О ВЛИЯНИИ НАМАГНИЧЕННОСТИ ТЕЛА, ЕГО

ПРИРОДНИЧІ НАУКИ
УДК 621.313
О ВЛИЯНИИ НАМАГНИЧЕННОСТИ ТЕЛА, ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
НА НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ, СОЗДАВАЕМОГО ИМ
Придубков П.Я.
Украинская государственная академия железнодорожного транспорта, г. Харьков
Введение. Во многих отраслях народного хозяйства (на транспорте, в тяжёлом машиностроении
и др.) широкое распространение получили магнитные и электромагнитные методы дефектоскопии,
использующие ферромагнитные свойства стали.
Магнитные свойства материала тех или иных
устройств могут быть использованы при идентификации транспортных средств или промышленных
изделий. Как известно, напряженность магнитного
поля, а также и его индукция, во многом определяется геометрическими параметрами ферромагнитного тела и величиной его намагниченности. Поэтому весьма актуальной является проблема исследования параметров магнитного поля намагниченного тела.
Известные теоретические исследования параметров полей магнитной ленты при ее продольном
и поперечном намагничивании, а так же ферромагнитных цилиндра, сферы и эллипсоида в однородном внешнем магнитном поле, изложенные в [1, 2],
не решают данной проблемы, т.к. не устанавливают
аналитических зависимостей параметров магнитных полей от объема этих тел.
Цель работы. Исследование магнитного поля,
создаваемого намагниченным телом, и установление аналитических зависимостей параметров данного поля от геометрических размеров тела и его
намагниченности, позволяющей повысить эффективность функционирования устройств дефектоскопии и идентификации.
Материал и результаты исследований. Для
расчета магнитных полей как в областях занятых,
так и в областях незанятых током (т.е. в условиях
магнитостатики) широко используется векторный
потенциал магнитного поля. Это векторная величина, плавно изменяющаяся от точки к точке. Его ротор равен вектору магнитной индукции:


B  rotA .
(1)
Представление вектора магнитной индукции в
виде ротора от вектора-потенциала [1] основывается
на том, что в соответствии с формулами векторного
анализа дивергенция любого ротора тождественно
равна нулю. Так как в соответствии с дифференциальной формой записи принципа непрерывности магнитного потока

divB  0 ,
то подстановка в равенство (2)
тора
лю:

B
дает выражение, тождественно равное ну-

divrotA  0 .
(3)
В электротехнических расчетах векторный потенциал может быть использован для определения

вектора B магнитной индукции (1) или магнитного

потока  . Вектор H напряженности магнитного
поля в однородной среде также принято определять
через векторный потенциал.
В соответствии с основными уравнениями маг
нитостатики, т.е. когда rotH  0 и, полагая   соnst во всей области магнитного поля,
связь между векторами
жена уравнением:


J и B может быть выра-




rotB   rotH   rotJ   rotJ . (4)

Так как вектор B может быть выражен через
векторный потенциал (1) , то:





rotB  rotrotA  graddivA   2 A   rotJ . (5)

Векторный потенциал A является вспомогательною функцией, введенной с целью упрощения
расчета, поэтому в магнитном поле постоянного

магнита ее можно подчинить требованию divA  0

[1]. Последнее означает, что линии вектора A есть
замкнутые сами на себя линии. С учетом того, что

divA  0 , уравнение (5) приобретает вид:


 2 A   rotJ .
(6)
Выражение (6) представляет собой уравнение
Пуассона. Для получения общего решения данного
уравнения необходимо воспользоваться теоремой
Грина, применимой к конечной области V , ограниченной поверхностью S . Причем в формуле
данной теоремы необходимо использовать вектор-

ный градиент функции A :
(2)

rotA
вместо век-
1 2   2
V  r  A  A

 1 dA  d 1 
1
dS . (7)
A
dV   
r
r dn
dn r 
S
Вісник КДПУ. Випуск 6/2006 (41). Частина 1
8
ПРИРОДНИЧІ НАУКИ
n
Здесь r означает расстояние произвольной
точки поля от точки P , в которой ищется векторный потенциал.
Так как в соответствии с правилами операций
дифференцирования векторного анализа


r0
1
r
grad   2   3 ,
r
r
r

 
r
1
1
div 3  3 divr  r grad 3 .
r
r
r
то
S
S0
(8)
P
P
P
P
P
(9)
Учитывая, что
Рисунок 1 – К пояснению вывода уравнений

1
d 1 
3 
grad 3 
r   4 r0 , а divr  3 ,
3 0
dr r
r
r
(10)
Поэтому на поверхности
получаем:
Принимая во внимание уравнение Пуассона (6)
и уравнение (11), формулу Грина можно представить как


 1 dA  d 1 
dS .
  
A
r dn
dn r 
S
S0
d 1
d 1 1
1

 2  2
dn r
dr r r
r0

r r0
 
1
1
3
2 1
  3 divr  r grad 3  3  3 4  0 . (11)
r r
r
r
r
rotJ
V
и


dA
dA

.
dn
dr
(13)
(14)
Если распространить поверхностный интеграл
формулы теоремы Грина по поверхности S 0 , внеся
(12)
в него полученные в уравнениях (13) и (14) значения и применив теорему о среднем интегрального
исчисления, получим:
В рассматриваемом объеме V , включающем в
себе точку P , в которой определяется векторный
потенциал, и ограниченном поверхностью S , век-



 1 dA A 
 1 dA  d 1 
S  r dn  A dn r dS  S  r0 dr  r02 dS 
0
0

V
r

 1  dA  1  

  
A  dS ,
2


r
dr
r
 0 
 0  S
тор A и его производные являются непрерывными
функциями точки. А вот скаляр
1
и его производr
ные конечны и непрерывны во всем пространстве,
кроме точки P . Теорема Грина может быть приме
нена к участкам пространства, где A и 1 , и их проr
изводные непрерывны. Поэтому из объема V интегрирования следует исключить точку P , заключив
ее в сферу S 0 произвольно малого радиуса, и применить формулу (12) к объему
между внешней поверхностью
сферы
V  , заключенному
S и поверхностью
(15)

  dA 
 - некоторые средние значения векгде A и 
 dr 




dA
тора A и его производной
на поверхности
dr
сферы S 0 .
Интеграл
 dS
равен общей поверхности сфе-
S0
S 0 (рис. 1).
Нормаль к поверхности сферы
S 0 , направлен-
ная к ее центру, прямо противоположна радиусу
вектору r и является внешней по отношению к
объему интегрирования.
ры
S 0 = 4r , потому правая часть уравнения (15)
имеет вид:
2
0

 dA 

  4A .
 4r0 
 dr 


Вісник КДПУ. Випуск 6/2006 (41). Частина 1
9
(16)
ПРИРОДНИЧІ НАУКИ
Если теперь устремить к нулю радиус
гивая сферу
Следовательно,
r0 , стя-


 
B  rotA  rot 
 4
S 0 в точку P , то первый член выра-
жения (16) обратится в нуль, а среднее значение

вектора-потенциала A на поверхности бесконечно
малой сферы может быть принят, равным значению

вектора A в ее центре P .
Таким образом, в пределе при
r0  0 урав-
нение (12) принимает вид:


V
rotJ
r


 1 dA  d 1 
dS ,
 4A   
A
r dn
dn r 
S
или

1
A 
4


V
rotJ
r
1

4
В соответствии с формулами векторного анали-


rotJ
[ Jr ]
 r dV   r 3 dV ,
V
где объемный интеграл может быть распространен
на весь ограниченный поверхностью S объем, т.к.
r0  0 область V  интегрирования стремится
к объему V , а подынтегральное выражение остается конечным и при r  0 .
при
Последний член уравнения (18) представляет
собой интеграл по поверхности, ограничивающим
поэтому



 [ Jr ]

[ Jr ]
B   rot
dV  
rot 3 dV . (22)
4 V r 3
4 V
r


 
rot[ Jr ]r n  J (n  2)r n  r ( Jr )nr n  2 , (23)
получаем



[ Jr ]

B
rot 3 dV  

4 V
4
r

жает зависимость значений вектора-потенциала A
в объеме V от значений этого вектора и его первых
производных на граничной поверхности этого объема.
Если под объемом интегрирования понимать
все бесконечное пространство (т.е. удалить ограничивающую V поверхность S в бесконечность) и

наложить на A и его первые производные следу-

A
1
, а его перr
вые производные по координатам
не медленнее,


d
A
1
2
чем
, т.е. rA и r
при r0  0 остаются
dn
r2
конечными, то интеграл по граничной поверхности
станет равен нулю.
Таким образом:



1 rotJ
A  

4
4 V r

rotJ
 r dV .
V
(19)
 dV
(24)
 dV .
(25)

 
 J 3r Jr

 r3  r5
V


Следовательно,


B
1
H


4

объем, в котором определяется вектор A , и выра-
стремится к нулю не медленнее, чем
(21)
Учитывая, что [3]

 1 dA  d 1 
S  r dn  A dn r dS , (18)
ющие граничные условия: в бесконечности
(20)
за:
Следовательно,


 1 dA  d 1 
A
lim  
dS  4 A . (17)
dn r 
r0 0 S0  r dn


rotJ
.
dV
V r



 
 J 3r Jr
   r 3  r 5
V


Выводы. Напряженность магнитного поля, создаваемого намагниченным телом, убывает не мед1 , и определяется его намагниченноленнее, чем
r3
стью, геометрическими параметрами данного тела.
Установленная аналитическая зависимость может
быть использована в промышленности при разработке устройств дефектоскопии и идентификации с
целью повышения эффективности их функционирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. – М.: Высшая
школа, 1986. – 263 с.
2. Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники, ч. 3, Теория электромагнитного поля. –
М.: Энергия, 1969. – 352 с.
3. Маделунг Э. Математический аппарат физики. – М.: Государственное издательство физикоматематической литературы, 1960. –618 с.
Статья поступила 20.11.2006 г.
Рекомендовано к печати д.т.н., проф.
Черным А.П.
Вісник КДПУ. Випуск 6/2006 (41). Частина 1
10