Тема 2. Линейные действия над векторами. Лекция 5. Векторы.

Тема 2. Линейные действия над векторами.
Лекция 5. Векторы.
Основные вопросы.
1. Понятие вектора.
2. Линейные операции над векторами.
3. Линейная зависимость и независимость векторов.
4. Критерии линейной зависимости векторов.
1. Понятие вектора.
В курсе элементарной физики, электронике, радиотехнике и других
прикладных науках изучаются величины, которые можно разделить на два
вида. Одни из них вполне определяются числом (длина, площадь, объем,
масса, температура и др.), а другие определяются не только числом, но еще и
направлением (сила, скорость, ускорение, ток, напряжение и др.).
Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в
выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром (от
лат. «Scala» - шкала).
Величина, которая, кроме числового значения, характеризуется еще и
направлением, называется векторной или вектором (от лат. «Vector» несущий).
Эти понятия даны в широком смысле.
В узком смысле, т.е. в геометрии, вектор представляет собой геометрический
объект (отрезок), характеризуемый длиной (модулем) и направлением. При
этом предварительно задается линейный масштаб. Над векторами производят действия, называемые сложением, вычитанием и умножением векторов.
Эти действия имеют много общих свойств с обычными алгебраическими
ействиями сложения, вычитания и умножения. Поэтому раздел высшей математики , в котором изучаются действия над векторами называется векторной алгеброй .
Определение 1. Вектором называется направленный отрезок, или
упорядоченная пара точек.
Вектор изображается ориентированным (направленным) отрезком, одна
из его ограничивающих точек (А) которого есть начало, а другая (В) – конец
вектора (рис. 1.1). В этом случае вектор обозначают ÀÂ или à жирной буквой (в лекциях à ).
В
В
A
B

a
â
А
à

à
à
А
å
линейный масштаб
Рис.1.1. Изображение векторов
Расстояние между началом и концом вектора называется длиной
(модулем) вектора. Модуль вектора обозначают АВ или а . В математике векторы обычно считаются безразмерными, а модуль такого вектора –
безразмерным числом.
В дальнейшем мы будем рассматривать, так называемые, свободные векторы, начало которых при параллельном переносе самого вектора можно помещать в любую точку пространства. В частности для свободных векторов
можно обеспечить общую их начальную точку .
Вектор, модуль которого равен нулю (начало совпадает с концом), называется нулевым или нуль-вектором
0 (направление его считается
произвольным).
Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными .
Векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и
той же плоскости, называются компланарными .
Два вектора называются ортогональными, если они взаимно
перпендикулярны.
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и
одинаковое направление ( в  а ) .
Если дан вектор а  АВ , то вектор ВА называется противоположным
вектором к вектору а и обозначается - а .
Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным (или ортом). Обычно он обозначается е или а 0  е  1 .
2. Линейные операции над векторами.
Линейными операциями над векторами называют сложение (вычитание)
векторов и умножение вектора на число.
2.1. Сложение векторов.
Определение 2. Суммой векторов а и в называется вектор с , соединяющий начало вектора а с концом вектора в при условии, что к концу вектора а приставлено начало вектора в (правило треугольников).
Обозначение : с  а  в
à
Н

à
ñ
à
â
â

К
Н
К
â
Рис.1.2. Сложение векторов по правилу треугольников
Определение 3.
Сумма двух векторов 0 А  а и 0 В  в , приведенных к общему началу 0, есть вектор-диагональ 0Ñ параллелограмма 0АСВ, построенного на векторах (правило параллелограмма)
А
à
С
â
ñà
0
â
В
0 А  АС  0 А  0В  а  в  0С  с
Рис. 1.3. Сложение векторов по правилу параллелограмма
Сложение нескольких векторов на плоскости производится при помощи
последовательного применения правила треугольника. В результате этого получается результирующий вектор, который направлен из начала первого вектора суммы к концу последнего (правило многоугольника).
При сложении трех векторов, не лежащих в одной плоскости (в пространстве), применяется правило параллелепипеда: сумма трех таких векторов
0А, 0В, 0С, приведенных к общему началу 0 представляет собой вектор-диагональ 0Д параллелепипеда, построенного на слагаемых векторах (рис.1.4)
Д
С
В
А
0
Рис. 1.4. Сложение векторов по правилу параллелепипеда
Для любых векторов а и в справедливо неравенство треугольника
а в  а  в .
2.2. Вычитание векторов.
Вычитание векторов определяется как операция, обратная сложению.
Определение 4. Разностью двух векторов а и в называется такой вектор с  а  в который нужно сложить с вектором в ,
чтобы получить вектор а а  в  с  .
При этом возможны те же два способа (правила) вычитания векторов:
правило треугольника (рис.1.5а) и правило параллелограмма (рис.1.5б)
â
à
К
а)
â
а
â
К
-â
à
à
Н
0 Н
0
ñ
Н
â
ñ
К
с  а   в 
б)
Рис.1.5. Вычитание векторов
2.3. Умножение вектора на число (скаляр).
Определение 5. Произведением вектора а на число λ называется вектор  а  а  , модуль которого равен произведению
модуля вектора а на модуль числа λ , а направление
совпадает с направлением вектора а , если   0 и
противоположно направлению вектора а , если   0 .
При   0 , или а = 0 считают вектор  а нулевым. Из приведенных выше определений вытекают следующие свойства линейных операций:
(переместительность сложения векторов – коммутативность).
2). а  в   с  а  в  с  (сочетательность сложения векторов – ассоциативность).
3). а   а   0
(существование противоположного вектора).
1). а  в  в  а
4). а  0  а
(существование нулевого вектора).
5). 1 а  а
6).    а     а 
(ассоциативность умножения на число).
7). а  в    а   в
(распределительность или дистрибутивность умножения векторов на числа относительно сложения векторов).
(дистрибутивность умножения векторов на числа
относительно сложения чисел).
8).    а   а   а
Замечание 1. Векторную сумму можно преобразовать по тем же правилам,
что и алгебраическую, а именно :
а) общий множитель выносить за скобки
б) раскрывать скобки и приводить подобные
в) переносить члены из одной части равенства в другую с противоположным знаком.
Замечание 2. Линейные операции над векторами установлены в соответствии с физическими законами, приводящими к подобным операциям над векторными величинами .
3. Линейная зависимость и независимость векторов.
Пусть даны векторы 1 ,  2 , ,  n . Тогда вектор, представленный в виде
х  1 1  2  2    n  n , где 1 ,  2 ,  ,  n - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов 1 ,  2 , ,  n . Говорят также, что вектор х линейно выражается через векторы 1 ,  2 , ,  n .
Определение 6. Система векторов 1 ,  2 , ,  n называется линейно зависимой , если можно найти такие постоянные числа
1 ,  2 ,  ,  n одновременно не равные нулю , чтобы выполнялось равенство.
(1)
1 1  2  2    n  n  0
В противном случае указанная система векторов будет
линейно независимой .
В случае же линейной зависимости хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных векторов системы.
Пусть, например, в выражении (1) 1  0 , тогда


1   2  2    n  n
(2)
1
n
В таком случае говорят, что вектор 1 разложен по направлению других
(не обязательно всех) векторов этой системы. Поэтому часто удобно пользоваться другим определением линейной зависимости векторов, которое
эквивалентно предыдущему.
Определение 7. Векторы 1 ,  2 , ,  n называются линейно зависимыми , если какой-либо из них линейно выражается, т.е. с
помощью операций сложения и умножения на число,
через остальные.
4. Критерии линейной зависимости векторов.
Установим критерии (условия), при которых векторы являются линейно
зависимыми.
Теорема 1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда
они коллинеарны .
Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда
они компланарны.
Теорема 3. Четыре вектора всегда линейно зависимы, т.е.
d  ma  nâ  pc .
Замечание 3. Если дано более четырех векторов, то они всегда линейно зависимы.
Замечение 4. Если даны два неколлинеарных вектора или три некомпланарных вектора, то они линейно независимы.