %.
v 30
•
Вычисляем относительную погрешность функции по
формулам прил. 2:
δF = δm + δR + 2  δv = 2 + 5 + 2  3 = 13 %.
•
Вычисляем абсолютную погрешность функции:
F  F  F  2,68  0 ,13  0 ,349 H .
•
После округления записываем результат косвенных измерений:
F = 2,7 ± 0,3 кН, δF =13 %.
В следующем примере сравним трудоемкость вычисления погрешностей косвенных измерений по двум алгоритмам. Рассмотрим случай сложной функциональной зависимости измеряемой
величины от аргументов.
Пусть прямыми измерениями найдены значения элементов
последовательного колебательного контура: активного сопротивления R = 10 ± 1 Ом; индуктивности L = 30,0 ± 1,5 мГ; емкости
С = 100 ± 2 мкФ. В контуре возбуждены вынужденные колебания
на частоте  = 1000 рад/с. Амплитуда источника ЭДС Е = 10 В.
Связь между амплитудой тока и параметрами элементов контура
определяется соотношением:
v 
E
I ( R , L ,C ) 
1 2
R 2    L 

 C 

23
.
Амплитуда ЭДС Е и частота  измерены с большой точностью
и могут рассматриваться как константы.
1. Алгоритм, использующий вычисление приращений измеряемой величины по её аргументам:
•
Вычисляем среднее значение тока:
E
I R , L , C  



1
R 2     L 
 C

10



2
1


10   10 3  30  10 3  3

6

10  100  10 
 0 ,447 A.
2
•
R 
Вычисляем приращение функции:
I R  I R  R, C   I ( R, L, C ) ,
10
1


(10  1)  10 3  30 10 3  3
6 
10 100 10 

 0,447  0,0091мA,
2
I L  I R, L  L, C   I ( R, L, C ) ,
L 
10
1


10  10 3  (30  1,5)  10 3  3

10  100  10 6 

 0,447  0,025 A  25 мА,
2
I C  I  R , L ,C  C   I ( R , L ,C ,
C 
10

1
10   10 3  3  10 3  3
10

(
100
 2 )  10 6

2
•




 0 ,447  0 ,0035 A  3,5 мА.
Вычисляем полную погрешность абсолютную:
24
I  I R2  I L2  I C2  9 ,12  25 2  3,5 2  26 ,8  30 мА ,
относительную:
I 
I
30

 7 %.
I
450
•
После округления записываем результат косвенных измерений:
I = 450 ± 30 мА, δF = 7 %.
2. Алгоритм, использующий вычисление производных измеряемой величины по её аргументам.
•
Вычисляем среднее значение тока.
•
Вычисляем производные функции:
I
E  R
,

R
I

L
I

C
 2 
1 2 
R    L 
 
  C  


1 
 E      L 


C 

3
,
2 3
 2 
1 
R    L 
 
  C  


1 
 E     L 


C 


  C 2   R 2     L 


.
2 3
1 
 
  C  
•
Вычисляем значения производных от средних значений
аргументов:
I

R
I

L
10  10
 8 ,9  10 3 A / Ом ,
2 3
 2  3
1

10   10  30  10 3  3
 
4

 
10

10

1


 10   10 3  30  10 3  3


10  10 4 
2 3
 2  3
1

10   10  30  10 3  3
 

10  10 4  

25
 17 ,9 A / Г ,
I

C
•
1


 10   10 3  30  10 3  3

4

10  10 
 1790 A / Ф.
2 3

1


10 3  10 8 10 2   10 3  30  10 3  3
 

10  10 4  

Вычисляем составляющие погрешности функции:
I
 R  8 ,94  10 3  1  8 ,94  10 3 A  8 ,9 мА ,
R
I
I L 
 L  17 ,9  1,5  10 3  26 ,8  10 3 A  8 ,9 мА ,
L
I
I C 
 C  1790  2  10 6  3,58  10 3 A  3,6 мА .
C
I R 
•
Вычисляем полную погрешность абсолютную:
I  I R2  I L2  I C2  8 ,9 2  27 2  3,6 2  29  30 мА ,
относительную:
I 
I
30

 7 %. .
I
450
•
После округления записываем результат косвенных измерений:
I = 450 ± 30 мА, δF = 7 %.
В этом примере рассмотрим влияние статистической связи погрешностей аргументов на результат косвенных измерений их
функции.
Источник ЭДС постоянного тока с некоторым внутренним сопротивлением нагружен на согласованную по мощности активную
нагрузку (нагрузка называется согласованной, если в ней выделяется максимальная мощность, в этом случае сопротивление
нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС).
Прямыми измерениями найдены N = 10 значений тока I и
напряжения U на нагрузке. Инструментальная погрешность измерения тока ∆Ia = 0,005 A, напряжения – ∆Ua = 0,05 В. Надежность
оценок тока и напряжения должна составлять 95 %. Необходимо с
помощью косвенных измерений определить мощность Р, потребляемую от источника. По закону Джоуля-Ленца Р = I  U.
Известно, что основной причиной разброса измеренных значений тока и напряжения является нестабильность источника,
26
приводящая к случайным изменениям его ЭДС и внутреннего сопротивления. Следовательно, изменения тока и напряжения на
нагрузке будут статистически связанными (коррелированными),
так как порождаются одной и той же причиной. В этом случае
суммирование погрешностей тока и напряжения необходимо производить не квадратически, по абсолютной величине.
Рассмотрим порядок вычислений мощности.
Таблица 6
№
1
I, A 0,265
U, B 6,55
•
2
0,255
3,40
3
0,225
5,60
4
0,245
6,20
5
0,235
5,95
6
0,210
5,20
7
0,260
6,55
8
0,240
6,00
9
10
0,210 0,215
5,30 5,40
Вычисляем среднее значение тока и напряжения:
N
 In
I  n1 ,
N
I  0 ,236 A,
N
U n
U  n1 ,
U  5 ,92 B.
N
•
Вычисляем среднее квадратическое отклонение тока и
напряжения:
SI 
SU 
•
N
2
( In  I )
n 1
N 1
S I  0 ,021 B ,
,
N
2
(U n U )
n 1
SU  0 ,51 B.
,
N 1
Вычисляем коэффициент корреляции тока и напряжения:
N
( I n  I )(U n U )
rIU  n 1
( N  1 )  S I  SU
,
rIU  0 ,995.
Согласно данным прил. 4 при N = 10 вероятность того, что ток
и напряжение на нагрузке некоррелированы, равна нулю. Следовательно, экспериментальные данные указывают на связь между
погрешностью тока и напряжения.
27
•
Вычисляем случайную составляющую погрешности тока и
напряжения:
SI 
SI
N

0 ,021
 0 ,0066 A,
SU 
SU

0 ,51
 0 ,16 B ,
10
N
10
I  t95;10  S I  2 ,3  0 ,066  0 ,015 A,
U  t 95;10  SU  2 ,3  0 ,16  0 ,37 B.
•
Вычисляем полную погрешность абсолютную:
∆I = ∆I = 0,015 A,
∆U = ∆U = 0,37 B,
относительную:
I 0,015
I 

 6 %,
I
0,24
U 0,37
U 

 6 %.
U
5,9
•
После округления получаем результаты измерения тока и
напряжения:
I = 240 ± 20 мА, δ = 6 %,  = 95 %,
U = 5.9 ±0.4 B, δ = 6 %,  = 95 %.
•
Вычисляем среднее значение мощности:
P  I  U  0 ,24  5 ,9  1,4 Bт.
•
Вычисляем относительную погрешность измерения мощности:
P  P  P  1,4  0 ,12  0 ,17 Bт.
•
Результат косвенных измерений мощности:
Р = 1,4 ± 0,2 Вт, δР = 12 %.
При квадратическом суммировании погрешностей корреляция
между отсчетами прямых измерений не учитывается. Это может
привести к занижению погрешности косвенных измерений, что
равноценно уменьшению надежности косвенных измерений. Иногда уменьшение погрешности может достигнуть такой величины,
при которой доверительный интервал не будет покрывать истинное значение. В данном случае при квадратическом суммировании
погрешностей измерения тока и напряжения получаем:
P 
U  I 2  I  U 2
 ( 5,9  0 ,015 )2  ( 0 ,24  0 ,4 )2  0 ,13 Вт.
Р = 1,4 ± 0,18 Вт,
28
δР = 7 %.
Таблица 7
№
1
I, A 0,290
U, B 5,55
2
0,285
5,30
3
0,285
5,55
4
0,275
5,05
5
0,190
4,30
6
0,245
6,05
7
0,220
5,90
8
0,275
6,55
9
0,230
8,20
10
0,210
6,80
В рассмотренной задаче истинное значение мощности:
Р = 1,44 Вт.
Для сравнения рассмотрим ту же измерительную задачу, но в
условиях, при которых разброс отсчетов тока и напряжения обусловлен большим числом недоминирующих факторов. В этом случае погрешности отсчетов тока и напряжения статистически не
связаны.
•
Для заданной доверительной вероятности  = 95 % и количества отсчетов N = 10 определяем коэффициент доверия t95;10 =
2,3. вычисляем среднее квадратическое отклонение тока и напряжения:
I  0 ,251 A,
U  5 ,92 B.
•
Вычисляем среднее квадратическое отклонение тока и
напряжения:
SI = 0,036 A, SU = 1,08 B.
•
Вычисляем коэффициент корреляции тока и напряжения:
rIU = 0,111.
Согласно прил. 4 при данном числе измерений вероятность того, что погрешности тока и напряжения на нагрузке не связаны
между собой, равна 78 %. Следовательно, экспериментальные
данные свидетельствуют об отсутствии связи между погрешностями тока и напряжения.
•
Проверяем отсчеты на наличие промахов.
Аномальным отсчетом является отсчет напряжения № 9. вычисляем нормированное отклонение U9 от среднего значения z = 2,114.
Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать промахом, равно 149 (прил. 4). Это число больше, чем N = 10.
Следовательно, отсчет U9 = 8,2 В является промахом и его нужно
удалить из обрабатываемого ряда. Новый ряд имеет N = 9 отсчетов
и t95;9 = 2,3.
•
Вычисляем новое среднее значение и среднее квадратическое отклонение:
U  5 ,67 B ,
•
SU  0 ,76 B.
Вычисляем случайную составляющую погрешности:
29
S I  0,012 A;  I  0,028 A;
SU  0,76 B; U  0,18 B.
•
Вычисляем полную абсолютную и относительную погрешность:
∆I = 0,03 A;
∆U = 0,4 B;
äU = 12 %;
δU = 7 %.
•
Результат прямых измерений тока и напряжения:
I = 0,25 ± 0,03 A; δ = 12 %;  = 95 %;
U = 5,7 ± 0,4 B; δ = 7 %;
 = 95 %.
•
Вычисляем среднее значение мощности:
P  1,43 Bт.
•
Вычисляем относительную погрешность измерения мощности при квадратичном суммировании погрешности измерения
тока и напряжения:
P 
U
 I    I  U   (5,7  0,03) 2  (0,25  0,04) 2  0,2 Вт;
2
2
Р  1,4  0,2 Вт; Р  14%.
При отсутствии корреляции между аргументами суммирование их погрешностей по абсолютной величине приведет к завышению погрешности косвенных измерений функции и к расширению
доверительного интервала, т. е. к повышению надежности измерений. Такая завышенная оценка погрешности допустима. В данном
случае:
δР = δI + δU = 12 + 7 = 19 %;
P  P  P  1,4  0,19  0,3 Вт;
Р = 1,4 ± 0,3 Вт;
30
δР = 21 %.
6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИИ НАБЛЮДЕНИЙ
6.1. Определение основных понятий
Допустим, что проведено N наблюдений некоторой физической величины. Из-за случайных погрешностей отдельные отсчеты
х1, х2, …хN неодинаковы. Будем считать, что интересующее нас событие произошло, если отсчет ξ попал в заданный интервал [a, b].
Вероятность Р события попадания случайной величины в
некоторый интервал [a, b] называется предел, к которому стремится отношение числа m наступления этого события к числу N всех
наблюдений, если число наблюдений стремится к бесконечности:
p( a    b )  lim
N 
m
.
N
В теории вероятности математическая характеристика случайных величин основывается на понятии распределения вероятности F(x), которое является функцией числового аргумента х и
определяет вероятность того, что значение ξ некоторой случайной
величины лежит в интервале [-∞, x]:
F(x) = P(-∞ ≤ ξ < x);
F(-∞) = 0; F(∞) = 1; F(a) ≤ F(b; a ≤ b.
Распределение вероятностей позволяет найти вероятность того, что ξ  [а, b):
P(a ≤ ξ < b) = F(b) – F(a).
В частности, вероятность того, что значение ξ непрерывной
случайной величины принадлежит бесконечно малому интервалу
[x, х + dx) можно выразить как:
P(a ≤ ξ < х +dx) = f(x)dx.
Функция f ( x ) 
dF ( x )
– называется плотностью вероятности.
dx
Основное свойство плотности вероятности состоит в том, что:

 f ( x )dx  1.

31
Серию из N отсчетов измерений величины можно наглядно
представить, построив гистограмму – диаграмму, которая показывает, как часто встречаются те или иные отсчеты. Гистограмму
строят следующим образом. Весь диапазон наблюдаемых значений
разбивают на K равных интервалов (интервалов классификации)
длиной ∆х и подсчитывают, сколько отсчетов попало в каждый
интервал. По оси абсцисс откладывают границы интервалов, а по
оси ординат – относительную частоту попадания отсчетов в интервал, деленную на его длину, т. е. величину H k 
mk
, где mk –
N x
число отсчетов попавших в k–интервал. На интервалах, как на основаниях строят прямоугольники высотой Hk (рис. 8). При N  ∞
площадь каждого прямоугольника будет стремиться к вероятности
попадания отсчета в соответствующий интервал классификации.
Если одновременно устремить длину интервала к нулю (∆х  0),
но так, что в любой бесконечно малый интервал попадает бесконечно много отсчетов, то гистограмма превратится в график плотности вероятности.
Плотность вероятности характеризуется набором параметров –
моментов распределения, два из которых в теории погрешностей
имеют главное значение.
Математическое ожидание  – это число, в окрестности которого концентрируются значения случайной величины:

   xf ( x )dx.

Рис. 8. Гистограмма
Дисперсия  – это число, которое характеризует степень рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического
ожидания:
2
32

 2   ( x   )2  f ( x )dx.

Величина  называется средним (стандартным) квадратическим отклонением.
6.2. Нормальное распределение
В основе теории погрешностей лежат три предположения,
подтвержденные опытом:
1. Отклонения наблюдаемых значений от истинного значения
принимают непрерывный ряд.
2. Погрешности, имеющие одинаковые абсолютные значения,
но разные знаки, встречаются одинаково часто.
3. Чем больше значение погрешности, тем реже оно встречается.
Из этих предположений следует, что распределение вероятности отсчетов измеряемой величины подчиняется, так называемому,
нормальному распределению (закону распределения Гаусса), плотность вероятности которого:
( x   )2
f(x)
1
2
2
e 2 ;
 = cons;,
 = const.
Можно показать, что  – это математическое ожидание, а 2 –
дисперсия. Вид плотности распределения для различных значений
дисперсии показан на рис. 9.
Рис. 9. Плотность вероятности нормального распределения
Приведем без доказательства важные свойства нормального
распределения.
33
Если ξ имеет нормальное распределение f(x, ) (математическое ожидание  и дисперсию 2), то  = аξ + b, (a и b детерминированные величины) имеет нормальное распределение (рис. 10):
f(xа + b, a).
Если ξ1 и ξ2 нормально распределены с плотностями вероятности:
f(x, 1); f(x2,2),
то  = ξ1 + ξ2 имеет нормальное распределение с плотностью (рис. 11):


f ( x 1   2 ,  12   22 .
Рис. 10. Изменение плотности вероятности при линейном преобразовании
нормально распределенной случайной величины
Рис. 11. Изменение плотности вероятности при сложении нормально
распределенных случайных величин
Связь плотности распределения и распределения вероятности показана на рис. 12., а его вид – на рис. 13.
34
Рис. 12. Связь распределения с его плотностью
Рис. 13. Нормальное распределение
7. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ АБСОЛЮТНОЙ, ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
И ПРИВЕДЕННОЙ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ
Результат практически каждого измерения отягощен погрешностью, вследствие погрешностей присущих средствам измерений,
выбранному методу измерения, отличий внешних условий, в которых выполняется измерение, а также других неизвестных причин.
Эта погрешность вычисляется или оценивается и приписывается
полученному результату измерения.
Погрешность результата измерений – есть отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины:
(14)
 ист   изм   ист ,
где  ист – погрешность измерения истинного значения физической величины;  и з м – измеренное значение физической величины;  ист – истинное значение физической величины.
Истинное значение величины применяют только при решении
теоретических задач метрологии.
На практике же пользуются действительным значением величины, которое заменяет истинное значение.
Поэтому погрешность измерения действительного значения
физической величины в этом случае  д  находят по формуле:
35
(15)
 д   изм   д ,
где  д – погрешность измерения действительного значения
физической величины;
 д – значение физической величины, принятое за действительное.
По форме представления погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.
Абсолютная погрешность измерения – Δ представляет собой
разность между измеряемым и истинным (действительным) значениями измеряемой физической величины:
(16)
   изм   ист д  .
Примечание: если абсолютная погрешность определяется для
истинного значения физической величины, то она обозначается
как  ист , если же для действительного значения, то как  д .
(См. формулы 14 и 15).
Абсолютная погрешность для меры и измерительного прибора
имеет разный смысл. Абсолютная погрешность меры – это разность между номинальным значением меры и истинным (действительным) значением воспроизводимой ею физической величины.
Абсолютная погрешность измерительного прибора представляется
разностью между показанием прибора и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. Показание
прибора – это значение измеряемой физической величины, определяемое по отсчетному устройству.
Относительная погрешность измерения –  представляет собой отношение абсолютной погрешности к истинному или действительному значению измеряемой физической величины:

(17)

100 % ,
 ист

(18)

100 % .
( д )
Обычно относительная погрешность выражается в процентах.
Примечание: допускается в формуле (18) использовать вместо
Хд, показание измерительного прибора.
Приведенная погрешность измерения –  представляет собой
отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению Хн:
36


100 % .
н
(19)
Нормирующее значение в зависимости от типа измерительного прибора принимается равным диапазону измерений измерительного прибора для двусторонней шкалы и верхнему пределу
измерений в случае, если нижний предел – есть нулевое значение
односторонней шкалы прибора.
Например, если шкала имеет нижний предел измерения – 20 С,
а верхний предел измерений + 20 С, то нормирующее значение
будет равным 40 С. Если же мы измеряем массу на весах торговых с верхним пределом измерений + 10 кг, то нормирующее значение будет равным 10 кг.
Однократные измерения физических величин допустимы
только в порядке исключения, так как они по существу не позволяют судить о достоверности измерительной информации. На
практике часто приходится иметь дело со случайными погрешностями, поэтому применяются многократные измерения с целью
обеспечить более высокую точность оценки погрешности измерений. Обычно количество измерений берут в пределах от 25–30
до 100–200, результаты этих измерений образуют генеральную совокупность. Из генеральной совокупности случайным образом отбирают результаты измерений признака конкретного объекта, такую совокупность называют выборочной совокупностью или выборкой. Вычисление и оценивание погрешности измерений проводят на основе данных выборочных совокупностей.
По результатам измерений физической величины чаще всего
рассчитывают среднее арифметическое значение физической величины (которое является оценкой математического ожидания величины) и статистическое среднее квадратическое отклонение
физической величины Sx (которое является оценкой теоретического
среднего квадратического отклонения x).
Среднее арифметическое значение физической величины рассчитывают по формуле:
n
i
  i 1
n
37
,
(20)
где:  – среднее арифметическое значение физической велиn
чины; Xi – результат i-го измерения физической величины;   i –
i 1
сумма значений измеряемой физической величины.
Теоретическое среднее квадратическое отклонение определяем по формуле:
x 


n
2
  i   ист( д )
i 1
.
n
(21)
Статистическое (найденное на основе полученных измерений)
среднее квадратическое отклонение (то есть оценку теоретического среднего квадратического отклонения) определим по формуле:
Sx 


n
2
  i   ист( д )
i 1
n 1
,
(22)
где: Sx – статистическое среднее квадратическое отклонение
значения физической величины;
n

  i   истд 
i 1

2
– сумма квадратов отклонений от истин-
ного или действительного значения физической величины.
Кроме вычисления среднего арифметического значения физической величины и статистического среднего квадратического
отклонения физической величины Sx , следует определить также
точность и надежность оценок погрешности измерений. Мы должны знать, насколько точно выполнены измерения и надежны ли
оценки этих измерений, так как при выборках малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, а, следовательно, и приводить к грубым ошибкам.
Выполним оценку погрешности измерений.
Для этого по табл. 8 выбираем значение доверительной вероятности (которая характеризует надежность) оценки измерений ,
соответствующее ей значение квантиля закона распределения случайной величины t.
Затем определим величину абсолютной погрешности измерения (определяющей половину длины доверительного интервала)
по следующей формуле:
38
  t

n
,
(23)
где:  – величина погрешности измерения физической величины;  – теоретическое среднее квадратическое отклонение; t –
квантиль закона распределения.
И, наконец, выполним оценку доверительного интервала, который с данной доверительной вероятностью накрывает неизвестное истинное значение измеряемой величины:


  t
  ист    t
,
(24)
n
n
где:  – среднее арифметическое значение физической величины; t – квантиль закона распределения; n – количество измерений физической величины.
При определении условий существования полученного доверительного интервала мы предположили, что дисперсия нормального закона распределения, а, следовательно, и среднее квадратическое отклонение  известны. На практике мы можем воспользоваться лишь статистически найденным значением оценки среднего
квадратического отклонения, то есть значением Sx и неравенство
(21) приобретет вид:
  t
Sx
n
  ист    t
Sx
n
.
(25)
Таблица 8
Таблица доверительных вероятностей
Доверительная вероятность
(надежность) 
Значение квантиля закона
распределения t
0,80
0,90
0,95
0,99
0,999
1.282
1.645
1.960
2.576
3.290
Примечание: обычно надежность оценки задается предварительно, причем в качестве  берут число, близкое к единице.
Для достижения наглядности результатов измерений строят
различные графики статистического распределения, из которых
чаще всего используют гистограмму и полигон частот.
Полигон и гистограмма являются графическими изображениями статистического ряда. Графическими представителями теоретических законов распределения являются многоугольник распределения, кривая распределения, графики функции распределения.
39
Полигон частот служит чаще всего для изображения дискретного статистического ряда, в то время как гистограмма строится
только для интервальных рядов. Случайные же величины, для которых получены те или иные статистические ряды, могут быть при
этом как дискретными, так и непрерывными.
Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки,
изображающие интервалы вариационного ряда, а высота прямоугольника равна количеству измерений данной величины в этом
интервале.
Для построения гистограммы следует:
1. Определить размах точечных значений результата измерений:
R = Xmax - Xmin,
(26)
где: R – размах точечных значений результата измерений;
Xmax – наибольшее значение измеренной физической величины;
Xmin – наименьшее значение измеренной физической величины.
2. Определить число интервалов:
К = 5 lg n,
(27)
где: К – число интервалов; n – количество измерений физической величины.
3. Определяем ширину интервалов:
d
R
.
K
(28)
4. Для расчета границ интервалов гистограммы применяем
формулу:
L = Xmin + d  m,
(29)
где: Xmin – наименьшее значение измеренной физической величины; d – ширина интервала; m – номер интервала.
40
8. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ № 1
Измерение напряжения выполнено с помощью вольтметра,
прошедшего калибровку.
Температура в помещении 20  С, влажность воздуха 65 %.
Абсолютную погрешность вольтметра определим по формуле:
   изм   ист д  = 120В  120,6 В  0 ,6 В .
Относительную погрешность определим по формуле:
 0,6 В

100 %  0,5 % .

100 % =
120 В
( д )
Приведенную погрешность определим по формуле:
 0,6 В

100 %  0,4 % .

100 % =
150 В
н
Выводы: Вольтметр позволяет выполнить измерения с погрешностью измерения: абсолютной 0,6 В; относительной 0,5 %,
приведенной 0,4 %. Если для конкретной измерительной задачи
такая погрешность является допустимой, то средство измерения, в
данном случае вольтметр, может применяться для выполнения измерений.
Уточнение результатов измерений можно выполнить применением поправки, которая равна абсолютной погрешности измерения и противоположна по знаку. В данном случае поправка могла
41
бы быть равной + 0,6 В в диапазоне измерений 0–20 В. Однако,
устанавливать поправку на основании однократного измерения не
предоставляется возможным, для этого необходимо выполнить ряд
измерений. Поэтому в данном случае поправку ввести нельзя.
9. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ № 2
Выполнено 150 измерений диаметра аттестованного образца
микрометром нулевого класса, это количество измерений образует
генеральную совокупность. Случайным образом было отобрано 50
результатов измерений из генеральной совокупности, таким образом получили выборочную совокупность, которую обычно называют выборкой.
Результаты измерений, образующих выборочную совокупность, сведены в табл. 9.
Таблица 9
1
7,971
7,974
7,973
7,965
7,966
7,973
7,968
7,967
7,977
7,964
Результаты измерений, мм
2
3
4
7,965
7,969
7,967
7,969
7,971
7,975
7,973
7,968
7,972
7,970
7,963
7,964
7,971
7,967
7,978
7,973
7,966
7,971
7,977
7,970
7,974
7,974
7,968
7,970
7,975
7,971
7,971
7,971
7,972
7,968
5
7,976
7,969
7,974
7,969
7,972
7,975
7,971
7,972
7,973
7,973
Для построения гистограммы выполним следующее:
42
1. Определим размах точечных значений результата измерений по формуле:
R = Xmax - Xmin,
где: R – размах точечных значений результата измерений, мм;
Xmax – наибольшее значение измеренной физической величины, мм;
Xmin – наименьшее значение измеренной физической величины, мм.
R = 7,978мм – 7,963мм = 0,015мм.
2. Затем определим число интервалов по формуле:
К = 5 lg n,
где: К – число интервалов; n – количество измерений физической величины.
К = 5 lg 50 = 8,49485.
Принимаем количество интервалов равным 8.
3. Определим ширину интервалов:
d
R
,
K
d
0 ,015мм
 0,001648. мм.
8 ,49485
Так как результаты измерений записаны с точностью до 0,001 мм,
то ширину интервала принимаем равной 0,002 мм.
4. Для расчета границ интервалов гистограммы применим
формулу:
L = Xmin + d  m,
где: Xmin – наименьшее значение измеренной физической величины; d – ширина интервала; m – номер интервала.
L1 = 7,963 мм – 7,965 мм; (Xmin + d  m = 7,963 + 0,002  1 = 7,965);
L2 = 7,965 мм – 7,967 мм; (Xmin + d  m = 7,963 + 0,002  2 = 7,967);
L3 = 7,967 мм – 7,969 мм; (Xmin + d  m = 7,963 + 0,002  3 = 7,969);
L4 = 7,969 мм – 7,971 мм; (Xmin + d  m = 7,963 + 0,002  4 = 7,971);
L5 = 7,971 мм – 7,973 мм; (Xmin + d  m = 7,963 + 0,002  5 = 7,973);
L6 = 7,973 мм – 7,975 мм; (Xmin + d  m = 7,963 + 0,002  6 = 7,975);
L7 = 7,975 мм – 7,977 мм; (Xmin + d  m = 7,963 + 0,002  7 = 7,977);
L8 = 7,977 мм – 7,979 мм; (Xmin + d  m = 7,963 + 0,002  8 = 7,979).
Однако, максимальный результат измерения равен 7,978 мм,
следовательно и ширина 8-го интервала будет равной 7,977 мм 7,978 мм. Это произошло из-за того, что ширину интервалов мы
округлили до 0,002 мм.
43
5. Определим среднее арифметическое значение физической
величины, являющееся оценкой математического ожидания, по
формуле:
n
i
  i 1
n
,
где: Χ – среднее арифметическое значение физической велиn
чины; Xi – результат i- го измерения физической величины;   i –
i 1
сумма значений измеряемой физической величины:
X 
398,541
 7 ,97082 мм.
50
6. Определим статистическое среднее квадратическое отклонение (найденное на основе полученных измерений) по формуле:
Sx 


n
2
 Χi  Χ Д
i 1
n 1
n

.
 Χi  Χ Д
Предварительно определим
i 1

2
сумму квадратов
отклонений от действительного значения физической величины и
расчетные данные сведем в табл. 10:
n

 i   Д
i 1
2

 0 ,000803373.
Таблица 10
0,0000000324
0,0000101124
0,0000047524
0,0000338724
0,0000232324
0,0000047524
0,0000079524
0,0000145924
0,0000381924
0,0000465224
0,0000338724
0,0000033124
0,0000047524
0,0000006724
0,0000000324
0,0000047524
0,0000381924
0,0000101124
0,0000174224
0,0000000324
0,0000033124
0,0000000324
0,0000079524
0,0000033124
0,0000145924
0,0000232324
0,0000006724
0,0000079524
0,0000000324
0,0000013924
0,0000145924
0,0000174224
0,0000013924
0,0000465224
0,0000515524
0,0000000324
0,0000101124
0,0000006724
0,0000000324
0,0000079524
Определяем среднее квадратическое отклонение:
x 
0 ,000803373
 0 ,004008423.
50
44
0,0000268324
0,0000033124
0,0000101124
0,0000033124
0,0000013924
0,0000174224
0,0000000324
0,0000013924
0,0000047524
0,0000047524
Определяем статистическое среднее квадратическое отклонение физической величины:
Sx 
0 ,000803373
 0 ,004037325.
49
7. Теперь выполним оценку погрешности измерений.
Для этого выбираем по таблице доверительных вероятностей
 = 0,95 и соответствующее ей значение квантиля закона распределения случайной величины t = 1,960.
Затем определим величину абсолютной погрешности измерения по следующей формуле:
ε  tα 
σx
n
,
где:  – величина погрешности измерения физической величины; х – теоретическое среднее квадратическое отклонение;
t – квантиль закона распределения.
  1,960 
0 ,004008423
50
 0 ,00111 .
Величина погрешности равна  0,00111.
И, наконец, выполним оценку доверительного интервала, в котором с данной доверительной вероятностью неизвестное истинное значение измеряемой величины совместимо с величиной Χ ;
за действительное значение физической величины принимаем
среднее арифметическое значение выборки Χ д :
7 ,97082  0,00111    7 ,97082  0,001117,96971  7 ,97082  7 ,97193,
где: Χ – среднее арифметическое значение физической величины; t – квантиль закона распределения; n – количество измерений физической величины.
При определении условий существования полученного доверительного интервала мы предположили, что дисперсия нормального закона распределения, а, следовательно, и среднее квадратическое отклонение х известны. На практике мы можем воспользоваться лишь статистически найденным значением оценки среднего
квадратического отклонения, то есть значением Sx:
Χ  tα
Sx
n
 Χ  Χ  tα
45
Sx
n
;
7,97082  1,9060
 1,9060
0,004037325
 7,97082  7,97082 
50
0,004037325
50
7,96970  7,97082  7,97194.
Гистограмма
14
12
12
10
10
8
7
8
6
4
4
4
3
2
2
97
8
97
7
Рис. 14
7,
97
5
7,
7,
97
3
97
1
7,
96
9
7,
96
7
7,
96
5
7,
7,
7,
96
3
0
L (ширина интервалов)
Полигон частот
14
12
10
8
6
4
2
12
10
7
8
4
4
2
3
97
8
Рис. 15
7,
97
7
7,
97
5
7,
97
3
7,
97
1
7,
96
9
7,
96
7
7,
96
5
7,
96
3
0
7,
кол-во знач.
величины
к-во измеряемой
знач измер величины
знач измер величины
величины
кол-во знач.к-во
измеряемой
8. Построим гистограмму и полигон частот (допускается с помощью программы «Excel» рис. 14, 15).
L (ширина интервалов)
9. Нанести на гистограмму и полигон частот данные (истинное
значение физической величины, действительное значение физической величины, среднее арифметическое и границы доверительного интервала), затем сформулировать выводы. В пределах границ
каждого интервала подсчитать количество измерений попадающих
в каждый интервал и значения проставить на гистограмме и полигоне частот.
46
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблица П.1
Коэффициент доверия (Стьюдента)
Число измерений N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
> 20
0,5
1
0,82
0,77
0,74
0,73
0,72
0,71
0,71
0,70
0,69
0,67
0,9
6,3
2,9
2,4
2,1
2,0
1,9
1,9
1,9
1,8
1,7
1,6
Надежность
0,95 0,98
12,7 31,8
4,3
7,0
3,2
4,5
2,8
3,7
2,6
3,4
2,4
3,1
2,4
3,0
2,3
2,9
2,3
2,8
2,1
2,5
2,0
2,5
Приложение 2
47
0,99
63,7
9,9
5,8
4,6
4,0
3,7
3,5
3,4
3,2
2,8
2,8
0,999
636,6
31,6
12,9
8,6
6,9
6,0
5,4
5,0
4,8
3,8
3,3
Таблица П.2
Формулы погрешностей косвенных измерений
Функциональная
связь
и=х+у
и=х-у
и=ху
и=х/у
и = хn
n
и x
ех
и=
и = ln(х)
и = sin(х)
и = cos(x)
и = tg(х)
и = ctg(х)
Абсолютная
погрешность
∆и = ∆х + ∆у
∆и = ∆х + ∆у
∆и = у∆х + х∆у
∆и = и  δ  и
∆и = и  δ  и
Относительная
погрешность
δи = (∆х + ∆у) / (х + у)
δи = (∆х + ∆у) / (х - у)
δи = х + δу
δи = х + δу
δи = nδх
∆и = и  δ  и
δи = δх / n
∆и = и∆х
∆и = δ  х
∆и = cos(x)  ∆х
∆и = sin(x)  ∆х
∆и = ∆х / cos2(x)
∆и = ∆х / sin2(x)
Δи = ∆х
δи = δх / и
δи = ctg(х)  ∆х
δи = tg(х)  ∆х
Δи = 2∆х / sin(2x)
Δи = 2∆х / sin(2x)
Приложение 3
Таблица П.3
Отбор промахов по критерию Шовене
Z
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
M
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
Z
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
1,64
1,66
1,68
1,70
1,72
1,74
M
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
Z
1,80
1,82
1,84
1,86
1,88
1,90
1,92
1,94
1,96
1,98
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
M
7
7
8
8
8
9
9
10
10
10
11
12
12
13
13
14
15
16
48
Z
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
М
18
19
20
21
22
23
25
26
27
29
30
32
34
36
38
40
43
45
Z
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
М
54
57
60
64
68
72
77
81
87
92
98
104
111
118
126
134
143
152
1,36
1,38
Z
3
3
1,76
1,78
6
7
2,16
2,18
16
17
2,56
2,58
48
51
2,96
2,98
163
173
xx
– относительное отклонение случайной величины х
Sx
от её среднего значения в единицах среднеквадратического отклонения;
М – число ожидаемых измерений, начиная с которого отклонение Z не может считаться промахом.
Приложение 4
Вероятность того, что результаты N измерений двух некоррелированных случайных величин дадут коэффициент корреляции
больше граничного (r > r0).
Таблица П 4
Число измерений
N
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Граничное значение r0 коэффициента корреляции r
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,99
94 80 81 74 67 59 51 41 29
9
90 75 70 60 50 40 30 20 10
1
87 70 62 50 39 28 19 10
4
0
85 67 56 43 31 21 12
6
1
0
83 63 51 37 25 15
8
3
1
0
81 61 47 33 21 12
5
2
0
0
80 58 43 29 17
9
4
1
0
0
78 56 40 25 14
7
2
1
0
0
77 53 37 22 12
5
2
0
0
0
76 53 34 20 10
4
1
0
0
0
75 51 32 18
8
3
1
0
0
0
73 49 30 16
7
2
1
0
0
0
72 47 28 14
6
2
0
0
0
0
71 46 26 12
5
1
0
0
0
0
49
17
18
19
20
25
30
35
40
50
70
69
68
67
63
60
57
54
49
44
43
41
40
34
29
25
22
16
24
23
21
20
15
11
8
6
3
11
10
9
8
5
3
2
1
0
4
3
3
2
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Приложение 5
Нониусы
Рис. 16. Нониус
Нониусом называется специальная шкала, дополняющая масштаб обычной шкалы и позволяющая повысить точность измерений
в 10–20 раз.
50
Нониусы бывают линейные (например штангенциркуль) и
круговые (например на транспортире при измерении минут, микрометры). Линейный нониус имеет десять равных делений на
длине 9 мм, т. е. каждое деление нониуса меньше деления штанги
на 0,1 мм. При соприкасающихся губках штангенциркуля нулевые
деления штанги и нониуса совпадают. Нониус – небольшая линейка, скользящая вдоль основной шкалы. Интервал b одного деления
нониуса меньше k интервалов деления а основной шкалы на величину δ = k  a – b. Если принять δ = а/N, где N – целое, то длина N
делений нониуса равна длине N  k – 1 делений основной шкалы,
т. е. N  b = (N  k – 1) а. Пусть длина D измеряемого предмета такая, что m  а < D < (m + 1) а (см. рис. 16). Если n-е деление нониуса совпадает с некоторым делением основной шкалы, то длина
предмета D  m  a  n     m 

n
  a . Следовательно, минимальное
N
отличие длины предмета от целого числа делений основной шкалы, которое можно измерить по нониусу, равно δ и указывается
как цена деления на измерительном приборе.
Задания на расчетно-графическую работу № 1
Задание № 1
Выполнить однократные измерения электрических величин в
соответствии с индивидуальным заданием и настоящими методическими указаниями и определить абсолютную, относительную
и приведенную погрешности измерений, а также поправку. Иллюстрировать полученные результаты. Сформулировать выводы.
Вариант 1.1–1.5. Амперметр с верхним пределом измерений
___А показал ток ___ А при его действительном значении, равном
___ А.
Таблица З.1
Данные к заданию вариантов 1.1–1.5.
Исходные данные
Верхний предел измерения
Показания
Действительные значения
Вариант
1.1
Вариант
1.2
Вариант
1.3
Вариант
1.4
Вариант
1.5
10,00
20,00
12,00
6,00
15,00
5,30
5,23
15,80
15,70
8,50
8,45
5,57
5,55
10,30
10,15
51
Вариант 1.6–1.10. Показание амперметра ___ А, его верхний
предел измерений равен ___ А, а показания образцового прибора,
включенного последовательно в цепь, равно ___ А.
Таблица З.2
Данные к заданию вариантов 1.6– 1.10.
Вариант
1.6
Верхний предел измерения 50,00
Показания
20,00
Показания образцового
20,50
прибора
Исходные данные
Вариант
1.7
50,00
25,20
Вариант Вариант
1.8
1.9
50,00
50,00
20,70
45,00
25,70
20,55
40,25
Вариант
1.10
50,00
15,00
15,05
Вариант 1.11–1.15. При поверке амперметра с пределом измерения А в точке шкалы __А показание образцового прибора равно
___ А.
Таблица З.3
Данные к заданию вариантов 1.11–1.15.
Исходные данные
Предел измерения
Показания образцового
прибора
Значение в точке шкалы
Вариант Вариант
1.11
1.12
5,00
5,00
0,95
2,06
1,00
2,00
Вариант
1.13
5,00
3,05
3,00
Вариант Вариант
1.14
1.15
5,00
5,00
4,07
4,95
4,00
5,00
Вариант 1.16–1.20. Вольтметр с пределом измерений __ В показал значение в точке ___ В равное ___ В.
Таблица З.4
Данные к заданию вариантов 1.16 –1.20.
Исходные данные
Предел измерения
Показания
Значение в точке шкалы
Вариант
1.16
300,00
245,75
245,00
Вариант
1.17
300,00
280,25
280,00
Задание № 1
Вариант Вариант
1.18
1.19
300,00
300,00
215,60
219,75
215,00
220,00
Вариант
1.20
300,00
199,85
200,00
Вариант 1.21–1.25. Было проведено однократное измерение
термо-ЭДС автоматическим потенциометром со шкалой ___ С,
если его указатель стоит на отметке ___ С в то время как указатель на образцовом приборе показывает ___ С.
Таблица З.5
Данные к заданию вариантов 1.21–1.25.
Исходные данные
Вариант
Вариант
52
Задание № 1
Вариант Вариант
Вариант
Длина шкалы измерения
Показания образцового
прибора
Точка отметки шкалы
1.21
200–600
550,05
1.22
200–600
450,30
1.23
200–600
229,85
1.24
200–600
370,35
1.25
200–600
410,45
550,00
450,00
230,00
370,00
410,00
Вариант 1.26–1.30. При взвешивании на аналитических весах
(с пределом измерения 1,0 кг) пробы массой __ г получены следующие результаты взвешивания на рабочих и образцовых аналитических весах: ___ г и ___ г.
Таблица З.6
Данные к заданию вариантов 1.26–1.30.
Исходные данные
Масса пробы
Показания
рабочего
средства измерения
Показания образцового средства измерения
Вариант
1.26
345,00
345,05
Вариант
1.27
815,00
815,05
344,85
814,85
Задание № 1
Вариант
Вариант
1.28
1.29
600,00
355,00
598,35
345,15
600,45
344,85
Вариант
1.30
500,00
499,25
500,10
Задание № 2
Выполнить многократные измерения электрических и неэлектрических величин в соответствии с индивидуальным заданием и настоящими методическими указаниями и определить погрешность измерений при многократных измерениях и границы
доверительного интервала. Построить гистограмму и полигон
частот. Сформулировать выводы.
Вариант 2.1. Проведено взвешивание ряда образцов (в ньютонах) и получен следующий ряд данных: 15,60; 15,60; 15,55; 15,65;
15,80; 15,60; 15,60; 15,42; 15,60; 15,50; 15,70; 15,60; 15,60; 15,55;
15,50; 15,59; 15,70; 15,55; 15,57; 15,50; 15,65; 15,60; 15,75; 15,73;
15,60; 15,45; 15,57; 15,70; 15,73; 15,58; 15,53; 15,60; 15,51; 15,58;
15,70; 15,60; 15,80; 15,75; 15,52; 15,67; 15,40; 15,58; 15,60; 15,66;
15,67; 15,62; 15,64; 15,46; 15,48; 15,66.
Вариант 2.2. Проведен ряд испытаний пружины на усилие
растяжения (в ньютонах) и получен следующий ряд данных: 10,55;
10,50; 10,59; 10,70; 10,55; 10,57; 10,50; 10,65; 10,60; 10,60; 10,55;
53
10,65; 10,80; 10,60; 10,60; 10,42; 10,60; 10,50; 10,70; 10,60; 10,60;
10,60; 10,75; 10,73; 10,60; 10,45; 10,57; 10,70; 10,73; 10,58; 10,53;
10,60; 10,51; 10,58; 10,70; 10,60; 10,80; 10,75; 10,52; 10,67; 10,40;
10,58; 10,60; 10,66; 10,67; 10,62; 10,64; 10,46; 10,48; 10,66.
Вариант 2.3. Проведено измерение усилия сжатия пружины и
получен следующий ряд данных (в единицах килограмм-силы):
15,70; 15,73; 15,58; 15,53; 15,60; 15,51; 15,58; 15,70; 15,60; 15,80;
15,75; 15,52; 15,67; 15,40; 15,60; 15,60; 15,55; 15,65; 15,80; 15,60;
15,60; 15,42; 15,60; 15,50; 15,70; 15,60; 15,60; 15,55; 15,50; 15,59;
15,70; 15,55; 15,57; 15,50; 15,65; 15,60; 15,75; 15,73; 15,60; 15,45;
15,57; 15,58; 15,60; 15,66; 15,67; 15,62; 15,64; 15,46; 15,48; 15,66.
Вариант 2.4. Проведено взвешивание образцового вещества (в
миллиграммах) и получен следующий ряд данных: 5,60; 5,60; 5,55;
5,55; 5,50; 5,59; 5,70; 5,55; 5,57; 5,50; 5,65; 5,60; 5,75; 5,73; 5,60;
5,45; 5,57; 5,65; 5,80; 5,60; 5,60; 5,42; 5,60; 5,50; 5,70; 5,60; 5,60;
5,70; 5,73; 5,58; 5,53; 5,60; 5,51; 5,58; 5,70; 5,60; 5,80; 5,75; 5,52;
5,67; 5,40; 5,58; 5,60; 5,66; 5,67; 5,62; 5,64; 5,46; 5,48; 5,66.
Вариант 2.5. Определили выборочно массу 50 изделий из поступившей партии плунжеров для ткацких станков (в граммах) и
получен следующий ряд данных: 315,70; 315,73; 315,58; 315,53;
315,60; 315,51; 315,58; 315,70; 315,60; 315,80; 315,75; 315,52;
315,67; 315,40; 315,58; 315,60; 315,66; 315,67; 315,62; 315,64;
315,46; 315,48; 315,66; 315,60; 315,60; 315,55; 315,65; 315,80;
315,60; 315,60; 315,42; 315,60 315,50; 315,70; 315,60; 315,60;
315,55; 315,50; 315,59; 315,70; 315,55; 315,57; 315,50; 315,65;
315,60; 315,75; 315,73; 315,60; 315,45; 315,57.
Вариант 2.6. Получены результаты измерений ширины кольцевой планки (в миллиметрах) из партии объемом 50 штук: 58,305;
58,302; 58,301; 58,299; 58,308; 58,313; 58,301; 58,311; 58,309;
58,304; 58,306; 58,299; 58,310; 58,301; 58,303; 58,308; 58,302;
58,306; 58,313; 58,312; 58,313; 58,302; 58,305; 58,307; 58,302;
58,308; 58,309; 58,308; 58,308; 58,307; 58,299; 58,302; 58,301;
58,309; 58,310; 58,313; 58,301; 58,302; 58,299; 58,314; 58,307;
58,305; 58,314; 58,303; 58,303; 58,308; 58,314; 58,303; 58,308;
58,314.
54
Вариант 2.7. Получены результаты измерений длины эластичного покрытия валика (в миллиметрах) из партии объемом 50
штук, получен следующий ряд: 18,311; 18,309; 18,304; 18,306;
18,299; 18,310; 18,301; 18,303; 18,308; 18,302; 18,306; 18,313;
18,312; 18,313; 18,302; 18,305; 18,307; 18,302; 18,308; 18,309;
18,308; 18,308; 18,307; 18,299; 18,302; 18,301; 18,309; 18,310;
18,305; 18,302; 18,301; 18,299; 18,308; 18,313; 18,301; 18,313;
18,301; 18,302; 18,299; 18,314; 18,307; 18,305; 18,314; 18,303;
18,303; 18,308; 18,314; 18,303; 18,308; 18,314.
Вариант 2.8. Получены результаты измерений длины кронштейна (в сантиметрах) из партии объемом 50 штук, получен следующий ряд: 38,311; 38,309; 38,304; 38,305; 38,302; 38,301; 38,299;
38,308; 38,313; 38,301; 38,306; 38,299; 38,310; 38,301; 38,303;
38,308; 38,302; 38,313; 38,301; 38,302; 38,299; 38,314; 38,307;
38,305; 38,314; 38,303; 38,303; 38,308; 38,314; 38,303; 38,308;
38,314; 38,306; 38,313; 38,312; 38,313; 38,302; 38,305; 38,307;
38,302; 38,308; 38,309; 38,308; 38,308; 38,307; 38,299; 38,302;
38,301; 38,309; 38,310.
Вариант 2.9. Получены результаты измерений диаметра диска
(в миллиметрах) из партии объемом 50 штук, получен следующий
ряд 15,308; 15,302; 15,306; 15,313; 15,312; 15,313; 15,302; 15,305;
15,307; 15,302; 15,308; 15,309; 15,308; 15,308; 15,307; 15,299;
15,302; 15,301; 15,309; 15,310; 15,313; 15,301; 15,302; 15,299;
15,314; 15,307; 15,305; 15,314; 15,303; 15,303; 15,308; 15,314;
15,303; 15,308; 15,314; 15,305; 15,302; 15,301; 15,299; 15,308;
15,313; 15,301; 15,311; 15,309; 15,304; 15,306; 15,299; 15,310;
15,301; 15,303.
Вариант 2.10. Получены результаты измерений длины рифленого покрытия нагревательных элементов (в миллиметрах) из партии объемом 50 штук, получен следующий ряд: 80,302; 80,308;
80,309; 80,308; 80,308; 80,307; 80,299; 80,305; 80,302; 80,301;
80,299; 80,308; 80,313; 80,301; 80,311; 80,309; 80,304; 80,306;
80,314; 80,303; 80,308; 80,314; 80,299; 80,310; 80,301; 80,303;
80,308; 80,302; 80,306; 80,313; 80,312; 80,313; 80,302; 80,305;
80,307; 80,302; 80,301; 80,309; 80,310; 80,313; 80,301; 80,302;
80,299; 80,314; 80,307; 80,305; 80,314; 80,303; 80,303; 80,308.
55
Вариант 2.11. Проведено многократное измерение напряжения (в вольтах) и получен следующий ряд значений: 592,96;
602,76; 596,64; 597,86; 598,06; 597,32; 599,52; 599,36; 594,24;
596,56; 593,60; 596,12; 599,88; 603,04; 596,80; 595,04; 598,60;
601,28; 597,48; 598,12; 586,40; 600,84; 506,20; 606,80; 595,60;
598,28; 597,16; 597,94; 597,72; 593,76; 605,40; 597,52; 594,72;
597,04; 599,44; 600,40; 596,36; 598,00; 596,92; 594,88; 598,52;
599,08; 598,48; 599,20; 603,80; 590,60; 600,96; 609,60; 589,20;
595,44.
Вариант 2.12. Проведено многократное измерение напряжения (в вольтах) и получен следующий ряд значений: 394,40;
398,14; 395,44; 396,92; 395,80; 397,88; 399,80; 398,68; 393,24;
302,24; 391,96; 395,16; 404,04; 398,96; 399,64; 398,84; 401,12;
400,56; 400,20; 401,76; 397,48; 398,12; 386,40; 400,84; 306,20;
406,80; 395,60; 398,28; 397,16; 397,94; 397,72; 393,76; 405,40;
397,52; 394,72; 397,04; 399,44; 400,40; 396,36; 398,00; 394,88;
398,52; 399,08; 398,48; 399,20; 403,80; 390,60; 400,96; 409,60;
389,20.
Вариант 2.13. Проведено многократное измерение напряжения (в вольтах) и получен следующий ряд значений: 599,52;
599,36; 594,24; 586,40; 600,84; 506,20; 606,80; 595,60; 598,28;
597,16; 597,94; 597,72; 593,76; 605,40; 590,60; 600,96; 609,60;
589,20; 595,44; 596,92; 597,52; 594,72; 597,04; 599,44; 600,40;
596,36; 598,00; 594,88; 598,52; 599,08; 598,48; 596,56; 593,60;
596,12; 592,96; 602,76; 596,64; 597,86; 598,06; 597,32; 599,88;
603,04; 596,80; 595,04; 598,60; 601,28; 597,48; 598,12; 599,20;
603,80.
Вариант 2.14. Проведено многократное измерение напряжения (в вольтах) и получен следующий ряд значений: 194,40;
190,60; 200,96; 191,96; 195,16; 204,04; 198,96; 199,64; 198,84;
201,12; 200,56; 200,20; 201,76; 197,48; 198,12; 186,40; 200,84;
106,20; 206,80; 195,60; 198,28; 209,60; 189,20; 195,44; 196,92;
198,14; 195,80; 197,88; 199,80; 198,68; 193,24; 202,24; 197,16;
197,94; 197,72; 193,76; 205,40; 197,52; 194,72; 197,04; 199,44;
200,40; 196,36; 198,00; 194,88; 198,52; 199,08; 198,48; 199,20;
193,80.
56
Вариант 2.15. Проведено многократное измерение напряжения (в вольтах) и получен следующий ряд значений: 1594,40;
1598,14; 1597,48; 1598,12; 1586,40; 1600,84; 1506,20; 1606,80;
1595,60; 1598,28; 1609,60; 1589,20; 1595,44; 1596,92; 1595,80;
1597,88; 1599,80; 1598,68; 1593,24; 1602,24; 1597,16; 1597,94;
1597,72; 1593,76; 1605,40; 1597,52; 1594,72; 1597,04; 1599,44;
1600,40; 1596,36; 1598,00; 1594,88; 1598,52; 1599,08; 1598,48;
1599,20; 1603,80; 1590,60; 1600,96; 1591,96; 1595,16; 1604,04;
1598,96; 1599,64; 1598,84; 1601,12; 1600,56; 1600,20; 1601,76.
Вариант 2.16. При поверке цифрового герцметра измерялась
частота 100 КГц и были получены следующие результаты:
100,010; 100,009; 100,003; 100,008; 100,005; 100,010; 100,007;
100,012; 100,006; 100,011; 100,009; 100,002; 100,005; 100,007;
100,010; 100,003; 100,010; 100,009; 100,007; 100,011; 100,008;
100,005; 100,010; 100,001; 100,005; 100,006; 100,008; 100,001;
100,005; 100,007; 100,003; 100,009; 100,004; 100,010; 100,010;
100,006; 100,002; 100,007; 100,007; 100,004; 100,006; 100,011;
100,009; 100,004; 100,006; 100,008; 100,007; 100,008; 100,003;
100,009.
Вариант 2.17. При измерении частоты в сети (нормируемое
значение 50 Гц) были получены следующие результаты: 50,009;
50,003; 50,008; 50,005; 50,010; 50,007; 50,012; 50,006; 50,011;
50,009; 50,002; 50,009; 50,005; 50,007; 50,010; 50,003; 50,010;
50,009; 50,007; 50,010; 50,010; 50,006; 50,002; 50,007; 50,007;
50,010; 50,004; 50,006; 50,011; 50,009; 50,004; 50,006; 50,008;
50,007; 50,008; 50,003; 50,011; 50,008; 50,005; 50,010; 50,001;
50,005; 50,006; 50,008; 50,001; 50,005; 50,007; 50,003; 50,009;
50,004.
Вариант 2.18. При измерении частоты электрического тока на
входе в измерительный комплекс были получены следующие результаты: 80,008; 80,005; 80,010; 80,007; 80,012; 80,006; 80,011;
80,009; 80,002; 80,005; 80,007; 80,010; 80,003; 80,010; 80,009;
80,007; 80,011; 80,008; 80,005; 80,006; 80,008; 80,007; 80,008;
80,003; 80,009; 80,010; 80,001; 80,005; 80,006; 80,008; 80,001;
80,005; 80,007; 80,003; 80,009; 80,004; 80,010; 80,010; 80,010;
80,009; 80,003; 80,006; 80,002; 80,007; 80,007; 80,004; 80,006;
80,011; 80,009; 80,004.
57
Вариант 2.19. Для импульсной установки ВРК–А32 применяется частота электрического тока – 20 КГц. При поверке этого
прибора были получены следующие результаты частоты: 20,010;
20,009; 20,003; 20,008; 20,005; 20,010; 20,007; 20,012; 20,006;
20,011; 20,009; 20,002; 20,005; 20,007; 20,010; 20,003; 20,010;
20,009; 20,007; 20,011; 20,008; 20,005; 20,010; 20,001; 20,005;
20,006; 20,008; 20,001; 20,005; 20,007; 20,003; 20,009; 20,004;
20,010; 20,010; 20,006; 20,002; 20,007; 20,007; 20,004; 20,006;
20,011; 20,009; 20,004; 20,006; 20,008; 20,007; 20,008; 20,003;
20,009.
Вариант 2.20. С помощью герцметра измерялась частота электрического тока установки и были получены следующие результаты: 150,010; 150,009; 150,003; 150,008; 150,005; 150,010; 150,007;
150,012; 150,006; 150,011; 150,009; 150,002; 150,005; 150,007;
150,010; 150,003; 150,010; 150,009; 150,007; 150,011; 150,008;
150,005; 150,010; 150,001; 150,005; 150,006; 150,008; 150,001;
150,005; 150,007; 150,003; 150,009; 150,004; 150,010; 150,010;
150,006; 150,002; 150,007; 150,007; 150,004; 150,006; 150,011;
150,009; 150,004; 150,006; 150,008; 150,007; 150,008; 150,003;
150,009.
Вариант 2.21. При проведении исследований мерного прибора
было произведено 50 измерений одной и той же величины (отклонение поверхности горловины от параллельности), нормируемое
значение не более 0,001 миллиметра, были получены следующие
результаты: 0,184; 0,171; 0,174; 0,177; 0,180; 0,173; 0,175; 0,171;
0,172; 0,179; 0,180; 0,176; 0,177; 0,176; 0,178; 0,175; 0,176; 0,172;
0,175; 0,170; 0,180; 0,174; 0,173; 0,177; 0,176; 0,177; 0,172; 0,179;
0,180; 0,176; 0,177; 0,176; 0,178; 0,175; 0,174; 0,177; 0,180; 0,173;
0,175; 0,170; 0,180; 0,174; 0,173; 0,184; 0,176; 0,177; 0,172; 0,179;
0,180; 0,176.
Вариант 2.22. При проведении исследований мерного прибора
было произведено 50 измерений одной и той же величины (диаметра мерного прибора), нормируемое значение которой равно
28,0 миллиметра, были получены следующие результаты: 28,184;
28,171; 28,174; 28,177; 28,180; 28,173; 28,175; 28,171; 28,172;
28,179; 28,180; 28,176; 28,177; 28,176; 28,178; 28,175; 28,176;
28,172; 28,175; 28,170; 28,180; 28,174; 28,173; 28,177; 28,176;
28,177; 28,172; 28,179; 28,180; 28,176; 28,177; 28,176; 28,178;
58
28,175; 28,174; 28,177; 28,180; 28,173; 28,175; 28,170; 28,180;
28,174; 28,173; 28,184; 28,176; 28,177; 28,172; 28,179; 28,180;
28,176.
Вариант 2.23. При проведении исследований мерного прибора
было произведено 50 измерений одной и той же величины (высоты
столба образцовой жидкости в точке отметки шкалы 30 миллиграмм), в результате были получены следующие результаты:
30,184; 30,171; 30,174; 30,177; 30,180; 30,173; 30,175; 30,171;
30,172; 30,179; 30,180; 30,176; 30,177; 30,176; 30,178; 30,175;
30,176; 30,172; 30,175; 30,170; 30,180; 30,174; 30,173; 30,177;
30,176; 30,177; 30,172; 30,179; 30,180; 30,176; 30,177; 30,176;
30,178; 30,175; 30,174; 30,177; 30,180; 30,173; 30,175; 30,170;
30,180; 30,174; 30,173; 30,184; 30,176; 30,177; 30,172; 30,179;
30,180; 30,176.
Вариант 2.24. При проведении исследований мерного прибора
было произведено 50 измерений одной и той же величины (высоты
столба образцовой жидкости в точке отметки шкалы 150 миллиграмм), в результате были получены следующие результаты:
150,176; 150,184; 150,171; 150,174; 150,177; 150,180; 150,173;
150,175; 150,171; 150,172; 150,179; 150,180; 150,176; 150,177;
150,176; 150,178; 150,175; 150,176; 150,172; 150,175; 150,170;
150,180; 150,174; 150,173; 150,177; 150,176; 150,177; 150,172;
150,179; 150,180; 150,176; 150,177; 150,176; 150,178; 150,175;
150,174; 150,177; 150,180; 150,173; 150,175; 150,170; 150,180;
150,174; 150,173; 150,184; 150,176; 150,177; 150,172; 150,179;
150,180.
Вариант 2.25. При проведении исследований мерного прибора
было произведено 50 измерений одной и той же величины (диаметра мерного прибора в точке отсчета шкалы – 18 миллиграмм),
нормируемое значение диаметра мерного прибора составляет
18,180 миллиметра, были получены следующие результаты:
18,184; 18,171; 18,174; 18,177; 18,180; 18,173; 18,175; 18,171;
18,172; 18,179; 18,180; 18,176; 18,177; 18,176; 18,178; 18,175;
18,176; 18,172; 18,175; 18,170; 18,180; 18,174; 18,173; 18,177;
18,176; 18,177; 18,172; 18,179; 18,180; 18,176; 18,177; 18,176;
18,178; 18,175; 18,174; 18,177; 18,180; 18,173; 18,175; 18,170;
59
18,180; 18,174; 18,173; 18,184; 18,176;
18,180; 18,176.
18,177; 18,172; 18,179;
Вариант 2.26. При определении твердости образцов металла
стальным шариком по Бринеллю получено 50 значений твердости
(НВ): 194 НВ; 181 НВ; 184 НВ; 193 НВ; 190 НВ; 181 НВ; 193 НВ;
185 НВ; 191 НВ; 182 НВ; 195 НВ; 186 НВ; 196 НВ; 180 НВ; 192
НВ; 187 НВ; 193 НВ; 181 НВ; 183 НВ; 188 НВ; 193 НВ; 190 НВ;
181 НВ; 193 НВ; 181 НВ; 184 НВ; 193 НВ; 186 НВ; 196 НВ; 180
НВ; 192 НВ; 187 НВ; 193 НВ; 181 НВ; 183 НВ; 188 НВ; 193 НВ;
190 НВ; 181 НВ; 193 НВ; 191 НВ; 182 НВ; 195 НВ; 186 НВ; 196
НВ; 180 НВ; 192 НВ; 187 НВ; 193 НВ; 181 НВ.
Вариант 2.27. При определении твердости образцов металла
стальным шариком по Бринеллю получено 50 значений твердости
(НВ): 184 НВ; 171 НВ; 174 НВ; 183 НВ; 180 НВ; 171 НВ; 183 НВ;
185 НВ; 171 НВ; 172 НВ; 185 НВ; 186 НВ; 176 НВ; 170 НВ; 182
НВ; 187 НВ; 173 НВ; 171 НВ; 173 НВ; 188 НВ; 173 НВ; 180 НВ;
181 НВ; 173 НВ; 171 НВ; 174 НВ; 183 НВ; 176 НВ; 186 НВ; 170
НВ; 182 НВ; 177 НВ; 183 НВ; 171 НВ; 173 НВ; 178 НВ; 181 НВ;
180 НВ; 171 НВ; 183 НВ; 181 НВ; 172 НВ; 185 НВ; 176 НВ; 186
НВ; 170 НВ; 172 НВ; 177 НВ; 183 НВ; 171 НВ.
Вариант 2.28. При определении плотности твердого тела с
помощью твердомера получены следующие результаты измерений
(в г/м3): 4,9119; 4,9130; 4,9192; 4,8819; 4,8795; 4,9115; 4,9016;
4,8877; 4,9109; 4,9094; 4,9113; 4,9119; 4,8799; 4,9133; 4,9151;
4,8830; 4,8790; 4,8819; 4,9091; 4,8877; 4,9109; 4,9094; 4,9113;
4,9119; 4,8799; 4,9133; 4,9151; 4,8830; 4,9192; 4,8819; 4,8795;
4,9115; 4,9016; 4,9119; 4,9130; 4,9192; 4,8819; 4,8795; 4,9115;
4,9016; 4,8877; 4,9109; 4,9094; 4,9113; 4,9119; 4,8799; 4,9133;
4,9151; 4,8830; 4,9192.
Вариант 2.29. При поверке государственного стандартного
образца (ГСО С8) фотометрическим методом на присутствие марганца в 50 пробах, при нормируемом значении 0,855 %, получены
следующие результаты: 0,884; 0,871; 0,874; 0,877; 0,880; 0,873;
0,875; 0,871; 0,872; 0,879; 0,880; 0,876; 0,877; 0,876; 0,878; 0,875;
0,876; 0,872; 0,875; 0,870; 0,880; 0,874; 0,873; 0,877; 0,876; 0,877;
0,872; 0,879; 0,880; 0,876; 0,877; 0,876; 0,878; 0,875; 0,874; 0,877;
60
0,880; 0,873; 0,875; 0,870; 0,880; 0,874; 0,873; 0,884; 0,876; 0,877;
0,872; 0,879; 0,880; 0,876.
Вариант 2.30. При поверке государственного стандартного
образца (ГСО С6) титриметрическим персульфато-серебряным методом на присутствие марганца в 50 пробах и при нормируемом
значении 0,283 %, получены следующие результаты: 0,284; 0,271;
0,274; 0,277; 0,280; 0,273; 0,275; 0,271; 0,272; 0,279; 0,280; 0,276;
0,277; 0,276; 0,278; 0,275; 0,276; 0,272; 0,275; 0,270; 0,280; 0,274;
0,273; 0,277; 0,276; 0,277; 0,272; 0,279; 0,280; 0,276; 0,277; 0,276;
0,278; 0,275; 0,274; 0,277; 0,280; 0,273; 0,275; 0,270; 0,280; 0,274;
0,273; 0,284; 0,276; 0,277; 0,272; 0,279; 0,280; 0,276.
Задание № 3
Даны отсчеты значений (постоянного тока I и активного сопротивления R, через которое протекает этот ток), снятые со шкал прибора известного класса точности. Получить результаты прямых измерений (тока и сопротивления). Обеспечить надежность результатов измерений .
Таблица З.7
Вариант 1
95
I,
мА
145
140
145
105
130
150
150
155
175
160
R,
Ом
21,5
21,5
21,5
21,0
18,5
20,0
19,0
21,0
19,5
19,0
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Надежность результатов измерений  %
90
90
95
98
I,
R,
I,
R,
I,
R,
I,
R,
А
Ом
А
Ом
мА
Ом мкА кОм
14,1 1,55 14,5 2,05 150 20,0 313 21,5
14,4 1,65 14,2
4
150 22,5 305 20,0
15,7 2,05 14,8 1,90 155 19,5 310 18,5
14,7 1,90 16,2 2,50 155 17,0 201 18,5
15,1 1,80 15,2 1,95 155 17,5 273 18,5
16,5 2,55 15,6 1,80 140 18,0 274 20,5
14,2 2,10 15,9 2,10 130 19,0 290 19,5
15,0 2,05 15,0 1,95 165 20,0 268 22,0
16,3 2,00 15,3 1,80 105 19,0 232 18,0
16,1 1,90 15,2 1,85 135 19,5 331 20,5
61
Вариант 6
98
I,
мкА
311
342
284
313
337
256
331
275
311
275
R,
кОм
18,0
12,0
17,0
20,0
20,5
22,5
18,5
19,5
21,0
20,5
20,
А
5,
Ом
Омметр
100,
Ом
Амперметр
200,
мА
Класс точности
1
2,5
1
Предел шкалы
20,
5,
200, 100,
А
Ом
мА
Ом
Омметр
0,5
Амперметр
Амперметр
1
Омметр
Омметр
0,5
Амперметр
Амперметр
1
Омметр
Омметр
Амперметр
2,5
0,5
1
0,5
1
400,
мкА
50,
кОм
400,
А
50,
кОм
Таблица З.8
Вариант 7
98
U,
В
219
215
206
218
211
216
213
209
214
221
R,
Ом
504
498
486
497
502
505
501
499
503
498
Вариант 8
Вариант 9 Вариант 10
Вариант 11 Вариант 12
Надежность результатов измерений  %
95
90
90
95
90
U,
R,
U,
R,
U,
R,
U,
R,
U,
R,
В
кОм
В
Ом
В
мОм
В
кОм
В
кОм
23,5 15,4 112 40,3 5,86 1,01 12,1 106
10,3
10,6
22,8 15,2 124 40,1 5,94 1,02 11,6 102 10,21 10,3
23,7 15,6 119 40,4 5,91 1,07 11,4
98
9,78
9,67
21,1 14,9 121 40,5 5,99 1,01 12,2 101
9,96
10,1
24,1 15,1 122 40,2 6,01 0,95 11,8
89
9,94
9,96
23,6 14,6 125 39,8 5,93 0,98 11,9 103
9,99
9,92
23,1 15,4 123 37,6 5,90 0,94 11,4
97
10,11 9,98
23,8 15,1 118 38,9 6,02 1,03 11,6
98
10,2
10,1
23,2 14,8 126 40,1 5,99 0,96 11,9 102
9,92
9,94
23,4 15,0 123 39,3 6,01 0,98 12,1 105
9,88
10,2
Окончание табл. З.8
2,5
2
250,
1000,
50,
100,
62
R,
кОм
0,5
2
0,5
1
15,
200,
15,
20,
Омметр
Вольтметр
Омметр
Вольтметр
Омметр
Класс точности
0,5
2,5
1
Предел шкалы
150, 100, 15,
2,
1
90
U,
В
Омметр
0,5
Вариант 12
Вольтметр
1
Вольтметр
Омметр
Вольтметр
R,
Ом
Омметр
98
U,
В
Вариант 8
Вариант 9 Вариант 10
Вариант 11
Надежность результатов измерений  %
95
90
90
95
U,
R,
U,
R,
U,
R,
U,
R,
В
кОм
В
Ом
В
мОм
В
кОм
Вольтметр
Вариант 7
В
Ом
В
кОм
В
Ом
В
мОм
В
Ом
В
кОм
Таблица З.9
20,
В
5,
А
250,
В
98
I,
A
5,02
5,12
5,09
5,15
4,98
5,03
4,97
5,06
5,02
5,01
U,
В
385
396
372
384
382
388
379
376
381
380
Вольтметр
1,
А
Класс точности
1
2,5
1
Предел шкалы
2,
50,
2,
200,
А
В
А
В
0,5
Вариант 18
Амперметр
1
2
0,5
2
2,5
15,
А
1500,
В
10,
А
450,
В
Вольтметр
Вольтметр
0,5
Амперметр
Амперметр
1
Вольтметр
Вольтметр
2,5
Амперметр
Амперметр
U,
В
11,82
12,36
10,68
11,57
11,71
12,12
11,41
11,32
10,97
11,68
Вольтметр
90
I,
A
0,62
0,58
0,56
0,61
0,63
0.61
0,57
0,59
0,58
0,62
Вариант 14 Вариант 15 Вариант 16 Вариант 17
Надежность результатов измерений  %
95
98
90
90
I,
U,
I,
U,
I,
U,
I,
U,
A
В
A
В
A
В
A
В
1,75 195 0,87 2,35 1,01 122 10,3 1011
1,68 210 0,91 22,8 1,02 121 10,5 986
1,72 202 0,89 23,7 0,98 119
9,9
992
1,78 205 0,88 21,1 0,95 124
9,8 1008
1,71 194 0,92 24,1 1,05 112 10,2 998
1,69 186 0,91 23,6 1,03 125 10,1 1003
1,71 198 0,87 23,1 0,94 123 10,4 1009
1,73 201 0,94 23,8 0,99 118
9,7
996
1,70 203 0,91 23,2 1,01 126
9,8
993
1,68 200 0,93 23,4 0,96 123
9,9
995
Амперметр
Вариант 13
Задание № 4
1. Даны результаты прямых измерений некоторых физиических величин и уравнение их связи с другой физической величиной.
2. Найти значение этой величины и оценить его погрешность.
Таблица З.10
Вариант 1
а = (2,3  0,2) м/с2
t = (2,31  0,05) с
S 
a  t2
2
Вариант 4
Вариант 2
I0 = (120  10) Bт/м2
 = (25  1)
I = I0  cos2
Вариант 3
R1 = (23  5) Ом
R2 = (12  3) Ом
Вариант 5
Вариант 6
63
R
R1  R2
R1  R2
L = (10  1) Мг
С = (100  20) nФ

1
LC
F = (12  3) кН
v = (2,31  0,05) м/с
R = (201  5) мм
m  ( 12  3 )кг
v = (52,31  0,05) Гц
R = (201  5) мм
F = m(2  v)2  R
FR
m
v
Вариант 7
R = 8,3144 Дж/мольК
T = (301  5) K
V1 = (50  1) л
V2 = (10  1) л
A = RTln(V2/V1)
Вариант 10
m = (342  8) кг
v = (32,31  0,05) c-1
R = (0,201  0,005) м
F = m(2  v)2  R
Вариант 13
R = 8,3144 Дж/мольК
g = 9.80665 м/c2
 = 0,018 кг/моль
T = (295  5)К
h = (2010  50) м
 gh 

 RT 
p  exp 
Вариант 8
R2 = (23  5) Ом
V1 = (8,1  0,1) 10-3 м3
V2 = (9,7  0,1) 10-3 м3
 = 1,4  0,2
р1 = р2  (V1/ V2)
Вариант 11
L = (10  1) А
С = (100  20) nФ
I U 
Вариант 14
R  8 ,31Дж / моль К
р = (412  0,5) МПа
v = (10,0  0,1) л
T = (300  20)К

  p V
R T
C
L
Вариант 12
R1 = (2,3  0,2) МОм
R2 = (1,2  0,3) МОм
R
LC
 = 0,032 кг/моль
m
Вариант 9
L = (10  1) Мг
С = (100  20) nФ
U =(1,2  0,5) В
1

2
R1R2
( R1  R2 )
Вариант 15
R1 = (10  1)МОм
R2 = (50  10)Ом
t = (0,010  0,005)c
L = (0,34  00,2)Г
I1 = (1,2  0,2)A
I  I1  e
( R1  R2 )
t
L
Окончание табл. З.10
Вариант 16
L  ( 1,2  0 ,3 ) мГ
R  ( 0 ,12  0 ,05 )кОм
Е = (1,2  0,5) В
 = (1,3  0,4)105 рад/с
I 
E
R 2  (   L )2
Вариант 19
Вариант 17
0 = 4    10-7 Г/м
В = (4,2  0,1) мТ
а = (1,00  0,01) м
b = (3,2  0,01) мм
J 
B
0

ab
a
Вариант 20
64
Вариант 18
С = (12  1,2) нФ
R = (0,12  0,02) кОм
Е = (1,2  0,5) В
 = (1,31  0,04)105 рад/с
I 
E
 1 

 C 
Вариант 21
R2  
2
R1 = (5,2  0,1) Ом
R2 = (3,0  10) Ом
t  ( 0 ,010  0 ,005 )с
L  ( 110  10 ) мГ
0 = 0,07 кг/моль
С = (10  2) пФ
U = (12,3  0,5) В
R  8 ,31Дж / моль К
L  ( 0 ,34  0 ,02 ) Г
I U 
I 1  ( 1,2  0 ,2 ) A
I  I1  e
( R1  R2 )
C
L
t
L
р = (3,56  0,02) МПа
р = (714  2) кг/м3
T = (467  8) К
m

8  0  p
3    R T
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные в процессе выполнения расчетно-графических
работ навыки и знания обработки данных измерений какой-либо
величины позволяют студенту научиться анализировать производственный процесс и принимать правильные решения на последующие действия.
65
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Брянский, Л. Н. Краткий справочник метролога / Л. Н. Брянский, А. С. Дойников. – М.: Издательство стандартов. 1991. – 79 с.
2. Кушнир, Ф. В. Электрорадиоизмерение / Ф. В. Кушнир, В. Г. Сазенко. – Л.:
Энергия, 1975. – 368 с.
3. Тейлор, Дж. Введение в теорию ошибок / Дж. Тейлор. – М.: Мир, 1985. –
272 с.
4. Сквайрс, Дж. Практическая физика / Дж. Сквайрс. – М.: Мир, 1971. – 248 с.
5. Худсон, Д. Статистика для физиков / Д. Худсон. – М.: Мир, 1970. – 298 с.
6. Кунце, Х. И. Методы физических измерений / Х. И. Кунце. – М.: Мир,
1989. – 216 с.
66
7. Тойберт, П. Оценка точности результатов измерений / П. Тойберт. – М.:
Энергоатомиздат, 1988. – 88 с.
8. Крылова, Г. Д. Основы стандартизации, сертификации, метрологии /
Г. Д. Крылова. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 711 с.
9. Сертификация: учеб. пособие / А. Г. Сергеев [и др.]. 1999. – 89 с.
10. Метрология, стандартизация и сертификация: учеб. пособие / А. Г. Сергеев [и др.]. 2002. – 278 с.
11. Артемьев, Б. Г. Справочное пособие для работников метрологических
служб: в 2-х кн. Кн. 1 / Б. Г. Артемьев, С. М. Голубев. – М.: Изд-во стандартов,
1990. – 582 с.
12. Кузнецов, В. А. Закон распределения погрешностей измерений с учетом
времени эксплуатации измерительных приборов / В. А. Кузнецов, В. А. Петров. –
Измерительная техника. – 1992. – № 7.
13. Кузнецов, В. А. Основы метрологии / В. А. Кузнецов, Г. В. Ялунина. – М.:
ИПК Изд-во стандартов, 1995. – 278 с.
14. Маркин, Н. С. Практикум по метрологии / Н. С. Маркин. – М.: Изд-во
стандартов, 1994. – 188 с.
15. Савчук, В. П. Обработка результатов измерений. Физическая лаборатория.
В 2-х. Ч1: учеб. пособие для студентов вузов / В. П. Савчук. – Одесса: ОНПУ,
2002.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………..………………………..……
1. Виды измерений. Классификация погрешностей…..……
2. Обработка прямых измерений…………………….………
2.1. Инструментальная погрешность………….…………
2.2. Случайная погрешность……...………………………
2.3. Промахи……………………….………………………
3. Обработка косвенных измерений……..…………… ….…
4. Правила округления приближенных чисел……..… …
67
3
4
9
9
12
13
15
17
4.1. Округление погрешности действительного значений…………………………………………………………….
4.2. Запись чисел, считанных со шкалы прибора….……
4.3. Округление чисел…………………………….………
4.4. Округление при вычислениях………………….……
5. Примеры обработки результатов измерений…………
5.1. Примеры обработки прямых измерений…… ………
5.2. Примеры объединения результатов прямых измерений………………………………………………… ……….
5.3. Примеры обработки результатов косвенных измерений………………………………………………… ……….
6. Вероятностные свойства серии наблюдений…… ………
6.1. Определение основных понятий…………… ………
6.2. Нормальное распределение………………… ………
7. Краткие теоретические сведения по определению абсолютной, относительной и приведенной погрешностей измерения………………………………………………… …….
8. Пример выполнения задания № 1…………..…… ………
9. Пример выполнения задания № 2……………….… …….
Приложения…………………………………………… …….
Заключение……………………………………………………
Список использованной литературы.………………...……..
68
17
17
17
18
19
19
20
21
31
31
32
35
41
42
47
65
66
Учебное издание
Николай Иванович Привалов
Александр Александрович Шеин
Надежда Васильевна Бережная
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Лабораторный практикум
Редактор Попова Л. В.
Компьютерная верстка Сарафановой Н. М.
Темплан 2011 г., поз. № 6К.
Подписано в печать 15. 02. 2011 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 3,95. Уч.-изд. л. 3,64
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.
Отпечатано в КТИ
403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5, каб. 4.5