Лекции по СМ

ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ
«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»
Основные понятия и определения
Курс «Сопротивления материалов» является частью общей науки механики.
Теоретическая механика изучает материальную точку и абсолютно твердое тело.
Теория упругости изучает твердые тела, гидравлика – жидкости, аэрогазодинамика
– газообразные вещества.
Объект изучения всех этих разделов – сплошная среда (равномерно
распределенная по всему объему), следовательно, применение математического
анализа и как следствие хорошее знание математики необходимо. В курсе
«Сопротивление материалов» изучают твердые деформируемые тела, т.е.
меняющие размеры и форму под действием нагрузок.
Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости, устойчивости и
надежности инженерных конструкций.
Целью курса является разработка инженерных методов расчета конструкций и их
деталей, а также методов изучения свойств материалов.
Прочность – свойство деталей и конструкций выдерживать рабочие нагрузки без
разрушения или пластических деформаций.
Жесткость – свойство конструкций или деталей выдерживать рабочие нагрузки
без значительных деформаций, нарушающих их нормальную работу.
Кроме прочности и жесткости конструкции и детали должны удовлетворять
следующим требованиям:
1. Вибростойкость - способность работать, не вступая в резонанс с
возмущающими воздействиями.
2. Вибропрочность – свойство деталей работать, не разрушаясь в условиях
вибрации.
3. Устойчивость - свойство возвращаться в исходное состояние после
устранения возмущающих воздействий.
4. Технологичность - свойство детали, которое позволяет изготавливать её
экономичными высокопроизводительными методами.
5. Современный дизайн.
Некоторые положения теоретической механики остаются справедливыми и для
деформированного тела:
например: 6 уравнений равновесия (рис.1);
Y
P1
Pi
X
P3
Z
P2
X = 0,
Y = 0,
Z = 0,
Lx = 0,
Ly = 0,
Lz = 0.
Рис.1
Но и есть различия, в теоретической механике не рассматриваются процессы
внутри тела.
Пример.
P1
P2
P2
P1
Рис.2
В теоретической механике силы можно переносить вдоль линии действия
(рис.2), с точки зрения механики деформированного тела сжатие и растяжение совершенно разные вещи;
Пример.
R
q
Рис.3
С точки зрения теоретической механики все силы можно заменять одной
равнодействующей (рис.3), а в механике деформированного тела этого делать
нельзя, так как при этом будут различные деформации.
При рассмотрении данного курса будем различать следующие виды внешних
нагрузок: поверхностные силы, массовые или объемные силы.
Поверхностные - это те силы, которые приложены к поверхности тела. Источник
этих сил – силы взаимодействия с другими телами. Эти силы характеризуются
вектором напряженности (интенсивности) поверхностных сил.
Y
q
X
|q| = [Н/м2] = Па,
1 Па = 0,109 кг/м2 – очень малая величина,
поэтому обычно пользуются [МПа].
Z
Рис.4
В качестве системы координат выбираем правую декартову систему, т.е. если
смотреть с конца одной из стрелок, то поворот по алфавиту между двумя другими
осями происходит против часовой стрелки. Вектор интенсивности можно
разложить по координатным осям: q (qx, qy, qz).
Если нагрузка распределена вдоль узкой полосы (рис.5), то интенсивность такой
поверхностной нагрузки будет измеряться в [Н/м].
q
Рис.5
Если нагрузка распределена на небольшой площадке (рис.6), то интенсивность
такой поверхностной нагрузки будет измеряться в [Н] и в этом случае силу можно
считать сосредоточенной.
q
Рис.6
Массовые силы приложены к каждой частице тела и возникают в результате
взаимодействия с полем.
Пример.
Гравитационное поле: |R| = [Н/м3]
R (X,Y,Z).
Нагрузки также бывают статическими и динамическими. Статические –
нагрузки, медленно изменяющиеся во времени. Динамические – нагрузки, быстро
меняющие свою величину во времени.
Физическая и математическая модель
Физическая модель – упрощенное представление объекта или явления,
сохраняющая основные его черты. Применительно к расчетам на прочность и
жесткость физическая модель должна отражать: геометрические свойства детали,
свойства материала детали, действующие на деталь нагрузки.
По геометрическим признакам все тела делятся на три группы:
1. Стержни – тела, у которых одно измерение существенно больше двух других
(характеризуются поперечным сечением и формой оси).
2. Пластины и оболочки – тела, у которых одно измерение существенно
меньше двух других (характеризуются толщиной и формой серединной
поверхности).
3. Массивы – тела, у которых все три измерения соизмеримы.
Реальные конструкционные материалы (стали, чугуны, цветные материалы)
имеют кристаллическое строение; кристаллы малы и расположены хаотично.
Сложность реального строения и возникающая трудность при математическом его
описании явились причиной разработки модели твердого тела. Эта модель должна
сохранить основные свойства материалов и в тоже время сделать простым их
аналитическое описание. Поэтому в расчетах на прочность и жесткость
принимается ряд основных гипотез и допущений:
1. Сплошность – материал не имеет в своей структуре пустот.
2. Однородность – одинаковые свойства материала в любой точке детали.
3. Изотропность – одинаковые свойства материала в различных направлениях.
4. Идеальная упругость (упругость – свойство тела восстанавливать форму и
размеры после снятия нагрузки; пластичность – свойство тела получать
большие остаточные деформации после снятия нагрузки).
5. Отсутствие первоначальных внутренних напряжений.
6. Принцип малых перемещений – перемещения конструкции малы по
сравнению с размерами конструкции.
7. Линейная деформируемость материала – в зоне действия упругих
деформаций зависимость между силой и приращением размера линейная.
8. Гипотеза плоских сечений – плоское до нагружения сечение остается
плоским и после нагружения.
Все свойства физической модели, описанные уравнениями, составляют
математическую модель деформированного тела. Математическая модель должна
содержать три группы уравнений:
1. статические - включающие нагрузки и условия равновесия;
2. физические - отражающие связь между нагрузками и деформациями;
3. геометрические - отражающие изменение формы и размеров под нагрузкой.
Геометрические характеристики сечения
Сопротивление стержня различным видам деформаций часто зависит не только
от материала и размеров, но и от очертаний оси, формы поперечного сечения и их
расположения относительно направления действующих нагрузок. Рассмотрим
основные геометрические характеристики поперечных сечений стержня, отвлекаясь
от физических свойств изучаемого объекта.
1. Площадь поперечного сечения. Данная величина может быть только
положительной и имеет размерность [м2]:
F=  dxdy .
(1)
2. Статические моменты инерции. Данная величина может быть любого знака и
имеет размерность [м3]:
Sх=  уdxdy ,
(2)
Sу=  хdxdy .
Оси, относительно которых статические моменты равны нулю, называются
центральными. Точка пересечения центральных осей называется центром
тяжести сечения.
3. Осевые моменты инерции. Данная величина может быть только
положительной и имеет размерность [м4]:
Iх=  у 2 dxdy ,
Iу=  х 2 dxdy .
(3)
4. Центробежный момент инерции. Данная величина может быть любого знака и
имеет размерность [м4]:
Iху=  хуdxdy .
(4)
Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются
главными. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными
центральными осями.
5. Полярный момент инерции. Данная величина может быть только
положительной и имеет размерность [м4]:
I=   2 dd =  (х 2  у 2 )dxdy = Iх+ Iу
(5)
6. Осевые моменты сопротивления. Данная величина может быть только
положительной и имеет размерность [м3]:
Ix
,
y max
Iy
Wу=
.
x max
Wх=
(6)
7. Полярный момент сопротивления. Данная величина может быть только
положительной и имеет размерность [м3]:
W=
I
 max
.
(7)
8. Радиусы инерции. Данная величина имеет размерность [м]:
Ix
,
F
Iy
iу= 
.
F
ix= 
(8)
Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе
координатных осей
Пусть известны геометрические характеристики сечения относительно осей ХY.
Требуется определить геометрические характеристики сечения относительно осей
Х1Y1. Известно, что оси этих двух систем координат параллельны (рис.10).
Координаты любой точки в новой системе координат можно выразить через
координаты в прежней системе координат следующим образом:
х1 =х-а,
у1=у-b.
Y
а
(9)
Y1
dF
х
х1
у1
Х1
у
Рис.10
b
Х
Запишем геометрические характеристики в новой системе координат по
определению и сделаем замену «новых» координат на предыдущие:
Sх1=  у1dxdy =  (у - b)dxdy =  уdxdy -  bdxdy = Sх – bF;
Sу1=  х 1dxdy =  (x - a)dxdy =  xdxdy -  adxdy = Sy – aF;
Iх1=  у1 2 dxdy =  (у - b) 2 dxdy =  (у 2 - 2by  b 2 )dxdy =
=  у 2 dxdy -  2bydxdy +  b 2 dxdy = Iх-2bSх + b2F;
(10)
Iу1=  х 1 2 dxdy =  (x - a) 2 dxdy =  (x 2 - 2ax  a 2 )dxdy =
=  x 2 dxdy -  2axdxdy +  a 2 dxdy = Iy-2aSy + a2F;
Iх1у1=  х 1 у1dxdy =  (x - a)(у - b)dxdy =  (xy - aу - bx  ab)dxdy =
=  xydxdy -  aуdxdy -  bxdxdy +  abdxdy = Iху - aSy – bSx + abF.
Необходимо помнить, что координаты а и b, входящие в формулы, необходимо
подставлять с учетом их знака.
Рассмотрим частный случай. Пусть оси Х1Y1 – центральные, тогда
Sх1= Sх - bF=0,
Sу1= Sу - аF=0.
Следовательно
b=Sх/F=ус,
(11)
a=Sy/F=хс,
где хс, ус - координаты центра тяжести сечения в произвольной системе
координат ХY.
Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей
У
dF
х
У1
Х1
у
х1
у1

Х
Рис.11
Пусть известны геометрические характеристики сечения относительно осей ХY.
Требуется определить геометрические характеристики сечения относительно осей
Х1Y1. Известно, что оси этих двух систем координат повернуты друг относительно
друга на угол  и имеют общее начало координат (рис.11). Координаты любой
точки в новой системе координат можно выразить через координаты в прежней
системе координат:
х1=хcos+ysin,
у1=уcos-xsin.
(12)
Запишем геометрические характеристики в новой системе координат по
определению и сделаем замену «новых» координат на предыдущие:
Iх1=
=
=
 у
2
 (y
 у
1
2
2
dxdy =
 (y  cosα  x  sin  )
2
dxdy =
 cos 2 α  2 xy  cosα  sinα  x 2  sin 2 )dxdy =
 cos 2 α dxdy -
 2xy  cosα  sinα dxdy
+
 x
2
 sin 2 α dxdy =
= Iхcos2 - Iхуsin2 + Iуsin2 ;
Iу1=  x12 dxdy =  (x  cosα  y  sin  ) 2 dxdy =
(13)
=
=
 x
2
 (x
2
 cos 2 α  2 xy  cosα  sinα  y 2  sin 2 )dxdy =
 cos 2 α dxdy +
 2xy  cosα  sinα dxdy
+
 y
2
 sin 2 α dxdy =
= Iycos2 + Iхуsin2 + Ixsin2 ;
Iх1у1=  х 1 у1dxdy =  (y  cosα  x  sin  )(x  cosα  y  sin  )dxdy =
 (xy  cos α  x  cosα  sinα  y  cosα  sinα  xy  sin α)dxdy =
=  xy  cos α dxdy -  x  cosα  sinα dxdy +  y  cosα  sindxdy -  xy  sin α dxdy = Iхуcos2 - 0,5Iysin2 +0,5Ixsin2 - Iхуsin2 =
2
=
2
2
2
2
2
2
2
= Iхуcos2 - 0,5sin2(Iy - Ix) .
Необходимо помнить, что угол , входящий в формулы, необходимо подставлять
с учетом знака.
Сложим выражения для осевых моментов инерции при повороте координатных
осей.
Iх1 + Iу1 = Iх(cos2 + sin2) + Iу(sin2 + cos2 ) + Iху(sin2- sin2) = Iх + Iу.
Отсюда можно сделать вывод, что при повороте координатных осей сумма
осевых моментов инерции неизменна и равна полярному моменту инерции
относительно начала координат.
Рассмотрим частный случай. Пусть оси Х1Y1 – главные центральные, тогда
Iх1у1= Iхуcos2 - 0,5sin2(Iy – Ix) = 0,
2I xy
tg2 =
.
Iy  Ix
(14)
Необходимо помнить, что при решении задач угол, рассчитанный по формуле
(14), откладывается против часовой стрелки, если он положителен и по часовой
стрелке, если отрицателен.
Геометрические характеристики сложных сечений
При вычислении геометрических характеристик сложных сечений последние
обычно разбивают на отдельные простые части, геометрические характеристики
которых известны (для простых фигур они приведены в справочниках). Из
основного свойства интеграла суммы следует, что геометрические характеристики
сложной фигуры равны сумме геометрических характеристик её составных частей.
Заметим, что в случае, когда в сечении имеется отверстие, его геометрические
характеристики необходимо вычитать. Также следует учесть, что суммирование
или вычитание геометрических характеристик можно производить только в том
случае, если они посчитаны относительно одних и тех же осей. Поэтому, если оси
простых фигур не совпадают, предварительно необходимо, используя формулы
параллельного переноса (10), пересчитать геометрические характеристики
относительно одной и той же оси.
Пример. Определить положение главных центральных осей и значения
геометрических характеристик относительно них для сложного сечения
представленного на рис.12.
Ус
У2 У0
3с
У1
0,64с 0,86с
Хс
Х2
с
1,5с
Х1
Х0
0,76с 0,57с
1,33с
4с
Рис.12
Разобьем данное сечение на элементарные фигуры, геометрические
характеристики которых известны по справочникам. Оси Х1У1 – центральные оси
первой фигуры. Оси Х2У2 – центральные оси второй фигуры.
1 фигура - треугольник:
bh 2c 3c
F1=
=
= 3c 2
2
2
Sx1=0
Sy1=0
bh 3 2c (3c)3
=
= 1,5c 4
Ix1=
36
36
3
hb
3c (2c)3
=
= 0,67c 4
Iy1=
36
36
b2h 2
(2c) 2 (3c) 2
Ix1y1=== -0,5c 4
72
72
2 фигура - прямоугольник:
F2 = bh = 4c∙c = 4c2
Sx2=0
Sy2=0
bh 3 4c с 3
Ix2=
=
= 0,33c 4
12
12
3
hb
c (4c)3
Iy2=
=
= 5,33c 4
12
12
Ix2y2=0
Заметим, что центробежный момент инерции прямоугольника равен нулю, т. к.
фигура имеет ось симметрии.
За вспомогательные оси, относительно которых вычисляем координаты центра
тяжести всего сечения, принимаем Х1У1.
S1y1 + S2y1
S1y1 + (S2y2 + aF2 ) 0 + 0 + 1,33с 4с 2
=
Хс=
=
= 0,76с
F1 + F2
F1 + F2
3с 2 + 4с 2
S1x1 + S2x1 S1x1 + (S 2x2 + bF2 ) 0 + 0 - 1,5с 4с 2
=
Ус=
=
= - 0,86c
F1 + F2
F1 + F2
3с 2 + 4с 2
По полученным значениям координат центра тяжести находим положение
центральных осей всего сечения.
Найдем геометрические характеристики всего сечения относительно
центральных осей. Так как
оси параллельны, воспользуемся формулами
преобразования при параллельном переносе осей.
Sxс=0
Syс=0
Ixc = I1xc + I 2xc = (I1x1 + a12 F1 ) + (I 2x2 + a 22 F2 ) =
=(1,5с4 + (0,86с)2∙3с2) + (0,33с4 + (-0,64с)2∙4с2) = 5,69с4
Iyc = I1yc + I 2yc = (I1y1 + b12 F1 ) + (I 2y2 + b 22 F2 ) =
=(0,67с4 + (-0,76с)2∙3с2) + (5,33с4 + (0,57с)2∙4с2) = 9,03с4
Ixcyc = I1xcyc + I 2xcyc = (I1x1y1 + a 1b1F1 ) + (I 2x2y2 + a 2 b 2 F2 ) =
=(-0,5с4 + (0,86с)∙(-0,76с)∙3с2) + (0 + (-0,64с)∙(0,57с)∙4с2) = -3,92с4
Найдем положение главных центральных осей сечения. Для этого определяем
угол поворота центральных осей.
2I xcyc
2(-3,92 c 4 )
=
tg2=
= – 2,35,
I yc - I xc 9,03c 4 - 5,69c 4
=0,5arctg(- 2,35) = - 33,5°.
Так как получили отрицательный угол, то поворачиваем центральные оси по
часовой стрелке.
Найдем значения геометрических характеристик относительно главных
центральных осей сечения Х0У0:
Iх0= Iхccos2 - Iхcуcsin2 + Iуcsin2 = 5,69с4 ∙cos2(-33,5) + 3,59c4∙sin(-67) + 9,03с4∙sin2(33,5) = 3,4с4 ;
Iу0= Iyccos2 + Iхcуcsin2 + Ixcsin2 = 9,03с4∙ cos2(-33,5) – 3,59c4∙sin(-67) + 5,69с4∙
sin2(- 33,5) = 11,32с4;
Iх0у0= Iхcуccos2 - 0,5sin2(Iyc - Ixc) = - 3,92 cos(-67) – 0,5sin(-67)(9,03с4 – 5,69с4)
= 0.
Статические моменты инерции сечения при повороте осей проходящих через
центр тяжести не меняются и остаются равными нулю.
Метод сечений. Внутренние силы
Для изучения внутренних явлений в теле используется метод сечений.
Левая
часть
Правая
часть
Рис.13
Все тело находится в равновесии. После мысленного разрезания и отбрасывания
правой части её действие должно быть заменено системой сил (рис.13) в сечении,
сохраняющих равновесие левой части. Такие же силы, но противоположного
направления действуют на правую часть.
Для удобства приводим все силы, действующие в сечении, к центру тяжести; в
результате этого получается главный вектор сил и главный вектор моментов
(рис.14).
Q
Левая
часть
Левая
часть
Рис.14
М
Разложим главные вектора по осям в правой системе координат: Q (Qx, Qy, Qz); M
(Mx, My, Mz) (рис.15).
Qу
Левая
часть
Му
Qх
Левая
часть
Qz
Мх
Мz
Рис.15
Проекции имеют определенные названия: Qx, Qy – поперечные силы; Qz –
продольная сила; Mx, My – изгибающие моменты; Mz – крутящий момент.
Сила считается положительной, если ее направление совпадает с осью, момент
считается положительным, если он создает вращение против часовой стрелки
(смотреть необходимо с конца соответствующей оси). Эти шесть проекций
называют интегральными характеристиками напряжений.
Всё тело до рассечения находилось в равновесии. Так как силы, действующие в
сечении, заменяют действие отброшенной части, то и оставшаяся часть должна
находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения статики.
Х=0,
Р1х + Р2х + …+ Qх = 0,
Qх = - (Р1х + Р2х + …).
Проекция главного вектора внутренних сил на ось Х равна сумме проекций на
эту ось всех внешних сил, действующих на левую часть, взятых с
противоположными знаками. Аналогично получаем выражения для остальных
проекций главного вектора внутренних сил и главного вектора момента внутренних
сил.
Qу = - (Р1у + Р2у + …),
Qz = - (Р1z + Р2z + …),
Mх = - (Mхp1 + Mхp2 + …),
Mу = - (Mуp1 + Mуp2 + …),
Mz = - (Mzp1 + Mzp2 + …).
(15)
Полученные уравнения дают лишь интегральные характеристики внутренних
сил, но не дают информации о распределении сил по сечению.
Напряжение. Напряженное состояние в точке тела
Нагруженное тело мысленно рассечем плоскостью, и действие отброшенной
части заменим действием внутренних сил. В сечении выберем произвольную точку,
а в её окрестности элементарную площадку F. Равнодействующую сил,
действующих на площадку, обозначим Р (рис.16).
Р
Рис.16
Среднее полное напряжение на заданной площадке будет равно:
Рср =
ΔР
.
ΔF
Если площадку уменьшать, то в пределе она обратится в точку. Напряжение это предел отношения внутренней силы к площади, на которой она действует при
условии, что площадь стремится к нулю. Р – полное напряжение [Н/м2].
P = limF0
ΔР
.
ΔF
(16)
Вектор полного напряжения можно разложить на проекции (рис.17). Проекцию
полного напряжения на нормаль к плоскости сечения будем называть нормальным
напряжением (обозначается ), а проекцию полного напряжения на плоскость
сечения – касательным напряжением (обозначается ). Вектор нормали к сечению
обозначим через .
Р=
σ2  τ2
(17)

Р


Рис.17
Направление касательного напряжения не однозначно, что создает неудобство
при математической обработке, поэтому его раскладывают по координатным осям в
плоскости сечения. Возьмем правую систему координат. Тело рассечем
перпендикулярно оси Z (рис.18).
Y zy
zx
X
z
Z
Рис.18
τ =
τ 2zx  τ 2zy
Индекс нормального напряжения соответствует оси, перпендикулярной
плоскости сечения. Индексы касательного напряжения проставляются следующим
образом: первый индекс соответствует оси, перпендикулярной плоскости сечения, в
котором лежит касательное напряжение, второй индекс соответствует оси, которой
параллельно касательное напряжение.
Проводя другие плоскости, будем получать другие значения напряжений.
Совокупность напряжений по всем плоскостям, проходящим через заданную точку,
называется напряженным состоянием в точке тела.
В общем случае в точке твердого деформированного тела может возникнуть 9
напряжений: 3 нормальных и 6 касательных. Эти напряжения образуют тензор
напряжений:
σх
Т σ  τ xy
τ xz
τ yx
σу
τ yz
τ zx
τ zy
σz
(18)
Интегральные характеристики напряжений в точке
Установим связь между интегральными характеристиками напряжений и
напряжениями в сечении.
Y
dF
zy
zx
X
z
Z
Рис.19
Выберем бесконечно малую площадку dF = dxdy. На этой площадке действуют
нормальное напряжение z и касательные напряжения zx, zy (рис.19). Для того,
чтобы найти элементарную продольную силу, необходимо умножить нормальное
напряжение на площадь площадки, на которой оно действует (zx, zy
перпендикулярны оси Z и поэтому не входят в состав продольной силы). Так как
таких элементарных площадок по сечению бесконечно много, то, чтобы найти
полную продольную силу, необходимо проинтегрировать
элементарную
продольную силу по площади поперечного сечения:
dN=zdxdy,
N=  σ z dxdy .
(19)
Аналогично поступаем для получения выражений поперечных сил:
Qx=  τ zx dxdy ,
Qy=  τ zy dxdy .
(20)
Для получения выражений изгибающих и крутящего моментов напомним, что
момент - это произведение силы на плечо (плечо - это кратчайшее расстояние от
оси до линии действия силы). Вокруг оси Х момент создает только сила zdxdy
(сила zхdxdy не создает момент, так как параллельна оси Х; сила zуdxdy не
создает момент, так как пересекает ось), плечом для этой силы является координата
Y точки действия силы. Момент положительный, так как создает вращение против
часовой стрелки:
Mx =  у  σ z dxdy .
(21)
Аналогично поступаем для получения выражений моментов Mу и Mz:
Mу =-  х  σ z dxdy ,
Мz =
 (х  τ
zу
dxdy - у  τ zx dxdy ) .
(22)
(23)
Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения
Определим величину нормального напряжения в плоскости поперечного сечения,
зная интегральные характеристики в этом сечении. Предположим, что нормальные
напряжения в сечении распределены по линейному закону:
(х,у) = а + bх + су
(24)
С нормальным напряжением в сечении связаны продольная сила и два
изгибающих момента. Подставим в выражения (19), (21) и (22) наше
предположение о линейной зависимости напряжения от координат в сечении (24):
N=
=
 σ dxdy =  (а  b  x  c  y)dxdy =
 аdxdy +  b  xdxdy +  c  ydxdy =
z
= аF+bSy+cSx
Mx =  у  σ z dxdy =  у  (а  b  x  c  y)dxdy =
 у  аdxdy +  у  b  xdxdy +  у  c  y)dxdy = aSx+bIxy+cIx
Mу = -  х  σ dxdy = -  х  (а  b  x  c  y)dxdy =
= -  х  аdxdy -  х  b  xdxdy -  х  c  ydxdy = -aSy-bIy-cIxy
=
(25)
z
Выражения (25) были получены для произвольного положения осей. Их можно
упростить, взяв в качестве системы координат главные центральные оси. По
определению в этих осях статические и центробежный моменты инерции равны
нулю (Sx= Sу= 0, Ixy=0).
N = аF
Mx = cIx
Mу = -bIy
(26)
Из полученных выражений можно найти коэффициенты а, b и с:
а = N/F, с = Mx /Ix , b = -Mу /Iy
(27)
Подставив полученные значения коэффициентов в наше предположение о
распределении нормального напряжения по сечению (24), получим
=
M
N Mx

y y x ,
F Ix
Iy
(28)
где N – продольная сила в сечении; Мх, Му – изгибающие моменты в сечении;
F – площадь поперечного сечения; Iх, Iу – главные осевые моменты инерции
сечения; х, у – координаты точки, в которой вычисляется напряжение относительно
главных центральных осей.
Закон парности касательных напряжений
В окрестностях произвольной точки напряженного тела выделим элементарный
объём в форме прямоугольного параллепипеда со сторонами dx, dy, dz. На каждой
из граней действует по три составляющих напряжения: нормальное напряжение и
два касательных (рис.20).
Z
z
zy
zx
yz
xz
x
y
xy
yx
Y
X
Рис.20
Составим уравнение равновесия выделенного элемента в форме суммы моментов
всех сил относительно оси X:
Мх = 0,
уdxdzdy - уdxdzdy + zdxdydz - zdxdydz + xydydz
+ xzdydz
dz
dz
- xydydz
+
2
2
dy
dy
- xzdydz
+ zydxdydz - yzdxdzdy = 0,
2
2
приведя подобные слагаемые и упростив выражение, получим:
zy = yz.
(29)
Составляя уравнения равновесия относительно осей Y и Z, получим аналогичные
выражения:
zх = хz,
хy = yх.
(30)
Полученные выражения (29), (30) определяют закон парности касательных
напряжений: касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках
равны по величине и направлены либо к общему ребру, либо от него.
Напряжения на наклонных площадках
Элементарный объём в форме параллепипеда, связанный с системой координат
таким образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем
наклонной плоскостью (рис.21).
Z
Р
x
yx

xy
y
xz
yz
Y
zx
zy
z
X
Рис.21
Положение наклонной площадки характеризуется вектором нормали  с
направляющими косинусами l, m, n. На наклонной площадке площадью dF
действует полное напряжение Р с проекциями по осям Рх, Ру, Рz. Пусть нормальные
и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями,
известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной
площадке -  и . Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут
иметь площади:
dFx = dFl,
dFy = dFm,
dFz = dFn.
Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось Х:
Х = 0,
PxdF - xdFx - yxdFy - zxdFz = 0,
PxdF - xdFl - yxdFm - zxdFn = 0,
Px = xl + yxm + zxn.
(31)
Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси Y и Z, получаем
выражения для двух других проекций полного напряжения:
Py = xyl +ym + zyn,
Pz = xzl + yzm +zn.
(32)
Чтобы определить нормальное напряжение на наклонной площадке, спроецируем
проекции полного напряжения на нормаль.
 = Pxl + Pym + Pzn =
= xl2 + yxml + zxnl + xylm +ym2 + zynm + xzln + yzmn +zn2
С учетом закона парности касательных напряжений - (29) и (30),
основную квадратичную форму нормальных напряжений:
 = xl2 + ym2 +zn2 + 2yxml + 2zxnl + 2zynm
получаем
(33)
Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой
наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений
на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного
напряжения на наклонной площадке:
Р2 = Px2 + Pу2+ Pz2 = 2 + 2,
2= Px2 + Pу2+ Pz2 - 2.
(34)
Главные площадки и главные напряжения
Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке зависят от ее
положения, то есть от направляющих косинусов l, m, n.
Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю и действуют только
нормальные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения на этих
площадках называются главными напряжениями.
Предположим, что наклонная площадка с направляющими косинусами l, m, n
является главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает с
вектором полного напряжения. Тогда нормальное напряжение на этой площадке
равно полному напряжению, а касательное напряжение равно нулю (рис.22).
Проекции полного напряжения на координатные оси равны:
Px = l,
Pу = m,
Z
Pz = n.
Р=

Y
X
Рис.22
Используя выражения, полученные для наклонной площадки, - (31) и (32), имеем:
Px = xl + yxm + zxn = l,
Pу = xyl + ym + zyn = m,
Pz = xzl + yzm + zn = n.
В данных уравнениях четыре неизвестных (направляющие косинусы l, m, n и
главное напряжение ), поэтому необходимо четвертое уравнение:
(x - )l + yxm + zxn = 0
xyl + (y - )m + zyn = 0
xzl + yzm + (z - )n = 0
l2 + m2 + n2 = 1
(35)
Система уравнений имеет ненулевое решение (нулевое не устраивает из-за
четвертого уравнения системы), когда равен нулю главный определитель системы:
x - 
xy
xz
yx
y - 
yz
zx
zy
z - 
= 0
(36)
Раскроем определитель
(x - )(y - )(z - ) + yxzyxz + xyyzzx - xz(y - )zx - xyyx(z - ) - yzzy(x - ) = 0.
xyz - yz - xz + 2z - xу + 2у + 2х - 3 + 2xyyzzx –
- yxz2 + xz2 - zxу2 + xу2 - хуz2 + уz2 = 0.
Сгруппируем слагаемые по степеням главного напряжения
- 3 + 2(x + y + z) - (yz + xz + xу - xz2 - xу2 - уz2) +
+ (xyz + 2xyyzzx - yxz2 - zxу2 - хуz2) = 0.
Запишем это уравнение в более компактной форме
3 – I12 + I2 – I3 = 0
(37)
где I1 = x + y + z,
I2 = yz + xz + xу - xz2 - xу2 - уz2,
I3 = xyz + 2xyyzzx - yxz2 - zxу2 - хуz2 .
Введенные обозначения называются инвариантами напряженного состояния. Так
как главные напряжения в точке являются физической характеристикой, то они не
зависят от выбора системы координат, а, следовательно, и значения инвариантов
также не зависят от выбора системы координат.
Решая кубическое уравнение (37), получим три вещественных корня – три
главных напряжения, которые нумеруются в порядке убывания: 1  2  3.
Подставляя величину главного напряжения в систему (35), можно определить
положение главной площадки, т.е. определить ее направляющие косинусы. Три
главных площадки в точке взаимно перпендикулярны.
Экстремальные свойства главных напряжений.
Круговая диаграмма Мора
Возьмем в теле произвольную точку А (х, у, z). Через эту точку можно провести
бесконечное множество площадок. Очевидно, что на одной из площадок
нормальное напряжение достигнет наибольшего для данной точки значения, а на
другой касательное напряжение примет свое максимальное значение.
Пусть для точки А известно положение главных осей напряженного состояния.
Если их принять за систему координат (рис.23), то в наклонной площадке с
вектором нормали  (l, m, n) возникают нормальные и касательные напряжения
Р(, ). Определим эти напряжения и исследуем их экстремальные свойства.
2
Р
3

1
3
1
2
Рис.23
Нормальные напряжения в любой наклонной площадке выражаются основной
квадратичной формой (33). Запишем её с учетом того, что в качестве системы
координат приняты главные оси:
 = 1l2 + 2m2 + 3n2
(38)
Найдем квадрат полного напряжения на наклонной площадке как сумму
квадратов его проекций, выражения для которых были найдены ранее (32):
Р2 = Pх2+ Pу2 + Pz2 = 12l2 + 22m2 + 32n2
(39)
Также полное напряжение на наклонной площадке можно представить как сумму
нормального и касательного напряжений (17).
Таким образом, мы имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными - l2, m2,
n2:
 = 1l2 + 2m2 + 3n2
2 + 2 = 12l2 + 22m2 + 32n2
1 = l2 + m2 + n2
(40)
Умножим каждое уравнение на произвольные множители a, b, c и сложим,
сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам
а + b(2 + 2) + с =
= l2(а1 + b12 + с) + m 2(а2 + b22 + с) + n 2(а3 + b32 + с)
(41)
Для определения величины l2 подберем коэффициенты a, b, c таким образом,
чтобы вторая и третья скобки в правой части уравнения (41) обнулились:
а2 + b22 + с = 0,
а3 + b32 + с = 0,
получаем
b = 1, а = -(2 +3), с = 23.
Подставляя полученные коэффициенты в уравнение (41), находим величину l2:
l2=
а  σ  (σ 2  τ 2 )  с  (σ 2  σ 3 )  σ  σ 2  τ 2  σ 2 σ 3 (σ  σ 2 )  (σ  σ 3 )  τ 2
.


(σ1  σ 2 )  (σ1  σ 3 )
а  σ1  b  σ12  с
 (σ 2  σ 3 )  σ1  σ12  σ 2  σ 3
(42)
Аналогично находим квадраты двух других направляющих косинусов
m2 =
(σ  σ 3 )  (σ  σ1 )  τ 2
,
(σ 2  σ 3 )  (σ 2  σ1 )
n2 =
(σ  σ1 )  (σ  σ 2 )  τ
.
(σ 3  σ1 )  (σ 3  σ 2 )
(43)
2
В уравнениях (42) и (43) дроби должны быть больше нуля, так как в левых частях
стоят квадраты величин. Проанализируем знаменатели дробей на основе
неравенства 1  2  3:
(σ1  σ 2 )  (σ1  σ3 )  0,
(σ 2  σ3 )  (σ 2  σ1 )  0,
(σ3  σ1 )  (σ3  σ 2 )  0.
На основе неравенств (44) можно сделать вывод о знаке числителя:
(44)
(σ  σ 2 )  (σ  σ 3 )  τ 2  0,
(σ  σ3 )  (σ  σ1 )  τ 2  0,
(σ  σ1 )  (σ  σ 2 )  τ 2  0.
(45)
Сделав ряд математических преобразований, можно показать, что неравенства
(45) представляют собой области, ограниченные окружностями. Рассмотрим третье
неравенство и представим его решение графически (рис.24):
σ  σ 2  2  σ1 σ 2 

σ  1
τ 

2 

 2 
2
(46)
Представим решение системы (45) графически (рис.25). Эта диаграмма
называется круговой диаграммой Мора. Круговая диаграмма позволяет
установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.

(1-2)/2
3

3
2
1
(1+2)/2
Рис.24
1 - максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на
любой наклонной площадке;
3 - минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на
любой наклонной площадке;
σ1  σ 3
max =
- максимальное касательное напряжение, которое может
2
возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках
наклоненных к главным на угол 45.
2

3
max
1

3
2
1
Рис.25
Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения
При проектировании строительных конструкций, машин и механизмов инженеру
необходимо знать значения величин, характеризующих прочностные и
деформационные свойства материалов. Их можно получить путем механических
испытаний, проводимых в экспериментальных лабораториях на соответствующих
испытательных машинах. Таких испытаний проводится много и самых различных –
испытания на твердость, сопротивляемость ударным и переменным нагрузкам,
противодействие высоким температурам и т.д. Подробное описание всех видов
механических испытаний и применяемых при этом машин и приборов приводится
в специальной литературе. Мы же рассмотрим лишь испытания металлов на
растяжение.
Наибольшую информацию о механических свойствах металлов можно получить
из статических испытаний на растяжение. Испытания проводятся в соответствии с
ГОСТом.
Для испытания на растяжение применяют образцы специальной формы –
цилиндрические (рис.26). Образцы имеют рабочую часть с начальной длиной l0, на
которой определяется удлинение, и головки с переходным участком, форма и
размеры которых зависят от способов их крепления в захватах машины. Различают
длинные образцы с отношением l0/d0=10 и короткие - l0/d0=5. Размеры образцов
делают стандартными для того, чтобы результаты испытаний, полученные в разных
лабораториях, были сравнимы.
d0
l0
Рис.26
Испытания проводят на разрывных или универсальных машинах. В зависимости
от метода приложения нагрузки машины бывают с механическим или
гидравлическим приводом. Они обычно выпускаются с вертикальным
расположением образца. Передача усилия на образец осуществляется через захваты.
Разрывная машина снабжена устройством для автоматической записи в
определенном масштабе диаграммы растяжения, т.е. графика зависимости между
растягивающей силой Р и удлинением образца l. На рис.27 представлена
диаграмма растяжения образца из низкоуглеродистой стали.
В начальной стадии нагружения до некоторой точки А диаграмма растяжения
представляет собой наклонную прямую, что указывает на пропорциональность
между нагрузкой и деформацией – справедливость закона Гука.
P
E
K
В С Д
A
Pуп
Pпц
Рmax
Pт
Рк
l
O
Рис.27
Нагрузка, при которой эта пропорциональность еще не нарушается, на
диаграмме обозначена Рпц и используется для вычисления предела
пропорциональности:
пц=
Р пц
,
F0
(47)
где F0 – начальная площадь поперечного сечения образца.
Пределом пропорциональности пц называется наибольшее напряжение, до
которого существует прямо пропорциональная зависимость между нагрузкой и
деформацией.
Зона ОА называется зоной упругости. Здесь возникают только упругие, очень
незначительные деформации. Данные, характеризующие эту зону, позволяют
определить значение модуля упругости Е, как тангенс угла наклона этой прямой.
После достижения предела пропорциональности деформации начинают расти
быстрее, чем нагрузка, и диаграмма становится криволинейной. На этом участке в
непосредственной близости от точки А находится точка В, соответствующая
пределу упругости:
уп=
Р уп
F0
(48)
Пределом упругости уп называется максимальное напряжение, при котором в
материале не обнаруживается признаков пластической (остаточной) деформации.
У большинства металлов значения предела пропорциональности и предела
упругости незначительно отличаются друг от друга. Поэтому обычно считают, что
они практически совпадают.
При дальнейшем нагружении криволинейная часть диаграммы переходит в почти
горизонтальный участок СД – площадку текучести. Здесь деформации растут
практически без увеличения нагрузки. Нагрузка Рт, соответствующая точке Д,
используется при определении физического предела текучести:
 т=
Рт
F0
(49)
Пределом текучести т называется напряжение, при котором образец
деформируется без заметного увеличения растягивающей нагрузки.
Предел текучести является одной из основных механических характеристик
прочности металлов.
Зона ВД называется зоной общей текучести. В этой зоне значительно
развиваются пластические деформации. При этом происходит изменение
внутренней структуры металла, что приводит к его упрочнению. Диаграмма после
зоны текучести снова становится криволинейной, образец приобретает способность
воспринимать возрастающее усилие до значения Рmax – точка Е на диаграмме. Это
усилие используется для вычисления временного сопротивления или предела
прочности:
в=
Рв
F0
(50)
Пределом прочности называется напряжение, соответствующее максимальной
нагрузке, достигнутой в ходе испытаний.
Зона ДЕ называется зоной упрочнения. Здесь удлинение образца происходит
равномерно по всей его длине, первоначальная цилиндрическая форма образца
сохраняется, а поперечное сечение изменяется незначительно, но также
равномерно.
При максимальном или несколько меньшем усилии на образце в наиболее слабом
месте возникает локальное уменьшение поперечного сечения – шейка. Дальнейшая
деформация происходит в этой зоне образца. Сечение в середине шейки
продолжает быстро уменьшаться, но напряжения в этом сечении все время растут,
хотя растягивающее усилие и убывает. Вне области шейки напряжения
уменьшаются, и поэтому удлинение остальной части образца не происходит.
Наконец, в точке К образец разрушается. Сила, соответствующая точке К,
называется разрушающей Рк, а напряжения – истинным сопротивлением разрыву:
Sк=
Рк
,
Fк
(51)
где Fк – площадь поперечного сечения в месте разрыва.
Зона ЕК называется зоной местной текучести.
Помимо указанных характеристик прочности определяют характеристики
пластичности.
Относительное удлинение после разрыва  () – это отношение приращения
расчетной длины образца после разрыва к ее первоначальному значению,
вычисляемое по формуле:
δ
lк  lo
100 
lo
(52)
Заметим, что относительное удлинение после разрыва зависит от отношения
расчетной длины образца к его диаметру. С увеличением этого отношения значение
 уменьшается, так как зона шейки (зона местной пластической деформации) у
длинных образцов занимает относительно меньше места, чем в коротких образцах.
Кроме того, относительное удлинение зависит и от места расположения шейки
(разрыва) на расчетной длине образца. При возникновении шейки в средней части
образца местные деформации в области шейки могут свободно развиваться и
относительное удлинение будет больше, чем в случае, когда шейка возникает ближе
к головке образца, тогда местные деформации будут стеснены.
Другой характеристикой пластичности является относительное сужение после
разрыва  (), представляющее собой отношение уменьшения площади
поперечного сечения образца в месте разрыва к начальной площади поперечного
сечения образца:
ψ
Fк  Fo
100 
Fo
(53)
Диаграмма растяжения характеризует свойства образца, так как зависит от его
размеров. Для оценки механических свойств материала диаграмму растяжения
перестраивают в координатах «напряжение-деформация»: все ординаты делят на
первоначальную площадь поперечного сечения F0, а все абсциссы – на
первоначальную длину рабочей части l0. В результате получаем диаграмму
напряжений, которая имеет тот же вид, что и диаграмма растяжения, так как F0 и l0
постоянны. Эта диаграмма является условной, поскольку при ее построении не
учитывается изменение значений F0 и l0
в процессе испытания. Поэтому
определенные ранее пределы пропорциональности, текучести и прочности
являются условными. Истинные же напряжения в каждый момент нагружения
будут больше условных. Заметное отклонение истинных напряжений от условных
происходит после предела текучести, так как сужение сечения становится более
значительным. Особенно сильно возрастает разница между напряжениями после
образования шейки. Диаграмма напряжений, построенная с учетом сужения
площади поперечного сечения и местного увеличения деформаций, называется
диаграммой истинных напряжений.
Некоторые диаграммы растяжения не имеют ярко выраженной площадки
текучести, например, для низколегированных сталей, сплавов алюминия (рис.28). В
этих случаях вместо физического предела текучести определяют условный предел
текучести 0,2 (точка Д) – напряжение, при котором остаточное удлинение
достигает 0,2 от рабочей длины образца.


D
В
0,2
А
Е
0,2
в


Рис.28
Математическая модель механики твердо деформируемого тела
Полная математическая модель механики твердо деформированного тела состоит
из трех частей: уравнения равновесия, геометрические соотношения и физические
соотношения. Рассмотрим каждую из частей более подробно.
I. Уравнения равновесия.
В твердо деформированном теле выберем некоторую точку А с координатами
(x,y,z). Вблизи этой точки вырежем объем dV=dxdydz. На каждой грани
вырезанного элемента действует по три напряжения: одно нормальное и два
касательных (рис.29). Кроме этого на элементарный объем действуют массовые
силы R(X, Y, Z).
Z
z+dzz
zy+dzzy
zx+dzzx
yx
y
yz
xz+dxxz
xy+dxxy
x+dxx
yx+dyyx
Y
zx
zy
X
yz+dyyz
y+dyy
z
Рис.29
Так как все тело находится в равновесии, то в равновесии находится и
элементарный объем и, следовательно, можно составить три уравнения равновесия
сил в проекциях на оси координат. Напомним, что для того чтобы получить силу,
необходимо умножить напряжение на площадь грани, на которой оно действует.
-xdydz + (x + dxx)dydz - yxdxdz + (yx + dyyx)dxdz –
- zxdxdy + (zx + dzzx)dxdy + Xdxdydz = 0,
раскроем скобки и распишем частные производные
τ
σ х
τ
dxdydz  yx dxdydz  zx dxdydz  Xdxdydz  0 ,
х
y
z
поделим уравнение на элементарный объем
σ х τ yx τ zx


X0
х
y
z
(54)
Аналогично запишем уравнения равновесия по двум другим осям координат:
,
τ xz τ yz σ z


 Z  0.
x
y
z
(55)
Полученная система уравнений содержит шесть неизвестных компонентов: три
нормальных напряжения и три касательных напряжения (с учетом закона парности
касательных напряжений). Следовательно, этих уравнений недостаточно для
решения поставленной задачи.
II. Геометрические соотношения.
В теле выберем некоторую точку А с координатами (x,y,z). После нагружения и
деформации (рис.30) точка А переместилась в точку А1 с координатами (х1, у1, z1)
на малую величину r (х, у, z).
Введем обозначения
х = х1 – х = U,
у = у1 – у = V,
(56)
z = z1 – z = W,
где U, V, W – перемещения вдоль координатных осей Х, У, Z.
Теперь возьмем отрезок АВ бесконечно малой длины dS с направляющими
косинусами (l, m, n). Изменение длины отрезка под нагрузкой dS1 - dS = dS
называется абсолютным удлинением или приращением.
Z
Y
dS1
B1
A1
r
A
dS
B
X
Рис.30
Отношение приращения
к первоначальной длине
относительным удлинением или линейной деформацией:
=
ΔdS
dS
отрезка
называется
(57)
Пусть отрезок dS имеет проекции по координатным осям (dx, dy, dz). Зная
направляющие косинусы отрезка, найдем величину проекций:
dx=ldS,
dy=mdS,
dz=ndS.
(58)
Найдем длину отрезка dS через проекции:
dS2 = dx2 + dy2 + dz2.
Продифференцируем это выражение:
2dSdS = 2dxdx + 2dydy + 2dzdz
(59)
учитывая выражения (56), можно записать:
dx = dx =dU,
dy = dy = dV,
dz = dz = dW.
(60)
Подставим полученные выражения в (59):
dSdS = dxdU + dydV + dzdW,
следовательно, приращение отрезка равно:
dS =
dy
dx
dz
dU +
dV +
dW = ldU + mdV + ndW
dS
dS
dS
(61)
Найдем линейную деформацию по формуле (57) с учетом выражения (61):
=
ΔdS dU
dW
dV
=
l +
m +
n
dS
dS
dS
dS
(62)
Перемещения U, V, W являются функциями трех координат, так как они зависят
от положения точки в теле по отношению к опорам и приложенным нагрузкам.
Следовательно, полный дифференциал является суммой частных производных.
U
U
U
dx 
dy 
dz ,
x
y
z
V
V
V
dV 
dx 
dy 
dz ,
x
y
z
W
W
W
dW 
dx 
dy 
dz .
x
y
z
dU 
Поделим каждое из уравнений (63) на dS:
(63)
dU U dx U dy U dz U
U
U

 
 
 
l 
m 
n ,
y
z
dS x dS y dS z dS x
dV V dx V dy V dz V
V
V

 
 
 
l 
m 
n ,
y
z
dS x dS y dS z dS x
dW W dx W dy W dz W
W
W

 
 
 
l 
m 
n .
y
z
dS x dS y dS z dS x
(64)
Подставим полученные выражения (64) в уравнение деформации (62):
 U
ε  
 x
l 
 V
 W
U
U 
V
V 
W
W 
m 
 n   l  
l 
m
 n   m  
l 
m 
nn
y
z 

x

y

z

x

y

z




Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые по направляющим косинусам,
получим полное выражение для линейной деформации:
ε
 W V 
U 2 V 2 W 2  U V 
 W U 
  m  n  
l 
m 
n 

 l  m  


n l

x
y
z
z 
z 
 x
 y x 
 y
Введем обозначения
εх 
V
W
, εz 
,
y
z
 W V 
 W U 
 , γ xz  

γ yz  

.
z 
z 
 x
 y
U
,
x
 U V 
 ,
γ xy  

 y x 
εу 
(65)
Эти выражения получили название формул Коши. Они связывают между собой
компоненты тензора деформаций и перемещения точки. С учетом формул Коши
деформация в произвольном направлении получит следующий вид:
ε  ε х  l2  ε у  m2  ε z  n 2  γ xy  l  m  γ yz  m  n  γ xz  n  l
(66)
Определим физический смысл введенных обозначений. Формула (66)
справедлива для любого направления, поэтому возьмем отрезок dS параллельно оси
Х, тогда его длина определяется проекцией на эту ось dS=dx и направляющие
косинусы равны l=1, m=n=0. Согласно уравнению (66) деформация отрезка в этом
случае будет равна:
 = εх 
U
.
x
Т.о. х – линейная деформация в направлении оси Х; аналогично у – линейная
деформация в направлении оси Y; z – линейная деформация в направлении оси Z.
Теперь определим, что такое . Возьмем в теле прямой угол АВС со сторонами,
параллельными осям координат. После нагружения тела, угол деформировался и
занял положение А1В1С1 (рис.31).
У
С’

С1
B1
С
dу

A1
dxV
B’
V
B
A
dх
X
U
dyU
Рис.31
Точка А переместилась вдоль оси Y на V, а точка В вдоль той же оси
переместилась на V+dxV. При этом длина отрезка dx стала dx+dx. Рассмотрим
треугольник А1В1В’:
tg =
dxV
V
dx
V



dx  Δdx x dx  Δdx x
(67)
Аналогично рассмотрим треугольник А1С1С’:
tg =
dуU
dy
U
U



dy  Δdy y dy  Δdy y
(68)
Первоначально прямой угол уменьшился на +. С учетом того, что при малых
углах tg получаем:
 U V 
 .
γ xy  

 y x 
Таким образом, получается, что ху – изменение прямого угла со сторонами,
параллельными координатным осям, т.е. угловая деформация в плоскости ХY.
Аналогично можно получить две других угловых деформации.
III. Физические соотношения.
При испытаниях на растяжение был экспериментально установлен закон Гука:
ε
σ
.
Е
(69)
Также опытным путем установлены модуль Юнга Е – коэффициент
пропорциональности между нормальным напряжением и линейной деформацией и
коэффициент Пуассона  – отношение поперечной деформации к продольной.
Рассмотрим закон Гука в главных осях.
2
1
1
1
3
Рис.32
При одноосном напряженном состоянии (рис.32) деформации по трем осям будут
равны:
ε1 
σ
,
Е
ε 2  ε 3  με1  μ
(70)
σ
.
Е
При рассмотрении трехосного напряженного состояния (рис.33) воспользуемся
принципом суперпозиции, т.е. найдем деформации по осям от каждого напряжения
в отдельности.
2
2
1
1
3
3
Рис.33
От напряжения 1:
ε11 
От напряжения 2:
ε22 
От напряжения 3:
σ1
,.
Е
σ2
σ
, ε12  ε 3 2  με 2 2  μ 2 .
Е
Е
ε 33 
σ3
σ
, ε 2 3  ε13  με 33  μ 3 .
Е
Е
Найдем суммарные деформации по координатным осям.
σ 1
σ1
σ
 μ  2  μ  3  σ1  μσ 2  σ3  ,
Е
Е
Е Е
σ 1
σ
σ
ε 2  ε 21  ε 2 2  ε 2 3  2  μ  1  μ  3  σ 2  μσ1  σ3  ,
Е
Е
Е Е
σ
σ
σ 1
ε 3  ε 31  ε 32  ε 3 3  3  μ  2  μ  1  σ3  μσ 2  σ1  .
Е
Е
Е Е
ε1  ε11  ε12  ε1 3 
(71)
Формулы (71) представляют собой закон Гука в главных осях. Эти формулы
связывают главные напряжения и главные деформации. Вне главных осей
существуют касательные напряжения и искажение углов. Следовательно,
существует связь между ними. Для установления этой связи перейдем от главных
осей к произвольным:
ε1 
1
σ1  μσ 2  σ3   1 σ1  μσ2  σ3   μ  σ1  μ  σ1   1 σ1 1  μ   μ  I1 
Е
Е
Е
(72)
Нормальное напряжение 1 можно выразить по основной квадратичной форме
(33) через напряжения в произвольных осях:
1 = xl2 + ym2 +zn2 + 2yxml + 2zxnl + 2zynm
Подставим это выражение в формулу (72) и умножим первый инвариант на
сумму квадратов направляющих косинусов (l2 + m2 + n2 = 1)
ε1 

1
σ 1  μ   μ  I1  
Е 1
 2

1
2
2
2


 σ х  l  σ y  m  σ z  n  2τ xy  l  m  2τ zy  n  m  2τ xz  l  n 1  μ   μ  I1  l m2 n 2  
Е


Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по направляющим косинусам:
1
σ х 1  μ   μ  I1 l2  1 σ y 1  μ   μ  I1 m 2  1 σ z 1  μ   μ  I1 n 2 
Е
Е
Е
2(1  μ)
2(1  μ)
2(1  μ)

 τ xy  l  m 
 τ zy  m  n 
 τ xz  l  n
E
E
E
ε1 
Сравним полученное выражение с квадратичной формой деформации в
произвольном направлении (66):
1
σ х 1  μ   μ  I1   1 σ x  μσ y  σz ,
Е
Е
1
1
ε у  σ y 1  μ   μ  I1   σ y  μσ x  σ z ,
Е
Е
1
1
ε z  σ z 1  μ   μ  I1   σ z  μσ x  σ y ,
Е
Е
τ
2(1  μ)
 xy 
 τ xy  xy ,
E
G
τ
2(1  μ)
 zy 
 τ zy  zy ,
E
G
τ
2(1  μ)
 xz 
 τ xz  xz .
E
G
εх 
(73)
E
- модуль сдвига, постоянная величина, являющаяся
2(1  μ)
характеристикой материала.
Уравнения (73) являются обобщенным законом Гука, выражающим связь
между напряжениями и деформациями.
Таким образом, рассмотрев три части математической модели, мы имеем 15
уравнений (3 уравнения равновесия, 6 формул Коши, 6 уравнений обобщенного
закона Гука) и 15 неизвестных (3 перемещения по координатным осям, 3
нормальных напряжения, 3 касательных напряжения, 3 линейных деформации, 3
угловых деформации).
Построение математической модели механики твердо деформированного тела –
предмет изучения линейной теории упругости. Полученная математическая модель
не является ещё полной, так как часть уравнений (формулы Коши и уравнения
равновесия) имеют дифференциальный вид. Их нужно интегрировать. В результате
чего появляются постоянные интегрирования, то есть дополнительные неизвестные.
В обыкновенных дифференциальных уравнениях это константы, для уравнений в
частных производных это функции. Поэтому необходимо существование
дополнительных условий. Это так называемые граничные условия – условия на
границе данного тела (на поверхности).
Граничные условия бывают трех типов: силовые, геометрические и смешанные.
Где
G=
Деформированное состояние тела
Выделим в теле прямоугольный параллепипед. После нагружения он
трансформируется в косоугольный, то есть появляются линейные и угловые
деформации. Деформированное состояние характеризуется тензором деформаций.
Этот тензор будет симметричным, так как ху = ух (угловые деформации одного и
того же прямого угла).
Сравним основные квадратичные формы для нормального напряжения и
линейной деформации:
 = xl2 + ym2 +zn2 + 2yxml + 2zxnl + 2zynm
ε  ε х  l2  ε у  m2  ε z  n 2  γ xy  l  m  γ yz  m  n  γ xz  n  l
Как видно, формулы полностью аналогичны. Коэффициенты при направляющих
косинусах являются составляющими тензора деформаций:
εх
Тε 
1
γ
2 xy
1
γ
2 xz
1
γ
2 yx
εy
1
γ
2 yz
1
γ
2 zx
1
γ
2 zy
εz
Также существуют инварианты деформированного состояния,
определяются аналогично инвариантам напряженного состояния:
1 = х + у + z,
1
1
1
2 = ху + уz + zх - γ 2ху  γ 2zу  γ 2хz ,
4
4
4
3 = Т.
Для определения величины главных деформаций существует
характеристическое уравнение деформированного состояния:
(74)
которые
(75)
основное
3 - 12 + 2 - 3 = 0
Корни данного уравнения нумеруются в порядке убывания: 1  2  3. Главные
деформации - это линейные деформации в направлении, перпендикулярном
главным площадкам деформации, а главными площадками деформации являются
такие, в которых угловые деформации равны нулю. Главные площадки
расположены по трем взаимно перпендикулярным осям, которые называются
главными осями деформированного состояния.
Касательные напряжения при кручении
Задачу по определению касательного напряжения при кручении будем решать с
использованием двух гипотез:
- гипотеза плоских сечений;
- радиус, проведенный в сечении до деформации, не искривляется в процессе
деформации.
Рассмотрим стержень, нагруженный крутящим моментом. На некотором
расстоянии z от начала стержня вырежем бесконечно малый элемент dz (рис.34).
L
z
dz
Рис.34
Рассмотрим статическую сторону задачи. Для этого найдем связь между
крутящим моментом в сечении (рис.35) и касательным напряжением. Любой
момент - это произведение силы на плечо. В данном случае для элементарного
крутящего момента сила - это произведение касательного напряжения на площадь,
на которой оно действует, а плечо есть радиус-вектор от центра тяжести сечения до
рассматриваемой точки.
dF 

Рис.35
Мк =  ρ  τ  dF
(76)
F
Теперь рассмотрим вырезанный элемент dz (рис.36) с геометрической стороны. В
процессе нагружения правое сечение повернется по отношению к левому на
некоторый угол dφ. Отрезок АВ после деформации занял положение АВ1.
В1
А
В dφ 
О

dz
Рис.36
Найдем длину дуги ВВ1 из треугольников АВВ1 и ОВВ1:
dz = dφ
γ
d
ρ
dz
(77)
С физической точки зрения при сдвиге справедлив закон Гука.
 = G
(78)
Подставим угловую деформацию из геометрического соотношения (77) в закон
Гука (78):
=
d
 ρ G
dz
(79)
Полученное выражение подставим в формулу (76):
d
d
d
 ρ  G  dF 
 G  ρ 2dF 
 G  Iρ ,
Мк =  ρ 
dz
dz
dz
F
d М к
=
.
dz GIρ
F
сделав подстановку в выражение (77), получим:
Мк
ρ  γ ,
GIρ
полученное выражение подставляем в закон Гука (78):
=
Мк
 ρ G.
GIρ
Окончательно получаем формулу для расчета касательных напряжений в сечении
при кручении:
=
Мк
ρ
Iρ
(80)
Таким образом, касательные напряжения при кручении круглого стержня
распределяются по линейному закону и достигают своего максимума на периферии
сечения.
Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского
Рассмотрим задачу об определении касательных напряжений при изгибе для
узкого прямоугольника в качестве сечения.
При изгибе Qу 0 и Мх 0. В этом случае в сечении возникают три напряжения z,
zx, zy. Тогда уравнения равновесия (54) и (55) из полной математической модели
твердо деформированного тела примут следующий вид:
τ zx
0
z
τ zy
 0,
z
τ xz τ yz σ z


 0.
x
y
z
Из первых двух уравнений следует, что касательные напряжения являются
функцией двух переменных (х, у). Так как поверхность стержня свободна от
напряжений, то по периметру сечения zx = 0 по закону парности касательных
напряжений (рис.37).
xz=0 zx xz=0
Рис.37
Для узкого прямоугольника они не успевают вырасти, поэтому будем считать zx
равными нулю по всей ширине сечения. Тогда третье уравнение равновесия примет
вид:
τ yz σ z
(81)

0.
y
z
По той же причине, что прямоугольник узкий, будем считать, что zy по ширине
сечения при у = const распределено равномерно и является функцией только
координаты у:
τ yz dτ yz
σ

 z .
y
dy
z
Пользуясь формулой нормальных напряжений в поперечном сечении (28), при
изгибе получим:
=
Mx
y,
Ix
σ z M x '
=
y,
Ix
z
Мх’ = Qy
dτ yz
Q
  y y.
Ix
dy
Проинтегрировав полученное выражение, получим:
 у2
zy=-
 
 2

 С  .

(82)
Постоянную интегрирования можно определить из условия равенства нулю
h
касательного напряжения zy при у=  :
2
 (h/2) 2


 С  =0,
 2

С=-
h2
.
8
Подставив значение константы в выражение (82) получим:
zy=-
 у2 h 2  Q
    = y
8  2I x
 2
  h 2

     у 2  .
 2 



(83)
На основе выражения в скобках можно сделать вывод, что касательные
напряжения в сечении распределены по параболе.
h/2-y
h/2
y
Х
b
Рис.38
Преобразуем выражение в скобках:
  h 2

    у 2   b =   h   у     h   у   b
  2 
 2b
  2 
 2b   2 
  



На рисунке 38 координатой y отсекается заштрихованная часть, которая имеет
 h 

площадь F*=     у  b и координату центра тяжести относительно оси х
 2 

 h 
 1
ус*=     у   . Произведение площади фигуры на координату ее центра тяжести
 2 
 2
относительно какой-либо оси дает статический момент инерции Sx*. Таким образом,
выражение (83) примет вид:
zy=
Q yS*x
Ix b
(84)
Эта формула носит название формулы Журавского и служит для определения
касательных напряжений, возникающих в сечении при изгибе.
Теории (гипотезы) прочности
Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности детали по
известному напряженному состоянию, т.е. по известным главным напряжениям в
каждой точке тела.
Наиболее просто эта задача решается при простых видах деформации, в
частности, при одноосных напряженных состояниях, так как в этом случае
экспериментально легко установить значение предельных (опасных) напряжений.
Под последними понимают напряжения, соответствующие началу разрушения (при
хрупком состоянии материала) или появлению остаточных деформаций (в случае
пластического состояния материала).
Так, испытания образцов из определённого материала на простое растяжение или
сжатие позволяют без особых трудностей определить значение
опасных
напряжений:
о =
т – предел текучести
в – временное сопротивление.
По опасным напряжениям устанавливают допускаемые при растяжении [+] или
сжатии [-] напряжения, обеспечивая коэффициент запаса против наступления
предельного состояния.
Таким образом, условие прочности при одноосном напряженном состоянии
принимает вид:
1[+],
|3| [+].
Рассмотрим теперь вопрос о прочности материала при сложном напряженном
состоянии, когда в точках детали два или все три главных напряжения 1, 2, 3 не
равны нулю.
В этих случаях, как показывают опыты, для одного и того же материала опасное
состояние может иметь место при различных предельных значениях главных
напряжений в зависимости от соотношений между ними. Поэтому
экспериментально установить предельные величины главных напряжений очень
сложно не только из-за трудности постановки опытов, но и из-за большого объема
испытаний.
Другой путь решения задачи заключается в установлении критерия прочности
(критерия предельного напряженно-деформированного состояния). Для этого
вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала того или
иного фактора: полагают, что нарушение прочности материала при любом
напряженном состоянии наступит только тогда, когда величина данного фактора
достигнет некоторого предельного значения. Предельное значение фактора,
определяющего прочность, находят на основании простых, легко осуществимых
опытов на растяжение. Иногда пользуются также результатами опытов на кручение.
Таким образом, введение критерия прочности позволяет сопоставлять данное
сложное напряженное состояние с простым, например, с одноосным растяжением, и
установить при этом такое эквивалентное (расчётное) напряжение, которое в обоих
случаях дает одинаковый коэффициент запаса.
Под коэффициентом запаса в общем случае напряженного состояния понимают
число n, показывающее, во сколько раз нужно одновременно увеличить все
компоненты напряженного состояния 1, 2, 3, чтобы оно стало предельным.
В настоящее время разработано достаточно большое число гипотез прочности.
Ниже рассмотрим некоторые из них.
Первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений).
Согласно этой теории, выдвинутой Галилеем (XVII в.), преимущественное
влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения.
Нарушение прочности в общем случае напряженного состоянии наступает тогда,
когда наибольшее нормальное напряжение достигает опасного значения (0).
Последнее легко устанавливается при простом растяжении на образцах из
определённого материала.
Условие нарушения прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид
1=0.
Следовательно, условие прочности с учетом коэффициента запаса n будет
1[],
где
[]=
σ0
.
n
(85)
Таким образом, первая теория прочности из трех главных напряжений учитывает
лишь одно – наибольшее, полагая, что два других не влияют на прочность.
Опытная проверка показывает, что эта теория прочности непригодна для
большинства материалов и дает, в общем, удовлетворительные результаты лишь
для весьма хрупких материалов.
Вторая теория прочности (теория наибольших линейных деформаций).
Согласно второй теории прочности, предложенной Мариоттом (1682г.),
принимается в качестве критерия прочности наибольшая по абсолютной величине
линейная деформация. По этой теории нарушение прочности в общем случае
напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая линейная деформация
max достигает своего опасного значения 0. Последнее определяется при простом
растяжении образцов из определённого материала.
Таким образом, условия разрушения и прочности соответственно будут:
max=0,
ε
max[]= 0 .
n
(86)
Используя обобщенный закон Гука, легко выразить условие прочности в
напряжениях:
max=1=
1
[1-(2+3)].
Е
При простом растяжении, приняв в качестве допускаемого напряжения [], мы
тем самым для наибольшего относительного удлинения допускаем величину
[]=
σ .
Е
Подставляем выражения для max и [] в (86) и находим:
[1-(2+3)]  [].
(87)
Опытная проверка этой теории также показала, что она неприменима для
большинства материалов и дает удовлетворительные результаты лишь для хрупкого
состояния материала (например, легированный чугун, высокопрочные стали после
низкого отпуска). Отметим также, что применение второй теории прочности в виде
(87) недопустимо для материалов, не подчиняющихся закону Гука, или за
пределами пропорциональности, а также когда наибольшая по абсолютной
величине деформация отрицательна.
Третья теория прочности (теория наибольших касательных напряжений).
Согласно третьей теории прочности, предложенной Кулоном (1773 г.), в качестве
критерия прочности принимается величина наибольшего касательного напряжения.
По этой теории нарушение прочности в общем случае напряженного состояния
наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение max достигает своего
предельного значения 0. Последнее определяется в момент разрушения при
простом растяжении.
Условия разрушения и прочности имеют вид
max=0,
τ
max[]= 0 .
n
(88)
Так как согласно круговой диаграмме Мора
σ1  σ 3
,
2
σ
0 = 0 ,
2
max =
то условия разрушения и прочности (88) можно выразить через главные
напряжения:
1-3 = 0,
1-3  [].
(89)
Третья теория прочности, в общем, хорошо подтверждается опытами для
пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Для
хрупких материалов она неприменима.
Недостаток третьей теории заключается в том, что она не учитывает среднего по
величине главного напряжения 2, которое, как показывают опыты, оказывает
также некоторое влияние на прочность материала.
Четвертая теория прочности (энергетическая теория формоизменения).
В качестве критерия прочности принимается количество удельной
потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформированным
элементом.
Согласно этой теории, выдвинутой Губером (1904 г.), опасное состояние
(текучесть) в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда
удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного
значения. Последнее можно легко определить при простом растяжении в момент
текучести.
Условие наступления текучести:
Uф = (Uф)т.
Условие прочности:
Uф  [Uф].
(90)
Удельная потенциальная энергия формоизменения при сложном напряженном
состоянии равна:
Uф =
1 μ 2 2 2
[1 +2 +3 -(12+32+13)]
3Е
При простом растяжении в момент наступления текучести (1=т; 2=3=0):
(Uф)т =
1 μ 2
т .
3Е
Следовательно, условие наступления текучести через напряжения можно
записать в виде:
σ12  σ 22  σ32  (σ1σ 2  σ 2σ3  σ3σ1 )  т.
Условие прочности будет иметь вид:
σ12  σ 22  σ32  (σ1σ 2  σ 2σ3  σ3σ1 )  []=
σт
.
n
(91)
Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов,
одинаково работающих на растяжение и сжатие.
Теория прочности предельных напряженных состояний (теория Мора).
Теория прочности предельных напряженных состояний, предложенная Мором
(начало ХХв.), основывается на предположении, что прочность материалов в общем
случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака
наибольшего 1 и наименьшего 3 из главных напряжений. Среднее по величине
главное напряжение лишь незначительно влияет на прочность.
Если при данных значениях 1 и 3 нарушается прочность материала, то круг,
построенный на этих напряжениях, называется предельным. Меняя предельное
напряженное состояние, получим для данного материала семейство предельных
окружностей (рис.39):

А
В
С
Д
Рис.39

Опыты показывают, что по мере перехода из области растяжения в область
сжатия прочность увеличивается. Это соответствует увеличению диаметров
предельных окружностей по мере движения влево. Огибающая АВСД семейства
предельных кругов ограничивает область прочности.
При наличии предельной огибающей расчет прочности производится весьма
просто. По найденным значениям главных напряжений 1 и 3 строим круг.
Прочность будет обеспечена, если он целиком лежит внутри огибающей.
Огибающую определяют путем построения по опытным данным нескольких кругов
при различных комбинациях главных напряжений.
О применимости той или иной теории прочности для практических расчетов
можно сказать следующее. Разрушение материалов происходит путем отрыва за
счет растягивающих напряжений и путем среза за счет наибольших касательных
напряжений. При этом разрушение путем отрыва может происходить при весьма
малых остаточных деформациях или вовсе без них (хрупкое разрушение).
Разрушение путем среза имеет место лишь после некоторой остаточной
деформации (вязкое разрушение). Отсюда ясно, что первую и вторую теории
прочности, отражающие разрушение путем отрыва, следует применять для
материалов, находящихся в хрупком состоянии. Третью и четвертую теории
прочности, отражающие наступление текучести и разрушение путем среза, следует
применять для материалов, находящихся в пластическом состоянии. Теория
прочности Мора является универсальной и пригодной для всех материалов.
Так как первая и вторая теории прочности имеют существенные недостатки, то в
настоящее время все более утверждается мнение о нежелательности их применения.
Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать:
а) третью теорию (или четвертую) – для материалов, одинаково
сопротивляющихся растяжению и сжатию;
б) теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и
сжатию.
Следует подчеркнуть, что хрупкое или пластическое состояние материала
определяется не только его характером, но и видом напряженного состояния,
температурой и скоростью нагружения. Как показывают опыты, пластичные
материалы при определенных условиях нагружения и температуре ведут себя как
хрупкие, в то же время хрупкие материалы при определенных напряженных
состояниях ведут себя как пластичные.
Так, например, при напряженных состояниях, когда все три главных напряжения
- растягивающие и близки по величине, пластичные материалы ведут себя как
хрупкие.
При напряженных состояниях, близких к всестороннему сжатию, хрупкие
материалы могут вести себя как пластичные. При всестороннем сжатии материалы
могут выдерживать, не разрушаясь, очень большие давления.
Растяжение (сжатие) стержней
Пусть стержень нагружен произвольной продольной нагрузкой. Вырежем на
некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис.40). На данный элемент
действует внешняя нагрузка и внутренние продольные силы в сечениях, по
которым вырезан элемент.
qz
z
dz
qz
N+dN
N
dz
Рис.40
Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.
- N + qzdz + N + dN = 0,
dN
 qz  0 ,
dz
N’ + qz = 0.
(92)
Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух
частей общего и частного решения и имеет вид
N(z) = C -  q ξ dξ
z
(93)
0
Определим физический смысл постоянной интегрирования. При z=0:
N(0)=C.
Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим
значения интеграла нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся
нагрузок.
а) сосредоточенная сила (рис.41):
Р
a
z
Рис.41
при za ФN(z)=0
при za ФN(z)=-P
б) распределенная нагрузка (рис.42):
q
с
z
Рис.42
при zc ФN(z)=0
при zc ФN(z)=-q(z-c)
Пример.
Для заданной схемы нагружения стержня (рис.43) построить эпюру
продольной силы N(z) при следующих исходных данных: q=10 кН/м, l=1м.
2q
q
l
l
10
l
N, кН
0
-10
-10
Рис.43
Решение.
1. Совместим начало системы координат с левым концом стержня и направим
координатную ось z вдоль его продольной оси.
В соответствии со схемой нагружения разделим стержень на три участка и
запишем уравнение продольных сил следующим образом:
N (z) = N (0) - 2q·z│1+2q (z - l) │2 + q (z - 2l) │3.
В этом уравнении приняты следующие обозначения:
N(0) – значение продольной силы в начале координат (реакция опоры),
z – координата сечения, в котором определяется значение продольной силы.
Для решения задачи необходимо определить одну неизвестную величину – N(0).
Для этого запишем граничное условие: N (3l) = 0.
Напомним, что граничные условия – это известные значения интегральных
характеристик в какой-либо точке стержня.
Для определения неизвестной реакции N(0) необходимо приравнять уравнение
продольных сил к нулю, подставив в нем вместо координаты «z» координату «3l»:
N (0)-2q (3l) + 2q (3l – l) + q (3l – 2l) = 0.
Решая это уравнение, найдем: N (0) = 10 кН.
2. Построение графика продольных сил.
При построении графиков уравнение рассматривается на каждом участке в
отдельности и вместо координаты «z» подставляется соответствующая координата
начала и конца рассматриваемого участка.
1 участок - 0 ≤ z ≤ l:
N (0) =10 кН,
N (l) = 10 – 2·10·1 = -10 кН.
2 участок - l ≤ z ≤ 2l:
N (l) = 10 – 2·10·1 + 2·10(l – l) = -10 кН,
N (2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) = -10 кН.
3 участок - 2l ≤ z ≤ 3l:
N (2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) + 10(2 – 2) = -10 кН,
N (3l) = 10 – 2·10·3 + 2·10(3 – 1) + 10(3 – 2) = 0 кН.
По рассчитанным значениям строится график продольной силы (рис. 43).
Кручение стержней
Пусть стержень нагружен произвольной крутящей нагрузкой. Вырежем на
некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис.44). На данный элемент
действует внешняя нагрузка и внутренние крутящие моменты в сечениях, по
которым вырезан элемент.
mz
z
dz
mz
Mк+dMк
Mк
dz
Рис.44
Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.
- Мк + mzdz + Мк + dМк = 0,
dМк
 mz  0 ,
dz
Мк’ + mz = 0.
(94)
Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух
частей общего и частного решения и имеет вид
Mк(z) = C -  mξ dξ
z
(95)
0
Определим физический смысл постоянной интегрирования. При z=0
Мк(0)=C.
Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим
значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.
а) сосредоточенный момент (рис.44):
L
a
z
Рис.44
при za Фм(z)=0
при za Фм(z)=-L
б) распределенная нагрузка (рис.45):
m
с
z
Рис.45
при zc Фм(z)=0
при zc Фм(z)=-m(z-c)
Пример.
Для приведённой схемы нагружения прямого стержня (рис.46) построить
эпюру крутящего момента при следующих исходных данных: mz = 10 кН/м, L =
10 кНм,
l = 1 м.
Решение.
В соответствии со схемой нагружения запишем уравнение крутящего момента
в следующем виде:
Mk (z) = Mk (0) │1 - L│2 - mz(z-2l) │3 .
Исходя из условий закрепления стержня, запишем следующее граничное условие:
Mk (0) = 0 (реакция незакреплённого конца стержня равна нулю).
L
mz
l
l
l
Mk , кНм
0
10
10
20
Рис.46
Таким образом, записанное уравнение не содержит неизвестных величин и
можно приступать к построению графика. Построение графика будем производить
аналогично построению графика в примере 1.
1 участок - 0 ≤ z ≤ l:
Mk (0) = 0 кНм,
Mk (l) = 0 кНм.
2 участок - l ≤ z ≤ 2l:
Mk (l) = 0 – 10 = -10 кНм,
Mk (2l) = 0 – 10 = -10 кНм.
3 участок - 2l ≤ z ≤ 3l:
Mk (2l) = 0 – 10 – 10(2 – 2) = - 10 кНм,
Mk (3l) = 0 – 10 – 10(3 – 2) = -20 кНм.
По рассчитанным значениям строится график крутящего момента (рис. 46).
Изгиб стержней.
Пусть стержень нагружен произвольной поперечной нагрузкой. Вырежем на
некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис.47). На данный элемент
действует внешняя нагрузка и внутренние поперечные силы и изгибающие
моменты в сечениях, по которым вырезан элемент.
qz
z
Qy
dz
Qy+dQ
qу
y
Mx
Mx+dMx
dz
Рис.47
Составим уравнения равновесия вырезанного элемента.
Уравнение равновесия всех сил на вертикальную ось.
- Qy + qydz + Qy + dQy = 0,
dQ y
 qy  0,
dz
Qy’ + qy = 0.
(96)
Уравнение равновесия моментов относительно центра тяжести правого сечения
вырезанного элемента.
- Мх + qydzdz/2 + Мх + dМх - Qydz = 0,
слагаемое, выражающее момент от распределенной нагрузки, второго порядка
малости, поэтому им можно пренебречь
dМ х
 Qy  0 ,
dz
Мх’ = Qy.
(97)
Объединяя дифференциальные уравнения (96) и (97), получим:
Мх'' = - qy
(98)
Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух
частей общего и частного решения и имеет вид
Мх(z) = C1+С2z – Фм,
где Фм – частное решение, отражающее внешнюю приложенную нагрузку.
Определим физический смысл постоянных интегрирования. При z=0
Мх(0) = C1,
Мх’(0) = Qy(0) = С2.
Рассмотрим подробнее частное решение. Пусть стержень нагружен произвольной
распределенной нагрузкой (рис.48). Определим величину поперечной силы и
изгибающего момента для точки с координатой z.
q()

d
z
Рис.48
Qy =  q ξ dξ ,
z
0
Мх =  qξ z  ξ dξ .
z
(99)
0
Значения интегралов зависят от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим
значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.
а) сосредоточенная сила (рис.49):
Р
a
z
Рис.49
при za ФQ(z)=0
ФМ(z)=0
при za ФQ(z)=-P
ФМ(z)=-P(z-a)
б) распределенная нагрузка (рис.50):
q
с
z
Рис.50
при zc ФQ(z)=0
ФМ(z)=0
при zc ФQ(z)=-q(z-c)
ФМ(z)=-q(z-c)2/2
в) сосредоточенный момент (рис.51):
L
b
z
Рис.51
при zb ФQ(z)=0
ФМ(z)=0
при zb ФQ(z)=0
ФМ(z)=-L
Пример.
Для заданной схемы нагружения стержня (рис.52) построить эпюры
поперечной силы Qy(z) и изгибающего момента Mx(z) при следующих исходных
данных: L = 5 кНм, P = 10 кН, q = 20 кН/м, l = 1 м.
L
q
P
l
2l
21,67
21,67
Qy, кН
16,67
Z1 = 1.58
20,07
Mx, кНм
11,67
28,33
0
5
Рис.52
Решение.
Запишем уравнения поперечных сил и изгибающего момента:
Qy (z) = Qy(0) │1 – P - q(z - l) │2
Mx (z) = Mx (0) + Qy(0)z│1 - P(z - l) - q(z - l)2/2│2
В соответствии с условиями закрепления стержня запишем граничные
условия в следующем виде: Mx (0) = - L,
Mx (3l) = 0.
Для нахождения неизвестной реакции Qy (0) необходимо приравнять
уравнение изгибающего момента к нулю при координате z = 3l:
Mx (3l) = Mx (0) + Qy (0)3l - P(3l - l) - q(3l - l)2/2 = 0.
Решая это уравнение относительно Qy (0), получим Qy (0) = 21.67кН.
Теперь, учитывая найденные константы, уравнения интегральных
характеристик можно переписать в следующем виде:
Qy (z) = 21.67│1 – P – q(z - l) │2
Mx (z) = -L + 21.67z│1 – P(z - l) – q(z - l)2/2│2
Построение графиков будем производить аналогично примеру 1.
1 участок 0 ≤ z ≤ l:
Qy (0) = 21.67 кН,
Qy (l) = 21.67 кН,
Mx (0) = -5 кНм,
Mx (l) = -5 + 21.67*1 = 16.67 кНм.
2 участок l ≤ z ≤ 3l:
Qy (l) = 21.67 – 10 = 11.67 кН,
Qy (3l) = 21.67 – 10 – 20*(3 - 1) = -28.33 кН,
Mx (l) = -5 + 21.67*1 – 10(1 – 1) – 20(1 – 1) = 16.67 кНм,
Mx (3l) = -5 + 21.67*3 – 10(3 – 1) – 20(3 – 1) =0 кНм.
Определим координаты экстремума и значения функции изгибающего
момента в экстремальной точке:
Qy (z1) = 21.67 – P – q (z1 - l) = 0 → z1 = 1.58 м.
Mx (1.58) = -L + 21.67·1.58 – P (1.58 - l) – q (1.58 - l)2/2 = 20.07 кНм.
По рассчитанным значениям строятся графики поперечной силы и изгибающего
момента (рис. 52).
Внецентренное растяжение и сжатие
При внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с
осью стержня, как при обычном растяжении, а смещена относительно оси z и
остается ей параллельной (рис.53).
У
A
Х
P
Z
Рис.53
Пусть точка А приложения равнодействующей внешних сил имеет в сечении
координаты (х0, у0). Тогда относительно главных осей равнодействующая сила Р
дает моменты:
Мх = Ру0,
Му = - Рх0.
Таким образом, внецентренное растяжение-сжатие оказывается родственным
косому изгибу. В отличие от последнего, однако, при внецентренном растяжении в
поперечном сечении стержня возникают не только изгибающие моменты, но и
нормальная сила:
N=Р.
В произвольной точке В с координатами (х, у) нормальное напряжение
определяется следующим выражением:
=
M
Рх
N Mx
Р Ру

y y x =  0 y 0 x .
F Ix
Iy
F Ix
Iy
Пространственная эпюра напряжений образует плоскость.
нейтральной линии получаем, приравнивая напряжения нулю:
1
F

у0
х
 y  0  x =0.
Ix
Iy
Уравнение
(100)
При внецентренном растяжении-сжатии в отличие от косого изгиба нейтральная
линия не проходит через центр тяжести сечения. При положительных х0 и у0 по
крайней мере одна из величин х или у , входящих в уравнение (100), должна быть
отрицательной. Следовательно, если точка приложения силы Р находится в первом
квадранте, то нейтральная линия проходит с противоположенной стороны центра
тяжести через квадранты 2,3 и 4 (рис.54).
У
Р
Х
Нейтральная линия
Рис.54
Расстояние от начала координат до некоторой прямой
ау+bх+с=0,
как известно из курса аналитической геометрии, равно
ОС =
1/F
с
=
y 02 x 02
а 2  b2

I 2x I 2y
Следовательно, по мере того как точка приложения силы приближается к центру
тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.
В пределе при х0=у0=0, когда сила Р приложена в центре тяжести, нейтральная
линия находится в бесконечности. Напряжения в этом случае распределены по
сечению равномерно.
Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная
линия может как пересекать сечение, так и находится за его пределами. В первом
случае в сечении возникают и растягивающие и сжимающие напряжения. Во
втором случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака.
В окрестностях центра тяжести существует область, называемая ядром сечения.
Если след силы Р находится внутри ядра сечения, напряжения во всех точках
сечения будут одного знака. Если сила приложена за пределами ядра сечения,
нейтральная линия пересекает сечение, и напряжения в сечении будут как
сжимающими, так и растягивающими. Когда точка приложения силы находится на
границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения. Чтобы определить ядро
сечения, надо представить себе, что нейтральная линия обкатывается вокруг
сечения. Точка приложения силы вычертит при этом контуры ядра.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные понятия и определения…………………………………………………
Физическая и математическая модель…………………………………………….
Геометрические характеристики сечения…………………………………………
Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе
координатных осей………………………………………………………………….
Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей…
Геометрические характеристики сложных сечений………………………………
Метод сечений. Внутренние силы…………………………………………………
Напряжение. Напряженное состояние в точке тела………………………………
Интегральные характеристики напряжений в точке……………………………..
Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения……………………
Закон парности касательных напряжений………………………………………...
Напряжения на наклонных площадках……………………………………………
Главные площадки и главные напряжения……………………………………….
Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора…..
Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения………………..
Математическая модель механики твердо деформируемого тела………………
Деформированное состояние тела…………………………………………………
Касательные напряжения при кручении………………………………………….
Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского……………………
Теории (гипотезы) прочности………………………………………………………
Растяжение (сжатие) стержней……………………………………………………..
Кручение стержней………………………………………………………………….
Изгиб стержней………………………………………………………………………
Внецентренное растяжение и сжатие………………………………………………
ЛИТЕРАТУРА
1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Наука.,
1998. – 512 с.
2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов:
Учеб. для вузов. – М.: Высш.шк., 1995. – 560 с.
3. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению
материалов. – Киев.: Наукова думка, 1988. – 736 с.
4. Расчет прямых стержней на прочность. Метод.указания. С.А.Девятов,
З.Н.Соколовский, Е.П.Степанова.2001.76с.