 Глава 3 ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ

Глава 3
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
РЯДЫ ФУРЬЕ
3.1. Числовые ряды
Пусть задана бесконечная последовательность чисел
u1, u2 ,, un ,
Числовым рядом называется составленное из этих чисел выражение
u1  u 2   u n   

 un .
n 1
Числа u1, u2 , u3 , называются членами ряда, un – общим членом ряда.
Конечная сумма
S n  u1  u2    un
называется n -й частной суммой ряда. Если существует конечный предел lim S n , ряд называется сходящимся, в противном случае – расхоn
дящимся. Если ряд сходится, число S  lim S n называется суммой ряда,
n
а разность
rn  S  S n  un1  un2  
называется остатком ряда (после n -го члена).
Необходимый признак сходимости: если ряд сходится, то его общий член Un стремится к нулю при n   .
Замечание. Данный признак не является достаточным, т. е. если
U n  0 , то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся; если
Un не стремится к нулю, то ряд расходится всегда.
Достаточные признаки сходимости числовых рядов (сравнения,
Даламбера, Коши) применяются для исследования сходимости только
знакоположительных рядов.
Признак сравнения. Если даны два знакоположительных ряда

U n  U1  U 2  ...  U n  ...
n 1
122
(130)

Vn  V1  V2  ...  Vn  ... ,
(131)
n 1
причем члены ряда (130) не превосходят соответствующих членов ряда (131) U n  Vn , то: а) из сходимости ряда (131) следует сходимость ряда (130); б) из расходимости ряда (130) следует расходимость ряда (131).
Замечание. Для выполнения признака сравнения достаточно, чтобы
неравенства выполнялись, начиная с некоторого номера N, т. е. для всех
n  N.
Для сравнения часто используются ряды:


при q  1  сходящийся (геометрическая прогрессия);
1.  a  q n  

n 1
при q  1  расходящийся;
 a
при   1  сходящийся;
2.    
при   1  расходящийся.
n 1 n
В частности, гармонический ряд

1
n
– расходится.
n 1
Предельная форма признака сходимости. Если для рядов (130)
U
и (131) существует конечный, отличный от нуля lim n  k  0 , то
n Vn
рассматриваемые ряды одновременно сходятся или расходятся.
Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами
U
U1+U2+...+Un+... существует lim n 1  l , то при l< 1 ряд сходится, при
n U n
l > 1 ряд расходится, при l =1 требуются дополнительные исследования.
Радикальный признак Коши. Если для ряда с положительными
членами U1+U2+...+Un+... существует lim n U n  l , то при l <1 ряд схоn
дится, при l >1 ряд расходится, при l =1 требуются дополнительные исследования.
Интегральный признак Коши. Если функция f(x) непрерывная,
положительная, невозрастающая для x  a и, начиная с некоторого N,
Un= f(n), то ряд U1  U 2  ...  U n  ... 

U n
и несобственный интеграл
n 1

 f ( x)dx одновременно сходятся или расходятся:
a
123
Ряд

 (1) n 1 an  a1  a2  a3  a4  ...  (1) n 1 an  ...,
(132)
n 1
где все an  0, называется знакочередующимся.
Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям
a1 > a2 > a3 > ... > an > ...
(133)
и
(134)
lim an  0 ,
n
то такой ряд сходится.
Ряд, удовлетворяющий указанным условиям, называется рядом
Лейбница.
Остаток rn  (1) n a n 1  (1) n 1 a n  2  ... ряда Лейбница имеет знак
своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т. е.
| rn | an1.
Это неравенство удобно использовать для оценки погрешности,
получаемой при замене суммы S ряда Лейбница ее приближенным значением
S n  a1  a2  ...  (1) n 1 an .
Замечание. Теорема Лейбница справедлива, если неравенства (133)
выполняются, начиная с некоторого N.
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда

 (1)
n 1
a n , т. е. ряд
n 1

 a n , сходится, то знакочере-
n 1
дующийся ряд сходится абсолютно.
Если же ряд

 (1) n1 an
по признаку Лейбница сходится, но ряд
n 1
из абсолютных величин его членов расходится, то знакочередующийся
ряд сходится условно.
Замечание. Аналогично дается определение условной и абсолютной сходимости для знакопеременных рядов.
124
Типовые примеры и их решения
Пример 1. Найти сумму ряда

1
.
2
9
n

3
n

2
n 1

Решение. Вначале разложим знаменатель общего члена ряда на
множители, используя корни квадратного уравнения:
1
1
1
.
Un  2


2 
1  (3n  2)  (3n  1)

9n  3n  2
9 n     n  
3 
3

Давая n последовательно значения 1, 2, 3, ..., получим

1
1
1
1
1
.


 ... 
 ...  
1  4 1  7 7 10
(3n  2)(3n  1)
(
3
n

2
)(
3
n

1
)
n 1
Для нахождения суммы ряда надо найти предел при n n-й частичной суммы
1
1
1
1
.
Sn 


 ... 
1  4 4  7 7  10
(3n  2)(3n  1)
Для того чтобы придать Sn более удобный вид для перехода к пределу, заменим дробь суммой простейших дробей:
1
A
B
.


(3n  2)(3n  1) 3n  2 3n  1
Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим
1  A  (3n  1)  B  (3n  2) .
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим
n
n0
0  3 A  3 B,
1  A  2 B,
A  B
1  3B,
1
B ,
3
поэтому
1
1
1
.


(3n  2)(3n  1) 3  (3n  2) 3  (3n  1)
Полагая здесь последовательно n = 1, 2, 3, ..., n, получим
125
1
A ;
3
1
1
1
1
1 1
  ,
  ,
7  10 21 30
4  7 12 21
1
1
1
,


(3n  2)(3n  1) 3(3n  2) 3(3n  1)
1
1 1
  ,
1  4 3 12
...,
следовательно,


1
1
1 1   1 1   1 1 
 .
S n              ...  

3
12
12
21
21
30
3
(
3
n

2
)
3
(
3
n

1
)

 
 



Очевидно, что в этой сумме все слагаемые попарно уничтожаются,
кроме первого и последнего, поэтому
1
 1
1
1
1
  ,
, откуда lim S n  lim  
Sn  
3 3(3n  1)
n 
n  3 3(3n  1)  3
т. е. ряд сходится, и его сумма равна
1
.
3
1
Ответ: S  .
3
Пример 2. Установить, выполняется ли необходимый признак для
рядов

1
1)  n  arctg ;
n
n 1

n 1
.
2
n
n 1
2) 
1
Решение. 1. Общий член ряда U n  n  arctg .
n
1

 1
Так как lim U n  lim  n  arctg   lim  n    1 , то необходимое
n  n n 
n
n
условие сходимости ряда не выполняется и, следовательно, этот ряд
расходится.
n 1
2. Общий член ряда имеет вид U n  2 , здесь
n
 n 1
1 1 
lim  2   lim   2   0 .
n n  n n n 
Необходимое условие сходимости ряда выполняется, ряд может
быть как сходящимся, так и расходящимся.
126
Пример 3. Используя признак сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:

1)

n 1

1
n(1  n 2 )
,

2)  tg
,
n

2
n 1
1. Общий член данного ряда U n 

3)
1
.
2 n 1
(
2
n

1
)

2
n 0

1
n(1  n )
2

1
n
3

1
3
n2
как с уменьшением знаменателя дробь увеличивается; но ряд
 Vn , так


1
3
n 1 2
n
–
3
 1 ), поэтому данный ряд сходится.
2
 1

1
2. Общий член данного ряда Vn  tg
  U n , но ряд  –
n
n2 n
n 1
сходящийся (ряд вида 2,  
гармонический, расходящийся, следовательно, данный ряд расходится.
1
3. Общий член данного ряда U n 
меньше общего
(2n  1)  2 n 1
1
члена сходящегося ряда геометрической прогрессии Vn  n 1 , поэто2
му данный ряд сходится.
Пример 4. Пользуясь предельной формой признака сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:

 1
1)  ln 1   ,
n
n 1 


2)  2 sin n ,
3
n 1
n

(n  1) 3
3)  4
.
2
n

3
n

2
n 1
 1
Решение. 1. При n   бесконечно малая величина ln 1   эк n
 1
1
вивалентна , поэтому, беря для сравнения ряд  , получим
n
n
n 1
 1
1
ln 1  
n
lim 
 lim n  1  0 .
1
n 
n  1
n
n
127
Взятый для сравнения гармонический ряд

1
n
– расходится, сле-
n
довательно, и данный ряд расходится.
2. При n   бесконечно малая величина sin


эквивалентна
,
3n
3n

n
2
поэтому, беря для сравнения геометрическую прогрессию    , по3
n 1 


2 n sin n
2n  n
3  lim
3    0.
лучим lim
n
n
n   2 
n   2 
 
 
3
3

Взятый для сравнения ряд сходится (он имеет вид  q n , где
n 1
q
2
 1 ), следовательно, и данный ряд сходится.
3
 P ( n)
3. Данный ряд вида  k
.
Q
(
n
)
l
n 1
Здесь Pk(n) – многочлен от n степени k, а Ql(n) – многочлен от n
степени l. Вопрос о сходимости рядов такого вида полностью исчерпы 1
вается сравнением с рядом   , где  = l – k. В нашем случае в чисn 1 n
лителе многочлен степени k = 3, степень знаменателя l = 4. Сравниваем
данный ряд с гармоническим рядом:
3
 1
1  
3
3
 (n  1)

n
1
(
n

1
)

n
  lim
lim  4
 lim 
 1  0;
2
4
2


n  n  3n  2 n  n  n  3n  2 n 1  3  2
n2 n4
так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.
Пример 5. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость следующие ряды:
128

nn
1)  ,
n!
n 1


n(n  1)
2) 
,
n
3
n 1
(n!) 2
3) 
.
(
2
n
)!
n 1
(n  1) n 1
nn
Решение. 1. Для данного ряда U n 
, U n 1 
, поэтому
(n  1)!
n!
U n 1
(n  1) n 1  n!
(n  1) n 1  n!
(n  1) n
lim
 lim
 lim
 lim

n
n
nn
n  U n
n  ( n  1)!n
n  ( n  1)  n!n
n 
n
 1
 lim 1    e  1 ,
n
n 
так как e = 2,718... , поэтому ряд расходится.
(n  1)( n  2)
n(n  1)
2. Для данного ряда U n 
, U n 1 
, поэтому
n
3
3n 1
U n 1
(n  1)( n  2)  3n
n2 1
 2 1
 lim

lim

lim
1     1 ;
n 1
U
3

n
3
n 3
 n(n  1)
n 
n  3
n 
n  
n
lim
следовательно, ряд сходится.
3. Для данного ряда U n 
(n  1)!2 , поэтому
(n!) 2
, U n 1 
(2n  2)!
(2n)!


U n 1
(n  1)!2 (2n)!
n!(n  1) 2  (2n)!
lim
 lim
 lim

2
2
n U n
n (2n  2)!(n!)
n (2n)!(2n  1)  (2n  2)(n!)
(n!) 2 (n  1) 2
(n  1) 2
 lim
 lim

n  ( 2n  1)( 2n  2)  ( n!) 2 n   ( 2n  1)( 2n  2)
2
 1
1  
1
 n
 lim
  1,
1 
2 4
n  
 2   2  
n 
n

следовательно, ряд сходится.
Пример 6. Пользуясь радикальным признаком Коши, исследовать
на сходимость следующие ряды:
n
 2n 2  1 
 ,
1)   2
 3n  1 

n 1


2
2)  n
n 1 2
 n 1


 n 
129
n2

,
3)

 n  sin n 2n .
n 1
Решение. 1. Для данного ряда
1
n
2 2
2
 2n 2  1 
n  2  1;
  lim 2n  1  lim
lim n U n  lim n  2
2


3
n 
n   3n  1 
n  3n  1 n  3  1
2
n
следовательно, ряд сходится.
2. Для данного ряда
lim
n 
nU
n
 lim
n
n 
2  n 1


2n  n 
n 1
2
следовательно, ряд расходится.
3. Для данного ряда
lim
n 
nU
n
 lim
n 
n
 lim
n 
1
n 1
2 n
n
 n 1

 
n


n
1
 lim
n2
1
n
1
 1
 1     e  1 ;
2
 n
n  sin n


 lim n n  lim sin
.
2 n n 
2n
n 
1


Учтем, что lim sin
 lim
 0 ; lim n n  lim n n  ( 0 ) .
2n n 2n
n 
n 
n
0
Для раскрытия неопределенности вида  введем обозначение
1
1
ln n   
    lim n  0 .
y  n n и найдем вначале lim ln y  lim
n 
n  n
   n  1


Так как ln y – функция непрерывная, то lim (ln y )  ln  lim y  ;
n 
 n  


следовательно, ln  lim y   0 и lim y  e 0  1. Итак , lim n n  1 .
n
n
 n  

 1  0  0  1 ; следоваТаким образом, lim n U n  lim n n  sin n
2n
n 
n 
тельно, ряд сходится.
130
Пример 7. Пользуясь интегральным признаком Коши, исследовать
на сходимость следующие ряды:

1)


1
n,
n 1
2)
1
,

2
n
(ln
n
)
n 2
3)

e
n
.a .
n
n 1
Решение. 1. Для данного ряда следует рассмотреть несобственный

dx
интеграл  . Так как
x
1

a
dx
dx
a
 x  lim  x  lim ln | x | 1  lim (ln a  ln 1)   ,
a 
a 
a 
1
1
т. е. интеграл и исходный гармонический ряд расходятся.
2. Для данного ряда

a
a
 1 

lim

 
 x(ln x)2  alim

 (ln x) 2
a  ln x  2
2
2
dx
d (ln x)
1  1
 1
 lim  

;

a  ln a ln 2  ln 2
следовательно, ряд сходится.
3. Для данного ряда
  x

1
e
a
dx
 2 lim  e 
x
a 
x
d ( x )  2 lim e
a 
1
a
 x

1
 1
1 2
 2 lim 
   ;
e e
a   e x
следовательно, ряд сходится.
Пример 8. Выяснить, какие из указанных рядов сходятся абсолютно, какие условно, какие расходятся.

1)
 (1)
n 1
n 1

3)
 (1)
n 1
n 1
1
,
n
n3
,
2n

2)
 (1)
n 1

4)
131
n 

 ,
 2n  1 
 (1) n1
n 1
n
n 1 
n 1
.
n
Решение. 1. Данный знакочередующийся ряд сходится по теореме
Лейбница, так как
1 1
1
1
1    ...   ... и lim  0 .
2 3
n
n n
Этот ряд сходится условно, так как ряд

1
n,
составленный из абсо-
n 1
лютных величин членов данного ряда, расходится (гармонический ряд).
2. Данный знакочередующийся ряд сходится по теореме Лейбница,
так как
2
3
n
1  2
3
 n 
       ...  
  ...
3 5
7
 2n  1 
n
и


n


1 
 n 

lim 
 0.
  lim
n  2 n  1 
n   2  1 


n


 n 
Сходимость соответствующего знакоположительного ряда  

2
n

1


n 1
исследуем с помощью радикального признака Коши
n
n
n
1
1
 n 
lim n U n  lim n 
 lim
  1,
  lim
2
n
n  2n  1 
n 2n  1 n 2  1
n
следовательно, ряд сходится и исходный ряд сходится абсолютно.
3. Данный знакочередующийся ряд сходится по теореме Лейбница,
так как, начиная с n = 4,
4 3 53 6 3
n3
n3   
3n 2




...


...
и
lim


lim



 
n
n

2 4 25 2 6
2n
2
2

ln
2
n 
  n

6n
6



lim
 0.


n
2
n 3
n 2  ln 2    n 2 ln 2
 lim
Сходимость соответствующего знакоположительного ряда
исследуем с помощью признака Даламбера:
132

n3
 n
n 12
3
U
(n  1) 3  2 n 1
(n  1) 3 1
1
 1
lim

lim
1


 1,
lim n 1  lim



3
n 1 3
2
2
n
2
U
n
n
n 
n 

n
n 2
n
следовательно, ряд сходится и исходный ряд сходится абсолютно.
4. Данный ряд расходится, так как
n 1
 1
 lim 1    1  0 .
n
n n
n
lim an  lim
n
Пример 9. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд
1
1
1
1
n 1 1




...

(

1
)
 ... .
32 6 2 9 2 12 2
(3n) 2
Найти приближенно (с точностью 0,01) сумму этого ряда.
Решение. Все условия теоремы Лейбница для данного знакочередующегося ряда здесь выполнены: члены по модулю монотонно убывают и стремятся к нулю.
Сходимость
соответствующего
знакоположительного
ряда

1
. Легко обнаружить, если применить предельный признак

2
(
3
n
)
n 1

1
:
2
n
n 1
сравнения со сходящимся рядом 
1
n2
1
(3n) 2
lim
 lim
  0.
2
9
n  1
n  (3n)
n2
Из чего следует, что ряд сходится и исходный ряд сходится абсолютно.
Для того чтобы найти с точностью 0,01 сумму данного ряда, надо
взять столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю
1
1
 0,01 ,
меньше 0,01. Для данного ряда модуль четвертого члена 2 
144
12
1 1
1 1 1 1
31
поэтому с точностью 0,01: S  2  2  2    
 0,1 .
9 36 81 324
3 6
9
Ответ: 0,1.
133
3.2. Функциональные ряды
Пусть задана последовательность функций U1(x), U2(x), ... , Un(x), ...,
имеющих общую область определения. Функциональным рядом называется составленное из этих функций выражение U1 ( x)  U 2 ( x)  ...  U n ( x)  ... 

 U n ( x) .
n 1
При конкретном значении х функциональный ряд становится числовым,
который либо сходится, либо расходится.
Совокупность значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Область сходимости функционального ряда обычно удается найти
с помощью известных признаков сходимости.
Сумма функционального ряда S(x) определяется аналогично сумме
числового ряда, и является функцией от х.
Сумму ряда можно представить в виде
S(x) = Sn(x) + rn(x),
где Sn(x) = U1(x) + U2(x)+...+Un(x) – n-я частичная сумма ряда,
rn(x)=Un+1(x)+Un+2(x)+...
– остаток ряда.
Функциональный ряд

 U n ( x)
называется равномерно сходящим-
n 1
ся в некоторой области Х, если для каждого сколь угодно малого числа
 > 0 найдется такое целое положительное число N, что при n  N выполняется неравенство |rn(x)| <  для всех х из области Х.
При этом сумма S(x) равномерно сходящегося функционального
ряда есть непрерывная функция.
Достаточным признаком равномерной сходимости является признак Вейерштрасса.
Признак Вейерштрасса. Если члены функционального ряда
U1(x)+U2(x)+...+Un(x)+...
по абсолютной величине не превышают в некоторой области Х соответствующих членов сходящегося знакоположительного ряда
a1 + a2 + ... + an + ... ,
то функциональный ряд в области Х сходится равномерно.
Функциональные ряды обладают важными свойствами:
1) если функциональный ряд с непрерывными членами равномерно
сходится на отрезке [a, b], то его можно почленно интегрировать на
этом отрезке, т. е.
134
b 
 b

  U ( x) dx   U ( x)dx ;
n

 n

n 1a

a  n 1
2) если функциональный ряд с непрерывно дифференцируемыми
членами сходится на данном интервале, а ряд, составленный из производных его членов, равномерно сходится на этом интервале, то данный
ряд можно почленно дифференцировать в точках этого интервала, т. е.




  U ( x)    U  ( x) .
n
n


 n 1
 n 1
Типовые примеры и их решения
Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда

 (3  x 2 ) n .
n 1
Решение. Члены данного функционального ряда определены на
всей оси. Если x   3; 3 , то ряд знакоположительный и, применяя
радикальный признак Коши, будем иметь

lim
n 
n
(3  x 2 ) n  3  x 2

 1,

  1,
при
при
x  [ 3; 2 )  ( 2 ; 3 ],
x  ( 2 ; 2 ).
В силу чего ряд сходится при x  [ 3; 2 )  ( 2 ; 3 ] .
В точках x   2 имеем ряд

1n  1  1  1  ...  1  ...,
который
n 1
расходится, так как lim U n  lim 1  1  0 .
n
n
Если x   ;2  2;   , то для каждого х этих интервалов имеем
знакочередующийся ряд, который расходится, так как lim an   .
n
Если x  (2; 3 )  ( 3; 2) , то для каждого х этих интервалов имеем знакочередующийся ряд, который сходится, так как для него все
условия теоремы Лейбница выполнены: его члены по модулю монотонно убывают и стремятся к нулю.
Ответ: x  (2; 2 )  ( 2 ; 2) .
135
Пример 2. Найти область равномерной сходимости рядов


cos nx
1)  2 ,
n 1 n
Решение. 1. Данный ряд
2)
1
.
n
2
n

x
n 1


cos nx cos x cos 2 x
cos nx



...

 ...
2
2
2
2
n
1
2
n
n 1

сходится равномерно на всей числовой оси, так как
cos nx
1
для

n2
n2

1
– сходится.
2
n
n 1
2. Данный ряд сходится равномерно на всей числовой оси, так как
 1
1
1

для
всех
n
и
любого
х,
а
ряд
 n – сходится, его сходиnn  x2 nn
n 1n
мость устанавливается с помощью радикального признака Коши:
1
1
lim n U n  lim
 lim  0  1 .
n
n n n n
n n
всех n и любого х, а ряд

Пример 3. Найти сумму рядов
1) –1 + 2x – 3x2 + ... + (–1)n n xn–1+...,
(135)
5
9
4n 3
x
x
x
2) x 
(136)

 ... 
 ...
5
9
4n  3
Решение. 1. Данный ряд получается путем почленного дифференцирования ряда

 (1) n x n  1  x  x 2  x 3  ...  (1) n x n  ...
(137)
n 0
Этот ряд равномерно сходится для |x|<1, так как в этом интервале ряд
будет являться сходящимся геометрическим рядом

 qn
с |q| < 1. Сум-
n 1
му этого ряда можно найти как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q   x .
Таким образом, в интервале (–1,1) ряд (137) определяет функцию
1
1
, которая является суммой ряда, т. е.
S ( x) 

1 q 1 x
136
1
при (1  x  1) .
 1  x  x 2  x 3  ...  (1) n x n  ...
1 x
Так как ряд (135) получен путем почленного дифференцирования ряда
(137) то сумма S* ряда (135) будет равна производной от суммы ряда
(137), т. е.

1
 1 
*
.
S  S ( x)  
 
(1  x) 2
1  x 
2. Данный ряд получается путем почленного интегрирования ряда

 x 4n4  1  x 4  x8  ...  x 4n4  ...
(138)
n 1
Этот ряд равномерно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих условию x4 < 1 , т. е. при всех значениях х в интервале |x| < 1. Для
1
каждого значения х в интервале (–1;1) сумма ряда равна
(сумма
1  x4
убывающей геометрической прогрессии со знаменателем х4).
Так как ряд (136) получен путем почленного интегрирования ряда
 x
x5 x9
x 4 n 3
4
n

4
(138)   x
dx  x 

 ... 
 ... , то сумма S(x) ряда (136)
5
9
4
n

3
n 0
0
будет равна интегралу от суммы ряда (138):
x
x
x
x
dx
(1  x 2 )  x 2
dx
x 2 dx

dx





4
2
2
2 
2
2
1 x
(1  x )(1  x )
1 x
(1  x )(1  x )
0
0
0
0
S ( x)  
 arctg x
x
0
x

( x 2  1)  1
x
2
2
0 (1  x )(1  x )
dx arctg x  
dx
2
01 x
x

dx
4
01 x

x
x
1 x 1
dx
,
 arctg x  l n

2 x  1 0 0 1  x4
x
т. е. мы получили уравнение искомого интеграла. Перенося
0
в левую часть и разделив на 2, найдем
x
dx
1
1 x 1
,

arctg
x

ln
4
2
4 x 1
1

x
0
S ( x)  
137
dx
 1  x4
(–1< x <1).
3.3. Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида
a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a)  ...  an ( x  a)  ... 
2
n

 an ( x  a) n ,
(139)
n 0
где an – числа, называемые коэффициентами степенного ряда.
При а = 0 степенной ряд имеет вид
a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x 4  ... 

 an x n .
(140)
n 0
Основное свойство степенных рядов формулируется в виде теоремы.
Теорема Абеля. 1) Если ряд (140) сходится при х = х0, не равном
нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении х, для которого
|x| < |x0|; 2) если ряд расходится при некотором значении х′0, то он расходится при всяком х, для которого x  x0 .
Из теоремы Абеля следует, что существует такое значение x=R > 0,
что для |x| < R ряд (11) сходится, а для |x| > R – расходится.
Интервал (–R, R) называется интервалом сходимости, а само число
R – радиусом сходимости степенного ряда (140).
Для ряда (139) интервал сходимости определяется неравенством
|x – a| < R, т. е. интервал сходимости: (–R + a; R + a).
Для нахождения интервала сходимости степенного ряда удобно
пользоваться достаточными признаками сходимости знакоположительных рядов и, в частности, признаками Даламбера и Коши.
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем
точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена
формула Тейлора:
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a) 
f (a)
f ( n) (a)
( x  a) 2  ... 
( x  a) n  Rn ( x) ,
2!
n!
f ( n1) ()
( x  a) n1 ( – между а и х, т. е. произвольная точ(n  1)!
ка рассматриваемого интервала; n – любое натуральное число). Если
для некоторого значения х Rn(x)0 при n, то в пределе формула
Тейлора превращается для этого значения х в ряд Тейлора:
где Rn ( x) 
138

f ( n) (a)
f ( x)  
( x  a) n .
n!
n 0
Условие lim Rn ( x)  0 выполняется, если все производные функn
ции ограничены некоторым числом.
При а = 0 имеем ряд Маклорена:
 f ( n ) (0)
f (0)
f (0) 2
f ( n) (0) n
f ( x)  f (0) 
x
x  ... 
x  ...  
xn .
1!
2!
n!
n!
n 0
Таким образом, ряд Тейлора представляет собой разложение функции в ряд по степеням х – а или разложение в окрестности точки а.
Ряд Маклорена представляет собой разложение функции в ряд по
степеням х или разложение в окрестности точки х = 0.
Приведем готовые разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, полученные как непосредственным вычислением
f ( n) (0)
коэффициентов ряда an 
, так и с использованием свойств
n!
почленного дифференцирования и интегрирования рядов в интервале
сходимости:
x 2 x3
xn
1) e x  1  x 
(– < x < );

 ... 
 ...
2! 3!
n!
x3 x5
x 2n1
2) shx  x 
(– < x < );

 ... 
 ...
3! 5!
(2n  1)!
x2 x4
x 2n
3) chx  1 

 ... 
 ...
2! 4!
(2n)!
4) sin x  x 
x3 x5
x 2n 1

 ...  (1) n1
 ...
3! 5!
(2n  1)!
(– < x < );
(– < x < );
2n  2
x2 x4
n 1 x
5) cos x  1 
(– < x < );

 ...  (1)
 ...
2! 4!
(2n  2)!
m
m(m  1) 2 m(m  1)(m  2) 3
6) (1  x) m  1  x 
x 
x  ... 
1!
2!
3!
m(m  1)...(m  (n  1)) n
(–1 < x <1);

x  ...
n!
1
7)
(–1 < x < 1);
 1  x  x 2  x 3  ...  (1) n x n  ...
1 x
139
1
 1  x  x 2  ...  x n  ...
1 x
x 2 x3
xn
9) ln(1  x)  x 

 ...  (1) n1
 ...
2
3
n
2 n 1
x3 x5
n 1 x
 ...
10) arctg x  x    ...  (1)
3
5
(2n  1)
8)
(–1 < x < 1);
(–1 < x < 1);
(1  x  1) ;
1 x3 1  3 x5 1  3  5 x 7
11) arcsin x  x    2   3   ... 
2 3 2  2! 5 2  3! 7
 (2n  1)!! x 2 n 1
(–1 <x < 1).
 x 


(
2
n
)!
!
2
n

1
n 1
Замечание. Готовые разложения можно использовать и для функций sin 2 x , cos 2 x , применяя формулы понижения степени:
1  cos 2x
1  cos 2x
;
.
sin 2 x 
cos2 x 
2
2
Типовые примеры и их решения
Пример 1. Определить радиус и интервал сходимости следующих
степенных рядов:

1)
n!
 n ( x  2) n , 2)
n 1n

x 2n 1
 (2n  1)(2n  1)! ,
n 1


(1) n
3) 
,
2n
(
x

2
)
n 1
4)
1
 x n tg n .
n 1
Решение. 1. Для нахождения интервала сходимости данного ряда
используем признак Даламбера. Составим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему и потребуем, чтобы он был меньше
единицы:
| U n 1 |
(n  1)! | x  2 |n 1 n n
(n  1)  n! | x  2 |n 1 n n
 lim

lim

n 1
n
n
n
|
U
|
(
n

1
)
n
!

|
x

2
|
(
n

1
)

(
n

1
)

n
!

|
x

2
|
n 
n 
n 
n
lim
| x  2 | lim
1
n   n  1 


 n 
n

| x2|
 1
lim 1  
n
n  
140
n

| x2|
 1.
e
В силу признака Даламбера ряд будет сходиться абсолютно при
| x2|
значениях х, удовлетворяющих неравенству
 1 , или |x–2| < e, коe
торое равносильно системе неравенств –e < x–2 < e, или 2–e < x < e+2.
Следовательно, радиус сходимости R = e, а интервал сходимости
(2 – e; e + 2).
Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости.
В левом конце, при x = 2 – e, данный степенной ряд превращается в
 n!
числовой ряд  n  (1) n  e n . Данный ряд – ряд Лейбница. Для нахожn 1 n
дения lim an используем приближенную формулу Стирлинга для факn 
n
ториалов больших чисел n!  
e
lim
n!
n n
n
e  lim
n
n
2n :
n n 2n  e n
n
en  nn
 lim
n
2n   ,
т. е. при x =2–e ряд расходится.

n!e n
В правом конце, при x = e + 2, получается числовой ряд  n ,
n 1 n
который расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда
n!
lim n e n   .
n n
Ответ: R = e, (2 – e; e + 2).
2. Для данного ряда
| U n 1 |
| x |2n 1 (2n  1)(2n  1)!
lim
 lim

n  | U n |
n  (2n  1)(2n  1)! | x |2n 1
2n  1
| x |2 (2n  1)(2n  1)!
 0 1.
 lim
 x 2 lim
n  ( 2n  1) 2  2n
n  (2n  1)( 2n  1)!2n  (2n  1)
Так как неравенство выполняется при любых значениях х, то ряд
сходится на всей числовой оси и радиус сходимости R = .
Ответ: R =  (–; ).
141
3. Для нахождения интервала сходимости данного ряда используем
радикальный признак Коши. Запишем предел корня n-й степени из общего члена ряда и потребуем, чтобы он был меньше единицы, т. е.
lim
n
n |U
n
|  lim
n
n
1
| x2|
2n
 lim
x  |
1
x2|
2

1
( x  2)
2
 1.
Решением неравенства будет множество значений х(–; 1)  (3; ).
Проверим сходимость исходного ряда на концах интервала сходимости.
 ( 1) n

При х = 1 имеем ряд Лейбница 

 (1) n , который рас2n
n 1( 1)
n 1
ходится, так как lim an  lim 1  1  0 .
n
При х = 3 имеем ряд
n
 ( 1) n

n 1 (1)
2n


 (1) n , который расходится.
n 1
Ответ: (–; 1)  (3; ).
4. Для нахождения интервала сходимости данного ряда используем
признак Даламбера:
1
| x |n 1 tg
| U n 1 |
n 1 
lim
 lim
1
n  | U n |
n 
| x |n tg
n
1
n
| x | lim n  1 | x | lim
| x | 1,
n  1
n  n  1
n
полученное неравенство равносильно системе неравенств –1<x< 1. Следовательно, радиус сходимости R = 1, а интервал сходимости (–1; 1).
Проверим сходимость исходного ряда на концах интервала сходимости.

1
При х = –1 имеем знакочередующийся ряд  (1) n  tg , который
n
n 1
сходится по теореме Лейбница, так как
1
1
1
1
1
tg1  tg  tg  ...  tg  ... и lim tg  lim  0 .
2
3
n
n n n n
142
При х = 1 имеем ряд

1
 tg n . Для исследования сходимости этого
n 1
ряда используем предельную форму признака сравнения. Беря для
1
1
tg
 1
n  lim n  1  0 .
сравнения гармонический ряд  , получим lim
n
n  1
n  1
n 1
n
n
 1

1
Так как ряд  расходится, то и ряд  tg расходится.
n
n
n 1
n 1
Таким образом, данный степенной ряд сходится только в левом
конце интервала сходимости.
Ответ: R=1 [–1; 1).
Пример 2. Разложить функции в ряд Тейлора или Маклорена в
окрестности указанных точек
1) y  e  x , а = 0; 2) y = 4x, а = 0;
1

3) y  sin x, a  ; 4) y 
, а = 0;
x4
4
1
1  3x
5)
, а = –2;
6) y  ln 4
, а = 0;
1  2x
x4
2
Решение. 1. Для записи разложения e
функции ex заменяем х на (–х2):
e
 x2
 x2
7) y 
1
1 x
2
, а = 0.
в готовом разложении
4
( x 2 ) 2 ( x 2 ) 3
( x 2 ) n
2 x
 1  ( x ) 

 ... 
 ...  1  x 

2!
3!
n!
2!
2
x6
(1) n x 2n
(– < x < ).

 ... 
 ...
3!
n!
2. Для того чтобы можно было воспользоваться готовым разложением функции ex, запишем исходную функцию в виде
x
4 x  e ln 4  e x ln 4 , тогда
4 e
x
x ln 4
( x ln 4) 2 ( x ln 4)3
( x ln 4) n
 1  x ln 4 

 ... 
 ... 
2!
3!
n!
x 2 ln 2 4 x 3 ln 3 4
x n ln n 4
 1  x ln 4 

 ... 
 ...
2!
3!
n!
143
(– < x < ).



, разложение будет по степеням  x   , поэтому
4
4

преобразуем исходную функцию следующим образом:
3. Так как a 
 







sin x  sin   x      sin  x    cos  cos x   sin 
4 4
4
4
4
4




2 

 

 sin  x    cos x    .
2  
4
4 

Теперь в готовых разложениях функций cos x и sin x заменяем х на


x  :
4

3
5
2 n 1








x 
x 
x 
4
4
4
2 
 

n 1 
sin x 

 ...  (1)
 ... 
 x   
2 
4
3!
5!
(2n  1)!


2
4
2n 2








x 
x 
x 

4
4
4
1 

 ...  (1) n 1 
 ... 
2!
4!
(2n  2)!



2
3
4
5










x 
x 
x 
x 
4
4
4
4
2 
 
 
 


 ... 
1   x   
2  
4
2!
3!
4!
5!


2n 2
2 n 1






x 
x 

4
4
 (1) n 1 
 (1) n 1 
 ...
(– < x < ).
(2n  2)!
(2n  1)!



4. Преобразуем эту функцию так, чтобы можно было использовать
1
разложение функции
, полагая
1 x
144
1
1 1
.
 
x4
4 1 x
4
1
1
Заменив в разложении функции
x через
, получим
x4
4

1
1  x x 2 x 3
xn
  1   2  3  ...  n  ... . Это разложение справедливо,

x4
4  4 4
4
4

x
когда  1 , – 4 < x < 4.
4
5. Преобразуем эту функцию так, чтобы можно было использовать
1
разложение функции
. Полагая
1 x
1
a
,

x  4 1  b( x  2)
из тождества 1 – b (x + 2) = a (x – 4), применяя метод неопределенных
коэффициентов, найдем a и b:
x
 b  a,
1
1
b , a .
0
x 1  2b  4a,
6
6
1
1
6 . Заменив в разложении функции

Следовательно,
x  4 1 x  2
6
1
x2
x через
, получим
1 x
6


1
1  x  2 ( x  2) 2
( x  2) n
1  ( x  2) n

.
  1

 ... 
 ...   
n

x4
6 
6
6
62
6n
6

n 0
Это разложение справедливо, когда
x2
 1,
–6 < x + 2 < 6,
–8 < x < 4.
6
6. Известно, что ln(1  x) 

 (1) n1
n 1
145
xn
n
(–1  x  1), поэтому
ln(1  3x) 

 (1)
n 1 3
n 1
n
 xn
n
1
 1
  x  ,
3
 3

1
2n  x n  1
  x   ;
2
n
 2
n 1
ln(1  2 x)   
отсюда
ln 4
1  3x 1
 ln(1  3 x)  ln(1  2 x)  
1 2x 4


n
1 
1
n 1 n
n x  1
  (1)  3  2     x  .
4 n 1
n 3
3
7. Полагая х2 = y и применяя биноминальный ряд (135), при m  
последовательно получаем
1
1 x2
1
 (1 

1

y) 2
 (1) n
n 1

n 1
 1  1   1

    1.....   (n  1) 
  2  2
 
  2
  yn 
 1  
n!
n 1
 

1  3.....(2n  1) n
n (2n  1)!!

y

1

(

1
)
 x2

n
(2n)!!
2  n!
n 1
 1   (1) n
1
2
(2n  1)!! 2n
x
(2n)!!
n

(–1  x  1),
где (2n  1)!! 1  3  5  ...  (2n  1) и (2n)!! 2  4  6  ...  2n .
Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x)  e x  sin x .
Решение. Разложение в степенной ряд функции f ( x)  ( x)  ( x)
может быть осуществлено с помощью правила умножения рядов, если
разложения функций (х) и (х) известны.
Пусть в некоторой окрестности нуля имеют место разложения
( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ... ,
( x)  b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n  ... ,
тогда произведение ( x)  ( x) разлагается в той же окрестности нуля в
степенной ряд
146
 ( x)  ( x)  a0b0  (a0b1  a1b0 ) x  (a0b2  a1b1  a2b0 ) x 2  ... 
 (a0bn  a1bn 1  ...  anb0 ) x n  ...
В частности, при (х) = (х) получается следующее правило возведения степенного ряда в квадрат:
( x)2  a02  2a0a1x  (2a0a2  a12 ) x 2  (2a0a3  2a1a2 ) x 2 
 (2a0 a4  2a1a3  a2 2 ) x 4  ...
Используя формулу умножения рядов, имеем:


1 2 1 3 1 4 1 5
xn

e  sin x  1  1  x  x  x  x  x  ... 
 ... 


2!
3!
4!
5!
n!


x


1
1
x 2n1
  0  1  x  0  x 2  x 3  0  x 4  x 5  ...  (1) n
 ... 


3!
5!
(2n  1)!


1 

 1 0  (11  1 0) x  1 0  11   0  x 2 
2 

1
1 
1
1 
  1

 1 1
 1     1 0  1   0  x3  1 0  1      0  1   0  x 4 
2
6 
6
24 
 6 2
  6

1  1 1
1
1
 1

 1
 1  0        0  1 
 0  x5  ... 
2  6 6
24
120 
 120

1
1
1 
1
 1 (1) n 
 1 (1) n 1 
 ...   0  x n  ...  x  x 2  x3 
(2n  1)!
(2n  1)!
n! 
3



1 5
1
1
1 
x  ...  1 (1) n 
 1 (1) n 1 
 ...   0  x n  ...
30
(2n  1)!
(2n  1)!
n! 

(– < x < )
Замечание. Разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности
точки а можно производить в два этапа:
1) вычисляем значения функции и ее производных в точке х = а
и составляем ряд Тейлора для функции f(x) (при этом предполагаем, что
функция бесконечное число раз дифференцируема);
2) находим интервал, в котором составленный ряд Тейлора сходится к функции f(x), т. е. устанавливаем для каких значений х остаточный
член ряда Rn ( x)  0 при n .
147
Находим производные данной функции f(x) и их значения в точке х = 0:
f ( x)  e x sin x ,
f(0) = 0;



f (0)  2 sin ;
f ( x)  e x (cos x  sin x)  2e x sin  x   ,
4
4

2
2
2
2 

;
f (0)  2 sin
f ( x)  2 e x sin  x   ,
4
4


......................................................................
...................................
n
n
n
n 

f ( n) (0)  2 sin .
f ( n) ( x)  2 e x sin  x   ,
4
4 

...................................................................... ......................................
Теперь проверим, стремится ли остаточный член Rn(x) к нулю при
n  . Для этого оценим его абсолютную величину:
 
 
 
 
Rn ( x) 
f ( n 1) ()  x n 1

n!
 2 n1 e  sin    (n4 1) 

(n  1)!
n 1
n 1

2  e| x| x

U
(n  1)!
Для ряда
  x n 1 
n 1 .

U n
n 1
 n1
 
n 1
2
e| x|  x
 n!
2 x
U n 1
lim
 lim

lim
 0 1
n
n
n  U n
n  ( n  1)! 2  e| x|  x
n  n  1
при всех х, следовательно ряд

U n
сходится (в силу признака Далам-
n 1
бера), а его общий член Un  0 при n  (в силу необходимого признака сходимости), поэтому и остаточный член Rn(x), имеющий модуль,
меньший Un, и подавно стремится к нулю при всех х. Поэтому имеем
разложение
n
n
2 sin

4  xn
e x sin x  
(– < x < ).
n
!
n 1
 
148
Пример 4. Получить разложение в степенной ряд по степеням х
функции
f ( x)  ln  x  1  x 2  .


Решение. Пример на использование теоремы о почленном интегрировании степенных рядов.
Теорема. Если пределы интегрирования ,  лежат внутри интервала сходимости степенного ряда f ( x) 

 an x n , то интеграл от суммы
n 1
ряда равен сумме ряда интегралов от членов ряда.
В частности, если |x|<R, то
x

f (t )dt 
0
x
Известно, что

dt
 x
  ant n dt 
n 00

a
 n n 1  x n1 .
n 0
 ln  x  1  x 2  .


1 t 2
Заменяя подынтегральную функцию разложением, получим
0
x 
(2n  1)!! 2n

2
ln  x  1  x   x    (1) n
t dt ,


(
2
n
)!
!
n 1
0
или, после почленного интегрирования степенного ряда,
2 n 1


2
n (2n  1)!! x
ln  x  1  x   x   (1)



(
2
n
)!
!
2n  1
n 1
(–1 < x < 1).
Пример 5. Применяя почленное дифференцирование, найти сумму
 xn
f(x) ряда f ( x)   .
n
n 1
Решение. Пример на использовании теоремы о почленном дифференцировании степенных рядов.
Теорема. Если степенной ряд f ( x) 

 an x n
имеет радиус сходи-
n 0
мости R, то ряд, полученный его почленным дифференцированием,
имеет тот же радиус сходимости R и производная суммы ряда равна
сумме производных членов ряда, т. е.
149
 an x

f ( x) 
n
n 0
  na


n
 x n 1 .
n 0
Отсюда следует, что степенной ряд можно почленно дифференцировать
любое число раз, не изменяя его радиуса сходимости R.
Применяя почленное дифференцирование, получим
f ( x) 

x
n 1
n 1


1
 xn  1 x
(–1 < x < 1).
n 0
Так как f(0) = 0, то
x
dt
d (1  t )
f ( x)   f (t )dt  
 

1

t
1

t
0
0
0
x
  ln 1  t
x
x
0
  ln 1  x  ln 1  ln
1
1 x
(–1 < x < 1).
3.4. Приложения степенных рядов к интегрированию
дифференциальных уравнений и приближенным вычислениям
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (выше первого порядка), вообще говоря, не
приводится к квадратурам, а их решения не выражаются через элементарные функции. Одним из методов интегрирования таких уравнений,
а также некоторых других является представление искомого решения
в виде степенного ряда. Этот метод опирается на следующие теоремы
теории дифференциальных уравнений.
1. Если все коэффициенты и правая часть линейного дифференциального уравнения n-го порядка
y ( n)  P1 ( x) y ( n 1)  ...  Pn ( x) y  f ( x) ,
с начальными условиями
y (a )  y0 , y′ (a)=y1, ..., y(n–1)(a)=yn–1
являются аналитическими функциями в точке х = а (разлагаются в степенные ряды по степеням х – а в некоторой окрестности этой точки), то
решение этого уравнения тоже является аналитической функцией
в упомянутой окрестности.
2. Если правая часть уравнения y= f(x, y), y(a) = b является аналитической функцией переменных х и y в точке х = а, y = b (разлагается
в степенной ряд по степеням x – a, y – b в некоторой окрестности этой
150
точки), то существует единственное решение y = y(x) этого уравнения
с начальным условием, являющееся аналитическим в точке х = а.
Аналогичное утверждение справедливо и для уравнения
y(n) = f(x, y, y, ... , y(n–1))
c начальными условиями
y(a) = y0, y (a) = y1, ... , y(n–1)(a) = yn–1.
Получение решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда может осуществляться двумя способами.
1. Способ последовательного дифференцирования. Искомое решение y(x) разлагается в степенной ряд по степеням х – а. Как всякий
степенной ряд, он служит рядом Тейлора своей суммы, а поэтому разложение имеет вид
y(a)
y(a)
y ( n) (a)
( x  a) 
( x  a) 2  ... 
( x  a) n  ...
1!
2!
n!
В случае уравнения n-го порядка первые n коэффициентов y(a),
y(a), ..., y(n–1)(a) заданы начальными условиями. Подставляя в дифференциальное уравнение х = а, находят y(n)(a). Далее, последовательно
дифференцируя уравнение и подставляя после каждого дифференцирования х = а, находят
y  y (a) 
y(n+1)(a), y(n+2)(a), ... .
Процесс или обрывается на заданном коэффициенте, или завершается
нахождением общего закона построения коэффициентов.
2. Способ сравнения коэффициентов. Искомое решение разлагается в степенной ряд по степеням х – а:
y = a0 + a1(x – a) + a2(x – a)2 + ... + an(x – a)n + ... .
Из начальных условий определяют коэффициенты:
y
y
a0 = y0, a1 = y1,
a2  2 , ... ,
an1  n1 .
2!
(n  1)!
Подставляют в дифференциальное уравнение вместо y, ее производных и прочих функций, входящих в уравнение, их разложения
в степенные ряды по степеням х – а и приравнивают коэффициенты при
одинаковых степенях х – а, определяя из полученных уравнений коэффициенты ряда.
151
Типовые примеры и их решения
Пример 1. Найти разложения в степенной ряд (до указанной степени) решений дифференциальных уравнений
1) y   xy 2  y ,
y 0  2,
2) y   x 2  y 2 ,
y 1  2
y 0  1
(до х4);
(до (х – 1)4).
Решение. 1. Для решения данного примера применим способ последовательного дифференцирования. Подставляя х = 0 в дифференциальное уравнение, в силу начальных условий получаем y(0) = –1. Дважды дифференцируя уравнение, находим:
y   y 2  x  2 y  y   y  ,
y (0)  5 ,
y (4)  2 y  y  2 yy  2 x y2  2 xyy  y ,
y ( 4 ) ( 0)  3 .
Таким образом,
1
5
3
y  2  1  x  x 2  x 3  x 4  ...
2
6
24
2. Для решения примера применим способ сравнения коэффициентов. Записывая искомое решение в виде степенного ряда с неизвестными коэффициентами, последовательно находим
y  a0  a1 ( x  1)  a2 ( x  1) 2  a3 ( x  1) 3  ... , a0 = y(1) = 2,
тогда
y = a1 + 2a2(x – 1) + 3a3(x – 1)2 + 4a4(x – 1)3 +...
y2 = a02 + 2a0a1(x – 1) + (2a0a2 + a12)(x – 1)2 +
+ (2a0a3 + 2a1a2)(x – 1)3 +...
Подставляя эти разложения в данное уравнение, будем иметь
a1 + 2a2(x – 1) + 3a3(x – 1)2 + 4a4(x – 1)3 +...=
= x2 – a02 – 2a0a1(x – 1) – (2a0a2 + a12)(x – 1)2 –
– (2a0a3 + 2a1a2)(x – 1)3 – ...= 1 – a02 + (2 – 2a0a1) (x – 1) –
– (2a0a2 + a12 – 1)(x – 1)2 – (2a0a3 + 2a1a2)(x – 1)3+...
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (х – 1)
и используя начальное условие, получаем систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов:
152
x  10 a1  1  a0 ,
x  11 2a2  2  2a0a1,
2
x  12 3a3  2a0a2  a1  1,
x  13 4a4  2a0a3  2a1a2 ,
2
a1  1  2 2  3;
a2  1;
a3  12;
45
a4  .
2
..... .................................... ..........................
Таким образом, искомое решение имеет вид
y  2  3( x  1)  7( x  1) 2  12( x  1) 3 
45
( x  1) 4  ...
2
Пример 2. Вычислить sin 10 c точностью до 10 5 .
Решение. Переведя градусную меру в радианную, получим

10   0,1745 .
18
Учитывая разложение синуса в степенной ряд, получим
(1) n 1   
sin 10  
 
(
2
n

1
)!
 18 
n 1

2 n 1
.
Этот ряд является рядом Лейбница, поэтому принимая за приближенное значение sin10 сумму первых двух членов разложения, сделаем
ошибку , по абсолютной величине меньшую третьего члена:
1
(0,2)5

 (0,1745 )5 
 0,0001 .
120
120
Таким образом,
1
sin 10  0,1745   (0,1745 )3  0,17361 .
6
Пример 3. Вычислить 10 1027 с точностью до 0,0001.
Решение. Приближенное вычисление корней производится с помощью биноминального ряда
(1  x) m  1  mx 
m(m  1) 2
m(m  1)...(m  n  1) n
x  ... 
x  ...(| x | < 1).
2!
n!
153
Имеем
10

1027  210  3

1
10
1
3 10

 21  10  
 2 
11
 2 11
 1
 3
  1  3
  1  2   3
3
10  10 
10  10  10

 2


 ...
10  29
2!219
3!229
Полученный ряд является рядом Лейбница, и значит, погрешность
от отбрасывания членов, начиная с третьего, по абсолютной величине
34
меньше: 2 20  0,0001 .
10  2
Сохраняя поэтому только два члена разложения, будем иметь
10 1027
 2
3
10  2
9
 2,0006 .
Пример 4. Вычислить определенный интеграл

4 sin

0
x
x
dx с точно-
стью до 0,001.
Решение. Многие практически важные определенные интегралы
не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона – Лейбница
в виду неинтегрируемости подынтегральной функции. Если, однако,
подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то приближенное вычисление интеграла оказывается осуществимым с наперед
заданной точностью.
Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид

sin x 1 
x3 x5
x 2n1

x

 ...   1n1 
 ... 

x
x 
3! 5!
(2n  1)!



  1
n 1
n 1
x 2n2
(2n  1)!
Интегрируя этот ряд почленно, получим
154
(– < x < ).

4 sin

0
x
x

4 
n 1
  (1)
dx 
0 n 1

 ( 1) n 1 4
x 2n 2
dx  
x 2n  2  dx 

(2n  1)!
(2n  1)!
n 1
0
 1 3
1 5
(1) n 1
 2n 1


  
 
 ...
3 5!
5
2 n 1
(
2
n

1
)!
4
3
!


2
n

1

4
3

4
5

4
n 1

Полученный ряд является рядом Лейбница. Погрешность от отбрасывания всех членов, начиная с третьего, будет по абсолютной величине
меньше третьего члена:
1 5
 
 0,001 .
5! 5  45
Вычисляя с точностью до 0,001, найдем

4 sin

0
 1 3
dx   
 0,785  0,027  0,758 .
x
4 3! 3  43
x
Замечание. В случае знакоположительных рядов погрешность оценить труднее. Для этого необходимо оценить величину остатка ряда,
например, сравнивая сумму всех отброшенных членов ряда с бесконечно убывающей геометрической прогрессией или используя одну из
формул остаточного члена (Rn(x)) формулы Тейлора.
3.5. Ряды Фурье
Рядом Фурье для периодической с периодом 2 функции f(x), интегрируемой на отрезке [–; ], называется тригонометрический ряд
a0 
f ( x) 
  an cos nx  bn sin nx ,
2 n1
коэффициенты которого определяются по формулам
1
a0 


 f ( x)dx ,

1 
an   f ( x) cos nxdx
 
1 
bn   f ( x) sin nxdx
 
(n  1, 2, 3, ...),
(n  1, 2, 3, ...).
Условия представимости данной функции рядом Фурье и следствия данного разложения оговариваются следующей теоремой.
155
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье (теорема Дирихле):
1. Если функция f(x) периода 2 имеет на отрезке [–; ] не более
конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на нем, то
эта функция разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке, в которой
она дифференцируема.
2. Если функция f(x) периода 2 удовлетворяет условию Дирихле
на отрезке [–; ] (если этот отрезок может быть разбит на конечное
число частей так, что внутри каждой части функция монотонна и ограничена), то эта функция разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке
непрерывности; если же х – точка разрыва, ряд Фурье сходится к числу
f ( x  0)  f ( x  0)
.
2
Замечание. Справочный материал по разложению в ряд Фурье четных и нечетных функций периода 2 , функций, заданных на полупериоде, и функций с периодом 2 приведен в решениях примеров 2–5.
Типовые примеры и их решения
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в интервале (–; ) выражением (рис. 10):

   x  0,
0

0  x  ,
f ( x)   x

( x  ).
 2
Решение. Данный пример на разложение функции периода 2
в ряд Фурье.
Из определения данной функции f(x) следует, что она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому заданная функция разлагается
в свой ряд Фурье.
y

–
0

Рис. 52
156
x
Подсчет коэффициентов Фурье дает:
1
a0 

1
an 


 1 x2
1  0

 f ( x)dx     0  dx   x  dx     2

0
 




0

,
2
u  x; du  dx
1
 f ( x)  cos nxdx    x  cos nxdx  dv  cos nxdx; v  1 sin nx 

0
n


 1 1
1  x
1


sin nx   sin nx  dx   2 cos nx 
  n
n
0 n0
0



 2
, при n  2k  1;

 2 (1)  1   n 2
k  1, .
n
0,
при n  2k ;

1


n
bn 
1



f ( x)  sin nxdx 

1 
x  sin nxdx 
 


u  x; du  dx

1  x
1

  cos nx   cos nx  dx  
1

dv  sin nxdx; v   cos nx   n
0 n0


n

 1n1 ,
1  
1
n

  1  2 sin x  

 n
n
n
0

поэтому



  
2
 1n 1

f ( x)   

cos
nx

sin
nx
2


4 n 1 2n  1
n

 2  cos x cos3x cos5 x
sin 2 x sin 3x
 

  2  2  2  ...   sin x 

 ... .
4  1
2
3
3
5

 
x
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f ( x)  cos .
3
Решение. Эта непрерывная функция удовлетворяет условиям теоремы о разложимости, и следовательно, разлагается в свой ряд Фурье.
Функция четная  f ( x)  f ( x)  и ряд Фурье не содержит членов с синусами; этот ряд имеет вид
157
f ( x) 
где a0 
a0 
  an cos nx ,
2 n 1
2
2
a

,
f
(
x
)
dx
n
 f ( x) cos nxdx
0

(n  1, 2, 3 ...) .
0
Подсчет коэффициентов Фурье дает:

2
x
23 x
6 3 3 3
a0   cos dx 
sin
 

.

3

30  2

0

2
x
2  1   1
1  1


an   cos  cos nxdx 
cos  n  xdx   cos  n  xdx  



3
2
3
2

3

0
0
 0 



1  3
1  3n
3
1  3n 

sin
x 
sin
x 

  1  3n
3
1  3n
3
0
0


1 3

3
 



sin
n



sin
n





 
  1  3n 
3  1  3n 
3  
 3 3
,

  9n 2  1

  3 3 ,

 9n 2  1




n = 2k + 1,
n = 2k ,
следовательно,
f ( x) 
3 3 3 3 
 1n1 cos2 nx .


2
 n 1
9n  1
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию периода 2 (рис. 53)
x
f ( x)  (–  x  ).
2
Решение. Эта разрывная функция удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье и нечетна  f ( x)   f ( x)  , поэтому
f ( x) 

 bn  sin nx ,
n 1
158
где
2
2x
1
bn   f ( x)  sin nxdx    sin nxdx   x  sin nxdx 

 2

0
0
0



1 x  cos nx
1 
cos n
1
 1n  1n 1


 cos nxdx   n  n2 sin nx   n  n .

n

n
0
0
0
Следовательно f ( x) 


n 1
 1n1  sin nx .
n
y
/2
0

–
–/2
x
Рис. 53
Пример 4. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
f ( x)  x  sin x на (0; ).
Решение. Функцию, заданную на полупериоде (0; ), можно разложить в ряд синусов или косинусов, продолжая на второй полупериод
(– ;0) соответственно нечетным или четным образом.
Продолжая эту функцию четным образом, будем иметь
u  x; du  dx
2
a0   x sin xdx 

dv  sin xdx; v   cos x

0

 2
2 



 x cosx   cos xdx      sin x   2 ,
0
0
 

0


2
an   x sin x cos nxdx (n = 1, 2, 3, ...).

0
n = 1,
159
u  x; du  dx
2
1
a1   x  sin x  cos xdx   x  sin 2 x  dx 

1
dv  sin 2 x  dx; v   cos 2 x


0
0
2



1  x
1
1 1
1

  cos 2 x   cos 2 x  dx    sin 2 x   .

 2
2 4
2
0 20
0


n1, an 


2
1  

x

sin
x

cos
nxdx

x

sin(
1

n
)
xdx

x

sin(
1

n
)
xdx







0
0
0

1   x
1 

cos(1  n) x 
 cos(1  n) xdx 
 1  n
1

n
0
0




x
1 

cos(1  n)  x 
cos(1  n) xdx  


1 n
0 1 n 0



1 
1
 11n 
 
sin(1  n) x 
 1  n

1  n 2
0




1
 11 n 

sin(
1

n
)
x

2
1 n
1  n 
0 

 12n  12 n


  1n 1
2
.
1 n
1 n
n2 1
Продолженная функция f(x), очевидно, удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому

cos x
cos nx
f ( x)  1 
 2   1n 1 2
.
2
n

1
n2
Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = |x| – 5 с периодом 4, заданную на интервале-периоде (–2; 2).
Решение. Пусть f(x) – функция с периодом 2l. Разложение функции
f(x) в ряд Фурье, когда оно возможно, имеет вид
160
a0  
nx
nx 
f ( x) 
   an cos
 bn sin
,
2 n1
l
l 
коэффициенты которого определяются по формулам
1l
1l
nx
1l
nx
a0   f ( x)dx , an   f ( x) cos
dx , bn   f ( x)  sin
dx .
l
l
l
l
l
l
l
l
Если функция f(x) четная, то
a0 
nx
2l
2l
nx
; a0   f ( x)dx , an   f ( x) cos
f ( x) 
  an cos
dx .
2 n1
l
l
l
l
0
0
Если функция f(x) нечетная, то
f ( x) 

 bn sin
n 1
nx
2l
nx
, bn   f ( x) sin
dx .
l
l
l
0
Заданная функция четная с периодом 2l=4, поэтому
x  52
22
a0   ( x  5)dx 
2
2
0
2

0
9 25

 8 ,
2 8
u  x  5; du  dx
22
nx
an   ( x  5) cos
dx 
nx
2
nx 
dv  cos
dx; v 
sin
2
2
0
2
n
2
2
2
nx
2 2
nx
 ( x  5) sin

sin
 dx 

n
2 0 n
2
0
0, n  2k k  0, 
2
nx
4

n
8
 2 2 cos
 2 2  1  1  
 2
, n  2k  1.
2 0 n 
n 
  2k  12

Данная функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд
Фурье, поэтому
4

8
f ( x)  4  2




n 0
1
2n  1
2
161
 cos
(2n  1)x
.
2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение отметим, что настоящее пособие входит в комплект
пособий по курсу высшей математики.
В пособии подробно изложены практически все часто используемые методы решения задач части курса высшей математики (неопределенный и определенный интегралы; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; элементы теории поля; дифференциальные уравнения и системы; числовые и функциональные ряды; ряды Фурье). В ряде
случаев, при разборе конкретных примеров, приводится, возможно, не
самое короткое и изящное решение задачи. Это объясняется, прежде
всего тем, что при разборе примера автор в первую очередь стремился
дать наглядное применение предложенного метода, а вовсе не продемонстрировать примеры нестандартных подходов к решению различных задач. Приведенные решения также могут служить иллюстрацией
правильного оформления решения задач.
Пособие может быть использовано студентами заочной и дневной
форм обучения.
162
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………………
Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ……………………
1.1. Неопределенный интеграл ……………………………………..
Типовые примеры и их решения ……………………………….
1.2. Определенный и несобственный интегралы …………………...
Типовые примеры и их решения ……………………………….
1.3. Кратные интегралы ……………………………………………..
Типовые примеры и их решения ……………………………….
1.4. Криволинейные и поверхностные интегралы.
Элементы теории поля …………………………………………..
Типовые примеры и их решения ……………………………….
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ……………………………
2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка ……………...
Типовые примеры и их решения ……………………………….
2.2. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающих понижение порядка …………………………….
Типовые примеры и их решения ……………………………….
2.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами ………………..
Типовые примеры и их решения ……………………………….
2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами ……………….
Типовые примеры и их решения ……………………………….
2.5. Метод Лангранжа
(метод вариации произвольных постоянных) …………………
Типовые примеры и их решения ……………………………….
2.6. Системы дифференциальных уравнений ………………………
Типовые примеры и их решения ……………………………….
Глава 3. РЯДЫ ……………………………………………………………………...
3.1. Числовые ряды ………………………………………………….
Типовые примеры и их решения ……………………………….
3.2. Функциональные ряды ………………………………………….
Типовые примеры и их решения ……………………………….
3.3. Степенные ряды ………………………………………………..
Типовые примеры и их решения ……………………………….
3.4. Приложения степенных рядов к интегрированию
дифференциальных уравнений и приближенным вычислениям
Типовые примеры и их решения ……………………………….
3.5. Ряды Фурье ……………………………………………………...
Типовые примеры и их решения ……………………………….
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………
163
3
4
4
7
20
27
36
49
63
75
91
91
93
105
105
108
109
110
112
114
115
116
118
122
122
125
134
135
138
140
150
152
155
156
162
АРЕФЬЕВ Владимир Петрович
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть 2
Неопределенный и определенный интегралы
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Элементы теории поля
Дифференциальные уравнения и системы
Числовые и функциональные ряды
Ряды Фурье
Учебное пособие
Редактор
А. А. Цыганкова
Верстка
Л. А. Егорова
Подписано к печати
Формат 60×84/16.
Бумага «Классика».
Печать RISO. Усл.печ.л. 9,53. Уч.-изд.л. 8,63.
Заказ
. Тираж
экз.
Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета
сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE
по стандарту ISO 9001:2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.
164