МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Казахский национальный технический университет имени К.И.Сатпаева

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ
КАЗАХСТАН
Казахский национальный технический университет имени К.И.Сатпаева
Институт информационных и телекоммуникационных технологий
Кафедра «Математика»
Велямов Т.Т.
МАТЕМАТИКА - в задачах САПР
Учебно-методический комплекс дисциплины
(для специальности 5В072400 )
Алматы 2014
СОСТАВИТЕЛИ: Велямов Т.Т.. Учебно-методический комплекс дисциплины
(для специальности 5В072400 – Алматы:КазНТУ имени К. И. Сатпаева, 2014.
Аннотация: Кредитная технология обучения предполагает переход от
пассивных форм обучения к активной творческой работе, к усилению
индивидуального подхода, к развитию творческих способности обучаемых
путем расширение их самостоятельной работы. Предложенный УМКД
помогает реализовать эти цели. В ясной, четкой форме расписано, что надо
изучать, освоить, и представлен график реализации, контроля самостоятельного
усвоение материала. Предусмотрено планомерное изучение материала,
возможность доработать материал, не усвоенный на лекциях и практических
занятиях. УМКД обеспечивает студентов полным комплектом организационнометодического материала для изучения дисциплины. Студенты имеют
возможность рационально, грамотно, планомерно построить самостоятельную
работу, подготовку к лекциям, практическим занятиям, использовать
литературу и методические разработки.
Рецензент:д.т.н., профессор, зав.кафедры «Математика» Сатыбалдиев О.С.
Печатается по Типовой учебной программе, утвержденной Министерством
образования и науки Республики Казахстан на 2014-1015 уч.год.
© КазНТУ имени К.И.Сатпаева, 2014
1 Учебная программа дисциплины – Syllabus
1.1 Данные о преподавателях:
Доцент, к.т.н., ведущий занятия:
Велямов Турганжан Турсунович
Контактная информация: кафедра «Математика» телефон 257-71-93
Время пребывания на кафедре «Математика» аудитория 810, ГУК с
00
9 –1700
1.2 Данные о дисциплине:
Название «Математика IV»
Количество кредитов - 3
Место проведения: 1035 ГУК
Таблица 1
Выписка из учебного плана
Курс
Семестр
Кредиты
Лекции
1
2
2
3
3
3
4
1
Академических часов в неделю
Практ. СРО СРОП Всего
занятия
5
2
6
3
7
3
8
9
Форма
контроля
9
Экзамен
1.3 Пререквизиты дисциплины.
Курс базируется на знаниях, полученных студентами при изучении
дисциплин Информатика, Высшая математика.
1.4« Постреквизиты дисциплины.
Знания и навыки, полученные магистрантами по дисциплине
"МАТЕМАТИКА IV" могут быть использованы для нормирования и
выстраивания технологических процессов в соответствии с требованиями
системы менеджмента качества в профессиональной деятельности.
1.4 Описание дисциплины
Способность совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и
общекультурный уровень - Студент в состоянии дать определения
изучаемым понятиям, анализирует взаимосвязи осваиваемых объектов и
делает соответствующие выводы.
Способность самостоятельно приобретать (в том числе с помощью
информационных технологий) и использовать в практической
деятельности новые знания и умения, включая новые области знаний,
непосредственно не связанных со сферой деятельности - Студент
демонстрирует владение информацией, освоенной самостоятельно в ходе
подготовки к семинарским занятиям, лекциям и при выполнении домашних
заданий.
Способность
обосновывать
актуальность,
теоретическую
и
практическую значимость избранной темы научного исследования Студент владеет основными теоретическими моделями, основываясь на их
знании, демонстрирует навыки формулирования цели исследования и выбора
технических приемов ее достижения.
Способность анализировать и использовать различные источники
информации для проведения экономических расчетов - Студент применяет
различные методики решения задач и математических расчетов на
практических занятиях и в ходе решения домашних заданий.
Способность разрабатывать варианты управленческих решений и
обосновывать их выбор на основе критериев социально-экономической
эффективности - Студент владеет достаточным математическим аппаратом
для обработки данных и разработки методики принятия решений и
нахождения оптимальных параметров задачи (в том числе с точки зрения
социально-экономической эффективности).
1.6 Перечень и виды заданий и график их выполнения:
Таблица 2
Виды заданий и сроки их выполнения
Виды
контроля
Вид
работы
Текущий
контроль
Практическая
работа
СР
Текущий
контроль
СР
Текущий
контроль
Текущий
Тема работы
Модели линейного
программирования и его
приложения.
Экономикоматематические
модели: методы
оптимизации
Практическая Линейное
работа
программирование (ЛП)
СР
Реферат
Геометрическая
Ссылки на
рекомендуемую
литературу с
указанием
страниц
1 осн.[22-25]
3 осн[11-16]
Сроки
сдачи
1 неделя
1 осн.[26-31]
3 осн[11-21]
2 неделя
1 осн.[32-37]
5 осн[88-97]
3 неделя
1 осн.[35-41]
4 неделя
контроль
Текущий
контроль
Текущий
контроль
Текущий
контроль
СР
интерпретация задачи ЛП 5 осн[98-111]
Практическая Симплексный
работа
решения ОЗЛП.
СР
метод 1 осн.[52-58]
5 неделя
1 осн.[59-61]
3 осн[59-68],
[201-203]
6 неделя
1 осн.[20-35]
3 осн.[194-206]
7 неделя
1 осн.[16-227]
3 осн.[215-242]
8 неделя
1 осн.[50-57]
3 осн.[233-236]
9 неделя
1 осн.[63-76]
3осн.[242-246]
10
неделя
Решение
транспортной 1 осн.[38-44]
задачи
методом 3 осн.[257-267]
потенциалов.
Дополнительные примеры
решения экономических
задач. Вырожденность в
транспортной задаче.
11
неделя
Практическая Понятие и терминология 1 осн.[228-229]
работа
межотраслевого баланса. 3 осн.[268-271],
СР
[274-286]
12
неделя
СР
Симплекс метод с
искусственным базисом
(или М-метод
Практическая
работа
Теория двойственности в
СР
анализе
оптимальных
решений
задач
экономических
Рубежны
й
контроль
Тестирование
Текущий
контроль
Практическая
работа
Транспортная задача
СР
Практическая
работа
Решение
транспортной
СР
задачи
методом
Текущий
контроль
3 осн[24-57],
[187-191]
Экономический смысл
переменных
двойственной задачи.
Теоремы двойственности
потенциалов. Суть метода
потенциалов.
Текущий
контроль
Текущий
контроль
СР
Общая структура МОБ.
Текущий
СР
Постановка задачи
1 осн.[93-144]
13
контроль
Текущий
контроль
Практическая
работа
СР
Рубежны
й
контроль
Тестирование
КР
нелинейного
программирования.
Постановка задачи
динамического
программирования.
Постановка задачи
нелинейного
программирования.
Постановка задачи
динамического
программирования
3 осн.[333-347],
[271-273]
неделя
1 осн.[383-419]
3 осн[130-144]
14
неделя
1 осн[230-375]
15
неделя
Методы нелинейного
программирования и
многокритериальной
оптимизации.
Итоговый контроль
Экзаме
н
1.7 Список основной и дополнительной литературы
Основная.
1. Просветов, Г. И. Математические модели в экономике : учебно-метод.
пособие / Г. И. Просветов. - 2-е изд. доп. - М. : Изд-во РДЛ, 2006. 160 с
2. Колемаев, В. А. Экономико-математическое моделирование.
Моделирование экономических процессов и систем [Текст] : учебник
/ В. А. Колемаев. - М. : ЮНИТИ, 2005. - 295 с.
3. Мур, Д. Х. Экономическое моделирование в Microsoft Excel [Текст] :
пер. с англ. / Д. Х. Мур. - 6-е изд., Пер. с англ. - М. : Вильямс, 2004. 1024 с. + 1 эл. опт. диск (CD-ROM).
4. Рахметова, Р. У. Математические модели и методы в экономике
[Текст] : учеб. пособие / Р. У. Рахметова. - Алматы : Экономика, 2008.
- 224 с. - (Современные учебные издания КазЭУ им. Т. Рыскулова).
5. Уандыкова М.К. Учебное пособие по крусу «Модели и методы
управления» - Алматы: 2011г.
6. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб.
пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. — 2-е изд. М.: ЮНИТИДАНА, 2005. — 304 с.
7. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике,
финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд. М.: ЮНИТИДАНА, 2005. — 287 с.
8. Ю.Н. Кузнецов, В.И. Кузубов, А.Б. Волощенко “Математическое
программирование”
9. Е. Г. Гольштейн Д. Б. Юдин “Задачи линейного программирования
транспортного типа”
10.В. С. Немчинова “Методы и алгоритмы решения транспортной
задачи”
11.Ю. Н. Кузнецов “ Линейное программирование “
12.Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука,
1986.-296 с.
13.Гринберг А.С., Шестаков В.М. Информационные технологии
моделирования процессов управления экономикой. – М.: ЮНИТИДАНА, 2003.-399 с.
14.Данилов Н.Н. Курс математической экономики. – Новосибирск, Издво СО РАН, 2002.-444 с.
15.Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике. – М.: ВитаПресс, 1996.-386 с.
Дополнительная.
 Малыхин В.И. Финансовая математика. –М.: ЮНИТИ, 2000.- 247 с.
 Матвеев Л.А. Компьютерная поддержка решений. – СПб: 1998.-472 с.
 Моделирование
производственно-инвестиционной
деятельности
фирмы / Под ред. проф. Г.В. Виноградова. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.
– 319 с.
1.8 Контроль и оценка знаний
По кредитной технологии обучения для всех курсов и по всем
дисциплинам Казахского национального технического университета имени
К.И.Сатпаева применяется рейтинговый контроль знаний студентов.
Рейтинг каждой дисциплины, которая включена в рабочий учебный
план специальности, оценивается по 100 – бальной шкале независимо от
итогового контроля.
Для каждой дисциплины устанавливаются следующие виды контроля:
текущий контроль, рубежный контроль, итоговый контроль.
Видами текущего контроля являются контрольные работы, рефераты,
семестровые задания, коллоквиумы, выполнение лабораторных работ и др. К
итоговому контролю относятся курсовой проект или курсовая работа и
экзамен. В зависимости от видов итогового контроля применяется различная
разбалловка видов контроля (таблица 3).
Таблица 3
Распределение рейтинговых баллов по видам контроля
№
1.
Вид итогового контроля
Экзамен
Виды контроля
Итоговый контроль
Рубежный контроль
Текущий контроль
Проценты
100
100
100
Сроки сдачи результатов текущего контроля определяются
календарным графиком учебного процесса по дисциплине (таблица 4).
Таблица 4
Календарный график сдачи всех видов контроля по дисциплине «JAVA
– программирование»
Недели 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Виды СР СР СР СР СР СР СР
Р
СР СР СР СР СР СР РК2
контро П
П
Р
П
П РК1
П
П
П
П КР
ля
Недель
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
ное
кол-во
контро
ля
Виды контроля:
СР - самостоятельная работа, Р-рефераты, П- практические работы, КРкурсовая работа,
РК- рубежный контроль.
Таблица 5
Оценка знаний студентов
Оценка
Отлично
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
Буквенный эквивалент
А
АВ+
В
ВС+
С
СD+
D
F
В процентах %
95-100
90-94
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
0-49
В баллах
4
3,67
3,33
3,0
2,67
2,33
2,0
1,67
1,33
1,0
0
Перечень вопросов для проведения контроля по модулям и
промежуточной аттестации
Вопросы для проведения контроля по 1 модулю:
1. Предмет и метод ЭММ.
2. Понятия модели и процесса моделирования.
3. Основные понятия и сущность системного анализа
4. Основные принципы и характеристика этапов математического
моделирования.
5. Особенности экономико-математического моделирования.
6. Классификация математических моделей.
7. Простейшие экономико-математические модели и их решение.
8. Понятия полных, прямых и косвенных внутрипроизводственных
затрат.
9. Принцип оптимальности в планировании и управлении.
10.
Понятие
допустимого
решения
задачи
линейного
программирования.
11.
Оптимальное решение задачи линейного программирования:
математическое определение, экономический смысл.
12.
Несовместность системы ограничений задачи линейного
программирования: причины, примеры, экономическая интерпретация.
13.
Неограниченность целевой функции задачи линейного
программирования: причины, примеры, экономическая интерпретация.
14.
Каноническая
форма
записи
задачи
линейного
программирования, её экономическая интерпретация.
15.
Переход от стандартной формы записи задачи линейного
программирования к канонической.
16.
Геометрическая
интерпретация
задачи
линейного
программирования.
17.
Симплексный
метод
решения
задачи
линейного
программирования.
18.
Опорное решение задачи линейного программирования и его
отыскание.
19.
Основная
задача
производственного
планирования,
её
применение в менеджменте.
20.
Основная задача народнохозяйственного планирования, её
теоретическое и прикладное значение.
21.
Правила формулирования задачи линейного программирования в
Microsoft Excel Экономическая интерпретация двойственной задачи
линейного программирования.
22.
Первая теорема двойственности: формулировка и экономическая
интерпретация.
23.
Вторая теорема двойственности: формулировка и экономическая
интерпретация.
24.
Третья теорема двойственности: формулировка и значение для
научного обоснования ценообразования.
25.
Объективно обусловленные оценки благ: экономическая
интерпретация и применение в экономическом анализе.
26.
Проверка адекватности линейной экономико-математической
модели с помощью двойственных оценок.
27.
Какое допустимое решение называется оптимальным?
28.
Чем отличаются каноническая и стандартная задачи линейного
программирования?
29.
Геометрическое истолкование и свойства канонической задачи
линейного программирования.
30.
Типы экономических задач, сводящихся к задачам линейного
программирования.
31.
При решении задачи симплексным методом какой столбец
называется ведущим, какая строка ведущей и какой элемент ведущим?
32.
Какой экономический смысл коэффициентов столбца Q? Почему
при заполнении столбца Q делим только на положительные коэффициенты
ведущего столбца?
33.
Почему решение считается найденным, если коэффициенты
последней строки таблицы положительные?
34.
Какой экономический смысл имеют коэффициенты столбца
свободных членов последней таблицы?
35.
Экономическая интерпретация двойственной задачи.
36.
Свойства взаимно двойственных задач.
37.
Экономический смысл транспортной задачи?
38.
Когда транспортная задача является задачей на избыток, а когда
задачей на недостаток, как это исправить?
39.
В чем суть метода северо-западного угла?
40.
В чем суть метода минимальной стоимости?
41.
Когда опорный план считается оптимальным, то есть решение
найдено?
42.
Какие типы экономических задач сводятся к транспортной
задаче?
43.
Что показывают цифры в строке фиктивного поставщика и в
столбце фиктивного потребителя, когда транспортная задача решена?
44.
Формулировка и экономическая интерпретация закрытой
транспортной задачи, решаемой на минимум стоимости перевозок.
45.
Формулировка и экономическая интерпретация открытой
транспортной задачи, решаемой на минимум стоимости перевозок.
46.
Последовательность решения открытой транспортной задачи
методом потенциалов.
47.
Последовательность решения закрытой транспортной задачи
методом потенциалов.
Вопросы для проведения контроля по 2 модулю:
1. Сформулируйте общую постановку транспортной задачи и ее цель.
2. Какие транспортные задачи называются закрытыми?
3. Какие транспортные задачи называются открытыми?
4. Каковы правила приведения открытой модели транспортной задачи к
закрытой?
5. Можно ли транспортную задачу решить симплексным методом?
6. Назовите известные методы построения опорного плана транспортной
задачи.
7. Какой из методов построения опорного плана транспортной задачи
является близким к оптимальному?
8. Как определить количество занятых клеток в распределительной
таблице транспортной задачи?
9. Назовите метод построения оптимального плана транспортной задачи.
10.
Сформулируйте теорему о потенциалах. Каков её экономический
смысл?
11.
Алгоритм метода потенциалов.
12.
Как вычисляют оценки при проверке на оптимальность в
распределительной таблице?
13.
Сформулируйте
критерий
оптимальности
базисного
распределения поставок.
14.
При каких условиях транспортная задача имеет бесконечное
множество оптимальных планов перевозок?
15.
Что называется циклом?
16.
Что называется ценой цикла?
17.
Каковы правила построения цикла в распределительной таблице?
18.
В каком случае транспортная задача имеет вырожденное
решение?
19.
Как исключить вырожденность в транспортных задачах?
20.
Какие экономические задачи можно отнести к транспортным
моделям?
21.
Постановка и экономическая интерпретация задачи о
назначениях.
22.
Алгоритм численного решения задачи о назначениях.
23.
Понятие линейных моделей в экономике. Балансовые модели.
24.
Понятия чистой отрасли и экономической системы в
экономических моделях.
25.
Модель межотраслевого баланса. Понятия конечного, валового,
условно чистого продукта.
26.
Баланс между производством и потреблением в МОБ.
27.
Стоимостная структура продукции отраслей в МОБ.
28.
Математическая постановка и решение задачи МОБ.
29.
Анализ методов планирования «от вала» и от конечного продукта
в МОБ.
30.
Динамическая модель МОБ. Личное и общественное
потребление. Капиталовложения.
31.
Какие экономические задачи можно решать с помощью
межотраслевого баланса?
32.
Напишите основное уравнение межотраслевого баланса и дайте
расшифровку показателей уравнения.
33.
Как изучается структура МОБ?
34.
Назовите основные группы МОБ в зависимости от признаков
классификации.
35.
Области применения матричных моделей.
36.
Структура межотраслевого баланса.
37.
Связь между конечной и условно чистой продукцией.
38.
Экономический смысл, свойства и способы расчета
коэффициентов прямых материальных затрат.
39.
Коэффициенты полных материальных затрат.
40.
Экономический смысл коэффициентов прямых затрат труда.
41.
Динамическая модель Неймана.
42.
Оптимизационные модели накопления капитала и потребления.
43.
Основные положения теории двойственности в экономике.
44.
Экономический смысл двойственных оценок.
45.
Правила пользования средством «Поиск решения» табличного
процессора Microsoft Excel.
Перечень программных вопросов по пройденному курсу и
соответствующих итоговым тестам:
1. Предмет и метод ЭММ.
2. Понятия модели и процесса моделирования.
3. Основные понятия и сущность системного анализа
4. Основные принципы и характеристика этапов математического
моделирования.
5. Особенности экономико-математического моделирования.
6. Классификация математических моделей.
7. Простейшие экономико-математические модели и их решение.
8. Понятия полных, прямых и косвенных внутрипроизводственных
затрат.
9. Принцип оптимальности в планировании и управлении.
10.
Понятие
допустимого
решения
задачи
линейного
программирования.
11.
Оптимальное решение задачи линейного программирования:
математическое определение, экономический смысл.
12.
Несовместность системы ограничений задачи линейного
программирования: причины, примеры, экономическая интерпретация.
13.
Неограниченность целевой функции задачи линейного
программирования: причины, примеры, экономическая интерпретация.
14.
Каноническая
форма
записи
задачи
линейного
программирования, её экономическая интерпретация.
15.
Переход от стандартной формы записи задачи линейного
программирования к канонической.
16.
Геометрическая
интерпретация
задачи
линейного
программирования.
17.
Симплексный
метод
решения
задачи
линейного
программирования.
18.
Опорное решение задачи линейного программирования и его
отыскание.
19.
Основная
задача
производственного
планирования,
её
применение в менеджменте.
20.
Основная задача народнохозяйственного планирования, её
теоретическое и прикладное значение.
21.
Правила формулирования задачи линейного программирования в
Microsoft Excel Экономическая интерпретация двойственной задачи
линейного программирования.
22.
Первая теорема двойственности: формулировка и экономическая
интерпретация.
23.
Вторая теорема двойственности: формулировка и экономическая
интерпретация.
24.
Третья теорема двойственности: формулировка и значение для
научного обоснования ценообразования.
25.
Объективно обусловленные оценки благ: экономическая
интерпретация и применение в экономическом анализе.
26.
Проверка адекватности линейной экономико-математической
модели с помощью двойственных оценок.
27.
Какое допустимое решение называется оптимальным?
28.
Чем отличаются каноническая и стандартная задачи линейного
программирования?
29.
Геометрическое истолкование и свойства канонической задачи
линейного программирования.
30.
Типы экономических задач, сводящихся к задачам линейного
программирования.
31.
При решении задачи симплексным методом какой столбец
называется ведущим, какая строка ведущей и какой элемент ведущим?
32.
Какой экономический смысл коэффициентов столбца Q? Почему
при заполнении столбца Q делим только на положительные коэффициенты
ведущего столбца?
33.
Почему решение считается найденным, если коэффициенты
последней строки таблицы положительные?
34.
Какой экономический смысл имеют коэффициенты столбца
свободных членов последней таблицы?
35.
Экономическая интерпретация двойственной задачи.
36.
Свойства взаимно двойственных задач.
37.
Экономический смысл транспортной задачи?
38.
Когда транспортная задача является задачей на избыток, а когда
задачей на недостаток, как это исправить?
39.
В чем суть метода северо-западного угла?
40.
В чем суть метода минимальной стоимости?
41.
Когда опорный план считается оптимальным, то есть решение
найдено?
42.
Какие типы экономических задач сводятся к транспортной
задаче?
43.
Что показывают цифры в строке фиктивного поставщика и в
столбце фиктивного потребителя, когда транспортная задача решена?
44.
Формулировка и экономическая интерпретация закрытой
транспортной задачи, решаемой на минимум стоимости перевозок.
45.
Формулировка и экономическая интерпретация открытой
транспортной задачи, решаемой на минимум стоимости перевозок.
46.
Последовательность решения открытой транспортной задачи
методом потенциалов.
47.
Последовательность решения закрытой транспортной задачи
методом потенциалов.
48.
Сформулируйте общую постановку транспортной задачи и ее
цель.
49.
Какие транспортные задачи называются закрытыми?
50.
Какие транспортные задачи называются открытыми?
51.
Каковы правила приведения открытой модели транспортной
задачи к закрытой?
52.
Можно ли транспортную задачу решить симплексным методом?
53.
Назовите известные методы построения опорного плана
транспортной задачи.
54.
Какой из методов построения опорного плана транспортной
задачи является близким к оптимальному?
55.
Как определить количество занятых клеток в распределительной
таблице транспортной задачи?
56.
Назовите метод построения оптимального плана транспортной
задачи.
57.
Сформулируйте теорему о потенциалах. Каков её экономический
смысл?
58.
Алгоритм метода потенциалов.
59.
Как вычисляют оценки при проверке на оптимальность в
распределительной таблице?
60.
Сформулируйте
критерий
оптимальности
базисного
распределения поставок.
61.
При каких условиях транспортная задача имеет бесконечное
множество оптимальных планов перевозок?
62.
Что называется циклом?
63.
Что называется ценой цикла?
64.
Каковы правила построения цикла в распределительной таблице?
65.
В каком случае транспортная задача имеет вырожденное
решение?
66.
Как исключить вырожденность в транспортных задачах?
67.
Какие экономические задачи можно отнести к транспортным
моделям?
68.
Постановка и экономическая интерпретация задачи о
назначениях.
69.
Алгоритм численного решения задачи о назначениях.
70.
Понятие линейных моделей в экономике. Балансовые модели.
71.
Понятия чистой отрасли и экономической системы в
экономических моделях.
72.
Модель межотраслевого баланса. Понятия конечного, валового,
условно чистого продукта.
73.
Баланс между производством и потреблением в МОБ.
74.
Стоимостная структура продукции отраслей в МОБ.
75.
Математическая постановка и решение задачи МОБ.
76.
Анализ методов планирования «от вала» и от конечного продукта
в МОБ.
77.
Динамическая модель МОБ. Личное и общественное
потребление. Капиталовложения.
78.
Какие экономические задачи можно решать с помощью
межотраслевого баланса?
79.
Напишите основное уравнение межотраслевого баланса и дайте
расшифровку показателей уравнения.
80.
Как изучается структура МОБ?
81.
Назовите основные группы МОБ в зависимости от признаков
классификации.
82.
Области применения матричных моделей.
83.
Структура межотраслевого баланса.
84.
Связь между конечной и условно чистой продукцией.
85.
Экономический смысл, свойства и способы расчета
коэффициентов прямых материальных затрат.
86.
Коэффициенты полных материальных затрат.
87.
Экономический смысл коэффициентов прямых затрат труда.
88.
Динамическая модель Неймана.
89.
Оптимизационные модели накопления капитала и потребления.
90.
Основные положения теории двойственности в экономике.
91.
Экономический смысл двойственных оценок.
92.
Правила пользования средством «Поиск решения» табличного
процессора Microsoft Excel.
1.9 Политика и процедура курса
Каждый студент обязан посещать занятия и своевременно сдавать
отчеты по всем видам контроля. Студенты, пропустившие занятия (по
неуважительной причине) или, своевременно не сдавшие отчеты, обязаны в
установленные преподавателем сроки отработать пропущенные темы и сдать
отчеты, с понижением рейтинговых баллов.
2 Содержание активного раздаточного материала
2.1 Тематический план курса
№
Наименование темы лекции
1
Количество академических часов
Лекция Лабор. СРСП СРС
работы
1
2
3
3
Модели линейного
программирования и его приложения.
2
Экономико-математические модели:
методы оптимизации
1
2
3
3
3
Линейное программирование (ЛП)
1
2
3
3
4
Геометрическая интерпретация задачи
ЛП
1
2
3
3
5
Симплексный метод решения ОЗЛП.
1
2
3
3
6
Симплекс метод с искусственным
базисом (или М-метод
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
7
Теория двойственности в анализе
оптимальных решений экономических
задач
8
Экономический смысл переменных
двойственной задачи. Теоремы
двойственности
9
Транспортная задача
10
Решение транспортной задачи методом
потенциалов.
Суть
метода
потенциалов.
11
Решение транспортной задачи методом
потенциалов.
Дополнительные
примеры решения экономических
задач. Вырожденность в транспортной
задаче.
12
Понятие
и
терминология
межотраслевого баланса.
Общая
структура МОБ.
1
2
3
3
13
Постановка задачи нелинейного
программирования. Постановка задачи
динамического программирования.
Постановка задачи нелинейного
программирования. Постановка задачи
динамического программирования
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
3
3
15
30
45
45
14
15
Методы нелинейного
программирования и
многокритериальной оптимизации.
Всего (часов)
лекция 1.
Модели линейного программирования и его приложения.
Моделирование систем.
1. Основные определения: системный анализ, система, социальноэкономическая система, свойства сложных систем, математическое моделирование,
экономико- математическое моделирование.
Изучение любой дисциплины начинается с формулировки определений ее
фундаментальных терминов и категорий.
Системный анализ – методология исследования любых объектов посредством
представления их в качестве систем и анализа этих систем.
Системой называется комплекс взаимосвязанных элементов совместно
реализующих определенные цели.
Система должна обладат следующими 4 признаками:
целостность системы, т.е. принципиальная несводимость свойств системы к
сумме свойств составляющих ее элементов;
наличие цели и критериев исследования данного множества элементов;
наличие среды более крупной, внешней по отношению к данной, системы,
называемой «средой»;
возможность выделения в данной системе взаимосвязанных частей
(подсистем, элементов системы).
В соответствие с указанными признаками можно определить основные принципы
построения систем:
1. Целостность
2. Структурность системы – возможность описание системы через установление
ее структуры.
3. Иерархичность системы – каждый элемент системы может рассматриваться как
самостоятельная система, а исследуемая в данный момент система может быть
элементом другой системы.
4. Взаимосвязь элементов внутри системы , а также взаимодействие системы и
внешней среды.
5. Множественность описания системы – для исследования системы требуется
стоить множество различных моделей, каждая из которых описывает только
определенный ее аспект.
В процессе своего функционирования системы изменяются во времени, поэтому
всякая реальная система является динамической.
Системы характеризуются как простые, большие и сложные.
Простая система содержит небольшое количество элементов и связей между ними.
Такая система легко поддается исследованию, так как множество ее возможных состояний
невелико.
Большая система содержит такое количество элементов и связей между ними,
которое превосходит возможности ее исследования в полном объеме. Однако структура
таких систем однородна.
Сложная система характеризуется множеством различных неоднородных структур
и множеством различных связей элементов этих структур. В силу этого число ее
возможных состояний велико, а исследование таких систем, их описание вызывает
определенные трудности.
Свойства сложных систем:
эмерджентность - как проявление свойства целостности системы, т.е. наличие
у технических и экономических систем таких свойств, которые не присущи
ни одному из составляющих систему элементов, взятому в отдельности вне
системы.
эмерджентность – есть результат возникновения между элементами
синргических связей, которые обеспечивают увеличение общего эффекта до
величины большей, чем сумма эффектов элементов системы, действующих
независимо. Поэтому социально-экономические системы необходимо
исследовать и моделировать в целом.
массовый характер экономических явлений и процессов. Закономерности
технических и экономических процессов не обнаруживаются на основании
небольшого числа наблюдений, поэтому моделирование в экономике и
технике должно опираться на массовые наблюдения;
динамичность технических и экономических процессов, заключающаяся в
изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием
среды (внешних факторов);
случайность и неопределенность в развитии экономических явлений. Поэтому
они носят в основном вероятностный характер и для их изучения необходимо
применять ЭММ на базе теории вероятности и математической статистики;
невозможность изолировать протекающие в экономических системах явления
и процессы от окружающей среды, чтобы наблюдать и исследовать их в
чистом виде; активная реакция на появляющиеся новые факторы, способность
социально-экономических систем к активным, не всегда предсказуемым
действиям в зависимости от отношения системы к этим факторам, способам и
методам их воздействия.
Одной из основных функций системы является управление. Управление – это
целенаправленное воздействие на систему для бесперебойного функционирования и
развития. В каждой системе, особенно сложной, можно выделить управляющую и
управляемую подсистемы, которые в свою очередь могут делиться на подсистемы и
элементы (например, на предприятии есть аппарат управления и производство).
Процесс управления состоит из двух связанных этапов. На первом этапе
разрабатывается программа поведения управляемой подсистемы – объекта управления
(бизнес-план, стратегия развития). На втором этапе она реализуется. Характерной
особенностью управляющей подсистемы является наличие у нее прямой и обратной связи
с объектом управления, для получения информации о состоянии объекта управления и на
основе ее анализа выработка управляющих воздействии для корректировки ее поведения.
Управляющую подсистему вместе с объектом управления принято называть
системой управления.
Системный анализ экономики как подсистемы природы и общества позволяет
выделить в ней три взаимосвязанных подсистемы различной структуры: производственнотехнологическую, социальную и организационно-управленческую.
Производственно-технологическая (производственная) подсистема осуществляет
преобразование ресурсов в соответствующие материальные блага. Основой этой
подсистемы являются производственные силы.
Социальная подсистема, в основе которой лежат производственные отношения,
выполняет такие функции как распределение, обмен, потребление созданных
материальных благ. Элементами этой подсистемы являются люди, общество в целом
через рынок товаров и услуг.
Организационно-управленческая система формируется во взаимодействии социальной
и производственной подсистем. В современное время экономика управляется через
рынок. Функции государства и рынка в управлении национальной экономикой тема
отдельного предмета.
В настоящее время сложился новый термин - социально-экономическая система.
Термин социально-экономическая система требует некоторого предварительного
обсуждения. Если термин «экономическая система» уже сложившийся, трактуется как
система общественного производства и потребления материальных благ, то социальные
аспекты жизни общества весьма многогранны и не всегда доступны для детального
анализа, моделирования и прогнозирования.
Вместе с тем некоторые социальные проблемы являются объектом исследования,
например, финансово-экономического профиля. В качестве примера можно привести
проблему анализа и прогнозирования покупательского спроса, в маркетинге – курса валют
на бирже, задачу анализа работников по уровню заработной платы и др.
Под социально-экономической системой понимают сложную вероятностную
динамическую систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения,
потребления материальных благ. Она относится к классу кибернетических систем, т.е.
управляемых.
Основным методом исследования систем является метод моделирования, т.е. способ
теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и
использование моделей. Под моделью понимают условный образ какого-либо объекта,
приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка. В экономикоматематических моделях таким объектом является экономический (социальноэкономический) процесс, а языком – классические и специально разработанные
математические методы.
В основе термина модель лежит латинское слово modulus - мера, образец. Модель
всегда проще исследуемого объекта. При изучении сложных явлений, процессов,
объектов, устройств или систем (объектов исследования) не всегда удается учесть полную
совокупность факторов, определяющих свойства объектов исследования. Выделяют
наиболее характерные, доминирующие факторы, которые в подавляющей степени
определяют основные свойства объекта исследования. В результате объект исследования
заменяется некоторым упрощенным подобием, но обладающим теми же характерными,
главными признаками, что и объект исследования.
Лекция 2
Экономико-математическое моделирование
Математическая модель (ММ) – описание объекта исследования, выполненное с
помощью математической символики. Для составления ММ можно использовать любые
математические средства – дифференциальное и интегральное исчисления, теорию
вероятностей и математическую статистику и т.д. ММ представляет собой совокупность
формул, уравнений, неравенств, логических условий и т.п. Использованные в ММ
математические соотношения определяют процесс изменения состояния объекта
исследования в зависимости от его параметров, входных сигналов, начальных условий и
времени. По существу вся математика создана для формирования математических
моделей.
Математическое моделирование – метод изучения объекта исследования,
основанный на создании его математической модели и использовании ее для получения
полезной информации.
Математическое моделирование подразделяется на аналитическое и машинное
(компьютерное) моделирование.
При аналитическом моделировании
формирование модели производится в
основном с помощью точного математического описания объекта исследования. При
машинном моделировании математическая модель создается и анализируется с
помощью вычислительной техники.
Экономико-математические методы – комплекс экономических и математических
дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов.
Экономико-математическая модель – математическое описание исследуемого
экономического процесса или явления.
2. Задачи экономико-математического моделирования и этапы моделирования
Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:
анализ экономических объектов и процессов,
экономическое прогнозирование,
выработка управляющих решений на всех уровнях иерархии.
Можно выделить три основных этапа проведения экономико-математического
моделирования. На первом этапе ставятся цели и задачи исследования, проводится
качественное описание объекта в виде экономической модели (содержательная
постановка задачи или концептуальная модель). На втором этапе формируется
математическая модель изучаемого объекта, осуществляется выбор (или разработка)
методов исследования (решения), проводится программирование модели на ЭВМ,
подготавливается исходная информация. Далее проверяются пригодность машинной
модели на основании правильности получаемых с ее помощью результатов и оценка их
устойчивости, адекватности. На третьем этапе осуществляется применение полученных
результатов на практике.
3. Классификация экономико-математических моделей (ЭММ).
По целевому назначению ЭММ делятся
на теоретико-аналитические,
используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических
процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач
(модели экономического анализа, прогнозирования, управления).
В соответствии с общей классификацией математических моделей, различают
структурные модели, которые исследуют состав системы, взаимосвязи ее элементов
(например модель межотраслевых связей), и функциональные модели, позволяющие
анализировать
поведение системы (вход и выход) в различных ситуациях
безотносительно к ее внутренней структуре (например, модель поведения потребителей на
рынке).
По средствам описания ЭММ т.е. по типу подхода к изучаемым социальноэкономическим системам могут быть дескриптивными и нормативными.
Дескриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? Или как это может
дальше развиваться?, т.е. они объясняют наблюдаемые факты и дают пассивный прогноз.
Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть?, т.е. предполагают
целенаправленную деятельность.
По
учету
фактора
неопределенности
различают
детерминированные,
вероятностные (стохастические). В детерминированных моделях все условия
проведения операции известны и любой выбор решения приводит к вполне определенным
результатам. В вероятностных моделях не все условия известны заранее.
По учету фактора времени ЭММ делятся на статические, в которых все
зависимости отнесены к одному моменту времени, и динамические, описывающие
экономические системы в развитии.
По виду целевой функции и ограничений, т.е. по форме структурных отношений (по
характеристике математических объектов, включенных в модель) – линейные и
нелинейные модели, корреляционно-регрессионные, или модели теории массового
обслуживания, либо сетевого планирования и управления, теории игр и т.д..
По соотношению эндогенных и экзогенных переменных различают открытые и
закрытые модели.
По степени агрегирования структуры объекта формализации в целом на
агрегированные и детализированные, иначе можно сказать макроэкономические
(экономика - как единое целое) и микроэкономические (звенья экономики) модели.
По количеству критериев решаемых системой однокритериальные и
многокритериальные ЭММ.
Лекция 2.
Тема 2. Экономико-математические модели: методы оптимизации.
1. Общая постановка задачи ЭММ.
2. Классификация методов математического программирования.
3. Построение оптимизационных моделей для решения экономических задач.
Как отмечалось выше,
социально-экономические системы (СЭС) являются
управляемыми, т.е. от нас зависит выбрать тем или другим способом какие-то параметры,
характеризующие способ их организации. Всякий определенный выбор зависящих от нас
параметров называют решением. Оптимальными называются те решения, которые по тем
или иным соображениям, предпочтительнее других. Основная задача при экономикоматематическом моделировании – предварительное количественное обоснование
оптимальных решений. Кроме этого, системный подход требует учета взаимной
зависимости и обусловленности целого комплекса мероприятий. Поэтому наряду с
основной задачей при моделировании необходимо рассмотреть и ряд других, таких как:
сравнительная оценка различных вариантов организации операции;
оценка влияния на результат операции различных параметров (элементов
решения и заданных условий);
исследование так называемых «узких мест», т.е. элементов управляемой
системы, нарушение работы которых особенно сильно сказывается на успехе
операции, и т.д.
1. Общая постановка задачи ЭММ.
Эффективность операции количественно выражается целевой функцией Z. Все факторы
входящие в описание операции можно разделить на две группы:
экзогенные (условия проведения операции), на которые мы влиять не можем;
обозначим их через α1, α2, …;
эндогенные, зависимые факторы (элементы решения) х1, х2, …; которые в
известных пределах мы можем выбирать по своему усмотрению.
Показатель эффективности зависит от обеих групп факторов:
F = F(α1, α2, …; х1, х2, …).
Сформулируем задачу исследования операций (экономико-математическую задачу):
При заданных условиях α1, α2, … найти такие элементы решения х1, х2, …, которые
обращают показатель Z в максимум (минимум).
Перед нами типично математическая задача, относящаяся к классу вариационных
задач. Методы решения таких задач подробно разработаны в математике (задачи на поиск
экстремумов). Однако, когда переменных х1, х2, … много и в случае, если на них
наложены ограничения, либо функция может быть вовсе не дифференцируема, в этих
случаях вариационные методы могут не работать. В связи с этим разработаны множество
методов решения оптимизационных задач.
Класс оптимизационных задач в общем виде можно сформулировать следующим
образом: найти переменные х1, х2, …, хn, удовлетворяющие системе неравенств
(уравнений)
φi(х1, х2, …, хn)≤bi , i=1,2,…,m
(1)
и обращающее в максимум (минимум) целевую функцию, т.е.
F= F(х1, х2, …, хn)→max (min).
(2)
Условия неотрицательности переменных, если они существуют, входят в (1).
2. Классификация
методов
математического
программирования.
Классификация экономико-математических методов сводится к классификации
научных дисциплин, входящих в их состав.
Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при
наличии произвольных ограничений не существует. Однако, в зависимости от вида
целевой функции и ограничений (от природы и свойств операции, характера решаемых
задач) современная математика предлагает ряд специальных методов.
Таким образом в составе экономико-математических методов можно выделит
следующие разделы:
 экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория
экономической информации и теория управляющих систем;
 математическая статистика: экономические приложения данной
дисциплины – выборочный метод, дисперсионный анализ, корреляционный
анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, и др.;
 математическая экономия и эконометрия: теория экономического роста,
теория производственных функций, межотраслевые балансы, анализ спроса и
предложения, региональный и пространственный анализ, глобальное
моделирование и т.д.;
 методы принятия оптимальных решений: это методы математического
программирования, включающие в себя:
линейное программирование, если целевая функция и ограничения
линейны;
нелинейное программирование, если целевая функция и ограничения
нелинейны, в частности, если указанные функции обладают свойствами
выпуклости, то полученная задача является задачей выпуклого
программирования; Замечание: линейное и нелинейное программирование
включаются в численные методы.
если в задаче имеется переменная времени и критерий эффективности
выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно – через
уравнения, описывающие протекание операции во времени, то такая
задача является задачей динамического программирования;
стохастическое программирование - задачи со случайными
параметрами (марковские процессы решения, ТМО, имитационное
моделирование и др.)
геометрическое программирование;
если функции f и
φ зависят от параметров, то имеем задачу
параметрического программирования;
эвристическое программирование, если оптимальное решение не может
быть найдено алгоритмическим путем из-за большого числа вариантов
решения;
Остальные методы представляют специальные задачи:
задачи сетевого планирования и управления;
дискретные задачи;
теория игр;
 методы и дисциплины, специфичные отдельно как для планируемой
экономики, так и для рыночной экономики: к первым можно отнести теорию
оптимального функционирования экономики, оптимальное планирование,
теорию оптимального ценообразования и др., ко вторым – методы
позволяющие разработать модели свободной конкуренции, модели
капиталистического цикала, модели монополий, модели теории фирм и т.д.;
 методы экспериментального изучения экономических явлений: методы
анализа и планирования машинных экспериментов, имитационное
моделирование, деловые игры, экспертные системы и т.д.
3. Построение оптимизационных моделей для решения
экономических задач.
Процесс построения оптимизационных экономико-математических моделей условно
можно разделить на следующие основные этапы.
Первый этап – выбор объекта исследования. Объектом исследования могут быть
различные производственно-экономические процессы: перевозка грузов, размещение
производства, загрузка производственных мощностей, раскрой промышленных
материалов и т.д.
Второй этап – определение цели исследования. Цель исследования формулируется
на основе задач, поставленных при изучении данного объекта. Например, при
планировании перевозки грузов можно поставить следующую цель: составить план
перевозок грузов, обеспечивающий минимальные транспортные расходы.
Третий этап - выбор критерия оптимальности, записываемого в виде функционала.
Критериями оптимальности обычно служат: минимальная стоимость перевозки грузов,
максимальный доход, минимальные издержки производства и т.д.
Четвертый этап – выявление основных ограничений. Ограничения в модели
отражаются в виде системы уравнений и неравенств.
Лекция 3
Линейное программирование (ЛП). Общая постановка задачи ЛП.
Предмет ЛП.
Вычисление экстремума (максимума или минимума) линейной функции при
условии, что переменные, подлежащие определению, удовлетворяют линейным
ограничениям, составляет предмет линейного программирования (ЛП).
Основы ЛП были заложены советским математиком Л.В.Канторовичем
(впоследствии академиком, лауреатом Ленинской и Нобелевской премий) в конце 30-х
годов XX века. В США ЛП зародилось во время второй мировой войны в связи с
необходимостью планирования деятельности и снабжения вооруженных сил, которые
вели боевые действия в других частях света. В 1941 году в США осуществлена постановка
и построена модель одной из центральных задач ЛП – транспортной задачи. Большую
роль в развитии ЛП сыграло создание в 1947 году американским ученым Дж.Данцигом
универсального метода решения задач - метод последовательного улучшения плана,
который получил название «симплекс-метод»В 1949 г. Л.В. Канторовичем и М.К. Гавуриным предложен первый точный метод
для решения транспортной задачи – метод потенциалов. В последующие годы вклад в
развитие теории ЛП внесли ученые многих стран мира.
Задачи ЛП (ЗЛП).
Сформулируем несколько простых экономических задач, построим математические
модели для решения этих задач и покажем, что данные задачи относятся к ЗЛП.
Задача об использовании ресурсов. Предприятию необходимо изготавливать два
вида продукции P1 и P2 с использованием трех видов ресурсов: R1 , R2 , R3 , количество
которых ограничено. Исходные данные задачи сведены в таблицу:
Таблица 3.1.
Вид ресурсов
Запас
Количество ресурсов, идущее на
ресурсов
изготовление единицы продукции
P1
P2
R1
36
6
6
R2
20
4
2
R3
40
4
8
Доход от реализации единицы продукции,
у.е.
12
15
Требуется составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации
получить максимальный доход.
Построение модели начнем с обозначения неизвестных. Обозначим через х 1количество продукции P1, а через х2 – количество продукции P2.
Объектом исследования в данной задаче является планирование выпуска продукции
с использованием ограниченных ресурсов. В качестве ресурсов на предприятии могут
выступать оборудование, электроэнергия, топливо, различные виды сырья, рабочая сила и
т.д. Единицы измерения количеств продукции и ресурсов зависят от конкретного вида
продукции и ресурсов, рассматриваемых в задаче.
Цель исследования – составление плана выпуска продукции, приносящего
максимальный доход. Критерии задачи – максимальный доход. Запишем формально этот
критерий. Известно, что доход от реализации единицы продукции P1 составляет 12 у.е., а
количество этой продукции х1. Следовательно, доход от реализации единицы продукции
P1 составит 12х1 у.е. Соответственно доход от реализации единицы продукции P2 составит
15х2 у.е. Учитывая, что доход от реализации продукции P1 и P2 должен быть
максимальным, критерий задачи будет иметь вид:
f= 12х1+15х2 → max.
Известно также, что имеющиеся на предприятии ресурсы ограничены. Это
обстоятельство в свою очередь необходимо отразить в модели.
Поскольку расход каждого вида ресурса на единицу каждого вида продукции и
запасы ресурсов известны, это обстоятельство отражается в следующих ограничениях:
6х1+6х2 ≤ 36,
4х1+2х2 ≤ 20,
4х1+8х2 ≤ 40.
Смысл первого ограничения состоит в том, что фактический расход ресурса R1 на
производство продукции P1 и P2 не должен превышать запаса этого ресурса на
предприятии. Аналогичный смысл имеют второе и третье ограничения только для
ресурсов R2 и R3 соответственно.
Количество продукции выпускаемое предприятием, должно быть положительным
или равным 0 (если предприятие определенный вид продукции не производит).
Следовательно, должны присутствовать ограничения неотрицательности переменных:
х1 ≥ 0, х2≥ 0.
В целом данная задача об использовании ресурсов может быть представлена
моделью:
f = 12х1+15х2 → max;
6 x1  6 x 2  36

(3.1)
4 x1  2 x 2  20
4 x  8 x  40
2
 1
х1 ≥ 0, х2≥ 0.
Особенность данной задачи состоит в том, что существует множество вариантов
выпуска продукций P1 и P2, т.е. наборов значений х1, х2 удовлетворяющих ограничениям.
Однако необходимо выбрать такой план выпуска продукции, который приносит
предприятию максимальный доход. Функция f в задаче и ограничения задачи линейны.
Задача об использовании ресурсов относится к ЗЛП и может решаться на различных
предприятиях, где выпускается различное количество видов продукции с использованием
различного количества видов ресурсов. Учитывая это обстоятельство, сформулируем в
общем виде данную задачу.
Предположим, что предприятие выпускает n видов продукции с использованием m
видов ограниченных ресурсов. Известны следующие величины:
bi (i=1,2, …,m) – запас ресурса i-го вида;
aij (i=1,2, …,m; j=1,2,…,n) – количество ресурса i-го вида, идущее на изготовление
единицы продукции j-го вида;
сj (j=1,2,…,n) – доход от реализации единицы продукции j-го вида.
Требуется составить такой план выпуска прдукции, чтобы при ее реализации
получить максимальный доход.
Обозначим через хj (j=1,2,…,n) – количество продукции j-го вида. Тогда задачу об
использовании ресурсов в общем виде можно описать с помощью такой модели:
F  c1 x1  c 2 x 2  ...  c n x n  max ;
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

..............................................
a m1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
(3.2)
x j  0( j  1,2,..., n),
Задача о смесях (задача о диете). Для откорма животных необходимо из двух
кормов К1 и К2 составить смесь. Задана питательность порции смеси, рассчитанной на
одного животного, т.е. в ней должно содержаться:
Питательного вещества V1 не менее 12 ед.., V2 не менее 6 ед.; V3 не менее 9 ед.
Другие исходные данные задачи сведены в таблицу:
Таблица 3.2.
Питательные вещества Количество питательных веществ в
единице корма
К1
К2
V1
3
2
V2
1
2
V3
3
1
Стоимость единицы
корма
2
3
Требуется смешать имеющиеся корма в таком количестве, чтобы обеспечить
заданную питательность порции смеси при минимальных затратах на корма.
Построение модели начнем с обозначения неизвестных. Обозначим через х1количество корма К1, а через х2 – количество корма К2.
Объектом изучения в данной задаче является составление смеси сырья. Единицы
измерения количества смешиваемого сырья и питательных веществ (белки, жиры,
углеводы и т. п.) в различных задачах могут быть разными, в частности для сырья — т, кг,
л; для питательных веществ — гит. п.
Цель исследования — обеспечить заданную питательность (качество) смеси при
минимальных затратах на корма. Критерий задачи— минимальные затраты. Запишем
формально этот критерий.
Известно, что стоимость единицы корма К1 составляет 2 руб., а количество этого
корма — х1.Следовательно, стоимость всего корма К1 составит 2х1 руб. Стоимость
единицы корма К2 составляет 3 руб., а количество этого корма — х2. Следовательно, стоимость всего корма К2 составит 3х2 руб. Учитывая, что стоимость смеси должна быть
.минимальной, критерий задачи будет иметь следующий вид:
f= 2x1 + Зх2 →min.
Исходя из условия задачи, смесь должна содержать три питательных вещества,
причем фактическое количество каждого питательного вещества в смеси должно быть не
меньше заданного, т. е. необходимо обеспечить заданную питательность (качество) смеси.
Используя заданное количество каждого питательного вещества в единице каждого корма
и заданную питательность, это обстоятельство отражается в ограничениях:
Смысл первого ограничения состоит в том, что фактическое содержание
питательного вещества V1 в смеси должно быть не меньше заданного. Аналогичный
смысл имеют второе и третье ограничения только для питательных веществ V2 и V3
соответственно.
Количество корма, используемое в смеси, должно быть величиной положительной
или равной 0 (если определенный вид корма в смеси не используется). Следовательно, в
модели должны присутствовать ограничения неотрицательности переменных:
х1 ≥ 0, х2≥ 0.
В целом данная задача о смесях будет представлена моделью
f = 2х1+3х2 → min;
3x1  2 x 2  12

(3.3)
 x1  2 x 2  6
3x  x  9
2
 1
х1 ≥ 0, х2≥ 0.
Особенность данной задачи состоит в том, что существует множество вариантов
смешивания кормов К1 и К.2, т. е. наборов значений х1 и х2, удовлетворяющих
ограничениям. Однако необходимо выбрать такой вариант (или варианты) смешивания,
который обеспечивает минимальные затраты. Этот вариант (или варианты) смешивания
будет оптимальным. Следовательно, данная задача, так же как и задача об использовании
ресурсов, относится к задачам математического программирования, а поскольку функция
f и ограничения задачи линейные, она является задачей линейного программирования.
Рассмотренную частную задачу о смесях можно обобщить на случай использования
п видов кормов и содержания в порции смеси т питательных веществ в количествах
соответственно не менее bi (i=l,2,…,m). Известны также следующие величины:
aij(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)—количество i-ro питательного вещества, содержащееся в
единице корма j-го вида; Cj—стоимость единицы корма j-го вида.
Требуется смешать имеющиеся корма так, чтобы обеспечить заданную
питательность при минимальных затратах на корма.
Обозначим через хj (j=1,2,…,n) – количество корма j-го вида. Тогда задача о смесях в
общем виде будет описываться моделью:
F  c1 x1  c 2 x 2  ...  c n x n  min ;
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
(3.4)

..........
..........
..........
..........
......

a m1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
x j  0( j  1,2,..., n),
В компактном виде, используя знак суммирования ∑, задачу (3.4) можно записать
так:
Задачи (3.2) и (3.4) можно представить в .матричной форме записи. Для этого
введем следующие обозначения:
C — (cl,,c2,,...,cn)~матрица-строка коэффициентов при неизвестных в функции f;
Тогда задача (3.2) в матричной форме записи
будет
иметь вид:
(3.5)
а задача (3.4) запишется так:
(3.6)
Существуют задачи линейного программирования, в которых функция f
максимизируется или минимизируется, а ограничения имеют вид равенств. В матричной
форме записи такая задача имеет вид:
(3.7)
Задачи (3.5), (3.6), (3.7) представляют собой частные виды задач линейного
программирования. Особенность этих задач состоит в том, что они содержат только один
вид ограничений. Однако наряду с этими задачами широко распространены задачи
линейного программирования со смешанными ограничениями, которые содержат два или
три вида рассмотренных ограничений.
Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования).
Предприятию задан план производства продукции по времени и номенклатуре:
требуется за время Т выпустить n1 , n2 ,..., nk единиц продукции P1 , P2 ,..., Pk . Продукция
производится на станках S1 , S 2 ,..., S m . Для каждого станка известны производительность
aij (т.е. число единиц продукции P j которое можно произвести на станке S i в единицу
времени.
Необходимо составить такой план работы станков (т.е. так распределить выпуск
продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были
минимальными.
Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим через x ij - время, в течение которого станок S i будет занят
изготовлением продукции P j (i=1,2,…,m; j=1,2,…,k).
Так как время работы каждого станка ограничено и не превышает Т, то справедливы
неравенства:
 x11  x12  ...  x1k  T
 x  x  ...  x  T
 21
22
2k
(3.8)

..........
..........
..........
..........
......

 x m1  x m 2  ...  x mk  T
Для выполнения плана выпуска по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись
следующие равенства:
a11 x11  a12 x12  ...  a1k x1k  n1
a x  a x  ...  a x  n
 21 21
22 22
2k 2k
2
(3.9)

..........
..........
..........
..........
......

a m1 x m1  a m 2 x m 2  ...  a mk k mk  n k
Кроме того,
x ij  0(i  1,2,..., m; j  1,2,..., k ),
(3.10)
Затраты на производство всей продукции выразятся функцией:
F  b11 x11  b12 x12  ...  bmk x mk  min
(3.11)
Экономико-математическая модель задачи об использовании мощностей имеет вид:
найти такое решение X  ( x11 , x12 ,..., x mk ) , удовлетворяющее системам (3.8)-(3.9) и
условию (3.10), при котором функция (3.11) принимает минимальное значение.
Задача о раскрое материалов.
На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве a
единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих изделий в количествах,
b1 , b2 ,..., bl (условие комплектности). Каждая единица
пропорциональных числам
материала может быть раскроена n различными способами, причем использование i-го
способа (i=1,2,…,n) дает aik единиц k-го изделия (k=1,2,…,l).
Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.
Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим через x i - число единиц материала, раскраиваемых i-м способом, и xчисло изготавливаемых комплектов изделий.
Так как общее количество материала равно сумме его единиц, расраиваемых
различными способами, то
n
x
i 1
i
a
(3.12)
Требование комплектности выразится уравнениями:
n
x a
i 1
i
xi  0
ik
 bk x, (k  1,2,..., l )
(3.13)
(3.14)
Экономико-математическая модель задачи: найти такое решение X  ( x1 , x 2 ,..., x n ) ,
удовлетворяющее системам (3.12)-(3.13) и условию (3.14), при котором функция F=x
принимает максимальное значение.
3.3. Общая задача линейного программирования. Основные
определения
Исходя из частных видов задач линейного программирования, общую задачу
линейного программирования можно записать в виде следующей модели :
(3.15)
(3.16)
Линейная функция f называется целевой функцией задачи. Все остальное, за
исключением
условий
неотрицательности
переменных x j  0( j  1,2,..., n),
в
дальнейшем изложении будем называть ограничениями.
x j  0( j  1,2,..., n), удовлетворяющая ограничениям,
Любая совокупность
называется допустимым решением (допустимым планом) задачи. Если задача
линейного программирования имеет хотя бы одно допустимое решение, то ее
ограничения называются совместными, в противном случае — несовместными.
Поскольку рассматриваемые задачи носят, в основном, экономический характер, наряду
с понятием «решение» применяется аналогичное ему в данном случае понятие «план».
Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного
программирования, или, по-другому, область допустимых решений. Допустимое
решение, максимизирующее или минимизирующее целевую функцию f, называется
оптимальным решением (оптимальным планом) задачи.
Замечание. Учитывая экономический смысл величины bi, в рассматриваемых
задачах предполагается, что bi≥0 (i=1,2, …,m). В некоторых задачах линейного
программирования, создаваемых искусственно для различных целей, может
получиться, что отдельные ограничения имеют bi <0. Тогда обе части ограничения, где bi <0, умножают на (—1), причем, как известно, в этом случае знак
неравенства в ограничениях-неравенствах меняется на противоположный.
Оптимальным решением (или оптимальным планом) задачи линейного
программирования называется решение X *  ( x1* , x 2* ,..., x n* ) системы ограничений (3.16)
удовлетворяющие условию (3.16‫ )٭‬при котором линейная функция (3.15) принимает
оптимальное (максимальное или минимальное) значение.
При условии, что все переменные неотрицательны x j  0( j  1,2,..., n), система
ограничений (3.16) состоит лишь из одних односторонних (либо только ≥, либо только ≤)
неравенств, - такая задача ЛП называется стандартной; если система ограничений
состоит из одних уравнений, то задача называется канонической.
Теорема1. Всякому решению (1 , 2 ,..., n ) неравенства
 i1 x1   i 2 x2  ...   in xn  bi
(3.17)
соответствует определенное решение (1 , 2 ,..., n ; ni ) уравнения
 i1 x1   i 2 x2  ...   in xn  xni  bi ,
(3.18)
в котором
xni  0
(3.19)
и, наоборот, каждому решению (1 , 2 ,..., n ; ni ) уравнения (3.18) и неравенства (3.19)
соответствует определенное решение (1 , 2 ,..., n ) неравенства (3.17)
Используя эту теорему, представим в качестве примера стандартную задачу ЛП (ее
также называют основной ЗЛП - ОЗЛП) с ограничениями:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
(3.20)

..........
..........
..........
..........
......

a m1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
x j  0( j  1,2,..., n),
(3.21)
линейной функцией
F  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn
(3.22)
в каноническом виде. С этой целью в каждое из m неравенств системы ограничений
введем дополнительные переменные xn1 , xn 2 ,..., xn  m и система ограничений примет вид:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  x n 1  b1
a x  a x  ...  a x  x  b
 21 1
22 2
2n n
n2
2
(3.23)

..........
..........
..........
..........
......

a m1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  x n  m  bm
Таким образом, стандартная задача (3.20)-(3.22) в канонической форме: найти такое
решение X  ( x1 , x 2 ,..., x j ,..., x n , x n 1 , x n  2 ,..., x n  m ) удовлетворяющее системе (3.23) и
условию (3.21), при котором функция (3.22) принимает максимальное значение.
Матрицей А системы (3.23) называется таблица, составленная из коэффициентов
при x1 , x 2 ,..., x j ,..., x n , x n 1 , x n  2 ,..., x n  m . Расширенной матрицей системы называется та же
матрица, дополненная столбцом свободных членов.
Рангом матрицы r называется наибольший порядок отличного от нуля определителя,
который можно получить, вычеркивая из матрицы какие-то строки или какие-то столбцы.
Из линейной алгебры известно, что для совместности системы линейных уравнений (3.23)
необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной
матрицы. Общий ранг r называется рангом системы; он представляет собой не что иное,
как число линейно независимых уравнений среди наложенных ограничений.
Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m<n)
называются основными (или базисными), если определитель матрицы коэффициентов
при них отличен от нуля. Тогда остальные n-m переменных называются неосновными
(или свободными).
Для того чтобы отчетливее представить себе особенности решения ОЗЛП и
различные случаи, которые могут при этом встретиться, удобно воспользоваться
геометрической интерпретацией.
Лекция 4
Геометрическая интерпретация задачи ЛП
1. Теоремы о выпуклых множествах, область допустимых решений ЗЛП.
Прежде чем перейдем к рассмотрению данного вопроса геометрической
интерпретации задачи ЛП дадим ряд определений, которые нам понадобятся. Множество
точек (фигура) называется выпуклым, если оно обладает следующим свойством: если две
точки А и В принадлежат этому множеству (этой фигуре), то и весь отрезок АВ также
принадлежит этому множеству. Точка множества называется угловой (или крайней),
если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего
данному множеству. Выпуклое замкнутое множество точек пространства (плоскости),
имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником
(многоугольником), если оно ограниченное, и выпуклой многогранной
(многоугольной) областью, если оно неограниченное.
Множество точек
X  ( x1 , x2 ,..., xn ) образует n-мерное точечное векторное пространство. При n>3 точки и
фигуры n-мерного пространства не имеют реального геометрического смысла и все
исследования объектов этого пространства необходимо проводить в аналитической
форме. Тем не менее, оказывается целесообразным и в этом случае использовать
геометрические понятия для облегчения представлений об объектах n-мерного
пространства.
Рассмотрим решение неравенств.
Теорема 1. Множество решений неравенства с двумя переменными
a11 x1  a12 x2  b1
является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой
a11 x1  a12 x2  b1 , включая эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть
множество решений неравенства
a11 x1  a12 x2  b1
Данная теорема распространяется
и на множество решений системы с n
перменными, в этом случае рассматриваются полупространстава, плоскости или
гиперплоскости.
Решение системы неравенств.
Теорема 2. Множество решений совместной системы m линейных неравенств с
двумя переменными
a11 x1  a12 x 2  b1
a x  a x  b
 21 1
22 2
2

..........................
a m1  a m 2 x 2  bm
является выпуклым многоугольником (или выпуклой многоугольной областью).
Каждое неравенство в соответствии с теоремой 1 определяет одну из
полуплоскостей, являющуюся выпуклым множеством точек. Множеством решения
совместной системы линейных неравенств служат точки, которые принадлежат
полуплоскостям решений неравенств, т.е. принадлежат их пересечению, т.е. также
является выпуклым (многоугольником или выпуклой многоугольной областью) (рис. 4.1).
Т.о. область допустимых решений (ОДР) всегда представляет собой выпуклый
многоугольник.
Теорема 3. Множество решений совместной системы m линейных неравенств с n
переменными (m<n)
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

..............................................
a m1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
является выпуклым многогранником (или выпуклой многогранной областью) в n-мерном
пространстве.
Рис. 4.1.а) замкнутое выпуклое множество
Теорема 4. Если задача линейного программирования (ЗЛП) имеет оптимальное
решение, то линейная функция принимает максимальное (минимальное) значение в одной
из угловых точек многогранника решений. Если линейная функция принимает
максимальное значение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в любой
точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.
Теперь возникает вопрос о нахождении из числа допустимых оптимального решения,
т.е. такого, которое обращает в максимум (минимум) линейную функцию
F  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn . Рассмотрим эту задачу для случая, когда m=n-2, т.е. число
свободных членов =2.
Рассмотрим так называемую линию уровня линейной функции F, т.е. линию, вдоль
которой эта функция принимает одно и то же значения а (F= x1  0, x2  0 , или ( 1 ,  2 ,...,  n )
).
Уравнение линии уровня есть уравнение прямой линии. При различных уровнях a
линии уровня параллельны, так как их угловые коэффициенты определяются только
соотношением между коэффициентами c1 и c2 и, следовательно, равны (угловые
коэффициенты равны - c1 / c2 ). При a =0 линия уровня проходит через начало координат,
ее также называют начальной или основной прямой (для ее построения необходимо
отложить по оси абсцисс отрезок c2 , а по оси ординат отрезок - c1 ). При параллельном
перемещении этой прямой в одну сторону F будет возрастать, в другую – убывать.
Очевидно, что параллельное перемещение будет происходить вдоль вектораперпендикуляра к линиям уровня (градиента, нормали с угловым коэффициентом c2 / c1
для построения которой откладывают вектор c1 ; c2 ), который показывает направление
возрастания целевой функции.
Определение. Прямая называется опорной, если она имеет хотя бы одну общую
точку с многоугольником решений и весь он лежит по одну сторону от нее. Существуют
только две опорные прямые, параллельные начальной прямой. Одна опорная прямая
определяет точку min , вторая – точку max, эти точки называются опорными точками или
опорным решением. Какая прямая какую точку характеризует, определяется по
направлению вектора-градиента.
2. Свойства решения ОЗЛП.
1. Решение ОЗЛП, если оно существует, лежит только на границе ОДР.
2. Решение ОЗЛП может быть и не единственным. Если основная прямая
параллельна той стороне многоугольника допустимых решений, где достигается
максимум (минимум) F, то он достигается не в одной точке, а на всей ее стороне
(рис 4.1.а –минимум целевой функции – совпадает с гранью АЕ). В этом случае
ОЗЛП имеет бесконечное множество оптимальных решений (альтернативный
оптимум). В случае наличия альтернативного оптимума и ограниченной области
оптимальные решения соответствуют всем точкам отрезка, соединяющего две
вершины области)..
3. ОЗЛП может не иметь решения даже в случае когда существует область
допустимых решений (ОДР). Это бывает когда ОДР неограниченна сверху (4.1.б)
для задач поиска максимума функции F и снизу – минимума F. Либо решение
пусто (рис 4.1.в),
если не существует точек, удовлетворяющих всем
ограничениям одновременно, т.е. система несовместна.
4. Решение ОЗЛП, максимизирующее (минимизирующее) функцию F, всегда
достигается в одной из вершин многоугольника допустимых решений (в опорных
точках).
Рис. 4.1.б)
Рис. 4.1.в)
Замечание. Ситуация, когда задача линейного программирования не имеет
оптимального решения, возникает, как правило, в искусственно создаваемых задачах.
Реальные задачи линейного программирования всегда разрешимы, т. е. должны иметь
оптимальный план. Однако иногда некорректная постановка задачи может привести к ее
неразрешимости.
3. Пример графического метода решения задач линейного программирования
Решим графическим методом задачу линейного программирования с двумя
переменными:
(4.3)
Начнем решение задачи с построения области ее допустимых решений (рис. 4.2). В
первую очередь отобразим в прямоугольной системе координат условия
неотрицательности переменных. В двумерном пространстве уравнению соответствует
прямая, а неравенству — полуплоскость, лежащая по одну сторону от прямой. Построим
прямые x1  0, x2  0 , которые лежат на границах полуплоскостей и совпадают с осями
координат. Множество точек, удовлетворяющих одновременно неравенствам x1  0 и
x2  0 , представляет собой пересечение построенных полуплоскостей, вместе с
граничными прямыми и совпадает с точками первой четверти.
Теперь рассмотрим ограничения задачи. Построим по порядку прямые:
и определим, с какой стороны от этих прямых лежат полуплоскости, точки которых
удовлетворяют соответственно строгим неравенствам:
Рис. 4.2
Сторона, в которой располагается полуплоскость от прямой, указывается стрелками.
Убедиться в том, с какой стороны от прямой лежит полуплоскость, точки которой
удовлетворяют заданному неравенству, можно путем подстановки координат точек одной
или другой полуплоскости в неравенство. Когда прямая, ограничивающая полуплоскость,
не проходит через начало координат, удобнее всего подставлять точ.ку с координатами (0,
0). Если координаты точки удовлетворяют неравенству, то эта точка лежит в
полуплоскости, соответствующей данному неравенству. В противном случае неравенству
будет соответствовать другая полуплоскость.
Существует и другой способ определения полуплоскости. Если коэффициент при x 2
в ограничении положительный, то неравенству «>» соответствует полуплоскость,
лежащая выше граничной прямой, а неравенству «<» — полуплоскость, лежащая ниже
граничной прямой. Если коэффициент при x 2 в ограничении отрицательный, то наоборот.
Область определения задачи будет представлять собой пересечение всех
построенных полуплоскостей. В данном случае это многоугольник ABCDE. Каждая точка
этого многоугольника, включая и точки, лежащие на его границах, будет удовлетворять
ограничениям задачи.
Следующим этапом присвоим целевой функции f значение нуль и построим прямую
(4.4)
Эта прямая, проходящая через начало координат, строится следующим образом. При
f=0 линия уровня проходит через начало координат, и является начальной или основной
прямой (для ее построения необходимо отложить по оси абсцисс отрезок c2 =-3, а по оси
ординат отрезок - c1 =-1). Построим вектор С – градиент, координаты которого находят как
частные производные целевой функции по x1 и по x 2 , [он проходит через начало
координат и точку (1, —3)] и будет перпендикулярен прямой (4.4). Вектор С всегда
показывает направление возрастания значения целевой функции, а противоположный ему
вектор (—С) — направление убывания значения целевой функции. Передвигая прямую
(4.4) по области определения параллельно самой себе в направлении вектора С, значения
целевой функции будут возрастать. Передвижение в направлении вектора (—С) дает убывание значения целевой функции.
Передвижение на графике прямой равносильно изменению значения a в уравнении
x1  3x2  a . Каждому значению a соответствует прямая. Получаемые прямые
параллельны между собой и являются линиями уровня. Особенность линии уровня
состоит в том, что целевая функция принимает на ней одинаковые значения, т. е.
подставив координаты любой точки линии уровня в целевую функцию, ее значения
изменяться не будут.
Целевая функция f в задаче (4.3) достигает своего минимального значения в точке В
многоугольника, а максимального — в точке D.
Оптимальному решению задачи (4.3) соответствует точка В, которая лежит на
пересечении прямых
(4.5)
Для определения координат точки В решим систему (4.5). В результате получим:
x1  3,5 , x2  6,5 , f min  16 .
Для практического решения задачи линейного программирования на основе ее
геометрической интерпретации необходимо следующее:
1.
Построить прямые, уравнения которых получаются в результате замены в
ограничениях знаков неравенств на знаки равенств.
2. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений.
3. Определить многоугольник решений.
4.
Построить вектор
5.
Построить прямую
координат и перпендикулярную вектору
.
, С(-с2, с1) проходящую через начало
.
6. Передвигать прямую Z в направлении вектора
, в результате чего
либо находят точку (точки), в которой функция принимает максимальное значение, либо
устанавливают неограниченность функции сверху на множестве планов.
7.
Определить точки координаты максимума функции и вычислить значение
целевой функции в этой точке.
Пример Рассмотрим решение задачи об ассортименте продукции геометрическим
способом.
Определение оптимального ассортимента продукции.
Предприятие изготавливает два вида продукции - П1 и П2, которая поступает в
оптовую продажу. Для производства продукции используются два вида сырья - А и В.
Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно.
Расход сырья на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в табл. 2.1.
Таблица 2.1.
Расход сырья продукции
Расход сырья на 1 ед. продукции
Запас
сырья,
Сырье
ед.
П1
П2
А
2
3
9
В
3
2
13
Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П1 никогда не превышает
спроса на продукцию П2 более чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на
продукцию П2 никогда не превышает 2 ед. в сутки.
Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д. е. - для П1 и 4 д.е. для П2.
Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы
доход от реализация продукции был максимальным?
Решение
Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат X10X2
плоскости изобразим граничные прямые:
2х1 + 3х2 = 9
(L1);
3х1 + 2х2 = 13
(L2);
х1 - х2 = 1
(L3);
на
х2 = 2
(L4).
Взяв какую-либо точку, например, начало координат, установим, какую
полуплоскость определяет соответствующее неравенство. Полуплоскости, определяемые
неравенствами, на рис. Показаны стрелками. Областью решений является многоугольник
OABCD.
Для построения прямой Z = 3х1 + 4х2 = 0 строим вектор-градиент
и через
точку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0
перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора
. Из рис.4.3.
следует, что по отношению к многоугольнику решений опорной эта прямая становится в
точке C, где функция принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении
прямых L1 и L3. Для определения ее координат решим систему уравнений:
Оптимальный план задачи х1=2,4; х2=1,4. Подставляя значения х1 и х2 в линейную
функцию, получим:
.
Полученное решение означает, что объем производства продукции П1 должен быть
равен 2,4 ед., а продукции П2 – 1,4 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит: Z =
12,8 д.е.
Рис. 4.3.Решение задачи линейного программирования геометрическим способом
4. Анализ моделей на чувствительность
Анализ моделей на чувствительность — это процесс, реализуемый после получения
оптимального решения. В рамках такого анализа выявляется чувствительность
оптимального решения к определенным изменениям исходной модели. В задаче об
ассортименте продукции может представлять интерес вопрос о том, как повлияет на
оптимальное решение увеличение и уменьшение спроса на продукцию или запасов
исходного сырья. Возможно, также потребуется анализ влияния рыночных цен на
оптимальное решение.
При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных
моделей. Это придает модели определенную динамичность, позволяющую исследователю
проанализировать влияние возможных изменений исходных условий на полученное ранее
оптимальное решение. Динамические характеристики моделей фактически отображают
аналогичные характеристики, свойственные реальным процессам. Отсутствие методов,
позволяющих выявлять влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное решение, может привести к тому, что полученное (статическое) решение устареет еще
до своей реализации. Для проведения анализа модели на чувствительность с успехом
могут быть использованы графические методы.
Рассмотрим основные задачи анализа на чувствительность на последнем примере.
Задача 1. Анализ изменений запасов ресурсов.
После нахождения оптимального решения представляется вполне логичным
выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов ресурсов. Для этого
необходимо ответить на два вопроса:
1.
На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения
полученного оптимального значения целевой функции Z?
2.
На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении
полученного оптимального значения целевой функции Z?
Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифицируем ограничение
линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные)
ограничения. Прямая, представляющая связывающее ограничение, должна проходить
через оптимальную точку, в противном случае, соответствующее ограничение будет
несвязываюшим. На рис. 4.3 связывающими ограничениями являются ограничения (1) и
(3), представленные прямыми L1 и L3 соответственно, т.е. те, которые определяют запасы
исходных ресурсов. Ограничение (1) определяет запасы сырья А. Ограничение (3)
определяет соотношение спроса на выпускаемую продукцию.
Если некоторое ограничение является связывающим, то соответствующий ресурс
относят к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется полностью. Ресурс, с
которым ассоциировано не связывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т.е. имеющихся в некотором избытке). В нашем примере не
связывающими ограничениями являются (2) и (4). Следовательно, ресурс - сырье В недефицитный, т.е. имеется в избытке, а спрос на продукцию П2 не будет удовлетворен
полностью (в таблице - ресурсы 2 и 4).
При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений
определяются:
1) предельна допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее
улучшить найденное оптимальное решение, и 2) предельно допустимое снижение запаса
недефицитного ресурса, не изменяющее найденное ранее оптимальное значение целевой
функции.
В нашем примере сырье А и соотношение спроса на выпускаемую продукцию П1 и
П2 являются дефицитными ресурсами (в таблице - ресурсы 1, 3).
Рассмотрим сначала ресурс - сырье А. На рис. 4.4. при увеличении запаса этого
ресурса прямая L1 перемещается вверх, параллельно самой себе, до точки К, в которой
пересекаются линии ограничений L2, L3 и L4. В точке К ограничения (2), (3) и (4) становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответствует точка К, а
пространством (допустимых) решений становится многоугольник AKD0. В точке К
ограничение (1) (для ресурса А) становится избыточным, так как любой дальнейший рост
запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на
оптимальное решение.
Рис.
4.4.
Геометрическая
интерпретация
решения
задачи
линейного
программирования (изменение ресурса А)
Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того предела, когда
соответствующее ему ограничение (1) становится избыточным, т.е. прямая (1) проходит
через новую оптимальную точку К. Этот предельный уровень определяется следующим
образом. Устанавливаются координаты точки К, в которой пересекаются прямые L2, L3 и
L4, т.е. находится решение системы уравнений
.
В результате получается х1 = 3 и х2 = 1. Затем, путем подстановки координат точки К
в левую часть ограничения (1), определяется максимально допустимый запас ресурса А:
.
Рис. 4.5. иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос об изменении
соотношения спроса на продукцию П1 и П2.
Рис.
4.5.
Геометрическая
интерпретация
программирования (изменение спроса на продукцию)
решения
задачи
линейного
Новой оптимальной точкой становится точка Е, где пересекаются прямые L1 и L2.
Координаты данной точки находятся путем решения системы уравнений (1) и (2)
следующим образом:
.
В результате получается х1 = 4,2; х2 = 0,2, причем суточный спрос на продукцию П1
не должен превышать спрос на продукцию П2 на величину х1 - х2 = 4,2 -0,2= 4 ед.
Дальнейшее увеличение разрыва в спросе на продукцию П1 и П2 не будет влиять на
оптимальное решение.
Рассмотрим вопрос об уменьшении правой части несвязывающих ограничений.
Ограничение (4) фиксирует предельный уровень спроса на продукцию П2 . Из рис. 4.3
следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую L4 (АВ) можно опускать вниз до
пересечения с оптимальной точкой С. Так как точка С имеет координаты х1 = 4,2; х2 =1,4
уменьшение спроса на продукцию П2 до величины х2 =1,4 никак не повлияет на
оптимальность ранее полученного решения.
Рассмотрим ограничение (2)
, которое представляет собой
ограничение на недефицитный ресурс - сырье В. И в этом случае правую часть - запасы
сырья В - можно уменьшать до тех пор, пока прямая L2 не достигнет точки С. При этом
правая часть ограничения (2) станет равной
, что
позволяет записать это ограничение в виде:
. Этот результат показывает,
что ранее полученное оптимальное решение не измените, если суточный запас ресурса В
уменьшить на 3 ед.
Результаты проведенного анализа можно свести в следующую таблицу:
Максимальное
Максимальное
увеличение дохода
Ресурс
Тип ресурса
изменение
запаса
от
изменения
ресурса, ед.
ресурса, у.д.е.
1 (А)
дефицитный
12 – 9 = +3
17 – 12,8 = +4,2
2 (В)
недефицитный
10 – 13 = -3
12,8 – 12,8 = 0
13,4 – 12,8 =
3
дефицитный
4 – 1 = +3
+0,6
4
недефицитный
1,4 – 2 = -0,6
12,8 – 12,8 = 0
Задача 2. Определение наиболее выгодного ресурса.
В задаче 1 анализа на чувствительность мы исследовали влияние на оптимум
увеличения объема дефицитных ресурсов. При ограничениях, связанных с
дополнительным привлечением ресурсов, естественно задать вопрос: какому из ресурсов
следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств? Для этого вводится
характеристика ценности каждой дополнительной единицы дефицитного ресурса,
выражаемая через соответствующее приращение оптимального значения целевой
функции. Такую характеристику для рассматриваемого примера можно получить
непосредственно из таблицы, в которой приведены результаты решения задачи 1 на
чувствительность. Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i через yi.
Величина yi определяется из соотношения
.
Результаты расчета ценности единицы каждого из ресурсов представлены в
следующей таблице:
Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополнительные вложения в
первую очередь следует направить на увеличение ресурса А и лишь затем - на
формирование соотношения спроса на продукцию П1 и продукцию П2 . Что касается
недефицитных ресурсов, то, как и следовало ожидать, их объем увеличивать не следует.
Задача 3. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции.
Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон прямой,
которая представляет эту функцию в принятой системе координат. Вариация
коэффициентов целевой функции может привести к изменению совокупности
связывающих ограничений и, следовательно, статуса того или иного ресурса (т.е. сделать
недефицитный ресурс дефицитным, и наоборот).
При анализе модели ни чувствительность к изменениям коэффициентов целевой
функции необходимо исследовать следующие вопросы:
1. Каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при
котором не происходят изменения оптимального решения?
2. На сколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы
сделать некоторый недефицитный ресурс дефицитным, и, наоборот, дефицитный ресурс
сделать недефицитным?
Ответим на поставленные вопросы на нашем примере.
Рассматривая первый вопрос, обозначим через c1 и c2
доходы предприятия от
продажи единицы продукции П1 и П2 соответственно. Тогда целевую функцию можно
представить в следующем виде:
Z = с1х1 + с2х2
На рис. 4.3 видно, что при увеличении c1 или уменьшении c2
прямая,
представляющая целевую функцию Z, вращается (вокруг точки С) по часовой стрелке.
Если же c1
уменьшается или c2
увеличивается, эта прямая вращается в
противоположном направлении - против часовой стрелки. Таким образом, точка С будет
оставаться оптимальной точкой до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за пределы,
определяемые наклонами прямых для ограничений (1) и (3).
Когда наклон прямой Z станет равным наклону прямой L1, получим две
альтернативные оптимальные угловые точки - С и В. Аналогично, если наклон прямой Z
станет равным наклону прямой для ограничения (3), будем иметь альтернативные
оптимальные угловые точки С и D. Наличие альтернативных оптимумов свидетельствует
о том, что одно и то же оптимальное значение Z может достигаться при различных
значениях переменных х1 и х2 . Как только наклон прямой выйдет за пределы указанного
выше интервала c1, получим некоторое новое оптимальное решение.
Рассмотрим на нашем примере, каким образом можно найти допустимый интервал
изменения c1, при котором точка С остается оптимальной. Исходное значение
коэффициента c2 = 4 оставим неизменным. На рис. 4.3 видно, что значение c1 можно
уменьшать до тех пор, пока прямая Z не совпадет с прямой L1 (отрезок ВС).
Это крайнее минимальное значение коэффициента c1 можно определить из
равенства углов наклонов прямой Z и прямой L1 . Так как, тангенс угла наклона для
прямой Z равен (c1/4) , а для прямой (1) равен 2/3, то минимальное значение c1 определим
из равенства c1/4=2/3, откуда
.
На рис 4.3 видно, что значение c1 можно увеличивать беспредельно, так как прямая Z
при c2 = 4 и
не совпадает с прямой L3 (отрезок DC) и, следовательно, точка С
при всех значениях коэффициента
будет единственной оптимальной.
Интервал изменения c1, в котором точка С по-прежнему остается единственной
оптимальной точкой, определяется неравенством
. При c1 = 8/3
оптимальными угловыми точками будут как точка С, так и точка В. Как только
коэффициент c1 становится меньше 8/3 , оптимум смещается в точку В.
Можно заметить, что, как только коэффициент c1 оказывается меньше 8/3, ресурс 3
становится недефицитным, а ресурс 4 - дефицитным. Для предприятия это означает
следующее; если доход от продажи единицы продукции П1 станет меньше 8/3 д.е., то наиболее выгодная производственная программа предприятия должна предусматривать
выпуск максимально допустимого количества продукции П2 (полностью удовлетворять
спрос на продукцию П2). При этим соотношение спроса на продукцию П1 и П2 не будет
лимитировать объемы производства, что обусловит не дефицитность ресурса (3).
Увеличение коэффициента c1 свыше 8/3 д.е. не снимает проблему дефицита ресурсов (1)
и (3). Точка С - точка пересечения прямых L1 и L3 - остается все время оптимальной.
Лекция 5
Симплексный метод решения ОЗЛП.
Известно, что оптимальные решения задачи линейного программирования связаны с
угловыми точками многогранника решений. Угловых точек может быть много, если
много ограничений. Количество угловых точек соответствует количеству базисных
решений. Для каждого базисного решения однозначно определяется значение целевой
функции. Найти оптимальное решение (оптимальный план), беспорядочно перебирая все
базисные решения, в поисках такого решения, которое приносит целевой функции экстремальное значение, затруднительно. Тем более что при таком неупорядоченном поиске
значения целевой функции (невырожденной задачи) не обязательно будут монотонно
возрастать (при поиске максимума) или монотонно убывать (при поиске минимума).
В связи с этим необходим такой переход от одного базисного решения к другому (от
одной угловой точки к другой, начиная с угловой точки, отвечающей исходному
базисному решению), в результате которого новое решение приносило бы в невырожденной задаче на максимум большее значение целевой функции, а в невырожденной задаче на
минимум — меньшее. Данный процесс решения задачи реализует симплекс-метод, который
в литературе также называется методом последовательного улучшения плана (ПУОП).
Процесс решения задачи продолжается до получения оптимального плана либо до
установления факта отсутствия решений задачи. Если задача линейного
программирования вырожденная, то при переходе от одного базисного решения к другому
значение целевой функции может не измениться. Переход от одного базисного решения к
другому называется итерацией симплекс-метода.
Критерий разрешимости задачи линейного программирования.
Для того чтобы задача линейного программирования была разрешима, т. е. имела
оптимальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ограничения задачи были
совместными (множество допустимых решений не пусто) и целевая функция была
ограничена при поиске максимума сверху, а при поиске минимума снизу.
Суть симплексного метода решения ЗЛП, разработанного американским ученым
Дж.Данцигом, заключается в том, что в начале система ограничений должна быть
приведена к каноническому виду, т.е. представлена в виде уравнений; получают
допустимый вариант решения, удовлетворяющий всем ограничениям, но необязательно
оптимальный (так называемое опорное решение); затем оптимальность достигается
последовательным улучшением исходного варианта за определенное число шаговитераций. Нахождение начального опорного решения и переход к следующему опорному
решению проводятся на основе применения метода Жордана-Гаусса для системы
линейных уравнений в канонической форме, в которой должна быть предварительно
записана исходная ЗЛП; направление перехода от одного опорного решения к другому
выбирается при этом на основе критерия оптимальности (целевой функции) исходной
задачи.
Существуют две разновидности симплексного метода: симплекс метод с
естественным базисом и симплекс метод с искусственным базисом (или М-метод).
1. Симплекс метод с естественным базисом.
Представим стандартную задачу ЛП с ограничениями:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

..............................................
a m1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
x j  0( j  1,2,..., n),
и линейной функцией
F  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn
в каноническом виде. С этой целью в каждое из m неравенств системы ограничений
введем переменные xn1 , xn 2 ,..., xn  m , тогда целевая функция и система ограничений
примет вид:
(5.1)
Переменные xn1 , xn 2 ,..., xn  m называются дополнительными. Например, для задачи
использования ресурсов, модель которой аналогична данной модели, дополнительные
переменные будут экономически интерпретироваться как количество неиспользуемых
ресурсов.
Система (5.1)совместна и ранг ее матрицы равен m.
В ограничениях задачи все переменные можно разделить на две группы. Первая
группа — основные (зависимые) переменные, число которых должно быть равно числу
линейно независимых уравнений m, вторая — неосновные (независимые) переменные,
число которых будет равно n— m. Для определенности будем считать, что первые m
векторов матрицы системы составляют единичную матрицу.
Совокупность единичных векторов Е1, Е2,...,Ет образует базис m-мерного
пространства, а переменные х1, х2, ... , хт называются базисными. Переменная является
базисной, если она входит только в одно из уравнений системы с коэффициентом,
равным единице. Все остальные переменные являются небазисными.
Частное решение, полученное путем приравнивания небазисных (независимых)
переменных нулю и нахождения значений базисных (зависимых) переменных,
называется базисным решением. Первое решение задачи, полученное таким образом,
называется исходным базисным решением (опорным планом). Тогда очевиден
первоначальный опорный план: (b1, b2,… bn, 0,…,0). В целевую функцию дополнительные
переменные входят с коэффициентами, равными нулю: сn+i =0, i=1,2,…,m.
Базисное решение называется вырожденным, если значения одной или
нескольких базисных переменных равны нулю. Задача, имеющая хотя бы одно
вырожденное базисное решение, называется вырожденной, в противном случае —
невырожденной.
Проверка на оптимальность опорного плана происходит с помощью критерия
оптимальности, переход к другому опорному плану – с помощью преобразований
Жордана – Гаусса и с использованием критерия оптимальности.
Для лучшего понимания алгоритма симплекс-метода необходимо осмыслить
каждый его шаг. С этой целью разберем процесс нахождения оптимального плана
для задачи об использовании ресурсов, постановка которой приведена в лекции 3:
(5.2)
Для решения задачу необходимо привести к канонической форме:
Среди переменных задачи можно выделить базисные х 3 , х4, ли, х5 и небазисные
х1 и х2 . Приравняв не базисные переменные к нулю получим исходный базисный план
(невырожденный): х 3 =36, х 4 = 20, х 5 = 40. Для этого плана значение целевой функции f =
0.
Исходя из смысла задачи об использовании ресурсов, ситуация, отвечающая
исходному плану, означает бездеятельность предприятия. Предприятие ни один из
двух видов продукции Р1 и Р2 не выпускает, так как их количество в исходном плане,
обозначенное соответственно через х1 и х2 , равно нулю. Доход от реализации
продукции, отраженный в целевой функции f, также равен нулю. Данная ситуация не
может устраивать предприятие и тем более не является оптимальной.
Приведем задачу к виду:
Анализируя теперь функцию f, приходим к выводу, что увеличение значения f,
означающее увеличение дохода, может произойти только в том случае, если
значения х1 или х2 будут возрастать.
Увеличение значений х1 или х2 равносильно переводу их в число базисных. В
первую очередь увеличим значение х2, так как единица продукции Р 2 приносит
больший доход (значение х1 пока остается равным нулю). Значение х2 нельзя
увеличивать бесконечно, а только до такой величины, которая будет удовлетворять
условиям:
Определим значение х 2 (х1 = 0) из следующих соотношений, полученных на основе
ограничений задачи:
Для выполнения условий необходимо, чтобы х2≤ 5. Поскольку данное значение х2
получилось из третьего ограничения, то выразив х2 из этого ограничения через
переменные х1 и х5, получим (переменная х2 переводится в число базисных вместо х5
которая становится небазисной):
(5.3)
Подставив выражение (5.3) в два оставшихся ограничения и целевую функцию (5.2),
получим после первой итерации такой вид задачи:
9
15
f  75  ( x 1  x5 )  max
2
8
3


 x3  6  (3 x1  4 x5 ), 


1 

x

10

(
3
x

x
,
(5.4)
 4
1
5 
4


1
1


 x 2  5  ( 2 x1  8 x5 , 


x j  0( j  1,5).
Определим новый базисный план, полученный после первой итерации: х1=0; х5=0
(небазисные переменные); х3 = 6, х4=10, х2= 5 (базисные переменные). Значение
целевой функции f=75.
На основании анализа f можно сделать вывод, что полученный план не является
оптимальным, так как значение целевой функции может быть увеличено за счет
увеличения значения х1 (увеличение значения х5 приведет к уменьшению значения f ) .
Значение х1 также нельзя увеличивать бесконечно, а только до такой величины,
которая будет удовлетворять условиям неотрицательности базисных переменных.
Определим значение х1(xs = 0) из следующих соотношений, полученных на основе
ограничений задачи :
Для выполнения условий не отрицательности необходимо, чтобы х1≤2. Поскольку
данное значение х1 получилось из первого ограничения, то, выразив х1 из этого
ограничения через переменные х3 и xs, получим (переменная х1 переводится в число
базисных вместо х3, которая становится небазисной):
(5.5)
Подставив выражение (5.5) в два оставшихся ограничения и целевую функцию
(5.4), получим после второй итерации следующий вид задачи:
3
1
f  84  ( x 3  x5 )
2
4
1
1


 x1  2  ( 3 x3  4 x5 ), 


1


 x 4  4  ( x3  x5 ),  (5.6)
2


1
1


 x 2  4  ( 6 x3  4 x5 ), 


x j  0( j  1,5).
Определим базисный план, полученный в результате второй итерации: x 3 = 0, x 5 =
0 (небазисные переменные), x 1 = 2, x 2 =4, x 4 = 4 (базисные переменные). Значение
целевой функции f = 84.
Анализ f в (5.6) показывает, что полученный в результате второй итерации план
является оптимальным, так как значение целевой функции не может быть увеличено
за счет увеличения значений х3 или х5На основании оптимального плана (x 1 = 2, x 2 =4, f = 84) делаем вывод, что
предприятие для получения максимального дохода в размере 84 руб. должно
выпускать из имеющегося количества сырья 2 ед. продукции Р1 и 4 ед. продукции Р2.
Коэффициенты, при небазисных переменных в целевой функции, называются
относительными оценками и обозначаются ∆j. Относительными эти оценки
называются потому, что их значение зависит от выбора базисного плана. Например,
Условие оптимальности плана задачи линейного программирования (для задачи на
max). Если для некоторого базисного плана оценки ∆j ≥0, то этот план является
оптимальным.
Рассмотренное условие является достаточным условием оптимальности базисного
плана задачи. Необходимость этого условия в общем случае не имеет места и может
нарушаться только для вырожденного базисного плана. Оптимальному вырожденному
базисному плану могут соответствовать отрицательные оценки ∆j.
Алгоритм симплекс-метода
Как уже известно, прежде чем решать задачу линейного программирования
симплекс-методом, ее необходимо привести к канонической форме. После этого
выделяют переменные, которые присутствуют только в одном уравнении с коэффициентом единица и принимают их в качестве базисных. Если в ограничении такую
переменную выделить нельзя, то вводят искусственную базисную переменную. Затем
определяется исходный базисный план и значение целевой функции для этого
плана. Далее выполняется описанная ниже последовательность шагов.
Шаг 1. Строим и заполняем исходную симплексную таблицу по следующей
схеме (табл. 5.1):
Таблица. 5.1
Базис
…
xi
-1
с
0
Реше
ние
ci
∆
bi
f
…
сj
…
…
a ij
∆j
…
В столбце «Базис» записываются базисные переменные, в столбце «С» —
коэффициенты при базисных переменных в целевой функции (сi.), в столбце
«В»(решение, план) — свободные члены ограничений (b i.), т. е. значения базисных
переменных. В столбцах Аj (небазисные переменные) отражаются коэффициенты при
небазисных переменных в ограничениях aij, над переменными Аj - коэффициенты при
этих переменных в целевой функции (сj)Строка ∆ в столбце «В» содержит значение
целевой функции, которое рассчитывается по формуле:
Pj
а столбцы этой же строки –значения относительных оценок ∆j, рассчитываемых по
формуле:
m
 j  z j  c j , где z j   c i a ij , j  1, n, (5.7*)
i 1
Шаг 2. Проверим полученный базисный план на оптимальность по условию
оптимальности.
Теорема 1. Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется
условие:
 j  z j  cj  0,
то можно получить новый опорный план, для которого значение целевой
функции будет больше исходного; при этом могут быть два случая:
а) если все координаты вектора, подлежащего вводу в базис, неположительные,
то ЗЛП не имеет решения;
б) если имеется хотя бы одна положительная координата у вектора,
подлежащего вводу в базис, то можно получить новый опорный план.
Теорема 1. Если для всех векторов выполняется условие  j  z j  c j  0 , то
полученный опорный план является оптимальным.
Таким образом, если ∆j≥0 и среди базисных переменных нет искусственных, то план
является оптимальным.
Если ∆j≥0 и среди базисных переменных есть искусственные, то задача неразрешима,
так как ее система ограничений несовместна.
Если в оптимальном плане ∆j = 0, то это говорит о том, что задача имеет
бесконечное число планов.
Если ∆j. <0, то полученный базисный план не является оптимальным и необходимо
переходить к другому базисному плану.
Шаг 3. Для перехода к новому базисному плану, в первую очередь из числа
небазисных переменных с отрицательными оценками ∆j. выбирается переменная,
которая вводится в базис. На основании признака оптимальности в базис вводится
вектор Ak, давший минимальную отрицательную величину симплекс - разности
z k  c k  min( z j  c j ) .
(5.7)
Столбец, отвечающий переменной Ak, назовем главным. Элементы главного
столбца обозначаются через аik. Выбранная переменная будет вводиться в базис.
Если окажется несколько одинаковых наибольших по абсолютной величине
отрицательных оценок, то выбирается любая из соответствующих им переменных.
Шаг 4. Выбираем переменную, которая выводится из базиса. Чтобы
выполнялось условие не отрицательности значений опорного плана, выводится из
базиса вектор Ar , который дает минимальное положительное отношение:
bi
b
(5.8)
 r ; aik  0, i  1, m .
i
aik a rk
Строка Ar направляющей (разрешающей), столбец Ak и элемент ark направляющими (разрешающими).
Если окажется несколько одинаковых наименьших значений отношений, то
выбирается любая из соответствующих им переменных. Это может произойти в
вырожденной задаче.
В случае отсутствия значений аik >0 задача неразрешима, так как ее целевая
функция не ограничена на множестве планов задачи.
Шаг 5. Для определения нового базисного плана производим пересчет элементов
таблицы и результаты заносим в новую симплексную таблицу. Выбранные переменные
в новой таблице меняются местами вместе со своими коэффициентами в целевой
функции. Остальные переменные переписываются без изменений со своими
коэффициентами. Элементы новой симплексной таблицы
рассчитываются по
приведенным ниже формулам. Элементы направляющей строки в новой симплекс
таблице равны соответствующим элементам старой таблицы, разделенным на
разрешающий элемент:
a rj
a rj' 
, j  1, n,
a rk
а элементы любой i-той другой строки пересчитываются по формулам:
aij  a rk  a rj  aik
aij' 
, i  1, m, j  1, n.
a rk
Значения базисных переменных нового опорного плана (показатели графы
«план») рассчитываются по формулам:
b  a  br  aik
b
br'  r для i=r; bi'  i rk
, i  1, m, i  r .
a rk
ark
Некоторые практические советы:
1)
если в главном столбце пересчитываемой таблицы
стоит нуль, то
соответствующая ему строка переписывается в новую симплексную таблицу без
изменений;
2) если в главной строке пересчитываемой таблицы
стоит нуль, то соответствующий
ему столбец переходит в новую таблицу без изменений;
3) если из числа базисных исключается искусственная переменная, то соответствующий
ей столбец в новую симплексную таблицу
не
включается и, следовательно, не
пересчитывается. Как указывалось ранее, искусственные переменные вводятся
только для получения исходного базисного плана. Впоследствии
они выводятся из
базиса и в число базисных больше не попадут. Данный прием не ускоряет процесса
получения оптимального плана, однако уменьшает объем вычислений.
  min
Примеры решения задач линейного программирования симплекс-методом
Пример 1. Рассмотрим задачу об использовании ресурсов (3.1), постановка
которой приведена в лекции 3. Эта задача была решена графическим методом, на
примере этой задачи был показан процесс нахождения оптимального плана. Теперь
решим эту задачу, применяя алгоритм симплекс-метода.
Модель задачи имеет вид:
f = 12х1+15х2 → max;
6 x1  6 x 2  36

4 x1  2 x 2  20
4 x  8 x  40
2
 1
х1 ≥ 0, х2≥ 0.
(3.1)
Выделяем базисные переменные. Количество базисных переменных должно быть
равно количеству ограничений, т. е. трем. В каждом ограничении данной задачи можно
выделить одну переменную, которая присутствует только в этом ограничении с коэффициентом + 1.
Среди переменных задачи можно выделить базисные х 3 , х4, ли, х5 и небазисные
х1 и х2 . Приравняв небазисные переменные к нулю получим исходный базисный план
(невырожденный): х 3 =36, х 4 = 20, х 5 = 40. Для этого плана значение целевой функции f =
0.
Таблица 5.2
Базис
X3
X4
X5
-1
с
0
0
0
∆
0
Реше
ние
36
20
40
0
12
A1
15
A2
6
4
4
-12
6
2
8
-15
Θ
6
10
5
Исходные данные задачи, а также вычисленные по формуле f   ci bi , значения
iI б
целевой функции (f= 0*36 + 0*20 +0*40 = 0) и по формуле (5.7*) значения
относительных оценок (∆1 0*6 + 0 * 4 + 0*4 –12= -12; ∆2 = 0*6 + 0*2+0*8 – 15 = -15)
перенесем в исходную симплексную таблицу (табл. 5.2).
Проверяем полученный план на оптимальность по условию оптимальности ∆j≥0 .
Поскольку для данного плана существуют оценки ∆1<0 и ∆2 <0, план не является
оптимальным. Необходим переход к другому базисному плану.
В первую очередь среди небазисных переменных на основании (5.7):
min( z j  c j )  min  j ) выберем переменную, которая будет вводиться в базис. В
базис будет вводиться переменная х2, так как этой переменной соответствует
минимальная ∆2 или максимальная по модулю относительная оценка |∆2 | = 15.
Столбец, отвечающий переменной х2 , является главным. Далее на основании (5.8)
выберем переменную, которая будет выводиться из базиса:
Из базиса будет выводиться переменная x5, так как этой переменной соответствует
минимальное отношение, равное 5. Строка, отвечающая переменной x5, является
главной.
На пересечении главной строки и главного столбца стоит главный элемент,
равный 8. В таблице для удобства расчетов главный элемент необходимо пометить.
Строим новую симплексную таблицу (табл. 5.3), в которой переменные х5 и х2
меняются местами, вместе со своими коэффициентами в целевой функции. Остальные
переменные переписываются без изменений со своими коэффициентами.
Пересчитываем элементы табл. 5.2 и результаты заносим в соответствующие
клетки табл.5.3 Элементы главной строки табл. 5.2 пересчитываются путем
деления каждого элемента этой строки на главный-разрешающий элемент (на 8).
Таблица 5.3
Базис
-1
с
0
12
15
Θ
Реше A1
A5
ние
X3
0
6
3
-3/4 3
X4
0
10
3
-1/4 10/3
X2
15
5
1/2
1/8
10
∆
75
-9/2 15/8
элементы главного столбца — путем деления каждого элемента этого
столбца
на главный со знаком минус (-8). Все остальные элементы табл. 5.3
aij  a rk  a rj  aik
, i  1, m, j  1, n.
определяются по правилу прямоугольника aij' 
a rk
Например, для клетки x3x1 новый элемент равен 6-(6*4)/8=3.
Полученный в табл. 5.3 план не является оптимальным, так как существует
∆1<0, т.е ∆1=-4,5. В число базисных вводится переменная х1, а из базиса
исключается переменная хз.
Пересчитываем элементы табл. 5.3 и результаты заносим в табл. 5.4.
Таблица 5.4
Базис
-1
0
12
15
с
Реше- A3
A5
ние
X1
12
2
1/3
-1/4
X4
0
4
-1
½
X2
15
4
-1/6 1/4
∆
84
3/2
¾
После проверки правильности расчет f и оценок ∆з, ∆5 делаем вывод о том, что полученный в табл. 5.4. план является оптимальным, так как оценки ∆з, ∆5>0.
Для получения максимального дохода в размере 84 руб. предприятию необходимо
выпускать из имеющихся в наличии ресурсов 2 ед. продукции вида Р1 и 4 ед.
продукции Р2.
Ответ: x1 = 2, х2* = 4, f = 84.
Лекция 6
Симплекс метод с искусственным базисом (или М-метод).
Симплекс метод с искусственным базисом (или М-метод) применяется в тех случаях,
когда затруднительно найти первоначальный опорный (базисный) план исходной задачи
ЛП, записанной в канонической форме (обычно это требуется для задач со смешанными
ограничениями и ограничениями типа «≥».
Суть М-метода, заключается в применении правил симплекс – метода, к так
называемой, М-задаче. Она получается из исходной задачи добавлением к левой части
системы уравнений в канонической форме исходной ЗЛП таких искусственных
единичных векторов, с соответствующими неотрицательными искусственными
переменными, чтобы вновь полученная матрица содержала систему единичных линейнонезависимых векторов. В линейную форму исходной задачи добавляется в случае
максимизации слагаемое, представляющее собой произведение числа (-М) на сумму
искусственных переменных, где М –достаточно большое положительное число. В
полученной задаче первоначальный опорный план очевиден. При применении к этой
задаче симплекс-метода оценки ∆j теперь будут зависеть от «буквы М». Для сравнения
оценок нужно помнить, что М –достаточно большое положительное число, поэтому из
базиса будут выводиться в первую очередь искусственные переменные.
В процессе решения М-задачи следует вычеркивать в симплекс таблице
искусственные векторы по мере выхода их из базиса. Если все искусственные переменные
вышли из базиса, то получаем исходную задачу. Если оптимальное решение М-задачи
содержит искусственные векторы или М-задача неразрешима, то исходная задача также
неразрешима. Таким образом, перейдем к рассмотрению данного метода
Рассмотрим частный вид задачи линейного программирования:
(5.9)
где bi≥0 (i=l,2,…,n).
Определение минимального значения целевой функции f можно свести к
определению максимального значения функции (-f), так как minf=-max (-f).
Для приведения ограничений вида «≥» к ограничениям-равенствам необходимо
из левой части каждого ограничения вычесть соответственно неотрицательные
переменные хп+1 , хп+2 ,... , xп+т. Эти переменные вводятся в целевую функцию с
нулевыми коэффициентами, чтобы не изменить ее значение.
После приведения к канонической форме задача (5.9) будет иметь вид:
(5.10)
Поскольку модель (5.9) аналогична модели задачи о диете, то для этой задачи
дополнительные переменные будут экономически интерпретироваться как количество
питательных веществ в смеси сверх заданного нижнего предела (bi ).
Таким образом, если в задаче линейного программирования определяется минимум
целевой функции, то такую задачу необходимо свести к определению максимума
целевой функции, а все имеющиеся ограничения вида «≤:» и «≥» привести к ограничениям-равенствам.
Замечание. Требование максимизации целевой функции при приведении задачи к
канонической форме не обязательно и выдвигается с целью простоты изложения
материала, связанного с решением задач линейного программирования симплексметодом. Методика решения задач на минимум несколько отличается от методики
решения задач на максимум. Поэтому требование максимизации целевой функции дает
возможность решать задачу по единому алгоритму.
После приведения частной задачи, имеющей ограничения «≥» (5.9), к
канонической форме (5.10) переменные хп+1 , хп+2 ,... , xп+т. не могут быть приняты в
качестве базисных, так как они входят в уравнения с коэффициентом (—1). Поэтому
для выделения базисных переменных и нахождения допустимого базисного решения
используется метод искусственного базиса, который заключается в следующем.
В каждое ограничение задачи (5.10) вводятся соответственно искусственные
неотрицательные переменные хп+m+1 , хп+m+2 ,... , xп+т+m, которые принимаются в качестве
базисных. Искусственные переменные входят в целевую функцию задачи с коэффициентом (—М), где М — большое положительное число, во много раз больше
заданных в условии задачи. После ввода искусственных переменных задача (5.10)
принимает вид
Искусственные переменные вводятся только с целью получения исходного базисного
плана. Пока искусственная переменная является базисной, она будет принимать
положительные значения (если соответствующие ей значения bi>0) и, следовательно,
уменьшать значение целевой функции по сравнению с максимальным. Поскольку эти
переменные имеют большие по абсолютной величине отрицательные коэффициенты, в
процессе решения задачи симплекс-методом они из числа базисных переводятся в небазисные. В силу того что значения небазисных переменных при получении базисного
решения приравниваются к нулю, искусственные переменные не будут оказывать
влияния на значение целевой функции. Этот же метод используется для
ограничений вида « = ».
Замечание. При получении исходного базисного плана необходимо стремиться к
тому, чтобы он содержал минимальное количество искусственных переменных. Это
дает возможность уменьшить число шагов для получения оптимального решения.
Рассмотрим на конкретных примерах процесс приведения задачи линейного
программирования к канонической форме и получения исходного базисного решения.
Пример 1. Привести к канонической форме следующую задачу линейного
программирования:
Для приведения данной задачи к канонической форме необходимо из левой части
первого ограничения вычесть неотрицательную переменную x4, а к левой части
второго ограничения прибавить неотрицательную переменную х5. Дополнительные
переменные x4 и х5 в целевую функцию входят с нулевыми коэффициентами.
Каноническая форма данной задачи будет иметь вид:
В первом и третьем ограничениях нельзя выделить базисные переменные, поэтому в
первое ограничение вводим искусственную переменную х6, а в третье — искусственную
переменную х7 и принимаем их в качестве базисных. В целевую функцию эти переменные войдут с коэффициентом (—М). В результате описанных преобразований
получим:
Для получения исходного базисного решения приравняем к нулю небазисные
переменные: x1=0, x2 = 0, х3 = 0, x4 = 0. Тогда значения базисных переменных: х6 = 4, х5 =
9, х7=10. Подставив значения базисных переменных в целевую функцию, получим величину f = —14 М.
Пример 2. Рассмотрим решение задачи линейного программирования симплексметодом, в которой для построения исходного плана применяется метод искусственного
базиса:
f  x1  5 x 2  x3  x 4  max
x1  3 x 2  3 x3  x 4  3
2 x1  3 x3  x 4  4
x j  0( j  1,4)
Решение. Исходная задача записана в канонической форме. Для выделения
базисных переменных обе части первого ограничения разделим на 3 и тогда в качестве
базисной можно взять переменную х2, а во второе ограничение введем искусственную
переменную х5:
Определим исходный базисный план и значение целевой функции:
Заполним исходную симплексную таблицу (табл. 5.5). При проверке плана на
оптимальность для выбора наибольшей по абсолютной величине относительной оценки
достаточно рассматривать ту часть отрицательных ∆j, которая содержит М (в силу
того что М — очень большое положительное число). Только при наличии нескольких
одинаковых наибольших по абсолютной величине частей ∆j, содержащих М,
рассматривается та часть ∆j, которая М не содержит
Таблица 5.5
Базис
-1
0
1
-5
-1
1
-М
Θ
с
Реше
A1
A2
A3
A4
A5
ние
X2
-5
1
1/3
1
1
1/3
0
1
X5
-М
4
2
0
3
-1
1
4/3
∆
-4М-5
-2М0
-3М-4 М0
8/3
8/3
Или
Базис
-1
с
X2
X5
-5
-М
∆
0
Реше
ние
1
4
-4М-5
1
A1
-1
A3
1
A4
Θ
1/3
2
-2М8/3
1
3
-3М-4
1/3
-1
М8/3
1
4/3
Анализ табл. 5.5 показывает, что в базис вводится переменная х3, а выводится — х2.
Пересчитываем элементы табл. 5.5 по известным формулам. Дальнейшее решение задачи
показано в табл. 5.6—5.8. Поскольку в табл. 5.6 из базиса исключается искусственная
переменная x5, то соответствующий
включается.
Базис
-1
с
X3
X5
-1
-М
∆
0
Реше
ние
1
1
-М-1
столбец в новую симплексную таблицу не
1
A1
-5
A2
-1
A3
1/3
1
-2М8/3
1
-3
0
1
0
0
Таблица 5.6
1
-М
A4
A5
1/3
-2
2М4/3
0
1
0
3
1
Или
Базис
-1
с
X3
X1
0
Реше
ние
2/3
1
1/3
-1
1
∆
A1
-5
A2
Таблица 5.7
-1
1
A3
A4
0
1
0
2
3
0
1
0
0
1
-2
-4
Или
Базис
-1
с
X3
X1
-1
1
∆
Базис
X4
X1
Или
-1
с
1
1
∆
0
Реше
ние
2/3
1
1/3
0
Реше
ние
2/3
7/3
3
-5
A2
-1
A3
Θ
2
3
0
1
0
0
2/3
∞
0
A1
-5
A2
Таблица 5.8
-1
1
A3
A4
0
1
0
2
1
8
1
2
4
1
0
0
Θ
Θ
2/3
∞
0
Полученный в табл. 5.8 план является оптимальным, так как искусственные
переменные в базисе отсутствуют и относительные оценки ∆2, ∆з>0.
Ответ: x1 *=7/3, x2 * = 0, x3 * = 0, x4 * =2/3, f=3.
Лекция 7
Двойственность в линейном программировании. Теория двойственности в анализе
оптимальных решений экономических задач
1.Понятие о двойственных задачах линейного программирования.
Каждой задаче линейного программирования, которую назовем исходной, можно
поставить в соответствие некоторую другую задачу линейного программирования,
называемую двойственной к ней. Вместе взятые, эти задачи образуют пару взаимно
двойственных задач и любую из них можно рассматривать как исходную. Решая одну из
этих задач, можно получить решение и другой задачи.
Двойственная
задача
—
это
вспомогательная
задача
линейного
программирования, получаемая с помощью определенных правил непосредственно из
условий исходной. Сформулируем правила построения двойственных задач:
1.
Если целевая функция f исходной задачи максимизируется, то целевая
функция z двойственной — минимизируется и наоборот.
2.
Количество ограничений (m) исходной задачи равно количеству переменных
двойственной, а количество переменных (n) исходной равно количеству ограничений
двойственной. Переменные двойственной задачи обозначим через yi ( i  1, m ) .
3.
Поскольку переменные исходной задачи связаны с ограничениями
двойственной, каждой переменной xj≥0 соответствует в двойственной задаче ограничение
вида «≤» (z→max) или «≥» (z→min), и наоборот.
4. Каждой переменной xj, не ограниченной по знаку, соответствует ограничение
вида «=» двойственной задачи, и наоборот.
5. Свободные члены ограничений исходной задачи bi ( i  1, m ) в двойственной
задаче являются коэффициентами
при
переменных yi ( i  1, m ) в целевой функции, а
коэффициенты сj ( j  1, n ) при переменных xj ( j  1, n ) в целевой функции исходной
задачи являются свободными членами ограничений двойственной.
6. Матрица А коэффициентов при неизвестных в ограничениях исходной задачи в
двойственной транспонируется (Ат).
Для наглядности, связь между исходной и двойственной задачами представлена в
табл.6.1
Рассмотрим в общем виде одну из частных задач линейного программирования,
которую будем считать исходной:
Двойственная к этой задаче будет иметь вид
Если применить правила построения двойственных задач, то получим исходную
задачу.
В табл. 6.2 приведены частные виды исходных задач линейного программирования в
матричном виде и соответствующие им двойственные задачи. Через У= (у1, у2, ..., ут)
обозначена матрица-строка неизвестных двойственной задачи. Матрица-строка У
умножается слева на матрицу-столбец В (в целевой функции) и матрицу А (в
ограничениях) исходя из правил умножения двух матриц, а также правил построения
двойственных задач (в частности, в двойственной задаче матрица коэффициентов при
неизвестных в ограничениях должна быть транспонированной). Математические модели
пары двойственных задач могут быть симметричными и несимметричными. В
несимметричных двойственных задачах, система ограничений исходной задачи задается в
виде равенств. А в двойственной - в виде неравенств, причем в последней переменные
могут быть и отрицательными. В симметричных задачах система ограничений как
исходной, так и двойственной задачи задается неравенствами, причем на двойственные
переменные налагается условие не отрицательности. Первые две пары взаимно
двойственных задач в табл. 6.2 - симметричные, вторые две — несимметричные из-за
наличия ограничений вида « = ».
Используя правила построения двойственных задач в табл. 6.2, для любой
задачи линейного программирования можно построить двойственную к ней.
Пример 1. Построить задачу, двойственную к данной:
Чтобы построить двойственную задачу, исходную необходимо привести к форме (I)
путем умножения обеих частей второго ограничения на (—1). После этого
преобразования исходная задача примет вид:
Двойственная задача:
Пример 2. Построить задачу, двойственную к данной:
Для построения двойственной задачи воспользуемся формами (II), (IV) таблицы
6.2 и преобразуем данную задачу путем умножения обеих частей второго неравенства
на (—1). Тогда исходная задача будет иметь вид
Двойственная задача:
Используя пример 2, поясним некоторые правила построения двойственных задач.
Поскольку количество ограничений исходной задачи m = 3, двойственная задача
должна иметь три переменные: y1 , y2, y3 . Количество переменных исходной задачи n = 4,
поэтому двойственная должна иметь четыре ограничения. Переменные х1 и х4
исходной задачи не ограничены по знаку. В силу этого первое и четвертое ограничения
двойственной задачи имеют вид равенств. Третье ограничение исходной задачи имеет
вид равенства, следовательно, переменная у3 двойственной задачи не ограничена по
знаку.
2.Экономический смысл переменных двойственной задачи.
В лекции 3 рассматривалась задача об использовании ресурсов, сущность которой
состояла в следующем. Предприятию необходимо изготавливать два вида продукции Р1
и Р2 с использованием трех видов ресурсов: R1, R2, R3, количество которых ограничено.
Известны: запас ресурса каждого вида на предприятии; количество каждого вида
ресурса, расходуемое на изготовление единицы продукции; доход от реализации
единицы каждого вида продукции. Требуется определить количество продукции каждого
вида, которое обеспечит предприятию максимальный доход.
Модель этой задачи имеет вид (3.1):
Предположим теперь, что по какой-то причине предприятие отказывается от
производства данной продукции и решает продать имеющиеся ресурсы. Естественно, что
предприятие желает получить за эти ресурсы не меньше той суммы, которую оно получило
бы при продаже готовой продукции, а покупатель ресурсов заинтересован заплатить за них
как можно меньше. Встает вопрос, по какой же цене продавать ресурсы?
Введем следующие обозначения: y1 — цена единицы ресурса R1 ; у2 — цена
единицы ресурса R2 ; у3 — цена единицы ресурса R3.
Цель, которую ставит покупатель ресурсов, отразится в целевой функции задачи.
Ее смысл состоит в минимизации стоимости всех видов ресурсов:
В ограничениях задачи необходимо отразить тот факт, что предприятие должно
получить в случае продажи ресурсов не меньше той суммы, которую оно получило бы
от реализации продукции:
Смысл первого ограничения — цена ресурсов, идущих на изготовление единицы
продукции Р1 (левая часть неравенства), должна быть не меньше дохода (12 руб.) от
реализации единицы продукции P1. Второе ограничение имеет аналогичный смысл только
для единицы продукции Р2.
И, последнее, цена единицы сырья должна быть величиной не отрицательной, т. е.
В целом данная задача может быть представлена моделью (6.1):
Необходимо обратить внимание на то, что если к (3.1) применить правила построения
двойственных задач, получим (6.1). Следовательно, задача (6.1) является двойственной
к задаче (3.1) об использовании ресурсов.
Экономический смысл переменных двойственной задачи (двойственных оценок или
объективно обусловленных оценок) состоит в относительной оценке ресурсов данного
предприятия. Оценки являются относительными, так как одни и те же ресурсы для
разных предприятий представляют различную ценность.
С двойственными оценками часто приходится встречаться в быту, например, если
вы покупаете в столовой, кафе сырые продукты (куры, мясо, рыба и т. п.) будет
несколько выше цены, за которую эти товары можно купить в магазине. Каждое
предприятие старается получить за данные товары не меньше той суммы, которую оно
получило бы при изготовлении блюд из этих продуктов.
Теория двойственности линейного программирования представляет большой
теоретический и практический интерес и с экономической точки зрения устанавливает
связь между оптимальным распределением ресурсов и некоторой системой оценок на
ресурсы.
Замечание. С математической точки зрения за исходную и двойственную может
быть принята любая из пары взаимно двойственных задач, но на практике обычно
считаются двойственными те задачи, в которых определяются значения цен и других
стоимостных показателей.
3.Теоремы двойственности.
При рассмотрении правил построения двойственных задач указывалось, что задача,
двойственная двойственной, совпадает с исходной. Исходя из этого, не имеет значения,
какую задачу считать исходной, а какую двойственной. Нужно только учитывать
направление оптимизации (максимизация или минимизация). Поэтому рассматривают
пару взаимно двойственных задач.
Пара взаимно двойственных задач линейного программирования обладает
рядом интересных и важных для приложений свойств, связывающих их воедино.
Исследование задач двойственной пары показывает, что при их решении можно
столкнуться с одним из трех взаимно исключающих вариантов:
1) обе задачи имеют планы;
2) только одна из задач имеет планы;
3) множество планов обеих задач пусто.
Теорема 1. Для любых допустимых планов Х= (х1, х2,…, х п ) и У= (y1, y2,…, y m )
исходной и двойственной задач, соответственно значение целевой функции в задаче
максимизации не больше значения целевой функции в задаче минимизации.
Используя ограничения, можно записать следующие соотношения для целевых
функций этих задач:
Докажем теорему для симметричных задач двойственной пары (форма ( I) , табл.
6.2, ограничения которых имеют вид (6.2) и (6.3):
Если поменять в правой части одного из соотношений, например в (6.2), порядок
суммирования, а именно:
n
m
m
n
j 1
i 1
i 1
j 1
 ( aij yi ) x j   ( aij x j ) yi
(6.4.)
придем к равенству правых частей соотношений (6.2) и (6.3). В результате этого
получим
(6.5)
Экономический смысл неравенства (6.5), для приведенной выше экономической
интерпретации исходной и двойственной задач состоит в том, что суммарный доход от
реализации продукции, определенный при известных заранее ценах c1,c2,…,c n не
больше суммарной оценки ресурсов. Она равна затратам на ресурсы по «внутренним»
(определяемым только из решения задачи) ценам ресурсов y1,y2,…,y m .
Таким образом, величина
z(y)-f(x) характеризует производственные потери в
зависимости от рассматриваемой производственной программы и выбранных оценок
ресурсов.
Теорема 1 доказана для симметричных задач формы ( I ) . Легко убедиться, что
она справедлива для симметричных задач формы ( I I ) , а также несимметричных задач
форм ( I I I ) и (IV) (табл. 6.2).
Теорема 2. Если исходная и двойственная задачи имеют допустимые планы, то
существуют и оптимальные планы у этих задач.
Докажем существование оптимального плана в исходной задаче. Если
У=(y1,y2,…,y m ) - допустимый план двойственной задачи минимизации, то допустимый
план Х= (х1, х2,…, х п ) исходной задачи максимизации удовлетворяет неравенству:
Следовательно, целевая функция исходной задачи ограничена сверху на множестве
допустимых планов. На основании критерия разрешимости задачи линейного
программирования данная задача имеет оптимальный план.
Аналогично доказывается существование оптимального плана двойственной задачи.
Теорема 3 (первая основная теорема двойственности)*. Если одна из задач
двойственной пары имеет оптимальный план, то другая также имеет оптимальный план.
При этом для любых оптимальных планов:
имеет место равенство
(6.6)
Если целевая функция одной из задач не ограничена, то ограничения другой
задачи несовместны. Однако обратное утверждение неверно. В случае отсутствия
допустимых планов одной из задач другая также может не иметь допустимых
планов. При оптимальной производственной программе и векторе оценок ресурсов
потери равны нулю.
Теорема 4 (вторая основная теорема двойственности).
Для того чтобы допустимые планы х* и у* пары двойственных задач были
оптимальными, необходимо и достаточно выполнение условий:
m
x *j ( aij y i*  c j )  0, j  1, n;
i 1
n
y ( a ij x  bi )  0, i  1, m
*
i
j 1
(6.7)
*
i
Это означает, что если какое-либо ограничение одной задача при подстановке в
него оптимального плана обращается в строгое неравенство, то соответствующая
этому ограничению переменная в оптимальном плане двойственной задачи равна нулю.
И наоборот, если какая-либо переменная в оптимальном плане одной задачи
положительна, то соответствующее ей ограничение двойственной задачи при
подстановке в него оптимального плана этой задачи обращается в равенство.
Формально указанную связь между исходной и двойственной задачей можно
записать следующим образом (условия дополнительной не жесткости):
если
если
если
(6.8)
если
Таким образом, зная оптимальное решение одной из взаимодвойственных задач,
можно найти оптимальное решение другой задачи.
Теорема об оценках. Значения переменных yi в
оптимальном решении
двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов bi
системы ограничений – неравенств прямой задачи на величину f ( X ) :
(6.9)
f ( X )  bi y i .
Решая ЗЛП симплексным методом, мы одновременно решаем двойственную
задачу. Значения переменных yi в оптимальном плане называют, как выше уже
отмечено, объективно обусловленными или двойственными оценками.
Лекция 8
Алгоритм решения двойственных задач ЛП.
Теория
двойственности
находит
широкое
практическое
применение.
Сформулированные теоремы двойственности позволяют получить решение одной
задачи, процесс решения которой по той или иной причине затруднителен, по
оптимальному решению двойственной к ней. К такой причине относится значительное
превышение числа ограничений над числом переменных задачи, так как объем
вычислений при решении задач линейного программирования симплекс-методом
определяется, в основном, числом ограничений. Также при необходимости решения
задачи с ограничениями вида «≥» можно перейти к решению двойственной, которая
будет иметь ограничения вида «≤», что позволит избежать ввода искусственных
переменных.
Рассмотрим экономические свойства оценок y i оптимального плана:
Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов и продукции.
Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал.
Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных
вариантов.
Свойство 4. Оценки как инструмент балансирования суммарных затрат и
результатов.
Рассмотрим процесс получения решения двойственной задачи (6.1), на основании
оптимального решения исходной (3.1).
Подставим в ограничения задачи (3.1) значения переменных x1* = 2, x 2* = 4 в
оптимальном плане:
1. Ценность ресурсов. На основании второй основной теоремы двойственности
переменная двойственной задачи у2, соответствующая второму ограничению исходной,
которое обратилось при подстановке оптимального плана в строгое неравенство, равна
нулю ( y 2* = 0).
Поскольку переменные х1, х2 в оптимальном плане имеют положительные значения,
то соответствующие им ограничения двойственной задачи при подстановке в них ее
оптимального плана обращаются в равенство. Учитывая, что y 2* = 0, получим
Решив полученную систему двух линейных уравнений с двумя переменными,
найдем оптимальный план двойственной задачи: y1* =3/2, y 2* =0, y 3* =3/4. Согласно
первой основной теореме двой ственности fmax = zmin=84.
Нулевая оценка второго
вида ресурса y 2* = 0 свидетельствует о его
недефицитности. Ресурс недефицитен из-за невозможности его полного использования
в оптимальном плане. Ограничивают выпуск дефицитные ресурсы (первый и третий),
они полностью использованы в оптимальном плане (их оценка положительна: y1* =3/2,
y 3* =3/4). При этом первый ресурс более дефицитен чем третий ресурс, т.к. y1* > y 3* .
Поэтому выгодно увеличение объемов первого вида ресурса.
2. Чувствительность решения к изменению запасов сырья. Пусть запас первого
вида ресурса изменился на 10 единиц и составляет не 36, а 46 единиц. Из теоремы об
оценках f ( X )  bi y i известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или
3
f (X )
f ( X )  bi y i  12 *  18
yi
уменьшению
. Оно определяется величиной
, тогда
,
2
т.е.
f ( X )  84  18  102 , если перерешать задачу с новым значением ограничения b2 мы
придем именно к этому решению задачи.
4.
Чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой
функции. Так как любые изменения коэффициентов целевой функции оказывают влияние
на оптимальность полученного ранее решения, то необходимо найти диапазоны
изменения коэффициентов в целевой функции, при которых оптимальные значения
переменных остаются неизменными. В оптимальный план включается только тот вид
продукции, для которого прибыль
m
a
i 1
ij
y I , недополученная из-за отвлечения дефицитных
m
ресурсов, покрывается полученной прибылью c j , т.е.  j   a ij y j  c j , при этом если
i 1
 j  0 , то вариант выгоден; иначе не выгоден. В данной задаче для первого вида
продукции имеем: 6*3/2+4*3/4-12=0. Так как 1  0 , то делаем вывод, что первое изделие
(продукция выгодна и включается в план).
Лекция 9
Транспортная задача.
Классическая постановка транспортной задачи. Пусть имеется m поставщиков А1,
А2, ..., Ai ..., Ат однородного груза в количествах соответственно a1, а2, ..., ai, ..., а т
единиц и п потребителей B1, В2, ..., Вj, ..., Вп этого груза, потребность которых составляет
соответственно b1, b2,..., bj,..., bn единиц. Известны стоимости перевозок единицы
груза от i-го поставщика к j-му потребителю — сij (i= 1,2,…,m; j=1,2,…, п). Требуется
составить такой план перевозок груза, который обеспечит минимальные транспортные
расходы.
Замечание. Перевозимый груз должен быть однородным, например, песок, уголь,
лес, кирпичи, металл и т. п. Единицы измерения количества груза могут быть
различными (т, м 3 , шт., л и т. п.). Стоимость перевозки, как правило, измеряется в
ден.ед. Предполагается, что стоимость перевозимого груза пропорциональна его
количеству. В качестве поставщиков груза могут выступать предприятия, базы,
склады, а в качестве потребителей — предприятия, магазины, строительные объекты и
т. п.
Прежде чем приступить к построению модели задачи, необходимо обозначить
неизвестные. Исходя из условия задачи, неизвестной величиной является количество
единиц груза, перевозимого от каждого поставщика к каждому потребителю.
Обозначим через x ij (i= 1,2,…,m; j=1,2,…, п)—количество единиц груза, перевозимого от i-ro поставщика к j-му потребителю.
Чтобы лучше представить условие задачи, сведем исходные данные в табл. 7.1.
Строка таблицы соответствует поставщику, а столбец — потребителю. Таблицу 7.1. в
дальнейшем будем называть матрицей планирования.
Таблица 7.1
Постав
щики
Потребители
B2
...
C12
B1
C11
A1
x11
x12
x21
C22
C2n
x2n
...
Cm1
Am
Потребнос
ти
xm1
...
Cmn
...
b2
a2
...
...
Cm2
xm2
b1
a1
...
...
x22
...
C1n
x1n
C21
A2
...
Запасы
Bn
xmn
...
am
bn
 a  b
i
j
Составим математическую модель задачи.
Объектом исследования в транспортной задаче является планирование перевозок
грузов. Цель исследования — составление плана перевозки грузов, обеспечивающего
минимальные транспортные расходы. Критерий задачи — минимальные транспортные
расходы. Отразим критерий задачи в целевой функции. Стоимость перевозки единицы
груза от j-ro поставщика к /-му потребителю составляет Cij, а груза перевозится xij. единиц.
Следовательно, стоимость перевозки всего груза от
i-го поставщика к j-му
потребителю будет равна величине Cijxij. Учитывая, что суммарная стоимость перевозки
грузов от всех поставщиков ко всем потребителям должна быть минимальной, целевая
функция транспортной задачи будет иметь вид:
найти наименьшее значение линейной функции:
Систему ограничений получаем из следующих условий задачи:
Первая группа ограничений, количество которых равно т (количество
поставщиков), отражает тот факт, что весь груз, имеющийся у поставщиков, должен
быть вывезен:
Вторая группа ограничений, количество которых равно п (количество
потребителей), отражает тот факт, что каждый потребитель должен получить ровно
столько груза, сколько ему необходимо:
Количество перевозимого груза от i-го поставщика к j-му потребителю должно
быть величиной неотрицательной. Следовательно, в модель необходимо добавить
ограничения не отрицательности переменных:
В компактном виде модель транспортной задачи
следующим образом:
можно пред ставить
(7.1)
В рассмотренной модели предполагается, что суммарные запасы равны
суммарным потребностям, т.е.
m
n
 a  b
i 1
i
j 1
j
( 7.2 )
Такая модель называется закрытой моделью транспортной задачи, а
соответствующая ей задача — сбалансированной
Теорема 1. Любая транспортная задача, у которой суммарный объем запасов
совпадает с суммарным объемом потребностей, имеет решение.
Для того чтобы транспортная задача (7.1) была разрешима, т. е. имела
оптимальный план, необходимо и достаточно выполнение условия (7.2).
Открытая модель транспортной задачи
Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т.
m
е. выполняется условие
n
a  b
i 1
i
j1
j
, называется закрытой моделью; в противном случае
 открытой. Для открытой модели может быть два случая:
m
a) суммарные запасы превышают суммарные потребности
n
a  b
i 1
i
m
b) суммарные потребности превышают суммарные запасы
j1
;
j
.
n
a  b
i 1
j
i
j1
Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы
ограничений.
Найти минимальное значение линейной функции
m
n
    C ij x ij при ограничениях
i 1 j1
n
x
ij
 ai ,
i = 1, 2, ..., m,
x
ij
 bj ,
j = 1, 2, ..., n;
x
ij
 ai ,
i = 1, 2, ..., m,
ij
 bj ,
j = 1, 2, ..., n,
j1
(случай а)
m
i 1
n
j1
m
x
i 1
xij  0 (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).
(случай б)
Открытая модель решается приведением к закрытой модели.
В случае (а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности,
m
вводится фиктивный потребитель Bn+1, потребности которого
bn+1 =
n
a  b
i 1
i
j1
j
. В
случае (б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится
фиктивный поставщик Am+1, запасы которого am+1 =
n
m
j1
i 1
 b j  ai .
Стоимость перевозки единицы груза как фиктивного потребителя, так и
стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равными нулю,
так как груз в обоих случаях не перевозится.
После преобразований задача принимает вид закрытой модели и решается
обычном способом. При равных стоимостях перевозки единицы груза от поставщиков к
фиктивному потребителю затраты на перевозку груза реальным потребителям
минимальны, а фиктивному потребителю будет направлен груз от наименее выгодных
поставщиков. То же самое получаем и в отношении фиктивного поставщика.
Прежде чем решать какую-нибудь транспортную задачу, необходимо сначала
проверить, к какой модели она принадлежит, и только после этого составить таблицу для
ее решения.
Лекция 10
Методы построения исходного плана.
Для решения исходные данные транспортной задачи (7.1) сводятся в таблицу (табл 7.1).
Из условия (7.2) следует, что любое ограничение транспортной задачи является линейной
комбинацией остальных. Следовательно, система ограничений транспортной задачи
линейно зависима и содержит только т+п-1 независимых уравнений. Поэтому исходный
допустимый невырожденный базисный план должен иметь т+п-1 базисную переменную и
его легко можно получить непосредственно из данных таблицы. Таким образом, если
каким-либо способом получен невырожденный опорный план транспортной задачи, то в
матрице ( Xij ) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ... , n) значений его компонент (таблицы 7.1)
положительными являются только m+n-1, а остальные небазисные переменные равны
нулю. Условимся эти нули в таблице не отражать, т. е. клетку, соответствующую
небазисной переменной, оставлять незаполненной.
Как и для других задач линейного программирования, итерационный процесс по
отысканию оптимального плана транспортной задачи начинается с опорного плана .
Если условие транспортной задачи и ее опорный план записаны в виде таблицы, то
клетки, в которых находятся отличные от нуля перевозки, называются занятыми, а
остальные  незанятыми.
Всякий план транспортной задачи, содержащий более
m+n-1 занятых клеток, не является опорным, так как ему соответствует линейно
зависимая система векторов. При таком плане в таблице всегда можно построить
замкнутый цикл, с помощью которого уменьшают число занятых клеток до m+n-1.
Существует несколько простых схем построения первоначального опорного плана
транспортной задачи.
2.1. Метод северо-западного угла. (диагональный). Сущность способа
заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северозападная) оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо
полностью выносится груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность Вj.
Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы аi и не
удовлетворятся все потребности bj. В заключении проверяют, что найденные компоненты
плана xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям.
Определение значений xij начинается с левой верхней клетки таблицы (это
соответствует северо-западному углу на географической карте). Находим значение
x11 из соотношения
Возможны три варианта:
1) если а1<b1 , то x11 = а1, строка i=1 исключается из дальнейшего
рассмотрения, а потребность первого потребителя b 1 (столбец j=1) уменьшается на
величину а1;
2) если а1>b 1, то x11=b 1, столбец j=1 исключается из дальнейшего
рассмотрения, а наличие груза у первого поставщика а1 (строка i=l) уменьшается на
величину b 1;
3) если
а1=b1, то x11 = а 1=b 1, строка i=l и столбец j=1 исключаются из
дальнейшего рассмотрения. Данный вариант приводит к вырождению исходного плана.
Затем аналогичные операции проделывают с оставшейся частью таблицы,
начиная с ее северо-западного угла. На последнем шаге процесса останется одна
строка и один столбец. После заполнения клетки, стоящей на их пересечении, процесс
завершается.
После завершения описанного процесса необходимо провести проверку полученного
плана на вырожденность. Если количество заполненных клеток равно т+п-1, то план
является невырожденным, в противном случае — вырожденным.
Если план вырожденный, т. е. количество заполненных клеток оказалось меньше
т+п-1, то незаполненные клетки с минимальными стоимостями перевозок заполняются
нулями, чтобы общее количество заполненных клеток стало равным т+п-1. Однако при
расстановке нулей необходимо помнить, что в таблице не должно быть ни одного
прямоугольника, все вершины которого являются заполненными клетками. Например,
переменные x11, х12, x21, х22 или x11, х1n, x21 , х2n (табл. 7.1) не могут быть одновременно
базисными.
2.2. Метод минимального элемента. В отличие от метода северо-западного угла
данный метод учитывает при построении исходного плана стоимости перевозок. В
ряде случаев он позволяет получить лучший с точки зрения критерия оптимальности
план, сокращая количество итераций для получения оптимального плана. Сущность
способа в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы,
которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов
заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.
Определение значений xij начинается с клетки, имеющей минимальную стоимость
перевозки (если таких клеток более одной, то договоримся выбирать первую по
порядку).
Как и в методе северо-западного угла, переменной, отвечающей выбранной
клетке, присваивается минимальное из двух возможных значений. Соответствующая
строка или столбец исключаются из дальнейшего рассмотрения, а потребность
потребителя или наличие груза у поставщика уменьшается на выбранную величину.
Если для выбранной клетки с минимальной стоимостью перевозки наличие груза у
поставщика равно потребности потребителя, то из дальнейшего рассмотрения
исключаются строка и столбец.
Затем в оставшейся части таблицы проделывают аналогичные операции, опять
начиная с клетки, имеющей минимальную стоимость перевозки.
На последнем шаге процесса останется одна строка и один столбец.
После заполнения клетки, стоящей на их пересечении, процесс завершается.
Таблица 7.2
Проверка полученного плана на
вырожденность и расстановка (в случае
вырожденности
плана)
нулей
осуществляется так же, как это описано
для метода северо-западного угла.
Замечание. При получении описанными выше методами невырожденного
исходного плана прямоугольники с заполненными клетками в каждой вершине не
образуются.
Пример 1. Определим исходный - базисный план методом северо-западного угла
для транспортной задачи, исходные данные которой сведены в табл. 7.2, и отразим
его в табл. 7.3:
1. x11, = min[11, 10] = 10, столбец 1 исключается из дальнейшего рассмотрения, а
наличие груза у первого поставщика (строка 1) уменьшается на 10 единиц и становится
равным 1 единице.
2. х12 = min[l, 8] = 1, строка 1 исключается из дальнейшего рассмотрения, а
потребность второго потребителя (столбец 2) уменьшается на 1 единицу и становится
равной 7 единицам.
3. x22=min [14, 7] =7, столбец 2 исключается из дальнейшего рассмотрения, а
наличие груза у второго поставщика (строка 2) уменьшается на 7 единиц и становится
равным 7 единицам.
4. Поскольку в таблице осталась одна строка (строка 2) и один столбец (столбец
3) —это последний шаг процесса, х23 =7.
Количество заполненных клеток в табл. 7.3 равно 4, т+п-1 = 2+3-1 = 4.
Следовательно, полученный план невырожденный. Значения базисных переменных: x11
=10, х12 =1, x22 = 7, х23=7.Остальные переменные — небазисные и их значения равны
нулю. Транспортные расходы f = 8*10+6* 1+5*7+7*7= 170.
7.4
Пример 2. Теперь для той же задачи (табл. 7.2) определим исходный базисный план
методом минимального элемента и отразим его в табл. 7.4:
1. Переменной x21 соответствует клетка с минимальной стоимостью перевозки,
x21 = тiп[а2, b1]=min{14, 10} = 10. Столбец
1 исключается
из дальнейшего
рассмотрения, а наличие груза у второго поставщика (строка 2) уменьшается на 10
единиц.
2. В оставшейся части таблицы переменным х13 и х22 соответствуют клетки с
минимальными стоимостями перевозок c13 = c22 = 5. Выбираем первую по порядку
клетку, х13 = 7. Столбец 3 исключается из дальнейшего рассмотрения, а наличие груза у
первого поставщика (строка 1) уменьшается на 7 единиц.
3. x22=min[4, 8]=4, строка 2 исключается из дальнейшего рассмотрения, а
потребность второго потребителя (столбец 2) уменьшается на 4 единицы.
4. Поскольку в таблице осталась одна строка (строка 1)
и один столбец
(столбец 2)—это последний шаг процесса, x12=4.
Количество заполненных клеток в табл. 7.4 равно 4, т+п-1=2+3—1=4.
Следовательно, полученный план невырожденный. Значения базисных переменных: x12 =
4, х13 = 7, x21 = 10, x22 = 4. Остальные переменные-—небазисные и их значения равны
нулю. Транспортные расходы:
f=6*4 + 5*7 + 4*10+5*4=119.
Для задачи, исходные данные которой приведены в табл. 7.1, методом минимального
элемента получен лучший с точки зрения критерия оптимальности исходный базисный
план (табл. 7.4). Однако из этого не следует, что методом минимального элемента всегда
получается лучший исходный план. Существуют задачи, в которых метод северозападного угла дает лучший план. Исходные данные такой задачи приведены в табл. 7.9.
Поэтому рациональность приведенных методов построения исходного плана можно
оценить только в среднем.
3. Решение транспортной задачи методом потенциалов
. Построенный одним из описанных выше методов исходный план можно довести до
оптимального с помощью симплекс-метода. В силу особенностей модели транспортной
задачи (ограничения имеют вид равенств, каждая неизвестная входит только в два
уравнения, коэффициенты при неизвестных - единицы) процесс ее решения симплексметодом является громоздким. Поэтому для нахождения оптимального плана транспортной задачи созданы специальные методы, самым распространенным из которых считается
метод потенциалов.
Широко распространенным методом решения транспортных задач является метод
потенциалов. Этот метод позволяет упростить наиболее трудоемкую часть вычислений –
нахождение оценок свободных клеток.
Теорема. (признак оптимальности опорного решения). Если допустимое решение
Х=( x ij ),
i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n транспортной задачи является оптимальным, то
существует потенциалы (числа) поставщиков u i , i=1,2,,…,m и потребителей
j=1,2,…,n, удовлетворяющие следующим условиям:
u i + v j = c ij при x ij >0,
(7.3)
vj ,
u i + v j  c ij при x ij =0.
(7.4)
Доказательство.
Используем вторую теорему двойственности. Запишем
математическую модель транспортной задачи
Z(X ) 
m
n
 c
i 1 j 1
n
x
j 1
0
ij
m
x
i 1
0
ij
ij
xij ,
 ai , i=1,2,,…,m,
ui
 bi , j=1,2,…,n,
vj
x ij  0, i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n.
составим математическую модель двойственной задачи. Обозначим через u i ,
i=1,2,,…,m переменные (оценки), соответствующие первым m уравнениям системы
ограничений, и через v j , j=1,2,…,n переменные, соответствующие
последним
n
уравнениям.
Записываем
m
n
i 1
j 1
F(U, V)=  ai ui   b j v j  max , u i + v j  c ij , i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n.
Каждое ограничение двойственной задачи содержит только две переменные, так
как вектор-условие Aij системы ограничений исходной задачи имеет только две отличные
от нуля (равные единице) координаты,i-ю и (m+j)-ю. Условий неотрицательности
двойственная задача не имеет, так как все ограничения в исходной задаче – равенства. По
второй теореме двойственности, если при подстановке в систему ограничений
двойственной задачи некоторое ограничение выполняется как строгое неравенство u i + v j
< c ij , то соответствующая координата оптимального решения исходной задачи равна
нулю, т.е. x ij =0. Если же оптимальным решением ограничение удовлетворяется как
равенство u i + v j = c ij , то соответствующая координата оптимального решения отлична
от нуля, т.е. x ij >0.
Группа равенств (7.3) u i + v j = c ij при x ij >0 используется как система уравнений
для нахождения потенциалов. Нетрудно видеть, что эта система могла иметь несколько
другой вид, например - u i + v j = c ij или u i - v j = c ij , если перед тем, как записать
двойственную задачу, все уравнения одной из групп уравнений исходной задачи
умножить на (-1).
Данная система уравнений имеет m+n неизвестных u i ,
i=1,2,,…,m и v j ,
j=1,2,…,n. Число уравнений системы, как и число отличных от нуля координат
невырожденного опорного решения, равно m+n-1. так как число неизвестных системы на
единицу больше числа уравнений, то одной из них можно задать значение произвольно, а
остальные найти из системы.
u i + v j  c ij при x ij =0 используется для проверки
Группа неравенств (7.4)
оптимальности опорного решения. Эти неравенства удобно записать в виде
 lk = u i + v j - c ij при x ij =0.
(7.5)
Числа  lk называются оценками свободных клеток таблицы или векторов-условий
транспортной задачи , не входящих в базис опорного решения. В этом случае признак
оптимальности можно сформулировать так же, как в симплексном методе (для задачи на
минимум): опорное решение является оптимальным, если для всех векторов-условий
(клеток таблицы) оценки неположительные.
Оценки для свободных клеток транспортной таблицы используются для улучшения
опорного решения. С этой целью находят клетку (k, l) таблицы, соответствующую max{
 ij }=  lk . Если  lk  0, то решение оптимальное. Если же  lk >0, то для соответствующей
клетки (k, l) строят цикл и улучшают решение, перераспределяя груз  = min xij  по
  
этому циклу. Циклом называется набор клеток вида ( i1 j1 )( i1 j2 )( j2 i2 )( j1 im ), в котором
две и только две соседние клетки расположены в одном столбце или одной строке
таблицы, причем последняя клетка находится в той же строке или столбце, что и первая.
Если к занятым клеткам, определяющим опорный невырожденный план,
следовательно, и ацикличный, присоединить какую-либо незанятую клетку, то план
становится не опорным, появляется единственный цикл, все вершины которого, за
исключением одной, лежат в занятых клетках.
Рассмотрим алгоритм, реализующий этот метод (метод потенциалов).
Шаг 1. Каждому поставщику Ai - (т. е. каждой строке) поставим в соответствие некоторое
число u i (i=1,2,,…,m) называемое потенциалом Ai , а каждому потребителю В, (т. е.
каждому столбцу) поставим в соответствие некоторое число v j (j=1,2,…,n), называемое
потенциалом Bj. Для каждой заполненной клетки, т. е. для каждой базисной переменной,
строится соотношение ul + vj = cij. Полученная система должна содержать m+n-1
уравнений (так как количество базисных переменных равно т + п-1) с т+п неизвестными.
Как известно, такая система имеет множество решений и любое из них будет содержать
искомые потенциалы. Чтобы найти одно из решений, значение одного потенциала в
системе задается произвольно. Обычно считают, что и1 = 0, и находят значения остальных
потенциалов. Значения потенциалов записывают справа и снизу таблицы против
соответствующих строк и столбцов.
Шаг 2. Для каждой незаполненной клетки, т. е. для каждой небазисной переменной,
рассчитываются так называемые косвенные тарифы с ij по формуле u i + v j = с ij . Расчет
косвенных тарифов проводится непосредственно по таблице, результат заносится в левый
нижний угол соответствующей незаполненной клетки.
Шаг 3. Проверяем полученный план на оптимальность по критерию оптимальности плана
транспортной задачи. Если для каждой незаполненной клетки выполняется условие с ij - cij
≤0 (7.5*), то план является оптимальным. В противном случае полученный план не
оптимальный, и необходимо переходить к новому базисному плану путем перемещения
перевозки в клетку, отвечающей условию max [ с ij - cij >0]. Если таких клеток более одной,
то договоримся перемещать перевозку в первую по порядку. Выбранная клетка
помечается в таблице. Переменная, стоящая в этой клетке, вводится в базис.
Шаг 4. Для правильного перемещения перевозок, чтобы не нарушить ограничений,
строится цикл, т. е. замкнутый путь, соединяющий выбранную незаполненную клетку с
ней же самой и проходящий через заполненные клетки. Цикл строится следующим
образом. Вычеркиваются все строки и столбцы, содержащие ровно одну заполненную
клетку (выбранная клетка при этом считается заполненной). Все остальные заполненные
клетки составляют цикл и лежат в его углах.
Замечание. После перевода незаполненной клетки в число заполненных количество
заполненных клеток становится равным m+n. Для такого количества клеток всегда
можно построить цикл, и он будет единственным. Направление построения цикла (по
часовой стрелке или против) несущественно.
Шаг 5. В каждой клетке цикла, начиная с незаполненной, проставляются поочередно
знаки «+» и «—» (обычно они ставятся в правом нижнем углу клетки). В клетках со
знаком «—» выбирается минимальная величина. Новый базисный план получается путем сложения выбранной величины с величинами, стоящими в клетках цикла со
знаком « + », и вычитания этой величины из величин, стоящих в клетках со знаком
«—».
Выбранная минимальная величина будет соответствовать
переменной,
выводимой из базиса. Если таких величин более одной,
7.5
то из базиса выводится любая из соответствующих им переменных.
Значения переменных, включенных в
цикл,
после
описанной
корректировки
переносятся в новую таблицу. Все остальные
переменные записываются в новую таблицу без
изменений.
Осуществляется переход к шагу 1.
Замечание.
Метод
потенциалов
обеспечивает монотонное убывание значений
целевой функции и позволяет за конечное
число шагов найти ее минимум.
Лекция 11
Вырожденность в транспортной задаче
Пример решения транспортной задачи методом потенциалов.
Определим оптимальный план задачи, исходные данные которой сведены в табл. 7.2.
При этом будем отталкиваться от исходного плана, найденного методом северозападного угла (см. табл. 7.3).
Первой строке табл. 7.5 поставим в соответствие потенциал u1 , второй —
потенциал u 2 , а столбцам соответственно потенциалы v1, v2, v3. Для каждой заполненной
клетки на основании формулы (7.3) построим соотношения, определим значения
потенциалов и запишем их в табл. 7.5 справа и снизу против соответствующих строк и
столбцов:
Для каждой незаполненной клетки по формуле (7.4) рассчитаем косвенные тарифы и
занесем их в левый нижний угол соответствующей незаполненной клетки табл. 7.5:
 =0+8=8,
с13
 =-1+8=7.
с21
Проверяем полученный план на оптимальность по формуле (7.5): 8—5 = 3>0,
7—4 = 3>0. Критерий оптимальности плана транспортной задачи нарушается в обеих
незаполненных клетках. В общем случае необходимо переходить к новому базисному
плану путем перемещения перевозки в клетку, отвечающей максимальной
положительной разности [ с ij - cij >0]. На данной итерации таких клеток две (клетки,
отвечающие переменным ;x13 и x21). Поэтому будем перемещать перевозку в первую по
порядку клетку, т. е. клетку, отвечающую переменной х13. Отметим эту клетку в табл.
7.5. Для правильного перемещения перевозок строится цикл. Вычеркнем в табл. 7.5.
первый столбец, который содержит одну заполненную клетку. Оставшиеся четыре
заполненные клетки образуют цикл (клетка, в которую перемещается перевозка,
считается заполненной).
В каждой клетке цикла, начиная с клетки, отвечающей переменной х13,
проставим поочередно знаки «+» и «—». В клетках со знаком «—» выберем
минимальную величину. В данном случае эта величина равна 1. Значение переменной
х11=10, не включенной в цикл, переносится без изменений. Переменные, включенные
в цикл, корректируются на выбранную величину, которая равна 1, в зависимости от
знаков «+», и «—», стоящих в клетках цикла.
Полученный новый базисный план прежде всего необходимо проверить на
вырожденность.
План невырожденный. Значения базисных переменных: х11=10, х13=1, х22 = 8,
х23= 6. Транспортные расходы
f=8*10 + 5*1 + 5*8 + 7* 6= 167.
7.7
Переходим к шагу 1 алгоритма. Дальнейшее решение задачи приведено в табл.
7.6—7.8. На каждой итерации необходимо осуществлять проверку плана на
вырожденность и шаги 1—5 алгоритма. На последней итерации, когда получен
оптимальный план, последним является шаг 3 алгоритма.
В табл. 7.8 получен оптимальный план задачи, так как для каждой
незаполненной клетки выполняется критерий оптимальности плана транспортной
задачи: 5—8 =-3<0, 4-7=-3<0.
Значения базисных переменных
в оптимальном плане: х13=7, х21 = 10, х22=4.
Транспортные расходы
f=6*4 +5*7+ 4*10 +5*4= 119.
Исходный план, полученный методом минимального элемента (табл. 7.4), будет
оптимальным.
4. Дополнительные примеры решения различных экономических задач.
Фирма должна отправить некоторое количество кроватей с трёх складов в пять
магазинов. На складах имеется соответственно 15, 25 и 20 кроватей, а для пяти магазинов
требуется соответственно 20, 12, 5, 8 и 15 кроватей. Стоимость перевозки одной кровати
со склада в магазин приведены в таблице.
Как следует спланировать перевозку, чтобы её стоимость была минимальной?
Построение математической модели
Пусть Хij - количество кроватей, отправляемых со склада i в магазин j. Все Хij>=0,
и в силу ограничений на возможности поставки со складов (предложение) и спрос в
магазинах они удовлетворяют следующим условиям:
(для предложения)
(для спроса)
Стоимость перевозок равна
F=1*Х11+0*Х12+3*Х13+4*Х14+2*Х15+5*Х21+...+4*Х34+3*Х35
Таким образом имеет следующую математическую модель
Рассмотренная задача является задачей линейного программирования, но
специального вида. Допустимый план, будем называть опорным, если в нем отличны от
нуля не более m+n-1 базисных перевозок, а остальные перевозки равны 0.
Решение задачи разбивается на два этапа:
Определение опорного плана и нахождение оптимального решения, путем
последовательных операций
Найдем в начале допустимое (опорное) решение транспортной задачи. Это решение
можно находить, используя метод "северо-западного угла" или метод "минимального
элемента".
Построим опорный план для рассмотренной выше задачи. В начале построим его с
помощью метода "северно-западного угла"
Исходная транспортная таблица:
Построение второй транспортной таблицы
Магазин В1 подал заявку на 20 кроватей, но со склада А1 мы можем перевести 15
кроватей, ещё 5 кроватей мы перевезём со склада А2. Спрос для магазина В1
удовлетворён. Рассмотрим магазин В2. В него необходимо доставить 12 кроватей доставим их со склада А2.
На складе А2 осталось 8 кроватей. Выделим из них пять для магазина В3. На
складе А2 осталось 3 кровати. Выделим их на магазин В3, но потребности магазина ещё не
удовлетворены, поэтому выделим ему со склада А3 ещё пять кроватей. Осталось 15
кроватей, столько, сколько требуется в магазин В5.
Построенный план является допустимым, так как все заявки удовлетворены, все
запасы израсходованы.
Проверим, является ли полученный план опорным: количество ячеек с ненулевыми
перевозками равно m+n-1=7
Опорный план: Х11=15, Х21=5, Х22=12, Х23=5, Х24=3, Х34=5, Х35=15 . Все
остальные Xij=0.
F=1*15+5*5+1*12+2*5+3*3+4*5+3*15=136
"Метод наименьшего элемента"
Исходная транспортная таблица:
Построение второй транспортной таблицы.
Находим в таблице наименьшую стоимость перевозки - это 0. Записываем в этой
клетке значение 12 (наименьшее из сумм по строке и столбцу). Теперь вычеркиваем
второй столбец, уменьшив сумму в первой строке на 12. Находим следующую
наименьшую по стоимости ячейку - их несколько, например,11. Присваиваем ей
значение3, а сумму по столбцу заменяем на 17. Вычеркиваем первую строку. Выбираем
ячейку 33, присваиваем ей значение 5. сумма по третей строке равна 15 - вычеркиваем
третий столбец. Выбираем ячейку 25, записываем в ней 15, уменьшаем вторую строку на
15 и вычеркиваем пятый столбец. Выбираем ячейку 31, присваиваем ей 15. Уменьшаем
первый столбец на 5 и вычеркиваем третью строку. Ячейке 21 присваиваем 2.
Опорный план построен.
Х11=3, Х12=12, Х21=2, Х24=8, Х25=15, Х31=15, Х33=5.
Все остальные Хij=0.
F=3*1+0*12+5*2+3*8+3*15+5*1=147
Найдём теперь оптимальный план для данной задачи. Для этого воспользуемся
методом потенциалов.
В качестве опорного плана возьмем план, полученный с помощью метода
"минимального элемента" Х11=3, Х12=12, Х21=2, Х24=8, Х25=15, Х31=15, Х33=5. Все
остальные элементы равны 0.
Составим систему уравнений для нахождения потенциалов решения, найдем сумму
соответствующих потенциалов для каждой свободной ячейки и пересчитаем тарифы
(стоимости) для каждой свободной ячейки.
Так как у нас получились отрицательные значения, то полученный план не является
оптимальным. Выберем ячейку для пересчета 22. Получим:
Строим следующую транспортную таблицу.
Проверим полученный план на оптимальность. Теперь ячейка 12 не заполнена.
Построенный план не является оптимальным, следовательно, производим пересчет.
Выберем ячейку 35.
Строим следующую транспортную таблицу .
Проверим построенный план на оптимальность.
Полученный план является оптимальным. Х11=15, Х22=12, Х24=8, Х25=5,
Х31=5, Х33=5, Х35=10. Все остальные Хij=0.
F=1*15+1*12+3*8+3*5+4*5+1*5+3*10=121
Вырожденность в транспортной задаче возникает, когда одна или более
базисных переменных обращаются в 0.
При построении первого базисного решения могут возникать трудности, если суммы
по строкам и столбцам равны между собой и обратились в 0. В этом случае из
дальнейшего рассмотрения следует исключить только одну из них. Другая сумма будет
ликвидирована при присвоении базисной переменной значения 0. Поскольку на каждом
шаге удаляется только одна строка или только один столбец, то в результате количество
базисных переменных не меняется (даже если некоторые базисные переменные
обратились в нуль).
Трудности могут возникать и при улучшении базисного допустимого плана.
Применение правил может обратить в нуль более одной базисной переменной. В этом
случае важно помнить, что только одна из них должна стать не базисной, остальные
следует сохранить базисными, но с нулевыми значениями.
Лекция 12
Модели межотраслевого баланса
Рассмотрим модели межотраслевого баланса — аппарат прогнозирования и
планирования на макроуровне.
Центральная идея межотраслевого баланса заключается в том, что каждая отрасль в
нем рассматривается и как производитель и как потребитель. Модель межотраслевого
баланса — одна из самых простых экономико-математических моделей. Она представляет
собой единую взаимоувязанную систему информации о взаимных поставках продукции
между всеми отраслями производства, а также об объеме и отраслевой структуре
основных производственных фондов, об обеспеченности народного хозяйства ресурсами
труда и т. д.
Такая модель позволяет рассчитать сбалансированный план на основе точного учета
всех межотраслевых связей и рассмотреть при этом множество возможных вариантов.
В основе исследований балансовых моделей лежат балансовые таблицы,
содержащие данные о производстве и потреблении продукции различных отраслей или
предприятий. Такие балансы затрат выпуска продукции отражают сложные взаимосвязи
между различными отраслями производства, характеризуют общественно необходимые
затраты в процессе производства (производственное потребление), распределение
общественного продукта, всесторонний оборот материальных ценностей и т. д.
В результате балансовых исследований могут быть изучены межотраслевые и
межрайонные связи, рассчитаны полные затраты труда, капиталовложений, энергии и т. д.
на производство единицы общественного продукта, исследован подробно оборот
материальных ценностей в данном хозяйстве.
Характерные черты и особенности этого метода описываются с помощью
матричных моделей баланса. Из математических методов здесь главным образом
используется аппарат линейной алгебры.
Двухотраслевая модель межотраслевого баланса
Рассмотрим упрощенный пример, включающий две производственные отрасли [34].
Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными,
приведенными в табл. 7.2.
Таблица 7.2. Пример матрицы прямых затрат
Отрасли
Потребление
Итого
Конечный
Валовый
затраты
продукт
выпуск
1
2
1
240
500
2
85
400
Производство
Итого затрат в k-ю
отрасль
Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный
продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств
производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют
производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей
выступает и как производитель продукции ( я строка таблицы), и как ее потребитель ( й
столбец таблицы).
Обозначим через валовый выпуск продукции й отрасли за планируемый период
и через — конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы
потребление (средства производства других экономических систем, потребление
населения, образование запасов и т. д.). Таким образом, разность
составляет часть
продукции
й отрасли, которая предназначена для внутрипроизводственного
потребления. Предполагаем, что баланс составляется в стоимостном разрезе. Обозначим
через часть продукции й отрасли, которая потребляется й отраслью для обеспечения
выпуска ее продукции в размере
Очевидно, величины, расположенные в строках, связаны следующими балансовыми
равенствами
(7.16)
Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об
исполнении баланса за предшествующий период определить исходные данные на
планируемый период.
Рассчитаем по данным таблицы коэффициенты прямых затрат. Это отношение
количества продукции й отрасли, поступающей в ю отрасль для обеспечения выпуска
ее продукции в размере
т. е.
где
(7.17)
т. е. затраты й отрасли в ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску или,
другими словами, зависят линейно от валового выпуска .
Выписанные соотношения называют условием линейности прямых затрат
Найденные коэффициенты образуют матрицу прямых затрат
Все элементы этой матрицы неотрицательны. Это записывается в виде
матричного неравенства
.
Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между
производством и потреблением, характеризуемые табл. 7.2.
Теперь можно записать линейную балансовую модель, соответствующую данным
табл. 7.2, если подставить значения
в балансовые равенства
В матричной форме
где
Эта система двух уравнений может быть использована для определения и при
заданных значениях и , для исследования влияния на валовый выпуск любых
изменений в ассортименте конечного продукта, для определения матрицы коэффициентов
полных затрат, элементы которой служат важными показателями для планирования
развития отраслей и т. д.
Общая модель межотраслевого баланса продукции
Таблица 7.3 представляет собой одну из основных экономических моделей —
межотраслевой баланс производства и распределения продукции в народном хозяйстве
(МОБ).
В общем виде МОБ состоит из четырех основных частей — квадрантов (табл. 7.3).
Таблица 7.3. Структура МОБ
Потребляющие
Всего
Конечная продукция
отрасли
валовая
I квадрант
1
2
Потребление Накопление продукция
Производящие
1
отрасли
2
Чистая продукция
Оплата
труда
Чистый
доход
Всего валовая продукция
I + II квадранты
I + III квадранты
I квадрант содержит показатели материальных затрат на производство продукции.
По строкам и столбцам отрасли располагаются в одинаковом порядке. Величина
представляет собой стоимость средств производства, произведенных в й отрасли и
потребленных в качестве материальных затрат в й потребляющей отрасли. Можно
сказать, что сумма всех элементов квадратной матрицы n-го порядка, стоящей в первом
квадранте, равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в
материальной сфере.
Во II квадранте показана конечная продукция, используемая на непроизводственное
потребление, накопление и экспорт. Тогда этот квадрант можно рассматривать как
распределение национального дохода на фонд накопления и фонд потребления по
отраслям производства и потребления.
В III квадранте характеризуется национальный доход, но со стороны его
стоимостного состава чистой продукции (оплата труда, прибыль, налог с оборота и др.).
В IV квадранте отражается перераспределение чистой продукции. В результате
перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются
конечные доходы населения, предприятий, государства. Если все показатели МОБ
записаны в денежном выражении, то по столбцам баланса они представляют
формирование стоимости валовой продукции, а по строкам — распределение той же
продукции в народном хозяйстве. Поэтому показатели строк и столбцов равны.
Валовая продукция отраслей представлена в табл. 7.3 в виде столбца,
расположенного справа от второго квадранта и в виде строки, расположенной под третьим
квадрантом. Эти столбец и строка играют важную роль как для проверки правильности
самого баланса (заполнения квадрантов), так и для разработки экономико-математической
модели межотраслевого баланса.
В целом межотраслевой баланс в рамках общей модели объединяет балансы
отраслей материального производства, баланс совокупного общественного продукта,
балансы национального дохода, баланс доходов и расходов населения.
Исходя из формулы (7.17), разделим показатели любого столбца МОБ на итог этого
столбца (или соответствующей строке), т. е. на валовую продукцию. Получим затраты на
единицу этой продукции
которые образуют матрицу прямых затрат А:
(7.18)
Стоимостной баланс наряду с уравнениями
(7.19)
каждое из которых представляет распределение продукции данной отрасли по всем
отраслям, допускает построение уравнений в форме потребления продукции
где
— материальные затраты й потребляющей отрасли;
— ее чистая продукция ( — сумма оплаты труда;
— чистый доход).
Подставив в уравнения (7.19) соотношения (7.17), после преобразований получим
(7.20)
Систему уравнений МОБ можно записать в матричной форме
(7.21)
где Е — единичная матрица; А — матрица прямых затрат (7.18); X и Y — векторстолбцы:
(7.22)
Система уравнений (7.20), или в матричной форме (7.21), называется экономикоматематической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева).
Модель межотраслевого баланса (7.21) позволяет решить следующие задачи:
- определить объем конечной продукции отраслей
по заданным
объемам валовой продукции
- по заданной матрице коэффициентов прямых затрат А определить матрицу
коэффициентов полных затрат
элементы которой служат важными показателями для планирования развития
отраслей;
- определить объемы валовой продукции отраслей
по заданным объемам
конечной продукции
и пр.
Косвенные затраты. Прямые затраты играют в составлении баланса исключительно
важную роль. Они служат важной экономической характеристикой, без знания которой
планирование народного хозяйства не представлялось бы возможным.
Матрица прямых затрат по существу определяет структуру экономики. Если
известны прямые затраты и конечный продукт каждой отрасли хозяйства, то можно
вычислить объем валовой продукции.
Чтобы выпустить автомобиль, нужно обеспечить электроэнергией не только сам
завод, но и прокатные станы металлургического комбината, и шинный завод, и много
других. Поэтому, если прямо на один автомобиль затрачивается 1,4 тыс. кВт - ч
электроэнергии, то на всех промежуточных стадиях — еще 2 тыс. кВт - ч (косвенные
затраты электроэнергии), а всего 3,4 тыс. кВт - ч. Чтобы произвести 1 т штапельного
волокна из лавсана, требуется около 50 тыс. рублей капитальных вложений
непосредственно для завода химических волокон, а в сопряженных отраслях — еще около
80 тыс. руб. Чтобы произвести на 10 000 руб. мясных изделий, капиталовложения в
мясную промышленность должны составить 900 руб., а в других сопряженных отраслях
— 18 000 руб., т. е. в 20 раз больше.
Таким образом, прямые затраты не отражают в полной мере сложных
количественных взаимосвязей, наблюдающихся в народном хозяйстве. Они, в частности,
не отражают обратных связей, имеющих далеко немаловажное значение.
На изготовление трактора в виде прямых затрат расходуется чугун, сталь и т. д. Но
для производства стали также нужен чугун. Таким образом, кроме прямых затрат чугуна,
имеются и косвенные затраты чугуна, связанные с производством трактора. В эти
косвенные затраты входит и чугун, необходимый для создания того количества чугуна,
которое составляет прямые затраты. Эти косвенные затраты могут иногда существенно
превышать прямые затраты.
Полные внутрипроизводственные затраты. Система уравнений межотраслевого
баланса в матричной форме была представлена в виде (7.21)
(Е - А)Х = Y. Пусть имеется матрица
если умножить левую и правую части уравнения (7.21) на матрицу Р, то получим:
(7.23)
Е х X = Р х Y.
То есть объемы производства отраслей определяются как
X = Р х Y,
по заданным величинам конечного продукта потребления Y и матрице Р.
Матрицу Р называют матрицей коэффициентов полных затрат.
Элементы матрицы Р включают не только затраты й продукции, необходимой для
создания одной единицы
й продукции, но и те затраты, которые необходимы для
создания в каждой отрасли одной единицы конечного продукта.
Значит, полные затраты
включают как прямые
так и косвенные
затраты. Очевидно, что всегда
.
Матрица коэффициентов полных затрат является суммой сходящегося матричного
ряда
(7.24)
Матрицы
называются матрицами коэффициентов косвенных затрат
2-го, 3-го и т. д. порядков, и коэффициенты полных затрат получаются в виде суммы
коэффициентов прямых затрат и косвенных затрат.
Валовый выпуск й отрасли определяется как
Для примера табл. 7.2 имеем
Найдем обратную матрицу
которая является матрицей косвенных затрат.
Динамические модели межотраслевого баланса
Динамические модели МОБ — частный случай динамических моделей экономики,
основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся
уравнения, характеризующие изменения отраслевых связей во времени на основе
отдельных показателей, например капитальных вложений и основных фондов (что
позволяет создать преемственность между балансами отдельных периодов).
Единообразного метода решения этой задачи нет. В принципе она может решаться
следующим образом (при условии, что в динамической межотраслевой модели, как и в
статическом межотраслевом балансе связи принимаются линейными). В отличие от
уравнений статического межотраслевого баланса, где конечный продукт каждой отрасли
представлен одним слагаемым, здесь он распадается на два — фонд накопления и фонд
непроизводственного потребления.
Система уравнений (7.20) в этом случае записывается так:
где
— часть продукции й отрасли, идущая в фонд
накопления; — часть продукции й отрасли, выделяемая на непроизводственное
потребление.
Такие модели с разделением конечного продукта называются «моделями
леонтьевского типа» (по имени американского экономиста В. Леонтьева).
Ту часть фонда накопления, которая передается «фондообразующей отраслью» в
ю отрасль, обозначим
. Тогда общее количество капитальных вложений,
направляемых в ю отрасль, определяется по формуле:
Отсюда, зная коэффициент фондоотдачи в й отрасли, можно вычислить прирост ее
валовой продукции. Таким образом, получаем описание цикла воспроизводства (обычно
за один год) — от создания фондов до выявления возросших в результате их
использования производственных возможностей.
Конечно, здесь допущено много нереалистичных упрощений (например, новые
средства производства «немедленно» дают продукцию, тогда как в действительности для
этого требуется существенный лаг). Но модель показывает, что для управления процессом
решающее значение имеет соотношение между фондом накопления и фондом
потребления конечной продукции.
Экономистами разрабатываются разные типы динамических межотраслевых
моделей, в том числе более сложные, но зато и более адекватно описывающие динамику
экономического развития (хотя и здесь еще упрощения существенны). Во-первых, модели
с обратной рекурсией, в которых балансы производства и распределения продукции за
последний год планового периода сочетаются с уравнениями потребности в капитальных
вложениях за весь плановый период. На втором этапе решения такой модели показатели
производства продукции и капитальных вложений распределяются по всем годам
планового периода в направлении от последнего года к первому (откуда и название
модели).
Во-вторых, модели поэтапного расчета объемов производства продукции и
капитальных вложений для каждого года планового периода представляются обычно как
совокупность балансов производства продукции и капитальных вложений, потребность в
которых для будущих лет устанавливается путем нормирования незавершенного
строительства.
В-третьих, модели с явным учетом лага капитальных вложений, в которых показана
прямая и обратная их связь во времени с показателями производства продукции. С одной
стороны, объемы продукции отраслей, создающих средства производства
(«фондосоздающих»), зависят от тенденций развития производства в будущем. С другой
стороны, потребность в приросте фондов в данном году во многом зависит от их
динамики в прошлом. Модели с явным учетом лага капитальных вложений точнее других
отражают процессы воспроизводства, но они и сложнее по структуре. Кроме того, их
трудно обеспечить необходимой информацией.
Лекция 13
Модели нелинейного программирования и его приложения.
Тема 8. Метод множителей Лагранжа.
Метод Лагранжа базируется на нескольких ключевых идеях. Одна из них состоит в
том, как искать минимум функции, если на функцию заданы некоторые ограничения. Этот
приём теперь носит название «правило множителей Лагранжа»
Данная тема актуальна в современности потому, что метод множителей Лагранжа
применяется при решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих
областях (например, в экономике).
1. Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы
Многие задачи оптимизации формулируются следующим образом. Решение, которое
должен принять субъект, описывается набором чисел х1 ,х2 ,…,хn (или точкой Х=(х1 ,х2
,…,хn) n-мерного пространства). Достоинства того или иного решения определяются
значениями функции f(X) = f(х1, х2 ,…,хn) — целевой функции. Наилучшее решение — это
такая точка Х, в которой функция f(Х) принимает наибольшее значение. Задача
нахождения такой точки описывается следующим образом:
f(X)  max.
Если функция f(X) характеризует отрицательные стороны решения (ущерб, убытки и
т. п.), то ищется точка Х, в которой значение f(X) минимально:
f(X)  min.
Минимум и максимум объединяются понятием экстремума. Для определенности мы
будем говорить только о задачах максимизации. Поиск минимума не требует
специального рассмотрения, поскольку заменой целевой функции f(X) на -f(Х) всегда
можно “превратить недостатки в достоинства” и свести минимизацию к максимизации.
Из каких вариантов должен быть выбран наилучший? Иными словами, среди каких
точек пространства нужно искать оптимум. Ответ на этот вопрос связан с таким
элементом оптимизационной задачи, как множество допустимых решений. В некоторых
задачах допустимыми являются любые комбинации чисел х1, х2,…,хn то есть множество
допустимых решений - это все рассматриваемое пространство.
В других задачах следует принимать во внимание различные ограничения,
означающие, что не все точки пространства доступны при выборе. В содержательных
постановках задач это может быть связано, например, с ограниченностью располагаемого
количества ресурсов.
Ограничения могут быть представлены в форме равенств вида
g(X) = О
или неравенства
g(X)  О.
Если условия имеют несколько другую форму, скажем, g1(Х) = g2(X) или g(X)  A,
то их можно привести к стандартному виду, перенеся в функции и константы в одну из
частей равенства или неравенства.
Экстремум, отыскиваемый во всем пространстве, без каких-либо ограничивающих
условий, носит название безусловного. Если целевая функция непрерывно
дифференцируема, то, необходимое условие безусловного экстремума функции состоит в
равенстве нулю всех ее частных производных:
f
 0, i  1,..., n(1)
x i
Если же заданы ограничения, то экстремум ищется, лишь среди точек, которые
удовлетворяют всем ограничениям задачи, так как только такие точки являются
допустимыми. В этом случае экстремум носит название условного.
Рассмотрим задачу поиска условного экстремума:
f(X)  max
при условиях (2)
g1(Х) = 0; g2(Х) = 0, …, gn(Х) = 0,
все ограничения которой представляют собой равенства.
Если при этом целевая функция и все ограничивающие функции непрерывно
дифференцируемы, то такую задачу мы будем называть задачей Лагранжа.
2. Задача Лагранжа с одним ограничением
Рассмотрим задачу, имеющую следующую структуру:
f(X)  max
при условии (3)
g(X) = 0.
Рассмотрим пример. По склону горы идет дорога, требуется найти на ней самую
высокую точку. На рис. 1 представлена карта местности с нанесенными на нее линиями
Рис. 1
равных высот; толстая линия – это дорога. Точка М, в которой дорога касается одной
линий уровня, - это и есть наивысшая точка дороги.
Если Х = (х1, х2) – точка плотности, х1 и х2 – её координаты, то задаче можно
придать следующую форму. Пусть f(Х) — высота точки Х над уровнем моря, а уравнение
g(X) = 0 описывает дорогу. Тогда наивысшая точка дороги - решение задачи (3).
Если бы дорога проходила через вершину горы, то ее высшая точка была бы самой
высокой точкой местности, и ограничение можно было бы не принимать во внимание.
Если же дорога не проходит через вершину, то, немного отклонившись от дороги,
можно было бы подняться выше, чем двигаясь строго по дороге. Отклонение от дороги
соответствует попаданию в такие точки, где g(X)  0; при малых отклонениях
достижимую при этом высоту можно приближенно считать пропорциональной
отклонению.
Идею решения задачи Лагранжа можно представить следующим образом: можно
попытаться “исправить” рельеф местности так, чтобы отклонение от дороги не давало
преимуществ в достижении высоты. Для этого нужно заменить высоту f(Х) функцией.
L(X) = f(X) - g(Х),
где множитель  подбирается таким образом, чтобы участок склона в окрестности
точки М стал горизонтальным (слишком малое  не устранит преимуществ отклонений от
дороги, а слишком большое – придаст преимущество отклонениям в противоположную
сторону).
Теперь, поскольку рельеф L(X) делает площадку в окрестности точки оптимума
горизонтальной, эта точка удовлетворяет равенствам
L
L
 0,
 0,
x1
x 2
а так как точка лежит на дороге, то – и ограничению g(X) = 0.
рис.2
Пример с горой и дорогой — лишь иллюстрация идеи; точно так же двумерный
случай использован исключительно для наглядности. Подобным образом можно было бы
рассуждать и в общем, n-мерном случае.
Справедливо следующее утверждение:
Если f(х1,…,хn) и g(х1,…,хn) - непрерывно дифференцируемые функции всех своих
аргументов, то решение задачи
f(х1,…,хn)  max
при условии
g(х1,…,хn) = 0
удовлетворяет равенствам
L
 0, i  1,...n; ( 4)
xi
L
 0, (5)

где
L(х1,…,хn;) = f(х1,…,хn) — g(х1,…,хn).
Функция L(X; ) получила название функции Лагранжа (или лагранжиана) задачи
(3), а коэффициент  — множителя Лагранжа.
Заметим, что равенство (5) — это представленное в другой форме ограничение g(Х)
= 0.
Приведенные выше рассуждения, разумеется, не являются доказательством
сформулированного здесь утверждения; они лишь помогают понять существо метода:
составляющая g(Х) в составе функции Лагранжа должна уравновешивать возможное
увеличение максимального значения функции g(Х) от нуля. Это обстоятельство в
дальнейшем будет весьма полезно при обсуждении смысла множителя Лагранжа.
Рассмотрим чрезвычайно простой пример. Веревкой длины А требуется огородить
на берегу моря прямоугольный участок наибольшей площади (берег считается
прямолинейным).
Рис.3 К задаче Дидона
Обозначим стороны прямоугольника х1 и х2 (см. рис. 3). Решим сначала задачу без
использования метода Лагранжа.
Очевидно, х2 = А - 2 х1 и площадь прямоугольника равна S = х1х2 = x1(А - 2х1).
Рассматривая ее как функцию одного аргумента х1, нетрудно найти его значение, при
котором площадь максимальна: х1 = А/4. Отсюда х2 = А/2. Максимальная площадь равна
S* = А2/8.
Теперь рассмотрим эту же задачу в форме задачи Лагранжа:
х1х2  max
при условии
2 х1 + х2 - А = 0
Лагранжиан этой задачи равен
L(х1,х2; ) = х1х2 - (2х1 + х2 - А),
и условия экстремума имеют вид
L
L
 x 2  2  0;
 x1    0,
x1
x 2
так что
х2 = 2
х1 = 
2 х1 + х2 = А
Подставляя значения х1 и х2 из первого и второго равенств в третье, находим, что 4
= А, откуда
 = А/4; х1 = А/4; х2 =А/2,
как и при решении первым способом.
Этот пример показывает распространенный способ решения задачи Лагранжа.
Соотношения (4) и (5) образуют систему уравнений относительно х 1,…,хn и ,. Система
состоит из n + 1 уравнения - n уравнений вида (4) и одно уравнение вида (5). Число
уравнений равно числу неизвестных. Из уравнений вида (4) можно попытаться выразить
каждую из неизвестных х1,…,х2 через , то есть решить ее как систему из n уравнений,
рассматривая  как параметр. Подставляя получившиеся выражения в уравнение (5) – нам
известно, что оно совпадает с ограничением, - получаем уравнение относительно . Решая
его, находят , после чего определяются исходные неизвестные х1,…,хn.
3. Смысл множителей Лагранжа
При решении задачи Лагранжа мы интересовались значениями х1,…,хn; кроме того,
нас могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в процессе
решения попутно было определено значение еще одной величины - множителя Лагранжа.
Оказывается, множитель Лагранжа — весьма существенная характеристика
решаемой задачи. Чтобы смысл ее стал яснее, несколько изменим формулировку
ограничения, ничего не изменяя по существу.
Типичная экономическая ситуация характеризуется тем, что приходится искать
наиболее выгодное решение при ограниченном количестве некоторого ресурса. Если r заданное количество ресурса, а функция h(X) характеризует потребное его количество для
достижения точки Х, то ограничению естественно придать форму
h(X)  r.
По характеру задачи часто бывает ясно, что для достижения оптимума ресурс нужно
использовать полностью, так что ограничение может быть записано в виде равенства
h(X) = r. (6)
Это условие можно представить в форме g(X) = h(Х) - r = 0. Но значительный
интерес представляет максимально достижимый уровень функции f(x) в зависимости от
имеющегося количества ресурса r. Обозначим
F(r) = max f(X)  h(X) = r.
В правой части - принятое обозначение условного экстремума: после вертикальной
черты выписывается условие.
Вспомним, что при обсуждении структуры лагранжиана мы интерпретировали g(Х)
как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X) при
отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение h(Х) от r. Если
располагаемое количество ресурса получает приращение r, то мы должны ожидать
приращение максимума функции f(X) на r.
В действительности это соотношение носит приближенный характер. Точный
результат мы получили бы в пределе при r  0:
dF ( r )
  .(7 )
dr
Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума
целевой функции при изменении ограничивающей константы r в ограничении вида (6).
В рассмотренном в предыдущем пункте варианте задачи Дидоны ограниченным
ресурсом была длина веревки А. Максимальная площадь оказалось равной S(A) = A 2/8.
Отсюда dS(А)/dА = А/4, что в точности соответствует найденному при решении значению
.
рис. 4
Приведем еще одно рассуждение. Для всевозможных точек Х найдем значения f(X)
и h(Х) и отложим эти значения в виде точек в декартовых координатах (рис. 4). Если при
каждом значении h(Х) существует максимум функции f(Х), то все точки расположатся
ниже некоторой кривой, показанной на рисунке жирной линией.
Нас интересуют точки, соответствующие условию h(X) = r. Максимум f(X) помечен
точкой М*; обозначим  наклон кривой в этой точке. Если в качестве ординаты брать не
f(X), а L(X; ) =f(X) -  [h(X) — r], то новая верхняя граница имела бы в точке М*
горизонтальную касательную. Это значит, что в исходном n-мерном пространстве
соответствующая точка М — стационарная точка функции L (X; ) с данным значением
параметра . Таким образом,  - множитель Лагранжа.
Но жирная черная кривая — это график функции F(r), а  - его угловой
коэффициент, откуда и следует равенство (7).
Лекция 14
Метод множителей Лагранжа
Метод нахождения условного экстремума функции f(x), где
m ограничений φi(x) = 0, i меняется от единицы до m.
Пусть задана задача НП при ограничениях-равенствах вида
Минимизировать
(4.2.1)
при ограничениях
, относительно
(4.2.2)
Предположим, что все функции
– дифференцируемы. Введем набор
переменных
(число которых равняется числу ограничений), которые
называются множителями Лагранжа, и составим функцию Лагранжа такого вида:
(4.2.3)
Справедливо такое утверждение для того чтобы вектор
являлся
решением задачи (4.2.1) при ограничениях (5.2.2), необходимо, чтобы существовал такой
вектор
, что пара векторов удовлетворяла бы системе уравнений
(4.2.4)
(4.2.5)
Покажем необходимость условий (4.2.4), (4.2.5) на простом примере:
минимизировать
(4.2.6)
при ограничениях
(4.2.7)
Ограничения (5.2.7) определяют допустимую область
, которая представляет
собой кривую в пространстве
и является результатом пересечения
и
.
Допустим, что рассматриваемая задача имеет точку минимума в :
,
функции
имеют непрерывные производные первого порядка на некотором
открытом множестве и градиенты
линейно независимы.
Если две переменные в уравнениях (4.2.7) можно выразить через третью в виде
, то подставив их в целевую функцию (5.2.6), преобразуем исходную
задачу в следующую задачу без ограничений, которая содержит лишь одну переменную
:
минимизировать
. (4.2.8)
Поскольку градиенты
, непрерывны и линейно независимы, то
можно применить известную теорему математического анализа о неявной функции и
найти стационарную точку , а потом
.
Приведенный подход можно в принципе распространить и на случай функции
переменных
при наличии
ограничений-равенств:
(4.2.9)
Если функции
удовлетворяют условиям теоремы о неявной функции,
то
из
переменных уравнений (4.2.9) можно выразить через остальные
переменных, подставить их в
и таким образом преобразовать задачу минимизации с
ограничениями в задачу безусловной минимизации с
переменными. Однако такой
подход трудно реализовать на практике, поскольку очень трудно разрешить уравнения
(4.2.9) относительно некоторых переменных. В общем случае это совсем невозможно.
Поэтому рассмотрим другой подход, который базируется на методе множителей
Лагранжа.
Пусть – точка минимума
, определяемого выражением (4.2.8). В соответствии
с известной теоремой математического анализа о неявной функции можно записать
(4.2.10)
Аналогичные соотношения получим для ограничений
(4.2.11)
Запишем уравнения (4.2.10), (4.2.11) совместно в виде
(4.2.12)
где
.
Поскольку вектор
не является нулевым, то из (4.2.12) следует, что
.
Из
этого
следует,
что
вектора-строки
матрицы A должны быть линейно зависимы. Следовательно, существуют три таких
скаляра
не все равные 0, что
. (4.2.13)
Скаляр а не может равняться 0, так как в соответствии с предположением
линейно независимы. Поэтому после деления (5.2.13) на , получим
и
-
(4.2.14)
Таким образом, для задачи минимизации с ограничениями (4.2.6) существуют такие
, для которых справедливо уравнение (4.2.14) и которые одновременно не
обращаются в нуль. Итак, справедливость условий (4.2.4) для случая n=3 показана.
Таким образом, для отыскания минимума (4.2.6) при условиях (4.2.7) необходимо
найти стационарную точку функции Лагранжа:
Для того чтобы найти искомые значения
, необходимо решить совместно
систему уравнений (4.2.14), (4.2.5). С геометрической точки зрения условие (4.2.14)
означает, что
лежит в плоскости, натянутой на векторы
Теперь рассмотрим общий случай для произвольных
. Пусть задана задача НП в
виде (4.2.1), (4.2.2), все функции
производные на множестве
. Пусть
имеют непрерывные частные
-подмножество множества
, на котором
все функции
, то есть
. Тогда справедлива такая
теорема о множителях Лагранжа.
Теорема. Допустим, что существует такая точка
, в которой достигается
относительный экстремум задачи НП (5.2.1) при условиях (4.2.2). Если ранг матрицы
в точке
равен , то существуют
из которых равны нулю одновременно, при которых
чисел
, не все
(4.2.15)
Эта теорема обосновывает метод множителей Лагранжа, который состоит из
следующих шагов.
Составляют функцию Лагранжа
Находят частные производные
Решают систему уравнений
(4.2.16)
и отыскивают точки
, удовлетворяющие системе (4.2.16).
Найденные точки
дальше исследуют на максимум (или минимум).
Использование математических моделей в настоящее время стало очень актуальным
вопросом, в связи с постоянно развивающейся экономики.
Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум или минимум
функции при ограничениях-равенствах. Основная идея метода состоит в переходе от
задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремума некоторой
построенной функции Лагранжа.
Таким образом – метод множителей Лагранжа играет важную роль в развитии,
предсказании, построении оптимального варианта, человеческой сферы деятельности.
Лекция 15
Метод множителей Лагранжа
Пусть задача математического программирования задана в виде
z  f  x   min
 i  x   0; i  1,....m

 x   x1 ,...., xn 

xi  0

,
(1.1)
то есть все функциональные ограничения – неравенства и присутствует ограничение
на неотрицательность для переменных задачи.
Если исходная задача оптимизации имеет другой вид, то она может быть к нему
приведена (тип неравенств и экстремума целевой функции меняют умножением на (–1), а
добавление в левую часть равенства дополнительной переменной q ³ 0 избавит задачу от
наличия в ней равенства).
Следующую функцию переменных x, l1,...,ln называют функцией Лагранжа задачи
(1.1):
L x, 0 ,..., m   f  x     i  x   i
m
i 1
(1.2)
Функция Лагранжа представляет собой линейную комбинацию целевой функции и
функций, определяющих ограничения задачи. Коэффициенты l 1,..., lm линейной
комбинации называются множителями Лагранжа.
Седловой точкой функции Лагранжа задачи (1.1) называется такая точка (x*, l*)
(m + n)-мерного пространства переменных x1,..., xn; l1,...,lm, x ³ 0, l ³ 0, в которой для
функции Лагранжа выполнены условия:
L(x, l*) £ L(x*, l*) £ L(x*, l) для всех x ³ 0, l ³ 0.
Иными словами, в седловой точке достигается максимальное значение функции
Лагранжа по переменным группы x (исходным переменным задачи (1.1)) и минимальное
значение по переменным группы l.
Необходимые условия экстремума для функции Лагранжа в случае
дифференцируемости целевой функции и функций, определяющих ограничения задачи,
состоят в равенстве нулю всех ее частных производных. Дифференцируя L(x, l) по всем
переменным, получим следующие соотношения:
L x,   * *

x ,    0, если xi*
xi
>0
L x,   * *

x ,    0, если xi*
xi
=0
Lx,   * *

x ,    0, если *j
 j
Lx,   * *

x ,    0, если *j
 j
>0
=0
Для дальнейших целей данные соотношения удобнее представить в виде условий
дополняющей нежесткости:
m
 f * *


xi* 
x ,     j i
j  k 1
xi
 xi

  0,

i  1,..., n
Если функция Лагранжа задачи (1.1) имеет седловую точку (x*, l*) при
неотрицательных значениях x ³ 0, l ³ 0, то вектор x является решением поставленной
задачи оптимизации. Использование данного факта для поиска оптимальных решений
исходной задачи состоит в поиске седловых точек функции Лагранжа и носит название
метода множителей Лагранжа.
Пример решения задачи. Гражданин Петров собирается разместить денежные
средства (в пределах 100 ден. ед.) в банк. Банк предлагает два вида срочных вкладов.
Согласно первому варианту деньги могут быть размещены на год, и доход составит 20 %
годовых. Второй вариант предполагает, что деньги могут быть получены через два года и
доход по данному виду вкладов составляет 25 % годовых. Предпочтения гр. Петрова
описывает функция полезности
n
 3
u  x     ln x
5
.
Требуется определить, как гр. Петров разместит деньги.
Решение.
Первый шаг состоит в формальном представлении задачи –
формализации, основные шаги которой состоят в определении переменных, ограничений,
показателей эффективности и соответствующих им целевых функций.
Переменные. Альтернатива выбора гр. Петрова состоит в том, сколько денег
разместить и в какой вид услуги. Пусть x1, x2 – объемы денежных средств, которые
гр. Петров разместит в 1-й и 2-й виды предлагаемых вкладов.
Ограничения. Гр. Петров собирается потратить не более 100 ден. ед., следовательно
x1 + x2 £ 100. Кроме того, не имеют смысла отрицательные значения переменных, то есть
x1, x2 ³ 0.
Показатели эффективности. Принимая решение о размещении денежных средств, гр.
Петров стремится максимизировать полезность от получаемых денежных средств. Таким
образом, определен показатель эффективности – полезность денег. Гр. Петров получит
деньги трижды. Первый раз – это величина средств, оставшихся после размещения денег
во вклады. Она составляет 100 – x1 – x2, а ее полезность u  x   ln 100  x1  x2  . Далее, в
конце первого года завершит свое действие 1-й вид услуги, и гр. Петров получит
5
1,2 x1  x 1
6 ден. ед., полезность которых с позиции текущего дня для него составляет
3 6
ln x1
5 5 . И наконец, по истечении срока действия второго договора (в конце второго
1  0.252 x2  2516 x2
года) бюджет гр. Петрова пополнит сумма в размере
, полезность
9 25
ln
x2
которой составляет в настоящий момент величину 25 16 . Таким образом,
принимаемое решение приносит гр. Петрову суммарную полезность, составляющую
3 6
9 25
ux   ln 100  x1  x2   ln x1  ln
x2
5 5
25 16 . Требуется найти такие значения
переменных x1, x2, чтобы величина U(x) была максимальной.
Формализованное представление задачи выглядит как
3 6
9 25
u  x   ln 100  x1  x2   ln x1  ln
x2  max
5 5
25 16
 x1  x2  100

 x1  0, x2  0
Для нахождения седловой точки составим функцию Лагранжа этой задачи:
3 6
9 25
Lx1 , x2 ,    ln 100  x1  x2   ln x1  ln x2   x1  x2  100 
5 5
25 16
Условия дополняющей нежесткости для данной задачи представляют собой систему
из трех уравнений с тремя неизвестными x1, x2, l, имеющую вид (в скобках каждого
уравнения находятся частные производные функции Лагранжа по соответствующим
переменным):
 

1
31

    0
 x1  

  100  x1  x2 5 x1
 

1
9 1

    0
 x2  

  100  x1  x2 25 x2
  100  x1  x2   0


Заметим, что значения x1 = 0, x2 = 0 и 100 = x1 + x2 являются недопустимыми, так как
в этих случаях не определена целевая функция. Условие 100 ¹ x1 + x2 влечет за собой
l = 0 – третье условие системы дополняющей нежесткости. Следовательно, для
нахождения решения достаточно решить систему:
1
31



 100  x  x 5 x    0
1
2
1

1
9 1


  0

100

x

x
25
x
1
2
2

  0

*
*
*
Ее решение: x1  0; x2  100;   0.
Ответ. Гр. Петров поместит все свои деньги (100 ден. ед.) в двухгодичный вклад.
Пример:
Найти расстояние от точки до прямой в 3-х мерном пространстве.
а11 x1  a12 x2    a1n  b1
Плоскость : a 21 x1  a 22 x2    a 2 n  b2
y
d
Пересечение плоскостей – линия
2
2
2
Z  x1  y1   x2  y2   x3  y3   min
x1  y1 2  x2  y 2 2  x3  y3 2
 min
а11 x1  a12 x 2    a1n  b1  0
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n  b2  0
3
 3

 3

2
Lx1 , x2 , x3 , 1 , 2    x j  y j      a1 j x j  b1   2   a2 j x j  b2 
j 1
 j 1

 j 1

 L
 x  0
 1
 L  0
 x 2
 
 L
0

  2
5 условий дают систему линейных уравнений.
ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
$$$ 1
Системный анализ это:
A) Методология исследования любых объектов посредствам представления их в качестве
систем и анализа этих систем
B) Методология анализа объектов для разработки рекомендаций для управления
C) Методология синтеза объектов для разработки рекомендаций для их анализа
D) Методология анализа и синтеза объектов для оценки состояния системы
E) Методология построения ЭММ
$$$ 2
Система это:
A) Комплекс взаимосвязанных элементов совместно реализующих определенные цели
B) Комплекс взаимосвязанных элементов необходимых для оценки поставленный цели
C) Комплекс взаимосвязанных элементов для анализа поставленной цели
D) Комплекс взаимосвязанных элементов для синтеза поставленной цели
E) Комплекс не взаимосвязанных элементов для обобщения
$$$ 3
Производственно – технологическая подсистема осуществляет:
A) Преобразования ресурсов в соответствующие материальные блага
B) Преобразования ресурсов с помощью труда в материальные блага
C) Преобразования ресурсов с помощью капитала в материальные блага
D) Преобразования ресурсов с помощью Научно-технического прогресса в материальные
блага
E) Преобразования ресурсов для вторичной переработки
$$$ 4
Математическая модель это:
A) Описания объекта исследования, выполненное с помощью математической символики
B) Описания объекта исследования для формирования целевой функции
C) Описания объекта исследования для формирования ограничивающих условий задачи
D) Описания объекта исследования для формирования области допустимых решений
задачи
E) Описания объекта исследования для формирования оптимального плана
$$$ 5
Математическая модель задачи об использовании ресурсов имеет вид:
CX
AX
CX
B)
AX
CX
C)
AX
CX
D)
AX
A)
E)
 max
 B, x  0
 min
 B, x  0
 max
 B, x  0
 extr
 B, x  0
CX  min
AX  B, x  0
$$$ 6
Математическая модель задачи построена верна:
n
c
j 1
j
x j  max
n
A)
a
j 1
ij


 j  1, n
x j  b j , i  1, m
x j  0,
n
c
x j  max
j
j 1
n
B)
a
j 1


 j  1, n
x j  bi , i  1, m
ij
x j  0,
n
c
x j  min
j
j 1
n
C)
a
j 1
x j  0,
n
c
j
j 1
x j  extr
n
D)
a
j 1
ij
c
j 1
j
x j  min
n
E)
a
j 1


 j  1, n
 bi , i  1, m
x j  0,
n


 j  1, n
x j  bi , i  1, m
ij
ij


 j  1, n
x j  bi , i  1, m
x j  0,
$$$ 7
Решить графическим методом задачу ЛП:

L x  x1  3x 2  min
5 x1  3 x 2  30,
  x  x  3,

1
2

x1  x 2  4,


x1  x 2  10,
x1  0, x 2  0
A) Lx  2; x1  7; x2  3
B) L x   16; x1  4; x 2  4
C) L x   16; x1  2; x 2  8
D) ) Lx  16; x1  2; x2  5
E) ) L x   16; x1  3,5; x 2  6,5
$$$ 8
Решить задачу ЛП графическим методом:
L x  5 x1  5 x 2  min

6 x1  6 x2  36,
4 x  2 x  20,
 1
2

4 x1  2 x2  20,
4 x1  8 x 2  40,
x1  0, x2  0
A) Lx   200 ; x1  20 ; x 2  20
6
6
6
B) L x   84; x1  7; x 2  0
C) L x   84; x1  4,5; x 2  2
D) L x   84; x1  3,25; x 2  3
E) L x   84; x1  2; x 2  4
$$$ 9




План ЗЛП X  x1 , x2 , ..., xn - является оптимальны, если все коэффициенты
индексной строки симплексной таблицы, при решении задачи на max были:
A) неотрицательными
B) неположительными
C) нецелыми
D) дробными
E) иррациональными


$$$ 10
БП
ЗБП
x1
x2
x3
x4
x5
800
0,3
0,4
1
0
0
400
0,2
0,1
0
1
0
100
0
0,1
0
0
1
0
-50
-40
0
0
0
x3
x4
x5
L x 

max
Исключению из базиса подлежит базисная переменная
A) X 4
B) X 1
C) X 5
D) X 4 и X 5
E) X 2
$$$ 11
БП
ЗБП
x1
x2
x3
x4
x5
800
0,3
0,4
1
0
0
x3

400
x4
100
x5
L x  0
0,2
0,1
0
1
0
0
0,1
0
0
1
-50
-40
0
0
0
max

Генеральным элементом является:
A) 0,2
B) 0,3
C) 0,4
D) 0,1
E) 0
$$$ 12
БП
ЗБП
x1
x2
x3
x4
x5
800
0,3
0,4
1
0
0
400
0,2
0,1
0
1
0
100
0
0,1
0
0
1
0
-50
-40
0
0
0
x3
x4
x5
L x 
max
На следующей итерации в базис должна быть включена переменная:
A) x1
B) x 2
C) x 3
D) x 4
E) x5
$$$ 13
БП
ЗБП
x3
x4
x5
L x 
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
2
1
-2
-4
4
0
8
0
4
0
0
0
7
1
2
0
10
0
-1
5
9
0
0
1
102
0
-12
0
-4
0
-6
0
A) Данная задача имеет единственное решение
B) Данная задача имеет множество оптимальных планов
C) В данной задаче Lx   
D) В данной задаче Lx   
E) В данной задаче Lx   
$$$ 14

min

Значение целевой функции L x на каждый итерации при решении задачи на максимум
ПУОП (невырожденный план)
А) монотонно возрастает
В) монотонно убывает
С) не возрастает
D) не убывает
E) не изменяется
$$$ 15
Опорному плану ЗЛП соответствует из многогранника решений
А) Вершина
В) Вершина и грань
С) Внутренняя точка
D) Линия соединяющая любые две вершины
E) Грань и вершина
$$$ 16
Дополнительные переменные задачи ЛП об использовании ресурсов  xn 1 , xn  2 ,..., xn  m 
имеют экономическую интерпретацию как:
А) возможное недоиспользование ресурсов
В) возможный перерасход ресурсов
С) возможный дефицит ресурсов
D) возможный объем бракованных ресурсов
E) возможный объем необходимого дополнительного ресурса
$$$ 17
Целевые функции взаимно двойственных пар задач линейного программирования
удовлетворяют условию
А) max L x  min L y


В) max Lx   min Ly 
С) max Lx   min Ly 
D) max Lx   min Ly 


E) max L x  max L y
$$$ 18
Матрицы коэффициентов Amn и Anm взаимно двойственных пар задач линейного
программирования удовлетворяют условию
А) Anm  Amn
Anm  Amn
С) Anm  Amn
D) Anm  Amn
В)
E) Anm  Amn
$$$ 19
Двойственно сопряженные пары задачи линейного программирования удовлетворяют
условию
x1
А) 
y m 1
x2
... x n


y m  2 ... y m  n
x n 1 x n  2 ... x n  m

 
y1 y 2 ... y m
x1
x 2 x3 ... xm x m 1 xm  2 ... xm n
В) 
y1
    

y 2 y 3 ... y n y n 1 y n  2 ... y n m
y1
y 2 y 3 ... y n x m 1 xm  2 ... xm n
x1
    

x 2 x3 ... xn y1 y 2 ... y n
y1
y 2 y 3 ... y n y n 1 y n  2 ... y n m
D) 
x1
    

x 2 x3 ... xm x m 1 xm  2 ... xm n
y1
y2
С) 
E) 
x k1
y 3 ... y n y n 1 y n  2 ... y n  m

 
  
xk 2 xk3 ... x x x ... xk  m  n
m 1 m  2
m
$$$ 20
В процессе решения задачи линейного программирования методом ПУО сформировалась
таблица:
Базис
ЗБП
y
y
y
y
y
y
1
2
3
4
5
6
y1
18
1
3
0
0
3
6
y3
-10
0
2
1
0
5
1
y4
20
0
-4
0
1
2
-2
L( y )
100
0
12
0
0
6
7
А)
В)
С)
D)
E)
система ограничений задачи противоречива
получено приближенное решение
получен псевдоплан
получен оптимальный план
решения задачи не существует
$$$ 21
Геометрически псевдоплану двойственной задачи линейного программирования
соответствует
А) крайняя точка ОДР задачи
В) внутренная точка ОДР задачи
С) точка, лежащее вне ОДР
D) точка, лежащее на ребре ОДР
E) точка, лежащее вне ОДР и точка, лежащее на ребре ОДР
$$$ 22
Если объем i  го ресурса в задаче об использовании ресурсов изменился на величину
bi , то каждая базисная переменная нового оптимального плана изменится на величину
0
0
А) x k  x k  d ki  bi
0
0
0
0
В) x k  ( x k  d ki )  bi
С) x k  ( x k  bi )  d ki
0
0
D) x k  x k  bi  d ki
0
0
E) x k  x k  bi  d ki
$$$ 23
Из экономической интерпретации взаимно двойственных задач линейного
программирования от использовании ресурсов следует
А) Если x j  0 , то
m
a
ij
yi  c j , ( j  1, n)
ij
yi  c j , ( j  1, n)
ij
yi  c j , ( j  1, n)
i 1
В) Если x j  0 , то
m
a
i 1
С) Если x j  0 , то
m
a
i 1
D) Если x j  0 , то
m
a
i 1
ij
m
E) Если x j  0 , то
a
i 1
ij
yi  c j , ( j  1, n)
yi  c j , ( j  1, n)
$$$ 24
По симплексной таблице выберите генеральный элемент
Базис
ЗБП
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y1
-25
1
0
-2
0
0
-1
2
y2
10
0
1
1
0
1
2
-10
y3
50
0
0
-3
0
0
-1
2
y4
-30
0
0
-2
1
0
-1
-5
L( y )

256
0
0
20
0
0
15
25
А) -5
В) -3
С) -10
D) -1
max
E) 2
$$$ 25
Если CX  max , AX  B, X  0 ЭММ исходной задачи, то двойственная задача имеет
следующую ЭММ
А)
В)
С)
D)
E)
B  Y  min
AT Y  C , Y  0
B  Y  max
AT Y  C , Y  0
B  Y  max
AT Y  C , Y  0
B  Y  extr
AT Y  C , Y  0
B  Y  max
AT Y  C , Y  0
$$$ 26
Если прямая задача имеет вид:
max L=3x1+5x2 ;
2x1+3x1<5:
3x1+4x2≤8:
х1,x2>/0;
то, обратная задача имеет вид:
А) min L=5y1+8y2:
2y1+3y2>/3;
3y1+4y2>/5;
Y1,y2>/0.
B) min L=3y1+5y2:
2y1+3y2>/3;
3y1-4y2>/5;
Y1=0; y2=0.
C) min L=5y1+8y1;
2y1+3y2>/3:
3y1-4y2>/5;
Y1>/0; y2>/0.
D) min L=5y1+8y2;
2y1+3y2>/3;
3y1-4y2>/5;
Y1>/0; y2- не ограничена в знаке.
E) min L=3y1+5y2:
2y1+3y2>/3;
3y1-4y2>/5;
Y1=0; y меньше2.
$$$ 27
Для любой пары допустимых решений прямой и двойственной задачи
верно следующее соотношение.
А) L в задаче максимизации прямой задачи = L в задаче минимизации
обратной задачи.
B) L в задаче максимизации прямой задачи \< L в задаче минимизации
обратной задачи
C) L в задаче максимизации прямой задачи >/ L в задаче минимизации обратной
задачи.
D) L в задаче минимизации прямой задачи < L в задаче максимизации обратной
задачи.
E) L для задачи максимизации и для задачи минимизации могут быть любыми
$$$ 28
Чему равно решение следующей задачи ЛП:
L=4x1+х2;
max
3х1 + х2 = 6;
4х1 + 3х2 >/ 6,
x1 + 2x2 \< 4.
x1,x2 >/0.
A) х1=1.2 х2=1.6; L =6.4;
B) x1=2/5; х2=9/5; L =8;
C) х1=2/5; х2=9/5; L =17/5;
D) х1=1.2; х2=1.8; L =8.4
E) х1=1.2; х2=1.6; L =6.7
$$$ 29
Заменяя в линейной модели знаки ограничений \< или >/ на знак = , можно: А) Увеличить
значение целевой функции задачи линейного программирования.
B) Сократить количество итераций решения задачи.
C) Уменьшить значение целевой функции задачи линейного программирования.
D) Выйти за пределы области допустимых решений задачи
E) Увеличить количество итераций решения задачи
$$$ 30
Оптимальное решение задачи ЛП, если оно конечно, можно всегда найти, зная все экстремальные
точки пространства решений (координаты вершин выпуклого многогранника области допустимых
значений).
А) Да
B) Нет
C) Решение задачи не определяется координатами вершин
D) Решение находится внутри многогранника значений
E) Решение находится за пределами многогранника значений
$$$ 31
В задаче ЛП с двумя переменными целевая функция может принимать одно, и тоже значение в
двух различных экстремальных точках.
А) Да
B) Нет
C) При решении задачи только на max
D) При решении задачи только на min
E) Только тогда,когда число вершин равно 2
$$$ 32
Изменения уровня запаса дефицитного ресурса всегда влияет на:
A) Оптимальные значения, как целевой функции, так и переменных.
B) Нет
C) Изменяет только целевую функцию
D) Изменяет только переменные задачи
E) Только на правые части ограничений задачи
$$$ 33
Изменения коэффициентов целевой функции всегда приводит к изменению оптимальных
значений переменных.
А) Да
B) Нет
C) Задача теряет смысл
D) Задача имеет бесконечное число оптимальных решений
E) Целевая функция и переменные задачи стремятся к бесконечности
$$$ 34
Изменения коэффициентов целевой функции в задаче ЛП могут изменить статус ресурсов (т.е.
дефицитный ресурс может стать недефицитным, и наоборот)
А) Да
B) Нет
C) Ресурс всегда остается дефицитный
D) Ресурс всегда остается недефицитный
E) Ресурс частично становится дефицитным
$$$ 35
Переменные линейных оптимизационных моделей, построенных для решения практических задач,
могут не иметь ограничения в знаке
А) Да
B) Нет
C) Могут иметь только знаки типа больше
D) Могут иметь только знаки типа меньше
E) Могут иметь только знаки типа равно
$$$ 36
Переменная модели ЛП, представляющая в выражении для целевой функции, как уровень
производственной деятельности с наибольшей величиной удельной прибыли, в оптимальном
решении всегда больше нуля.
А) Да
B) Нет
C) Если величина удельной прибыли больше 100
D) Если величина удельной прибыли меньше 100
E) Если величина удельной прибыли меньше 100, но больше -100
$$$ 37
х
х
Чему равны 1 и 2 и оптимальное значение целевой функции для следующей задачи ЛП:
max L = 5х1+х2 ;
х1+х2 \< 4;
х1< 3; х2 ≥0
А) х1=3; х2=1; max L =16
B) x1=3; х2=2; max L =13
C) х1=3; х2=2; max L =18
D) х1=5; х2=1; max L =26
E) х1=3; х2=1; max L =14
$$$$ 38
Чему равны х1 и х2 и оптимальное значение целевой функции для следующей задачи ЛП: max
L=4x1+х2;
х1 + х2 ≤
5;
х1≤ 2
x1 + x2 ≤ 3.
x1,x2≥ 0
.
А) х1=2; х2=1; max L =9
B) x1=2; х2=1; max L =8
C) х1=4; х2=5; max L =21
D) х1=3; х2=5; max L =17
E) x1=2; х2=1; max L =10
$$$ 39
Найти графическим методом решение следующей задачи ЛП:
max L= 2х1+x2
х1 + х2 ≤ 6;
х1 ≤ 3
x1-x2≤ 2.
x1, x2 ≥ 0.
А) х1=3; х2=1; max L =7
B) x1=2; х2=3; max L =8
C) х1=3; х2=4; max L =11
D) х1=7; х2=2; max L =18
E) х1=7; х2=1; max L =16
$$$ 40
При решении задачи ЛП с m ограничениями количество положительных базисных переменных на
итерации симплекс – метода может превышать m
А) Нет
B) Да
C) m должен быть всегда меньше базисных переменных
D) Нет никакой связи между базисными переменными и m
E) m должен быть равен количеству переменных задачи - n
$$$ 41
Итерации симплекс – метода (базисное решение) всегда соответствует одной из вершин области
допустимых значений.
А) Да
B) Внутренней точки ОДЗ
C) Трем и более вершинам
D) Прямой, проходящей через вершину и внутреннею точку ОДЗ
E) Внутренней точки ОДЗ и прямой, проходящей через вершину и внутреннею точку ОДЗ
$$$ 42
Для того, чтобы можно было использовать симплекс – метод, задачу необходимо:
А) Привести к стандартному виду, путем введения дополнительных переменных
B) Все ограничения задачи умножить на -1
C) Произвести перестановку ограничений задачи
D) Определить ранг матрицы ограничивающих условий задачи
E) Произвести перестановку ограничений задачи и определить ранг матрицы ограничивающих
условий задачи
$$$ 43
Условия оптимальности, используемые в симплекс – методе, зависят от:
А) Требований максимизации и минимизации целевой функции
B) Размерности задачи
C) Порядка членов целевой функции задачи
D) Коэффициентов целевой функции задачи
E) От порядка членов целевой функции и от коэффициентов целевой функции
$$$ 44
Условия допустимости, используемые в симплекс – методе, зависят от:
А) Условий максимизации и минимизации целевой функции
B) Размерности задачи
C) Конфигурации ОДЗ
D) Коэффициентов целевой функции
E) Количества ограничивающих условий задачи
$$$ 45
На итерации симплекс – метода, при решении исходной задачи ЛП, генеральный элемент может
быть:
А) Строго больше нуля
B) Отрицательным
C) Любым целым числом
D) Нулем
E) Любым иррациональным числом
$$$ 46
Если область допустимых решений не ограничена, то:
А) Оптимальное значение целевой функции также не ограничено
B) Оптимальное значение целевой функции ограничено
C) Целевая функция задачи сформирована не корректно
D) Значение целевой функции всегда равно нулю
E) Значение целевой функции достигает локального extr
$$$ 47
Новая ведущая строка, при использовании симплекс – метода, равна старой ведущей строке,
деленной на генеральный элемент.
А) Да
B) Нет
C) Необходимо, старую ведущею строку разделить на симплексное отношение
D) Необходимо, старую ведущею строку разделить на элементы индексной строки
E) Необходимо, старую ведущею строку разделить на симплексное отношение
$$$ 48
Любая, новая строка (кроме направляющей) равна предыдущей строке, минус новая ведущая
строка, умноженная:
А) На коэффициент направляющего столбца для соответствующей старой строки
B) На генеральный элемент
C) На симплексное отношение
D) На элементы индексной строки
E) На один из базисных переменных
$$$ 49
Если, исходное ограничение двойственной задачи имеет вид неравенства типа ≥, то для
приведения к стандартному виду:
A) Умножают все неравенства на минус единицу и прибавляют к его левой части дополнительную
неотрицательную переменную
B) Прибавляют к его левой части дополнительную неотрицательную переменную
C) Прибавляют к его левой части дополнительную отрицательную переменную
D) Переставляют строки ограничений задачи
E) Умножают на обратную матрицу
$$$ 50
Двойственная задача-это:
А) Вспомогательная задача ЛП, сформулированная с помощью определенных правил
непосредственно из условий исходной (прямой) задачи
B) Вспомогательная задача ЛП, сформулированная из условий оптимальности исходной (прямой)
задачи
C) Вспомогательная задача ЛП, сформулированная с помощью транспонирования матрицы
ограничений исходной задачи
D) Задача, полученная путем замены коэффициентов целевой функции исходной задачи, на
правые части, ограничивающих условий двойственной задачи
E) Задача, полученная путем замены коэффициентов целевой функции исходной задачи, на правые
части, ограничивающих условий двойственной задачи и умноженная на обратную матрицу
$$$ 51
Каждому ограничению прямой задачи ЛП соответствует:
А) Переменная двойственной задачи
B) Дополнительная переменная двойственной задачи
C) Коэффициенты индексной строки прямой задачи
D) Генеральные элементы двойственной задачи
E) Симплексное отношение
$$$ 52
Если прямая задача имеет вид:
max L=3x1+5x2 ;
2x1+3x2≤ 5:
3x1+4x2 8:
X1, x2>/0;
То, обратная задача имеет вид:
А) min L=5y1+8y2:
2y1+3y2 ≥3;
3y1+4y2≥5;
Y1,y2>/0.
B) min L=3y1+5y2:
Y1=0; y2=0.
3y1-4y2>/5;
2y1+3y2>/3;
C) min L=5y1+8y2;
2y1+3y2>/3:
3y1-4y2>/5;
Y1>/0; y2>/0.
D) min L=5y1+8y2;
2y1+3y2>/3;
3y1-4y2>/5;
Y1>/0; y2- не ограничена в знаке
E) extr L=3y1+5y2:
Y1=0; y2=0.
3y1-4y2>/5;
2y1+3y2>/3;
$$$ 53
Для любой пары, допустимых решений прямой и двойственной задачи верно следующее
соотношение.
А)
L в задаче минимизации прямой задачи = L в задаче максимизации обратной задачи
B) L в задаче максимизации прямой задачи >/ L в задаче минимизации обратной задачи
C) L в задаче минимизации прямой задачи \< L в задаче максимизации обратной задачи
D) L в задаче максимизации прямой задачи \< L в задаче минимизации обратной задачи
E) L в задаче минимизации прямой задачи необходимо разделить L на вектор B в задаче
максимизации обратной задачи
$$$ 54
Условие, допустимости для двойственного симплекс-метода заключается в том, что в
качестве исключаемой из базиса переменной выбирается:
A) Наибольшая по абсолютной величине отрицательная базисная переменная
B) Наименьшая по абсолютной величине отрицательная базисная переменная
C) Наименьшая по абсолютной величине положительная базисная переменная
D) Наибольшая, по абсолютной величине положительная базисная переменная
E) Любая положительная базисная переменная
$$$ 55
Прямая задача ЛП, должна быть:
А) Задачей максимизации
B) Задачей минимизации
C) Задачей поиска локального минимуму
D) Задачей поиска локального максимума
E) Задачей максимизации и задачей минимизации одновременно
$$$ 56
Если, для приведения ограничения прямой задачи к стандартной форме прибавляется
дополнительная неотрицательная переменная, то соответствующая двойственная
переменная будет неотрицательной, когда: А) В прямой задаче целевая функция подлежит
максимизации
B) В прямой задаче целевая функция подлежит минимизации
C) Знак двойственной переменной не зависит от знака переменной исходной задачи
D) Коэффициенты целевой функции двойственной задачи равны нулю
E) Правые части ограничений задачи умножаются на -1
$$$ 57
Задача ЛП, двойственная к двойственной задаче, - это:
А) Прямая (исходная) задача
B) Двойственная задача
C) Такой задачи не существует
D) Эти задачи никак не связаны
E) Исходная к исходной
$$$ 58
Оптимальное решение прямой (двойственной) задачи находится легко, по данным
оптимальной симплекс – таблице, соответствующей оптимальному решению:
А) Двойственной (прямой) задачи
B) Нет, это невозможно
C) По обратной матрице прямой (двойственной) задачи
D) По числу линейно независимых векторов прямой (двойственной) задачи
E) По числу членов векторов, правых частей ограничений, прямой (двойственной) задачи
$$$ 59
Когда, количество переменных прямой задачи на много меньше числа ограничений, более
эффективно нахождение ее решения двойственным симплекс – методом.
А) Верно
B) Не верно
C) Эффективность вычислительного процесса не зависит от количество ограничений
задачи
D) Да и эффективность вычислительного процесса повышается в m раз
E) Да и эффективность вычислительного процесса повышается в n раз
$$$ 60
В любой паре допустимых решений прямой и двойственной задач значение целевой
функции прямой задачи:
А) Значения целевых функций прямой и двойственной задач равны
B) Всегда больше значения целевой функции двойственной задачи
C) Не может превышать значения целевой функции двойственной задачи независимо от
направления оптимизации
D) Всегда меньше значения целевой функции двойственной задачи
E) Значения целевых функций прямой и двойственной задач равны пропорциональны
$$$ 61
Не оптимальность решения прямой задачи ЛП свидетельствует о:
А) Недопустимости решения двойственной задачи
B) Оптимальности решения двойственности задачи
C) Множестве оптимальных решений двойственной задачи
D) Вырожденности решения двойственной задачи
E) Неограниченности целевой функции двойственной задачи
$$$ 62
Чему равно решение следующей задачи ЛП:
L=4x1+4х2;
max
3х1 + х2 = 6;
4х1 + 3х2 >/6,
x1 + 2x2 \< 4.
x1,x2 >/0.
А) х1=1.6; х2=1.2; L =11.2
B) x1=2/5; х2=9/5; L =8
C) х1=2/5; х2=9/5; L =17/5
D) х1=3; х2=2; L =14
E) х1=1.4; х2=1.2; L =10.4
$$$ 63
Решение задачи ЛП называют оптимальным, …
А) если, целевая функция задачи, достигает extr значения и,
выполняются все ограничения задачи
B) если оно по тем или иным признакам предпочтительнее других
C) если оно рационально
D) если ее можно увеличить
E) если ее можно уменьшить
$$$ 64
Линейное программирование …
А) занимается изучением линейных экстремальных задач и,
разработкой методов их решения
B) представляет собой процесс создания программ для компьютера под
руководством математиков
C) занимается решением математических задач на компьютере
D) занимается постановкой линейных экстремальных задач
E) занимается алгоритмизацией постановки задачи для написания
программы для компьютера
$$$ 65
Задача линейного программирования состоит в …
А) отыскании наибольшего (наименьшего) значения линейной функции при наличии
линейных ограничений
B) создании линейной программы на избранном языке программирования,
предназначенной для решения поставленной задачи
C) описании линейного алгоритма решения заданной задачи
D) созданием блок- схем алгоритма и программы решения конкретной задачи
E) построении ЭММ
$$$ 66
Поставлена следующая задача линейного программирования:
L(х1, х2) = 5х1 + 6х2→ mах
0.2х1 + 0.3х2 ≤ 1.8,
0.2х1 + 0.1х2 ≤ 1.2,
0.3х1 + 0.3х2 ≤ 2.4,
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.
Выберите задачу, которая эквивалентна этой задаче.
A) L(х1, х2)= 50х1 + 60х2 → mах,
2х1 + 3х2 ≤ 18,
2х1 + х2 ≤ 12,
3 х1 + 3х2 ≤ 24,
х1 ≥ 0,
х2 ≥ 0.
B) F(х1, х2)= 6х1 + 5х2 → min,
2х1 + 3х2 ≤ 18,
2х1 + х2 ≤ 12,
х1 + х2 ≤ 8,
х1 ≥ 0,
х2 ≥ 0.
C) L(х1, х2)= 5х1 + 60х2 → mах,
2х1 + 3х2 ≤ 18,
2х1 + х2 ≤ 12,
3х1 + 3х2 ≤ 24,
х1 ≥ 0,
х2 ≥ 0.
D) L(х1, х2)= 5х12 + 6х22 → mах,
2х1 + 3х2 ≤ 18,
2х1 + х2 ≤ 12,
3х1 + х2 ≤ 2.4,
х1 ≥ 0,
х2 ≥ 0.
E) L(х1, х2)= 5х1 + 6х2 → mах,
2х1 + 3х2 ≤ 18,
2х1 + х2 ≤ 12,
х1 + х2 ≤ 24,
х1 ≥ 0,
х2 ≥ 0.
$$$ 67
Целевой функцией задачи линейного программирования может являться функция:
А) L  12 x1  20 x 2  30 x3  min
B) L 
x12  x22  min
C) L  x12  5 x 22  max
D) L 
x12  x22  max
E) L  x12  23x 22  min
$$$ 68
Cимплекс-метод - это:
A) аналитический метод решения основной задачи линейного программирования
B) метод отыскания области допустимых решений задачи линейного программирования
C) графический метод решения основной задачи линейного программирования
D) метод приведения общей задачи линейного программирования к каноническому виду
E) метод, приведения общей исходной задачи линейного программирования к
двойственной
$$$ 69
Задача линейного программирования состоит в:
А) отыскании наибольшего или наименьшего значения линейной функции при наличии
линейных ограничений
B) разработке линейного алгоритма и реализации его на компьютере
C) составлении и решении системы линейных уравнений
D) поиске линейной траектории развития процесса, описываемого заданной системой
ограничений
E) определении точки безубыточности предприятия
$$$ 70
Область допустимых решений задачи линейного программирования не может выглядеть
так:
A)
B)
C)
D)
E)
$$$ 71
Максимальное значение целевой функции L(х1, х2)= 5х1 + 2х2 при ограничениях
х1 + х2 ≤ 6,
х1 ≤ 4,
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, равно …
А) 24
B) 18
C) 26
D) 12
E) 16
$$$ 72
Малое предприятие производит изделия двух видов. На изготовление одного изделия вида
А расходуется 2 кг сырья, на изготовление одного изделия вида В – 1 кг. Всего имеется 60
кг сырья. Требуется составить план производства, обеспечивающий получение
наибольшей выручки, если отпускная стоимость одного изделия вида А 3 д.е., вида В –
1д.е., причем изделий вида А требуется изготовить не более 25, а вида В – не более 30.
Данная задача является …
А) Задачей линейного программирования.
B) Задачей, решаемой методом динамического программирования.
C) Задачей нелинейного программирования.
D) Задачей сетевого планирования.
E) Задачей управления запасами
$$$ 73
Малое предприятие производит изделия двух видов. На изготовление одного изделия вида
А расходуется 2 кг сырья, на изготовление одного изделия вида В – 1 кг. Всего имеется 60
кг сырья. Требуется составить план производства, обеспечивающий получение
наибольшей выручки, если отпускная стоимость одного изделия вида А 3 д.е., вида В - 1
у.е., причем изделий вида А требуется изготовить не более 25, а вида В – не более 30.
Целевой функцией данной задачи является функция …
А) L x1 , x 2   3 x1  x 2  max
B) L x1 , x 2   25 x1  30 x 2  max
C) L x1 , x 2   2 x1  x 2  max
D) L x1 , x 2   60  2 x1  x 2  min
E) Lx1 , x2   30x1  25x2  max
$$$ 74
Малое предприятие производит изделия двух видов. На изготовление одного изделия вида
А расходуется 2 кг сырья, на изготовление одного изделия вида В – 1 кг. Всего имеется 12
кг сырья. Требуется составить план производства, обеспечивающий получение
наибольшей выручки, если отпускная стоимость одного изделия вида А 3 д.е., вида В - 1
д.е., причем изделий вида А требуется изготовить не более 5, а вида В – не более 6
Оптимальным планом данной задачи является план:
А) X=(5,2), L(X) =16
B) X=(5,1), L(X) = 11
C) X=(2,6), L(X) =10
D) X=(3,4), L(X)= 10
E) X=(5,2), L(X) =14
$$$ 75
К какому типу моделей можно отнести схему производственного процесса
компании:
A) Математическому
B) Абстрактному
C) Аналоговому
D) Физическому
E) Имитационному
$$$ 76
Переменные линейных оптимизационных моделей, построенных для решения
практических задач, могут:
A) не иметь ограничения в знаке
B) не иметь ограничения только типа больше
C) не иметь ограничения только типа меньше
D) не иметь ограничения только типа равно
E) не иметь ограничения только типа равно и больше
$$$ 77
Целевой функцией задачи линейного программирования может являться функция:
А) L  12 x1  20 x 2  23x3  min
B) L 
x12  x22  min
C) L  x12  x  5 x 22  max
D) L  x12  f ( x) x 22  max
E) L  x12 
x 22  min
$$$ 78
Максимальное значение целевой функции L(х1, х2)= х1 + 12х2 при ограничениях
х1 + х2 ≤ 6,
х1 = 4,
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, равно …
А) 28
B) 18
C) 26
D) 12
E) 22
$$$ 79
L x  4 x1  3x 2  min
 x1  3 x 2  12,
  x  x  3,

1
2

x1  x 2  4,


x1  x 2  10,

A)
B)
C)
D)
E)
x1  0, x 2  0
Lx  19; x1  7; x2  3
Lx  4; x1  4; x2  4
Lx  16; x1  2; x2  8
Lx  26; x1  8; x2  2
Lx  6; x1  3; x2  6
$$$ 80
Дополнительные переменные задачи ЛП об использовании ресурсов  xn 1 , xn  2 ,..., xn  m 
образуют:
А) базис
В) вектор возможного перерасхода ресурсов
С) вектор дефицита ресурсов
D) вектор правых частей ограничений задачи
E) обратную матрицу
$$$ 81




План ЗЛП X  x1 , x2 , ..., xn - является оптимальны, если все коэффициенты
индексной строки симплексной таблицы, при решении задачи на min были:
A) неоположительными
B) неотрицательными
C) нецелыми
D) дробными
E) любыми


$$$ 82
Отметьте, верные утверждения:
В невырожденном, допустимом базисном плане задачи линейного программирования
размерности m х n (где m  n) присутствует(ют):
A) Ровно m неотрицательных компонент
B) Только ровно m положительных компонент
C) Только положительные компоненты независимо от размерности задачи
D) Ровно n-m неотрицательных компонент
E) Ровно n-m положительных компонент
$$$ 83
Симплекс-метод может быть непосредственно применен для решения:
A) Канонической задачи линейного программирования
B) Любой задачи линейного программирования с ограничениями в форме уравнений
C) Любой задачи линейного программирования с ограничениями в форме неравенств
≤
D) Любой задачи линейного программирования с ограничениями в форме неравенств
≥
E) Произвольной экстремальной задачи
F) Любой задачи выпуклого программирования
$$$ 84
Отметьте верные утверждения:
В соответствии с правилом ввода, в алгоритме симплекс-метода в качестве вводимого в
очередной базис выбирается столбец:
A) Имеющий, наибольшую оценку по абсолютной величине
B) Имеющий нулевую оценку
C) Любой
D) Имеющий, наименьшую положительную оценку
E) Имеющий, наименьшую оценку по абсолютной величине
$$$ 85
Какие, из приводимых далее утверждений, относительно свойств задач линейного
программирования, являются верными:
A) Множество допустимых планов в ЗЛП всегда является многогранным выпуклым
множеством;
B) Множество допустимых планов в ЗЛП, как правило, является выпуклым, но в
отдельных случаях это требование может нарушаться;
C) Множество допустимых планов в ЗЛП всегда является произвольным выпуклым
множеством;
D) Множество допустимых планов в ЗЛП всегда является многогранным вогнутым
множеством;
E) Множество допустимых планов в ЗЛП не может быть выпуклым многогранником.
$$$ 86
Отметьте, верные утверждения относительно свойств плана х = (1,1,1,1,1) для
задачи линейного программирования с множеством допустимых планов D.

D= х  R n
2 x1  2 x2
 6x4
= 10,
x0

 4 x2  2 x3  11x4  x5  6,
A)
B)
C)
D)
E)
Х – допустимый, базисный
Х – недопустимый базисный
Х – допустимый, но не базисный
Х – недопустимый, но базисный
Х – базисный, но вырожденный
$$$ 87
Отметьте верные утверждения:
В невырожденном, допустимом базисном плане задачи линейного программирования
размерности m x n (где m  n ) присутствует:
A) Ровно m ненулевых компонентов
B) Не более m-n ненулевых компонентов
C) Ровно n ненулевых компонентов
D) Не менее (n-m) ненулевых компонентов
E) Любое количество ненулевых компонент
$$ 88
Отметьте, верные утверждения:
Правило определения вводимого в базис столбца в симплекс-методе должно
обеспечивать:
A)
B)
C)
D)
E)
Допустимость очередного базисного плана
Возрастание значения целевой функции на очередной итерации
Невозрастание значения целевой функции на очередной итерации
Неубываение значения целевой функции на очередной итерации
Не изменение значения целевой функции на очередной итерации
$$$ 89
Какие из приведенных утверждений, относительно свойств задач линейного
программирования являются верными:
ЗЛП называется канонической, если в ней:
A) Все ограничения имеют форму уравнений, после ввода дополнительных
переменных и, на все переменные наложено условие не отрицательности
B) Отсутствуют ограничения в форме неравенств
C) Отсутствуют ограничения в форме равенств
D) Отсутствуют ограничения на знак переменных
E) Присутствуют ограничения в форме уравнений
$$$ 90
Образуют ли приведенные ниже задачи двойственную пару
L(x) = 3х1  7 х2  3х3  тах
= 7
х1  2х2
3 х 2  4 х3  9
х1  0
A)
B)
C)
D)
E)
L(y) =  7 у1  9 у2  max
и
у1
3
2 у1  3 у2 =7
4у 2 =3
у2  0
Нет
Да
Нельзя, дать однозначного ответа
Эта двойственная задача от двойственной задачи
Эта исходная задача от исходной
$$$ 91
Размерность вектора двойственных оценок
A) Совпадает с размером вектора объема ресурсов + дополнительные переменные
B) Совпадает с размерностью вектора стоимости изделий
C) Может быть произвольной
D) Равен m  n , (m- число строк, n- число столбцов в задаче)
E) Совпадает с размерностью матрицы технологических норм расхода ресурсов
$$$ 92
Значение целевой функции задачи, двойственной к задаче максимизации:
A) Всегда они будут равны друг другу
B) Всегда будет меньше значений целевой функции прямой задачи на любом её
допустимом плане
C) Может оказаться как больше, так и меньше по отношению к значениям целевой
функции прямой задачи на любом её допустимом плане
D) Будет не меньше значений целевой функции прямой задачи на люб
ом её допустимом плане
E) Всегда будет больше значений целевой функции прямой задачи на любом её
допустимом плане
$$$ 93
Какие из векторов являются допустимыми базисными планами для
приведенной ниже ЗЛП с множеством допустимых планов D.

D= х  R n
2 x1  2 x2
 6x4
= 10,
x0

 4 x2  2 x3  11x4  x5  6,
A)
B)
C)
D)
E)
х 1  (1,1,1,1,1)
х 2  (0,1,1,1,1,)
х 3  (5,0,0,0,6)
х 4  (10,0,0,0,6)
х 5  (10,6)
$$$ 94
Какая и приведенных ниже фигур является 3-симплексом:
A) Ни одна
B) Отрезок
C) Прямоугольник
D) Треугольник и отрезок
E) Треугольник
$$$ 95
Какая и приведенных ниже фигур является 2-симплексом:
A) Треугольник
B) Отрезок
C) Прямоугольник и отрезок
D) Треугольник и отрезок
E) Ни одна
$$$ 96
Отметьте верные утверждения:
Количество допустимых базисных планов в канонической задаче линейного
программирования (размерности m х n):
A) Ограничено и не превышает m
B) Ограничено и не превышает n;
C) Ограничено и не превышает C nm 
D) Теоретически не ограничено
n!
;
(n  m)! m!
E) Всегда равно C nm 
n!
;
(n  m)! m!
$$$ 97
Малое предприятие производит изделия двух видов. На изготовление одного
изделия вида А расходуется 2 кг сырья, на изготовление одного изделия вида В – 1 кг.
Всего имеется 60 кг сырья. Требуется составить план производства, обеспечивающий
получение наибольшей выручки, если отпускная стоимость одного изделия вида А 3 д.е.,
вида В - 10 у.е., причем изделий вида А требуется изготовить не более 25, а вида В – не
более 30.
Целевой функцией данной задачи является функция …
А) Lx1 , x2   3x1  10 x2  max
B) Lx1 , x2   25x1  30x2  max
C) Lx1 , x2   2x1  10x2  max
D) L x1 , x 2   60  2 x1  x 2  min
E) Lx1 , x2   25x1  10 x2  max
$$$ 98
х
х
Чему равны 1 и 2 и оптимальное значение целевой функции для следующей задачи ЛП:
max L = 5х1+5х2 ;
х1+х2 \< 4;
х1< 3; х2 - больше нуля.
А) х1=3; х2=1; max L =20
B) x1=3; х2=2; max L =13
C) х1=3; х2=2; max L =20
D) х1=5; х2=1; max L =26
E) х1=3; х2=2; max L =20
$$$ 99
Чему равно решение следующей задачи ЛП:
L=4x1+2х2;
max
3х1 + х2≥ 6;
4х1 + 3х2 ≥ 6,
2x1 + 4x2≤ 8.
x1,x2 >/0.
А) х1=1.6;х2=1.2; L =8.8
B) x1=2/5х2=9/5; L =8
C) х1=2/5; х2=9/5; L =17/5
D) х1=3; х20; L =12
E) ) х1=3; х2=3; L =12
$$$ 100
ИЗ свойств задач линейного программирования (ЗЛП), следует:
A) Множество допустимых планов в ЗЛП всегда является выпуклым
многогранником
B) Множество допустимых планов в ЗЛП всегда является произвольным вогнутым
множеством;
C) Множество допустимых планов в ЗЛП, как правило, является выпуклым, но в
отдельных случаях это требование может нарушаться;
D) Множество допустимых планов в ЗЛП, как правило, является любым множеством;
E) Множество допустимых планов в ЗЛП не может быть выпуклым многогранником.